Πώς να προσδιορίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών. Μέθοδοι εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου, nok - αυτό, και όλες οι εξηγήσεις

Πώς να βρείτε το LCM (ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο)

Ένα κοινό πολλαπλάσιο δύο ακεραίων είναι ένας ακέραιος που διαιρείται ομοιόμορφα και με τους δύο δεδομένους αριθμούς χωρίς να αφήνει υπόλοιπο.

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ακεραίων είναι ο μικρότερος από όλους τους ακεραίους που διαιρείται και με τους δύο δεδομένους αριθμούς χωρίς να αφήνει υπόλοιπο.

Μέθοδος 1. Μπορείτε να βρείτε το LCM, με τη σειρά του, για κάθε έναν από τους δεδομένους αριθμούς, γράφοντας με αύξουσα σειρά όλους τους αριθμούς που προκύπτουν πολλαπλασιάζοντάς τους με το 1, 2, 3, 4 κ.λπ.

Παράδειγμαγια τους αριθμούς 6 και 9.
Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό 6, διαδοχικά, με το 1, 2, 3, 4, 5.
Παίρνουμε: 6, 12, 18 , 24, 30
Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό 9, διαδοχικά, με το 1, 2, 3, 4, 5.
Παίρνουμε: 9, 18 , 27, 36, 45
Όπως μπορείτε να δείτε, το LCM για τους αριθμούς 6 και 9 θα είναι ίσο με 18.

Αυτή η μέθοδος είναι βολική όταν και οι δύο αριθμοί είναι μικροί και είναι εύκολο να πολλαπλασιαστούν με μια ακολουθία ακεραίων. Ωστόσο, υπάρχουν περιπτώσεις που πρέπει να βρείτε το LCM για διψήφιους ή τριψήφιους αριθμούς, καθώς και όταν υπάρχουν τρεις ή και περισσότεροι αρχικοί αριθμοί.

Μέθοδος 2. Μπορείτε να βρείτε το LCM συνυπολογίζοντας τους αρχικούς αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.
Μετά την αποσύνθεση, είναι απαραίτητο να διαγράψουμε πανομοιότυπους αριθμούς από την προκύπτουσα σειρά πρώτων παραγόντων. Οι υπόλοιποι αριθμοί του πρώτου αριθμού θα είναι πολλαπλασιαστής για τον δεύτερο και οι υπόλοιποι αριθμοί του δεύτερου θα είναι πολλαπλασιαστής για τον πρώτο.

Παράδειγμαγια τους αριθμούς 75 και 60.
Το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 75 και 60 μπορεί να βρεθεί χωρίς να σημειωθούν τα πολλαπλάσια αυτών των αριθμών στη σειρά. Για να γίνει αυτό, ας συνυπολογίσουμε το 75 και το 60 σε απλούς παράγοντες:
75 = 3 * 5 * 5, α
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Όπως μπορείτε να δείτε, οι παράγοντες 3 και 5 εμφανίζονται και στις δύο σειρές. Τους «διαβάζουμε» νοερά.
Ας γράψουμε τους υπόλοιπους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση καθενός από αυτούς τους αριθμούς. Κατά την αποσύνθεση του αριθμού 75, μας μένει ο αριθμός 5 και κατά την αποσύνθεση του αριθμού 60, μας μένουν 2 * 2
Αυτό σημαίνει ότι για να προσδιορίσουμε το LCM για τους αριθμούς 75 και 60, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς από την επέκταση του 75 (αυτό είναι 5) επί 60 και να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς που απομένουν από την επέκταση του 60 (αυτός είναι 2 * 2) επί 75. Δηλαδή, για ευκολία κατανόησης, λέμε ότι πολλαπλασιάζουμε «σταυροειδώς».
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Έτσι βρήκαμε το LCM για τους αριθμούς 60 και 75. Αυτός είναι ο αριθμός 300.

Παράδειγμα. Προσδιορίστε το LCM για τους αριθμούς 12, 16, 24
Σε αυτή την περίπτωση, οι ενέργειές μας θα είναι κάπως πιο περίπλοκες. Αλλά πρώτα, όπως πάντα, ας παραγοντοποιήσουμε όλους τους αριθμούς
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Για να προσδιορίσουμε σωστά το LCM, επιλέγουμε τον μικρότερο από όλους τους αριθμούς (αυτός είναι ο αριθμός 12) και περνάμε διαδοχικά τους συντελεστές του, διαγράφοντας τους εάν σε τουλάχιστον μία από τις άλλες σειρές αριθμών συναντήσουμε τον ίδιο παράγοντα που δεν έχει ακόμη έχει διαγραφεί.

Βήμα 1 . Βλέπουμε ότι το 2 * 2 εμφανίζεται σε όλες τις σειρές αριθμών. Ας τα διαγράψουμε.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Βήμα 2. Στους πρώτους παράγοντες του αριθμού 12, παραμένει μόνο ο αριθμός 3, αλλά υπάρχει στους πρώτους συντελεστές του αριθμού 24. Διαγράφουμε τον αριθμό 3 και από τις δύο σειρές, ενώ δεν αναμένονται ενέργειες για τον αριθμό 16. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Όπως μπορείτε να δείτε, κατά την αποσύνθεση του αριθμού 12, "διαγράψαμε" όλους τους αριθμούς. Αυτό σημαίνει ότι ολοκληρώθηκε το πόρισμα του ΛΟΚ. Το μόνο που μένει είναι να υπολογίσουμε την αξία του.
Για τον αριθμό 12, πάρτε τους υπόλοιπους συντελεστές του αριθμού 16 (επόμενο σε αύξουσα σειρά)
12 * 2 * 2 = 48
Αυτή είναι η NOC

Όπως μπορείτε να δείτε, σε αυτήν την περίπτωση, η εύρεση του LCM ήταν κάπως πιο δύσκολη, αλλά όταν πρέπει να το βρείτε για τρεις ή περισσότερους αριθμούς, αυτή η μέθοδος σας επιτρέπει να το κάνετε πιο γρήγορα. Ωστόσο, και οι δύο μέθοδοι εύρεσης του LCM είναι σωστές.

Πολλαπλάσιος είναι ένας αριθμός που διαιρείται με έναν δεδομένο αριθμό χωρίς υπόλοιπο. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) μιας ομάδας αριθμών είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με κάθε αριθμό της ομάδας χωρίς να αφήνει υπόλοιπο. Για να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, πρέπει να βρείτε τους πρώτους παράγοντες των δεδομένων αριθμών. Το LCM μπορεί επίσης να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν αριθμό άλλων μεθόδων που ισχύουν για ομάδες δύο ή περισσότερων αριθμών.

Βήματα

Σειρά πολλαπλών

Δείτε αυτούς τους αριθμούς.Η μέθοδος που περιγράφεται εδώ χρησιμοποιείται καλύτερα όταν δίνονται δύο αριθμοί, καθένας από τους οποίους είναι μικρότερος από 10. Εάν δίνονται μεγαλύτεροι αριθμοί, χρησιμοποιήστε διαφορετική μέθοδο.

• Για παράδειγμα, βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 5 και του 8. Αυτοί είναι μικροί αριθμοί, επομένως μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο.

1. Πολλαπλάσιος είναι ένας αριθμός που διαιρείται με έναν δεδομένο αριθμό χωρίς υπόλοιπο. Τα πολλαπλάσια μπορούν να βρεθούν στον πίνακα πολλαπλασιασμού.

   • Για παράδειγμα, οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 5 είναι: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Γράψτε μια σειρά αριθμών που είναι πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού.Κάντε το κάτω από τα πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού για να συγκρίνετε δύο σύνολα αριθμών.

   • Για παράδειγμα, οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 8 είναι: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 και 64.

3. Βρείτε τον μικρότερο αριθμό που υπάρχει και στα δύο σύνολα πολλαπλών.Ίσως χρειαστεί να γράψετε μεγάλες σειρές πολλαπλών για να βρείτε τον συνολικό αριθμό. Ο μικρότερος αριθμός που υπάρχει και στα δύο σύνολα πολλαπλών είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο.

   • Για παράδειγμα, ο μικρότερος αριθμός που εμφανίζεται στη σειρά των πολλαπλασίων του 5 και του 8 είναι ο αριθμός 40. Επομένως, το 40 είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο του 5 και του 8.

   Πρωταρχική παραγοντοποίηση

   1. Δείτε αυτούς τους αριθμούς.Η μέθοδος που περιγράφεται εδώ χρησιμοποιείται καλύτερα όταν δίνονται δύο αριθμοί, καθένας από τους οποίους είναι μεγαλύτερος από 10. Εάν δίνονται μικρότεροι αριθμοί, χρησιμοποιήστε διαφορετική μέθοδο.

      • Για παράδειγμα, βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 20 και 84. Καθένας από τους αριθμούς είναι μεγαλύτερος από το 10, επομένως μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο.

   2. Υπολογίστε τον πρώτο αριθμό σε πρώτους παράγοντες.Δηλαδή, πρέπει να βρείτε τέτοιους πρώτους αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα προκύψει ένας δεδομένος αριθμός. Αφού βρείτε τους πρώτους παράγοντες, γράψτε τους ως ισότητες.

      • Για παράδειγμα, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\φορές 10=20)Και 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Έτσι, οι πρώτοι παράγοντες του αριθμού 20 είναι οι αριθμοί 2, 2 και 5. Γράψτε τους ως έκφραση: .

   3. Υπολογίστε τον δεύτερο αριθμό σε πρώτους παράγοντες.Κάντε το με τον ίδιο τρόπο που συνυπολογίσατε τον πρώτο αριθμό, δηλαδή βρείτε τέτοιους πρώτους αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δώσουν τον δεδομένο αριθμό.

      • Για παράδειγμα, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\φορές 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\φορές 6=42)Και 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Έτσι, οι πρώτοι παράγοντες του αριθμού 84 είναι οι αριθμοί 2, 7, 3 και 2. Γράψτε τους ως έκφραση: .

   4. Καταγράψτε τους κοινούς παράγοντες και στους δύο αριθμούς.Γράψτε τέτοιους παράγοντες ως πράξη πολλαπλασιασμού. Καθώς γράφετε κάθε παράγοντα, διαγράψτε τον και στις δύο παραστάσεις (εκφράσεις που περιγράφουν την παραγοντοποίηση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες).

      • Για παράδειγμα, και οι δύο αριθμοί έχουν κοινό παράγοντα 2, οπότε γράψτε 2 × (\displaystyle 2\φορές)και διαγράψτε το 2 και στις δύο εκφράσεις.
      • Αυτό που έχουν και οι δύο αριθμοί κοινό είναι ένας άλλος παράγοντας του 2, οπότε γράψτε 2 × 2 (\splaystyle 2\φορές 2)και διαγράψτε το δεύτερο 2 και στις δύο εκφράσεις.

   5. Προσθέστε τους υπόλοιπους παράγοντες στην πράξη πολλαπλασιασμού.Πρόκειται για παράγοντες που δεν διαγράφονται και στις δύο εκφράσεις, δηλαδή παράγοντες που δεν είναι κοινοί και στους δύο αριθμούς.

      • Για παράδειγμα, στην έκφραση 20 = 2 × 2 × 5 (\style display 20=2\φορές 2\φορές 5)Και τα δύο (2) διαγράφονται επειδή είναι κοινοί παράγοντες. Ο παράγοντας 5 δεν είναι διαγραμμένος, οπότε γράψτε την πράξη πολλαπλασιασμού ως εξής: 2 × 2 × 5 (\style display 2\φορές 2\φορές 5)
      • Στην έκφραση 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\φορές 7\φορές 3\φορές 2)και τα δύο δύο (2) διαγράφονται επίσης. Οι συντελεστές 7 και 3 δεν διαγράφονται, οπότε γράψτε την πράξη πολλαπλασιασμού ως εξής: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\style display 2\φορές 2\φορές 5\φορές 7\φορές 3).

   6. Υπολογίστε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τους αριθμούς στη γραπτή πράξη πολλαπλασιασμού.

      • Για παράδειγμα, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\style display 2\φορές 2\φορές 5\φορές 7\φορές 3=420). Άρα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 20 και του 84 είναι το 420.

   Εύρεση κοινών παραγόντων

   1. Σχεδιάστε ένα πλέγμα όπως για ένα παιχνίδι τικ-τακ.Ένα τέτοιο πλέγμα αποτελείται από δύο παράλληλες ευθείες που τέμνονται (σε ​​ορθή γωνία) με άλλες δύο παράλληλες ευθείες. Αυτό θα σας δώσει τρεις σειρές και τρεις στήλες (το πλέγμα μοιάζει πολύ με το εικονίδιο #). Γράψτε τον πρώτο αριθμό στην πρώτη γραμμή και στη δεύτερη στήλη. Γράψτε τον δεύτερο αριθμό στην πρώτη σειρά και στην τρίτη στήλη.

      • Για παράδειγμα, βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 18 και 30. Γράψτε τον αριθμό 18 στην πρώτη γραμμή και τη δεύτερη στήλη και γράψτε τον αριθμό 30 στην πρώτη σειρά και στην τρίτη στήλη.

   2. Βρείτε τον διαιρέτη κοινό και στους δύο αριθμούς.Γράψτε το στην πρώτη γραμμή και την πρώτη στήλη. Είναι καλύτερα να αναζητήσετε πρωταρχικούς παράγοντες, αλλά αυτό δεν είναι απαίτηση.

      • Για παράδειγμα, το 18 και το 30 είναι ζυγοί αριθμοί, άρα ο κοινός συντελεστής τους είναι το 2. Γράψτε λοιπόν το 2 στην πρώτη σειρά και την πρώτη στήλη.

   3. Διαιρέστε κάθε αριθμό με τον πρώτο διαιρέτη.Καταγράψτε κάθε πηλίκο κάτω από τον κατάλληλο αριθμό. Ένα πηλίκο είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης δύο αριθμών.

      • Για παράδειγμα, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), οπότε γράψτε 9 κάτω από 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), οπότε σημειώστε 15 κάτω από 30.

   4. Βρείτε τον κοινό διαιρέτη και στα δύο πηλίκα.Εάν δεν υπάρχει τέτοιος διαιρέτης, παραλείψτε τα επόμενα δύο βήματα. Διαφορετικά, γράψτε τον διαιρέτη στη δεύτερη σειρά και την πρώτη στήλη.

      • Για παράδειγμα, το 9 και το 15 διαιρούνται με το 3, οπότε γράψτε το 3 στη δεύτερη σειρά και την πρώτη στήλη.

   5. Διαιρέστε κάθε πηλίκο με τον δεύτερο διαιρέτη του.Γράψτε κάθε αποτέλεσμα διαίρεσης κάτω από το αντίστοιχο πηλίκο.

      • Για παράδειγμα, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), οπότε γράψτε 3 κάτω από 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), οπότε γράψτε 5 κάτω από 15.

   6. Εάν είναι απαραίτητο, προσθέστε επιπλέον κελιά στο πλέγμα.Επαναλάβετε τα βήματα που περιγράφονται μέχρι τα πηλίκα να έχουν κοινό διαιρέτη.

   7. Κυκλώστε τους αριθμούς στην πρώτη στήλη και την τελευταία σειρά του πλέγματος.Στη συνέχεια, γράψτε τους επιλεγμένους αριθμούς ως λειτουργία πολλαπλασιασμού.

      • Για παράδειγμα, οι αριθμοί 2 και 3 βρίσκονται στην πρώτη στήλη και οι αριθμοί 3 και 5 βρίσκονται στην τελευταία σειρά, οπότε γράψτε την πράξη πολλαπλασιασμού ως εξής: 2 × 3 × 3 × 5 (\προβολή στυλ 2\ φορές 3\ φορές 3\ φορές 5).

   8. Βρείτε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των αριθμών.Αυτό θα υπολογίσει το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο δεδομένων αριθμών.

      • Για παράδειγμα, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\προβολή στυλ 2\ φορές 3\ φορές 3\ φορές 5=90). Άρα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 18 και του 30 είναι το 90.

   Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη

   1. Θυμηθείτε την ορολογία που σχετίζεται με τη λειτουργία διαίρεσης.Το μέρισμα είναι ο αριθμός που διαιρείται. Ο διαιρέτης είναι ο αριθμός με τον οποίο διαιρείται. Ένα πηλίκο είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης δύο αριθμών. Ένα υπόλοιπο είναι ο αριθμός που απομένει όταν διαιρεθούν δύο αριθμοί.

      • Για παράδειγμα, στην έκφραση 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        Το 15 είναι το μέρισμα
        Το 6 είναι διαιρέτης
        2 είναι πηλίκο
        3 είναι το υπόλοιπο.

Το υλικό που παρουσιάζεται παρακάτω είναι μια λογική συνέχεια της θεωρίας από το άρθρο με τίτλο LCM - ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, ορισμός, παραδείγματα, σύνδεση μεταξύ LCM και GCD. Εδώ θα μιλήσουμε για βρίσκοντας το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM), και θα δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στην επίλυση παραδειγμάτων. Αρχικά, θα δείξουμε πώς υπολογίζεται το LCM δύο αριθμών χρησιμοποιώντας το GCD αυτών των αριθμών. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε την εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε στην εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών και επίσης θα δώσουμε προσοχή στον υπολογισμό του LCM των αρνητικών αριθμών.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλού (LCM) μέσω GCD

Ένας τρόπος για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βασίζεται στη σχέση μεταξύ LCM και GCD. Η υπάρχουσα σύνδεση μεταξύ LCM και GCD μας επιτρέπει να υπολογίσουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο θετικών ακεραίων μέσω ενός γνωστού μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη. Ο αντίστοιχος τύπος είναι LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Ας δούμε παραδείγματα εύρεσης του LCM χρησιμοποιώντας τον συγκεκριμένο τύπο.

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών 126 και 70.

Λύση.

Σε αυτό το παράδειγμα a=126 , b=70 . Ας χρησιμοποιήσουμε τη σύνδεση μεταξύ LCM και GCD, που εκφράζεται με τον τύπο LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Δηλαδή, πρώτα πρέπει να βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των αριθμών 70 και 126, μετά τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε το LCM αυτών των αριθμών χρησιμοποιώντας τον γραπτό τύπο.

Ας βρούμε το GCD(126, 70) χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, επομένως, GCD(126, 70)=14.

Τώρα βρίσκουμε το απαιτούμενο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Απάντηση:

LCM(126, 70)=630.

Παράδειγμα.

Με τι ισούται το LCM(68, 34);

Λύση.

Επειδή Το 68 διαιρείται με το 34, τότε το GCD(68, 34)=34. Τώρα υπολογίζουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Απάντηση:

LCM(68, 34)=68 .

Σημειώστε ότι το προηγούμενο παράδειγμα ταιριάζει με τον ακόλουθο κανόνα για την εύρεση του LCM για θετικούς ακέραιους αριθμούς a και b: εάν ο αριθμός a διαιρείται με το b, τότε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το a.

Εύρεση του LCM με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες

Ένας άλλος τρόπος για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βασίζεται στην παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Εάν συνθέσετε ένα γινόμενο από όλους τους πρώτους συντελεστές δεδομένων αριθμών και στη συνέχεια εξαιρέσετε από αυτό το γινόμενο όλους τους κοινούς πρώτους παράγοντες που υπάρχουν στις αποσυνθέσεις των δεδομένων αριθμών, τότε το γινόμενο που προκύπτει θα είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δεδομένων αριθμών .

Ο αναφερόμενος κανόνας για την εύρεση του LCM προκύπτει από την ισότητα LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Πράγματι, το γινόμενο των αριθμών α και β είναι ίσο με το γινόμενο όλων των παραγόντων που εμπλέκονται στην επέκταση των αριθμών α και β. Με τη σειρά του, το GCD(a, b) είναι ίσο με το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων που υπάρχουν ταυτόχρονα στις επεκτάσεις των αριθμών a και b (όπως περιγράφεται στην ενότητα για την εύρεση GCD χρησιμοποιώντας την επέκταση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες).

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Ας ξέρουμε ότι 75=3·5·5 και 210=2·3·5·7. Ας συνθέσουμε το γινόμενο από όλους τους συντελεστές αυτών των επεκτάσεων: 2·3·3·5·5·5·7 . Τώρα από αυτό το γινόμενο εξαιρούμε όλους τους παράγοντες που υπάρχουν τόσο στην επέκταση του αριθμού 75 όσο και στην επέκταση του αριθμού 210 (αυτοί οι παράγοντες είναι 3 και 5), τότε το γινόμενο θα πάρει τη μορφή 2·3·5·5·7 . Η τιμή αυτού του γινόμενου είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 75 και του 210, δηλαδή NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε τους αριθμούς 441 και 700 σε πρώτους παράγοντες και βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Λύση.

Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 441 και 700 σε πρώτους παράγοντες:

Παίρνουμε 441=3·3·7·7 και 700=2·2·5·5·7.

Τώρα ας δημιουργήσουμε ένα προϊόν από όλους τους παράγοντες που εμπλέκονται στην επέκταση αυτών των αριθμών: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Ας εξαιρέσουμε από αυτό το προϊόν όλους τους παράγοντες που υπάρχουν ταυτόχρονα και στις δύο επεκτάσεις (υπάρχει μόνο ένας τέτοιος παράγοντας - αυτός είναι ο αριθμός 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Ετσι, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Απάντηση:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Ο κανόνας για την εύρεση του LCM χρησιμοποιώντας παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες μπορεί να διατυπωθεί λίγο διαφορετικά. Εάν οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του αριθμού b προστεθούν στους συντελεστές από τη διεύρυνση του αριθμού α, τότε η τιμή του γινόμενου που προκύπτει θα είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών a και b.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε τους ίδιους αριθμούς 75 και 210, οι αποσυνθέσεις τους σε πρώτους παράγοντες είναι οι εξής: 75=3·5·5 και 210=2·3·5·7. Στους παράγοντες 3, 5 και 5 από την επέκταση του αριθμού 75 προσθέτουμε τους συντελεστές 2 και 7 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 210, παίρνουμε το γινόμενο 2·3·5·5·7, η τιμή του οποίου είναι ίσο με LCM(75, 210).

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648.

Λύση.

Λαμβάνουμε πρώτα τις αποσυνθέσεις των αριθμών 84 και 648 σε πρώτους παράγοντες. Μοιάζουν με 84=2·2·3·7 και 648=2·2·2·3·3·3·3. Στους παράγοντες 2, 2, 3 και 7 από την επέκταση του αριθμού 84 προσθέτουμε τους συντελεστές 2, 3, 3 και 3 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 648, παίρνουμε το γινόμενο 2 2 2 3 3 3 3 7, που ισούται με 4 536 . Έτσι, το επιθυμητό ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648 είναι 4.536.

Απάντηση:

LCM(84, 648)=4,536.

Εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών

Το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών μπορεί να βρεθεί βρίσκοντας διαδοχικά το LCM δύο αριθμών. Ας θυμηθούμε το αντίστοιχο θεώρημα, το οποίο δίνει έναν τρόπο να βρούμε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών.

Θεώρημα.

Έστω θετικοί ακέραιοι αριθμοί a 1 , a 2 , …, a k, το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο m k αυτών των αριθμών βρίσκεται με διαδοχικό υπολογισμό m 2 = LCM(a 1 , a 2), m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Ας εξετάσουμε την εφαρμογή αυτού του θεωρήματος χρησιμοποιώντας το παράδειγμα εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου τεσσάρων αριθμών.

Παράδειγμα.

Βρείτε το LCM τεσσάρων αριθμών 140, 9, 54 και 250.

Λύση.

Σε αυτό το παράδειγμα, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Πρώτα βρίσκουμε m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο, προσδιορίζουμε το GCD(140, 9), έχουμε 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, επομένως, GCD(140, 9)=1 , από όπου GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1.260. Δηλαδή, m 2 = 1 260.

Τώρα βρίσκουμε m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Ας το υπολογίσουμε μέσω του GCD(1 260, 54), το οποίο προσδιορίζουμε επίσης χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Τότε gcd(1,260, 54)=18, από το οποίο gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Δηλαδή, m 3 = 3 780.

Το μόνο που μένει είναι να βρεθεί m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε το GCD(3,780, 250) χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Επομένως, GCM(3,780, 250)=10, από όπου GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Δηλαδή m 4 =94.500.

Άρα το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αρχικών τεσσάρων αριθμών είναι το 94.500.

Απάντηση:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

Σε πολλές περιπτώσεις, είναι βολικό να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών χρησιμοποιώντας πρώτους παραγοντοποιήσεις των δεδομένων αριθμών. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να τηρείτε τον ακόλουθο κανόνα. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολλών αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο, το οποίο αποτελείται ως εξής: οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού προστίθενται σε όλους τους παράγοντες από την επέκταση του πρώτου αριθμού, οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του ο τρίτος αριθμός προστίθεται στους συντελεστές που προκύπτουν και ούτω καθεξής.

Ας δούμε ένα παράδειγμα εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου χρησιμοποιώντας την παραγοντοποίηση πρώτων.

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των πέντε αριθμών 84, 6, 48, 7, 143.

Λύση.

Αρχικά, λαμβάνουμε τις αποσυνθέσεις αυτών των αριθμών σε πρώτους παράγοντες: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (το 7 είναι πρώτος αριθμός, συμπίπτει με την αποσύνθεσή του σε πρώτους παράγοντες) και 143=11·13.

Για να βρείτε το LCM αυτών των αριθμών, στους συντελεστές του πρώτου αριθμού 84 (είναι 2, 2, 3 και 7), πρέπει να προσθέσετε τους παράγοντες που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού 6. Η αποσύνθεση του αριθμού 6 δεν περιέχει παράγοντες που λείπουν, αφού και το 2 και το 3 είναι ήδη παρόντα στην αποσύνθεση του πρώτου αριθμού 84. Στη συνέχεια, στους παράγοντες 2, 2, 3 και 7 προσθέτουμε τους παράγοντες 2 και 2 που λείπουν από την επέκταση του τρίτου αριθμού 48, παίρνουμε ένα σύνολο παραγόντων 2, 2, 2, 2, 3 και 7. Δεν θα χρειαστεί να προσθέσετε πολλαπλασιαστές σε αυτό το σύνολο στο επόμενο βήμα, καθώς το 7 περιέχεται ήδη σε αυτό. Τέλος, στους παράγοντες 2, 2, 2, 2, 3 και 7 προσθέτουμε τους συντελεστές 11 και 13 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 143. Παίρνουμε το γινόμενο 2·2·2·2·3·7·11·13, που ισούται με 48.048.

Ας εξετάσουμε την επίλυση του παρακάτω προβλήματος. Το βήμα του αγοριού είναι 75 εκατοστά και το βήμα του κοριτσιού είναι 60 εκατοστά. Είναι απαραίτητο να βρείτε τη μικρότερη απόσταση στην οποία κάνουν και οι δύο έναν ακέραιο αριθμό βημάτων.

Λύση.Ολόκληρη η διαδρομή που θα διανύσουν τα παιδιά πρέπει να διαιρείται με το 60 και το 70, αφού το καθένα πρέπει να κάνει έναν ακέραιο αριθμό βημάτων. Με άλλα λόγια, η απάντηση πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 75 και του 60.

Αρχικά, θα γράψουμε όλα τα πολλαπλάσια του αριθμού 75. Παίρνουμε:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Τώρα ας γράψουμε τους αριθμούς που θα είναι πολλαπλάσιοι του 60. Παίρνουμε:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Τώρα βρίσκουμε τους αριθμούς που βρίσκονται και στις δύο σειρές.

• Τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών θα ήταν 300, 600, κ.λπ.

Ο μικρότερος από αυτούς είναι ο αριθμός 300. Σε αυτή την περίπτωση, θα ονομάζεται το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 75 και 60.

Επιστρέφοντας στην κατάσταση του προβλήματος, η μικρότερη απόσταση στην οποία τα αγόρια θα κάνουν έναν ακέραιο αριθμό βημάτων θα είναι 300 cm Το αγόρι θα καλύψει αυτό το μονοπάτι σε 4 βήματα και το κορίτσι θα χρειαστεί να κάνει 5 βήματα.

Προσδιορισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλού

• Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο φυσικών αριθμών a και b είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο τόσο του a όσο και του b.

Για να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών, δεν είναι απαραίτητο να γράψετε όλα τα πολλαπλάσια αυτών των αριθμών στη σειρά.

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη μέθοδο.

Πώς να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο

Πρώτα πρέπει να συνυπολογίσετε αυτούς τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Ας γράψουμε τώρα όλους τους παράγοντες που βρίσκονται στην επέκταση του πρώτου αριθμού (2,2,3,5) και ας προσθέσουμε σε αυτόν όλους τους παράγοντες που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού (5).

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε μια σειρά από πρώτους αριθμούς: 2,2,3,5,5. Το γινόμενο αυτών των αριθμών θα είναι ο λιγότερο κοινός παράγοντας για αυτούς τους αριθμούς. 2*2*3*5*5 = 300.

Γενικό σχήμα για την εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου

• 1. Διαιρέστε τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.
• 2. Γράψτε τους πρώτους παράγοντες που αποτελούν μέρος ενός από αυτούς.
• 3. Προσθέστε σε αυτούς τους παράγοντες όλα αυτά που βρίσκονται στην επέκταση των άλλων, αλλά όχι στον επιλεγμένο.
• 4. Βρείτε το γινόμενο όλων των παραγόντων που καταγράφονται.

Αυτή η μέθοδος είναι καθολική. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρει το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο οποιουδήποτε αριθμού φυσικών αριθμών.

Για να κατανοήσετε πώς να υπολογίσετε το LCM, πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε την έννοια του όρου "πολλαπλά".

Ένα πολλαπλάσιο του Α είναι ένας φυσικός αριθμός που διαιρείται με τον Α χωρίς υπόλοιπο Έτσι, αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 5 μπορούν να θεωρηθούν 15, 20, 25 κ.ο.κ.

Μπορεί να υπάρχει περιορισμένος αριθμός διαιρετών ενός συγκεκριμένου αριθμού, αλλά υπάρχει ένας άπειρος αριθμός πολλαπλασίων.

Κοινό πολλαπλάσιο φυσικών αριθμών είναι ένας αριθμός που διαιρείται με αυτούς χωρίς να αφήνει υπόλοιπο.

Πώς να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) αριθμών (δύο, τρεις ή περισσότεροι) είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται με όλους αυτούς τους αριθμούς.

Για να βρείτε το LOC, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διάφορες μεθόδους.

Για μικρούς αριθμούς, είναι βολικό να γράψετε όλα τα πολλαπλάσια αυτών των αριθμών σε μια γραμμή μέχρι να βρείτε κάτι κοινό μεταξύ τους. Τα πολλαπλάσια συμβολίζονται με το κεφαλαίο γράμμα Κ.

Για παράδειγμα, πολλαπλάσια του 4 μπορούν να γραφτούν ως εξής:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Έτσι, μπορείτε να δείτε ότι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 4 και 6 είναι ο αριθμός 24. Αυτή η σημείωση γίνεται ως εξής:

LCM(4, 6) = 24

Εάν οι αριθμοί είναι μεγάλοι, βρείτε το κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών, τότε είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσετε μια άλλη μέθοδο υπολογισμού του LCM.

Για να ολοκληρώσετε την εργασία, πρέπει να συνυπολογίσετε τους δεδομένους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

Πρώτα πρέπει να γράψετε την αποσύνθεση του μεγαλύτερου αριθμού σε μια γραμμή και κάτω από αυτήν - τα υπόλοιπα.

Η αποσύνθεση κάθε αριθμού μπορεί να περιέχει διαφορετικό αριθμό παραγόντων.

Για παράδειγμα, ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 50 και 20 σε πρώτους παράγοντες.

Στην επέκταση του μικρότερου αριθμού, θα πρέπει να επισημάνετε τους παράγοντες που λείπουν από την επέκταση του πρώτου μεγαλύτερου αριθμού και στη συνέχεια να τους προσθέσετε σε αυτόν. Στο παράδειγμα που παρουσιάζεται, λείπει ένα δύο.

Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 20 και του 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Έτσι, το γινόμενο των πρώτων παραγόντων του μεγαλύτερου αριθμού και των παραγόντων του δεύτερου αριθμού που δεν συμπεριλήφθηκαν στην επέκταση του μεγαλύτερου αριθμού θα είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

Για να βρείτε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών, θα πρέπει να τους συνυπολογίσετε όλους σε πρώτους παράγοντες, όπως στην προηγούμενη περίπτωση.

Για παράδειγμα, μπορείτε να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Έτσι, μόνο δύο δύο από την επέκταση του δεκαέξι δεν συμπεριλήφθηκαν στην παραγοντοποίηση ενός μεγαλύτερου αριθμού (το ένα είναι στην επέκταση του είκοσι τεσσάρων).

Έτσι, πρέπει να προστεθούν στην επέκταση ενός μεγαλύτερου αριθμού.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις προσδιορισμού του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου. Έτσι, εάν ένας από τους αριθμούς μπορεί να διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο με έναν άλλο, τότε ο μεγαλύτερος από αυτούς τους αριθμούς θα είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο.

Για παράδειγμα, το LCM των δώδεκα και είκοσι τεσσάρων είναι είκοσι τέσσερα.

Εάν είναι απαραίτητο να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο συμπρώτων αριθμών που δεν έχουν ίδιους διαιρέτες, τότε το LCM τους θα είναι ίσο με το γινόμενο τους.

Για παράδειγμα, LCM (10, 11) = 110.