Στη συνέχεια παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση. Ρίζες τετραγωνικής εξίσωσης
Τετραγωνικές εξισώσεις. Διακριτικός. Λύση, παραδείγματα.
Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)
Τύποι τετραγωνικών εξισώσεων
Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση; Πώς μοιάζει; Σε όρο τετραγωνική εξίσωσηη λέξη κλειδί είναι "πλατεία".Αυτό σημαίνει ότι στην εξίσωση Αναγκαίωςπρέπει να υπάρχει ένα x τετράγωνο. Επιπλέον, η εξίσωση μπορεί (ή μπορεί και όχι!) να περιέχει μόνο Χ (στην πρώτη δύναμη) και μόνο έναν αριθμό (ελεύθερο μέλος).Και δεν πρέπει να υπάρχουν Χ σε ισχύ μεγαλύτερη από δύο.
Σε μαθηματικούς όρους, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής:
Εδώ α, β και γ- κάποιοι αριθμοί. β και γ- απολύτως οποιαδήποτε, αλλά ΕΝΑ– οτιδήποτε άλλο εκτός από το μηδέν. Για παράδειγμα:
Εδώ ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο = -4
Εδώ ΕΝΑ =2; σι = -0,5; ντο = 2,2
Εδώ ΕΝΑ =-3; σι = 6; ντο = -18
Λοιπόν, καταλαβαίνεις...
Σε αυτές τις τετραγωνικές εξισώσεις στα αριστερά υπάρχει πλήρες σετμέλη. X σε τετράγωνο με συντελεστή ΕΝΑ, x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή σιΚαι ελεύθερο μέλος s.
Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις ονομάζονται γεμάτος.
Τι κι αν σι= 0, τι παίρνουμε; έχουμε Το Χ θα χαθεί στην πρώτη δύναμη.Αυτό συμβαίνει όταν πολλαπλασιάζεται με το μηδέν.) Αποδεικνύεται, για παράδειγμα:
5x 2 -25 = 0,
2x 2 -6x=0,
-x 2 +4x=0
Και τα λοιπά. Και αν και οι δύο συντελεστές σιΚαι ντοείναι ίσα με μηδέν, τότε είναι ακόμα πιο απλό:
2x 2 =0,
-0,3x 2 =0
Τέτοιες εξισώσεις όπου κάτι λείπει ονομάζονται ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.Κάτι που είναι αρκετά λογικό.) Σημειώστε ότι το x τετράγωνο υπάρχει σε όλες τις εξισώσεις.
Με την ευκαιρία, γιατί ΕΝΑδεν μπορεί να είναι ίσο με μηδέν; Και αντικαθιστάς ΕΝΑμηδέν.) Το τετράγωνο του Χ θα εξαφανιστεί! Η εξίσωση θα γίνει γραμμική. Και η λύση είναι τελείως διαφορετική...
Αυτοί είναι όλοι οι κύριοι τύποι τετραγωνικών εξισώσεων. Πλήρης και ελλιπής.
Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.
Επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων.
Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι εύκολο να λυθούν. Σύμφωνα με τύπους και σαφείς, απλούς κανόνες. Στο πρώτο στάδιο, είναι απαραίτητο να φέρετε τη δεδομένη εξίσωση σε μια τυπική μορφή, δηλ. στη φόρμα:
Εάν η εξίσωση σας έχει ήδη δοθεί σε αυτήν τη μορφή, δεν χρειάζεται να κάνετε το πρώτο στάδιο.) Το κύριο πράγμα είναι να προσδιορίσετε σωστά όλους τους συντελεστές, ΕΝΑ, σιΚαι ντο.
Ο τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:
Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διακριτική. Περισσότερα για αυτόν όμως παρακάτω. Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το X, χρησιμοποιούμε μόνο α, β και γ. Εκείνοι. συντελεστές από μια τετραγωνική εξίσωση. Απλώς αντικαταστήστε προσεκτικά τις τιμές α, β και γΥπολογίζουμε σε αυτόν τον τύπο. Ας αντικαταστήσουμε με τα δικά σου σημάδια! Για παράδειγμα, στην εξίσωση:
ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο= -4. Εδώ το γράφουμε:
Το παράδειγμα έχει σχεδόν λυθεί:
Αυτή είναι η απάντηση.
Είναι πολύ απλό. Και τι, πιστεύεις ότι είναι αδύνατο να κάνεις λάθος; Λοιπόν, ναι, πώς…
Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τις τιμές πρόσημου α, β και γ. Ή μάλλον, όχι με τα σημάδια τους (πού να μπερδευτείτε;), αλλά με την αντικατάσταση αρνητικών τιμών στον τύπο υπολογισμού των ριζών. Αυτό που βοηθά εδώ είναι μια λεπτομερής καταγραφή του τύπου με συγκεκριμένους αριθμούς. Εάν υπάρχουν προβλήματα με τους υπολογισμούς, κάνε αυτό!
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:
Εδώ ένα = -6; σι = -5; ντο = -1
Ας πούμε ότι γνωρίζετε ότι σπάνια λαμβάνετε απαντήσεις την πρώτη φορά.
Λοιπόν, μην είσαι τεμπέλης. Θα χρειαστούν περίπου 30 δευτερόλεπτα για να γράψετε μια επιπλέον γραμμή και τον αριθμό των σφαλμάτων θα μειωθεί απότομα. Γράφουμε λοιπόν αναλυτικά, με όλες τις αγκύλες και τα σημάδια:
Φαίνεται απίστευτα δύσκολο να γράψεις τόσο προσεκτικά. Αλλά μόνο έτσι φαίνεται. Δίνω μιά προσπάθεια. Λοιπόν, ή επιλέξτε. Τι καλύτερο, γρήγορο ή σωστό;
Άλλωστε θα σε κάνω χαρούμενο. Μετά από λίγο, δεν θα χρειαστεί να γράψετε τα πάντα τόσο προσεκτικά. Θα λειτουργήσει σωστά από μόνο του. Ειδικά αν χρησιμοποιείτε πρακτικές τεχνικές που περιγράφονται παρακάτω. Αυτό το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα μπορεί να λυθεί εύκολα και χωρίς λάθη!
Αλλά, συχνά, οι τετραγωνικές εξισώσεις φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό: Το αναγνωρίσατε;) Ναι! Αυτό.
ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις
Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων. α, β και γ.
Μπορούν επίσης να λυθούν χρησιμοποιώντας έναν γενικό τύπο. Απλά πρέπει να καταλάβετε σωστά τι ισούνται εδώ. Το έχεις καταλάβει; Στο πρώτο παράδειγμα a = 1; b = -4; ντοΕΝΑ ? Δεν είναι καθόλου εκεί! Λοιπόν ναι, έτσι είναι. Στα μαθηματικά αυτό σημαίνει ότι c = 0 ! Αυτό είναι όλο. Αντικαταστήστε το μηδέν στον τύποντο, και θα τα καταφέρουμε. Το ίδιο και το δεύτερο παράδειγμα. Μόνο που δεν έχουμε μηδέν εδώΜε σι !
, Α
Αλλά οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν πολύ πιο απλά. Χωρίς καμία φόρμουλα. Ας εξετάσουμε την πρώτη ημιτελή εξίσωση. Τι μπορείτε να κάνετε στην αριστερή πλευρά; Μπορείτε να βγάλετε το Χ από αγκύλες! Ας το βγάλουμε.
Τι από αυτό λοιπόν; Και το γεγονός ότι το γινόμενο ισούται με μηδέν αν και μόνο αν κάποιος από τους παράγοντες ισούται με μηδέν! Δεν με πιστεύεις; Εντάξει, τότε καταλήξτε σε δύο μη μηδενικούς αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δίνουν μηδέν!
Δεν λειτουργεί; Αυτό είναι... Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με σιγουριά:, x 1 = 0.
x 2 = 4 Ολοι. Αυτές θα είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας. Και τα δύο είναι κατάλληλα. Όταν αντικαθιστούμε οποιοδήποτε από αυτά στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε τη σωστή ταυτότητα 0 = 0. Όπως μπορείτε να δείτε, η λύση είναι πολύ πιο απλή από τη χρήση του γενικού τύπου. Επιτρέψτε μου να σημειώσω, παρεμπιπτόντως, ποιο Χ θα είναι το πρώτο και ποιο το δεύτερο - απολύτως αδιάφορο. Είναι βολικό να γράφεις με τη σειρά, x 1 - τι είναι μικρότερο και- αυτό που είναι μεγαλύτερο.
Η δεύτερη εξίσωση μπορεί επίσης να λυθεί απλά. Μετακινήστε το 9 στη δεξιά πλευρά. Παίρνουμε:
Το μόνο που μένει είναι να εξαγάγετε τη ρίζα από το 9, και αυτό είναι. Θα αποδειχθεί:
Επίσης δύο ρίζες . x 1 = -3, x 2 = 3.
Έτσι λύνονται όλες οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Είτε τοποθετώντας το Χ εκτός αγκύλων, είτε απλώς μετακινώντας τον αριθμό προς τα δεξιά και στη συνέχεια εξάγοντας τη ρίζα.
Είναι εξαιρετικά δύσκολο να συγχέουμε αυτές τις τεχνικές. Απλά γιατί στην πρώτη περίπτωση θα πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα του Χ, η οποία είναι κάπως ακατανόητη, και στη δεύτερη περίπτωση δεν υπάρχει τίποτα να βγάλετε από αγκύλες...
Διακριτικός. Διακριτική φόρμουλα.
Μαγική λέξη διακριτική ! Σπάνια μαθητής Λυκείου δεν έχει ακούσει αυτή τη λέξη! Η φράση «λύνουμε μέσω ενός διακριτικού» εμπνέει εμπιστοσύνη και σιγουριά. Γιατί δεν χρειάζεται να περιμένεις κόλπα από τον διακρίνοντα! Είναι απλό και χωρίς προβλήματα στη χρήση.) Σας υπενθυμίζω τον πιο γενικό τύπο επίλυσης κάθετετραγωνικές εξισώσεις:
Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διάκριση. Συνήθως η διάκριση υποδηλώνεται με το γράμμα ρε. Διακριτικός τύπος:
D = b 2 - 4ac
Και τι είναι τόσο αξιοσημείωτο σε αυτή την έκφραση; Γιατί άξιζε ένα ιδιαίτερο όνομα; Τι η έννοια του διακρινόμενου;Παρά όλα αυτά -σι,ή 2ασε αυτόν τον τύπο δεν το αποκαλούν συγκεκριμένα τίποτα... Γράμματα και γράμματα.
Εδώ είναι το θέμα. Κατά την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, είναι δυνατό μόνο τρεις περιπτώσεις.
1. Η διάκριση είναι θετική.Αυτό σημαίνει ότι η ρίζα μπορεί να εξαχθεί από αυτό. Το αν η ρίζα εξάγεται καλά ή κακώς είναι ένα άλλο ερώτημα. Σημασία έχει τι εξάγεται καταρχήν. Τότε η τετραγωνική εξίσωσή σας έχει δύο ρίζες. Δύο διαφορετικές λύσεις.
2. Η διάκριση είναι μηδέν.Τότε θα έχετε μία λύση. Αφού η πρόσθεση ή η αφαίρεση του μηδενός στον αριθμητή δεν αλλάζει τίποτα. Αυστηρά μιλώντας, αυτό δεν είναι μια ρίζα, αλλά δύο πανομοιότυπα. Αλλά, σε μια απλοποιημένη έκδοση, συνηθίζεται να μιλάμε μια λύση.
3. Η διάκριση είναι αρνητική.Η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν μπορεί να ληφθεί. Ω, καλά. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.
Για να είμαστε ειλικρινείς, όταν λύνουμε απλώς δευτεροβάθμιες εξισώσεις, η έννοια του διαχωριστή δεν χρειάζεται πραγματικά. Αντικαθιστούμε τις τιμές των συντελεστών στον τύπο και μετράμε. Όλα γίνονται εκεί από μόνα τους, δύο ρίζες, μία και καμία. Ωστόσο, κατά την επίλυση πιο σύνθετων εργασιών, χωρίς γνώση νόημα και τύπος της διάκρισηςδεν μπορώ να τα βγάλω πέρα. Ειδικά σε εξισώσεις με παραμέτρους. Τέτοιες εξισώσεις είναι ακροβατικές για την Κρατική Εξέταση και την Ενιαία Κρατική Εξέταση!)
Ετσι, πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσειςμέσα από τη διάκριση που θυμήθηκες. Ή μάθατε, κάτι που επίσης δεν είναι κακό.) Ξέρετε πώς να προσδιορίζετε σωστά α, β και γ. Ξέρετε πώς; προσεχτικάαντικαταστήστε τα στον τύπο της ρίζας και προσεχτικάμετρήστε το αποτέλεσμα. Καταλαβαίνετε ότι η λέξη κλειδί εδώ είναι προσεχτικά;
Τώρα σημειώστε τις πρακτικές τεχνικές που μειώνουν δραματικά τον αριθμό των σφαλμάτων. Τα ίδια που οφείλονται στην απροσεξία... Για τα οποία αργότερα γίνεται επώδυνο και προσβλητικό...
Πρώτο ραντεβού
. Μην είστε τεμπέλης πριν λύσετε μια εξίσωση του δευτεροβάθμιου βαθμού και φέρτε την σε τυπική μορφή. Τι σημαίνει αυτό;
Ας πούμε ότι μετά από όλους τους μετασχηματισμούς παίρνετε την ακόλουθη εξίσωση:
Μην βιαστείτε να γράψετε τον τύπο root! Σχεδόν σίγουρα θα μπερδέψετε τις πιθανότητες α, β και γ.Κατασκευάστε σωστά το παράδειγμα. Πρώτα, X τετράγωνο, μετά χωρίς τετράγωνο, μετά ο ελεύθερος όρος. Τοιουτοτροπώς:
Και πάλι, μην βιάζεστε! Ένα μείον μπροστά από ένα Χ στο τετράγωνο μπορεί πραγματικά να σας αναστατώσει. Ξεχνιέται εύκολα... Ξεφορτωθείτε το μείον. Πως; Ναι, όπως διδάχτηκε στο προηγούμενο θέμα! Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:
Αλλά τώρα μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια τον τύπο για τις ρίζες, να υπολογίσετε τη διάκριση και να ολοκληρώσετε την επίλυση του παραδείγματος. Αποφασίστε μόνοι σας.
Θα πρέπει τώρα να έχετε τις ρίζες 2 και -1. Υποδοχή δεύτερη. Ελέγξτε τις ρίζες! Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta. Μη φοβάσαι, θα τα εξηγήσω όλα! Ελεγχοςτελευταίος εξίσωση. Εκείνοι. αυτόν που χρησιμοποιήσαμε για να σημειώσουμε τον τύπο της ρίζας. Αν (όπως σε αυτό το παράδειγμα) ο συντελεστήςα = 1 , ο έλεγχος των ριζών είναι εύκολος. Αρκεί να τα πολλαπλασιάσουμε. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ένα ελεύθερο μέλος, δηλ. στην περίπτωσή μας -2. Παρακαλώ σημειώστε, όχι 2, αλλά -2! Δωρεάν μέλος με το ζώδιο σου
. Αν δεν τα καταφέρουν, σημαίνει ότι κάπου έχουν ήδη μπλέξει. Ψάξτε για το σφάλμα. σιΕάν λειτουργεί, πρέπει να προσθέσετε τις ρίζες. Τελευταίος και τελευταίος έλεγχος. Ο συντελεστής πρέπει να είναι Με
απέναντι σιοικείος. Στην περίπτωσή μας -1+2 = +1. Ένας συντελεστής
, που είναι πριν από το Χ, ισούται με -1. Λοιπόν, όλα είναι σωστά! Είναι κρίμα που αυτό είναι τόσο απλό μόνο για παραδείγματα όπου το x τετράγωνο είναι καθαρό, με συντελεστήα = 1.
Αλλά τουλάχιστον ελέγξτε σε τέτοιες εξισώσεις! Θα υπάρχουν όλο και λιγότερα λάθη. Τρίτη υποδοχή
. Εάν η εξίσωσή σας έχει κλασματικούς συντελεστές, απαλλαγείτε από τα κλάσματα! Πολλαπλασιάστε την εξίσωση με έναν κοινό παρονομαστή όπως περιγράφεται στο μάθημα "Πώς να λύσετε εξισώσεις; Μετασχηματισμοί ταυτότητας". Όταν εργάζεστε με κλάσματα, τα σφάλματα συνεχίζουν να εισχωρούν για κάποιο λόγο...
Παρεμπιπτόντως, υποσχέθηκα να απλοποιήσω το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα. Παρακαλώ! Εδώ είναι.
Για να μην μπερδευτούμε με τα πλην, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:
Αυτό είναι όλο! Η επίλυση είναι απόλαυση!
Λοιπόν, ας συνοψίσουμε το θέμα.
Πρακτικές συμβουλές: 1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση σε τυπική μορφή και την κατασκευάζουμε.
2. Αν υπάρχει αρνητικός συντελεστής μπροστά από το τετράγωνο του Χ, τον εξαλείφουμε πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με -1.
3. Αν οι συντελεστές είναι κλασματικοί, εξαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με τον αντίστοιχο παράγοντα.
4. Εάν το x τετράγωνο είναι καθαρό, ο συντελεστής του είναι ίσος με ένα, η λύση μπορεί εύκολα να επαληθευτεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Κάντε το!
Τώρα μπορούμε να αποφασίσουμε.)
Λύστε εξισώσεις:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Απαντήσεις (σε αταξία):
Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με σιγουριά:
x 2 = 5
x 1,2 =2
x 1 = 2
x 2 = -0,5
x - οποιοσδήποτε αριθμός
x 1 = -3
x 2 = 3
χωρίς λύσεις
x 1 = 0,25
x 2 = 0,5
Ταιριάζουν όλα; Μεγάλος! Οι τετραγωνικές εξισώσεις δεν είναι ο πονοκέφαλος σου. Τα τρία πρώτα λειτούργησαν, αλλά τα υπόλοιπα όχι; Τότε το πρόβλημα δεν είναι με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Το πρόβλημα είναι στους πανομοιότυπους μετασχηματισμούς των εξισώσεων. Ρίξτε μια ματιά στο σύνδεσμο, είναι χρήσιμο.
Δεν δουλεύει αρκετά; Ή δεν βγαίνει καθόλου; Στη συνέχεια, η Ενότητα 555 θα σας βοηθήσει. Όλα αυτά τα παραδείγματα αναλύονται εκεί. Εμφανίζεται κύριοςλάθη στη λύση. Φυσικά, μιλάμε και για τη χρήση πανομοιότυπων μετασχηματισμών στην επίλυση διαφόρων εξισώσεων. Βοηθάει πολύ!
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Ελπίζω ότι αφού μελετήσετε αυτό το άρθρο θα μάθετε πώς να βρείτε τις ρίζες μιας πλήρους τετραγωνικής εξίσωσης.
Χρησιμοποιώντας το διαχωριστικό, λύνονται μόνο πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις για την επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων.
Ποιες τετραγωνικές εξισώσεις ονομάζονται πλήρεις; Αυτό εξισώσεις της μορφής ax 2 + b x + c = 0, όπου οι συντελεστές a, b και c δεν είναι ίσοι με μηδέν. Έτσι, για να λύσουμε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση, πρέπει να υπολογίσουμε τη διάκριση D.
D = b 2 – 4ac.
Ανάλογα με την αξία του διακριτικού, θα γράψουμε την απάντηση.
Εάν η διάκριση είναι αρνητικός αριθμός (Δ< 0),то корней нет.
Εάν η διάκριση είναι μηδέν, τότε x = (-b)/2a. Όταν η διάκριση είναι θετικός αριθμός (D > 0),
τότε x 1 = (-b - √D)/2a, και x 2 = (-b + √D)/2a.
Για παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση - τι είναι μικρότερο και– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Απάντηση: 2.
Λύστε την εξίσωση 2 - τι είναι μικρότερο και + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Απάντηση: χωρίς ρίζες.
Λύστε την εξίσωση 2 - τι είναι μικρότερο και + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Απάντηση: – 3,5; 1.
Ας φανταστούμε λοιπόν τη λύση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το διάγραμμα στο Σχήμα 1.
Χρησιμοποιώντας αυτούς τους τύπους μπορείτε να λύσετε οποιαδήποτε πλήρη τετραγωνική εξίσωση. Απλά πρέπει να προσέξεις η εξίσωση γράφτηκε ως πολυώνυμο της τυπικής μορφής
ΕΝΑ - τι είναι μικρότερο και + bx + c,αλλιώς μπορεί να κάνεις λάθος. Για παράδειγμα, γράφοντας την εξίσωση x + 3 + 2x 2 = 0, μπορείτε κατά λάθος να αποφασίσετε ότι
a = 1, b = 3 και c = 2. Τότε
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 και τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Και αυτό δεν είναι αλήθεια. (Βλ. λύση στο παράδειγμα 2 παραπάνω).
Επομένως, εάν η εξίσωση δεν γραφτεί ως πολυώνυμο της τυπικής φόρμας, πρώτα η πλήρης τετραγωνική εξίσωση πρέπει να γραφεί ως πολυώνυμο της τυπικής μορφής (το μονώνυμο με τον μεγαλύτερο εκθέτη θα πρέπει να είναι πρώτο, δηλαδή ΕΝΑ - τι είναι μικρότερο και , μετά με λιγότερα – bxκαι μετά ελεύθερο μέλος Με.
Όταν λύνετε τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση και μια τετραγωνική εξίσωση με άρτιο συντελεστή στον δεύτερο όρο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε άλλους τύπους. Ας εξοικειωθούμε με αυτούς τους τύπους. Εάν σε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση ο δεύτερος όρος έχει άρτιο συντελεστή (b = 2k), τότε μπορείτε να λύσετε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα στο σχήμα 2.
Μια πλήρης τετραγωνική εξίσωση ονομάζεται ανηγμένη αν ο συντελεστής στο - τι είναι μικρότερο και ισούται με ένα και η εξίσωση παίρνει τη μορφή x 2 + px + q = 0. Μια τέτοια εξίσωση μπορεί να δοθεί για λύση ή μπορεί να ληφθεί διαιρώντας όλους τους συντελεστές της εξίσωσης με τον συντελεστή ΕΝΑ, στέκεται στο - τι είναι μικρότερο και .
Το σχήμα 3 δείχνει ένα διάγραμμα για την επίλυση του μειωμένου τετραγώνου 
εξισώσεις. Ας δούμε ένα παράδειγμα εφαρμογής των τύπων που συζητούνται σε αυτό το άρθρο.
Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση
3- τι είναι μικρότερο και + 6x – 6 = 0.
Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα στο σχήμα 1.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Απάντηση: –1 – √3; –1 + √3
Μπορείτε να παρατηρήσετε ότι ο συντελεστής x σε αυτή την εξίσωση είναι ένας ζυγός αριθμός, δηλαδή b = 6 ή b = 2k, από όπου k = 3. Στη συνέχεια, ας προσπαθήσουμε να λύσουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα του σχήματος D 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Απάντηση: –1 – √3; –1 + √3. Παρατηρώντας ότι όλοι οι συντελεστές σε αυτήν την τετραγωνική εξίσωση διαιρούνται με το 3 και πραγματοποιώντας τη διαίρεση, παίρνουμε τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση x 2 + 2x – 2 = 0 Λύστε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους για το ανηγμένο τετραγωνικό 
εξισώσεις σχήμα 3.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Απάντηση: –1 – √3; –1 + √3.
Όπως μπορείτε να δείτε, όταν λύναμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπους, λάβαμε την ίδια απάντηση. Επομένως, έχοντας κατακτήσει πλήρως τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα στο Σχήμα 1, θα είστε πάντα σε θέση να λύσετε οποιαδήποτε πλήρη εξίσωση του τετραγώνου.
ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.
Αγροτικό γυμνάσιο Kopyevskaya
10 τρόποι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων
Επικεφαλής: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
καθηγητής μαθηματικών
χωριό Κόπεβο, 2007
1. Ιστορία της ανάπτυξης των δευτεροβάθμιων εξισώσεων
1.1 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Αρχαία Βαβυλώνα
1.2 Πώς ο Διόφαντος συνέθεσε και έλυσε δευτεροβάθμιες εξισώσεις
1.3 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ινδία
1.4 Τετραγωνικές εξισώσεις του al-Khorezmi
1.5 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ευρώπη XIII - XVII αιώνες
1.6 Σχετικά με το θεώρημα του Vieta
2. Μέθοδοι επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων
Σύναψη
Λογοτεχνία
1. Ιστορία ανάπτυξης τετραγωνικών εξισώσεων
1.1 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Αρχαία Βαβυλώνα
Η ανάγκη επίλυσης εξισώσεων όχι μόνο πρώτου, αλλά και δεύτερου βαθμού, ακόμη και στην αρχαιότητα, προκλήθηκε από την ανάγκη επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με την εύρεση των χώρων των οικοπέδων και με ανασκαφικές εργασίες στρατιωτικού χαρακτήρα, καθώς και όπως και με την ανάπτυξη της ίδιας της αστρονομίας και των μαθηματικών. Οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούσαν να λυθούν γύρω στο 2000 π.Χ. μι. Βαβυλώνιοι.
Χρησιμοποιώντας τη σύγχρονη αλγεβρική σημειογραφία, μπορούμε να πούμε ότι στα σφηνοειδή κείμενά τους υπάρχουν, εκτός από τα ημιτελή, όπως, για παράδειγμα, πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις:
Χ 2 + Χ = ¾; Χ 2 - Χ = 14,5
Ο κανόνας για την επίλυση αυτών των εξισώσεων, που ορίζεται στα βαβυλωνιακά κείμενα, ουσιαστικά συμπίπτει με τον σύγχρονο, αλλά δεν είναι γνωστό πώς έφτασαν οι Βαβυλώνιοι σε αυτόν τον κανόνα. Σχεδόν όλα τα σφηνοειδή κείμενα που έχουν βρεθεί μέχρι στιγμής παρέχουν μόνο προβλήματα με λύσεις που παρουσιάζονται με τη μορφή συνταγών, χωρίς καμία ένδειξη για το πώς βρέθηκαν.
Παρά το υψηλό επίπεδο ανάπτυξης της άλγεβρας στη Βαβυλώνα, τα σφηνοειδή κείμενα στερούνται την έννοια του αρνητικού αριθμού και τις γενικές μεθόδους για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.
1.2 Πώς ο Διόφαντος συνέθεσε και έλυσε δευτεροβάθμιες εξισώσεις.
Η Αριθμητική του Διόφαντου δεν περιέχει συστηματική παρουσίαση της άλγεβρας, αλλά περιέχει μια συστηματική σειρά προβλημάτων, που συνοδεύονται από επεξηγήσεις και λύνονται με την κατασκευή εξισώσεων διαφόρων βαθμών.
Όταν συνθέτει εξισώσεις, ο Διόφαντος επιλέγει επιδέξια άγνωστα για να απλοποιήσει τη λύση.
Εδώ, για παράδειγμα, είναι ένα από τα καθήκοντά του.
Πρόβλημα 11.«Βρείτε δύο αριθμούς, γνωρίζοντας ότι το άθροισμά τους είναι 20 και το γινόμενο τους είναι 96»
Ο Διόφαντος αιτιολογεί ως εξής: από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι οι απαιτούμενοι αριθμοί δεν είναι ίσοι, αφού αν ήταν ίσοι, τότε το γινόμενο τους δεν θα ήταν ίσο με 96, αλλά με 100. Έτσι, ένας από αυτούς θα είναι μεγαλύτερος από το ήμισυ του αθροίσματος τους, δηλ. 10 + x, το άλλο είναι λιγότερο, δηλ. δεκαετία του 10. Η διαφορά μεταξύ τους 2x .
Εξ ου και η εξίσωση:
(10 + x) (10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Από εδώ x = 2. Ένας από τους απαιτούμενους αριθμούς είναι ίσος με 12 , άλλα 8 . Διάλυμα x = -2γιατί ο Διόφαντος δεν υπάρχει, αφού τα ελληνικά μαθηματικά γνώριζαν μόνο θετικούς αριθμούς.
Εάν λύσουμε αυτό το πρόβλημα επιλέγοντας έναν από τους απαιτούμενους αριθμούς ως άγνωστο, τότε θα καταλήξουμε σε μια λύση της εξίσωσης
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Είναι σαφές ότι επιλέγοντας τη μισή διαφορά των απαιτούμενων αριθμών ως άγνωστο, ο Διόφαντος απλοποιεί τη λύση. καταφέρνει να αναγάγει το πρόβλημα στην επίλυση μιας ημιτελούς δευτεροβάθμιας εξίσωσης (1).
1.3 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ινδία
Προβλήματα στις τετραγωνικές εξισώσεις βρίσκονται ήδη στην αστρονομική πραγματεία «Aryabhattiam», που συντάχθηκε το 499 από τον Ινδό μαθηματικό και αστρονόμο Aryabhatta. Ένας άλλος Ινδός επιστήμονας, ο Μπραμαγκούπτα (7ος αιώνας), περιέγραψε έναν γενικό κανόνα για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων που ανάγεται σε μια ενιαία κανονική μορφή:
αχ 2 + σι x = c, a > 0. (1)
Στην εξίσωση (1), οι συντελεστές, εκτός ΕΝΑ, μπορεί επίσης να είναι αρνητικό. Ο κανόνας του Brahmagupta είναι ουσιαστικά ο ίδιος με τον δικό μας.
Στην αρχαία Ινδία, οι δημόσιοι διαγωνισμοί για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων ήταν συνηθισμένοι. Ένα από τα παλιά ινδικά βιβλία λέει τα εξής για τέτοιους διαγωνισμούς: «Όπως ο ήλιος ξεπερνά τα αστέρια με τη λάμψη του, έτσι ένας λόγιος άνθρωπος θα ξεπεράσει τη δόξα του άλλου στις δημόσιες συνελεύσεις, προτείνοντας και λύνοντας αλγεβρικά προβλήματα». Τα προβλήματα παρουσιάζονταν συχνά σε ποιητική μορφή.
Αυτό είναι ένα από τα προβλήματα του διάσημου Ινδού μαθηματικού του 12ου αιώνα. Μπάσκαρ.
Πρόβλημα 13.
«Ένα κοπάδι από ζωηρές μαϊμούδες και δώδεκα κατά μήκος των κληματίδων...
Οι αρχές, έχοντας φάει, διασκέδασαν. Άρχισαν να πηδάνε, να κρέμονται...
Υπάρχουν στην πλατεία, μέρος όγδοο Πόσες μαϊμούδες ήταν εκεί;
Διασκέδαζα στο ξέφωτο. Πες μου, σε αυτό το πακέτο;
Η λύση του Bhaskara δείχνει ότι γνώριζε ότι οι ρίζες των τετραγωνικών εξισώσεων έχουν δύο τιμές (Εικ. 3).
Η εξίσωση που αντιστοιχεί στο πρόβλημα 13 είναι:
( x /8) 2 + 12 = x
Ο Bhaskara γράφει υπό το πρόσχημα:
x 2 - 64x = -768
και, για να συμπληρώσετε την αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης σε τετράγωνο, προσθέτει και στις δύο πλευρές 32 2 , στη συνέχεια παίρνοντας:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Τετραγωνικές εξισώσεις στο al - Khorezmi
Στην αλγεβρική πραγματεία του al-Khorezmi, δίνεται μια ταξινόμηση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Ο συγγραφέας μετράει 6 τύπους εξισώσεων, εκφράζοντας τους ως εξής:
1) «Τα τετράγωνα είναι ίσα με τις ρίζες», δηλ. τσεκούρι 2 + γ = σι Χ.
2) «Τα τετράγωνα είναι ίσα με αριθμούς», δηλ. τσεκούρι 2 = γ.
3) «Οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό», δηλ. αχ = s.
4) «Τα τετράγωνα και οι αριθμοί είναι ίσοι με τις ρίζες», δηλ. τσεκούρι 2 + γ = σι Χ.
5) «Τα τετράγωνα και οι ρίζες ισούνται με αριθμούς», δηλ. αχ 2 + bx = s.
6) «Οι ρίζες και οι αριθμοί είναι ίσοι με τετράγωνα», δηλ. bx + c = τσεκούρι 2 .
Για τον al-Khorezmi, ο οποίος απέφυγε τη χρήση αρνητικών αριθμών, οι όροι καθεμιάς από αυτές τις εξισώσεις είναι προσθέσεις και όχι αφαιρέσιμοι. Στην περίπτωση αυτή προφανώς δεν λαμβάνονται υπόψη εξισώσεις που δεν έχουν θετικές λύσεις. Ο συγγραφέας παρουσιάζει μεθόδους για την επίλυση αυτών των εξισώσεων χρησιμοποιώντας τις τεχνικές του al-jabr και του al-muqabala. Οι αποφάσεις του, φυσικά, δεν συμπίπτουν απόλυτα με τις δικές μας. Για να μην αναφέρουμε ότι είναι καθαρά ρητορικό, θα πρέπει να σημειωθεί, για παράδειγμα, ότι όταν λύνουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση πρώτου τύπου
Ο al-Khorezmi, όπως όλοι οι μαθηματικοί πριν από τον 17ο αιώνα, δεν λαμβάνει υπόψη τη μηδενική λύση, πιθανώς επειδή σε συγκεκριμένα πρακτικά προβλήματα δεν έχει σημασία. Όταν λύνει πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις, ο al-Khorezmi καθορίζει τους κανόνες για την επίλυσή τους χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα αριθμητικά παραδείγματα και στη συνέχεια γεωμετρικές αποδείξεις.
Πρόβλημα 14.«Το τετράγωνο και ο αριθμός 21 είναι ίσοι με 10 ρίζες. Βρες τη ρίζα" (υποδηλώνει τη ρίζα της εξίσωσης x 2 + 21 = 10x).
Η λύση του συγγραφέα έχει κάπως έτσι: διαιρέστε τον αριθμό των ριζών στο μισό, παίρνετε 5, πολλαπλασιάζετε 5 με τον εαυτό του, αφαιρείτε 21 από το γινόμενο, αυτό που μένει είναι 4. Πάρτε τη ρίζα από το 4, παίρνετε 2. Αφαιρέστε 2 από 5 , παίρνετε 3, αυτή θα είναι η επιθυμητή ρίζα. Ή προσθέστε το 2 στο 5, που δίνει 7, αυτό είναι επίσης μια ρίζα.
Η πραγματεία του al-Khorezmi είναι το πρώτο βιβλίο που έφτασε σε εμάς, το οποίο εκθέτει συστηματικά την ταξινόμηση των τετραγωνικών εξισώσεων και δίνει τύπους για τη λύση τους.
1.5 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ευρώπη XIII - XVII ΒΒ
Οι τύποι για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων κατά τις γραμμές του al-Khorezmi στην Ευρώπη παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά στο Βιβλίο του Άβακα, που γράφτηκε το 1202 από τον Ιταλό μαθηματικό Λεονάρντο Φιμπονάτσι. Αυτό το ογκώδες έργο, που αντανακλά την επίδραση των μαθηματικών, τόσο από τις χώρες του Ισλάμ όσο και από την αρχαία Ελλάδα, διακρίνεται για την πληρότητα και τη σαφήνεια παρουσίασής του. Ο συγγραφέας ανέπτυξε ανεξάρτητα μερικά νέα αλγεβρικά παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων και ήταν ο πρώτος στην Ευρώπη που προσέγγισε την εισαγωγή αρνητικών αριθμών. Το βιβλίο του συνέβαλε στη διάδοση της αλγεβρικής γνώσης όχι μόνο στην Ιταλία, αλλά και στη Γερμανία, τη Γαλλία και άλλες ευρωπαϊκές χώρες. Πολλά προβλήματα από το Βιβλίο του Άβακα χρησιμοποιήθηκαν σχεδόν σε όλα τα ευρωπαϊκά εγχειρίδια του 16ου - 17ου αιώνα. και εν μέρει XVIII.
Ο γενικός κανόνας για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων που ανάγεται σε μια ενιαία κανονική μορφή:
x 2 + bx = γ,
για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς προσώπων συντελεστών σι , και θα τα καταφέρουμε. Το ίδιο και το δεύτερο παράδειγμα. Μόνο που δεν έχουμε μηδέν εδώδιατυπώθηκε στην Ευρώπη μόλις το 1544 από τον M. Stiefel.
Η εξαγωγή του τύπου για την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης σε γενική μορφή είναι διαθέσιμη από το Vieth, αλλά ο Vieth αναγνώρισε μόνο θετικές ρίζες. Οι Ιταλοί μαθηματικοί Tartaglia, Cardano, Bombelli ήταν από τους πρώτους τον 16ο αιώνα. Εκτός από τα θετικά, λαμβάνονται υπόψη και οι αρνητικές ρίζες. Μόλις τον 17ο αιώνα. Χάρη στο έργο των Girard, Descartes, Newton και άλλων επιστημόνων, η μέθοδος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων παίρνει μια σύγχρονη μορφή.
1.6 Σχετικά με το θεώρημα του Vieta
Το θεώρημα που εκφράζει τη σχέση μεταξύ των συντελεστών μιας τετραγωνικής εξίσωσης και των ριζών της, που πήρε το όνομά της από τον Βιέτα, διατυπώθηκε από τον ίδιο για πρώτη φορά το 1591 ως εξής: «Αν σι + ρε, πολλαπλασιαζόμενο επί ΕΝΑ - ΕΝΑ 2 , ίσον BD, Αυτό ΕΝΑισοδυναμεί ΣΕκαι ίσοι ρε ».
Για να καταλάβουμε τον Βιέτα, θα πρέπει να το θυμόμαστε αυτό ΕΝΑ, όπως κάθε φωνήεν γράμμα, σήμαινε το άγνωστο (μας Χ), φωνήεντα ΣΕ, ρε- συντελεστές για το άγνωστο. Στη γλώσσα της σύγχρονης άλγεβρας, η παραπάνω διατύπωση Vieta σημαίνει: αν υπάρχει
(α + σι )x - x 2 = αβ ,
x 2 - (a + σι )x + α σι = 0,
x 1 = a, x 2 = σι .
Εκφράζοντας τη σχέση μεταξύ των ριζών και των συντελεστών των εξισώσεων με γενικούς τύπους που γράφτηκαν χρησιμοποιώντας σύμβολα, ο Viète καθιέρωσε ομοιομορφία στις μεθόδους επίλυσης εξισώσεων. Ωστόσο, ο συμβολισμός του Βιέτ απέχει ακόμα πολύ από τη σύγχρονη μορφή του. Δεν αναγνώριζε αρνητικούς αριθμούς και ως εκ τούτου, όταν έλυνε εξισώσεις, θεωρούσε μόνο περιπτώσεις όπου όλες οι ρίζες ήταν θετικές.
2. Μέθοδοι επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων
Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι το θεμέλιο πάνω στο οποίο στηρίζεται το μεγαλειώδες οικοδόμημα της άλγεβρας. Οι τετραγωνικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται ευρέως για την επίλυση τριγωνομετρικών, εκθετικών, λογαριθμικών, παράλογων και υπερβατικών εξισώσεων και ανισώσεων. Όλοι ξέρουμε πώς να λύνουμε δευτεροβάθμιες εξισώσεις από το σχολείο (8η τάξη) μέχρι την αποφοίτηση.
Οι τετραγωνικές εξισώσεις εμφανίζονται συχνά κατά την επίλυση διαφόρων προβλημάτων στη φυσική και στα μαθηματικά. Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε πώς να λύσουμε αυτές τις ισότητες με καθολικό τρόπο «μέσω ενός διακριτικού». Στο άρθρο δίνονται και παραδείγματα χρήσης της αποκτηθείσας γνώσης.
Για ποιες εξισώσεις θα μιλάμε;
Το παρακάτω σχήμα δείχνει έναν τύπο στον οποίο το x είναι μια άγνωστη μεταβλητή και τα λατινικά σύμβολα a, b, c αντιπροσωπεύουν κάποιους γνωστούς αριθμούς.
Κάθε ένα από αυτά τα σύμβολα ονομάζεται συντελεστής. Όπως μπορείτε να δείτε, ο αριθμός "a" εμφανίζεται πριν από τη μεταβλητή x στο τετράγωνο. Αυτή είναι η μέγιστη ισχύς της παράστασης που αναπαρίσταται, γι' αυτό ονομάζεται τετραγωνική εξίσωση. Το άλλο όνομά του χρησιμοποιείται συχνά: εξίσωση δεύτερης τάξης. Η ίδια η τιμή a είναι ένας τετράγωνος συντελεστής (που στέκεται με τη μεταβλητή στο τετράγωνο), το b είναι ένας γραμμικός συντελεστής (είναι δίπλα στη μεταβλητή ανυψωμένη στην πρώτη δύναμη) και τέλος, ο αριθμός c είναι ο ελεύθερος όρος.
Σημειώστε ότι ο τύπος της εξίσωσης που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα είναι μια γενική κλασική τετραγωνική έκφραση. Εκτός από αυτό, υπάρχουν και άλλες εξισώσεις δεύτερης τάξης στις οποίες οι συντελεστές b και c μπορεί να είναι μηδέν.
Όταν η εργασία έχει οριστεί να λύσει την εν λόγω ισότητα, αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθούν τέτοιες τιμές της μεταβλητής x που θα την ικανοποιούσαν. Εδώ, το πρώτο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι το εξής: αφού ο μέγιστος βαθμός του Χ είναι 2, τότε αυτός ο τύπος έκφρασης δεν μπορεί να έχει περισσότερες από 2 λύσεις. Αυτό σημαίνει ότι εάν, κατά την επίλυση μιας εξίσωσης, βρέθηκαν 2 τιμές του x που την ικανοποιούν, τότε μπορείτε να είστε σίγουροι ότι δεν υπάρχει 3ος αριθμός, αντικαθιστώντας τον με x, η ισότητα θα ήταν επίσης αληθής. Οι λύσεις μιας εξίσωσης στα μαθηματικά ονομάζονται ρίζες της.
Μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων δεύτερης τάξης
Η επίλυση εξισώσεων αυτού του τύπου απαιτεί γνώση κάποιας θεωρίας σχετικά με αυτές. Στο μάθημα της σχολικής άλγεβρας εξετάζονται 4 διαφορετικές μέθοδοι επίλυσης. Ας τις απαριθμήσουμε:
- χρησιμοποιώντας παραγοντοποίηση?
- χρησιμοποιώντας τον τύπο για τέλειο τετράγωνο.
- εφαρμόζοντας το γράφημα της αντίστοιχης τετραγωνικής συνάρτησης.
- χρησιμοποιώντας την εξίσωση διάκρισης.
Το πλεονέκτημα της πρώτης μεθόδου είναι η απλότητά της, ωστόσο, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για όλες τις εξισώσεις. Η δεύτερη μέθοδος είναι καθολική, αλλά κάπως επίπονη. Η τρίτη μέθοδος διακρίνεται από τη σαφήνειά της, αλλά δεν είναι πάντα βολική και εφαρμόσιμη. Και τέλος, η χρήση της εξίσωσης διάκρισης είναι ένας καθολικός και αρκετά απλός τρόπος για να βρείτε τις ρίζες κάθε απολύτως εξίσωσης δεύτερης τάξης. Επομένως, σε αυτό το άρθρο θα το εξετάσουμε μόνο.
Τύπος για τη λήψη των ριζών της εξίσωσης
Ας στραφούμε στη γενική μορφή της τετραγωνικής εξίσωσης. Ας το γράψουμε: a*x²+ b*x + c =0. Πριν χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο επίλυσής του "μέσω ενός διαχωριστικού", θα πρέπει πάντα να φέρετε την ισότητα στη γραπτή της μορφή. Δηλαδή, πρέπει να αποτελείται από τρεις όρους (ή λιγότερους αν το b ή το c είναι 0).
Για παράδειγμα, εάν υπάρχει μια παράσταση: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², τότε θα πρέπει πρώτα να μετακινήσετε όλους τους όρους της στη μία πλευρά της ισότητας και να προσθέσετε τους όρους που περιέχουν τη μεταβλητή x στο ίδιες εξουσίες.
Σε αυτήν την περίπτωση, αυτή η πράξη θα οδηγήσει στην ακόλουθη έκφραση: -6*x²-4*x+8=0, η οποία ισοδυναμεί με την εξίσωση 6*x²+4*x-8=0 (εδώ πολλαπλασιάσαμε το αριστερό και δεξιές πλευρές της ισότητας κατά -1) .
Στο παραπάνω παράδειγμα, a = 6, b=4, c=-8. Σημειώστε ότι όλοι οι όροι της υπό εξέταση ισότητας αθροίζονται πάντα μαζί, οπότε αν εμφανιστεί το σύμβολο «-», αυτό σημαίνει ότι ο αντίστοιχος συντελεστής είναι αρνητικός, όπως ο αριθμός c σε αυτήν την περίπτωση.
Έχοντας εξετάσει αυτό το σημείο, ας προχωρήσουμε τώρα στον ίδιο τον τύπο, ο οποίος καθιστά δυνατή τη λήψη των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Μοιάζει με αυτό που φαίνεται στην παρακάτω φωτογραφία.
Όπως φαίνεται από αυτή την έκφραση, σας επιτρέπει να αποκτήσετε δύο ρίζες (δώστε προσοχή στο σύμβολο "±"). Για να γίνει αυτό, αρκεί να αντικαταστήσετε τους συντελεστές b, c και a σε αυτό.
Η έννοια του διακριτικού
Στην προηγούμενη παράγραφο, δόθηκε ένας τύπος που σας επιτρέπει να λύσετε γρήγορα οποιαδήποτε εξίσωση δεύτερης τάξης. Σε αυτήν, η ριζική έκφραση ονομάζεται διάκριση, δηλαδή D = b²-4*a*c.
Γιατί επισημαίνεται αυτό το μέρος της φόρμουλας και γιατί έχει το δικό του όνομα; Το γεγονός είναι ότι ο διαχωριστής συνδέει και τους τρεις συντελεστές της εξίσωσης σε μία μόνο έκφραση. Το τελευταίο γεγονός σημαίνει ότι μεταφέρει πλήρως πληροφορίες σχετικά με τις ρίζες, οι οποίες μπορούν να εκφραστούν στην ακόλουθη λίστα:
- Δ>0: Η ισότητα έχει 2 διαφορετικές λύσεις, και οι δύο είναι πραγματικοί αριθμοί.
- D=0: Η εξίσωση έχει μόνο μία ρίζα, και είναι πραγματικός αριθμός.
Έργο προσδιορισμού διάκρισης
Ας δώσουμε ένα απλό παράδειγμα για το πώς να βρείτε ένα διακριτικό. Έστω η ακόλουθη ισότητα: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.
Ας το φέρουμε σε τυπική μορφή, παίρνουμε: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, από το οποίο καταλήγουμε στην ισότητα : -2*x² +2*x-11 = 0. Εδώ a=-2, b=2, c=-11.
Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον παραπάνω τύπο για τη διάκριση: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Ο αριθμός που προκύπτει είναι η απάντηση στην εργασία. Εφόσον η διάκριση στο παράδειγμα είναι μικρότερη από το μηδέν, μπορούμε να πούμε ότι αυτή η τετραγωνική εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Η λύση του θα είναι μόνο αριθμοί μιγαδικού τύπου.
Παράδειγμα ανισότητας μέσω ενός διακριτικού
Ας λύσουμε προβλήματα ενός ελαφρώς διαφορετικού τύπου: δεδομένης της ισότητας -3*x²-6*x+c = 0. Είναι απαραίτητο να βρούμε τιμές του c για τις οποίες D>0.
Σε αυτήν την περίπτωση, μόνο 2 στους 3 συντελεστές είναι γνωστοί, επομένως δεν είναι δυνατός ο υπολογισμός της ακριβούς τιμής του διαχωριστή, αλλά είναι γνωστό ότι είναι θετικός. Χρησιμοποιούμε το τελευταίο γεγονός όταν συνθέτουμε την ανίσωση: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Η επίλυση της ανισότητας που προκύπτει οδηγεί στο αποτέλεσμα: c>-3.
Ας ελέγξουμε τον αριθμό που προκύπτει. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε το D για 2 περιπτώσεις: c=-2 και c=-4. Ο αριθμός -2 ικανοποιεί το ληφθέν αποτέλεσμα (-2>-3), ο αντίστοιχος διαχωριστής θα έχει την τιμή: D = 12>0. Με τη σειρά του, ο αριθμός -4 δεν ικανοποιεί την ανίσωση (-4. Έτσι, όποιοι αριθμοί c είναι μεγαλύτεροι από -3 θα ικανοποιούν την συνθήκη.
Παράδειγμα επίλυσης εξίσωσης
Ας παρουσιάσουμε ένα πρόβλημα που περιλαμβάνει όχι μόνο την εύρεση του διαχωριστή, αλλά και την επίλυση της εξίσωσης. Είναι απαραίτητο να βρούμε τις ρίζες για την ισότητα -2*x²+7-9*x = 0.
Σε αυτό το παράδειγμα, η διάκριση ισούται με την ακόλουθη τιμή: D = 81-4*(-2)*7= 137. Τότε οι ρίζες της εξίσωσης προσδιορίζονται ως εξής: x = (9±√137)/(- 4). Αυτές είναι οι ακριβείς τιμές των ριζών, αν υπολογίσετε τη ρίζα κατά προσέγγιση, τότε λαμβάνετε τους αριθμούς: x = -5,176 και x = 0,676.
Γεωμετρικό πρόβλημα
Ας λύσουμε ένα πρόβλημα που θα απαιτεί όχι μόνο την ικανότητα υπολογισμού της διάκρισης, αλλά και τη χρήση δεξιοτήτων αφηρημένης σκέψης και γνώσης για το πώς να γράφονται οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις.
Ο Μπομπ είχε ένα πάπλωμα 5 x 4 μέτρων. Το αγόρι ήθελε να του ράψει μια συνεχόμενη λωρίδα από όμορφο ύφασμα σε όλη την περίμετρο. Πόσο παχιά θα είναι αυτή η λωρίδα αν γνωρίζουμε ότι ο Bob έχει 10 m² ύφασμα.
Αφήστε τη λωρίδα να έχει πάχος x m, τότε η περιοχή του υφάσματος κατά μήκος της μακριάς πλευράς της κουβέρτας θα είναι (5+2*x)*x, και αφού υπάρχουν 2 μακριές πλευρές, έχουμε: 2*x *(5+2*x). Στη κοντή πλευρά, το εμβαδόν του ραμμένου υφάσματος θα είναι 4*x, αφού υπάρχουν 2 από αυτές τις πλευρές, παίρνουμε την τιμή 8*x. Σημειώστε ότι η τιμή 2*x προστέθηκε στη μεγάλη πλευρά επειδή το μήκος της κουβέρτας αυξήθηκε κατά αυτόν τον αριθμό. Η συνολική επιφάνεια του υφάσματος που είναι ραμμένο στην κουβέρτα είναι 10 m². Επομένως, παίρνουμε την ισότητα: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.
Για αυτό το παράδειγμα, ο διαχωριστής ισούται με: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Η ρίζα του είναι 22. Χρησιμοποιώντας τον τύπο, βρίσκουμε τις απαιτούμενες ρίζες: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Προφανώς, από τις δύο ρίζες, μόνο ο αριθμός 0,5 είναι κατάλληλος σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος.
Έτσι, η λωρίδα υφάσματος που ράβει ο Μπομπ στην κουβέρτα του θα έχει πλάτος 50 εκατοστά.
Αυτό το θέμα μπορεί να φαίνεται περίπλοκο στην αρχή λόγω πολλών όχι και τόσο απλών τύπων. Όχι μόνο οι ίδιες οι τετραγωνικές εξισώσεις έχουν μακριές σημειώσεις, αλλά οι ρίζες βρίσκονται επίσης μέσω της διάκρισης. Συνολικά, λαμβάνονται τρεις νέοι τύποι. Δεν είναι πολύ εύκολο να θυμάστε. Αυτό είναι δυνατό μόνο μετά την επίλυση τέτοιων εξισώσεων συχνά. Τότε όλοι οι τύποι θα θυμούνται από μόνες τους.
Γενική άποψη τετραγωνικής εξίσωσης
Εδώ προτείνουμε τη ρητή σημείωση τους, όταν πρώτα γράφεται ο μεγαλύτερος βαθμός και μετά με φθίνουσα σειρά. Υπάρχουν συχνά περιπτώσεις όπου οι όροι είναι ασυνεπείς. Τότε είναι καλύτερα να ξαναγράψουμε την εξίσωση με φθίνουσα σειρά του βαθμού της μεταβλητής.
Ας εισάγουμε κάποια σημειογραφία. Παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα.
Εάν δεχθούμε αυτούς τους συμβολισμούς, όλες οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ανάγονται στον ακόλουθο συμβολισμό.
Επιπλέον, ο συντελεστής a ≠ 0. Ας οριστεί αυτός ο τύπος ως νούμερο ένα.
Όταν δίνεται μια εξίσωση, δεν είναι σαφές πόσες ρίζες θα υπάρχουν στην απάντηση. Επειδή μία από τις τρεις επιλογές είναι πάντα δυνατή:
- η λύση θα έχει δύο ρίζες.
- η απάντηση θα είναι ένας αριθμός.
- η εξίσωση δεν θα έχει καθόλου ρίζες.
Και μέχρι να οριστικοποιηθεί η απόφαση, είναι δύσκολο να καταλάβουμε ποια επιλογή θα εμφανιστεί σε μια συγκεκριμένη περίπτωση.
Είδη καταγραφών τετραγωνικών εξισώσεων
Μπορεί να υπάρχουν διαφορετικές καταχωρήσεις στις εργασίες. Δεν θα μοιάζουν πάντα με τον γενικό τύπο της τετραγωνικής εξίσωσης. Μερικές φορές θα λείπουν κάποιοι όροι. Αυτό που γράφτηκε παραπάνω είναι η πλήρης εξίσωση. Εάν αφαιρέσετε τον δεύτερο ή τον τρίτο όρο σε αυτό, θα λάβετε κάτι άλλο. Αυτές οι εγγραφές ονομάζονται επίσης τετραγωνικές εξισώσεις, μόνο ελλιπείς.
Επιπλέον, μόνο όροι με συντελεστές "b" και "c" μπορούν να εξαφανιστούν. Ο αριθμός "α" δεν μπορεί σε καμία περίπτωση να είναι ίσος με μηδέν. Γιατί σε αυτή την περίπτωση ο τύπος μετατρέπεται σε γραμμική εξίσωση. Οι τύποι για την ημιτελή μορφή εξισώσεων θα είναι οι εξής:
Έτσι, υπάρχουν μόνο δύο τύποι, εκτός από τους πλήρεις, υπάρχουν και ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Αφήστε τον πρώτο τύπο να είναι ο αριθμός δύο και ο δεύτερος - τρία.
Διάκριση και εξάρτηση του αριθμού των ριζών από την αξία του
Πρέπει να γνωρίζετε αυτόν τον αριθμό για να υπολογίσετε τις ρίζες της εξίσωσης. Μπορεί πάντα να υπολογιστεί, ανεξάρτητα από τον τύπο της τετραγωνικής εξίσωσης. Για να υπολογίσετε τη διάκριση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε την ισότητα που γράφεται παρακάτω, η οποία θα έχει τον αριθμό τέσσερα.
Αφού αντικαταστήσετε τις τιμές των συντελεστών σε αυτόν τον τύπο, μπορείτε να λάβετε αριθμούς με διαφορετικά πρόσημα. Εάν η απάντηση είναι ναι, τότε η απάντηση στην εξίσωση θα είναι δύο διαφορετικές ρίζες. Εάν ο αριθμός είναι αρνητικός, δεν θα υπάρχουν ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης. Αν είναι ίσο με μηδέν, θα υπάρχει μόνο μία απάντηση.
Πώς να λύσετε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση;
Μάλιστα, η εξέταση αυτού του θέματος έχει ήδη ξεκινήσει. Γιατί πρώτα πρέπει να βρεις έναν διακριτικό. Αφού διαπιστωθεί ότι υπάρχουν ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης και είναι γνωστός ο αριθμός τους, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τύπους για τις μεταβλητές. Εάν υπάρχουν δύο ρίζες, τότε πρέπει να εφαρμόσετε τον ακόλουθο τύπο.
Δεδομένου ότι περιέχει ένα σύμβολο "±", θα υπάρχουν δύο τιμές. Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας είναι η διάκριση. Επομένως, ο τύπος μπορεί να ξαναγραφτεί διαφορετικά.
Φόρμουλα νούμερο πέντε. Από την ίδια εγγραφή είναι ξεκάθαρο ότι αν η διάκριση είναι ίση με μηδέν, τότε και οι δύο ρίζες θα λάβουν τις ίδιες τιμές.
Εάν η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων δεν έχει ακόμη επεξεργαστεί, τότε είναι καλύτερο να γράψετε τις τιμές όλων των συντελεστών πριν εφαρμόσετε τους τύπους διάκρισης και μεταβλητής. Αργότερα αυτή η στιγμή δεν θα προκαλέσει δυσκολίες. Αλλά στην αρχή υπάρχει σύγχυση.
Πώς να λύσετε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση;
Όλα είναι πολύ πιο απλά εδώ. Δεν υπάρχει καν ανάγκη για πρόσθετους τύπους. Και αυτά που έχουν ήδη γραφτεί για τον διακρίνοντα και τον άγνωστο δεν θα χρειαστούν.
Αρχικά, ας δούμε την ημιτελή εξίσωση νούμερο δύο. Σε αυτή την ισότητα, είναι απαραίτητο να βγάλουμε την άγνωστη ποσότητα από αγκύλες και να λύσουμε τη γραμμική εξίσωση, η οποία θα παραμείνει σε αγκύλες. Η απάντηση θα έχει δύο ρίζες. Το πρώτο είναι απαραίτητα ίσο με μηδέν, γιατί υπάρχει ένας πολλαπλασιαστής που αποτελείται από την ίδια τη μεταβλητή. Το δεύτερο θα ληφθεί λύνοντας μια γραμμική εξίσωση.
Η ημιτελής εξίσωση αριθμός τρία λύνεται μετακινώντας τον αριθμό από την αριστερή πλευρά της ισότητας προς τα δεξιά. Στη συνέχεια, πρέπει να διαιρέσετε με τον συντελεστή που βλέπει το άγνωστο. Το μόνο που μένει είναι να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα και να θυμάστε να τη γράψετε δύο φορές με αντίθετα σημάδια.
Παρακάτω είναι μερικές ενέργειες που θα σας βοηθήσουν να μάθετε πώς να λύνετε κάθε είδους ισότητες που μετατρέπονται σε εξισώσεις δευτεροβάθμιας. Θα βοηθήσουν τον μαθητή να αποφύγει λάθη που οφείλονται σε απροσεξία. Αυτές οι ελλείψεις μπορεί να προκαλέσουν χαμηλούς βαθμούς κατά τη μελέτη του εκτενούς θέματος «Τετραγωνικές Εξισώσεις (Βαθμός 8).» Στη συνέχεια, αυτές οι ενέργειες δεν θα χρειάζεται να εκτελούνται συνεχώς. Γιατί θα εμφανιστεί μια σταθερή ικανότητα.
- Πρώτα πρέπει να γράψετε την εξίσωση σε τυπική μορφή. Δηλαδή, πρώτα ο όρος με τον μεγαλύτερο βαθμό της μεταβλητής και μετά - χωρίς βαθμό, και τελευταίος - μόνο ένας αριθμός.
- Εάν εμφανιστεί ένα μείον πριν από τον συντελεστή "a", μπορεί να περιπλέξει τη δουλειά για έναν αρχάριο που μελετά τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Είναι καλύτερα να το ξεφορτωθείς. Για το σκοπό αυτό, ολόκληρη η ισότητα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με "-1". Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι όροι θα αλλάξουν πρόσημο στο αντίθετο.
- Συνιστάται να απαλλαγείτε από τα κλάσματα με τον ίδιο τρόπο. Απλώς πολλαπλασιάστε την εξίσωση με τον κατάλληλο παράγοντα έτσι ώστε οι παρονομαστές να ακυρωθούν.
Παραδείγματα
Απαιτείται η επίλυση των ακόλουθων τετραγωνικών εξισώσεων:
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).
Η πρώτη εξίσωση: x 2 − 7x = 0. Είναι ελλιπής, επομένως λύνεται όπως περιγράφεται για τον τύπο δύο.
Αφού το βγάλετε από αγκύλες, προκύπτει: x (x - 7) = 0.
Η πρώτη ρίζα παίρνει την τιμή: x 1 = 0. Η δεύτερη θα βρεθεί από τη γραμμική εξίσωση: x - 7 = 0. Είναι εύκολο να δούμε ότι x 2 = 7.
Δεύτερη εξίσωση: 5x 2 + 30 = 0. Και πάλι ελλιπής. Μόνο που λύνεται όπως περιγράφεται για τον τρίτο τύπο.
Αφού μετακινήσετε το 30 στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης: 5x 2 = 30. Τώρα πρέπει να διαιρέσετε με το 5. Αποδεικνύεται: x 2 = 6. Οι απαντήσεις θα είναι οι αριθμοί: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Η τρίτη εξίσωση: 15 − 2x − x 2 = 0. Στη συνέχεια, η επίλυση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων θα ξεκινήσει ξαναγράφοντας τις σε τυπική μορφή: − x 2 − 2x + 15 = 0. Τώρα είναι ώρα να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη χρήσιμη συμβουλή και να πολλαπλασιάσετε τα πάντα με μείον ένα. Αποδεικνύεται x 2 + 2x - 15 = 0. Χρησιμοποιώντας τον τέταρτο τύπο, πρέπει να υπολογίσετε τη διάκριση: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Είναι θετικός αριθμός. Από όσα ειπώθηκαν παραπάνω, προκύπτει ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Πρέπει να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον πέμπτο τύπο. Αποδεικνύεται ότι x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Τότε x 1 = 3, x 2 = - 5.
Η τέταρτη εξίσωση x 2 + 8 + 3x = 0 μετατρέπεται σε αυτή: x 2 + 3x + 8 = 0. Η διάκρισή της είναι ίση με αυτήν την τιμή: -23. Δεδομένου ότι αυτός ο αριθμός είναι αρνητικός, η απάντηση σε αυτήν την εργασία θα είναι η ακόλουθη καταχώριση: "Δεν υπάρχουν ρίζες".
Η πέμπτη εξίσωση 12x + x 2 + 36 = 0 θα πρέπει να ξαναγραφτεί ως εξής: x 2 + 12x + 36 = 0. Μετά την εφαρμογή του τύπου για τη διάκριση, προκύπτει ο αριθμός μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι θα έχει μία ρίζα, δηλαδή: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Η έκτη εξίσωση (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) απαιτεί μετασχηματισμούς, οι οποίοι συνίστανται στο γεγονός ότι πρέπει να φέρετε παρόμοιους όρους, ανοίγοντας πρώτα τις αγκύλες. Στη θέση της πρώτης θα υπάρχει η ακόλουθη έκφραση: x 2 + 2x + 1. Μετά την ισότητα, θα εμφανιστεί αυτή η καταχώρηση: x 2 + 3x + 2. Αφού μετρηθούν παρόμοιοι όροι, η εξίσωση θα πάρει τη μορφή: x 2 - x = 0. Έχει γίνει ημιτελής . Κάτι παρόμοιο έχει ήδη συζητηθεί λίγο πιο πάνω. Οι ρίζες αυτού θα είναι οι αριθμοί 0 και 1.
