Έρευνα συναρτήσεων και αριθμομηχανή γραφημάτων. Πλήρης εξέταση της συνάρτησης και σχεδίαση του γραφήματος

Εάν το πρόβλημα απαιτεί πλήρη μελέτη της συνάρτησης f (x) = x 2 4 x 2 - 1 με την κατασκευή της γραφικής της παράστασης, τότε θα εξετάσουμε λεπτομερώς αυτήν την αρχή.

Για να λύσετε ένα πρόβλημα αυτού του τύπου, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες και τα γραφήματα βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Ο αλγόριθμος έρευνας περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Εύρεση του πεδίου ορισμού

Εφόσον διεξάγεται έρευνα στον τομέα ορισμού της συνάρτησης, είναι απαραίτητο να ξεκινήσουμε με αυτό το βήμα.

Παράδειγμα 1

Το συγκεκριμένο παράδειγμα περιλαμβάνει την εύρεση των μηδενικών του παρονομαστή προκειμένου να εξαιρεθούν από το ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Ως αποτέλεσμα, μπορείτε να λάβετε ρίζες, λογάριθμους και ούτω καθεξής. Στη συνέχεια, το ODZ μπορεί να αναζητηθεί για μια ρίζα ζυγού βαθμού του τύπου g (x) 4 με την ανισότητα g (x) ≥ 0, για τον λογάριθμο log a g (x) με την ανισότητα g (x) > 0.

Μελέτη των ορίων της ΟΔΖ και εύρεση κάθετων ασυμπτωμάτων

Υπάρχουν κάθετες ασύμπτωτες στα όρια της συνάρτησης, όταν τα μονόπλευρα όρια σε τέτοια σημεία είναι άπειρα.

Παράδειγμα 2

Για παράδειγμα, θεωρήστε τα σημεία συνόρων ίσα με x = ± 1 2.

Τότε είναι απαραίτητο να μελετηθεί η συνάρτηση για να βρεθεί το μονόπλευρο όριο. Τότε παίρνουμε ότι: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Αυτό δείχνει ότι τα μονόπλευρα όρια είναι άπειρα, πράγμα που σημαίνει ότι οι ευθείες x = ± 1 2 είναι οι κατακόρυφες ασύμπτωτες του γραφήματος.

Μελέτη μιας συνάρτησης και αν είναι άρτια ή περιττή

Όταν η συνθήκη y (- x) = y (x) ικανοποιείται, η συνάρτηση θεωρείται άρτια. Αυτό υποδηλώνει ότι το γράφημα βρίσκεται συμμετρικά σε σχέση με το Oy. Όταν η συνθήκη y (- x) = - y (x) ικανοποιείται, η συνάρτηση θεωρείται περιττή. Αυτό σημαίνει ότι η συμμετρία είναι σχετική με την αρχή των συντεταγμένων. Εάν τουλάχιστον μία ανισότητα δεν ικανοποιείται, λαμβάνουμε μια συνάρτηση γενικής μορφής.

Η ισότητα y (- x) = y (x) δείχνει ότι η συνάρτηση είναι άρτια. Κατά την κατασκευή, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ότι θα υπάρχει συμμετρία ως προς το Oy.

Για την επίλυση της ανισότητας, χρησιμοποιούνται διαστήματα αύξησης και μείωσης με τις συνθήκες f " (x) ≥ 0 και f " (x) ≤ 0, αντίστοιχα.

Ορισμός 1

Σταθερά σημεία- αυτά είναι τα σημεία που μηδενίζουν την παράγωγο.

Κρίσιμα σημεία- αυτά είναι εσωτερικά σημεία από το πεδίο ορισμού όπου η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει.

Κατά τη λήψη μιας απόφασης, πρέπει να ληφθούν υπόψη οι ακόλουθες σημειώσεις:

για υπάρχοντα διαστήματα αυξανόμενων και φθίνουσες ανισώσεις της μορφής f " (x) > 0, τα κρίσιμα σημεία δεν περιλαμβάνονται στη λύση.
Τα σημεία στα οποία η συνάρτηση ορίζεται χωρίς πεπερασμένη παράγωγο πρέπει να περιλαμβάνονται στα διαστήματα αύξησης και μείωσης (για παράδειγμα, y = x 3, όπου το σημείο x = 0 καθορίζει τη συνάρτηση, η παράγωγος έχει την τιμή του άπειρου σε αυτό σημείο, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 περιλαμβάνεται στο αυξανόμενο διάστημα).
Για την αποφυγή διαφωνιών, συνιστάται η χρήση μαθηματικής βιβλιογραφίας που προτείνει το Υπουργείο Παιδείας.

Συμπερίληψη κρίσιμων σημείων σε διαστήματα αύξησης και μείωσης εάν ικανοποιούν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Ορισμός 2

Για προσδιορίζοντας τα διαστήματα αύξησης και μείωσης μιας συνάρτησης, είναι απαραίτητο να βρεθεί:

παραγωγό;
κρίσιμα σημεία?
Διαιρέστε τον τομέα ορισμού σε διαστήματα χρησιμοποιώντας κρίσιμα σημεία.
προσδιορίστε το πρόσημο της παραγώγου σε κάθε ένα από τα διαστήματα, όπου + είναι μια αύξηση και - είναι μια μείωση.

Παράδειγμα 3

Βρείτε την παράγωγο στον τομέα του ορισμού f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Διάλυμα

Για να λύσετε χρειάζεστε:

βρείτε σταθερά σημεία, αυτό το παράδειγμα έχει x = 0.
βρείτε τα μηδενικά του παρονομαστή, το παράδειγμα παίρνει την τιμή μηδέν στο x = ± 1 2.

Τοποθετούμε σημεία στον αριθμητικό άξονα για να προσδιορίσουμε την παράγωγο σε κάθε διάστημα. Για να γίνει αυτό, αρκεί να πάρετε οποιοδήποτε σημείο από το διάστημα και να εκτελέσετε έναν υπολογισμό. Εάν το αποτέλεσμα είναι θετικό, απεικονίζουμε το + στο γράφημα, που σημαίνει ότι η συνάρτηση αυξάνεται και - σημαίνει ότι μειώνεται.

Για παράδειγμα, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, που σημαίνει ότι το πρώτο διάστημα στα αριστερά έχει σύμβολο +. Εξετάστε την αριθμητική γραμμή.

Απάντηση:

η συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα - ∞; - 1 2 και (- 1 2 ; 0 ] ;
υπάρχει μείωση στο διάστημα [ 0 ; 1 2) και 1 2 ; + ∞ .

Στο διάγραμμα, χρησιμοποιώντας τα + και -, απεικονίζονται η θετικότητα και η αρνητικότητα της συνάρτησης και τα βέλη δείχνουν μείωση και αύξηση.

Τα ακραία σημεία μιας συνάρτησης είναι τα σημεία όπου ορίζεται η συνάρτηση και μέσω των οποίων η παράγωγος αλλάζει πρόσημο.

Παράδειγμα 4

Αν εξετάσουμε ένα παράδειγμα όπου x = 0, τότε η τιμή της συνάρτησης σε αυτό είναι ίση με f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Όταν το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από + σε - και διέρχεται από το σημείο x = 0, τότε το σημείο με συντεταγμένες (0; 0) θεωρείται το μέγιστο σημείο. Όταν το πρόσημο αλλάζει από - σε +, λαμβάνουμε ένα ελάχιστο σημείο.

Η κυρτότητα και η κοιλότητα προσδιορίζονται με την επίλυση ανισώσεων της μορφής f "" (x) ≥ 0 και f "" (x) ≤ 0. Λιγότερο συχνά χρησιμοποιείται το όνομα κυρτότητα προς τα κάτω αντί για κυρτότητα και κυρτότητα προς τα πάνω αντί για κυρτότητα.

Ορισμός 3

Για προσδιορισμός των διαστημάτων κοιλότητας και κυρτότηταςαπαραίτητος:

βρείτε τη δεύτερη παράγωγο?
Να βρείτε τα μηδενικά της δεύτερης παραγώγου συνάρτησης.
διαιρέστε την περιοχή ορισμού σε διαστήματα με τα σημεία που εμφανίζονται.
καθορίστε το πρόσημο του διαστήματος.

Παράδειγμα 5

Βρείτε τη δεύτερη παράγωγο από το πεδίο ορισμού.

Διάλυμα

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Βρίσκουμε τα μηδενικά του αριθμητή και του παρονομαστή, όπου στο παράδειγμά μας έχουμε ότι τα μηδενικά του παρονομαστή x = ± 1 2

Τώρα πρέπει να σχεδιάσετε τα σημεία στην αριθμητική γραμμή και να προσδιορίσετε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου από κάθε διάστημα. Το καταλαβαίνουμε

Απάντηση:

η συνάρτηση είναι κυρτή από το διάστημα - 1 2 ; 1 2 ;
η συνάρτηση είναι κοίλη από τα διαστήματα - ∞ ; - 1 2 και 1 2; + ∞ .

Ορισμός 4

Σημείο καμπής– αυτό είναι ένα σημείο της μορφής x 0 ; f (x 0) . Όταν έχει εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τότε όταν διέρχεται από x 0 η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο στο αντίθετο.

Με άλλα λόγια, αυτό είναι ένα σημείο από το οποίο περνά η δεύτερη παράγωγος και αλλάζει πρόσημο και στα ίδια τα σημεία είναι ίση με το μηδέν ή δεν υπάρχει. Όλα τα σημεία θεωρούνται το πεδίο της συνάρτησης.

Στο παράδειγμα, ήταν ξεκάθαρο ότι δεν υπάρχουν σημεία καμπής, αφού η δεύτερη παράγωγος αλλάζει πρόσημο ενώ διέρχεται από τα σημεία x = ± 1 2. Με τη σειρά τους, δεν περιλαμβάνονται στο πεδίο του ορισμού.

Εύρεση οριζόντιων και πλάγιων ασυμπτωμάτων

Όταν ορίζετε μια συνάρτηση στο άπειρο, πρέπει να αναζητήσετε οριζόντιες και πλάγιες ασύμπτωτες.

Ορισμός 5

Πλάγια ασύμπτωτααπεικονίζονται χρησιμοποιώντας ευθείες γραμμές που δίνονται από την εξίσωση y = k x + b, όπου k = lim x → ∞ f (x) x και b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Για k = 0 και b που δεν ισούται με το άπειρο, βρίσκουμε ότι η πλάγια ασύμπτωτη γίνεται οριζόντιος.

Με άλλα λόγια, οι ασύμπτωτες θεωρούνται ευθείες στις οποίες η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης πλησιάζει στο άπειρο. Αυτό διευκολύνει τη γρήγορη κατασκευή ενός γραφήματος συνάρτησης.

Εάν δεν υπάρχουν ασύμπτωτες, αλλά η συνάρτηση ορίζεται και στα δύο άπειρα, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το όριο της συνάρτησης σε αυτά τα άπειρα για να κατανοήσουμε πώς θα συμπεριφέρεται το γράφημα της συνάρτησης.

Παράδειγμα 6

Ας θεωρήσουμε ως παράδειγμα ότι

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

είναι μια οριζόντια ασύμπτωτη. Αφού εξετάσετε τη συνάρτηση, μπορείτε να αρχίσετε να την κατασκευάζετε.

Υπολογισμός της τιμής μιας συνάρτησης σε ενδιάμεσα σημεία

Για να γίνει το γράφημα πιο ακριβές, συνιστάται να βρείτε πολλές τιμές συναρτήσεων σε ενδιάμεσα σημεία.

Παράδειγμα 7

Από το παράδειγμα που εξετάσαμε, είναι απαραίτητο να βρούμε τις τιμές της συνάρτησης στα σημεία x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Εφόσον η συνάρτηση είναι άρτια, παίρνουμε ότι οι τιμές συμπίπτουν με τις τιμές σε αυτά τα σημεία, δηλαδή παίρνουμε x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Ας γράψουμε και ας λύσουμε:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Για να προσδιοριστούν τα μέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης, τα σημεία καμπής και τα ενδιάμεσα σημεία, είναι απαραίτητο να κατασκευαστούν ασύμπτωτες. Για βολικό προσδιορισμό, καταγράφονται διαστήματα αύξησης, μείωσης, κυρτότητας και κοιλότητας. Ας δούμε την παρακάτω εικόνα.

Είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε γραμμές γραφήματος μέσα από τα σημειωμένα σημεία, τα οποία θα σας επιτρέψουν να προσεγγίσετε τις ασύμπτωτες ακολουθώντας τα βέλη.

Αυτό ολοκληρώνει την πλήρη εξερεύνηση της συνάρτησης. Υπάρχουν περιπτώσεις κατασκευής κάποιων στοιχειωδών συναρτήσεων για τις οποίες χρησιμοποιούνται γεωμετρικοί μετασχηματισμοί.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Τα σημεία αναφοράς κατά τη μελέτη συναρτήσεων και την κατασκευή των γραφημάτων τους είναι χαρακτηριστικά σημεία - σημεία ασυνέχειας, ακρότατου, καμπής, τομής με άξονες συντεταγμένων. Χρησιμοποιώντας διαφορικό λογισμό, είναι δυνατό να καθοριστούν τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα των αλλαγών στις συναρτήσεις: αύξηση και μείωση, μέγιστα και ελάχιστα, κατεύθυνση κυρτότητας και κοιλότητας του γραφήματος, παρουσία ασυμπτωτών.

Ένα σκίτσο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης μπορεί (και πρέπει) να σχεδιαστεί μετά την εύρεση των ασυμπτωμάτων και των ακραίων σημείων και είναι βολικό να συμπληρώσετε τον συνοπτικό πίνακα της μελέτης της συνάρτησης καθώς προχωρά η μελέτη.

Συνήθως χρησιμοποιείται το ακόλουθο σχήμα μελέτης συναρτήσεων.

1.Βρείτε το πεδίο ορισμού, τα διαστήματα συνέχειας και τα σημεία διακοπής της συνάρτησης.

2.Εξετάστε τη συνάρτηση για ομαλότητα ή περιττότητα (αξονική ή κεντρική συμμετρία του γραφήματος.

3.Βρείτε ασύμπτωτες (κάθετες, οριζόντιες ή πλάγιες).

4.Να βρείτε και να μελετήσετε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης, τα ακραία σημεία της.

5.Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας και κοιλότητας της καμπύλης, τα σημεία καμπής της.

6.Να βρείτε τα σημεία τομής της καμπύλης με τους άξονες συντεταγμένων, αν υπάρχουν.

7.Να συντάξετε έναν συνοπτικό πίνακα της μελέτης.

8.Κατασκευάζεται ένα γράφημα, λαμβάνοντας υπόψη τη μελέτη της συνάρτησης που πραγματοποιείται σύμφωνα με τα σημεία που περιγράφονται παραπάνω.

Παράδειγμα.Λειτουργία εξερεύνησης

και να φτιάξεις το γράφημά του.

7. Ας συντάξουμε έναν συνοπτικό πίνακα για τη μελέτη της συνάρτησης, όπου θα εισάγουμε όλα τα χαρακτηριστικά σημεία και τα διαστήματα μεταξύ τους. Λαμβάνοντας υπόψη την ισοτιμία της συνάρτησης, λαμβάνουμε τον ακόλουθο πίνακα:

		Χαρακτηριστικά γραφήματος
[-1, 0[	Αυξάνεται	Κυρτός
		(0; 1) – μέγιστος βαθμός
]0, 1[	Φθίνων	Κυρτός
		Το σημείο καμπής σχηματίζεται με τον άξονα Βόδιαμβλεία γωνία

Πώς να μελετήσετε μια συνάρτηση και να φτιάξετε το γράφημά της;

Φαίνεται ότι αρχίζω να καταλαβαίνω το πνευματικά διορατικό πρόσωπο του ηγέτη του παγκόσμιου προλεταριάτου, του συγγραφέα συλλεκτικών έργων σε 55 τόμους... Το μακρύ ταξίδι ξεκίνησε με βασικές πληροφορίες για συναρτήσεις και γραφήματα, και τώρα η εργασία σε ένα θέμα έντασης εργασίας τελειώνει με ένα λογικό αποτέλεσμα - ένα άρθρο σχετικά με μια πλήρη μελέτη της συνάρτησης. Η πολυαναμενόμενη εργασία διαμορφώνεται ως εξής:

Μελετήστε μια συνάρτηση χρησιμοποιώντας μεθόδους διαφορικού λογισμού και φτιάξτε το γράφημά της με βάση τα αποτελέσματα της μελέτης

Ή εν συντομία: εξετάστε τη συνάρτηση και δημιουργήστε ένα γράφημα.

Γιατί να εξερευνήσετε;Σε απλές περιπτώσεις, δεν θα είναι δύσκολο για εμάς να κατανοήσουμε τις στοιχειώδεις συναρτήσεις και να σχεδιάσουμε ένα γράφημα που λαμβάνεται χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις γεωμετρικοί μετασχηματισμοίκαι τα λοιπά. Ωστόσο, οι ιδιότητες και οι γραφικές αναπαραστάσεις πιο πολύπλοκων συναρτήσεων δεν είναι καθόλου προφανείς, γι' αυτό χρειάζεται μια ολόκληρη μελέτη.

Τα κύρια βήματα της λύσης συνοψίζονται στο υλικό αναφοράς Σχέδιο μελέτης συναρτήσεων, αυτός είναι ο οδηγός σας για την ενότητα. Τα ανδρείκελα χρειάζονται μια εξήγηση βήμα προς βήμα για ένα θέμα, ορισμένοι αναγνώστες δεν ξέρουν από πού να ξεκινήσουν ή πώς να οργανώσουν την έρευνά τους και οι προχωρημένοι μαθητές μπορεί να ενδιαφέρονται μόνο για μερικά σημεία. Όποιος όμως κι αν είσαι, αγαπητέ επισκέπτη, η προτεινόμενη περίληψη με υποδείξεις για διάφορα μαθήματα θα σε προσανατολίσει γρήγορα και θα σε καθοδηγήσει προς την κατεύθυνση του ενδιαφέροντος. Τα ρομπότ χύνουν δάκρυα =) Το εγχειρίδιο παρουσιάστηκε σε μορφή αρχείου pdf και πήρε τη θέση του στη σελίδα Μαθηματικοί τύποι και πίνακες.

Έχω συνηθίσει να αναλύω την έρευνα μιας συνάρτησης σε 5-6 σημεία:

6) Πρόσθετα σημεία και γράφημα με βάση τα αποτελέσματα της έρευνας.

Όσον αφορά την τελική ενέργεια, νομίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα σε όλους - θα είναι πολύ απογοητευτικό εάν σε λίγα δευτερόλεπτα διαγραφεί και η εργασία επιστραφεί για αναθεώρηση. ΕΝΑ ΣΩΣΤΟ ΚΑΙ ΑΚΡΙΒΗ ΣΧΕΔΙΟ είναι το κύριο αποτέλεσμα της λύσης! Είναι πιθανό να «καλύψει» αναλυτικά λάθη, ενώ ένα λανθασμένο ή/και απρόσεκτο χρονοδιάγραμμα θα προκαλέσει προβλήματα ακόμη και με μια άψογα διεξαγόμενη μελέτη.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι σε άλλες πηγές ο αριθμός των ερευνητικών σημείων, η σειρά εφαρμογής τους και το στυλ σχεδιασμού μπορεί να διαφέρουν σημαντικά από το σχήμα που πρότεινα, αλλά στις περισσότερες περιπτώσεις είναι αρκετά επαρκής. Η απλούστερη έκδοση του προβλήματος αποτελείται από μόνο 2-3 στάδια και διατυπώνεται κάπως έτσι: «διερευνήστε τη συνάρτηση χρησιμοποιώντας την παράγωγο και δημιουργήστε ένα γράφημα» ή «διερευνήστε τη συνάρτηση χρησιμοποιώντας την 1η και 2η παράγωγο, δημιουργήστε ένα γράφημα».

Φυσικά, εάν το εγχειρίδιό σας περιγράφει λεπτομερώς έναν άλλο αλγόριθμο ή ο δάσκαλός σας απαιτεί αυστηρά να τηρείτε τις διαλέξεις του, τότε θα πρέπει να κάνετε κάποιες προσαρμογές στη λύση. Δεν είναι πιο δύσκολο από την αντικατάσταση ενός πιρουνιού αλυσοπρίονου με ένα κουτάλι.

Ας ελέγξουμε τη συνάρτηση για άρτιο/μονό:

Αυτό ακολουθείται από μια απάντηση πρότυπο:
, που σημαίνει ότι αυτή η συνάρτηση δεν είναι άρτια ή περιττή.

Εφόσον η συνάρτηση είναι συνεχής στο , δεν υπάρχουν κάθετες ασύμπτωτες.

Δεν υπάρχουν ούτε πλάγιες ασύμπτωτες.

Σημείωμα : Σας θυμίζω ότι όσο πιο ψηλά σειρά ανάπτυξης, παρά , επομένως το τελικό όριο είναι ακριβώς " συνάπειρο."

Ας μάθουμε πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση στο άπειρο:

Με άλλα λόγια, αν πάμε δεξιά, τότε το γράφημα πηγαίνει απείρως προς τα πάνω, αν πάμε αριστερά, πηγαίνει απείρως πολύ κάτω. Ναι, υπάρχουν επίσης δύο όρια σε μία μόνο καταχώρηση. Εάν δυσκολεύεστε να αποκρυπτογραφήσετε τα σημάδια, επισκεφθείτε το μάθημα για απειροελάχιστες συναρτήσεις.

Η συνάρτηση λοιπόν δεν περιορίζεται από πάνωΚαι δεν περιορίζεται από κάτω. Λαμβάνοντας υπόψη ότι δεν έχουμε σημεία διακοπής, γίνεται ξεκάθαρο εύρος λειτουργίας: – επίσης οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

ΧΡΗΣΙΜΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΤΕΧΝΙΚΗ

Κάθε στάδιο της εργασίας φέρνει νέες πληροφορίες σχετικά με το γράφημα της συνάρτησης, επομένως, κατά τη διάρκεια της λύσης είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε ένα είδος LAYOUT. Ας σχεδιάσουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων σε ένα προσχέδιο. Τι είναι ήδη γνωστό σίγουρα; Πρώτον, το γράφημα δεν έχει ασύμπτωτες, επομένως, δεν χρειάζεται να σχεδιάσουμε ευθείες γραμμές. Δεύτερον, γνωρίζουμε πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση στο άπειρο. Σύμφωνα με την ανάλυση, κάνουμε μια πρώτη προσέγγιση:

Σημειώστε ότι λόγω συνέχειαλειτουργία on και το γεγονός ότι το γράφημα πρέπει να διασχίσει τον άξονα τουλάχιστον μία φορά. Ή μήπως υπάρχουν πολλά σημεία τομής;

3) Μηδενικά της συνάρτησης και διαστήματα σταθερού πρόσημου.

Αρχικά, ας βρούμε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα τεταγμένων. Είναι απλό. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης στο:

Ενάμιση πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας.

Για να βρούμε τα σημεία τομής με τον άξονα (μηδενικά της συνάρτησης), πρέπει να λύσουμε την εξίσωση και εδώ μας περιμένει μια δυσάρεστη έκπληξη:

Υπάρχει ένα ελεύθερο μέλος που κρύβεται στο τέλος, γεγονός που κάνει το έργο πολύ πιο δύσκολο.

Μια τέτοια εξίσωση έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα και τις περισσότερες φορές αυτή η ρίζα είναι παράλογη. Στο χειρότερο παραμύθι μας περιμένουν τα τρία γουρουνάκια. Η εξίσωση είναι επιλύσιμη χρησιμοποιώντας το λεγόμενο Φόρμουλες Cardano, αλλά η ζημιά στο χαρτί είναι συγκρίσιμη με σχεδόν ολόκληρη τη μελέτη. Από αυτή την άποψη, είναι σοφότερο να προσπαθήσετε να επιλέξετε τουλάχιστον ένα, είτε προφορικά είτε σε προσχέδιο. ολόκληρορίζα. Ας ελέγξουμε αν αυτοί οι αριθμοί είναι:
– ακατάλληλο·
- Υπάρχει!

Τυχερός εδώ. Σε περίπτωση αποτυχίας, μπορείτε επίσης να δοκιμάσετε και εάν αυτοί οι αριθμοί δεν ταιριάζουν, τότε φοβάμαι ότι υπάρχουν πολύ μικρές πιθανότητες για μια κερδοφόρα λύση στην εξίσωση. Τότε είναι καλύτερα να παραλείψετε τελείως το ερευνητικό σημείο - ίσως κάτι θα γίνει πιο ξεκάθαρο στο τελικό βήμα, όταν θα ξεπεραστούν πρόσθετα σημεία. Και αν οι ρίζες είναι ξεκάθαρα «κακές», τότε είναι καλύτερο να παραμείνετε συγκρατημένα σιωπηλοί για τα διαστήματα σταθερότητας των σημείων και να σχεδιάσετε πιο προσεκτικά.

Ωστόσο, έχουμε μια όμορφη ρίζα, οπότε διαιρούμε το πολυώνυμο για κανένα υπόλοιπο:

Ο αλγόριθμος για τη διαίρεση ενός πολυωνύμου με ένα πολυώνυμο συζητείται λεπτομερώς στο πρώτο παράδειγμα του μαθήματος Σύνθετα Όρια.

Ως αποτέλεσμα, η αριστερή πλευρά της αρχικής εξίσωσης αποσυντίθεται στο προϊόν:

Και τώρα λίγα για έναν υγιεινό τρόπο ζωής. Φυσικά και το καταλαβαίνω τετραγωνικές εξισώσειςπρέπει να λύνεται κάθε μέρα, αλλά σήμερα θα κάνουμε μια εξαίρεση: την εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες.

Ας σχεδιάσουμε τις τιμές που βρέθηκαν στην αριθμητική γραμμή Και μέθοδος διαστήματοςΑς ορίσουμε τα σημάδια της συνάρτησης:

Έτσι, κατά διαστήματα βρίσκεται το χρονοδιάγραμμα
κάτω από τον άξονα x και στα διαστήματα – πάνω από αυτόν τον άξονα.

Τα ευρήματα μας επιτρέπουν να βελτιώσουμε τη διάταξή μας και η δεύτερη προσέγγιση του γραφήματος μοιάζει με αυτό:

Λάβετε υπόψη ότι μια συνάρτηση πρέπει να έχει τουλάχιστον ένα μέγιστο σε ένα διάστημα και τουλάχιστον ένα ελάχιστο σε ένα διάστημα. Αλλά δεν γνωρίζουμε ακόμη πόσες φορές, πού και πότε θα ανακυκλωθεί το πρόγραμμα. Παρεμπιπτόντως, μια συνάρτηση μπορεί να έχει άπειρα πολλά άκρα.

4) Αύξηση, μείωση και ακρότατο της συνάρτησης.

Ας βρούμε κρίσιμα σημεία:

Αυτή η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες. Ας τα βάλουμε στην αριθμητική γραμμή και ας προσδιορίσουμε τα πρόσημα της παραγώγου:

Επομένως, η συνάρτηση αυξάνεται κατά και μειώνεται κατά .
Στο σημείο που η συνάρτηση φτάνει στο μέγιστο: .
Στο σημείο που η συνάρτηση φτάνει στο ελάχιστο: .

Καθιερωμένα γεγονότα οδηγούν το πρότυπό μας σε ένα αρκετά άκαμπτο πλαίσιο:

Περιττό να πούμε ότι ο διαφορικός λογισμός είναι ένα ισχυρό πράγμα. Ας καταλάβουμε επιτέλους το σχήμα του γραφήματος:

5) Σημεία κυρτότητας, κοιλότητας και καμπής.

Ας βρούμε τα κρίσιμα σημεία της δεύτερης παραγώγου:

Ας ορίσουμε τα σημάδια:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κυρτή και κοίλη στην . Ας υπολογίσουμε την τεταγμένη του σημείου καμπής: .

Σχεδόν όλα έχουν γίνει ξεκάθαρα.

6) Απομένει να βρείτε επιπλέον σημεία που θα σας βοηθήσουν να κατασκευάσετε με μεγαλύτερη ακρίβεια ένα γράφημα και να πραγματοποιήσετε αυτοέλεγχο. Σε αυτή την περίπτωση είναι λίγα από αυτά, αλλά δεν θα τα αμελήσουμε:

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Το σημείο καμπής σημειώνεται με πράσινο χρώμα, επιπλέον σημεία σημειώνονται με σταυρούς. Η γραφική παράσταση μιας κυβικής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς το σημείο καμπής της, το οποίο βρίσκεται πάντα αυστηρά στη μέση μεταξύ του μέγιστου και του ελάχιστου.

Καθώς προχωρούσε η εργασία, παρείχα τρία υποθετικά ενδιάμεσα σχέδια. Στην πράξη, αρκεί να σχεδιάσετε ένα σύστημα συντεταγμένων, να σημειώσετε τα σημεία που βρέθηκαν και μετά από κάθε σημείο έρευνας να υπολογίσετε νοερά πώς μπορεί να μοιάζει το γράφημα της συνάρτησης. Δεν θα είναι δύσκολο για μαθητές με καλό επίπεδο προετοιμασίας να πραγματοποιήσουν μια τέτοια ανάλυση αποκλειστικά στο κεφάλι τους χωρίς να περιλαμβάνουν προσχέδιο.

Για να το λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 2

Εξερευνήστε τη συνάρτηση και δημιουργήστε ένα γράφημα.

Όλα είναι πιο γρήγορα και πιο διασκεδαστικά εδώ, ένα κατά προσέγγιση παράδειγμα του τελικού σχεδιασμού στο τέλος του μαθήματος.

Η μελέτη των κλασματικών ορθολογικών συναρτήσεων αποκαλύπτει πολλά μυστικά:

Παράδειγμα 3

Χρησιμοποιήστε μεθόδους διαφορικού λογισμού για να μελετήσετε μια συνάρτηση και, με βάση τα αποτελέσματα της μελέτης, να κατασκευάσετε το γράφημά της.

Διάλυμα: το πρώτο στάδιο της μελέτης δεν διακρίνεται από τίποτα αξιοσημείωτο, με εξαίρεση μια τρύπα στην περιοχή ορισμού:

1) Η συνάρτηση ορίζεται και είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή εκτός από το σημείο, τομέα ορισμού: .

, που σημαίνει ότι αυτή η συνάρτηση δεν είναι άρτια ή περιττή.

Προφανώς, η συνάρτηση είναι μη περιοδική.

Το γράφημα της συνάρτησης αντιπροσωπεύει δύο συνεχείς κλάδους που βρίσκονται στο αριστερό και το δεξί μισό επίπεδο - αυτό είναι ίσως το πιο σημαντικό συμπέρασμα του σημείου 1.

2) Ασύμπτωτες, η συμπεριφορά μιας συνάρτησης στο άπειρο.

α) Χρησιμοποιώντας μονόπλευρα όρια, εξετάζουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης κοντά σε ένα ύποπτο σημείο, όπου θα πρέπει σαφώς να υπάρχει μια κατακόρυφη ασύμπτωτη:

Πράγματι, οι λειτουργίες αντέχουν ατελείωτο κενόστο σημείο
και η ευθεία (άξονας) είναι κάθετη ασύμπτωτηγραφικά

β) Ας ελέγξουμε αν υπάρχουν πλάγιες ασύμπτωτες:

Ναι, είναι ίσιο λοξή ασύμπτωτηγραφικά , αν .

Δεν έχει νόημα να αναλύσουμε τα όρια, αφού είναι ήδη σαφές ότι η συνάρτηση αγκαλιάζει την πλάγια ασύμπτωσή της δεν περιορίζεται από πάνωΚαι δεν περιορίζεται από κάτω.

Το δεύτερο ερευνητικό σημείο έδωσε πολλές σημαντικές πληροφορίες σχετικά με τη λειτουργία. Ας κάνουμε ένα πρόχειρο σκίτσο:

Το συμπέρασμα Νο. 1 αφορά διαστήματα σταθερού πρόσημου. Στο "μείον άπειρο" το γράφημα της συνάρτησης βρίσκεται σαφώς κάτω από τον άξονα x και στο "συν άπειρο" είναι πάνω από αυτόν τον άξονα. Επιπλέον, τα μονόπλευρα όρια μας είπαν ότι τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά του σημείου η συνάρτηση είναι επίσης μεγαλύτερη από το μηδέν. Σημειώστε ότι στο αριστερό ημιεπίπεδο το γράφημα πρέπει να διασχίζει τον άξονα x τουλάχιστον μία φορά. Μπορεί να μην υπάρχουν μηδενικά της συνάρτησης στο δεξιό ημιεπίπεδο.

Το συμπέρασμα Νο. 2 είναι ότι η συνάρτηση αυξάνεται πάνω και στα αριστερά του σημείου (πηγαίνει «από κάτω προς τα πάνω»). Στα δεξιά αυτού του σημείου, η συνάρτηση μειώνεται (μεταβαίνει "από πάνω προς τα κάτω"). Ο δεξιός κλάδος του γραφήματος πρέπει σίγουρα να έχει τουλάχιστον ένα ελάχιστο. Στα αριστερά, τα άκρα δεν είναι εγγυημένα.

Το συμπέρασμα Νο. 3 παρέχει αξιόπιστες πληροφορίες σχετικά με την κοιλότητα του γραφήματος στην περιοχή του σημείου. Δεν μπορούμε ακόμη να πούμε τίποτα για την κυρτότητα/κοιλότητα στα άπειρα, αφού μια γραμμή μπορεί να πιεστεί προς την ασύμπτωσή της τόσο από πάνω όσο και από κάτω. Σε γενικές γραμμές, υπάρχει ένας αναλυτικός τρόπος για να το καταλάβετε αυτήν τη στιγμή, αλλά το σχήμα του γραφήματος θα γίνει σαφέστερο σε μεταγενέστερο στάδιο.

Γιατί τόσα λόγια; Για να ελέγξετε τα μετέπειτα ερευνητικά σημεία και να αποφύγετε λάθη! Περαιτέρω υπολογισμοί δεν θα πρέπει να έρχονται σε αντίθεση με τα συναγόμενα συμπεράσματα.

3) Σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες συντεταγμένων, διαστήματα σταθερού πρόσημου της συνάρτησης.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν τέμνει τον άξονα.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος προσδιορίζουμε τα σημάδια:

, Εάν ;
, Αν .

Τα αποτελέσματα αυτού του σημείου συνάδουν πλήρως με το Συμπέρασμα Νο. 1. Μετά από κάθε στάδιο, κοιτάξτε το προσχέδιο, ελέγξτε νοερά την έρευνα και συμπληρώστε το γράφημα της συνάρτησης.

Στο υπό εξέταση παράδειγμα, ο αριθμητής διαιρείται ανά όρο με τον παρονομαστή, κάτι που είναι πολύ ωφέλιμο για τη διαφοροποίηση:

Στην πραγματικότητα, αυτό έχει ήδη γίνει κατά την εύρεση ασυμπτωμάτων.

– κρίσιμο σημείο.

Ας ορίσουμε τα σημάδια:

αυξάνεται κατά και μειώνεται κατά

Στο σημείο που η συνάρτηση φτάνει στο ελάχιστο: .

Επίσης, δεν υπήρχαν αποκλίσεις με το Συμπέρασμα Νο. 2, και, πιθανότατα, είμαστε σε καλό δρόμο.

Αυτό σημαίνει ότι το γράφημα της συνάρτησης είναι κοίλο σε όλο το πεδίο ορισμού.

Εξαιρετικό - και δεν χρειάζεται να σχεδιάσετε τίποτα.

Δεν υπάρχουν σημεία καμπής.

Η κοιλότητα είναι συνεπής με το συμπέρασμα Νο. 3, επιπλέον, δείχνει ότι στο άπειρο (τόσο εκεί όσο και εκεί) βρίσκεται το γράφημα της συνάρτησης υψηλότεραη λοξή του ασύμπτωτη.

6) Θα καρφιτσώσουμε ευσυνείδητα την εργασία με επιπλέον πόντους. Εδώ θα πρέπει να δουλέψουμε σκληρά, αφού γνωρίζουμε μόνο δύο σημεία από την έρευνα.

Και μια εικόνα που πιθανότατα πολλοί άνθρωποι έχουν φανταστεί εδώ και πολύ καιρό:

Κατά την εκτέλεση της εργασίας, πρέπει να βεβαιωθείτε προσεκτικά ότι δεν υπάρχουν αντιφάσεις μεταξύ των σταδίων της έρευνας, αλλά μερικές φορές η κατάσταση είναι επείγουσα ή ακόμη και απελπιστικά αδιέξοδη. Τα αναλυτικά στοιχεία "δεν αθροίζονται" - αυτό είναι όλο. Σε αυτή την περίπτωση, προτείνω μια τεχνική έκτακτης ανάγκης: βρίσκουμε όσο το δυνατόν περισσότερα σημεία που ανήκουν στο γράφημα (όση υπομονή έχουμε) και τα σημειώνουμε στο επίπεδο συντεταγμένων. Μια γραφική ανάλυση των τιμών που βρέθηκαν στις περισσότερες περιπτώσεις θα σας πει πού είναι η αλήθεια και πού είναι ψέμα. Επιπλέον, το γράφημα μπορεί να προκατασκευαστεί χρησιμοποιώντας κάποιο πρόγραμμα, για παράδειγμα, στο Excel (φυσικά, αυτό απαιτεί δεξιότητες).

Παράδειγμα 4

Χρησιμοποιήστε μεθόδους διαφορικού λογισμού για να μελετήσετε μια συνάρτηση και να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Σε αυτό, ο αυτοέλεγχος ενισχύεται από την ισοτιμία της συνάρτησης - το γράφημα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα και αν υπάρχει κάτι στην έρευνά σας που έρχεται σε αντίθεση με αυτό το γεγονός, αναζητήστε ένα σφάλμα.

Μια άρτια ή περιττή συνάρτηση μπορεί να μελετηθεί μόνο στο , και στη συνέχεια να χρησιμοποιηθεί η συμμετρία του γραφήματος. Αυτή η λύση είναι η βέλτιστη, αλλά, κατά τη γνώμη μου, φαίνεται πολύ ασυνήθιστη. Προσωπικά, κοιτάζω ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα, αλλά εξακολουθώ να βρίσκω πρόσθετα σημεία μόνο στα δεξιά:

Παράδειγμα 5

Εκτελέστε μια πλήρη μελέτη της συνάρτησης και κατασκευάστε τη γραφική παράσταση της.

Διάλυμα: τα πράγματα δυσκόλεψαν:

1) Η συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή: .

Αυτό σημαίνει ότι αυτή η συνάρτηση είναι περιττή, η γραφική παράσταση της είναι συμμετρική ως προς την προέλευση.

Προφανώς, η συνάρτηση είναι μη περιοδική.

2) Ασύμπτωτες, η συμπεριφορά μιας συνάρτησης στο άπειρο.

Εφόσον η συνάρτηση είναι συνεχής στο , δεν υπάρχουν κάθετες ασύμπτωτες

Για μια συνάρτηση που περιέχει έναν εκθέτη, είναι τυπική ξεχωριστόςμελέτη του «συν» και του «πλην του απείρου», ωστόσο, η ζωή μας γίνεται ευκολότερη από τη συμμετρία του γραφήματος - είτε υπάρχει μια ασύμπτωτη και στα αριστερά και στα δεξιά, είτε δεν υπάρχει καμία. Επομένως, και τα δύο άπειρα όρια μπορούν να γραφτούν κάτω από μία μόνο καταχώρηση. Κατά τη διάρκεια του διαλύματος που χρησιμοποιούμε Ο κανόνας του L'Hopital:

Η ευθεία γραμμή (άξονας) είναι η οριζόντια ασύμπτωτη του γραφήματος στο .

Παρακαλώ σημειώστε πώς απέφυγα με πονηριά τον πλήρη αλγόριθμο για την εύρεση της λοξής ασύμπτωτης: το όριο είναι απολύτως νόμιμο και διευκρινίζει τη συμπεριφορά της συνάρτησης στο άπειρο και η οριζόντια ασύμπτωτη ανακαλύφθηκε «σαν την ίδια στιγμή».

Από τη συνέχεια και την ύπαρξη οριζόντιας ασυμπτώτου προκύπτει ότι η συνάρτηση οριοθετείται παραπάνωΚαι οριοθετείται από κάτω.

3) Σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες συντεταγμένων, διαστήματα σταθερού πρόσημου.

Εδώ συντομεύουμε επίσης τη λύση:
Το γράφημα περνά από την αρχή.

Δεν υπάρχουν άλλα σημεία τομής με τους άξονες συντεταγμένων. Επιπλέον, τα διαστήματα σταθερότητας του πρόσημου είναι προφανή και δεν χρειάζεται να σχεδιαστεί ο άξονας: , πράγμα που σημαίνει ότι το πρόσημο της συνάρτησης εξαρτάται μόνο από το «x»:
, Εάν ;
, Αν .

4) Αύξηση, μείωση, ακρότατο της συνάρτησης.

– κρίσιμα σημεία.

Τα σημεία είναι συμμετρικά περίπου μηδέν, όπως θα έπρεπε.

Ας προσδιορίσουμε τα σημάδια της παραγώγου:

Η συνάρτηση αυξάνεται ανά διαστήματα και μειώνεται κατά διαστήματα

Στο σημείο που η συνάρτηση φτάνει στο μέγιστο: .

Λόγω της ιδιοκτησίας (το περίεργο της συνάρτησης) δεν χρειάζεται να υπολογιστεί το ελάχιστο:

Δεδομένου ότι η συνάρτηση μειώνεται στο διάστημα, τότε, προφανώς, το γράφημα βρίσκεται στο "μείον άπειρο" υπόασύμπτωτό του. Κατά τη διάρκεια του διαστήματος, η συνάρτηση μειώνεται επίσης, αλλά εδώ ισχύει το αντίθετο - αφού περάσει από το μέγιστο σημείο, η γραμμή πλησιάζει τον άξονα από πάνω.

Από τα παραπάνω προκύπτει επίσης ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κυρτή στο «μείον άπειρο» και κοίλη στο «συν άπειρο».

Μετά από αυτό το σημείο μελέτης, σχεδιάστηκε το εύρος τιμών συνάρτησης:

Εάν έχετε κάποια παρανόηση σε κάποια σημεία, σας προτρέπω για άλλη μια φορά να σχεδιάσετε άξονες συντεταγμένων στο σημειωματάριό σας και, με ένα μολύβι στα χέρια σας, να αναλύσετε εκ νέου κάθε συμπέρασμα της εργασίας.

5) Κυρτότητα, κοιλότητα, συστροφές του γραφήματος.

– κρίσιμα σημεία.

Η συμμετρία των σημείων διατηρείται και, πιθανότατα, δεν κάνουμε λάθος.

Ας ορίσουμε τα σημάδια:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κυρτή και κοίλο επάνω .

Η κυρτότητα/κοιλότητα στα ακραία διαστήματα επιβεβαιώθηκε.

Σε όλα τα κρίσιμα σημεία υπάρχουν στροφές στο γράφημα. Ας βρούμε τις τεταγμένες των σημείων καμπής και ας μειώσουμε ξανά τον αριθμό των υπολογισμών χρησιμοποιώντας την περιττότητα της συνάρτησης:

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, σε δικαστικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές αρχές στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον κατάλληλο διάδοχο τρίτο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.