Βρείτε τον αριθμό των τριών αριθμών. Κοινός διαιρέτης και πολλαπλάσιος

Μέγιστο κοινό διαιρέτη

Ορισμός 2

Εάν ένας φυσικός αριθμός a διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό $b$, τότε ο $b$ ονομάζεται διαιρέτης του $a$ και ο $a$ ονομάζεται πολλαπλάσιο του $b$.

Έστω $a$ και $b$ φυσικοί αριθμοί. Ο αριθμός $c$ ονομάζεται κοινός διαιρέτης και του $a$ και του $b$.

Το σύνολο των κοινών διαιρετών των αριθμών $a$ και $b$ είναι πεπερασμένο, αφού κανένας από αυτούς τους διαιρέτες δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από $a$. Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ αυτών των διαιρετών υπάρχει ένας μεγαλύτερος, ο οποίος ονομάζεται ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών $a$ και $b$ και συμβολίζεται με τον ακόλουθο συμβολισμό:

$GCD\(a;b)\ ή \D\(a;b)$

Για να βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών χρειάζεστε:

Βρείτε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.

Παράδειγμα 1

Βρείτε το gcd των αριθμών $121$ και $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Επιλέξτε τους αριθμούς που περιλαμβάνονται στην επέκταση αυτών των αριθμών

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Βρείτε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.

$GCD=2\cdot 11=22$

Παράδειγμα 2

Βρείτε το gcd των μονωνύμων $63$ και $81$.

Θα βρούμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο που παρουσιάζεται. Για αυτό:

Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Επιλέγουμε τους αριθμούς που περιλαμβάνονται στην επέκταση αυτών των αριθμών

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Ας βρούμε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.

$GCD=3\cdot 3=9$

Μπορείτε να βρείτε το gcd δύο αριθμών με άλλο τρόπο, χρησιμοποιώντας ένα σύνολο διαιρετών αριθμών.

Παράδειγμα 3

Βρείτε το gcd των αριθμών $48$ και $60$.

Λύση:

Ας βρούμε το σύνολο των διαιρετών του αριθμού $48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Τώρα ας βρούμε το σύνολο των διαιρετών του αριθμού $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ $

Ας βρούμε την τομή αυτών των συνόλων: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - αυτό το σύνολο θα καθορίσει το σύνολο των κοινών διαιρετών των αριθμών $48$ και $60 $. Το μεγαλύτερο στοιχείο σε αυτό το σύνολο θα είναι ο αριθμός $12$. Αυτό σημαίνει ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών $48$ και $60$ είναι $12$.

Ορισμός του NPL

Ορισμός 3

Κοινά πολλαπλάσια φυσικών αριθμώνΤο $a$ και το $b$ είναι ένας φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο του $a$ και του $b$.

Τα κοινά πολλαπλάσια αριθμών είναι αριθμοί που διαιρούνται με τους αρχικούς αριθμούς χωρίς υπόλοιπο. Για παράδειγμα, για τους αριθμούς $25$ και $50$, τα κοινά πολλαπλάσια θα είναι οι αριθμοί $50.100.150.200$ κ.λπ.

Το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο θα ονομάζεται το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο και θα συμβολίζεται με LCM$(a;b)$ ή K$(a;b).$

Για να βρείτε το LCM δύο αριθμών, πρέπει:

Αριθμοί παραγόντων σε πρώτους παράγοντες
Γράψτε τους παράγοντες που αποτελούν μέρος του πρώτου αριθμού και προσθέστε σε αυτούς τους παράγοντες που αποτελούν μέρος του δεύτερου και δεν είναι μέρος του πρώτου

Παράδειγμα 4

Βρείτε το LCM των αριθμών $99$ και $77$.

Θα βρούμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο που παρουσιάζεται. Για αυτό

Αριθμοί παραγόντων σε πρώτους παράγοντες

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Καταγράψτε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στο πρώτο

προσθέστε σε αυτά πολλαπλασιαστές που αποτελούν μέρος του δεύτερου και όχι μέρος του πρώτου

Βρείτε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι το επιθυμητό ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Η σύνταξη λιστών διαιρετών αριθμών είναι συχνά μια εργασία που απαιτεί πολύ κόπο. Υπάρχει ένας τρόπος για να βρείτε το GCD που ονομάζεται Ευκλείδειος αλγόριθμος.

Δηλώσεις στις οποίες βασίζεται ο ευκλείδειος αλγόριθμος:

Αν οι $a$ και $b$ είναι φυσικοί αριθμοί και οι $a\vdots b$, τότε $D(a;b)=b$

Αν οι $a$ και $b$ είναι φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε το $b

Χρησιμοποιώντας $D(a;b)= D(a-b;b)$, μπορούμε να μειώσουμε διαδοχικά τους αριθμούς που εξετάζουμε μέχρι να φτάσουμε σε ένα ζεύγος αριθμών έτσι ώστε ο ένας από αυτούς να διαιρείται με τον άλλο. Τότε ο μικρότερος από αυτούς τους αριθμούς θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης για τους αριθμούς $a$ και $b$.

Ιδιότητες GCD και LCM

Οποιοδήποτε κοινό πολλαπλάσιο των $a$ και $b$ διαιρείται με το K$(a;b)$
Αν $a\vdots b$ , τότε К$(a;b)=a$

Αν K$(a;b)=k$ και $m$ είναι φυσικός αριθμός, τότε K$(am;bm)=km$

Εάν ο $d$ είναι ένας κοινός διαιρέτης για $a$ και $b$, τότε K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Αν $a\vdots c$ και $b\vdots c$ , τότε το $\frac(ab)(c)$ είναι το κοινό πολλαπλάσιο των $a$ και $b$

Για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς $a$ και $b$ ισχύει η ισότητα

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Οποιοσδήποτε κοινός διαιρέτης των αριθμών $a$ και $b$ είναι διαιρέτης του αριθμού $D(a;b)$

Αλλά πολλοί φυσικοί αριθμοί διαιρούνται επίσης με άλλους φυσικούς αριθμούς.

Για παράδειγμα:

Ο αριθμός 12 διαιρείται με το 1, με το 2, με το 3, με το 4, με το 6, με το 12.

Ο αριθμός 36 διαιρείται με το 1, με το 2, με το 3, με το 4, με το 6, με το 12, με το 18, με το 36.

Οι αριθμοί με τους οποίους ο αριθμός διαιρείται με ένα σύνολο (για το 12 είναι 1, 2, 3, 4, 6 και 12) λέγονται διαιρέτες αριθμών. Διαιρέτης φυσικού αριθμού ένα- είναι ένας φυσικός αριθμός που διαιρεί έναν δεδομένο αριθμό έναχωρίς ίχνος. Ένας φυσικός αριθμός που έχει περισσότερους από δύο διαιρέτες ονομάζεται σύνθετος .

Σημειώστε ότι οι αριθμοί 12 και 36 έχουν κοινούς παράγοντες. Αυτοί οι αριθμοί είναι: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ο μεγαλύτερος διαιρέτης αυτών των αριθμών είναι το 12. Ο κοινός διαιρέτης αυτών των δύο αριθμών έναΚαι σι- αυτός είναι ο αριθμός με τον οποίο διαιρούνται και οι δύο αριθμοί χωρίς υπόλοιπο έναΚαι σι.

Κοινά πολλαπλάσιααρκετοί αριθμοί είναι ένας αριθμός που διαιρείται με καθέναν από αυτούς τους αριθμούς. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 9, 18 και 45 έχουν κοινό πολλαπλάσιο του 180. Αλλά το 90 και το 360 είναι επίσης κοινά πολλαπλάσια τους. Μεταξύ όλων των κοινών πολλαπλασίων υπάρχει πάντα ένα μικρότερο, στην περίπτωση αυτή είναι το 90. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται το μικρότεροκοινά πολλαπλάσια (CMM).

Το LCM είναι πάντα ένας φυσικός αριθμός που πρέπει να είναι μεγαλύτερος από τον μεγαλύτερο από τους αριθμούς για τους οποίους ορίζεται.

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM). Ιδιότητες.

Ανταλλαγή:

Συνεταιρισμός:

Συγκεκριμένα, αν και είναι συμπρώτοι αριθμοί, τότε:

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ακεραίων ΜΚαι nείναι διαιρέτης όλων των άλλων κοινών πολλαπλασίων ΜΚαι n. Επιπλέον, το σύνολο των κοινών πολλαπλασίων m, nσυμπίπτει με το σύνολο των πολλαπλασίων του LCM( m, n).

Οι ασυμπτωτικές για μπορούν να εκφραστούν με όρους ορισμένων αριθμητικών συναρτήσεων.

Ετσι, Λειτουργία Chebyshev. Και:

Αυτό προκύπτει από τον ορισμό και τις ιδιότητες της συνάρτησης Landau g(n).

Τι προκύπτει από τον νόμο κατανομής των πρώτων αριθμών.

Εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου (LCM).

NOC( α, β) μπορεί να υπολογιστεί με διάφορους τρόπους:

1. Εάν είναι γνωστός ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη σύνδεσή του με το LCM:

2. Ας είναι γνωστή η κανονική αποσύνθεση και των δύο αριθμών σε πρώτους παράγοντες:

Οπου p 1 ,...,p k- διάφοροι πρώτοι αριθμοί, και d 1 ,...,d kΚαι e 1 ,...,e k— μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί (μπορούν να είναι μηδενικοί αν ο αντίστοιχος πρώτος δεν βρίσκεται στην επέκταση).

Στη συνέχεια NOC ( ένα,σι) υπολογίζεται με τον τύπο:

Με άλλα λόγια, η αποσύνθεση LCM περιέχει όλους τους πρώτους παράγοντες που περιλαμβάνονται σε τουλάχιστον μία από τις αποσυνθέσεις των αριθμών α, β, και λαμβάνεται ο μεγαλύτερος από τους δύο εκθέτες αυτού του παράγοντα.

Παράδειγμα:

Ο υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου πολλών αριθμών μπορεί να μειωθεί σε αρκετούς διαδοχικούς υπολογισμούς του LCM δύο αριθμών:

Κανόνας.Για να βρείτε το LCM μιας σειράς αριθμών, χρειάζεστε:

- Αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

- μεταφέρετε τη μεγαλύτερη αποσύνθεση (το γινόμενο των παραγόντων του μεγαλύτερου αριθμού των δεδομένων) στους συντελεστές του επιθυμητού προϊόντος και, στη συνέχεια, προσθέστε παράγοντες από την αποσύνθεση άλλων αριθμών που δεν εμφανίζονται στον πρώτο αριθμό ή δεν εμφανίζονται σε αυτόν λιγότερες φορές?

— το προκύπτον γινόμενο των πρώτων παραγόντων θα είναι το LCM των δεδομένων αριθμών.

Οποιοιδήποτε δύο ή περισσότεροι φυσικοί αριθμοί έχουν το δικό τους LCM. Αν οι αριθμοί δεν είναι πολλαπλάσιοι ο ένας του άλλου ή δεν έχουν τους ίδιους συντελεστές στην επέκταση, τότε το LCM τους είναι ίσο με το γινόμενο αυτών των αριθμών.

Οι πρώτοι παράγοντες του αριθμού 28 (2, 2, 7) συμπληρώνονται με συντελεστή 3 (ο αριθμός 21), το γινόμενο (84) που προκύπτει θα είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με το 21 και το 28.

Οι πρώτοι παράγοντες του μεγαλύτερου αριθμού 30 συμπληρώνονται από τον παράγοντα 5 του αριθμού 25, το γινόμενο 150 που προκύπτει είναι μεγαλύτερο από τον μεγαλύτερο αριθμό 30 και διαιρείται με όλους τους δεδομένους αριθμούς χωρίς υπόλοιπο. Αυτό είναι το μικρότερο δυνατό γινόμενο (150, 250, 300...) που είναι πολλαπλάσιο όλων των δεδομένων αριθμών.

Οι αριθμοί 2,3,11,37 είναι πρώτοι αριθμοί, άρα το LCM τους είναι ίσο με το γινόμενο των δεδομένων αριθμών.

Κανόνας. Για να υπολογίσετε το LCM των πρώτων αριθμών, πρέπει να πολλαπλασιάσετε όλους αυτούς τους αριθμούς μαζί.

Αλλη επιλογή:

Για να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) πολλών αριθμών χρειάζεστε:

1) αντιπροσωπεύει κάθε αριθμό ως γινόμενο των πρώτων παραγόντων του, για παράδειγμα:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) Καταγράψτε τις δυνάμεις όλων των πρώτων παραγόντων:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) Καταγράψτε όλους τους πρώτους διαιρέτες (πολλαπλασιαστές) καθενός από αυτούς τους αριθμούς.

4) επιλέξτε τον μεγαλύτερο βαθμό καθενός από αυτούς, που βρίσκεται σε όλες τις επεκτάσεις αυτών των αριθμών.

5) πολλαπλασιάστε αυτές τις δυνάμεις.

Παράδειγμα. Βρείτε το LCM των αριθμών: 168, 180 και 3024.

Λύση. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Καταγράφουμε τις μεγαλύτερες δυνάμεις όλων των πρώτων διαιρετών και τις πολλαπλασιάζουμε:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Το υλικό που παρουσιάζεται παρακάτω είναι μια λογική συνέχεια της θεωρίας από το άρθρο με τίτλο LCM - ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, ορισμός, παραδείγματα, σύνδεση μεταξύ LCM και GCD. Εδώ θα μιλήσουμε για εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου (LCM), και θα δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στην επίλυση παραδειγμάτων. Αρχικά, θα δείξουμε πώς υπολογίζεται το LCM δύο αριθμών χρησιμοποιώντας το GCD αυτών των αριθμών. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε την εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε στην εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών και επίσης θα δώσουμε προσοχή στον υπολογισμό του LCM των αρνητικών αριθμών.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλού (LCM) μέσω GCD

Ένας τρόπος για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βασίζεται στη σχέση μεταξύ LCM και GCD. Η υπάρχουσα σύνδεση μεταξύ LCM και GCD μας επιτρέπει να υπολογίσουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο θετικών ακεραίων μέσω ενός γνωστού μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη. Ο αντίστοιχος τύπος είναι LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Ας δούμε παραδείγματα εύρεσης του LCM χρησιμοποιώντας τον συγκεκριμένο τύπο.

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών 126 και 70.

Λύση.

Σε αυτό το παράδειγμα a=126 , b=70 . Ας χρησιμοποιήσουμε τη σύνδεση μεταξύ LCM και GCD, που εκφράζεται με τον τύπο LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Δηλαδή, πρώτα πρέπει να βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των αριθμών 70 και 126, μετά τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε το LCM αυτών των αριθμών χρησιμοποιώντας τον γραπτό τύπο.

Ας βρούμε το GCD(126, 70) χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, επομένως, GCD(126, 70)=14.

Τώρα βρίσκουμε το απαιτούμενο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Απάντηση:

LCM(126, 70)=630.

Παράδειγμα.

Με τι ισούται το LCM(68, 34);

Λύση.

Επειδή Το 68 διαιρείται με το 34, τότε το GCD(68, 34)=34. Τώρα υπολογίζουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Απάντηση:

LCM(68, 34)=68.

Σημειώστε ότι το προηγούμενο παράδειγμα ταιριάζει με τον ακόλουθο κανόνα για την εύρεση του LCM για θετικούς ακέραιους αριθμούς a και b: εάν ο αριθμός a διαιρείται με το b, τότε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το a.

Εύρεση του LCM με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες

Ένας άλλος τρόπος για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βασίζεται στην παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Εάν συνθέσετε ένα γινόμενο από όλους τους πρώτους συντελεστές δεδομένων αριθμών και στη συνέχεια εξαιρέσετε από αυτό το γινόμενο όλους τους κοινούς πρώτους παράγοντες που υπάρχουν στις αποσυνθέσεις των δεδομένων αριθμών, τότε το γινόμενο που προκύπτει θα είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δεδομένων αριθμών .

Ο αναφερόμενος κανόνας για την εύρεση του LCM προκύπτει από την ισότητα LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Πράγματι, το γινόμενο των αριθμών α και β είναι ίσο με το γινόμενο όλων των παραγόντων που εμπλέκονται στην επέκταση των αριθμών α και β. Με τη σειρά του, το GCD(a, b) είναι ίσο με το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων που υπάρχουν ταυτόχρονα στις επεκτάσεις των αριθμών a και b (όπως περιγράφεται στην ενότητα για την εύρεση GCD χρησιμοποιώντας την επέκταση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες).

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Ας ξέρουμε ότι 75=3·5·5 και 210=2·3·5·7. Ας συνθέσουμε το γινόμενο από όλους τους συντελεστές αυτών των επεκτάσεων: 2·3·3·5·5·5·7 . Τώρα από αυτό το γινόμενο εξαιρούμε όλους τους παράγοντες που υπάρχουν τόσο στην επέκταση του αριθμού 75 όσο και στην επέκταση του αριθμού 210 (αυτοί οι παράγοντες είναι 3 και 5), τότε το γινόμενο θα πάρει τη μορφή 2·3·5·5·7 . Η τιμή αυτού του γινόμενου είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 75 και του 210, δηλαδή NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε τους αριθμούς 441 και 700 σε πρώτους παράγοντες και βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Λύση.

Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 441 και 700 σε πρώτους παράγοντες:

Παίρνουμε 441=3·3·7·7 και 700=2·2·5·5·7.

Τώρα ας δημιουργήσουμε ένα προϊόν από όλους τους παράγοντες που εμπλέκονται στην επέκταση αυτών των αριθμών: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Ας εξαιρέσουμε από αυτό το προϊόν όλους τους παράγοντες που υπάρχουν ταυτόχρονα και στις δύο επεκτάσεις (υπάρχει μόνο ένας τέτοιος παράγοντας - αυτός είναι ο αριθμός 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Ετσι, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Απάντηση:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Ο κανόνας για την εύρεση του LCM χρησιμοποιώντας παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες μπορεί να διατυπωθεί λίγο διαφορετικά. Εάν οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του αριθμού b προστεθούν στους συντελεστές από τη διεύρυνση του αριθμού α, τότε η τιμή του γινόμενου που προκύπτει θα είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών a και b.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε τους ίδιους αριθμούς 75 και 210, οι αποσυνθέσεις τους σε πρώτους παράγοντες είναι οι εξής: 75=3·5·5 και 210=2·3·5·7. Στους παράγοντες 3, 5 και 5 από την επέκταση του αριθμού 75 προσθέτουμε τους συντελεστές 2 και 7 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 210, παίρνουμε το γινόμενο 2·3·5·5·7, η τιμή του οποίου είναι ίσο με LCM(75, 210).

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648.

Λύση.

Λαμβάνουμε πρώτα τις αποσυνθέσεις των αριθμών 84 και 648 σε πρώτους παράγοντες. Μοιάζουν με 84=2·2·3·7 και 648=2·2·2·3·3·3·3. Στους παράγοντες 2, 2, 3 και 7 από την επέκταση του αριθμού 84 προσθέτουμε τους συντελεστές 2, 3, 3 και 3 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 648, παίρνουμε το γινόμενο 2 2 2 3 3 3 3 7, που ισούται με 4 536 . Έτσι, το επιθυμητό ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 84 και 648 είναι 4.536.

Απάντηση:

LCM(84, 648)=4,536.

Εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών

Το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών μπορεί να βρεθεί βρίσκοντας διαδοχικά το LCM δύο αριθμών. Ας θυμηθούμε το αντίστοιχο θεώρημα, το οποίο δίνει έναν τρόπο να βρούμε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών.

Θεώρημα.

Έστω θετικοί ακέραιοι αριθμοί a 1 , a 2 , …, a k, το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο m k αυτών των αριθμών βρίσκεται με διαδοχικό υπολογισμό m 2 = LCM(a 1 , a 2), m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Ας εξετάσουμε την εφαρμογή αυτού του θεωρήματος χρησιμοποιώντας το παράδειγμα εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου τεσσάρων αριθμών.

Παράδειγμα.

Βρείτε το LCM τεσσάρων αριθμών 140, 9, 54 και 250.

Λύση.

Σε αυτό το παράδειγμα, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Πρώτα βρίσκουμε m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο, προσδιορίζουμε το GCD(140, 9), έχουμε 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, επομένως, GCD(140, 9)=1 , από όπου GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1.260. Δηλαδή, m 2 = 1 260.

Τώρα βρίσκουμε m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Ας το υπολογίσουμε μέσω του GCD(1 260, 54), το οποίο προσδιορίζουμε επίσης χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Τότε gcd(1,260, 54)=18, από το οποίο gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Δηλαδή, m 3 = 3 780.

Το μόνο που μένει είναι να βρεθεί m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε το GCD(3,780, 250) χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Επομένως, GCM(3,780, 250)=10, από όπου GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Δηλαδή m 4 =94.500.

Άρα το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αρχικών τεσσάρων αριθμών είναι το 94.500.

Απάντηση:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

Σε πολλές περιπτώσεις, είναι βολικό να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών χρησιμοποιώντας πρώτους παραγοντοποιήσεις των δεδομένων αριθμών. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να τηρείτε τον ακόλουθο κανόνα. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολλών αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο, το οποίο αποτελείται ως εξής: οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού προστίθενται σε όλους τους παράγοντες από την επέκταση του πρώτου αριθμού, οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του ο τρίτος αριθμός προστίθεται στους συντελεστές που προκύπτουν και ούτω καθεξής.

Ας δούμε ένα παράδειγμα εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου χρησιμοποιώντας την παραγοντοποίηση πρώτων.

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των πέντε αριθμών 84, 6, 48, 7, 143.

Λύση.

Αρχικά, λαμβάνουμε τις αποσυνθέσεις αυτών των αριθμών σε πρώτους παράγοντες: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (το 7 είναι πρώτος αριθμός, συμπίπτει με την αποσύνθεσή του σε πρώτους παράγοντες) και 143=11·13.

Για να βρείτε το LCM αυτών των αριθμών, στους συντελεστές του πρώτου αριθμού 84 (είναι 2, 2, 3 και 7), πρέπει να προσθέσετε τους παράγοντες που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού 6. Η αποσύνθεση του αριθμού 6 δεν περιέχει παράγοντες που λείπουν, αφού και το 2 και το 3 είναι ήδη παρόντα στην αποσύνθεση του πρώτου αριθμού 84. Στη συνέχεια, στους παράγοντες 2, 2, 3 και 7 προσθέτουμε τους παράγοντες 2 και 2 που λείπουν από την επέκταση του τρίτου αριθμού 48, παίρνουμε ένα σύνολο παραγόντων 2, 2, 2, 2, 3 και 7. Δεν θα χρειαστεί να προσθέσετε πολλαπλασιαστές σε αυτό το σύνολο στο επόμενο βήμα, καθώς το 7 περιέχεται ήδη σε αυτό. Τέλος, στους παράγοντες 2, 2, 2, 2, 3 και 7 προσθέτουμε τους συντελεστές 11 και 13 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 143. Παίρνουμε το γινόμενο 2·2·2·2·3·7·11·13, που ισούται με 48.048.

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης και το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο είναι βασικές αριθμητικές έννοιες που κάνουν την εργασία με κλάσματα αβίαστη. LCM και χρησιμοποιούνται συχνότερα για την εύρεση του κοινού παρονομαστή πολλών κλασμάτων.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Ο διαιρέτης ενός ακέραιου X είναι ένας άλλος ακέραιος αριθμός Y με τον οποίο το X διαιρείται χωρίς να αφήνει υπόλοιπο. Για παράδειγμα, ο διαιρέτης του 4 είναι 2 και του 36 είναι 4, 6, 9. Πολλαπλάσιο ενός ακέραιου Χ είναι ένας αριθμός Υ που διαιρείται με το Χ χωρίς υπόλοιπο. Για παράδειγμα, το 3 είναι πολλαπλάσιο του 15 και το 6 είναι πολλαπλάσιο του 12.

Για οποιοδήποτε ζεύγος αριθμών μπορούμε να βρούμε τους κοινούς διαιρέτες και πολλαπλάσια τους. Για παράδειγμα, για το 6 και το 9, το κοινό πολλαπλάσιο είναι 18 και ο κοινός διαιρέτης είναι 3. Προφανώς, τα ζεύγη μπορούν να έχουν πολλούς διαιρέτες και πολλαπλάσια, επομένως οι υπολογισμοί χρησιμοποιούν τον μεγαλύτερο διαιρέτη GCD και το μικρότερο πολλαπλάσιο LCM.

Ο ελάχιστος διαιρέτης δεν έχει νόημα, αφού για οποιονδήποτε αριθμό είναι πάντα ένα. Το μεγαλύτερο πολλαπλάσιο είναι επίσης χωρίς νόημα, αφού η ακολουθία των πολλαπλασίων πηγαίνει στο άπειρο.

Εύρεση gcd

Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη, οι πιο γνωστές από τις οποίες είναι:

διαδοχική αναζήτηση διαιρετών, επιλογή κοινών για ένα ζευγάρι και αναζήτηση του μεγαλύτερου από αυτούς.
αποσύνθεση αριθμών σε αδιαίρετους παράγοντες.
Ευκλείδειος αλγόριθμος;
δυαδικός αλγόριθμος.

Σήμερα στα εκπαιδευτικά ιδρύματα οι πιο δημοφιλείς μέθοδοι είναι η αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες και ο ευκλείδειος αλγόριθμος. Το τελευταίο, με τη σειρά του, χρησιμοποιείται κατά την επίλυση εξισώσεων Διοφαντίνης: απαιτείται αναζήτηση για GCD για να ελεγχθεί η εξίσωση για τη δυνατότητα ανάλυσης σε ακέραιους αριθμούς.

Εύρεση του NOC

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο προσδιορίζεται επίσης με διαδοχική αναζήτηση ή αποσύνθεση σε αδιαίρετους παράγοντες. Επιπλέον, είναι εύκολο να βρείτε το LCM εάν έχει ήδη προσδιοριστεί ο μεγαλύτερος διαιρέτης. Για τους αριθμούς X και Y, το LCM και το GCD σχετίζονται με την ακόλουθη σχέση:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Για παράδειγμα, εάν GCM(15,18) = 3, τότε LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Το πιο προφανές παράδειγμα χρήσης LCM είναι να βρείτε τον κοινό παρονομαστή, που είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο του δοσμένα κλάσματα.

Συμπρώτοι αριθμοί

Εάν ένα ζεύγος αριθμών δεν έχει κοινούς διαιρέτες, τότε ένα τέτοιο ζεύγος λέγεται συμπρώτος. Το gcd για τέτοια ζεύγη είναι πάντα ίσο με ένα, και με βάση τη σύνδεση μεταξύ διαιρετών και πολλαπλασίων, το gcd για τα συμπρωτεύοντα ζεύγη είναι ίσο με το γινόμενο τους. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 25 και 28 είναι σχετικά πρώτοι, επειδή δεν έχουν κοινούς διαιρέτες, και LCM(25, 28) = 700, που αντιστοιχεί στο γινόμενο τους. Τυχόν δύο αδιαίρετοι αριθμοί θα είναι πάντα σχετικά πρώτοι.

Κοινός διαιρέτης και πολλαπλή αριθμομηχανή

Χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή μας, μπορείτε να υπολογίσετε το GCD και το LCM για έναν αυθαίρετο αριθμό αριθμών για να διαλέξετε. Οι εργασίες για τον υπολογισμό κοινών διαιρετών και πολλαπλασίων βρίσκονται στην αριθμητική της 5ης και 6ης τάξης, αλλά το GCD και το LCM είναι βασικές έννοιες στα μαθηματικά και χρησιμοποιούνται στη θεωρία αριθμών, την επιπεδομετρία και την επικοινωνιακή άλγεβρα.

Παραδείγματα πραγματικής ζωής

Κοινός παρονομαστής των κλασμάτων

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο χρησιμοποιείται όταν βρίσκουμε τον κοινό παρονομαστή πολλών κλασμάτων. Ας πούμε ότι σε ένα αριθμητικό πρόβλημα πρέπει να αθροίσετε 5 κλάσματα:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Για να προσθέσετε κλάσματα, η έκφραση πρέπει να μειωθεί σε έναν κοινό παρονομαστή, ο οποίος μειώνεται στο πρόβλημα της εύρεσης του LCM. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε 5 αριθμούς στην αριθμομηχανή και εισαγάγετε τις τιμές των παρονομαστών στα αντίστοιχα κελιά. Το πρόγραμμα θα υπολογίσει το LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Τώρα πρέπει να υπολογίσετε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα, οι οποίοι ορίζονται ως ο λόγος του LCM προς τον παρονομαστή. Έτσι οι πρόσθετοι πολλαπλασιαστές θα μοιάζουν με:

360/8 = 45
360/9 = 40
360/12 = 30
360/15 = 24
360/18 = 20.

Μετά από αυτό, πολλαπλασιάζουμε όλα τα κλάσματα με τον αντίστοιχο πρόσθετο παράγοντα και παίρνουμε:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Μπορούμε εύκολα να αθροίσουμε τέτοια κλάσματα και να πάρουμε το αποτέλεσμα ως 159/360. Μειώνουμε το κλάσμα κατά 3 και βλέπουμε την τελική απάντηση - 53/120.

Επίλυση γραμμικών Διοφαντικών εξισώσεων

Οι γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις είναι εκφράσεις της μορφής ax + by = d. Αν ο λόγος d / gcd(a, b) είναι ακέραιος, τότε η εξίσωση είναι επιλύσιμη σε ακέραιους αριθμούς. Ας ελέγξουμε μερικές εξισώσεις για να δούμε αν έχουν ακέραια λύση. Αρχικά, ας ελέγξουμε την εξίσωση 150x + 8y = 37. Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή, βρίσκουμε GCD (150,8) = 2. Διαιρέστε 37/2 = 18,5. Ο αριθμός δεν είναι ακέραιος, επομένως η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες.

Ας ελέγξουμε την εξίσωση 1320x + 1760y = 10120. Χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή για να βρείτε GCD(1320, 1760) = 440. Διαιρέστε 10120/440 = 23. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε έναν ακέραιο, επομένως, η εξίσωση συντελεστή Diophantine is .

συμπέρασμα

Το GCD και το LCM παίζουν μεγάλο ρόλο στη θεωρία αριθμών και οι ίδιες οι έννοιες χρησιμοποιούνται ευρέως σε μια μεγάλη ποικιλία τομέων των μαθηματικών. Χρησιμοποιήστε την αριθμομηχανή μας για να υπολογίσετε τους μεγαλύτερους διαιρέτες και τα ελάχιστα πολλαπλάσια οποιουδήποτε αριθμού αριθμών.

Η ηλεκτρονική αριθμομηχανή σάς επιτρέπει να βρείτε γρήγορα τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη και το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο για δύο ή οποιονδήποτε άλλο αριθμό αριθμών.

Αριθμομηχανή για εύρεση GCD και LCM

Βρείτε GCD και LOC

Βρέθηκαν GCD και LOC: 5806

Πώς να χρησιμοποιήσετε την αριθμομηχανή

Εισαγάγετε αριθμούς στο πεδίο εισαγωγής
Εάν εισαγάγετε λανθασμένους χαρακτήρες, το πεδίο εισαγωγής θα τονιστεί με κόκκινο χρώμα
κάντε κλικ στο κουμπί "Εύρεση GCD και LOC".

Πώς να εισάγετε αριθμούς

Οι αριθμοί εισάγονται χωρισμένοι με κενό, τελεία ή κόμμα
Το μήκος των εισαγόμενων αριθμών δεν είναι περιορισμένο, επομένως η εύρεση GCD και LCM μεγάλων αριθμών δεν είναι δύσκολη

Τι είναι το GCD και το NOC;

Μέγιστο κοινό διαιρέτηαρκετοί αριθμοί είναι ο μεγαλύτερος φυσικός ακέραιος με τον οποίο διαιρούνται όλοι οι αρχικοί αριθμοί χωρίς υπόλοιπο. Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης συντομεύεται ως GCD.
Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιοαρκετοί αριθμοί είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με κάθε έναν από τους αρχικούς αριθμούς χωρίς υπόλοιπο. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο συντομεύεται ως NOC.

Πώς να ελέγξετε ότι ένας αριθμός διαιρείται με έναν άλλο αριθμό χωρίς υπόλοιπο;

Για να μάθετε αν ένας αριθμός διαιρείται με έναν άλλο χωρίς υπόλοιπο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ορισμένες ιδιότητες διαιρετότητας αριθμών. Στη συνέχεια, συνδυάζοντάς τα, μπορείτε να ελέγξετε τη διαιρετότητα ορισμένων από αυτά και τους συνδυασμούς τους.

Μερικά σημάδια διαιρετότητας αριθμών

1. Δοκιμή διαιρετότητας για έναν αριθμό με το 2
Για να προσδιορίσετε εάν ένας αριθμός διαιρείται με δύο (είτε είναι άρτιος), αρκεί να κοιτάξετε το τελευταίο ψηφίο αυτού του αριθμού: εάν είναι ίσο με 0, 2, 4, 6 ή 8, τότε ο αριθμός είναι άρτιος, που σημαίνει ότι διαιρείται με το 2.
Παράδειγμα:καθορίστε εάν ο αριθμός 34938 διαιρείται με το 2.
Λύση:Εξετάζουμε το τελευταίο ψηφίο: 8 - αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός διαιρείται με δύο.

2. Δοκιμή διαιρετότητας για έναν αριθμό με το 3
Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 όταν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το τρία. Έτσι, για να προσδιορίσετε εάν ένας αριθμός διαιρείται με το 3, πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα των ψηφίων και να ελέγξετε αν διαιρείται με το 3. Ακόμα κι αν το άθροισμα των ψηφίων είναι πολύ μεγάλο, μπορείτε να επαναλάβετε την ίδια διαδικασία ξανά.
Παράδειγμα:καθορίστε εάν ο αριθμός 34938 διαιρείται με το 3.
Λύση:Μετράμε το άθροισμα των αριθμών: 3+4+9+3+8 = 27. Το 27 διαιρείται με το 3, που σημαίνει ότι ο αριθμός διαιρείται με το τρία.

3. Δοκιμή διαιρετότητας για έναν αριθμό με το 5
Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι μηδέν ή πέντε.
Παράδειγμα:προσδιορίστε εάν ο αριθμός 34938 διαιρείται με το 5.
Λύση:κοιτάξτε το τελευταίο ψηφίο: 8 σημαίνει ότι ο αριθμός ΔΕΝ διαιρείται με το πέντε.

4. Δοκιμή διαιρετότητας για έναν αριθμό με το 9
Αυτό το πρόσημο μοιάζει πολύ με το πρόσημο της διαιρετότητας με το τρία: ένας αριθμός διαιρείται με το 9 όταν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.
Παράδειγμα:καθορίστε εάν ο αριθμός 34938 διαιρείται με το 9.
Λύση:Μετράμε το άθροισμα των αριθμών: 3+4+9+3+8 = 27. Το 27 διαιρείται με το 9, που σημαίνει ότι ο αριθμός διαιρείται με το εννέα.

Πώς να βρείτε GCD και LCM δύο αριθμών

Πώς να βρείτε το gcd δύο αριθμών

Ο ευκολότερος τρόπος για να υπολογίσετε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών είναι να βρείτε όλους τους πιθανούς διαιρέτες αυτών των αριθμών και να επιλέξετε τον μεγαλύτερο.

Ας εξετάσουμε αυτήν τη μέθοδο χρησιμοποιώντας το παράδειγμα εύρεσης GCD(28, 36):

Συνυπολογίζουμε και τους δύο αριθμούς: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
Βρίσκουμε κοινούς παράγοντες, δηλαδή αυτούς που έχουν και οι δύο αριθμοί: 1, 2 και 2.
Υπολογίζουμε το γινόμενο αυτών των παραγόντων: 1 2 2 = 4 - αυτός είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών 28 και 36.

Πώς να βρείτε το LCM δύο αριθμών

Υπάρχουν δύο πιο συνηθισμένοι τρόποι για να βρείτε το ελάχιστο πολλαπλάσιο δύο αριθμών. Η πρώτη μέθοδος είναι ότι μπορείτε να γράψετε τα πρώτα πολλαπλάσια δύο αριθμών και στη συνέχεια να επιλέξετε μεταξύ τους έναν αριθμό που θα είναι κοινός και στους δύο αριθμούς και ταυτόχρονα ο μικρότερος. Και το δεύτερο είναι να βρείτε το gcd αυτών των αριθμών. Ας το εξετάσουμε μόνο.

Για να υπολογίσετε το LCM, πρέπει να υπολογίσετε το γινόμενο των αρχικών αριθμών και στη συνέχεια να το διαιρέσετε με το GCD που βρέθηκε προηγουμένως. Ας βρούμε το LCM για τους ίδιους αριθμούς 28 και 36:

Βρείτε το γινόμενο των αριθμών 28 και 36: 28·36 = 1008
Το GCD(28, 36), όπως είναι ήδη γνωστό, είναι ίσο με 4
LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Εύρεση GCD και LCM για πολλούς αριθμούς

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης μπορεί να βρεθεί για πολλούς αριθμούς, όχι μόνο για δύο. Για να γίνει αυτό, οι αριθμοί που πρέπει να βρεθούν για τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη διασπώνται σε πρώτους παράγοντες, και στη συνέχεια βρίσκεται το γινόμενο των κοινών πρώτων παραγόντων αυτών των αριθμών. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη σχέση για να βρείτε το gcd πολλών αριθμών: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Μια παρόμοια σχέση ισχύει για το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Παράδειγμα:βρείτε GCD και LCM για τους αριθμούς 12, 32 και 36.

Αρχικά, ας παραγοντοποιήσουμε τους αριθμούς: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
Ας βρούμε τους κοινούς παράγοντες: 1, 2 και 2.
Το γινόμενο τους θα δώσει GCD: 1·2·2 = 4
Τώρα ας βρούμε το LCM: για να το κάνουμε αυτό, ας βρούμε πρώτα το LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
Για να βρείτε το LCM και των τριών αριθμών, πρέπει να βρείτε το GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.