Αναγωγή κλασμάτων στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, κανόνες, παραδείγματα, λύσεις. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του LCM

Για να αναγάγετε τα κλάσματα στον ελάχιστο κοινό παρονομαστή, πρέπει: 1) να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών των δοσμένων κλασμάτων, θα είναι ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής. 2) Βρείτε έναν επιπλέον παράγοντα για κάθε κλάσμα διαιρώντας τον νέο παρονομαστή με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος. 3) πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή κάθε κλάσματος με τον πρόσθετο παράγοντα του.

Παραδείγματα. Να μειώσετε τα παρακάτω κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή τους.

Βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών: LCM(5; 4) = 20, αφού το 20 είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται και με το 5 και με το 4. Βρείτε για το 1ο κλάσμα έναν επιπλέον παράγοντα 4 (20 : 5=4). Για το 2ο κλάσμα ο πρόσθετος παράγοντας είναι 5 (20 : 4=5). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 1ου κλάσματος με το 4 και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος με το 5. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 20 ).

Ο χαμηλότερος κοινός παρονομαστής αυτών των κλασμάτων είναι ο αριθμός 8, αφού το 8 διαιρείται με το 4 και τον εαυτό του. Δεν θα υπάρχει πρόσθετος παράγοντας για το 1ο κλάσμα (ή μπορούμε να πούμε ότι είναι ίσος με ένα), για το 2ο κλάσμα ο πρόσθετος παράγοντας είναι 2 (8 : 4=2). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος επί 2. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 8 ).

Αυτά τα κλάσματα δεν είναι μη αναγώγιμα.

Ας μειώσουμε το 1ο κλάσμα κατά 4 και ας μειώσουμε το 2ο κλάσμα κατά 2. ( δείτε παραδείγματα για τη μείωση των συνηθισμένων κλασμάτων: Χάρτης ιστότοπου → 5.4.2. Παραδείγματα αναγωγής κοινών κλασμάτων). Βρείτε το LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Ο πρόσθετος πολλαπλασιαστής για το 1ο κλάσμα είναι 5 (80 : 16=5). Ο πρόσθετος παράγοντας για το 2ο κλάσμα είναι 4 (80 : 20=4). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 1ου κλάσματος με το 5 και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος με το 4. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 80 ).

Βρίσκουμε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή NCD(5 ; 6 και 15)=NOK(5 ; 6 και 15)=30. Ο πρόσθετος παράγοντας στο 1ο κλάσμα είναι 6 (30 : 5=6), ο πρόσθετος παράγοντας στο 2ο κλάσμα είναι 5 (30 : 6=5), ο πρόσθετος παράγοντας στο 3ο κλάσμα είναι 2 (30 : 15=2). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 1ου κλάσματος με το 6, τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος με το 5, τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 3ου κλάσματος με το 2. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 30 ).

Σελίδα 1 από 1 1

Για να κατανοήσετε πώς να υπολογίσετε το LCM, πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε την έννοια του όρου "πολλαπλά".

Ένα πολλαπλάσιο του Α είναι ένας φυσικός αριθμός που διαιρείται με τον Α χωρίς υπόλοιπο Έτσι, αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 5 μπορούν να θεωρηθούν 15, 20, 25 κ.ο.κ.

Μπορεί να υπάρχει περιορισμένος αριθμός διαιρετών ενός συγκεκριμένου αριθμού, αλλά υπάρχει ένας άπειρος αριθμός πολλαπλασίων.

Κοινό πολλαπλάσιο φυσικών αριθμών είναι ένας αριθμός που διαιρείται με αυτούς χωρίς να αφήνει υπόλοιπο.

Πώς να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) αριθμών (δύο, τρεις ή περισσότεροι) είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται με όλους αυτούς τους αριθμούς.

Για να βρείτε το LOC, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διάφορες μεθόδους.

Για μικρούς αριθμούς, είναι βολικό να γράψετε όλα τα πολλαπλάσια αυτών των αριθμών σε μια γραμμή μέχρι να βρείτε κάτι κοινό μεταξύ τους. Τα πολλαπλάσια συμβολίζονται με το κεφαλαίο γράμμα Κ.

Για παράδειγμα, πολλαπλάσια του 4 μπορούν να γραφτούν ως εξής:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Έτσι, μπορείτε να δείτε ότι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 4 και 6 είναι ο αριθμός 24. Αυτή η σημείωση γίνεται ως εξής:

LCM(4, 6) = 24

Εάν οι αριθμοί είναι μεγάλοι, βρείτε το κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών, τότε είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσετε μια άλλη μέθοδο υπολογισμού του LCM.

Για να ολοκληρώσετε την εργασία, πρέπει να συνυπολογίσετε τους δεδομένους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

Πρώτα πρέπει να γράψετε την αποσύνθεση του μεγαλύτερου αριθμού σε μια γραμμή και κάτω από αυτήν - τα υπόλοιπα.

Η αποσύνθεση κάθε αριθμού μπορεί να περιέχει διαφορετικό αριθμό παραγόντων.

Για παράδειγμα, ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 50 και 20 σε πρώτους παράγοντες.

Στη διεύρυνση του μικρότερου αριθμού, είναι απαραίτητο να τονιστούν οι παράγοντες που απουσιάζουν στη διεύρυνση του πρώτου. μεγάλος αριθμόςκαι μετά προσθέστε τα σε αυτό. Στο παράδειγμα που παρουσιάζεται, λείπει ένα δύο.

Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 20 και του 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Έτσι, το γινόμενο των πρώτων παραγόντων του μεγαλύτερου αριθμού και των παραγόντων του δεύτερου αριθμού που δεν συμπεριλήφθηκαν στην επέκταση του μεγαλύτερου αριθμού θα είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

Για να βρείτε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών, θα πρέπει να τους συνυπολογίσετε όλους σε πρώτους παράγοντες, όπως στην προηγούμενη περίπτωση.

Για παράδειγμα, μπορείτε να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Έτσι, μόνο δύο δύο από την επέκταση του δεκαέξι δεν συμπεριλήφθηκαν στην παραγοντοποίηση ενός μεγαλύτερου αριθμού (το ένα είναι στην επέκταση του είκοσι τεσσάρων).

Έτσι, πρέπει να προστεθούν στην επέκταση ενός μεγαλύτερου αριθμού.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις προσδιορισμού του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου. Έτσι, εάν ένας από τους αριθμούς μπορεί να διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο με έναν άλλο, τότε ο μεγαλύτερος από αυτούς τους αριθμούς θα είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο.

Για παράδειγμα, το LCM των δώδεκα και είκοσι τεσσάρων είναι είκοσι τέσσερα.

Εάν είναι απαραίτητο να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο συμπρώτων αριθμών που δεν έχουν ίδιους διαιρέτες, τότε το LCM τους θα είναι ίσο με το γινόμενο τους.

Για παράδειγμα, LCM (10, 11) = 110.

Ας συνεχίσουμε τη συζήτηση για το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, που ξεκινήσαμε στην ενότητα «LCM - ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, ορισμός, παραδείγματα». Σε αυτό το θέμα, θα εξετάσουμε τρόπους εύρεσης του LCM για τρεις ή περισσότερους αριθμούς και θα εξετάσουμε το ερώτημα πώς να βρείτε το LCM ενός αρνητικού αριθμού.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλού (LCM) μέσω GCD

Έχουμε ήδη καθορίσει τη σχέση μεταξύ του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου και του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη. Τώρα ας μάθουμε πώς να προσδιορίζουμε το LCM μέσω του GCD. Αρχικά, ας καταλάβουμε πώς να το κάνουμε αυτό για θετικούς αριθμούς.

Ορισμός 1

Μπορείτε να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο μέσω του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη χρησιμοποιώντας τον τύπο LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Παράδειγμα 1

Πρέπει να βρείτε το LCM των αριθμών 126 και 70.

Λύση

Ας πάρουμε a = 126, b = 70. Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές στον τύπο για τον υπολογισμό του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου μέσω του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Βρίσκει το gcd των αριθμών 70 και 126. Για αυτό χρειαζόμαστε τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, επομένως GCD (126 , 70) = 14 .

Ας υπολογίσουμε το LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Απάντηση: LCM(126, 70) = 630.

Παράδειγμα 2

Βρείτε τον αριθμό 68 και 34.

Λύση

GCD σε σε αυτήν την περίπτωσηΑυτό δεν είναι δύσκολο, αφού το 68 διαιρείται με το 34. Ας υπολογίσουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο χρησιμοποιώντας τον τύπο: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Απάντηση: LCM(68, 34) = 68.

Σε αυτό το παράδειγμα, χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα για την εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου των θετικών ακεραίων a και b: εάν ο πρώτος αριθμός διαιρείται με τον δεύτερο, το LCM αυτών των αριθμών θα είναι ίσο με τον πρώτο αριθμό.

Εύρεση του LCM με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες

Τώρα ας δούμε τη μέθοδο εύρεσης του LCM, η οποία βασίζεται στην παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Ορισμός 2

Για να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, πρέπει να εκτελέσουμε μια σειρά από απλά βήματα:

Συνθέτουμε το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων των αριθμών για τους οποίους πρέπει να βρούμε το LCM.
Εξαιρούμε όλους τους κύριους παράγοντες από τα προϊόντα που προκύπτουν.
το γινόμενο που προκύπτει μετά την εξάλειψη των κοινών πρώτων παραγόντων θα είναι ίσο με το LCM των δεδομένων αριθμών.

Αυτή η μέθοδος εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου βασίζεται στην ισότητα LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Αν κοιτάξετε τον τύπο, θα γίνει σαφές: το γινόμενο των αριθμών a και b είναι ίσο με το γινόμενο όλων των παραγόντων που συμμετέχουν στην αποσύνθεση αυτών των δύο αριθμών. Στην περίπτωση αυτή, το gcd δύο αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων που υπάρχουν ταυτόχρονα στις παραγοντοποιήσεις αυτών των δύο αριθμών.

Παράδειγμα 3

Έχουμε δύο αριθμούς 75 και 210. Μπορούμε να τις συνυπολογίσουμε ως εξής: 75 = 3 5 5Και 210 = 2 3 5 7. Αν συνθέσετε το γινόμενο όλων των παραγόντων των δύο αρχικών αριθμών, λαμβάνετε: 2 3 3 5 5 5 7.

Αν εξαιρέσουμε τους κοινούς παράγοντες και στους δύο αριθμούς 3 και 5, παίρνουμε ένα γινόμενο της ακόλουθης μορφής: 2 3 5 5 7 = 1050. Αυτό το προϊόν θα είναι το LCM μας για τους αριθμούς 75 και 210.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το LCM των αριθμών 441 Και 700 , παραγοντοποιώντας και τους δύο αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

Λύση

Ας βρούμε όλους τους πρώτους παράγοντες των αριθμών που δίνονται στην συνθήκη:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Παίρνουμε δύο αλυσίδες αριθμών: 441 = 3 3 7 7 και 700 = 2 2 5 5 7.

Το γινόμενο όλων των παραγόντων που συμμετείχαν στην αποσύνθεση αυτών των αριθμών θα έχει τη μορφή: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ας βρούμε κοινούς παράγοντες. Αυτός είναι ο αριθμός 7. Ας το εξαιρέσουμε από το συνολικό προϊόν: 2 2 3 3 5 5 7 7. Αποδεικνύεται ότι ο ΝΟΚ (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Απάντηση: LOC(441, 700) = 44.100.

Ας δώσουμε μια άλλη διατύπωση της μεθόδου εύρεσης του LCM αποσυνθέτοντας αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

Ορισμός 3

Προηγουμένως, εξαιρέσαμε από τον συνολικό αριθμό των κοινών παραγόντων και στους δύο αριθμούς. Τώρα θα το κάνουμε διαφορετικά:

Ας συνυπολογίσουμε και τους δύο αριθμούς σε πρώτους παράγοντες:
προσθέστε στο γινόμενο των πρώτων παραγόντων του πρώτου αριθμού τους συντελεστές που λείπουν από τον δεύτερο αριθμό.
παίρνουμε το γινόμενο, το οποίο θα είναι το επιθυμητό LCM δύο αριθμών.

Παράδειγμα 5

Ας επιστρέψουμε στους αριθμούς 75 και 210, για τους οποίους ήδη αναζητήσαμε το LCM σε ένα από τα προηγούμενα παραδείγματα. Ας τα αναλύσουμε σε απλούς παράγοντες: 75 = 3 5 5Και 210 = 2 3 5 7. Στο γινόμενο των παραγόντων 3, 5 και 5 οι αριθμοί 75 προσθέτουν τους παράγοντες που λείπουν 2 Και 7 αριθμοί 210. Παίρνουμε: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Αυτό είναι το LCM των αριθμών 75 και 210.

Παράδειγμα 6

Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το LCM των αριθμών 84 και 648.

Λύση

Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς από την συνθήκη σε απλούς παράγοντες: 84 = 2 2 3 7Και 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Ας προσθέσουμε στο γινόμενο τους παράγοντες 2, 2, 3 και 7 αριθμοί 84 που λείπουν παράγοντες 2, 3, 3 και
3 αριθμοί 648. Παίρνουμε το προϊόν 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.Αυτό είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648.

Απάντηση: LCM(84, 648) = 4.536.

Εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών

Ανεξάρτητα από το πόσους αριθμούς έχουμε να κάνουμε, ο αλγόριθμος των ενεργειών μας θα είναι πάντα ο ίδιος: θα βρίσκουμε διαδοχικά το LCM δύο αριθμών. Υπάρχει ένα θεώρημα για αυτή την περίπτωση.

Θεώρημα 1

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ακέραιους αριθμούς a 1 , a 2 , … , a k. NOC m kΑυτοί οι αριθμοί βρίσκονται με διαδοχικό υπολογισμό m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Τώρα ας δούμε πώς μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων.

Παράδειγμα 7

Πρέπει να υπολογίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τεσσάρων αριθμών 140, 9, 54 και 250 .

Λύση

Ας εισάγουμε τον συμβολισμό: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Ας ξεκινήσουμε υπολογίζοντας m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Ας εφαρμόσουμε τον Ευκλείδειο αλγόριθμο για να υπολογίσουμε το GCD των αριθμών 140 και 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Παίρνουμε: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Επομένως, m 2 = 1.260.

Τώρα ας υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας τον ίδιο αλγόριθμο m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Κατά τους υπολογισμούς λαμβάνουμε m 3 = 3 780.

Απλώς πρέπει να υπολογίσουμε m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Ακολουθούμε τον ίδιο αλγόριθμο. Παίρνουμε m 4 = 94 500.

Το LCM των τεσσάρων αριθμών από την συνθήκη του παραδείγματος είναι 94500.

Απάντηση: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι υπολογισμοί είναι απλοί, αλλά απαιτούν αρκετά κόπο. Για να εξοικονομήσετε χρόνο, μπορείτε να ακολουθήσετε άλλο τρόπο.

Ορισμός 4

Σας προσφέρουμε τον ακόλουθο αλγόριθμο ενεργειών:

Αποσυνθέτουμε όλους τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.
Στο γινόμενο των παραγόντων του πρώτου αριθμού προσθέτουμε τους συντελεστές που λείπουν από το γινόμενο του δεύτερου αριθμού.
στο προϊόν που λήφθηκε στο προηγούμενο στάδιο προσθέτουμε τους συντελεστές που λείπουν του τρίτου αριθμού κ.λπ.
το γινόμενο που προκύπτει θα είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο όλων των αριθμών από τη συνθήκη.

Παράδειγμα 8

Πρέπει να βρείτε το LCM πέντε αριθμών 84, 6, 48, 7, 143.

Λύση

Ας συνυπολογίσουμε και τους πέντε αριθμούς σε πρώτους παράγοντες: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Οι πρώτοι αριθμοί, που είναι ο αριθμός 7, δεν μπορούν να συνυπολογιστούν σε πρώτους παράγοντες. Τέτοιοι αριθμοί συμπίπτουν με την αποσύνθεσή τους σε πρώτους παράγοντες.

Ας πάρουμε τώρα το γινόμενο των πρώτων παραγόντων 2, 2, 3 και 7 του αριθμού 84 και ας προσθέσουμε σε αυτούς τους συντελεστές που λείπουν από τον δεύτερο αριθμό. Διασπάσαμε τον αριθμό 6 σε 2 και 3. Αυτοί οι παράγοντες είναι ήδη στο γινόμενο του πρώτου αριθμού. Επομένως, τα παραλείπουμε.

Συνεχίζουμε να προσθέτουμε τους πολλαπλασιαστές που λείπουν. Ας περάσουμε στον αριθμό 48, από το γινόμενο των πρώτων παραγόντων του οποίου παίρνουμε το 2 και το 2. Στη συνέχεια προσθέτουμε τον πρώτο παράγοντα του 7 από τον τέταρτο αριθμό και τους συντελεστές του 11 και του 13 του πέμπτου. Παίρνουμε: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Αυτό είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αρχικών πέντε αριθμών.

Απάντηση: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Βρίσκοντας το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αρνητικών αριθμών

Για να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αρνητικών αριθμών, αυτοί οι αριθμοί πρέπει πρώτα να αντικατασταθούν από αριθμούς με το αντίθετο πρόσημο και στη συνέχεια να γίνουν οι υπολογισμοί χρησιμοποιώντας τους παραπάνω αλγόριθμους.

Παράδειγμα 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) και LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Τέτοιες ενέργειες είναι επιτρεπτές λόγω του γεγονότος ότι αν δεχθούμε ότι έναΚαι − α– αντίθετοι αριθμοί,
τότε το σύνολο των πολλαπλασίων ενός αριθμού έναταιριάζει με το σύνολο των πολλαπλασίων ενός αριθμού − α.

Παράδειγμα 10

Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το LCM των αρνητικών αριθμών − 145 Και − 45 .

Λύση

Ας αντικαταστήσουμε τους αριθμούς − 145 Και − 45 στους αντίθετους αριθμούς τους 145 Και 45 . Τώρα, χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο, υπολογίζουμε το LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, έχοντας προηγουμένως καθορίσει το GCD χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο.

Παίρνουμε ότι το LCM των αριθμών είναι − 145 και − 45 ισοδυναμεί 1 305 .

Απάντηση: LCM (− 145, − 45) = 1.305.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Μέγιστο κοινό διαιρέτη

Ορισμός 2

Εάν ένας φυσικός αριθμός a διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό $b$, τότε ο $b$ ονομάζεται διαιρέτης του $a$ και ο $a$ ονομάζεται πολλαπλάσιο του $b$.

Έστω $a$ και $b$ φυσικοί αριθμοί. Ο αριθμός $c$ ονομάζεται κοινός διαιρέτης και του $a$ και του $b$.

Το σύνολο των κοινών διαιρετών των αριθμών $a$ και $b$ είναι πεπερασμένο, αφού κανένας από αυτούς τους διαιρέτες δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από $a$. Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ αυτών των διαιρετών υπάρχει ένας μεγαλύτερος, ο οποίος ονομάζεται ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών $a$ και $b$ και συμβολίζεται με τον ακόλουθο συμβολισμό:

$GCD\(a;b)\ ή \D\(a;b)$

Για να βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών χρειάζεστε:

Βρείτε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.

Παράδειγμα 1

Βρείτε το gcd των αριθμών $121$ και $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Επιλέξτε τους αριθμούς που περιλαμβάνονται στην επέκταση αυτών των αριθμών

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Βρείτε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.

$GCD=2\cdot 11=22$

Παράδειγμα 2

Βρείτε το gcd των μονωνύμων $63$ και $81$.

Θα βρούμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο που παρουσιάζεται. Για αυτό:

Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Επιλέγουμε τους αριθμούς που περιλαμβάνονται στην επέκταση αυτών των αριθμών

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Ας βρούμε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.

$GCD=3\cdot 3=9$

Μπορείτε να βρείτε το gcd δύο αριθμών με άλλο τρόπο, χρησιμοποιώντας ένα σύνολο διαιρετών αριθμών.

Παράδειγμα 3

Βρείτε το gcd των αριθμών $48$ και $60$.

Λύση:

Ας βρούμε το σύνολο των διαιρετών του αριθμού $48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Τώρα ας βρούμε το σύνολο των διαιρετών του αριθμού $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ $

Ας βρούμε την τομή αυτών των συνόλων: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - αυτό το σύνολο θα καθορίσει το σύνολο των κοινών διαιρετών των αριθμών $48$ και $60 $. Το μεγαλύτερο στοιχείο σε αυτό το σύνολο θα είναι ο αριθμός $12$. Αυτό σημαίνει ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών $48$ και $60$ είναι $12$.

Ορισμός του NPL

Ορισμός 3

Κοινά πολλαπλάσια φυσικών αριθμώνΤο $a$ και το $b$ είναι ένας φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο του $a$ και του $b$.

Τα κοινά πολλαπλάσια αριθμών είναι αριθμοί που διαιρούνται με τους αρχικούς αριθμούς χωρίς υπόλοιπο. Για παράδειγμα, για τους αριθμούς $25$ και $50$, τα κοινά πολλαπλάσια θα είναι οι αριθμοί $50.100.150.200$ κ.λπ.

Το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο θα ονομάζεται το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο και θα συμβολίζεται με LCM$(a;b)$ ή K$(a;b).$

Για να βρείτε το LCM δύο αριθμών, πρέπει:

Αριθμοί παραγόντων σε πρώτους παράγοντες
Γράψτε τους παράγοντες που αποτελούν μέρος του πρώτου αριθμού και προσθέστε σε αυτούς τους παράγοντες που αποτελούν μέρος του δεύτερου και δεν είναι μέρος του πρώτου

Παράδειγμα 4

Βρείτε το LCM των αριθμών $99$ και $77$.

Θα βρούμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο που παρουσιάζεται. Για αυτό

Αριθμοί παραγόντων σε πρώτους παράγοντες

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Καταγράψτε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στο πρώτο

προσθέστε σε αυτά πολλαπλασιαστές που αποτελούν μέρος του δεύτερου και όχι μέρος του πρώτου

Βρείτε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι το επιθυμητό ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Η σύνταξη λιστών διαιρετών αριθμών είναι συχνά μια εργασία μεγάλης έντασης εργασίας. Υπάρχει ένας τρόπος να βρείτε το GCD που ονομάζεται Ευκλείδειος αλγόριθμος.

Δηλώσεις στις οποίες βασίζεται ο ευκλείδειος αλγόριθμος:

Αν οι $a$ και $b$ είναι φυσικοί αριθμοί και οι $a\vdots b$, τότε $D(a;b)=b$

Αν οι $a$ και $b$ είναι φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε το $b

Χρησιμοποιώντας $D(a;b)= D(a-b;b)$, μπορούμε να μειώσουμε διαδοχικά τους αριθμούς που εξετάζουμε μέχρι να φτάσουμε σε ένα ζεύγος αριθμών έτσι ώστε ο ένας από αυτούς να διαιρείται με τον άλλο. Τότε ο μικρότερος από αυτούς τους αριθμούς θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης για τους αριθμούς $a$ και $b$.

Ιδιότητες GCD και LCM

Οποιοδήποτε κοινό πολλαπλάσιο των $a$ και $b$ διαιρείται με το K$(a;b)$
Αν $a\vdots b$ , τότε К$(a;b)=a$

Αν K$(a;b)=k$ και $m$ είναι φυσικός αριθμός, τότε K$(am;bm)=km$

Εάν ο $d$ είναι ένας κοινός διαιρέτης για $a$ και $b$, τότε K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Αν $a\vdots c$ και $b\vdots c$ , τότε το $\frac(ab)(c)$ είναι το κοινό πολλαπλάσιο των $a$ και $b$

Για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς $a$ και $b$ ισχύει η ισότητα

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Οποιοσδήποτε κοινός διαιρέτης των αριθμών $a$ και $b$ είναι διαιρέτης του αριθμού $D(a;b)$

Οι περισσότερες πράξεις με αλγεβρικά κλάσματα, όπως η πρόσθεση και η αφαίρεση, απαιτούν πρώτα την αναγωγή αυτών των κλασμάτων στους ίδιους παρονομαστές. Τέτοιοι παρονομαστές αναφέρονται επίσης συχνά ως «κοινός παρονομαστής». Σε αυτό το θέμα, θα εξετάσουμε τον ορισμό των εννοιών «κοινός παρονομαστής αλγεβρικών κλασμάτων» και «ελάχιστος κοινός παρονομαστής αλγεβρικών κλασμάτων (LCD)», εξετάστε τον αλγόριθμο για την εύρεση του κοινού παρονομαστή σημείο προς σημείο και θα λύσετε πολλά προβλήματα στο θέμα.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Κοινός παρονομαστής αλγεβρικών κλασμάτων

Αν μιλάμε για συνηθισμένα κλάσματα, τότε ο κοινός παρονομαστής είναι ένας αριθμός που διαιρείται με οποιονδήποτε από τους παρονομαστές των αρχικών κλασμάτων. Για συνηθισμένα κλάσματα 1 2 Και 5 9 ο αριθμός 36 μπορεί να είναι κοινός παρονομαστής, αφού διαιρείται με το 2 και το 9 χωρίς υπόλοιπο.

Ο κοινός παρονομαστής των αλγεβρικών κλασμάτων προσδιορίζεται με παρόμοιο τρόπο, αντί για αριθμούς χρησιμοποιούνται μόνο πολυώνυμα, αφού είναι αριθμητές και παρονομαστές του αλγεβρικού κλάσματος.

Ορισμός 1

Κοινός παρονομαστής αλγεβρικού κλάσματοςείναι ένα πολυώνυμο που διαιρείται με τον παρονομαστή οποιουδήποτε κλάσματος.

Λόγω των ιδιαιτεροτήτων των αλγεβρικών κλασμάτων, που θα συζητηθούν παρακάτω, συχνά θα ασχολούμαστε με κοινούς παρονομαστές που αντιπροσωπεύονται ως γινόμενο και όχι ως τυπικό πολυώνυμο.

Παράδειγμα 1

Πολυώνυμο γραμμένο ως προϊόν 3 x 2 (x + 1), αντιστοιχεί σε πολυώνυμο της τυπικής μορφής 3 x 3 + 3 x 2. Αυτό το πολυώνυμο μπορεί να είναι ο κοινός παρονομαστής των αλγεβρικών κλασμάτων 2 x, - 3 x y x 2 και y + 3 x + 1, λόγω του ότι διαιρείται με Χ, επί x 2και επάνω x+1. Πληροφορίες σχετικά με τη διαιρετότητα των πολυωνύμων είναι διαθέσιμες στο αντίστοιχο θέμα του πόρου μας.

Ελάχιστος κοινός παρονομαστής (LCD)

Για δεδομένα αλγεβρικά κλάσματα, ο αριθμός των κοινών παρονομαστών μπορεί να είναι άπειρος.

Παράδειγμα 2

Ας πάρουμε ως παράδειγμα τα κλάσματα 1 2 x και x + 1 x 2 + 3. Ο κοινός τους παρονομαστής είναι 2 x (x 2 + 3), καθώς − 2 x (x 2 + 3), καθώς x (x 2 + 3), καθώς 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), καθώς − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, και ούτω καθεξής.

Όταν λύνετε προβλήματα, μπορείτε να κάνετε την εργασία σας ευκολότερη χρησιμοποιώντας έναν κοινό παρονομαστή, ο οποίος έχει την απλούστερη μορφή μεταξύ ολόκληρου του συνόλου των παρονομαστών. Αυτός ο παρονομαστής αναφέρεται συχνά ως ο χαμηλότερος κοινός παρονομαστής.

Ορισμός 2

Ελάχιστος κοινός παρονομαστής των αλγεβρικών κλασμάτωνείναι ο κοινός παρονομαστής των αλγεβρικών κλασμάτων, που έχει την απλούστερη μορφή.

Παρεμπιπτόντως, ο όρος "χαμηλότερος κοινός παρονομαστής" δεν είναι γενικά αποδεκτός, επομένως είναι καλύτερο να περιοριστούμε στον όρο "κοινός παρονομαστής". Και για αυτο.

Νωρίτερα επικεντρώσαμε την προσοχή σας στη φράση «παρονομαστής του απλούστερου είδους». Το κύριο νόημα αυτής της φράσης είναι το εξής: ο παρονομαστής της απλούστερης μορφής πρέπει να διαιρεί χωρίς υπόλοιπο κανένα άλλο κοινό παρονομαστή των δεδομένων στην συνθήκη του προβλήματος των αλγεβρικών κλασμάτων. Στην περίπτωση αυτή, στο γινόμενο, που είναι ο κοινός παρονομαστής των κλασμάτων, μπορούν να χρησιμοποιηθούν διάφοροι αριθμητικοί συντελεστές.

Παράδειγμα 3

Ας πάρουμε τα κλάσματα 1 2 · x και x + 1 x 2 + 3 . Έχουμε ήδη ανακαλύψει ότι θα είναι πιο εύκολο για εμάς να δουλέψουμε με έναν κοινό παρονομαστή της μορφής 2 · x · (x 2 + 3). Επίσης, ο κοινός παρονομαστής για αυτά τα δύο κλάσματα μπορεί να είναι x (x 2 + 3), το οποίο δεν περιέχει αριθμητικό συντελεστή. Το ερώτημα είναι ποιος από αυτούς τους δύο κοινούς παρονομαστές θεωρείται ο λιγότερο κοινός παρονομαστής των κλασμάτων. Δεν υπάρχει σαφής απάντηση, επομένως είναι πιο σωστό να μιλάμε απλώς για τον κοινό παρονομαστή και να δουλεύουμε με την επιλογή με την οποία θα είναι πιο βολική η εργασία. Έτσι, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κοινούς παρονομαστές όπως x 2 (x 2 + 3) (y + y 4)ή − 15 x 5 (x 2 + 3) 3, τα οποία έχουν πιο σύνθετη εμφάνιση, αλλά μπορεί να είναι πιο δύσκολο να πραγματοποιήσετε ενέργειες με αυτά.

Εύρεση του κοινού παρονομαστή των αλγεβρικών κλασμάτων: αλγόριθμος ενεργειών

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε πολλά αλγεβρικά κλάσματα για τα οποία πρέπει να βρούμε έναν κοινό παρονομαστή. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο αλγόριθμο ενεργειών. Πρώτα πρέπει να συνυπολογίσουμε τους παρονομαστές των αρχικών κλασμάτων. Στη συνέχεια συνθέτουμε ένα έργο στο οποίο εντάσσουμε διαδοχικά:

όλοι οι παράγοντες από τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος μαζί με τις δυνάμεις.
όλοι οι παράγοντες που υπάρχουν στον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος, αλλά δεν είναι στο γραπτό γινόμενο ή ο βαθμός τους είναι ανεπαρκής.
όλοι οι παράγοντες που λείπουν από τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος κ.ο.κ.

Το γινόμενο που προκύπτει θα είναι ο κοινός παρονομαστής των αλγεβρικών κλασμάτων.

Ως παράγοντες του γινομένου, μπορούμε να πάρουμε όλους τους παρονομαστές των κλασμάτων που δίνονται στη δήλωση προβλήματος. Ωστόσο, ο πολλαπλασιαστής που θα πάρουμε στο τέλος θα απέχει πολύ από το NCD ως προς την έννοια και η χρήση του θα είναι παράλογη.

Παράδειγμα 4

Να προσδιορίσετε τον κοινό παρονομαστή των κλασμάτων 1 x 2 y, 5 x + 1 και y - 3 x 5 y.

Λύση

Σε αυτήν την περίπτωση, δεν χρειάζεται να συνυπολογίσουμε τους παρονομαστές των αρχικών κλασμάτων. Επομένως, θα αρχίσουμε να εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο συνθέτοντας το έργο.

Από τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος παίρνουμε τον πολλαπλασιαστή x 2 ε, από τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος ο πολλαπλασιαστής x+1. Παίρνουμε το προϊόν x 2 y (x + 1).

Ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος μπορεί να μας δώσει έναν πολλαπλασιαστή x 5 ε, ωστόσο, το προϊόν που συντάξαμε νωρίτερα έχει ήδη παράγοντες x 2Και y. Επομένως, προσθέτουμε περισσότερα x 5 − 2 = x 3. Παίρνουμε το προϊόν x 2 y (x + 1) x 3, το οποίο μπορεί να μειωθεί στη μορφή x 5 y (x + 1). Αυτό θα είναι το NOZ των αλγεβρικών κλασμάτων μας.

Απάντηση: x 5 · y · (x + 1) .

Ας δούμε τώρα παραδείγματα προβλημάτων όπου οι παρονομαστές των αλγεβρικών κλασμάτων περιέχουν ακέραιους αριθμητικούς παράγοντες. Σε τέτοιες περιπτώσεις ακολουθούμε και τον αλγόριθμο, έχοντας προηγουμένως αποσυνθέσει τους ακέραιους αριθμητικούς παράγοντες σε απλούς παράγοντες.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε τον κοινό παρονομαστή των κλασμάτων 1 12 x και 1 90 x 2.

Λύση

Διαιρώντας τους αριθμούς στους παρονομαστές των κλασμάτων σε πρώτους συντελεστές, παίρνουμε 1 2 2 · 3 · x και 1 2 · 3 2 · 5 · x 2 . Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στη σύνταξη ενός κοινού παρονομαστή. Για να γίνει αυτό, από τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος παίρνουμε το γινόμενο 2 2 3 xκαι προσθέστε σε αυτό τους παράγοντες 3, 5 και Χαπό τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Παίρνουμε 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. Αυτός είναι ο κοινός μας παρονομαστής.

Απάντηση: 180 x 2.

Αν κοιτάξετε προσεκτικά τα αποτελέσματα των δύο παραδειγμάτων που αναλύθηκαν, θα παρατηρήσετε ότι οι κοινοί παρονομαστές των κλασμάτων περιέχουν όλους τους παράγοντες που υπάρχουν στις επεκτάσεις των παρονομαστών και εάν ένας συγκεκριμένος παράγοντας υπάρχει σε πολλούς παρονομαστές, τότε λαμβάνεται με τον μεγαλύτερο διαθέσιμο εκθέτη. Και αν οι παρονομαστές έχουν ακέραιους συντελεστές, τότε ο κοινός παρονομαστής περιέχει έναν αριθμητικό παράγοντα ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμητικών συντελεστών.

Παράδειγμα 6

Οι παρονομαστές και των δύο αλγεβρικών κλασμάτων 1 12 x και 1 90 x 2 έχουν συντελεστή Χ. Στη δεύτερη περίπτωση, ο παράγοντας x είναι τετράγωνο. Για να δημιουργήσουμε έναν κοινό παρονομαστή, πρέπει να πάρουμε αυτόν τον παράγοντα στο μέγιστο βαθμό, δηλ. x 2. Δεν υπάρχουν άλλοι πολλαπλασιαστές με μεταβλητές. Ακέραιοι αριθμητικοί συντελεστές αρχικών κλασμάτων 12 Και 90 , και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους είναι 180 . Αποδεικνύεται ότι ο επιθυμητός κοινός παρονομαστής έχει τη μορφή 180 x 2.

Τώρα μπορούμε να γράψουμε έναν άλλο αλγόριθμο για την εύρεση του κοινού παράγοντα των αλγεβρικών κλασμάτων. Για αυτό εμείς:

συνυπολογίστε τους παρονομαστές όλων των κλασμάτων.
συνθέτουμε το γινόμενο όλων των παραγόντων γραμμάτων (εάν υπάρχει παράγοντας σε πολλές επεκτάσεις, παίρνουμε την επιλογή με τον μεγαλύτερο εκθέτη).
προσθέτουμε το LCM των αριθμητικών συντελεστών των επεκτάσεων στο γινόμενο που προκύπτει.

Οι δεδομένοι αλγόριθμοι είναι ισοδύναμοι, επομένως οποιοσδήποτε από αυτούς μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση προβλημάτων. Είναι σημαντικό να δίνετε προσοχή στη λεπτομέρεια.

Υπάρχουν περιπτώσεις που οι κοινοί παράγοντες στους παρονομαστές των κλασμάτων μπορεί να είναι αόρατοι πίσω από τους αριθμητικούς συντελεστές. Εδώ είναι σκόπιμο να τεθούν πρώτα οι αριθμητικοί συντελεστές σε υψηλότερες δυνάμεις των μεταβλητών εκτός παρενθέσεων σε καθέναν από τους παράγοντες που υπάρχουν στον παρονομαστή.

Παράδειγμα 7

Τι κοινό παρονομαστή έχουν τα κλάσματα 3 5 - x και 5 - x · y 2 2 · x - 10;

Λύση

Στην πρώτη περίπτωση, το μείον ένα πρέπει να αφαιρεθεί από παρενθέσεις. Παίρνουμε 3 - x - 5 . Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με - 1 για να απαλλαγούμε από το μείον στον παρονομαστή: - 3 x - 5.

Στη δεύτερη περίπτωση, βάζουμε τα δύο εκτός παρενθέσεων. Αυτό μας επιτρέπει να λάβουμε το κλάσμα 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Είναι προφανές ότι ο κοινός παρονομαστής αυτών των αλγεβρικών κλασμάτων - 3 x - 5 και 5 - x · y 2 2 · x - 5 είναι 2 (x − 5).

Απάντηση:2 (x − 5).

Τα δεδομένα στη συνθήκη προβλήματος κλάσματος μπορεί να έχουν κλασματικούς συντελεστές. Σε αυτές τις περιπτώσεις, πρέπει πρώτα να απαλλαγείτε από τους κλασματικούς συντελεστές πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με έναν συγκεκριμένο αριθμό.

Παράδειγμα 8

Απλοποιήστε τα αλγεβρικά κλάσματα 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 και - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 και στη συνέχεια προσδιορίστε τον κοινό τους παρονομαστή.

Λύση

Ας απαλλαγούμε από τους κλασματικούς συντελεστές πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή στην πρώτη περίπτωση επί 14, στη δεύτερη περίπτωση με το 3. Παίρνουμε:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 και - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Μετά τους μετασχηματισμούς, γίνεται σαφές ότι ο κοινός παρονομαστής είναι 2 (x 2 + 2).

Απάντηση: 2 (x 2 + 2).

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter