Volumen de un trapecio curvo en línea. El área de un trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una integral definida

Ejemplo 1 . Calcula el área de la figura acotada por las rectas: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 y x = 2

Construyamos una figura (ver figura) Construimos una línea recta x + 2y – 4 = 0 usando dos puntos A(4;0) y B(0;2). Expresando y a través de x, obtenemos y = -0,5x + 2. Usando la fórmula (1), donde f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, encontramos

S = = [-0,25=11,25 m2. unidades

Ejemplo 2. Calcula el área de la figura acotada por las rectas: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 e y = 0.

Solución. Construyamos la figura.

Construyamos una línea recta x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Construyamos una línea recta x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Encontremos el punto de intersección de las rectas resolviendo el sistema de ecuaciones:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Para calcular el área requerida, dividimos el triángulo AMC en dos triángulos AMN y NMC, ya que cuando x cambia de A a N, el área está limitada por una línea recta, y cuando x cambia de N a C, por una línea recta

Para el triángulo AMN tenemos: ; y = 0,5x + 2, es decir, f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Para el triángulo NMC tenemos: y = - x + 5, es decir, f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Calculando el área de cada triángulo y sumando los resultados, encontramos:

metros cuadrados. unidades

9 + 4, 5 = 13,5 cuadrados. unidades Verificar: = 0,5AC = 0,5 m2. unidades

Ejemplo 3. Calcular el área de una figura acotada por rectas: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

EN en este caso necesitas calcular el área de un trapecio curvo delimitado por la parábola y = x 2 , rectas x = 2 y x = 3 y el eje Ox (ver figura) Usando la fórmula (1) encontramos el área del trapezoide curvilíneo

= = 6 metros cuadrados. unidades

Ejemplo 4. Calcula el área de la figura acotada por las rectas: y = - x 2 + 4 y y = 0

Construyamos la figura. El área requerida está encerrada entre la parábola y = - x 2 + 4 y el eje Buey.

Encontremos los puntos de intersección de la parábola con el eje Ox. Suponiendo y = 0, encontramos x = Dado que esta figura es simétrica con respecto al eje Oy, calculamos el área de la figura ubicada a la derecha del eje Oy, y duplicamos el resultado obtenido: = +4x]sq. unidades 2 = 2 metros cuadrados. unidades

Ejemplo 5. Calcular el área de una figura delimitada por rectas: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Aquí necesitas calcular el área de un trapecio curvilíneo delimitado por la rama superior de la parábola. 2 = x, eje Ox y rectas x = 1 y x = 4 (ver figura)

Según la fórmula (1), donde f(x) = a = 1 y b = 4, tenemos = (= unidades cuadradas.

Ejemplo 6 . Calcula el área de la figura acotada por las rectas: y = sinx, y = 0, x = 0, x=.

El área requerida está limitada por la media onda de la sinusoide y el eje Ox (ver figura).

Tenemos - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 cuadrados. unidades

Ejemplo 7. Calcula el área de la figura acotada por las rectas: y = - 6x, y = 0 y x = 4.

La figura se encuentra debajo del eje Buey (ver figura).

Por lo tanto, encontramos su área usando la fórmula (3)

= =

Ejemplo 8. Calcula el área de la figura delimitada por las rectas: y = y x = 2. Construye la curva y = a partir de los puntos (ver figura). Así, encontramos el área de la figura usando la fórmula (4)

Ejemplo 9 .

X 2 + y 2 =r 2 .

Aquí necesitas calcular el área encerrada por el círculo x. 2 + y 2 =r 2 , es decir, el área de un círculo de radio r con centro en el origen. Encontremos la cuarta parte de esta área tomando los límites de integración desde 0

antes; tenemos: 1 = = [

Por eso, 1 =

Ejemplo 10. Calcula el área de una figura delimitada por rectas: y= x 2 y y = 2x

Esta figura está limitada por la parábola y = x 2 y la recta y = 2x (ver figura) Para determinar los puntos de intersección de las rectas dadas, resolvemos el sistema de ecuaciones: x 2 – 2x = 0 x = 0 y x = 2

Usando la fórmula (5) para encontrar el área, obtenemos

= (base de un trapecio curvo) en n partes iguales; esta partición se realiza utilizando los puntos x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Dibujemos líneas rectas a través de estos puntos paralelas al eje y. Luego, el trapezoide curvilíneo dado se dividirá en n partes, en n columnas estrechas. El área de todo el trapezoide es igual a la suma de las áreas de las columnas.

Consideremos la k-ésima columna por separado, es decir un trapecio curvo cuya base es un segmento. Reemplácelo con un rectángulo con la misma base y altura igual a f(x k) (ver figura). El área del rectángulo es igual a $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, donde $\Delta x_k $ es la longitud del segmento; Es natural considerar el producto resultante como un valor aproximado del área de la k-ésima columna.

Si ahora hacemos lo mismo con todas las demás columnas, llegaremos al siguiente resultado: el área S de un trapezoide curvilíneo dado es aproximadamente igual al área S n de una figura escalonada formada por n rectángulos (ver figura):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Aquí, en aras de la uniformidad de la notación, suponemos que a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - longitud del segmento, $\Delta x_1 $ - longitud del segmento, etc.; en este caso, como acordamos anteriormente, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Entonces, $S \approx S_n $, y esta igualdad aproximada es más precisa cuanto mayor es n.
Por definición, se cree que el área requerida de un trapezoide curvilíneo es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problema 2(sobre mover un punto)
Un punto material se mueve en línea recta. La dependencia de la velocidad con el tiempo se expresa mediante la fórmula v = v(t). Encuentre el movimiento de un punto durante un período de tiempo [a; b].
Solución. Si el movimiento fuera uniforme, entonces el problema se resolvería de forma muy sencilla: s = vt, es decir s = v(b-a). Para movimientos desiguales, hay que utilizar las mismas ideas en las que se basó la solución al problema anterior.
1) Dividir el intervalo de tiempo [a; b] en n partes iguales.
2) Considere un período de tiempo y suponga que durante este período la velocidad fue constante, igual que en el momento t k. Entonces suponemos que v = v(t k).
3) Encontremos el valor aproximado del movimiento del punto durante un período de tiempo. Denotaremos este valor aproximado como s k;
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Encuentre el valor aproximado del desplazamiento s:
$s \aprox S_n $ donde
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) El desplazamiento requerido es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Resumamos. Las soluciones a varios problemas se redujeron al mismo modelo matemático. Muchos problemas de diversos campos de la ciencia y la tecnología conducen al mismo modelo en el proceso de solución. Esto significa que este modelo matemático debe ser estudiado especialmente.

El concepto de integral definida.

Demos una descripción matemática del modelo construido en los tres problemas considerados para la función y = f(x), continua (pero no necesariamente no negativa, como se supuso en los problemas considerados) en el intervalo [a; b]:
1) dividir el segmento [a; b] en n partes iguales;
2) hacer la suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calcular $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

En el curso del análisis matemático se demostró que este límite existe en el caso de una función continua (o continua por partes). El es llamado cierta integral de la función y = f(x) sobre el segmento [a; b] y denotado de la siguiente manera:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Los números a y b se denominan límites de integración (inferior y superior, respectivamente).

Volvamos a las tareas comentadas anteriormente. La definición de área dada en el problema 1 ahora se puede reescribir de la siguiente manera:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
aquí S es el área del trapecio curvilíneo que se muestra en la figura anterior. Esto es Significado geométrico de una integral definida.

La definición del desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una velocidad v = v(t) durante el período de tiempo desde t = a hasta t = b, dada en el problema 2, se puede reescribir de la siguiente manera:

Fórmula de Newton-Leibniz

Primero, respondamos la pregunta: ¿cuál es la conexión entre la integral definida y la primitiva?

La respuesta se puede encontrar en el problema 2. Por un lado, el desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una velocidad v = v(t) durante el período de tiempo desde t = a hasta t = b se calcula mediante la formula
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Por otro lado, la coordenada de un punto en movimiento es una antiderivada de la velocidad; denotémosla s(t); Esto significa que el desplazamiento s se expresa mediante la fórmula s = s(b) - s(a). Como resultado obtenemos:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
donde s(t) es la antiderivada de v(t).

El siguiente teorema fue demostrado en el curso del análisis matemático.
Teorema. Si la función y = f(x) es continua en el intervalo [a; b], entonces la fórmula es válida
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
donde F(x) es la antiderivada de f(x).

La fórmula dada generalmente se llama Fórmula de Newton-Leibniz en honor al físico inglés Isaac Newton (1643-1727) y al filósofo alemán Gottfried Leibniz (1646-1716), quienes lo recibieron de forma independiente y casi simultáneamente.

En la práctica, en lugar de escribir F(b) - F(a), usan la notación $\left. F(x)\right|_a^b $ (a veces se la llama doble sustitución) y, en consecuencia, reescribe la fórmula de Newton-Leibniz de esta forma:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Al calcular una integral definida, primero encuentre la primitiva y luego realice una doble sustitución.

Basándonos en la fórmula de Newton-Leibniz, podemos obtener dos propiedades de la integral definida.

Propiedad 1. La integral de la suma de funciones es igual a la suma de las integrales:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Propiedad 2. El factor constante se puede sacar del signo integral:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Calcular las áreas de figuras planas usando una integral definida.

Con la ayuda de la integral, es posible calcular las áreas no solo de trapecios curvos, sino también de figuras planas de un tipo más complejo, por ejemplo, el que se muestra en la figura. La figura P está limitada por las rectas x = a, x = b y gráficas de funciones continuas y = f(x), y = g(x), y en el segmento [a; b] la desigualdad $g(x) \leq f(x) $ se cumple. Para calcular el área S de dicha figura procederemos de la siguiente manera:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Entonces, el área S de una figura delimitada por rectas x = a, x = b y gráficas de funciones y = f(x), y = g(x), continuas en el segmento y tales que para cualquier x del segmento [a; b] se satisface la desigualdad $g(x) \leq f(x) $, calculada mediante la fórmula
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabla de integrales indefinidas (antiderivadas) de algunas funciones

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C\;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$

Pasemos a considerar las aplicaciones del cálculo integral. En esta lección analizaremos la tarea típica y más común. calcular el área de una figura plana usando una integral definida. Finalmente, que todos aquellos que buscan significado en las matemáticas superiores lo encuentren. Nunca sabes. En la vida real, tendrás que aproximar una parcela de dacha usando funciones elementales y encontrar su área usando una integral definida.

Para dominar con éxito el material, debe:

1) Comprender la integral indefinida al menos a un nivel intermedio. Por lo tanto, los tontos deberían leer primero la lección. No.

2) Ser capaz de aplicar la fórmula de Newton-Leibniz y calcular la integral definida. Puede establecer cálidas relaciones amistosas con ciertos integrales en la página. Integral definida. Ejemplos de soluciones. La tarea "calcular el área usando una integral definida" siempre implica construir un dibujo, por lo que tus conocimientos y habilidades de dibujo también serán un tema relevante. Como mínimo, debes poder construir una línea recta, una parábola y una hipérbola.

Empecemos con un trapezoide curvo. Un trapecio curvo es una figura plana delimitada por la gráfica de alguna función. y = F(X), eje BUEY y lineas X = a; X = b.

El área de un trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una integral definida

Cualquier integral definida (que exista) tiene un muy buen significado geométrico. En la lección Integral definida. Ejemplos de soluciones dijimos que una integral definida es un número. Y ahora ha llegado el momento de exponer otro hecho útil. Desde el punto de vista de la geometría, la integral definida es AREA. Eso es, la integral definida (si existe) corresponde geométricamente al área de una determinada figura. Considere la integral definida

integrando

define una curva en el plano (se puede dibujar si se desea), y la integral definida en sí es numéricamente igual al área del trapecio curvilíneo correspondiente.

Ejemplo 1

, , , .

Esta es una declaración de asignación típica. El punto más importante en la decisión es la construcción del dibujo.. Además, el dibujo debe construirse. BIEN.

Al construir un dibujo, recomiendo el siguiente orden: en primer lugar es mejor construir todas las líneas rectas (si existen) y solo Entonces– parábolas, hipérbolas, gráficas de otras funciones. La técnica de construcción punto por punto se puede encontrar en el material de referencia. Gráficas y propiedades de funciones elementales.. Allí también podrá encontrar material muy útil para nuestra lección: cómo construir rápidamente una parábola.

En este problema, la solución podría verse así.

Hagamos el dibujo (tenga en cuenta que la ecuación y= 0 especifica el eje BUEY):

No sombrearemos el trapecio curvo; aquí es obvio de qué área estamos hablando. La solución continúa así:

En el segmento [-2; 1] gráfico de funciones y = X 2 + 2 ubicados por encima del ejeBUEY, Es por eso:

Respuesta: .

¿Quién tiene dificultades para calcular la integral definida y aplicar la fórmula de Newton-Leibniz?

referirse a la conferencia Integral definida. Ejemplos de soluciones. Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el dibujo y averiguar si la respuesta es real. En este caso, contamos el número de celdas en el dibujo "a ojo"; bueno, habrá alrededor de 9, parece ser cierto. Está absolutamente claro que si obtuvimos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces es obvio que se cometió un error en alguna parte: 20 celdas obviamente no caben en la figura en cuestión, como máximo una docena. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Ejemplo 2

Calcular el área de una figura delimitada por líneas. xy = 4, X = 2, X= 4 y eje BUEY.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Qué hacer si se localiza el trapezoide curvo. debajo del ejeBUEY?

Ejemplo 3

Calcular el área de una figura delimitada por líneas. y = ex, X= 1 y ejes de coordenadas.

Solución: Hagamos un dibujo:

Si un trapezoide curvo completamente ubicado debajo del eje BUEY , entonces su área se puede encontrar usando la fórmula:

En este caso:

¡Atención! No deben confundirse los dos tipos de tareas:

1) Si te piden que resuelvas simplemente una integral definida sin ningún significado geométrico, entonces puede ser negativa.

2) Si te piden encontrar el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área siempre es positiva! Es por eso que el menos aparece en la fórmula que acabamos de comentar.

En la práctica, la mayoría de las veces la figura se ubica tanto en el semiplano superior como en el inferior y, por lo tanto, de los problemas escolares más simples pasamos a ejemplos más significativos.

Ejemplo 4

Encuentra el área de una figura plana delimitada por líneas. y = 2X – X 2 , y = -X.

Solución: Primero necesitas hacer un dibujo. Al construir un dibujo en problemas de área, lo que más nos interesa son los puntos de intersección de líneas. Encontremos los puntos de intersección de la parábola. y = 2X – X 2 y recto y = -X. Esto se puede hacer de dos formas. El primer método es analítico. Resolvemos la ecuación:

Esto significa que el límite inferior de integración a= 0, límite superior de integración b= 3. A menudo es más rentable y más rápido construir líneas punto por punto, y los límites de la integración se aclaran “por sí solos”. Sin embargo, a veces todavía es necesario utilizar el método analítico de encontrar límites si, por ejemplo, el gráfico es lo suficientemente grande o la construcción detallada no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales). Volvamos a nuestra tarea: es más racional construir primero una línea recta y solo luego una parábola. Hagamos el dibujo:

Repitamos que cuando se construye puntualmente, los límites de integración suelen determinarse "automáticamente".

Y ahora la fórmula de trabajo:

Si en el segmento [ a; b] alguna función continua F(X) Mayor qué o igual a alguna función continua gramo(X), entonces el área de la figura correspondiente se puede encontrar usando la fórmula:

Aquí ya no es necesario pensar en dónde se encuentra la figura: encima o debajo del eje, sino importa qué gráfico es MÁS ALTO(en relación con otro gráfico), y cual esta ABAJO.

En el ejemplo considerado, es obvio que en el segmento la parábola está ubicada por encima de la línea recta y, por lo tanto, desde 2 X – X Hay que restar 2 – X.

La solución completa podría verse así:

La figura deseada está limitada por una parábola. y = 2X – X 2 arriba y recto y = -X abajo.

En el segmento 2 X – X 2 ≥ -X. Según la fórmula correspondiente:

Respuesta: .

De hecho, la fórmula escolar para el área de un trapecio curvilíneo en el semiplano inferior (ver ejemplo No. 3) es un caso especial de la fórmula

porque el eje BUEY dado por la ecuación y= 0, y la gráfica de la función gramo(X) ubicado debajo del eje BUEY, Eso

Y ahora un par de ejemplos para su propia solución.

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Encuentra el área de una figura delimitada por líneas.

Al resolver problemas que implican calcular el área usando una integral definida, a veces ocurre un incidente divertido. El dibujo se hizo correctamente, los cálculos fueron correctos, pero por descuido... Se encontró el área de la figura equivocada.

Ejemplo 7

Primero hagamos un dibujo:

La figura cuyo área necesitamos encontrar está sombreada en azul.(Mire atentamente el estado: ¡cómo es limitada la figura!). Pero en la práctica, debido a la falta de atención, las personas a menudo deciden que necesitan encontrar el área de la figura que está sombreada en verde.

Este ejemplo también es útil porque calcula el área de una figura usando dos integrales definidas. En realidad:

1) En el segmento [-1; 1] encima del eje BUEY la gráfica se ubica recta y = X+1;

2) En un segmento por encima del eje. BUEY se ubica la gráfica de una hipérbola y = (2/X).

Es bastante obvio que las áreas pueden (y deben) agregarse, por lo tanto:

Respuesta:

Ejemplo 8

Calcular el área de una figura delimitada por líneas.

Presentemos las ecuaciones en forma “escolar”.

y haz un dibujo punto por punto:

Del dibujo se desprende claramente que nuestro límite superior es "bueno": b = 1.

¿Pero cuál es el límite inferior? Está claro que esto no es un número entero, pero ¿qué es?

Tal vez, a=(-1/3)? Pero, ¿dónde está la garantía de que el dibujo se realizó con perfecta precisión? Bien puede resultar que a=(-1/4). ¿Qué pasa si construimos el gráfico incorrectamente?

En tales casos, hay que dedicar más tiempo y aclarar analíticamente los límites de la integración.

Encontremos los puntos de intersección de las gráficas.

Para ello resolvemos la ecuación:

Por eso, a=(-1/3).

La solución adicional es trivial. Lo principal es no confundirse con sustituciones y signos. Los cálculos aquí no son los más simples. en el segmento

, ,

según la fórmula adecuada:

Respuesta:

Para concluir la lección, veamos dos tareas más difíciles.

Ejemplo 9

Calcular el área de una figura delimitada por líneas.

Solución: representemos esta figura en el dibujo.

Para construir un dibujo punto por punto, es necesario conocer la apariencia de una sinusoide. En general, es útil conocer las gráficas de todas las funciones elementales, así como algunos valores de los senos. Se pueden encontrar en la tabla de valores. funciones trigonométricas. En algunos casos (por ejemplo, en este caso), es posible construir un dibujo esquemático en el que, en principio, se deben representar correctamente los gráficos y los límites de integración.

Aquí no hay problemas con los límites de integración; se derivan directamente de la condición:

– “x” cambia de cero a “pi”. Tomemos una decisión adicional:

En un segmento, la gráfica de una función. y= pecado 3 X ubicado encima del eje BUEY, Es por eso:

(1) Puedes ver cómo los senos y cosenos se integran en potencias impares en la lección. Integrales de funciones trigonométricas.. Pellizcamos un seno.

(2) Usamos la identidad trigonométrica principal en la forma

(3) Cambiemos la variable t= porque X, entonces: se ubica arriba del eje, por lo tanto:

Nota: observe cómo se toma la integral de la tangente al cubo; aquí se utiliza un corolario de la identidad trigonométrica básica;

Comenzamos a considerar el proceso real de calcular la integral doble y nos familiarizamos con su significado geométrico.

La integral doble es numéricamente igual al área de la figura plana (la región de integración). Esta es la forma más simple de integral doble, cuando la función de dos variables es igual a uno: .

Primero, veamos el problema en forma general. ¡Ahora te sorprenderá lo sencillo que es todo! Calculemos el área de una figura plana delimitada por líneas. Para ser más precisos, asumimos que en el segmento . El área de esta figura es numéricamente igual a:

Representemos el área en el dibujo:

Elijamos la primera forma de atravesar el área:

De este modo:

E inmediatamente una técnica técnica importante: las integrales iteradas se pueden calcular por separado. Primero la integral interior, luego la integral exterior. Recomiendo encarecidamente este método a los principiantes en el tema.

1) Calculemos la integral interna, y la integración se realiza sobre la variable “y”:

La integral indefinida aquí es la más simple, y luego se usa la fórmula banal de Newton-Leibniz, con la única diferencia de que Los límites de la integración no son números, sino funciones.. Primero, sustituimos el límite superior en “y” (función antiderivada), luego el límite inferior

2) El resultado obtenido en el primer párrafo deberá sustituirse en la integral externa:

Una representación más compacta de toda la solución se ve así:

La fórmula resultante ¡Es exactamente la fórmula de trabajo para calcular el área de una figura plana usando la integral definida "ordinaria"! Mira la lección Calcular el área usando una integral definida¡Ahí está ella a cada paso!

Eso es, problema de calcular el área usando integral doble no muy diferente del problema de encontrar el área usando una integral definida! De hecho, ¡es lo mismo!

¡En consecuencia, no deberían surgir dificultades! No miraré muchos ejemplos, ya que usted, de hecho, se ha enfrentado repetidamente a esta tarea.

Ejemplo 9

Solución: Representemos el área en el dibujo:

Elijamos el siguiente orden de recorrido del área:

Aquí y más no me detendré en cómo atravesar la zona, ya que en el primer párrafo se dan explicaciones muy detalladas.

De este modo:

Como ya señalé, es mejor para los principiantes calcular las integrales iteradas por separado, y yo seguiré el mismo método:

1) Primero, usando la fórmula de Newton-Leibniz, nos ocupamos de la integral interna:

2) El resultado obtenido en el primer paso se sustituye en la integral externa:

En realidad, el punto 2 consiste en encontrar el área de una figura plana usando una integral definida.

Respuesta:

Esta es una tarea tan estúpida e ingenua.

Un ejemplo interesante para una solución independiente:

Ejemplo 10

Usando una integral doble, calcula el área de una figura plana delimitada por las rectas , ,

Un ejemplo aproximado de una solución final al final de la lección.

En los ejemplos 9-10, es mucho más rentable utilizar el primer método de recorrer el área; por cierto, los lectores curiosos pueden cambiar el orden de recorrido y calcular las áreas utilizando el segundo método. Si no comete ningún error, naturalmente obtendrá los mismos valores de área.

Pero en algunos casos, el segundo método de atravesar el área es más efectivo, y al final del curso para jóvenes nerds, veamos un par de ejemplos más sobre este tema:

Ejemplo 11

Usando una integral doble, calcula el área de una figura plana delimitada por líneas,

Solución: Esperamos ver dos parábolas con una peculiaridad que se encuentran de lado. No hay necesidad de sonreír; cosas similares ocurren con bastante frecuencia en integrales múltiples.

¿Cuál es la forma más fácil de hacer un dibujo?

Imaginemos una parábola en forma de dos funciones:
– la rama superior y – la rama inferior.

De manera similar, imagine una parábola en forma de superior e inferior. sucursales.

A continuación, se trazan puntualmente las reglas de los gráficos, lo que da como resultado esta extraña figura:

Calculamos el área de la figura mediante la integral doble según la fórmula:

¿Qué pasa si elegimos el primer método para atravesar el área? En primer lugar, habrá que dividir esta zona en dos partes. Y en segundo lugar, observaremos esta triste imagen: . Las integrales, por supuesto, no son de un nivel supercomplicado, pero... hay un viejo dicho matemático: los que están cerca de sus raíces no necesitan prueba.

Por tanto, del malentendido dado en la condición, expresamos las funciones inversas:

Las funciones inversas en este ejemplo tienen la ventaja de que especifican la parábola completa a la vez sin hojas, bellotas, ramas ni raíces.

Según el segundo método, el recorrido del área será el siguiente:

De este modo:

Como dicen, siente la diferencia.

1) Nos ocupamos de la integral interna:

Sustituimos el resultado en la integral exterior:

La integración sobre la variable “y” no debería resultar confusa; si hubiera una letra “zy”, sería genial integrarla sobre ella. Aunque quién leyó el segundo párrafo de la lección. Cómo calcular el volumen de un cuerpo de revolución., ya no experimenta la más mínima incomodidad con la integración según el método "Y".

También preste atención al primer paso: el integrando es par y el intervalo de integración es simétrico con respecto a cero. Por lo tanto, el segmento se puede reducir a la mitad y el resultado se puede duplicar. Esta técnica se comenta en detalle en la lección. Métodos eficientes para calcular la integral definida..

Qué agregar…. ¡Todo!

Respuesta:

Para probar su técnica de integración, puede intentar calcular . La respuesta debería ser exactamente la misma.

Ejemplo 12

Usando una integral doble, calcula el área de una figura plana delimitada por líneas.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Es interesante notar que si intentas utilizar el primer método para atravesar el área, ¡la figura ya no tendrá que dividirse en dos, sino en tres partes! Y, en consecuencia, obtenemos tres pares de integrales repetidas. A veces ocurre.

La clase magistral ha llegado a su fin y es hora de pasar al nivel de gran maestro. ¿Cómo calcular la integral doble? Ejemplos de soluciones. Intentaré no ser tan maníaco en el segundo artículo =)

¡Te deseo éxito!

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 2:Solución: Representemos el área. en el dibujo:

Elijamos el siguiente orden de recorrido del área:

De este modo:
Pasemos a funciones inversas:

De este modo:
Respuesta:

Ejemplo 4:Solución: Pasemos a las funciones directas:

Hagamos el dibujo:

Cambiemos el orden de atravesar el área:

Respuesta:

En la sección anterior, dedicada al análisis del significado geométrico de una integral definida, recibimos una serie de fórmulas para calcular el área de un trapezoide curvilíneo:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x para una función continua y no negativa y = f (x) en el intervalo [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x para una función continua y no positiva y = f (x) en el intervalo [ a ; b ] .

Estas fórmulas son aplicables para resolver problemas relativamente simples. En realidad, muchas veces tendremos que trabajar con figuras más complejas. En este sentido, dedicaremos esta sección a un análisis de algoritmos para calcular el área de figuras que están limitadas por funciones en forma explícita, es decir como y = f(x) o x = g(y).

Teorema

Sean las funciones y = f 1 (x) e y = f 2 (x) definidas y continuas en el intervalo [ a ; b ] y f 1 (x) ≤ f 2 (x) para cualquier valor x de [ a ; b ] . Entonces la fórmula para calcular el área de la figura G, delimitada por las líneas x = a, x = b, y = f 1 (x) e y = f 2 (x) se verá así S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Una fórmula similar será aplicable para el área de una figura delimitada por las rectas y = c, y = d, x = g 1 (y) y x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Prueba

Veamos tres casos para los cuales la fórmula será válida.

En el primer caso, teniendo en cuenta la propiedad de aditividad del área, la suma de las áreas de la figura original G y el trapezoide curvilíneo G 1 es igual al área de la figura G 2. Esto significa que

Por lo tanto, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Podemos realizar la última transición usando la tercera propiedad de la integral definida.

En el segundo caso, la igualdad es verdadera: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

La ilustración gráfica se verá así:

Si ambas funciones no son positivas, obtenemos: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . La ilustración gráfica se verá así:

Pasemos a considerar el caso general cuando y = f 1 (x) e y = f 2 (x) se cruzan con el eje O x.

Denotamos los puntos de intersección como x i, i = 1, 2, . . . , norte - 1 . Estos puntos dividen el segmento [a; b ] en n partes x i - 1 ; x yo, yo = 1, 2, . . . , n, donde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Por eso,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a segundo f 2 (x) - f 1 (x) d x

Podemos hacer la última transición usando la quinta propiedad de la integral definida.

Ilustremos el caso general en el gráfico.

La fórmula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x puede considerarse probada.

Pasemos ahora a analizar ejemplos de cálculo del área de figuras que están limitadas por las rectas y = f (x) y x = g (y).

Comenzaremos nuestra consideración de cualquiera de los ejemplos construyendo una gráfica. La imagen nos permitirá representar formas complejas como uniones de formas más simples. Si le resulta difícil construir gráficas y figuras sobre ellas, puede estudiar la sección sobre funciones elementales básicas, transformación geométrica de gráficas de funciones, así como también construir gráficas mientras estudia una función.

Ejemplo 1

Es necesario determinar el área de la figura, que está limitada por la parábola y = - x 2 + 6 x - 5 y las rectas y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Solución

Dibujemos las líneas en la gráfica en el sistema de coordenadas cartesiano.

En el segmento [ 1 ; 4 ] la gráfica de la parábola y = - x 2 + 6 x - 5 se encuentra encima de la recta y = - 1 3 x - 1 2. En este sentido, para obtener la respuesta utilizamos la fórmula obtenida anteriormente, así como el método de cálculo de la integral definida mediante la fórmula de Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Respuesta: S(G) = 13

Veamos un ejemplo más complejo.

Ejemplo 2

Es necesario calcular el área de la figura, que está limitada por las rectas y = x + 2, y = x, x = 7.

Solución

En este caso, tenemos solo una recta ubicada paralela al eje x. Esto es x = 7. Esto requiere que encontremos nosotros mismos el segundo límite de la integración.

Construyamos un gráfico y tracemos en él las líneas dadas en el planteamiento del problema.

Teniendo la gráfica frente a nuestros ojos, podemos determinar fácilmente que el límite inferior de integración será la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la recta y = x y la semiparábola y = x + 2. Para encontrar la abscisa usamos las igualdades:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Resulta que la abscisa del punto de intersección es x = 2.

Llamamos su atención sobre el hecho de que en el ejemplo general del dibujo, las líneas y = x + 2, y = x se cruzan en el punto (2; 2), por lo que dichos cálculos detallados pueden parecer innecesarios. Hemos proporcionado aquí una solución tan detallada sólo porque en casos más complejos la solución puede no ser tan obvia. Esto significa que siempre es mejor calcular analíticamente las coordenadas de la intersección de líneas.

En el intervalo [ 2 ; 7] la gráfica de la función y = x se encuentra encima de la gráfica de la función y = x + 2. Apliquemos la fórmula para calcular el área:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Respuesta: S (G) = 59 6

Ejemplo 3

Es necesario calcular el área de la figura, que está limitada por las gráficas de las funciones y = 1 x e y = - x 2 + 4 x - 2.

Solución

Tracemos las líneas en el gráfico.

Definamos los límites de la integración. Para hacer esto, determinamos las coordenadas de los puntos de intersección de las líneas igualando las expresiones 1 x y - x 2 + 4 x - 2. Siempre que x no sea cero, la igualdad 1 x = - x 2 + 4 x - 2 se vuelve equivalente a la ecuación de tercer grado - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 con coeficientes enteros. Para refrescar su memoria sobre el algoritmo para resolver este tipo de ecuaciones, podemos consultar la sección "Resolución de ecuaciones cúbicas".

La raíz de esta ecuación es x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Dividiendo la expresión - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 por el binomio x - 1, obtenemos: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Podemos encontrar las raíces restantes a partir de la ecuación x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Encontramos el intervalo x ∈ 1; 3 + 13 2, en el que la cifra G está contenida encima de la línea azul y debajo de la roja. Esto nos ayuda a determinar el área de la figura:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Respuesta: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Ejemplo 4

Es necesario calcular el área de la figura, que está limitada por las curvas y = x 3, y = - log 2 x + 1 y el eje de abscisas.

Solución

Tracemos todas las líneas en el gráfico. Podemos obtener la gráfica de la función y = - log 2 x + 1 a partir de la gráfica y = log 2 x si la colocamos simétricamente con respecto al eje x y la movemos una unidad hacia arriba. La ecuación del eje x es y = 0.

Marquemos los puntos de intersección de las líneas.

Como se puede ver en la figura, las gráficas de las funciones y = x 3 e y = 0 se cruzan en el punto (0; 0). Esto sucede porque x = 0 es la única raíz real de la ecuación x 3 = 0.

x = 2 es la única raíz de la ecuación - log 2 x + 1 = 0, por lo que las gráficas de las funciones y = - log 2 x + 1 e y = 0 se cruzan en el punto (2; 0).

x = 1 es la única raíz de la ecuación x 3 = - log 2 x + 1 . En este sentido, las gráficas de las funciones y = x 3 e y = - log 2 x + 1 se cruzan en el punto (1; 1). La última afirmación puede no ser obvia, pero la ecuación x 3 = - log 2 x + 1 no puede tener más de una raíz, ya que la función y = x 3 es estrictamente creciente y la función y = - log 2 x + 1 es estrictamente decreciente.

La solución adicional implica varias opciones.

Opción 1

Podemos imaginar la figura G como la suma de dos trapecios curvilíneos ubicados sobre el eje x, el primero de los cuales está ubicado debajo de la línea media del segmento x ∈ 0; 1, y el segundo está debajo de la línea roja en el segmento x ∈ 1; 2. Esto significa que el área será igual a S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opción número 2

La figura G se puede representar como la diferencia de dos figuras, la primera de las cuales se ubica encima del eje x y debajo de la línea azul en el segmento x ∈ 0; 2, y el segundo entre las líneas roja y azul en el segmento x ∈ 1; 2. Esto nos permite encontrar el área de la siguiente manera:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

En este caso, para encontrar el área tendrás que usar una fórmula de la forma S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De hecho, las líneas que delimitan la figura se pueden representar como funciones del argumento y.

Resolvamos las ecuaciones y = x 3 y - log 2 x + 1 con respecto a x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Obtenemos el área requerida:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 en 2 - 0 4 4 = - 1 en 2 - 1 4 + 2 en 2 = 1 en 2 - 1 4

Respuesta: S (G) = 1 en 2 - 1 4

Ejemplo 5

Es necesario calcular el área de la figura, que está limitada por las líneas y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Solución

Con una línea roja trazamos la recta definida por la función y = x. Dibujamos la recta y = - 1 2 x + 4 en azul y la recta y = 2 3 x - 3 en negro.

Marquemos los puntos de intersección.

Encontremos los puntos de intersección de las gráficas de las funciones y = x e y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Comprueba: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 no ¿Es la solución de la ecuación x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 es la solución de la ecuación ⇒ (4; 2) punto de intersección i y = x e y = - 1 2 x + 4

Encontremos el punto de intersección de las gráficas de las funciones y = x e y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Comprueba: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 es la solución de la ecuación ⇒ (9 ; 3) punto a s y = x e y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 No hay solución para la ecuación

Encontremos el punto de intersección de las rectas y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) punto de intersección y = - 1 2 x + 4 y y = 2 3 x - 3

Método número 1

Imaginemos el área de la figura deseada como la suma de las áreas de figuras individuales.

Entonces el área de la figura es:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Método número 2

El área de la figura original se puede representar como la suma de otras dos figuras.

Luego resolvemos la ecuación de la recta con respecto a x, y solo después aplicamos la fórmula para calcular el área de la figura.

y = x ⇒ x = y 2 línea roja y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 línea negra y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Entonces el área es:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Como puedes ver, los valores son los mismos.

Respuesta: S (G) = 11 3

Resultados

Para encontrar el área de una figura limitada por líneas dadas, necesitamos construir líneas en un plano, encontrar sus puntos de intersección y aplicar la fórmula para encontrar el área. En esta sección, examinamos las variantes de tareas más comunes.

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