Encuentra el número de tres números. Divisor común y múltiplo

Máximo común divisor

Definición 2

Si un número natural a es divisible por un número natural $b$, entonces $b$ se llama divisor de $a$ y $a$ se llama múltiplo de $b$.

Sean $a$ y $b$ números naturales. El número $c$ se llama divisor común tanto de $a$ como de $b$.

El conjunto de divisores comunes de los números $a$ y $b$ es finito, ya que ninguno de estos divisores puede ser mayor que $a$. Esto significa que entre estos divisores hay uno más grande, que se llama máximo común divisor de los números $a$ y $b$ y se denota con la siguiente notación:

$MCD\(a;b)\ o \D\(a;b)$

Para encontrar el máximo común divisor de dos números necesitas:

Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.

Ejemplo 1

Encuentra el mcd de los números $121$ y $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Elige los números que se incluyen en la expansión de estos números.

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.

$MCD=2\cdot 11=22$

Ejemplo 2

Encuentra el mcd de los monomios $63$ y $81$.

Lo encontraremos según el algoritmo presentado. Para esto:

Factoricemos los números en factores primos.

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Seleccionamos los números que se incluyen en la expansión de estos números.

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Encontremos el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.

$MCD=3\cdot 3=9$

Puedes encontrar el mcd de dos números de otra manera, usando un conjunto de divisores de números.

Ejemplo 3

Encuentra el mcd de los números $48$ y $60$.

Solución:

Encontremos el conjunto de divisores del número $48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Ahora encontremos el conjunto de divisores del número $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ $

Encontremos la intersección de estos conjuntos: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - este conjunto determinará el conjunto de divisores comunes de los números $48$ y $60 $. El elemento más grande de este conjunto será el número $12$. Esto significa que el máximo común divisor de los números $48$ y $60$ es $12$.

Definición de morosidad

Definición 3

Múltiplos comunes de números naturales$a$ y $b$ es un número natural que es múltiplo de $a$ y $b$.

Los múltiplos comunes de números son números que son divisibles por los números originales sin resto. Por ejemplo, para los números $25$ y $50$, los múltiplos comunes serán los números $50,100,150,200$, etc.

El múltiplo común más pequeño se llamará mínimo común múltiplo y se denotará LCM$(a;b)$ o K$(a;b).$

Para encontrar el MCM de dos números, necesitas:

Factorizar números en factores primos
Escribe los factores que forman parte del primer número y sumales los factores que forman parte del segundo y no forman parte del primero.

Ejemplo 4

Encuentra el MCM de los números $99$ y $77$.

Lo encontraremos según el algoritmo presentado. Para esto

Factorizar números en factores primos

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Anota los factores incluidos en el primero.

agregarles multiplicadores que sean parte del segundo y no del primero

Encuentre el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el mínimo común múltiplo deseado

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Compilar listas de divisores de números suele ser una tarea que requiere mucha mano de obra. Hay una manera de encontrar MCD llamada algoritmo euclidiano.

Afirmaciones en las que se basa el algoritmo euclidiano:

Si $a$ y $b$ son números naturales y $a\vdots b$, entonces $D(a;b)=b$

Si $a$ y $b$ son números naturales tales que $b

Usando $D(a;b)= D(a-b;b)$, podemos reducir sucesivamente los números considerados hasta llegar a un par de números tales que uno de ellos sea divisible por el otro. Entonces, el menor de estos números será el máximo común divisor deseado para los números $a$ y $b$.

Propiedades de GCD y LCM

Cualquier múltiplo común de $a$ y $b$ es divisible por K$(a;b)$
Si $a\vdots b$ , entonces К$(a;b)=a$

Si K$(a;b)=k$ y $m$ es un número natural, entonces K$(am;bm)=km$

Si $d$ es un divisor común para $a$ y $b$, entonces K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Si $a\vdots c$ y $b\vdots c$ , entonces $\frac(ab)(c)$ es el múltiplo común de $a$ y $b$

Para cualquier número natural $a$ y $b$ se cumple la igualdad

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Cualquier divisor común de los números $a$ y $b$ es divisor del número $D(a;b)$

Pero muchos números naturales también son divisibles por otros números naturales.

Por ejemplo:

El número 12 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;

El número 36 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.

Los números por los cuales un número es divisible por un entero (para 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12) se llaman divisores de numeros. Divisor de un número natural a- es un número natural que divide a un número dado a sin dejar rastro. Un número natural que tiene más de dos divisores se llama compuesto .

Tenga en cuenta que los números 12 y 36 tienen factores comunes. Estos números son: 1, 2, 3, 4, 6, 12. El máximo divisor de estos números es 12. El divisor común de estos dos números a Y b- este es el número por el cual se dividen ambos números dados sin resto a Y b.

Múltiplos comunes varios números es un número que es divisible por cada uno de estos números. Por ejemplo, los números 9, 18 y 45 tienen un múltiplo común de 180. Pero 90 y 360 también son sus múltiplos comunes. Entre todos los múltiplos comunes siempre hay uno más pequeño, en este caso es 90. Este número se llama el mas pequeñomúltiplo común (MMC).

El MCM es siempre un número natural que debe ser mayor que el mayor de los números para los que está definido.

Mínimo común múltiplo (MCM). Propiedades.

Conmutatividad:

Asociatividad:

En particular, si y son números coprimos, entonces:

Mínimo común múltiplo de dos números enteros metro Y norte es divisor de todos los demás múltiplos comunes metro Y norte. Además, el conjunto de múltiplos comunes metro, norte coincide con el conjunto de múltiplos del MCM( metro, norte).

Las asintóticas para se pueden expresar en términos de algunas funciones de teoría de números.

Entonces, función de Chebyshev. Y:

Esto se desprende de la definición y propiedades de la función Landau. g(n).

Lo que se sigue de la ley de distribución de números primos.

Encontrar el mínimo común múltiplo (MCM).

NOC( a, b) se puede calcular de varias maneras:

1. Si se conoce el máximo común divisor, se puede utilizar su conexión con el MCM:

2. Conozcamos la descomposición canónica de ambos números en factores primos:

Dónde p 1 ,...,p k- varios números primos, y re 1 ,..., re k Y mi 1 ,...,e k— enteros no negativos (pueden ser ceros si el primo correspondiente no está en la expansión).

Entonces NOC ( a,b) se calcula mediante la fórmula:

En otras palabras, la descomposición MCM contiene todos los factores primos incluidos en al menos una de las descomposiciones de números. a, b, y se toma el mayor de los dos exponentes de este multiplicador.

Ejemplo:

El cálculo del mínimo común múltiplo de varios números se puede reducir a varios cálculos secuenciales del MCM de dos números:

Regla. Para encontrar el MCM de una serie de números, necesitas:

- descomponer números en factores primos;

- transferir la descomposición más grande (el producto de los factores del mayor número de estos) a los factores del producto deseado, y luego sumar factores de la descomposición de otros números que no aparecen en el primer número o no aparecen en él menos veces;

— el producto resultante de factores primos será el MCM de los números dados.

Dos o más números naturales cualesquiera tienen su propio MCM. Si los números no son múltiplos entre sí o no tienen los mismos factores en la expansión, entonces su MCM es igual al producto de estos números.

Los factores primos del número 28 (2, 2, 7) se complementan con un factor de 3 (el número 21), el producto resultante (84) será el número más pequeño que sea divisible entre 21 y 28.

Los factores primos del número mayor 30 se complementan con el factor 5 del número 25, el producto resultante 150 es mayor que el número mayor 30 y es divisible por todos los números dados sin resto. Este es el producto más pequeño posible (150, 250, 300...) que es múltiplo de todos los números dados.

Los números 2,3,11,37 son números primos, por lo que su MCM es igual al producto de los números dados.

Regla. Para calcular el MCM de números primos, debes multiplicar todos estos números.

Otra opción:

Para encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de varios números necesitas:

1) representar cada número como producto de sus factores primos, por ejemplo:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) escribe las potencias de todos los factores primos:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) escriba todos los divisores primos (multiplicadores) de cada uno de estos números;

4) elegir el mayor grado de cada uno de ellos, que se encuentra en todas las expansiones de estos números;

5) multiplicar estos poderes.

Ejemplo. Encuentra el MCM de los números: 168, 180 y 3024.

Solución. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Anotamos las potencias mayores de todos los divisores primos y las multiplicamos:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

El material presentado a continuación es una continuación lógica de la teoría del artículo titulado MCM: mínimo común múltiplo, definición, ejemplos, conexión entre LCM y MCD. Aquí hablaremos de encontrar el mínimo común múltiplo (MCM), y prestaremos especial atención a la resolución de ejemplos. Primero, mostraremos cómo se calcula el MCM de dos números utilizando el MCD de estos números. A continuación, veremos cómo encontrar el mínimo común múltiplo factorizando números en factores primos. Después de esto, nos centraremos en encontrar el MCM de tres o más números y también prestaremos atención a calcular el MCM de números negativos.

Navegación de páginas.

Calcular el mínimo común múltiplo (LCM) mediante MCD

Una forma de encontrar el mínimo común múltiplo se basa en la relación entre MCM y MCD. La conexión existente entre MCM y MCD nos permite calcular el mínimo común múltiplo de dos enteros positivos a través de un máximo común divisor conocido. La fórmula correspondiente es MCM(a, b)=a b:MCD(a, b) . Veamos ejemplos de cómo encontrar el MCM usando la fórmula dada.

Ejemplo.

Encuentra el mínimo común múltiplo de dos números 126 y 70.

Solución.

En este ejemplo a=126, b=70. Usemos la conexión entre MCM y MCD, expresada por la fórmula MCM(a, b)=a b:MCD(a, b). Es decir, primero tenemos que encontrar el máximo común divisor de los números 70 y 126, después de lo cual podemos calcular el MCM de estos números usando la fórmula escrita.

Encontremos MCD(126, 70) usando el algoritmo euclidiano: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, por lo tanto, MCD(126, 70)=14.

Ahora encontramos el mínimo común múltiplo requerido: MCD(126, 70)=126·70: MCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Respuesta:

MCM(126, 70)=630.

Ejemplo.

¿A qué es igual MCM(68, 34)?

Solución.

Porque 68 es divisible por 34, entonces MCD(68, 34)=34. Ahora calculamos el mínimo común múltiplo: MCD(68, 34)=68·34: MCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Respuesta:

MCM(68, 34)=68.

Tenga en cuenta que el ejemplo anterior se ajusta a la siguiente regla para encontrar el MCM para enteros positivos a y b: si el número a es divisible por b, entonces el mínimo común múltiplo de estos números es a.

Encontrar el MCM factorizando números en factores primos

Otra forma de encontrar el mínimo común múltiplo se basa en factorizar números en factores primos. Si compones un producto de todos los factores primos de números dados y luego excluyes de este producto todos los factores primos comunes presentes en las descomposiciones de los números dados, entonces el producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de los números dados. .

La regla establecida para encontrar el MCM se deriva de la igualdad MCM(a, b)=a b:MCD(a, b). De hecho, el producto de los números a y b es igual al producto de todos los factores involucrados en la expansión de los números a y b. A su vez, MCD(a, b) es igual al producto de todos los factores primos presentes simultáneamente en las expansiones de los números a y b (como se describe en la sección sobre cómo encontrar el MCD usando la expansión de números en factores primos).

Pongamos un ejemplo. Sepamos que 75=3·5·5 y 210=2·3·5·7. Compongamos el producto a partir de todos los factores de estas expansiones: 2·3·3·5·5·5·7 . Ahora de este producto excluimos todos los factores presentes tanto en la expansión del número 75 como en la expansión del número 210 (estos factores son 3 y 5), entonces el producto tomará la forma 2·3·5·5·7 . El valor de este producto es igual al mínimo común múltiplo de 75 y 210, es decir, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.

Ejemplo.

Factoriza los números 441 y 700 en factores primos y encuentra el mínimo común múltiplo de estos números.

Solución.

Factoricemos los números 441 y 700 en factores primos:

Obtenemos 441=3·3·7·7 y 700=2·2·5·5·7.

Ahora creemos un producto de todos los factores involucrados en la expansión de estos números: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Excluyamos de este producto todos los factores que están presentes simultáneamente en ambas expansiones (solo hay uno de esos factores: este es el número 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. De este modo, MCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Respuesta:

NOC(441, 700)= 44 100 .

La regla para encontrar el MCM mediante la factorización de números en factores primos se puede formular de manera un poco diferente. Si los factores faltantes de la expansión del número b se suman a los factores de la expansión del número a, entonces el valor del producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de los números a y b..

Por ejemplo, tomemos los mismos números 75 y 210, sus descomposiciones en factores primos son las siguientes: 75=3·5·5 y 210=2·3·5·7. A los factores 3, 5 y 5 del desarrollo del número 75 le sumamos los factores que faltan 2 y 7 del desarrollo del número 210, obtenemos el producto 2·3·5·5·7, cuyo valor es igual a MCM(75, 210).

Ejemplo.

Encuentra el mínimo común múltiplo de 84 y 648.

Solución.

Primero obtenemos las descomposiciones de los números 84 y 648 en factores primos. Parecen 84=2·2·3·7 y 648=2·2·2·3·3·3·3. A los factores 2, 2, 3 y 7 de la expansión del número 84 le sumamos los factores faltantes 2, 3, 3 y 3 de la expansión del número 648, obtenemos el producto 2 2 2 3 3 3 3 7, que es igual a 4 536 . Por lo tanto, el mínimo común múltiplo deseado de 84 y 648 es 4536.

Respuesta:

MCM(84, 648)=4,536 .

Encontrar el MCM de tres o más números

El mínimo común múltiplo de tres o más números se puede encontrar encontrando secuencialmente el MCM de dos números. Recordemos el teorema correspondiente, que proporciona una forma de encontrar el MCM de tres o más números.

Teorema.

Sean dados los números enteros positivos a 1 , a 2 , …, a k, el mínimo común múltiplo m k de estos números se encuentra calculando secuencialmente m 2 = MCM(a 1 , a 2), m 3 = MCM(m 2 , a 3) , … , m k = MCM(m k−1 , a k) .

Consideremos la aplicación de este teorema usando el ejemplo de encontrar el mínimo común múltiplo de cuatro números.

Ejemplo.

Encuentra el MCM de cuatro números 140, 9, 54 y 250.

Solución.

En este ejemplo, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

primero encontramos metro 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Para ello, utilizando el algoritmo euclidiano, determinamos MCD(140, 9), tenemos 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, por lo tanto, MCD(140, 9)=1 , de donde MCD(140, 9)=140 9: MCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Es decir, m 2 = 1 260.

ahora encontramos m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Calculémoslo mediante MCD(1 260, 54), que también determinamos mediante el algoritmo euclidiano: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Entonces mcd(1,260, 54)=18, de donde mcd(1,260, 54)= 1,260·54:mcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Es decir, m 3 = 3 780.

Todo lo que queda es encontrar m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Para hacer esto, encontramos MCD(3,780, 250) usando el algoritmo euclidiano: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Por lo tanto, MCD(3,780, 250)=10, de donde MCD(3,780, 250)= 3 780 250: MCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Es decir, m4 = 94.500.

Entonces, el mínimo común múltiplo de los cuatro números originales es 94,500.

Respuesta:

MCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

En muchos casos, es conveniente encontrar el mínimo común múltiplo de tres o más números usando factorizaciones primas de los números dados. En este caso, debes cumplir con la siguiente regla. El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto, que se compone de la siguiente manera: los factores que faltan de la expansión del segundo número se suman a todos los factores de la expansión del primer número, los factores que faltan de la expansión del el tercer número se suma a los factores resultantes, y así sucesivamente.

Veamos un ejemplo de cómo encontrar el mínimo común múltiplo usando factorización prima.

Ejemplo.

Encuentra el mínimo común múltiplo de los cinco números 84, 6, 48, 7, 143.

Solución.

Primero, obtenemos descomposiciones de estos números en factores primos: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 es un número primo, coincide con su descomposición en factores primos) y 143=11·13.

Para encontrar el MCM de estos números, a los factores del primer número 84 (son 2, 2, 3 y 7), debes sumar los factores que faltan de la expansión del segundo número 6. La descomposición del número 6 no contiene factores faltantes, ya que tanto el 2 como el 3 ya están presentes en la descomposición del primer número 84. A continuación, a los factores 2, 2, 3 y 7 sumamos los factores 2 y 2 que faltan de la expansión del tercer número 48, obtenemos un conjunto de factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7. No será necesario agregar multiplicadores a este conjunto en el siguiente paso, ya que 7 ya está contenido en él. Finalmente, a los factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7 le sumamos los factores que faltan 11 y 13 de la expansión del número 143. Obtenemos el producto 2·2·2·2·3·7·11·13, que es igual a 48.048.

El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo son conceptos aritméticos clave que facilitan el trabajo con fracciones. MCM y se utilizan con mayor frecuencia para encontrar el denominador común de varias fracciones.

Conceptos básicos

El divisor de un número entero X es otro número entero Y por el que se divide X sin dejar resto. Por ejemplo, el divisor de 4 es 2 y 36 es 4, 6, 9. Un múltiplo de un número entero X es un número Y que es divisible por X sin resto. Por ejemplo, 3 es múltiplo de 15 y 6 es múltiplo de 12.

Para cualquier par de números podemos encontrar sus divisores y múltiplos comunes. Por ejemplo, para 6 y 9, el múltiplo común es 18 y el divisor común es 3. Obviamente, los pares pueden tener varios divisores y múltiplos, por lo que los cálculos utilizan el divisor más grande MCD y el múltiplo más pequeño MCM.

El mínimo divisor no tiene sentido, ya que para cualquier número siempre es uno. El mayor múltiplo tampoco tiene sentido, ya que la secuencia de múltiplos llega al infinito.

Encontrar mcd

Existen muchos métodos para encontrar el máximo común divisor, los más famosos son:

búsqueda secuencial de divisores, selección de los comunes para un par y búsqueda del mayor de ellos;
descomposición de números en factores indivisibles;
Algoritmo euclidiano;
algoritmo binario.

Hoy en las instituciones educativas los métodos más populares son la descomposición en factores primos y el algoritmo euclidiano. Este último, a su vez, se utiliza al resolver ecuaciones diofánticas: es necesario buscar MCD para verificar la posibilidad de resolución de la ecuación en números enteros.

Encontrar el CON

El mínimo común múltiplo también se determina mediante búsqueda secuencial o descomposición en factores indivisibles. Además, es fácil encontrar el MCM si ya se ha determinado el máximo divisor. Para los números X e Y, el MCM y el MCD están relacionados mediante la siguiente relación:

LCD(X,Y) = X × Y / MCD(X,Y).

Por ejemplo, si MCM(15,18) = 3, entonces MCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. El ejemplo más obvio del uso de MCM es encontrar el denominador común, que es el mínimo común múltiplo de fracciones dadas.

números coprimos

Si un par de números no tiene divisores comunes, entonces ese par se llama coprimo. El mcd de tales pares siempre es igual a uno y, según la conexión entre divisores y múltiplos, el mcd de pares coprimos es igual a su producto. Por ejemplo, los números 25 y 28 son primos relativos, porque no tienen divisores comunes, y MCM(25, 28) = 700, que corresponde a su producto. Dos números cualesquiera indivisibles siempre serán primos relativos.

Calculadora de divisor común y múltiplo

Con nuestra calculadora puede calcular MCD y MCM para una cantidad arbitraria de números para elegir. Las tareas de cálculo de divisores y múltiplos comunes se encuentran en aritmética de quinto y sexto grado, pero MCD y LCM son conceptos clave en matemáticas y se utilizan en teoría de números, planimetría y álgebra comunicativa.

Ejemplos de la vida real

denominador común de fracciones

El mínimo común múltiplo se utiliza para encontrar el denominador común de varias fracciones. Digamos que en un problema de aritmética necesitas sumar 5 fracciones:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Para sumar fracciones, la expresión debe reducirse a un denominador común, lo que se reduce al problema de encontrar el MCM. Para hacer esto, seleccione 5 números en la calculadora e ingrese los valores de los denominadores en las celdas correspondientes. El programa calculará el MCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Ahora necesitas calcular factores adicionales para cada fracción, que se definen como la relación entre el MCM y el denominador. Entonces los multiplicadores adicionales quedarían así:

360/8 = 45
360/9 = 40
360/12 = 30
360/15 = 24
360/18 = 20.

Después de esto, multiplicamos todas las fracciones por el factor adicional correspondiente y obtenemos:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Podemos sumar fácilmente dichas fracciones y obtener el resultado 159/360. Reducimos la fracción a 3 y vemos la respuesta final: 53/120.

Resolver ecuaciones diofánticas lineales

Las ecuaciones diofánticas lineales son expresiones de la forma ax + by = d. Si la relación d / mcd(a, b) es un número entero, entonces la ecuación se puede resolver en números enteros. Revisemos un par de ecuaciones para ver si tienen una solución entera. Primero, verifiquemos la ecuación 150x + 8y = 37. Usando una calculadora, encontramos MCD (150,8) = 2. Dividimos 37/2 = 18,5. El número no es un número entero, por lo tanto la ecuación no tiene raíces enteras.

Revisemos la ecuación 1320x + 1760y = 10120. Use una calculadora para encontrar MCD(1320, 1760) = 440. Divida 10120/440 = 23. Como resultado, obtenemos un número entero, por lo tanto, la ecuación diofántica se puede resolver en coeficientes enteros. .

Conclusión

MCD y LCM desempeñan un papel importante en la teoría de números y los conceptos en sí se utilizan ampliamente en una amplia variedad de áreas de las matemáticas. Utilice nuestra calculadora para calcular los mayores divisores y los mínimos múltiplos de cualquier número de números.

La calculadora en línea le permite encontrar rápidamente el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o cualquier otro número de números.

Calculadora para encontrar MCD y LCM

Encuentra MCD y LOC

MCD y LOC encontrados: 5806

Cómo usar la calculadora

Ingrese números en el campo de entrada
Si ingresa caracteres incorrectos, el campo de entrada se resaltará en rojo
haga clic en el botón "Buscar MCD y LCM"

Cómo ingresar números

Los números se ingresan separados por un espacio, punto o coma.
La longitud de los números ingresados no está limitada., por lo que no es difícil encontrar MCD y MCM de números largos

¿Qué son GCD y NOC?

Máximo común divisor varios números es el mayor entero natural por el cual todos los números originales son divisibles sin resto. El máximo común divisor se abrevia como MCD.
Minimo común multiplo varios números es el número más pequeño que es divisible por cada uno de los números originales sin resto. El mínimo común múltiplo se abrevia como CON.

¿Cómo comprobar que un número es divisible por otro número sin resto?

Para saber si un número es divisible por otro sin resto, puedes utilizar algunas propiedades de la divisibilidad de los números. Luego, combinándolos, podrás comprobar la divisibilidad de algunos de ellos y sus combinaciones.

Algunos signos de divisibilidad de números.

1. Prueba de divisibilidad de un número por 2
Para determinar si un número es divisible por dos (si es par), basta con mirar el último dígito de este número: si es igual a 0, 2, 4, 6 u 8, entonces el número es par, lo que significa que es divisible por 2.
Ejemplo: Determina si el número 34938 es divisible por 2.
Solución: Miramos el último dígito: 8 - eso significa que el número es divisible por dos.

2. Prueba de divisibilidad de un número entre 3
Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es divisible por tres. Por lo tanto, para determinar si un número es divisible por 3, es necesario calcular la suma de los dígitos y comprobar si es divisible por 3. Incluso si la suma de los dígitos es muy grande, puedes repetir el mismo proceso nuevamente.
Ejemplo: Determina si el número 34938 es divisible por 3.
Solución: Contamos la suma de los números: 3+4+9+3+8 = 27. 27 es divisible por 3, lo que significa que el número es divisible por tres.

3. Prueba de divisibilidad de un número entre 5
Un número es divisible por 5 cuando su último dígito es cero o cinco.
Ejemplo: Determina si el número 34938 es divisible por 5.
Solución: Mire el último dígito: 8 significa que el número NO es divisible por cinco.

4. Prueba de divisibilidad de un número entre 9
Este signo es muy similar al signo de divisibilidad por tres: un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es divisible por 9.
Ejemplo: Determina si el número 34938 es divisible por 9.
Solución: Contamos la suma de los números: 3+4+9+3+8 = 27. 27 es divisible por 9, lo que significa que el número es divisible por nueve.

Cómo encontrar MCD y MCM de dos números

Cómo encontrar el mcd de dos números

La forma más sencilla de calcular el máximo común divisor de dos números es encontrar todos los divisores posibles de esos números y elegir el mayor.

Consideremos este método usando el ejemplo de encontrar MCD(28, 36):

Factorizamos ambos números: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
Encontramos factores comunes, es decir, los que tienen ambos números: 1, 2 y 2.
Calculamos el producto de estos factores: 1 2 2 = 4: este es el máximo común divisor de los números 28 y 36.

Cómo encontrar el MCM de dos números

Hay dos formas más comunes de encontrar el mínimo múltiplo de dos números. El primer método consiste en escribir los primeros múltiplos de dos números y luego elegir entre ellos un número que será común a ambos números y al mismo tiempo el más pequeño. Y el segundo es encontrar el mcd de estos números. Consideremos sólo eso.

Para calcular el MCM, debes calcular el producto de los números originales y luego dividirlo por el MCD encontrado anteriormente. Encontremos el MCM para los mismos números 28 y 36:

Encuentra el producto de los números 28 y 36: 28·36 = 1008
MCD(28, 36), como ya se sabe, es igual a 4
MCM(28, 36) = 1008/4 = 252.

Encontrar MCD y MCM para varios números

El máximo común divisor se puede encontrar para varios números, no solo para dos. Para hacer esto, los números que se deben encontrar para el máximo común divisor se descomponen en factores primos y luego se calcula el producto de los factores primos comunes de estos números. También puedes utilizar la siguiente relación para encontrar el mcd de varios números: MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c).

Una relación similar se aplica al mínimo común múltiplo: MCM(a, b, c) = MCM(MCM(a, b), c)

Ejemplo: encuentre MCD y MCM para los números 12, 32 y 36.

Primero, factoricemos los números: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
Encontremos los factores comunes: 1, 2 y 2.
Su producto dará MCD: 1·2·2 = 4
Ahora encontremos el MCM: para hacer esto, primero encontremos el MCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96.
Para encontrar el MCM de los tres números, necesitas encontrar MCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3, 36 = 1·2·2·3·3, MCD = 1·2· 2 3 = 12.
MCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.