Expectativa matemática de una variable aleatoria. Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad.
2. Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad.
Valor esperado
Considere una variable aleatoria con valores numéricos. A menudo resulta útil asociar un número con esta función: su "valor medio" o, como dicen, "valor medio", "índice de tendencia central". Por diversas razones, algunas de las cuales quedarán claras más adelante, la expectativa matemática suele utilizarse como “valor promedio”.
Definición 3. Expectativa matemática de una variable aleatoria. X número llamado
aquellos. la expectativa matemática de una variable aleatoria es una suma ponderada de los valores de una variable aleatoria con pesos iguales a las probabilidades de los eventos elementales correspondientes.
Ejemplo 6. Calculemos la expectativa matemática del número que aparece en la cara superior del dado. Se deduce directamente de la Definición 3 que
Declaración 2. Deja que la variable aleatoria X toma valores x 1, x 2,…, xmetro. Entonces la igualdad es verdadera.
(5)
aquellos. La expectativa matemática de una variable aleatoria es una suma ponderada de los valores de la variable aleatoria con pesos iguales a las probabilidades de que la variable aleatoria tome ciertos valores.
A diferencia de (4), donde la suma se realiza directamente sobre eventos elementales, un evento aleatorio puede constar de varios eventos elementales.
A veces se toma la relación (5) como definición de expectativa matemática. Sin embargo, utilizando la Definición 3, como se muestra a continuación, es más fácil establecer las propiedades de la expectativa matemática necesaria para construir modelos probabilísticos de fenómenos reales que utilizando la relación (5).
Para probar la relación (5), agrupamos en (4) términos con valores idénticos de la variable aleatoria:
Dado que el factor constante se puede quitar del signo de la suma, entonces
Determinando la probabilidad de un evento.
Usando las dos últimas relaciones obtenemos lo requerido:
El concepto de expectativa matemática en la teoría estadística-probabilística corresponde al concepto de centro de gravedad en mecánica. Pongámoslo en puntos. x 1, x 2,…, xmetro en el eje del número de masa PAG(X= X 1 ), PAG(X= X 2 ),…, PAG(X= xm) respectivamente. Entonces la igualdad (5) muestra que el centro de gravedad de este sistema de puntos materiales coincide con la expectativa matemática, lo que muestra la naturalidad de la Definición 3.
Declaración 3. Dejar X- valor aleatorio, M(X)– su expectativa matemática, A– un cierto número. Entonces
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(X- a) 2 ]= METRO[(X- METRO(X)) 2 ]+(a- METRO(X)) 2 .
Para probar esto, consideremos primero una variable aleatoria que es constante, es decir la función mapea el espacio de eventos elementales a un solo punto A. Dado que el multiplicador constante se puede llevar más allá del signo de la suma, entonces
Si cada miembro de una suma se divide en dos términos, entonces la suma total se divide en dos sumas, de las cuales la primera está formada por los primeros términos y la segunda por el segundo. Por lo tanto, la expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias X+Y, definido en el mismo espacio de eventos elementales, es igual a la suma de expectativas matemáticas M(X) Y METRO(U) estas variables aleatorias:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Y por lo tanto M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Como se muestra arriba, M(M(X)) = M(X). Por eso, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Porque el (X - a) 2 = ((X – METRO(X)) + (METRO(X) - a)} 2 = (X - METRO(X)) 2 + 2(X - METRO(X))(METRO(X) - a) + (METRO(X) – a) 2 , Eso METRO[(X - a) 2 ] =METRO(X - METRO(X)) 2 + METRO{2(X - METRO(X))(METRO(X) - a)} + METRO[(METRO(X) – a) 2 ]. Simplifiquemos la última igualdad. Como se muestra al comienzo de la prueba del enunciado 3, la expectativa matemática de una constante es la constante misma y, por lo tanto, METRO[(METRO(X) – a) 2 ] = (METRO(X) – a) 2 . Dado que el multiplicador constante se puede llevar más allá del signo de la suma, entonces METRO{2(X - METRO(X))(METRO(X) - a)} = 2(METRO(X) - a)METRO(X - METRO(X)). El lado derecho de la última igualdad es 0 porque, como se muestra arriba, M(X-M(X))=0. Por eso, METRO[(X- a) 2 ]= METRO[(X- METRO(X)) 2 ]+(a- METRO(X)) 2 , que era lo que había que demostrar.
De lo anterior se deduce que METRO[(X- a) 2 ] alcanza un mínimo A, igual METRO[(X- METRO(X)) 2 ], en a = M(X), ya que el segundo término en la igualdad 3) siempre es no negativo y es igual a 0 solo para el valor especificado A.
Declaración 4. Deja que la variable aleatoria X toma valores x 1, x 2,…, xmetro, y f es alguna función del argumento numérico. Entonces
Para demostrar esto, agrupemos en el lado derecho de la igualdad (4), que define la expectativa matemática, términos con los mismos valores:
Usando el hecho de que el factor constante se puede sacar del signo de la suma y la definición de la probabilidad de un evento aleatorio (2), obtenemos
Q.E.D.
Declaración 5. Dejar X Y Ud.– variables aleatorias definidas en el mismo espacio de eventos elementales, A Y b- algunos números. Entonces METRO(hacha+ por)= soy(X)+ bm(Y).
Usando la definición de la expectativa matemática y las propiedades del símbolo de suma, obtenemos una cadena de igualdades:
Se ha demostrado lo requerido.
Lo anterior muestra cómo la expectativa matemática depende de la transición a otro punto de referencia y a otra unidad de medida (transición Y=hacha+b), así como a funciones de variables aleatorias. Los resultados obtenidos se utilizan constantemente en análisis técnicos y económicos, en la evaluación de las actividades económicas y financieras de una empresa, durante la transición de una moneda a otra en cálculos económicos extranjeros, en documentación regulatoria y técnica, etc. Los resultados considerados permiten uso de las mismas fórmulas de cálculo para varios parámetros de escala y desplazamiento.
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La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos sus valores posibles y sus probabilidades.
Supongamos que una variable aleatoria toma solo valores de probabilidad que son respectivamente iguales, entonces la expectativa matemática de una variable aleatoria está determinada por la igualdad
Si una variable aleatoria discreta toma un conjunto contable de valores posibles, entonces
Además, la expectativa matemática existe si la serie del lado derecho de la igualdad converge absolutamente.
Comentario. De la definición se deduce que la expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es una cantidad no aleatoria (constante).
Definición de expectativa matemática en el caso general.
Determinemos la expectativa matemática de una variable aleatoria cuya distribución no es necesariamente discreta. Empecemos con el caso de las variables aleatorias no negativas. La idea será aproximar dichas variables aleatorias utilizando variables discretas para las cuales ya se ha determinado la expectativa matemática, y establecer la expectativa matemática igual al límite de las expectativas matemáticas de las variables aleatorias discretas que la aproximan. Por cierto, esta es una idea general muy útil, que es que alguna característica se determina primero para objetos simples y luego, para objetos más complejos, se determina acercándolos a otros más simples.
Lema 1. Sea una variable aleatoria arbitraria no negativa. Entonces existe una secuencia de variables aleatorias discretas tal que
Prueba. Dividamos el semieje en segmentos de igual longitud y determinemos
Entonces las propiedades 1 y 2 se derivan fácilmente de la definición de una variable aleatoria, y
Lema 2. Sea una variable aleatoria no negativa y dos secuencias de variables aleatorias discretas que poseen las propiedades 1-3 del Lema 1. Entonces
Prueba. Tenga en cuenta que para variables aleatorias no negativas permitimos
En virtud de la Propiedad 3, es fácil ver que existe una secuencia de números positivos tal que
Resulta que
Usando las propiedades de las expectativas matemáticas para variables aleatorias discretas, obtenemos
Pasando al límite en obtenemos el enunciado del Lema 2.
Definición 1. Sea una variable aleatoria no negativa, una secuencia de variables aleatorias discretas que tienen las propiedades 1-3 del Lema 1. La expectativa matemática de una variable aleatoria es el número
El lema 2 garantiza que no depende de la elección de la secuencia aproximada.
Sea ahora una variable aleatoria arbitraria. definamos
De la definición se deduce fácilmente que
Definición 2. La expectativa matemática de una variable aleatoria arbitraria es el número
Si al menos uno de los números del lado derecho de esta igualdad es finito.
Propiedades de la expectativa matemática
Propiedad 1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a la constante misma:
Prueba. Consideraremos una constante como una variable aleatoria discreta que tiene un valor posible y lo toma con probabilidad, por lo tanto,
Observación 1. Definamos el producto de una variable constante por una variable aleatoria discreta como un aleatorio discreto cuyos valores posibles son iguales a los productos de la constante por los valores posibles; las probabilidades de los valores posibles son iguales a las probabilidades de los valores posibles correspondientes. Por ejemplo, si la probabilidad de un valor posible es igual, entonces la probabilidad de que el valor tome el valor también es igual
Propiedad 2. El factor constante se puede sacar del signo de la expectativa matemática:
Prueba. Sea la variable aleatoria dada por la ley de distribución de probabilidad:
Teniendo en cuenta la observación 1, escribimos la ley de distribución de la variable aleatoria.
Observación 2. Antes de pasar a la siguiente propiedad, señalamos que dos variables aleatorias se llaman independientes si la ley de distribución de una de ellas no depende de los posibles valores que tomó la otra variable. De lo contrario, las variables aleatorias son dependientes. Varias variables aleatorias se denominan mutuamente independientes si las leyes de distribución de cualquier número de ellas no dependen de los posibles valores que tomaron las variables restantes.
Observación 3. Definamos el producto de variables aleatorias independientes y como variable aleatoria cuyos valores posibles son iguales a los productos de cada valor posible por cada valor posible, las probabilidades de los valores posibles del producto son iguales a los productos de las probabilidades de los valores posibles de los factores. Por ejemplo, si la probabilidad de un valor posible es, la probabilidad de un valor posible es entonces la probabilidad de un valor posible es
Propiedad 3. La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas:
Prueba. Dejemos que las variables aleatorias independientes se especifiquen mediante sus propias leyes de distribución de probabilidad:
Recopilemos todos los valores que puede tomar una variable aleatoria, para ello multipliquemos todos los valores posibles por cada valor posible; Como resultado, obtenemos y, teniendo en cuenta la Observación 3, escribimos la ley de distribución, asumiendo por simplicidad que todos los valores posibles del producto son diferentes (si este no es el caso, entonces la prueba se realiza en un manera similar):
La expectativa matemática es igual a la suma de los productos de todos los valores posibles y sus probabilidades:
Consecuencia. La expectativa matemática del producto de varias variables aleatorias mutuamente independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.
Propiedad 4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos:
Prueba. Sean variables aleatorias y se especifiquen mediante las siguientes leyes de distribución:
Recopilemos todos los valores posibles de una cantidad, para ello sumamos cada valor posible a cada valor posible; obtenemos Supongamos por simplicidad que estos valores posibles son diferentes (si este no es el caso, entonces la prueba se lleva a cabo de manera similar), y denotamos sus probabilidades, respectivamente, por y
La esperanza matemática de un valor es igual a la suma de los productos de valores posibles y sus probabilidades:
Demostremos que un evento que tomará el valor (la probabilidad de este evento es igual) implica un evento que tomará el valor o (la probabilidad de este evento según el teorema de la suma es igual), y viceversa. De ahí se sigue que las igualdades se prueban de manera similar.
Sustituyendo los lados derechos de estas igualdades en la relación (*), obtenemos
o finalmente
Varianza y desviación estándar
En la práctica, a menudo es necesario estimar la dispersión de posibles valores de una variable aleatoria alrededor de su valor medio. Por ejemplo, en artillería es importante saber qué tan cerca caerán los proyectiles del objetivo que se va a alcanzar.
A primera vista, puede parecer que la forma más sencilla de estimar la dispersión es calcular todas las desviaciones posibles de una variable aleatoria y luego encontrar su valor promedio. Sin embargo, este camino no dará nada, ya que el valor medio de la desviación, es decir, para cualquier variable aleatoria es igual a cero. Esta propiedad se explica por el hecho de que algunas posibles desviaciones son positivas, mientras que otras son negativas; como resultado de su cancelación mutua, el valor de desviación promedio es cero. Estas consideraciones indican la conveniencia de sustituir las posibles desviaciones por sus valores absolutos o sus cuadrados. Esto es lo que hacen en la práctica. Es cierto que, en el caso de que las posibles desviaciones se sustituyan por valores absolutos, hay que operar con valores absolutos, lo que a veces conduce a serias dificultades. Por lo tanto, la mayoría de las veces toman un camino diferente, es decir, Calcule el valor promedio de la desviación al cuadrado, que se llama dispersión.
También habrá problemas que podrás resolver por tu cuenta, de los cuales podrás ver las respuestas.
La expectativa y la varianza son las características numéricas más utilizadas de una variable aleatoria. Caracterizan las características más importantes de la distribución: su posición y grado de dispersión. El valor esperado a menudo se denomina simplemente promedio. variable aleatoria. Dispersión de una variable aleatoria: característica de la dispersión, dispersión de una variable aleatoria sobre su expectativa matemática.
En muchos problemas prácticos, no se puede obtener una característica completa y exhaustiva de una variable aleatoria (la ley de distribución) o no se necesita en absoluto. En estos casos, uno se limita a una descripción aproximada de una variable aleatoria utilizando características numéricas.
Expectativa de una variable aleatoria discreta
Vayamos al concepto de expectativa matemática. Sea la masa de alguna sustancia distribuida entre los puntos del eje x. X1 , X 2 , ..., X norte. Además, cada punto material tiene una masa correspondiente con una probabilidad de pag1 , pag 2 , ..., pag norte. Es necesario seleccionar un punto en el eje de abscisas, caracterizando la posición de todo el sistema de puntos materiales, teniendo en cuenta sus masas. Es natural tomar como tal punto el centro de masa de un sistema de puntos materiales. Este es el promedio ponderado de la variable aleatoria. X, a la que la abscisa de cada punto Xi entra con un “peso” igual a la probabilidad correspondiente. El valor medio de la variable aleatoria obtenido de esta forma. X se llama expectativa matemática.
La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos sus valores posibles y las probabilidades de estos valores:
Ejemplo 1. Se ha organizado una lotería en la que todos ganan. Hay 1000 ganancias, de las cuales 400 son 10 rublos. 300 - 20 rublos cada uno. 200 - 100 rublos cada uno. y 100 - 200 rublos cada uno. ¿Cuál es la ganancia promedio de alguien que compra un boleto?
Solución. Encontraremos las ganancias promedio si dividimos la cantidad total de ganancias, que es 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rublos, por 1000 (cantidad total de ganancias). Entonces obtenemos 50000/1000 = 50 rublos. Pero la expresión para calcular las ganancias promedio se puede presentar de la siguiente forma:
Por otro lado, en estas condiciones, el tamaño de la ganancia es una variable aleatoria, que puede tomar valores de 10, 20, 100 y 200 rublos. con probabilidades iguales a 0,4, respectivamente; 0,3; 0,2; 0.1. Por lo tanto, la ganancia promedio esperada es igual a la suma de los productos del tamaño de las ganancias y la probabilidad de recibirlas.
Ejemplo 2. El editor decidió publicar un nuevo libro. Planea vender el libro por 280 rublos, de los cuales él mismo recibirá 200, 50 - la librería y 30 - el autor. La tabla proporciona información sobre los costos de publicar un libro y la probabilidad de vender una cierta cantidad de copias del libro.
Encuentre la ganancia esperada del editor.
Solución. La variable aleatoria “beneficio” es igual a la diferencia entre los ingresos por ventas y el costo de los gastos. Por ejemplo, si se venden 500 copias de un libro, los ingresos por la venta son 200 * 500 = 100 000 y el costo de publicación es 225 000 rublos. Por tanto, el editor se enfrenta a una pérdida de 125.000 rublos. La siguiente tabla resume los valores esperados de la variable aleatoria - beneficio:
| Número | Ganancia Xi | Probabilidad pagi | Xi pag i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Total: | 1,00 | 25000 |
Así, obtenemos la expectativa matemática del beneficio del editor:
.
Ejemplo 3. Probabilidad de acertar de un solo tiro. pag= 0,2. Determinar el consumo de proyectiles que proporcionen una expectativa matemática del número de impactos igual a 5.
Solución. A partir de la misma fórmula matemática de expectativa que hemos usado hasta ahora, expresamos X- consumo de cáscara:
.
Ejemplo 4. Determinar la expectativa matemática de una variable aleatoria. X número de aciertos con tres disparos, si la probabilidad de acierto con cada disparo pag = 0,4 .
Sugerencia: encuentre la probabilidad de valores de variables aleatorias por La fórmula de Bernoulli. .
Propiedades de la expectativa matemática
Consideremos las propiedades de la expectativa matemática.
Propiedad 1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a esta constante:
Propiedad 2. El factor constante se puede sacar del signo de expectativa matemática:
Propiedad 3. La expectativa matemática de la suma (diferencia) de variables aleatorias es igual a la suma (diferencia) de sus expectativas matemáticas:
Propiedad 4. La expectativa matemática de un producto de variables aleatorias es igual al producto de sus expectativas matemáticas:
Propiedad 5. Si todos los valores de una variable aleatoria X disminuir (aumentar) en el mismo número CON, entonces su expectativa matemática disminuirá (aumentará) en el mismo número:
Cuando no puedes limitarte solo a las expectativas matemáticas
En la mayoría de los casos, sólo la expectativa matemática no puede caracterizar suficientemente una variable aleatoria.
Deja que las variables aleatorias X Y Y están dadas por las siguientes leyes de distribución:
| Significado X | Probabilidad |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Significado Y | Probabilidad |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Las expectativas matemáticas de estas cantidades son las mismas: iguales a cero:
Sin embargo, sus patrones de distribución son diferentes. Valor aleatorio X sólo puede tomar valores que difieren poco de la expectativa matemática, y la variable aleatoria Y Puede tomar valores que se desvíen significativamente de la expectativa matemática. Un ejemplo similar: el salario medio no permite juzgar la proporción de trabajadores con salarios altos y bajos. En otras palabras, a partir de la expectativa matemática no se puede juzgar qué desviaciones de ella, al menos en promedio, son posibles. Para hacer esto, necesitas encontrar la varianza de la variable aleatoria.
Varianza de una variable aleatoria discreta
Diferencia variable aleatoria discreta X se llama expectativa matemática del cuadrado de su desviación de la expectativa matemática:
La desviación estándar de una variable aleatoria. X el valor aritmético de la raíz cuadrada de su varianza se llama:
.
Ejemplo 5. Calcular varianzas y desviaciones estándar de variables aleatorias. X Y Y, cuyas leyes de distribución se dan en las tablas anteriores.
Solución. Expectativas matemáticas de variables aleatorias. X Y Y, como se encontró arriba, son iguales a cero. Según la fórmula de dispersión en mi(X)=mi(y)=0 obtenemos:
Entonces las desviaciones estándar de variables aleatorias. X Y Y constituir
.
Así, con las mismas expectativas matemáticas, la varianza de la variable aleatoria X muy pequeña, pero una variable aleatoria Y- significativo. Esto es consecuencia de diferencias en su distribución.
Ejemplo 6. El inversor tiene 4 proyectos de inversión alternativos. La tabla resume el beneficio esperado en estos proyectos con la probabilidad correspondiente.
| Proyecto 1 | Proyecto 2 | Proyecto 3 | Proyecto 4 |
| 500, PAG=1 | 1000, PAG=0,5 | 500, PAG=0,5 | 500, PAG=0,5 |
| 0, PAG=0,5 | 1000, PAG=0,25 | 10500, PAG=0,25 | |
| 0, PAG=0,25 | 9500, PAG=0,25 |
Encuentre la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar para cada alternativa.
Solución. Muestremos cómo se calculan estos valores para la tercera alternativa:
La tabla resume los valores encontrados para todas las alternativas.
Todas las alternativas tienen las mismas expectativas matemáticas. Esto significa que a la larga todos tienen los mismos ingresos. La desviación estándar se puede interpretar como una medida del riesgo: cuanto mayor sea, mayor será el riesgo de la inversión. Un inversor que no quiera correr mucho riesgo elegirá el proyecto 1 ya que tiene la desviación estándar más pequeña (0). Si el inversor prefiere el riesgo y altos rendimientos en un período corto, elegirá el proyecto con la mayor desviación estándar: el proyecto 4.
Propiedades de dispersión
Presentemos las propiedades de la dispersión.
Propiedad 1. La varianza de un valor constante es cero:
Propiedad 2. El factor constante se puede sacar del signo de dispersión elevándolo al cuadrado:
.
Propiedad 3. La varianza de una variable aleatoria es igual a la expectativa matemática del cuadrado de este valor, del cual se resta el cuadrado de la expectativa matemática del valor mismo:
,
Dónde 
.
Propiedad 4. La varianza de la suma (diferencia) de variables aleatorias es igual a la suma (diferencia) de sus varianzas:
Ejemplo 7. Se sabe que una variable aleatoria discreta X toma sólo dos valores: −3 y 7. Además, se conoce la expectativa matemática: mi(X) = 4 . Encuentra la varianza de una variable aleatoria discreta.
Solución. Denotemos por pag la probabilidad con la que una variable aleatoria toma un valor X1 = −3 . Entonces la probabilidad del valor X2 = 7 será 1 - pag. Derivemos la ecuación para la expectativa matemática:
mi(X) = X 1 pag + X 2 (1 − pag) = −3pag + 7(1 − pag) = 4 ,
donde obtenemos las probabilidades: pag= 0,3 y 1 − pag = 0,7 .
Ley de distribución de una variable aleatoria:
| X | −3 | 7 |
| pag | 0,3 | 0,7 |
Calculamos la varianza de esta variable aleatoria usando la fórmula de la propiedad 3 de dispersión:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Encuentre usted mismo la expectativa matemática de una variable aleatoria y luego observe la solución
Ejemplo 8. Variable aleatoria discreta X toma sólo dos valores. Acepta el mayor de los valores 3 con probabilidad 0,4. Además, se conoce la varianza de la variable aleatoria. D(X) = 6 . Encuentre la expectativa matemática de una variable aleatoria.
Ejemplo 9. En una urna hay 6 bolas blancas y 4 negras. De la urna se extraen 3 bolas. El número de bolas blancas entre las bolas extraídas es una variable aleatoria discreta. X. Encuentre la expectativa matemática y la varianza de esta variable aleatoria.
Solución. Valor aleatorio X puede tomar valores 0, 1, 2, 3. Las probabilidades correspondientes se pueden calcular a partir de regla de multiplicación de probabilidad. Ley de distribución de una variable aleatoria:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| pag | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
De ahí la expectativa matemática de esta variable aleatoria:
METRO(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
La varianza de una variable aleatoria dada es:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Expectativa y varianza de una variable aleatoria continua.
Para una variable aleatoria continua, la interpretación mecánica de la expectativa matemática conservará el mismo significado: el centro de masa de una unidad de masa distribuida continuamente en el eje x con densidad F(X). A diferencia de una variable aleatoria discreta, cuyo argumento de función Xi cambia abruptamente; para una variable aleatoria continua, el argumento cambia continuamente. Pero la expectativa matemática de una variable aleatoria continua también está relacionada con su valor promedio.
Para encontrar la expectativa matemática y la varianza de una variable aleatoria continua, necesitas encontrar integrales definidas . Si se da la función de densidad de una variable aleatoria continua, entonces entra directamente en el integrando. Si se da una función de distribución de probabilidad, al diferenciarla, es necesario encontrar la función de densidad.
La media aritmética de todos los valores posibles de una variable aleatoria continua se llama expectativa matemática, denotado por o .
Solución:
6.1.2 Propiedades de la expectativa matemática
1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a la constante misma.
2. El factor constante se puede eliminar como signo de la expectativa matemática. 
3. La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.
Esta propiedad es cierta para un número arbitrario de variables aleatorias.
4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos.
Esta propiedad también es cierta para un número arbitrario de variables aleatorias.
Ejemplo: M(X) = 5, MI)= 2. Encuentra la expectativa matemática de una variable aleatoria z, aplicando las propiedades de la expectativa matemática, si se sabe que Z=2X+3Y.
Solución: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) la expectativa matemática de la suma es igual a la suma de las expectativas matemáticas
2) el factor constante se puede sacar del signo de expectativa matemática
Sean realizados n ensayos independientes, cuya probabilidad de ocurrencia del evento A es igual a p. A continuación, el siguiente teorema se cumple:
Teorema. La expectativa matemática M(X) del número de ocurrencias del evento A en n ensayos independientes es igual al producto del número de ensayos por la probabilidad de que ocurra el evento en cada ensayo.
6.1.3 Dispersión de una variable aleatoria discreta
La expectativa matemática no puede caracterizar completamente un proceso aleatorio. Además de la expectativa matemática, es necesario ingresar un valor que caracterice la desviación de los valores de la variable aleatoria de la expectativa matemática.
Esta desviación es igual a la diferencia entre la variable aleatoria y su expectativa matemática. En este caso, la expectativa matemática de la desviación es cero. Esto se explica por el hecho de que algunas posibles desviaciones son positivas, otras son negativas y como resultado de su cancelación mutua se obtiene cero.
Dispersión (dispersión) de una variable aleatoria discreta es la expectativa matemática de la desviación al cuadrado de la variable aleatoria de su expectativa matemática.
En la práctica, este método de calcular la varianza es inconveniente porque conduce a cálculos engorrosos para una gran cantidad de valores de variables aleatorias.
Por tanto, se utiliza otro método.
Teorema. La varianza es igual a la diferencia entre la expectativa matemática del cuadrado de la variable aleatoria X y el cuadrado de su expectativa matemática..
Prueba. Teniendo en cuenta que la expectativa matemática M(X) y el cuadrado de la expectativa matemática M2(X) son cantidades constantes, podemos escribir:
Ejemplo. Encuentre la varianza de una variable aleatoria discreta dada por la ley de distribución.
| X | ||||
| x2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Solución: .
6.1.4 Propiedades de dispersión
1. La varianza de un valor constante es cero. .
2. El factor constante se puede sacar del signo de dispersión elevándolo al cuadrado. 
.
3. La varianza de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estas variables. .
4. La varianza de la diferencia entre dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estas variables. .
Teorema. La varianza del número de ocurrencias del evento A en n ensayos independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad p de que ocurra el evento es constante, es igual al producto del número de ensayos por las probabilidades de ocurrencia y no ocurrencia del evento en cada ensayo.
Ejemplo: Encuentre la varianza de DSV X: el número de ocurrencias del evento A en 2 ensayos independientes, si la probabilidad de que ocurra el evento en estos ensayos es la misma y se sabe que M(X) = 1,2.
Apliquemos el teorema de la sección 6.1.2:
M(X) = np
M(X) = 1,2; norte= 2. Busquemos pag:
1,2 = 2∙pag
pag = 1,2/2
q = 1 – pag = 1 – 0,6 = 0,4
Encontremos la varianza usando la fórmula:
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 Desviación estándar de una variable aleatoria discreta
Desviación Estándar La variable aleatoria X se llama raíz cuadrada de la varianza.
(25)
Teorema. La desviación estándar de la suma de un número finito de variables aleatorias mutuamente independientes es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las desviaciones estándar de estas variables.
6.1.6 Moda y mediana de una variable aleatoria discreta
Moda M o DSV se llama el valor más probable de una variable aleatoria (es decir, el valor que tiene la mayor probabilidad)
Mediana M y DSV es el valor de una variable aleatoria que divide la serie de distribución por la mitad. Si el número de valores de una variable aleatoria es par, entonces la mediana se encuentra como la media aritmética de dos valores promedio.
Ejemplo: encontrar la moda y la mediana del DSV X:
| X | ||||
| pag | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
A mí = = 5,5
Progreso
1. Familiarícese con la parte teórica de este trabajo (conferencias, libro de texto).
2. Complete la tarea según su propia versión.
3. Realizar un informe del trabajo.
4. Proteja su trabajo.
2. Objeto del trabajo.
3. Avance de la obra.
4. Resolviendo tu propia opción.
6.4 Opciones de tareas para trabajo independiente.
Opción 1
1. Encuentre la expectativa matemática, dispersión, desviación estándar, moda y mediana del DSV X, dada por la ley de distribución.
| X | ||||
| PAG | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria Z si se conocen las expectativas matemáticas de X e Y: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.
3. Encuentre la varianza de DSV X: el número de ocurrencias del evento A en dos ensayos independientes, si las probabilidades de ocurrencia de eventos en estos ensayos son las mismas y se sabe que M (X) = 1.
4. Se proporciona una lista de posibles valores de una variable aleatoria discreta. X: x1 = 1, x2 = 2, x3= 5, y también se conocen las expectativas matemáticas de este valor y su cuadrado: , . Encuentre las probabilidades , , , correspondientes a los posibles valores de , , y trace la ley de distribución DSV.
Opción número 2
| X | ||||
| PAG | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria Z si se conocen las expectativas matemáticas de X e Y: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.
3. Encuentre la varianza de DSV X: el número de ocurrencias del evento A en tres ensayos independientes, si las probabilidades de ocurrencia de eventos en estos ensayos son las mismas y se sabe que M (X) = 0,9.
4. Se da una lista de posibles valores de una variable aleatoria discreta X: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4, x4= 10, y también se conocen las expectativas matemáticas de este valor y su cuadrado: , . Encuentre las probabilidades , , , correspondientes a los posibles valores de , , y trace la ley de distribución DSV.
Opción #3
1. Encuentre la expectativa matemática, la dispersión y la desviación estándar de DSV X, dada por la ley de distribución.
| X | ||||
| PAG | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria Z si se conocen las expectativas matemáticas de X e Y: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.
3. Encuentre la varianza de DSV X: el número de ocurrencias del evento A en cuatro ensayos independientes, si las probabilidades de ocurrencia de eventos en estos ensayos son las mismas y se sabe que M (x) = 1,2.
Como ya se sabe, la ley de distribución caracteriza completamente una variable aleatoria. Sin embargo, a menudo se desconoce la ley de distribución y hay que limitarse a proporcionar menos información. A veces es incluso más rentable utilizar números que describan la variable aleatoria en su conjunto; tales números se llaman características numéricas de una variable aleatoria.
Una de las características numéricas importantes es la expectativa matemática.
La expectativa matemática es aproximadamente igual al valor promedio de la variable aleatoria.
Expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos sus valores posibles y sus probabilidades.
Si una variable aleatoria se caracteriza por una serie de distribución finita:
| X | x1 | x2 | x3 | … | xn |
| R | página 1 | página 2 | página 3 | … | rp |
entonces la expectativa matemática M(X) determinado por la fórmula:
La expectativa matemática de una variable aleatoria continua está determinada por la igualdad:
¿Dónde está la densidad de probabilidad de la variable aleatoria? X.
Ejemplo 4.7. Encuentra la expectativa matemática del número de puntos que aparecen al lanzar un dado.
Solución:
Valor aleatorio X toma los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6. Creemos la ley de su distribución:
| X | ||||||
| R |
Entonces la expectativa matemática es:
Propiedades de la expectativa matemática:
1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a la constante misma:
METRO (S) = S.
2. El factor constante se puede sacar del signo de expectativa matemática:
M(CX) = CM(X).
3. La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas:
M(XY) = M(X)M(Y).
Ejemplo 4.8. Variables aleatorias independientes X Y Y están dadas por las siguientes leyes de distribución:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria XY.
Solución.
Encontremos las expectativas matemáticas de cada una de estas cantidades:
Variables aleatorias X Y Y independiente, por lo tanto la expectativa matemática requerida es:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Consecuencia. La expectativa matemática del producto de varias variables aleatorias mutuamente independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.
4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos:
M(X+Y) = M(X)+M(Y).
Consecuencia. La expectativa matemática de la suma de varias variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos.
Ejemplo 4.9. Se realizan 3 tiros con probabilidades de dar en el blanco igual a página 1 = 0,4; p2= 0,3 y página 3= 0,6. Encuentre la expectativa matemática del número total de aciertos.
Solución.
El número de aciertos del primer disparo es una variable aleatoria. X1, que sólo puede tomar dos valores: 1 (acierto) con probabilidad página 1= 0,4 y 0 (fallo) con probabilidad q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
La expectativa matemática del número de aciertos en el primer disparo es igual a la probabilidad de acierto:
De manera similar, encontramos las expectativas matemáticas del número de aciertos para el segundo y tercer disparo:
M(X 2)= 0,3 y M(X3)= 0,6.
El número total de aciertos también es una variable aleatoria formada por la suma de aciertos en cada uno de los tres disparos:
X = X 1 + X 2 + X 3.
La expectativa matemática requerida X Lo encontramos usando el teorema de la expectativa matemática de la suma.
