Forma algebraica y trigonométrica de un número complejo. Conferencia sobre el tema: "Forma trigonométrica de un número complejo"

Conferencia

Forma trigonométrica de un número complejo.

Plan

1. Representación geométrica de números complejos.

2. Notación trigonométrica de números complejos.

3. Acciones sobre números complejos en forma trigonométrica.

Representación geométrica de números complejos.

a) Los números complejos se representan mediante puntos de un plano según la siguiente regla: a + bi = METRO ( a ; b ) (Figura 1).

Foto 1

b) Un número complejo se puede representar mediante un vector que comienza en el puntoACERCA DE y el final en un punto determinado (Fig. 2).

Figura 2

Ejemplo 7. Construya puntos que representen números complejos:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Fig. 3).

figura 3

Notación trigonométrica de números complejos.

Número complejoz = a + bi se puede especificar usando el vector de radio con coordenadas( a ; b ) (Figura 4).

Figura 4

Definición . Longitud del vector , que representa un número complejoz , se llama módulo de este número y se denota or .

Para cualquier número complejoz su módulor = | z | está determinado únicamente por la fórmula .

Definición . La magnitud del ángulo entre la dirección positiva del eje real y el vector. , que representa un número complejo, se llama argumento de este número complejo y se denotaA rg z oφ .

Argumento de números complejosz = 0 indefinido. Argumento de números complejosz≠ 0: una cantidad de varios valores y se determina dentro de un plazo2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2;…): Arg z = argumento z + 2πk , Dóndeargumento z – el valor principal del argumento contenido en el intervalo(-π; π] , eso es-π < argumento z ≤ π (a veces se toma un valor perteneciente al intervalo como valor principal del argumento .

Esta fórmula cuandor =1 a menudo llamada fórmula de Moivre:

(cos φ + yo pecado φ) norte = cos (nφ) + i sen (nφ), n  N .

Ejemplo 11: Calcular(1 + i ) 100 .

Escribamos un número complejo.1 + i en forma trigonométrica.

a = 1, b = 1 .

porque φ = , pecado φ = , φ = .

(1+yo) 100 = [ (porque + peco )] 100 = ( ) 100 (porque 100 + peco ·100) = = 2 50 (cos 25π + yo sen 25π) = 2 50 (cos π + i sen π) = - 2 50 .

4) Extraer la raíz cuadrada de un número complejo.

Al sacar la raíz cuadrada de un número complejoa + bi tenemos dos casos:

Sib >o , Eso ;

Operaciones con números complejos escritas en forma algebraica.

Forma algebraica de un número complejo z =(a,b).se llama expresión algebraica de la forma

z = a + bi.

Operaciones aritméticas con números complejos. z 1 = un 1 +b 1 i Y z 2 = un 2 +b 2 i, escritos en forma algebraica, se llevan a cabo de la siguiente manera.

1. Suma (diferencia) de números complejos

z 1 ± z 2 = (a 1 ± un 2) + (b 1 ±b 2)∙yo,

aquellos. La suma (resta) se realiza de acuerdo con la regla de suma de polinomios con reducción de términos similares.

2. Producto de números complejos

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + un 2 ∙b 1)∙yo,

aquellos. la multiplicación se realiza de acuerdo con la regla habitual para multiplicar polinomios, teniendo en cuenta el hecho de que i 2 = 1.

3. La división de dos números complejos se realiza según la siguiente regla:

, (z 2 ≠ 0),

aquellos. la división se realiza multiplicando el dividendo y el divisor por el número conjugado del divisor.

La exponenciación de números complejos se define de la siguiente manera:

Es fácil demostrar que

Ejemplos.

1. Encuentra la suma de números complejos. z 1 = 2 – i Y z 2 = – 4 + 3i.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙yo)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Encuentra el producto de números complejos. z 1 = 2 – 3i Y z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3yo∙ 5yo = 7+22i.

3. Encuentra el cociente z de la división z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – i.

z = .

4. Resuelve la ecuación: , X Y y Î R.

(2x+y) + (x+y)yo = 2 + 3i.

Debido a la igualdad de los números complejos tenemos:

dónde x =–1 , y= 4.

5. Calcular: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 ,i -2 .

6. Calcula si .

.

7. Calcular el recíproco de un número. z=3-i.

Números complejos en forma trigonométrica.

Plano complejo llamado plano con coordenadas cartesianas ( x,y), si cada punto con coordenadas ( a, b) está asociado con un número complejo z = a + bi. En este caso, el eje de abscisas se llama eje real, y el eje de ordenadas es imaginario. Entonces cada número complejo a+bi representado geométricamente en un plano como un punto A (a, b) o vectorial.

Por lo tanto, la posición del punto A(y, por tanto, un número complejo z) se puede especificar mediante la longitud del vector | | = r y ángulo j, formado por el vector | | con la dirección positiva del eje real. La longitud del vector se llama módulo de un número complejo y se denota por | z |=r, y el ángulo j llamado argumento de número complejo y es designado j = argumento z.

Está claro que | z| ³ 0 y | z | = 0 Û z = 0.

De la Fig. 2 está claro que.

El argumento de un número complejo se determina de forma ambigua, pero con una precisión de 2 pkkÎ z.

De la Fig. 2 también está claro que si z=a+bi Y j=argz, Eso

porque j =,pecado j =, tg j = .

Si zÎR Y z> 0, entonces argumento z = 0 +2paquete;

Si z ОR Y z< 0, entonces argumento z = p + 2paquete;

Si z = 0,argumento z indefinido.

El valor principal del argumento se determina en el intervalo 0. £ arg z£2 pag,

o -pag£ arg z £ p.

Ejemplos:

1. Encuentra el módulo de números complejos. z 1 = 4 – 3i Y z 2 = –2–2i.

2. Definir áreas en el plano complejo definido por las condiciones:

1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+i) | £3; 4) £6 | z – i| £7.

Soluciones y respuestas:

1) | z| = 5 Û Û - ecuación de un círculo con radio 5 y centro en el origen.

2) Una circunferencia de radio 6 con centro en el origen.

3) Círculo con radio 3 con centro en el punto z 0 = 2 + i.

4) Un anillo delimitado por círculos con radios 6 y 7 con centro en un punto z 0 = i.

3. Encuentra el módulo y argumento de los números: 1); 2).

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; un =–2, segundo =-2 Þ ,

.

Sugerencia: al determinar el argumento principal, utilice el plano complejo.

De este modo: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

Para determinar la posición de un punto en un plano, puede utilizar coordenadas polares. [g, (r), Dónde GRAMO es la distancia del punto al origen, y (R- el ángulo que forma el radio - el vector de este punto con la dirección positiva del eje Oh. Dirección positiva del cambio de ángulo. (R La dirección considerada es la contraria a las agujas del reloj. Aprovechando la conexión entre coordenadas cartesianas y polares: x = g cos promedio,y = g sen (p,

obtenemos la forma trigonométrica de escribir un número complejo

z - r(pecado (p + i pecado

Dónde GRAMO

Xi + y2, (p es el argumento de un número complejo, que se encuentra a partir de

l X . y y

fórmulas porque(p --, sin^9 ​​​​= - o debido al hecho de que tg(p --, (p-arctg

Tenga en cuenta que al elegir valores Casarse de la última ecuación es necesario tener en cuenta los signos X y Y.

Ejemplo 47. Escribe un número complejo en forma trigonométrica. 2 = -1 + l/Z / .

Solución. Encontremos el módulo y argumento de un número complejo:

= yj 1 + 3 = 2 . Esquina Casarse encontramos de las relaciones porque(p = -, pecado(p = - . Entonces

obtenemos porque(p = -,sup

u/zg~

• - -. Obviamente, el punto z = -1 + V3-/ está situado
• 2 A 3

en el segundo trimestre: (R= 120°

Sustituyendo

2k.. aporrear; pecado

en la fórmula (1) encontró 27Г L

Comentario. El argumento de un número complejo no está definido de forma única, sino dentro de un término que es múltiplo de 2p. Luego a través de sp^g denotar

valor del argumento encerrado dentro (página 0 %2 Entonces

A)^g = + 2kk.

Usando la famosa fórmula de Euler e, obtenemos la forma exponencial de escribir un número complejo.

Tenemos r = g(co^(p + i?,p(p)=ge,

Operaciones con números complejos

• 1. La suma de dos números complejos r, = X] + y x/ y g 2 -x 2 +y 2 / se determina según la fórmula r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)‘ r
• 2. La operación de restar números complejos se define como la operación inversa de la suma. Número complejo gramo = gramo x - gramo 2, Si gramo 2 + gramo = gramo x,

es la diferencia de números complejos 2, y gramo 2. Entonces r = (x, - x2) + (y, - en 2) /.

• 3. Producto de dos números complejos g x= x, +y, -z y 2 2 = x2+ U2'r está determinado por la fórmula
• *1*2 =(* +U"0(X2+T2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 +xY2 " * + Ud.1 Ud.2 " ^ =

= (хх 2 ~УУ 2)+(Х У2 + Х 2У)-"-

En particular, yy= (x + y-y)(x-y /)= x 2 + y 2.

Puedes obtener fórmulas para multiplicar números complejos en formas exponencial y trigonométrica. Tenemos:

• 1^ 2 - GRAMO x mi 1 = )G 2 e > = G]G 2 cOs((P + promedio 2) + isina
• 4. La división de números complejos se define como la operación inversa.

multiplicación, es decir número GRAMO-- llamado cociente de división r! en g 2,

Si gx-1 2 ? 2 . Entonces

X +Ti_ (*і + UI 2 ~ 1 U2 ) x2 + ІУ2 ( 2 + ^У 2)( 2 ~ 1 У 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - yo 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x,y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + y 2

1 mi

yo(r g

• - 1U y "(1 Fg) - I.сОї((Р -ср 1)+ І- (R-,)] >2 >2
• 5. Es mejor elevar un número complejo a una potencia entera positiva si el número se escribe en forma exponencial o trigonométrica.

De hecho, si g = ge 1 entonces

=(ge,) = gramo p y t = GRAMO"(co8 psr+іт gkr).

Fórmula g" =r n (cosn(p+es n(p) llamada fórmula de Moivre.

6. Extracción de raíces PAG- La potencia de un número complejo se define como la operación inversa de elevar a una potencia. p, p- 1,2,3,... es decir. número complejo = y[g llamada raíz PAG-ésima potencia de un número complejo

g, si GRAMO = g x. De esta definición se deduce que g-g", A g x= l/g. (r-psrx, A sr^-sr/p, que se deriva de la fórmula de Moivre escrita para el número = r/*+ іьіпп(р).

Como se señaló anteriormente, el argumento de un número complejo no se define de manera única, sino hasta un término que es múltiplo de 2 y. Es por eso = (p + 2pk, y el argumento del número r, dependiendo de A, vamos a denotar (r k y abucheo

dem calcular usando la fórmula (r k= - + . Está claro que hay PAG com-

números complejos, PAG-ésima potencia de la cual es igual al número 2. Estos números tienen uno

y el mismo módulo igual y[g, y los argumentos de estos números se obtienen por A = 0, 1, PAG - 1. Así, en forma trigonométrica, la raíz i-ésima se calcula mediante la fórmula:

(p + 2kp . . miércoles + 2kp

, A = 0, 1, 77-1,

.(p+2ktg

y en forma exponencial - según la fórmula l[g - y[ge p

Ejemplo 48. Realizar operaciones con números complejos en forma algebraica:

a) (1-/H/2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (z + /) = (1 - zl/2/ + 6/ 2 - 2 l/2 /? 3)(3 + /) =
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 +l/2)-(5 +Zl/2)/;

Ejemplo 49. Eleve el número r = Uz - / a la quinta potencia.

Solución. Obtenemos la forma trigonométrica de escribir el número r.

GRAMO = 1/3 + 1 =2, C08 (p --, 5ІІ7 (R =

• (1 - 2/X2 + /)
• (z-,)

O - 2.-X2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (z-O " (z-O

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) 'з+/
• 9 + 1 z_±.
• 5 2 1 "

De aquí O--, A r = 2

Obtenemos Moivre: yo -2

/^_7G, . ?GRAMO

• -SS-- ІБІП -

• --b / -

= -(l/w + g)= -2 .

Ejemplo 50: encontrar todos los valores

Solución, r = 2, a Casarse encontramos de la ecuación sollozo(p = -,zt--.

Este punto 1 - /d/z se sitúa en el cuarto cuarto, es decir f =--. Entonces

• 1 - 2
• ( ( UG L

Encontramos los valores raíz de la expresión.

V1 - /l/z = l/2

• --+ 2А:/г ---ь 2 kk
• 3 . . 3

S08--1- y 81P-

En A - 0 tenemos 2 0 = l/2

Puede encontrar los valores de la raíz del número 2 representando el número en la pantalla.

-* A/ 3 + 2 cl

En A= 1 tenemos otro valor raíz:

• 7G. 7G_
• ---ь27г ---ь2;г
• 3. . h

7G . . 7G L-С05- + 181П - 6 6

• --NORTE-

¿co? - 7G + /5SH - Yo"

l/3__t_

forma telial. Porque r= 2, un Casarse= , entonces g = 2e 3 , a y[g = y/2e 2