La expectativa matemática es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria. Variables aleatorias
Como ya se sabe, la ley de distribución caracteriza completamente una variable aleatoria. Sin embargo, a menudo se desconoce la ley de distribución y hay que limitarse a proporcionar menos información. A veces es incluso más rentable utilizar números que describan la variable aleatoria en su conjunto; tales números se llaman características numéricas de una variable aleatoria.
Una de las características numéricas importantes es la expectativa matemática.
La expectativa matemática es aproximadamente igual al valor promedio de la variable aleatoria.
Expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos sus valores posibles y sus probabilidades.
Si una variable aleatoria se caracteriza por una serie de distribución finita:
| X | x1 | x2 | x3 | … | xn |
| R | página 1 | página 2 | página 3 | … | rp |
entonces la expectativa matemática M(X) determinado por la fórmula:
La expectativa matemática de una variable aleatoria continua está determinada por la igualdad:
¿Dónde está la densidad de probabilidad de la variable aleatoria? X.
Ejemplo 4.7. Encuentra la expectativa matemática del número de puntos que aparecen al lanzar un dado.
Solución:
Valor aleatorio X toma los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6. Creemos la ley de su distribución:
| X | ||||||
| R |
Entonces la expectativa matemática es:
Propiedades de la expectativa matemática:
1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a la constante misma:
METRO (S) = S.
2. El factor constante se puede sacar del signo de expectativa matemática:
M(CX) = CM(X).
3. La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas:
M(XY) = M(X)M(Y).
Ejemplo 4.8. Variables aleatorias independientes X Y Y están dadas por las siguientes leyes de distribución:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria XY.
Solución.
Encontremos las expectativas matemáticas de cada una de estas cantidades:
Variables aleatorias X Y Y independiente, por lo tanto la expectativa matemática requerida es:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Consecuencia. La expectativa matemática del producto de varias variables aleatorias mutuamente independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.
4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos:
M(X+Y) = M(X)+M(Y).
Consecuencia. La expectativa matemática de la suma de varias variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos.
Ejemplo 4.9. Se realizan 3 tiros con probabilidades de dar en el blanco igual a página 1 = 0,4; p2= 0,3 y página 3= 0,6. Encuentre la expectativa matemática del número total de aciertos.
Solución.
El número de aciertos del primer disparo es una variable aleatoria. X1, que sólo puede tomar dos valores: 1 (acierto) con probabilidad página 1= 0,4 y 0 (fallo) con probabilidad q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
La expectativa matemática del número de aciertos en el primer disparo es igual a la probabilidad de acierto:
De manera similar, encontramos las expectativas matemáticas del número de aciertos para el segundo y tercer disparo:
M(X 2)= 0,3 y M(X3)= 0,6.
El número total de aciertos también es una variable aleatoria formada por la suma de aciertos en cada uno de los tres disparos:
X = X 1 + X 2 + X 3.
La expectativa matemática requerida X Lo encontramos usando el teorema de la expectativa matemática de la suma.
Cada valor individual está completamente determinado por su función de distribución. Además, para resolver problemas prácticos, basta con conocer varias características numéricas, gracias a las cuales es posible presentar las características principales de una variable aleatoria de forma breve.
Estas cantidades incluyen principalmente valor esperado Y dispersión .
Valor esperado— el valor medio de una variable aleatoria en la teoría de la probabilidad. Denotado como .
De la forma más sencilla, la expectativa matemática de una variable aleatoria. X(w), descubre cómo integralLebesgue en relación con la medida de probabilidad R original espacio de probabilidad
También puedes encontrar la expectativa matemática de un valor como Integral de Lebesgue de X por distribución de probabilidad rx cantidades X:
¿Dónde está el conjunto de todos los valores posibles? X.
Expectativa matemática de funciones de una variable aleatoria. X encontrado a través de la distribución rx. Por ejemplo, Si X- una variable aleatoria con valores en y f(x)- inequívoco Borelfunción X , Eso:
Si F(x)- función de distribución X, entonces la expectativa matemática es representable integralLebesgue - Stieltjes (o Riemann - Stieltjes):
en este caso integrabilidad X En términos de ( * ) corresponde a la finitud de la integral
En casos específicos, si X tiene una distribución discreta con valores probables x k, k=1, 2, . y probabilidades, entonces
Si X tiene una distribución absolutamente continua con densidad de probabilidad pag(x), Eso
en este caso, la existencia de una expectativa matemática equivale a la convergencia absoluta de la serie o integral correspondiente.
Propiedades de la expectativa matemática de una variable aleatoria.
- La expectativa matemática de un valor constante es igual a este valor:
C- constante;
- M=C.M[X]
- La expectativa matemática de la suma de valores tomados aleatoriamente es igual a la suma de sus expectativas matemáticas:
- La expectativa matemática del producto de variables independientes tomadas al azar = el producto de sus expectativas matemáticas:
M=M[X]+M[Y]
Si X Y Y independiente.
si la serie converge:
Algoritmo para calcular la expectativa matemática.
Propiedades de las variables aleatorias discretas: todos sus valores pueden renumerarse como números naturales; asigne a cada valor una probabilidad distinta de cero.
1. Multiplica los pares uno por uno: xyo en Pi.
2. Suma el producto de cada par. x i p i.
Por ejemplo, Para norte = 4 :
Función de distribución de una variable aleatoria discreta. paso a paso, aumenta abruptamente en aquellos puntos cuyas probabilidades tienen signo positivo.
Ejemplo: Encuentra la expectativa matemática usando la fórmula.
Características de los DSV y sus propiedades. Expectativa, varianza, desviación estándar
La ley de distribución caracteriza completamente la variable aleatoria. Sin embargo, cuando es imposible encontrar la ley de distribución, o no es necesario, puedes limitarte a encontrar valores llamados características numéricas de una variable aleatoria. Estos valores determinan algún valor promedio alrededor del cual se agrupan los valores de la variable aleatoria, y el grado en que se encuentran dispersos alrededor de este valor promedio.
Expectativa matemática Una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos los valores posibles de la variable aleatoria y sus probabilidades.
La expectativa matemática existe si la serie del lado derecho de la igualdad converge absolutamente.
Desde el punto de vista de la probabilidad, podemos decir que la expectativa matemática es aproximadamente igual a la media aritmética de los valores observados de la variable aleatoria.
Ejemplo. Se conoce la ley de distribución de una variable aleatoria discreta. Encuentra la expectativa matemática.
| X | ||||
| pag | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Solución:
9.2 Propiedades de la expectativa matemática
1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a la constante misma.
2. El factor constante se puede eliminar como signo de la expectativa matemática.
3. La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.
Esta propiedad es cierta para un número arbitrario de variables aleatorias.
4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos.
Esta propiedad también es cierta para un número arbitrario de variables aleatorias.
Sean realizados n ensayos independientes, cuya probabilidad de ocurrencia del evento A es igual a p.
Teorema. La expectativa matemática M(X) del número de ocurrencias del evento A en n ensayos independientes es igual al producto del número de ensayos por la probabilidad de que ocurra el evento en cada ensayo.
Ejemplo. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria Z si se conocen las expectativas matemáticas de X e Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Solución:
9.3 Dispersión de una variable aleatoria discreta
Sin embargo, la expectativa matemática no puede caracterizar completamente el proceso aleatorio. Además de la expectativa matemática, es necesario ingresar un valor que caracterice la desviación de los valores de la variable aleatoria de la expectativa matemática.
Esta desviación es igual a la diferencia entre la variable aleatoria y su expectativa matemática. En este caso, la expectativa matemática de la desviación es cero. Esto se explica por el hecho de que algunas posibles desviaciones son positivas, otras son negativas y como resultado de su cancelación mutua se obtiene cero.
Dispersión (dispersión) de una variable aleatoria discreta es la expectativa matemática de la desviación al cuadrado de la variable aleatoria de su expectativa matemática.
En la práctica, este método de calcular la varianza es inconveniente porque conduce a cálculos engorrosos para una gran cantidad de valores de variables aleatorias.
Por tanto, se utiliza otro método.
Teorema. La varianza es igual a la diferencia entre la expectativa matemática del cuadrado de la variable aleatoria X y el cuadrado de su expectativa matemática..
Prueba. Teniendo en cuenta que la expectativa matemática M(X) y el cuadrado de la expectativa matemática M2(X) son cantidades constantes, podemos escribir:
Ejemplo. Encuentre la varianza de una variable aleatoria discreta dada por la ley de distribución.
| X | ||||
| x2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Solución: .
9.4 Propiedades de dispersión
1. La varianza de un valor constante es cero. .
2. El factor constante se puede sacar del signo de dispersión elevándolo al cuadrado. .
3. La varianza de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estas variables. .
4. La varianza de la diferencia entre dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estas variables. .
Teorema. La varianza del número de ocurrencias del evento A en n ensayos independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad p de que ocurra el evento es constante, es igual al producto del número de ensayos por las probabilidades de ocurrencia y no- ocurrencia del evento en cada ensayo.
9.5 Desviación estándar de una variable aleatoria discreta
Desviación Estándar La variable aleatoria X se llama raíz cuadrada de la varianza.
Teorema. La desviación estándar de la suma de un número finito de variables aleatorias mutuamente independientes es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las desviaciones estándar de estas variables.
La expectativa matemática (valor promedio) de una variable aleatoria X dada en un espacio de probabilidad discreto es el número m =M[X]=∑x i p i si la serie converge absolutamente.
Objeto del servicio. Usando el servicio en línea Se calculan la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar.(ver ejemplo). Además, se traza una gráfica de la función de distribución F(X).
Propiedades de la expectativa matemática de una variable aleatoria.
- La expectativa matemática de un valor constante es igual a sí misma: M[C]=C, C – constante;
- M=C M[X]
- La expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas: M=M[X]+M[Y]
- La expectativa matemática del producto de variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas: M=M[X] M[Y] , si X e Y son independientes.
Propiedades de dispersión
- La varianza de un valor constante es cero: D(c)=0.
- El factor constante se puede sacar del signo de dispersión elevándolo al cuadrado: D(k*X)= k 2 D(X).
- Si las variables aleatorias X e Y son independientes, entonces la varianza de la suma es igual a la suma de las varianzas: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Si las variables aleatorias X e Y son dependientes: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- La siguiente fórmula computacional es válida para la dispersión:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Ejemplo. Se conocen las expectativas matemáticas y las varianzas de dos variables aleatorias independientes X e Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Encuentre la expectativa matemática y la varianza de la variable aleatoria Z=9X-8Y+7.
Solución. Basado en las propiedades de la expectativa matemática: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Basado en las propiedades de dispersión: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritmo para calcular la expectativa matemática.
Propiedades de las variables aleatorias discretas: todos sus valores pueden renumerarse como números naturales; Asigne a cada valor una probabilidad distinta de cero.- Multiplicamos los pares uno a uno: x i por p i .
- Suma el producto de cada par x i p i .
Por ejemplo, para n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Ejemplo No. 1.
| xyo | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| Pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Encontramos la expectativa matemática usando la fórmula m = ∑x i p i .
Expectativa M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Encontramos la varianza usando la fórmula d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Varianza D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Desviación estándar σ(x).
σ = raíz cuadrada (D[X]) = raíz cuadrada (7,69) = 2,78
Ejemplo No. 2. Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente serie de distribución:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Solución. El valor de a se encuentra a partir de la relación: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 o 0,24=3 a , de donde a = 0,08
Ejemplo No. 3. Determine la ley de distribución de una variable aleatoria discreta si se conoce su varianza y x 1
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 = 0,3
d(x)=12,96
Solución.
Aquí necesitas crear una fórmula para encontrar la varianza d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
donde la expectativa m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Para nuestros datos
metro(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
o -9/100 (x 2 -20x+96)=0
En consecuencia, necesitamos encontrar las raíces de la ecuación, y habrá dos.
x 3 = 8, x 3 = 12
Elige el que cumpla la condición x 1
Ley de distribución de una variable aleatoria discreta.
x1 =6; x2=9; x3 =12; x4=15
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 = 0,3
La ley de distribución caracteriza completamente la variable aleatoria. Sin embargo, a menudo se desconoce la ley de distribución y hay que limitarse a proporcionar menos información. A veces es incluso más rentable utilizar números que describan una variable aleatoria en total; estos números se llaman características numéricas variable aleatoria. Una de las características numéricas importantes es la expectativa matemática.
La expectativa matemática, como se mostrará a continuación, es aproximadamente igual al valor promedio de la variable aleatoria. Para resolver muchos problemas, basta con conocer la expectativa matemática. Por ejemplo, si se sabe que la expectativa matemática del número de puntos anotados por el primer tirador es mayor que la del segundo, entonces el primer tirador, en promedio, obtiene más puntos que el segundo y, por lo tanto, dispara mejor. que el segundo.
Definición 4.1: Expectativa matemática Una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos sus valores posibles y sus probabilidades.
Deja que la variable aleatoria X sólo puede tomar valores x 1, x 2, … x n, cuyas probabilidades son respectivamente iguales p 1, p 2, … p n. Entonces la expectativa matemática M(X) variable aleatoria X está determinado por la igualdad
M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .
Si una variable aleatoria discreta X toma un conjunto contable de valores posibles, entonces
,
Además, la expectativa matemática existe si la serie del lado derecho de la igualdad converge absolutamente.
Ejemplo. Encuentre la expectativa matemática del número de ocurrencias de un evento. A en un ensayo, si la probabilidad del evento A igual a pag.
Solución: Valor aleatorio X– número de ocurrencias del evento A tiene una distribución de Bernoulli, por lo que
De este modo, la expectativa matemática del número de ocurrencias de un evento en un ensayo es igual a la probabilidad de este evento.
Significado probabilístico de la expectativa matemática.
Que se produzca norte pruebas en las que la variable aleatoria X aceptado metro 1 valor de veces x1, metros 2 valor de veces x2 ,…, mk valor de veces x k, y metro 1 + metro 2 + …+ metro k = norte. Luego la suma de todos los valores tomados. X, es igual x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .
La media aritmética de todos los valores tomados por la variable aleatoria será
Actitud m i/n- Frecuencia relativa yo valores xyo aproximadamente igual a la probabilidad de que ocurra el evento Pi, Dónde , Es por eso
El significado probabilístico del resultado obtenido es el siguiente: la expectativa matemática es aproximadamente igual(cuanto más preciso, mayor será el número de pruebas) media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria.
Propiedades de la expectativa matemática
Propiedad1:La expectativa matemática de un valor constante es igual a la constante misma.
Propiedad2:El factor constante se puede llevar más allá del signo de la expectativa matemática.
Definición 4.2: Dos variables aleatorias son llamados independiente, si la ley de distribución de una de ellas no depende de los posibles valores que tomó la otra cantidad. De lo contrario las variables aleatorias son dependientes.
Definición 4.3: Varias variables aleatorias llamado mutuamente independientes, si las leyes de distribución de cualquier número de ellas no dependen de los posibles valores que tomaron las demás cantidades.
Propiedad3:La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.
Consecuencia:La expectativa matemática del producto de varias variables aleatorias mutuamente independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.
Propiedad4:La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas.
Consecuencia:La expectativa matemática de la suma de varias variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas.
Ejemplo. Calculemos la expectativa matemática de una variable aleatoria binomial. X - fecha de ocurrencia del evento A V norte experimentos.
Solución: Numero total X ocurrencias del evento A en estos ensayos es la suma del número de ocurrencias del evento en ensayos individuales. Introduzcamos variables aleatorias X yo– número de ocurrencias del evento en iª prueba, que son variables aleatorias de Bernoulli con expectativa matemática, donde . Por la propiedad de la expectativa matemática tenemos
De este modo, la expectativa matemática de una distribución binomial con parámetros n y p es igual al producto np.
Ejemplo. Probabilidad de dar en el blanco al disparar un arma. p = 0,6. Encuentre la expectativa matemática del número total de impactos si se disparan 10 tiros.
Solución: El acierto de cada disparo no depende de los resultados de otros disparos, por lo que los eventos considerados son independientes y, en consecuencia, la expectativa matemática deseada.
