Encontrar una figura plana acotada. Ejemplos

Integral definida. Cómo calcular el área de una figura

Pasemos a considerar las aplicaciones del cálculo integral. En esta lección analizaremos el problema típico y más común: cómo calcular el área de una figura plana usando una integral definida. Finalmente, aquellos que buscan significado en las matemáticas superiores, que lo encuentren. Nunca sabes. En la vida real, tendrás que aproximar una parcela de dacha usando funciones elementales y encontrar su área usando una integral definida.

Para dominar con éxito el material, debe:

1) Comprender la integral indefinida al menos a un nivel intermedio. Por lo tanto, los tontos primero deben familiarizarse con la lección No.

2) Ser capaz de aplicar la fórmula de Newton-Leibniz y calcular la integral definida. Puede establecer relaciones cálidas y amistosas con integrales definidas en la página Integral definida. Ejemplos de soluciones.

De hecho, para encontrar el área de una figura no necesitas tanto conocimiento de la integral indefinida y definida. La tarea "calcular el área usando una integral definida" siempre implica construir un dibujo, por lo que su conocimiento y habilidades en la construcción de dibujos serán una pregunta mucho más urgente. En este sentido, es útil para refrescar la memoria de las gráficas de funciones elementales básicas y, como mínimo, poder construir una recta, una parábola y una hipérbola. Esto se puede hacer (para muchos es necesario) con la ayuda de material metodológico y un artículo sobre transformaciones geométricas de gráficas.

En realidad, todos estamos familiarizados con la tarea de encontrar el área usando una integral definida desde la escuela, y no iremos mucho más allá del plan de estudios escolar. Puede que este artículo no existiera en absoluto, pero lo cierto es que el problema se produce en 99 de cada 100 casos, cuando un estudiante sufre por una escuela odiada y domina con entusiasmo un curso de matemáticas superiores.

Los materiales de este taller se presentan de forma sencilla, detallada y con un mínimo de teoría.

Empecemos con un trapezoide curvo.

Un trapezoide curvo es una figura plana delimitada por un eje, líneas rectas y la gráfica de una función continua en un segmento que no cambia de signo en este intervalo. Localicemos esta figura no menos eje x:

Entonces el área del trapecio curvilíneo es numéricamente igual a la integral definida. Cualquier integral definida (que exista) tiene un muy buen significado geométrico. En la lección Integral definida. Ejemplos de soluciones Dije que una integral definida es un número. Y ahora ha llegado el momento de exponer otro hecho útil. Desde el punto de vista de la geometría, la integral definida es AREA.

Es decir, una determinada integral (si existe) corresponde geométricamente al área de una determinada figura. Por ejemplo, considere la integral definida. El integrando define una curva en el plano ubicado sobre el eje (quien lo desee puede hacer un dibujo), y la integral definida en sí es numéricamente igual al área del trapezoide curvilíneo correspondiente.

Ejemplo 1

Esta es una declaración de asignación típica. El primer y más importante punto de la decisión es el dibujo. Además, el dibujo debe estar construido CORRECTAMENTE.

Al construir un dibujo, recomiendo el siguiente orden: primero es mejor construir todas las líneas rectas (si las hay) y solo después – parábolas, hipérbolas y gráficas de otras funciones. Es más rentable construir gráficas de funciones puntualmente; la técnica de construcción puntual se puede encontrar en el material de referencia Gráficos y propiedades de funciones elementales. Allí también podrá encontrar material muy útil para nuestra lección: cómo construir rápidamente una parábola.

En este problema, la solución podría verse así.
Dibujemos el dibujo (tenga en cuenta que la ecuación define el eje):

No sombrearé el trapezoide curvo; aquí es obvio de qué área estamos hablando. La solución continúa así:

En el segmento, la gráfica de la función se ubica encima del eje, por lo tanto:

Respuesta:

¿Quién tiene dificultades para calcular la integral definida y aplicar la fórmula de Newton-Leibniz? , consulte la lección Integral definida. Ejemplos de soluciones.

Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el dibujo y averiguar si la respuesta es real. En este caso, contamos el número de celdas en el dibujo "a ojo"; bueno, habrá alrededor de 9, parece ser cierto. Está absolutamente claro que si obtuvimos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces es obvio que se cometió un error en alguna parte: 20 celdas obviamente no caben en la figura en cuestión, como máximo una docena. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Ejemplo 2

Calcular el área de una figura delimitada por rectas, y eje

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección.

¿Qué hacer si hay un trapezoide curvo debajo del eje?

Ejemplo 3

Calcula el área de la figura delimitada por líneas y ejes de coordenadas.

Solución: Hagamos un dibujo:

Si el trapecio curvo se encuentra debajo del eje (o al menos no más alto eje dado), entonces su área se puede encontrar usando la fórmula:
En este caso:

¡Atención! No deben confundirse los dos tipos de tareas:

1) Si te piden que resuelvas simplemente una integral definida sin ningún significado geométrico, entonces puede ser negativa.

2) Si te piden encontrar el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área siempre es positiva! Es por eso que el menos aparece en la fórmula que acabamos de comentar.

En la práctica, la mayoría de las veces la figura se ubica tanto en el semiplano superior como en el inferior y, por lo tanto, de los problemas escolares más simples pasamos a ejemplos más significativos.

Ejemplo 4

Encuentra el área de una figura plana delimitada por las rectas , .

Solución: Primero necesitas hacer un dibujo. En términos generales, al construir un dibujo en problemas de área, lo que más nos interesa son los puntos de intersección de las líneas. Encontremos los puntos de intersección de la parábola y la recta. Esto se puede hacer de dos formas. El primer método es analítico. Resolvemos la ecuación:

Esto significa que el límite inferior de integración es, el límite superior de integración es.
Es mejor, si es posible, no utilizar este método.

Es mucho más rentable y rápido construir líneas punto por punto, y los límites de la integración se aclaran "por sí solos". La técnica de construcción puntual de varias gráficas se analiza en detalle en la ayuda Gráficas y propiedades de funciones elementales. Sin embargo, a veces todavía es necesario utilizar el método analítico de encontrar límites si, por ejemplo, el gráfico es lo suficientemente grande o la construcción detallada no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales). Y también consideraremos un ejemplo de este tipo.

Volvamos a nuestra tarea: es más racional construir primero una línea recta y solo luego una parábola. Hagamos el dibujo:

Repito que cuando se construye puntualmente, los límites de integración suelen descubrirse "automáticamente".

Y ahora la fórmula de trabajo: si en un segmento alguna función continua es mayor o igual que alguna función continua, entonces el área de la figura limitada por las gráficas de estas funciones y líneas rectas se puede encontrar usando la fórmula:

Aquí ya no es necesario pensar en dónde se encuentra la figura: arriba o debajo del eje y, en términos generales, es importante qué gráfico está MÁS ALTO (en relación con otro gráfico) y cuál está ABAJO.

En el ejemplo considerado, es obvio que en el segmento la parábola está ubicada por encima de la línea recta y, por lo tanto, es necesario restar de

La solución completa podría verse así:

La figura deseada está limitada por una parábola arriba y una línea recta abajo.
Sobre el segmento, según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

De hecho, la fórmula escolar para el área de un trapezoide curvilíneo en el semiplano inferior (ver ejemplo simple No. 3) es un caso especial de la fórmula . Dado que el eje está especificado por la ecuación y la gráfica de la función se encuentra no más alto ejes, entonces

Y ahora un par de ejemplos para su propia solución.

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Encuentra el área de la figura delimitada por las líneas , .

Al resolver problemas que implican calcular el área usando una integral definida, a veces ocurre un incidente divertido. El dibujo se hizo correctamente, los cálculos fueron correctos, pero por descuido... se encontró el área de la figura equivocada, así es exactamente como su humilde servidor se equivocó varias veces. He aquí un caso de la vida real:

Ejemplo 7

Calcula el área de la figura delimitada por las rectas , , , .

Solución: Primero, hagamos un dibujo:

...Eh, el dibujo salió una mierda, pero todo parece legible.

La figura cuyo área necesitamos encontrar está sombreada en azul (observa atentamente la condición: ¡cómo es limitada la figura!). Pero en la práctica, debido a la falta de atención, a menudo ocurre un "fallo técnico" que indica que es necesario encontrar el área de una figura sombreada en verde.

Este ejemplo también es útil porque calcula el área de una figura usando dos integrales definidas. En realidad:

1) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una línea recta;

2) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una hipérbola.

Es bastante obvio que las áreas pueden (y deben) agregarse, por lo tanto:

Respuesta:

Pasemos a otra tarea significativa.

Ejemplo 8

Calcula el área de una figura delimitada por líneas,
Presentemos las ecuaciones en forma “escolar” y hagamos un dibujo punto por punto:

Del dibujo queda claro que nuestro límite superior es "bueno": .
¿Pero cuál es el límite inferior? Está claro que esto no es un número entero, pero ¿qué es? Tal vez ? Pero ¿dónde está la garantía de que el dibujo está hecho con perfecta precisión? Bien puede resultar que... O la raíz. ¿Qué pasa si construimos el gráfico incorrectamente?

En tales casos, hay que dedicar más tiempo y aclarar analíticamente los límites de la integración.

Encontremos los puntos de intersección de una recta y una parábola.
Para ello resolvemos la ecuación:

,

En realidad, .

La solución adicional es trivial, lo principal es no confundirse con sustituciones y signos, los cálculos aquí no son los más simples;

en el segmento , según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Bueno, para concluir la lección, veamos dos tareas más difíciles.

Ejemplo 9

Calcula el área de la figura delimitada por las rectas , ,

Solución: representemos esta figura en el dibujo.

Maldita sea, olvidé firmar el horario y, lo siento, no quería rehacer la foto. No es día de sorteo, en fin, hoy es el día =)

Para la construcción punto por punto, necesita conocer la apariencia de la sinusoide (y en general es útil conocer las gráficas de todas las funciones elementales), así como algunos valores del seno, se pueden encontrar en la tabla trigonométrica. En algunos casos (como en este caso), es posible construir un dibujo esquemático en el que, en principio, se deben representar correctamente las gráficas y los límites de integración.

Aquí no hay problemas con los límites de integración; se derivan directamente de la condición: "x" cambia de cero a "pi". Tomemos una decisión adicional:

En el segmento, la gráfica de la función se ubica encima del eje, por lo tanto:

En este artículo aprenderás cómo encontrar el área de una figura delimitada por líneas usando cálculos integrales. Por primera vez nos encontramos con la formulación de un problema de este tipo en la escuela secundaria, cuando acabamos de completar el estudio de integrales definidas y es hora de comenzar la interpretación geométrica del conocimiento adquirido en la práctica.

Entonces, lo que se requiere para resolver con éxito el problema de encontrar el área de una figura usando integrales:

Capacidad para realizar dibujos competentes;
Capacidad para resolver una integral definida utilizando la conocida fórmula de Newton-Leibniz;
La capacidad de "ver" una opción de solución más rentable, es decir, ¿Entiendes cómo será más conveniente realizar la integración en un caso u otro? ¿A lo largo del eje x (OX) o del eje y (OY)?
Bueno, ¿dónde estaríamos sin los cálculos correctos?) Esto incluye comprender cómo resolver ese otro tipo de integrales y cálculos numéricos correctos.

Algoritmo para resolver el problema de calcular el área de una figura delimitada por líneas:

1. Construimos un dibujo. Es recomendable hacerlo en un papel cuadriculado, a gran escala. Firmamos el nombre de esta función con un lápiz encima de cada gráfica. La firma de los gráficos se realiza únicamente para facilitar la realización de cálculos adicionales. Habiendo recibido un gráfico de la cifra deseada, en la mayoría de los casos quedará inmediatamente claro qué límites de integración se utilizarán. Así, solucionamos el problema gráficamente. Sin embargo, sucede que los valores de los límites son fraccionarios o irracionales. Por lo tanto, puedes realizar cálculos adicionales, ve al paso dos.

2. Si los límites de integración no se especifican explícitamente, entonces encontramos los puntos de intersección de las gráficas entre sí y vemos si nuestra solución gráfica coincide con la analítica.

3. A continuación, debes analizar el dibujo. Dependiendo de cómo estén dispuestas las gráficas de funciones, existen diferentes enfoques para encontrar el área de una figura. Veamos diferentes ejemplos de cómo encontrar el área de una figura usando integrales.

3.1. La versión más clásica y sencilla del problema es cuando necesitas encontrar el área de un trapezoide curvo. ¿Qué es un trapecio curvo? Esta es una figura plana limitada por el eje x (y = 0), las rectas x = a, x = b y cualquier curva continua en el intervalo de a a b. Además, esta cifra no es negativa y no se encuentra debajo del eje x. En este caso, el área del trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una determinada integral, calculada mediante la fórmula de Newton-Leibniz:

Ejemplo 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

¿Qué líneas está delimitada por la figura? Tenemos una parábola y = x2 - 3x + 3, que se ubica encima del eje OX, no es negativa, porque todos los puntos de esta parábola tienen valores positivos. A continuación, se dan las líneas rectas x = 1 y x = 3, que corren paralelas al eje del amplificador operacional y son las líneas límite de la figura a la izquierda y a la derecha. Bueno, y = 0, que también es el eje x, que limita la figura desde abajo. La figura resultante está sombreada, como puede verse en la figura de la izquierda. En este caso, puede empezar a resolver el problema inmediatamente. Tenemos ante nosotros un ejemplo simple de un trapezoide curvo, que luego resolvemos usando la fórmula de Newton-Leibniz.

3.2. En el párrafo 3.1 anterior, examinamos el caso en el que un trapecio curvo se encuentra encima del eje x. Consideremos ahora el caso en el que las condiciones del problema son las mismas, excepto que la función se encuentra debajo del eje x. Se agrega un menos a la fórmula estándar de Newton-Leibniz. Consideraremos cómo resolver tal problema a continuación.

Ejemplo 2. Calcula el área de la figura acotada por las rectas y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

En este ejemplo tenemos una parábola y = x2 + 6x + 2, que se origina debajo del eje OX, rectas x = -4, x = -1, y = 0. Aquí y = 0 limita la cifra deseada desde arriba. Las rectas x = -4 y x = -1 son los límites dentro de los cuales se calculará la integral definida. El principio para resolver el problema de encontrar el área de una figura coincide casi por completo con el ejemplo número 1. La única diferencia es que la función dada no es positiva y también es continua en el intervalo [-4; -1] . ¿Qué quieres decir con no positivo? Como puede verse en la figura, la figura que se encuentra dentro de las x dadas tiene coordenadas exclusivamente "negativas", que es lo que necesitamos ver y recordar al resolver el problema. Buscamos el área de la figura usando la fórmula de Newton-Leibniz, solo que con un signo menos al principio.

El artículo no está completo.

Tarea No. 3. Haz un dibujo y calcula el área de la figura delimitada por las líneas.

Aplicación de la integral a la solución de problemas aplicados.

Cálculo de área

La integral definida de una función continua no negativa f(x) es numéricamente igual al área de un trapecio curvilíneo acotado por la curva y = f(x), el eje O x y las rectas x = a y x = b. De acuerdo con esto, la fórmula del área se escribe de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos de cálculo de áreas de figuras planas.

Tarea No. 1. Calcula el área delimitada por las líneas y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Solución. Construyamos una figura cuya área tendremos que calcular.

y = x 2 + 1 es una parábola cuyas ramas están dirigidas hacia arriba y la parábola se desplaza hacia arriba una unidad con respecto al eje O y (Figura 1).

Figura 1. Gráfica de la función y = x 2 + 1

Tarea No. 2. Calcula el área delimitada por las líneas y = x 2 – 1, y = 0 en el rango de 0 a 1.

Solución. La gráfica de esta función es una parábola de ramas que se dirigen hacia arriba, y la parábola se desplaza una unidad con respecto al eje O y hacia abajo (Figura 2).

Figura 2. Gráfica de la función y = x 2 – 1

Tarea No. 3. Haz un dibujo y calcula el área de la figura delimitada por las líneas.

y = 8 + 2x – x 2 y y = 2x – 4.

Solución. La primera de estas dos líneas es una parábola con sus ramas dirigidas hacia abajo, ya que el coeficiente de x 2 es negativo, y la segunda línea es una línea recta que corta ambos ejes de coordenadas.

Para construir una parábola, encontramos las coordenadas de su vértice: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisa del vértice; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 es su ordenada, N(1;9) es el vértice.

Ahora encontremos los puntos de intersección de la parábola y la recta resolviendo el sistema de ecuaciones:

Igualar los lados derechos de una ecuación cuyos lados izquierdos son iguales.

Obtenemos 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 o x 2 – 12 = 0, de donde .

Entonces, los puntos son los puntos de intersección de una parábola y una línea recta (Figura 1).

Figura 3 Gráficas de funciones y = 8 + 2x – x 2 e y = 2x – 4

Construyamos una línea recta y = 2x – 4. Pasa por los puntos (0;-4), (2;0) en los ejes de coordenadas.

Para construir una parábola, también puedes usar sus puntos de intersección con el eje 0x, es decir, las raíces de la ecuación 8 + 2x – x 2 = 0 o x 2 – 2x – 8 = 0. Usando el teorema de Vieta, es fácil para encontrar sus raíces: x 1 = 2, x 2 = 4.

La figura 3 muestra una figura (segmento parabólico M 1 N M 2) delimitada por estas líneas.

La segunda parte del problema es encontrar el área de esta figura. Su área se puede encontrar usando una integral definida según la fórmula .

En relación a esta condición, obtenemos la integral:

2 Cálculo del volumen de un cuerpo de rotación.

El volumen del cuerpo obtenido de la rotación de la curva y = f(x) alrededor del eje O x se calcula mediante la fórmula:

Al girar alrededor del eje O y, la fórmula se ve así:

Tarea número 4. Determine el volumen del cuerpo obtenido de la rotación de un trapecio curvo acotado por las rectas x = 0 x = 3 y la curva y = alrededor del eje O x.

Solución. Hagamos un dibujo (Figura 4).

Figura 4. Gráfica de la función y =

El volumen requerido es

Tarea número 5. Calcula el volumen del cuerpo obtenido de la rotación de un trapecio curvo acotado por la curva y = x 2 y las rectas y = 0 e y = 4 alrededor del eje O y.

Solución. Tenemos:

Preguntas de revisión

De hecho, para encontrar el área de una figura no necesitas tanto conocimiento de la integral indefinida y definida. La tarea "calcular el área usando una integral definida" siempre implica construir un dibujo, por lo que su conocimiento y habilidades en la construcción de dibujos serán una pregunta mucho más urgente. En este sentido, es útil refrescar la memoria de las gráficas de funciones elementales básicas y, como mínimo, poder construir una línea recta y una hipérbola.

Entonces el área del trapecio curvilíneo es numéricamente igual a la integral definida. Cualquier integral definida (que exista) tiene un muy buen significado geométrico.

Desde el punto de vista de la geometría, la integral definida es AREA.

Ejemplo 1

Esta es una declaración de asignación típica. El primer y más importante punto de la decisión es el dibujo. Además, el dibujo debe estar construido CORRECTAMENTE.

Al construir un dibujo, recomiendo el siguiente orden: primero es mejor construir todas las líneas rectas (si las hay) y solo después parábolas, hipérbolas y gráficas de otras funciones. Es más rentable construir gráficas de funciones punto por punto.

En este problema, la solución podría verse así.
Dibujemos el dibujo (tenga en cuenta que la ecuación define el eje):

En el segmento, la gráfica de la función se ubica encima del eje, por lo tanto:

Respuesta:

Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el dibujo y averiguar si la respuesta es real. En este caso, "a ojo" contamos el número de celdas en el dibujo; bueno, habrá alrededor de 9, parece ser cierto. Está absolutamente claro que si obtuvimos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces es obvio que se cometió un error en alguna parte: 20 celdas obviamente no caben en la figura en cuestión, como máximo una docena. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Ejemplo 3

Calcula el área de la figura delimitada por líneas y ejes de coordenadas.

Solución: Hagamos un dibujo:

Si el trapecio curvo se encuentra debajo del eje (o al menos no más alto eje dado), entonces su área se puede encontrar usando la fórmula:

En este caso:

¡Atención! No deben confundirse los dos tipos de tareas:

1) Si te piden que resuelvas simplemente una integral definida sin ningún significado geométrico, entonces puede ser negativa.

2) Si te piden encontrar el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área siempre es positiva! Es por eso que el menos aparece en la fórmula que acabamos de comentar.

Ejemplo 4

Encuentra el área de una figura plana delimitada por las rectas , .

Esto significa que el límite inferior de integración es, el límite superior de integración es.

Es mejor, si es posible, no utilizar este método.

Es mucho más rentable y rápido construir líneas punto por punto, y los límites de la integración se aclaran "por sí solos". Sin embargo, a veces todavía es necesario utilizar el método analítico de encontrar límites si, por ejemplo, el gráfico es lo suficientemente grande o la construcción detallada no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales). Y también consideraremos un ejemplo de este tipo.

Volvamos a nuestra tarea: es más racional construir primero una línea recta y solo luego una parábola. Hagamos el dibujo:

En el ejemplo considerado, es obvio que en el segmento la parábola está ubicada por encima de la línea recta y, por lo tanto, es necesario restar de

La solución completa podría verse así:

La figura deseada está limitada por una parábola arriba y una línea recta abajo.
Sobre el segmento, según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Ejemplo 4

Calcula el área de la figura delimitada por las rectas , , , .

Solución: Primero, hagamos un dibujo:

Este ejemplo también es útil porque calcula el área de una figura usando dos integrales definidas.

En realidad :

1) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una línea recta;

2) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una hipérbola.

Es bastante obvio que las áreas pueden (y deben) agregarse, por lo tanto:

¿Cómo insertar fórmulas matemáticas en un sitio web?

Si alguna vez necesita agregar una o dos fórmulas matemáticas a una página web, la forma más sencilla de hacerlo es como se describe en el artículo: las fórmulas matemáticas se insertan fácilmente en el sitio en forma de imágenes que Wolfram Alpha genera automáticamente. . Además de la simplicidad, este método universal ayudará a mejorar la visibilidad del sitio en los motores de búsqueda. Ha estado funcionando durante mucho tiempo (y creo que funcionará para siempre), pero ya está moralmente desactualizado.

Si utiliza fórmulas matemáticas con regularidad en su sitio, le recomiendo que utilice MathJax, una biblioteca especial de JavaScript que muestra notación matemática en navegadores web utilizando el marcado MathML, LaTeX o ASCIIMathML.

Hay dos formas de comenzar a usar MathJax: (1) usando un código simple, puede conectar rápidamente un script MathJax a su sitio web, que se cargará automáticamente desde un servidor remoto en el momento adecuado (lista de servidores); (2) descargue el script MathJax desde un servidor remoto a su servidor y conéctelo a todas las páginas de su sitio. El segundo método, más complejo y que requiere más tiempo, acelerará la carga de las páginas de su sitio, y si el servidor principal MathJax deja de estar disponible temporalmente por algún motivo, esto no afectará su propio sitio de ninguna manera. A pesar de estas ventajas, elegí el primer método porque es más sencillo, más rápido y no requiere conocimientos técnicos. Siga mi ejemplo y en solo 5 minutos podrá utilizar todas las funciones de MathJax en su sitio.

Puede conectar el script de la biblioteca MathJax desde un servidor remoto usando dos opciones de código tomadas del sitio web principal de MathJax o de la página de documentación:

Una de estas opciones de código debe copiarse y pegarse en el código de su página web, preferiblemente entre etiquetas o inmediatamente después de la etiqueta. Según la primera opción, MathJax se carga más rápido y ralentiza menos la página. Pero la segunda opción monitorea y carga automáticamente las últimas versiones de MathJax. Si inserta el primer código, deberá actualizarlo periódicamente. Si inserta el segundo código, las páginas se cargarán más lentamente, pero no necesitará monitorear constantemente las actualizaciones de MathJax.

La forma más sencilla de conectar MathJax es en Blogger o WordPress: en el panel de control del sitio, agregue un widget diseñado para insertar código JavaScript de terceros, copie la primera o segunda versión del código de descarga presentado anteriormente y coloque el widget más cerca. al principio de la plantilla (por cierto, esto no es necesario en absoluto, ya que el script MathJax se carga de forma asincrónica). Eso es todo. Ahora aprenda la sintaxis de marcado de MathML, LaTeX y ASCIIMathML y estará listo para insertar fórmulas matemáticas en las páginas web de su sitio.

Cualquier fractal se construye de acuerdo con una determinada regla, que se aplica secuencialmente un número ilimitado de veces. Cada uno de esos momentos se denomina iteración.

El algoritmo iterativo para construir una esponja de Menger es bastante simple: el cubo original de lado 1 se divide por planos paralelos a sus caras en 27 cubos iguales. Se eliminan un cubo central y 6 cubos adyacentes a lo largo de las caras. El resultado es un conjunto formado por los 20 cubos más pequeños restantes. Haciendo lo mismo con cada uno de estos cubos, obtenemos un conjunto formado por 400 cubos más pequeños. Siguiendo este proceso hasta el infinito, obtenemos una esponja de Menger.