Reducir fracciones al mínimo común denominador, reglas, ejemplos, soluciones. Mínimo común múltiplo de MCM

Para reducir fracciones al mínimo común denominador, necesitas: 1) encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones dadas, será el mínimo común denominador. 2) encuentra un factor adicional para cada fracción dividiendo el nuevo denominador por el denominador de cada fracción. 3) multiplica el numerador y denominador de cada fracción por su factor adicional.

Ejemplos. Reduce las siguientes fracciones a su mínimo común denominador.

Encontramos el mínimo común múltiplo de los denominadores: MCM(5; 4) = 20, ya que 20 es el número más pequeño que es divisible tanto por 5 como por 4. Encuentra para la primera fracción un factor adicional 4 (20 : 5=4). Para la 2ª fracción el factor adicional es 5 (20 : 4=5). Multiplicamos el numerador y denominador de la 1ª fracción por 4, y el numerador y denominador de la 2ª fracción por 5. Hemos reducido estas fracciones al mínimo común denominador ( 20 ).

El mínimo común denominador de estas fracciones es el número 8, ya que 8 es divisible por 4 y por sí mismo. Para la 1ª fracción no habrá ningún factor adicional (o podemos decir que es igual a uno), para la 2ª fracción el factor adicional es 2 (8 : 4=2). Multiplicamos el numerador y denominador de la 2ª fracción por 2. Hemos reducido estas fracciones al mínimo común denominador ( 8 ).

Estas fracciones no son irreducibles.

Reduzcamos la primera fracción en 4 y reduzcamos la segunda fracción en 2. ( vea ejemplos sobre cómo reducir fracciones ordinarias: Mapa del sitio → 5.4.2. Ejemplos de reducción de fracciones comunes.). Encuentre la LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. El multiplicador adicional de la 1ª fracción es 5 (80 : 16=5). El factor adicional para la 2da fracción es 4 (80 : 20=4). Multiplicamos el numerador y denominador de la 1ª fracción por 5, y el numerador y denominador de la 2ª fracción por 4. Hemos reducido estas fracciones al mínimo común denominador ( 80 ).

Encontramos el mínimo común denominador ENT(5 ; 6 y 15)=NOOK(5 ; 6 y 15)=30. El factor adicional a la 1ra fracción es 6 (30 : 5=6), el factor adicional a la 2da fracción es 5 (30 : 6=5), el factor adicional a la 3ra fracción es 2 (30 : 15=2). Multiplicamos el numerador y denominador de la 1ª fracción por 6, el numerador y denominador de la 2ª fracción por 5, el numerador y denominador de la 3ª fracción por 2. Hemos reducido estas fracciones al mínimo común denominador ( 30 ).

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Para entender cómo calcular el MCM, primero debe determinar el significado del término "múltiple".

Un múltiplo de A es un número natural que es divisible por A sin resto, por lo que los números que son múltiplos de 5 pueden considerarse 15, 20, 25, etc.

Puede haber un número limitado de divisores de un número determinado, pero hay un número infinito de múltiplos.

Un múltiplo común de los números naturales es un número que es divisible entre ellos sin dejar resto.

Cómo encontrar el mínimo común múltiplo de números

El mínimo común múltiplo (MCM) de números (dos, tres o más) es el número natural más pequeño que es divisible por todos estos números.

Para encontrar la LOC, puedes utilizar varios métodos.

Para números pequeños, es conveniente anotar todos los múltiplos de estos números en una línea hasta encontrar algo común entre ellos. Los múltiplos se indican con la letra K mayúscula.

Por ejemplo, los múltiplos de 4 se pueden escribir así:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24,...)

k(6) = (12, 18, 24,...)

Así, puedes ver que el mínimo común múltiplo de los números 4 y 6 es el número 24. Esta notación se hace de la siguiente manera:

MCM(4, 6) = 24

Si los números son grandes, encuentre el múltiplo común de tres o más números, entonces es mejor usar otro método para calcular el MCM.

Para completar la tarea, debes factorizar los números dados en factores primos.

Primero debes escribir la descomposición del número más grande en una línea y, debajo, el resto.

La descomposición de cada número puede contener una cantidad diferente de factores.

Por ejemplo, factoricemos los números 50 y 20 en factores primos.

En la ampliación del número menor hay que destacar los factores que están ausentes en la ampliación del primero. gran número y luego agréguelos. En el ejemplo presentado falta un dos.

Ahora puedes calcular el mínimo común múltiplo de 20 y 50.

MCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Por tanto, el producto de los factores primos del número mayor y los factores del segundo número que no se incluyeron en la expansión del número mayor será el mínimo común múltiplo.

Para encontrar el MCM de tres o más números, debes factorizarlos todos en factores primos, como en el caso anterior.

Como ejemplo, puedes encontrar el mínimo común múltiplo de los números 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Por lo tanto, sólo dos dos de la expansión de dieciséis no se incluyeron en la factorización de un número mayor (uno está en la expansión de veinticuatro).

Por lo tanto, deben sumarse a la expansión de un número mayor.

MCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Existen casos especiales para determinar el mínimo común múltiplo. Entonces, si uno de los números se puede dividir sin resto por otro, entonces el mayor de estos números será el mínimo común múltiplo.

Por ejemplo, el MCM de doce y veinticuatro es veinticuatro.

Si es necesario encontrar el mínimo común múltiplo de números coprimos que no tienen divisores idénticos, entonces su MCM será igual a su producto.

Por ejemplo, MCM (10, 11) = 110.

Continuamos la conversación sobre el mínimo común múltiplo, que comenzamos en la sección "MCM - mínimo común múltiplo, definición, ejemplos". En este tema, veremos formas de encontrar el MCM de tres o más números y analizaremos la cuestión de cómo encontrar el MCM de un número negativo.

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Calcular el mínimo común múltiplo (LCM) mediante MCD

Ya hemos establecido la relación entre el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor. Ahora aprendamos cómo determinar el LCM mediante MCD. Primero, descubramos cómo hacer esto con números positivos.

Definición 1

Puedes encontrar el mínimo común múltiplo hasta el máximo común divisor usando la fórmula MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b).

Ejemplo 1

Necesitas encontrar el MCM de los números 126 y 70.

Solución

Tomemos a = 126, b = 70. Sustituyamos los valores en la fórmula para calcular el mínimo común múltiplo hasta el máximo común divisor MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) .

Calcula el mcd de los números 70 y 126. Para esto necesitamos el algoritmo euclidiano: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, por lo tanto MCD (126 , 70) = 14 .

Calculemos el MCM: MCD (126, 70) = 126 70: MCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Respuesta: MCM(126, 70) = 630.

Ejemplo 2

Encuentra el número 68 y 34.

Solución

MCD en en este caso Esto no es difícil, ya que 68 es divisible por 34. Calculemos el mínimo común múltiplo usando la fórmula: MCM (68, 34) = 68 34: MCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Respuesta: MCM(68, 34) = 68.

En este ejemplo, usamos la regla para encontrar el mínimo común múltiplo de enteros positivos a y b: si el primer número es divisible por el segundo, el MCM de esos números será igual al primer número.

Encontrar el MCM factorizando números en factores primos

Ahora veamos el método para encontrar el MCM, que se basa en factorizar números en factores primos.

Definición 2

Para encontrar el mínimo común múltiplo, debemos realizar una serie de sencillos pasos:

componemos el producto de todos los factores primos de los números para los cuales necesitamos encontrar el MCM;
excluimos todos los factores primos de sus productos resultantes;
el producto obtenido tras eliminar los factores primos comunes será igual al mcm de los números dados.

Este método para encontrar el mínimo común múltiplo se basa en la igualdad MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b). Si nos fijamos en la fórmula, quedará claro: el producto de los números a y b es igual al producto de todos los factores que participan en la descomposición de estos dos números. En este caso, el mcd de dos números es igual al producto de todos los factores primos que están presentes simultáneamente en las factorizaciones de estos dos números.

Ejemplo 3

Tenemos dos números 75 y 210. Podemos factorizarlos de la siguiente manera: 75 = 3 5 5 Y 210 = 2 3 5 7. Si compones el producto de todos los factores de los dos números originales, obtienes: 2 3 3 5 5 5 7.

Si excluimos los factores comunes a los números 3 y 5, obtenemos un producto de la siguiente forma: 2 3 5 5 7 = 1050. Este producto será nuestro LCM para los números 75 y 210.

Ejemplo 4

Encuentra el MCM de los números 441 Y 700 , factorizando ambos números en factores primos.

Solución

Encontremos todos los factores primos de los números dados en la condición:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Obtenemos dos cadenas de números: 441 = 3 3 7 7 y 700 = 2 2 5 5 7.

El producto de todos los factores que participaron en la descomposición de estos números tendrá la forma: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Encontremos factores comunes. Este es el número 7. Excluyémoslo del producto total: 2 2 3 3 5 5 7 7. Resulta que NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Respuesta: LOC(441, 700) = 44,100.

Demos otra formulación del método para encontrar el MCM descomponiendo números en factores primos.

Definición 3

Anteriormente, excluimos del número total de factores comunes a ambos números. Ahora lo haremos de otra manera:

Factoricemos ambos números en factores primos:
sumar al producto de los factores primos del primer número los factores faltantes del segundo número;
obtenemos el producto, que será el MCM deseado de dos números.

Ejemplo 5

Volvamos a los números 75 y 210, para los que ya buscamos el MCM en uno de los ejemplos anteriores. Dividámoslos en factores simples: 75 = 3 5 5 Y 210 = 2 3 5 7. Al producto de los factores 3, 5 y 5 números 75 suman los factores que faltan 2 Y 7 números 210. Obtenemos: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Este es el MCM de los números 75 y 210.

Ejemplo 6

Es necesario calcular el MCM de los números 84 y 648.

Solución

Factoricemos los números de la condición en factores simples: 84 = 2 2 3 7 Y 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Sumemos al producto los factores 2, 2, 3 y 7 números 84 factores faltantes 2, 3, 3 y
3 números 648. Obtenemos el producto 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Este es el mínimo común múltiplo de 84 y 648.

Respuesta: MCM(84, 648) = 4,536.

Encontrar el MCM de tres o más números

Independientemente de con cuántos números estemos tratando, el algoritmo de nuestras acciones siempre será el mismo: encontraremos secuencialmente el MCM de dos números. Hay un teorema para este caso.

Teorema 1

Supongamos que tenemos números enteros. un 1 , un 2 , ... , un k. CON mk estos números se encuentran calculando secuencialmente m 2 = MCM (a 1, a 2), m 3 = MCM (m 2, a 3), ..., m k = MCM (m k − 1, a k).

Ahora veamos cómo se puede aplicar el teorema para resolver problemas específicos.

Ejemplo 7

Necesitas calcular el mínimo común múltiplo de cuatro números 140, 9, 54 y 250 .

Solución

Introduzcamos la notación: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Comencemos calculando m 2 = MCM (a 1, a 2) = MCM (140, 9). Apliquemos el algoritmo euclidiano para calcular el MCD de los números 140 y 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Obtenemos: MCD (140, 9) = 1, MCD (140, 9) = 140 9: MCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Por tanto, m2 = 1.260.

Ahora calculemos usando el mismo algoritmo m 3 = MCM (m 2 , a 3) = MCM (1 260, 54). Durante los cálculos obtenemos m 3 = 3 780.

Todo lo que tenemos que hacer es calcular m 4 = MCM (m 3 , a 4) = MCM (3 780, 250). Seguimos el mismo algoritmo. Obtenemos m 4 = 94 500.

El MCM de los cuatro números de la condición de ejemplo es 94500.

Respuesta: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Como puede ver, los cálculos son simples, pero bastante laboriosos. Para ahorrar tiempo, puedes ir por otro camino.

Definición 4

Le ofrecemos el siguiente algoritmo de acciones:

descomponemos todos los números en factores primos;
al producto de los factores del primer número le sumamos los factores que faltan del producto del segundo número;
al producto obtenido en la etapa anterior le sumamos los factores faltantes del tercer número, etc.;
el producto resultante será el mínimo común múltiplo de todos los números de la condición.

Ejemplo 8

Necesitas encontrar el MCM de cinco números 84, 6, 48, 7, 143.

Solución

Factoricemos los cinco números en factores primos: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Los números primos, que es el número 7, no se pueden descomponer en factores primos. Estos números coinciden con su descomposición en factores primos.

Ahora tomemos el producto de los factores primos 2, 2, 3 y 7 del número 84 y sumémosles los factores que faltan del segundo número. Descompusimos el número 6 en 2 y 3. Estos factores ya están en el producto del primer número. Por tanto, los omitimos.

Seguimos sumando los multiplicadores que faltan. Pasemos al número 48, de cuyo producto de factores primos tomamos 2 y 2. Luego sumamos el factor primo de 7 del cuarto número y los factores de 11 y 13 del quinto. Obtenemos: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Este es el mínimo común múltiplo de los cinco números originales.

Respuesta: MCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Encontrar el mínimo común múltiplo de números negativos

Para encontrar el mínimo común múltiplo de números negativos, estos números primero deben reemplazarse por números con el signo opuesto y luego los cálculos deben realizarse utilizando los algoritmos anteriores.

Ejemplo 9

MCM (54, − 34) = MCM (54, 34) y MCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = MCM (622, 46, 54, 888).

Tales acciones están permitidas debido al hecho de que si aceptamos que a Y − un– números opuestos,
entonces el conjunto de los múltiplos de un número a coincide con el conjunto de múltiplos de un número − un.

Ejemplo 10

Es necesario calcular el MCM de números negativos. − 145 Y − 45 .

Solución

Reemplacemos los números − 145 Y − 45 a sus números opuestos 145 Y 45 . Ahora, usando el algoritmo, calculamos el MCM (145, 45) = 145 · 45: MCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, habiendo determinado previamente el MCD usando el algoritmo euclidiano.

Obtenemos que el MCM de los números es − 145 y − 45 es igual 1 305 .

Respuesta: MCM (− 145, − 45) = 1.305.

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Máximo común divisor

Definición 2

Si un número natural a es divisible por un número natural $b$, entonces $b$ se llama divisor de $a$ y $a$ se llama múltiplo de $b$.

Sean $a$ y $b$ números naturales. El número $c$ se llama divisor común tanto de $a$ como de $b$.

El conjunto de divisores comunes de los números $a$ y $b$ es finito, ya que ninguno de estos divisores puede ser mayor que $a$. Esto significa que entre estos divisores hay uno más grande, que se llama máximo común divisor de los números $a$ y $b$ y se denota con la siguiente notación:

$MCD\(a;b)\ o \D\(a;b)$

Para encontrar el máximo común divisor de dos números necesitas:

Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.

Ejemplo 1

Encuentra el mcd de los números $121$ y $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Elige los números que se incluyen en la expansión de estos números.

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.

$MCD=2\cdot 11=22$

Ejemplo 2

Encuentra el mcd de los monomios $63$ y $81$.

Lo encontraremos según el algoritmo presentado. Para esto:

Factoricemos los números en factores primos.

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Seleccionamos los números que se incluyen en la expansión de estos números.

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Encontremos el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.

$MCD=3\cdot 3=9$

Puedes encontrar el mcd de dos números de otra manera, usando un conjunto de divisores de números.

Ejemplo 3

Encuentra el mcd de los números $48$ y $60$.

Solución:

Encontremos el conjunto de divisores del número $48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Ahora encontremos el conjunto de divisores del número $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ $

Encontremos la intersección de estos conjuntos: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - este conjunto determinará el conjunto de divisores comunes de los números $48$ y $60 $. El elemento más grande de este conjunto será el número $12$. Esto significa que el máximo común divisor de los números $48$ y $60$ es $12$.

Definición de morosidad

Definición 3

Múltiplos comunes de números naturales$a$ y $b$ es un número natural que es múltiplo de $a$ y $b$.

Los múltiplos comunes de números son números que son divisibles por los números originales sin resto. Por ejemplo, para los números $25$ y $50$, los múltiplos comunes serán los números $50,100,150,200$, etc.

El múltiplo común más pequeño se llamará mínimo común múltiplo y se denotará LCM$(a;b)$ o K$(a;b).$

Para encontrar el MCM de dos números, necesitas:

Factorizar números en factores primos
Escribe los factores que forman parte del primer número y súmales los factores que forman parte del segundo y no forman parte del primero.

Ejemplo 4

Encuentra el MCM de los números $99$ y $77$.

Lo encontraremos según el algoritmo presentado. Para esto

Factorizar números en factores primos

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Anota los factores incluidos en el primero.

agregarles multiplicadores que sean parte del segundo y no del primero

Encuentre el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el mínimo común múltiplo deseado

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Compilar listas de divisores de números suele ser una tarea que requiere mucha mano de obra. Hay una manera de encontrar MCD llamada algoritmo euclidiano.

Afirmaciones en las que se basa el algoritmo euclidiano:

Si $a$ y $b$ son números naturales y $a\vdots b$, entonces $D(a;b)=b$

Si $a$ y $b$ son números naturales tales que $b

Usando $D(a;b)= D(a-b;b)$, podemos reducir sucesivamente los números considerados hasta llegar a un par de números tales que uno de ellos sea divisible por el otro. Entonces, el menor de estos números será el máximo común divisor deseado para los números $a$ y $b$.

Propiedades de GCD y LCM

Cualquier múltiplo común de $a$ y $b$ es divisible por K$(a;b)$
Si $a\vdots b$ , entonces К$(a;b)=a$

Si K$(a;b)=k$ y $m$ es un número natural, entonces K$(am;bm)=km$

Si $d$ es un divisor común para $a$ y $b$, entonces K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Si $a\vdots c$ y $b\vdots c$ , entonces $\frac(ab)(c)$ es el múltiplo común de $a$ y $b$

Para cualquier número natural $a$ y $b$ se cumple la igualdad

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Cualquier divisor común de los números $a$ y $b$ es divisor del número $D(a;b)$

La mayoría de las operaciones con fracciones algebraicas, como la suma y la resta, requieren primero reducir estas fracciones a los mismos denominadores. A estos denominadores también se les suele denominar “denominador común”. En este tema, veremos la definición de los conceptos "denominador común de fracciones algebraicas" y "mínimo común denominador de fracciones algebraicas (LCD)", consideraremos el algoritmo para encontrar el denominador común punto por punto y resolveremos varios problemas sobre el tema.

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Denominador común de fracciones algebraicas

Si hablamos de fracciones ordinarias, entonces el denominador común es un número divisible por cualquiera de los denominadores de las fracciones originales. Para fracciones ordinarias 1 2 Y 5 9 el número 36 puede ser denominador común, ya que es divisible entre 2 y 9 sin resto.

El denominador común de las fracciones algebraicas se determina de forma similar, solo que en lugar de números se utilizan polinomios, ya que son los numeradores y denominadores de la fracción algebraica.

Definición 1

Denominador común de una fracción algebraica es un polinomio que es divisible por el denominador de cualquier fracción.

Debido a las peculiaridades de las fracciones algebraicas, que se analizarán a continuación, a menudo trataremos con denominadores comunes representados como un producto en lugar de como un polinomio estándar.

Ejemplo 1

Polinomio escrito como producto. 3x2 (x+1), corresponde a un polinomio de la forma estándar 3x3 + 3x2. Este polinomio puede ser el denominador común de las fracciones algebraicas 2 x, - 3 x y x 2 e y + 3 x + 1, debido a que es divisible por X, en x2 y en x+1. La información sobre la divisibilidad de polinomios está disponible en el tema correspondiente de nuestro recurso.

Mínimo común denominador (LCD)

Para fracciones algebraicas dadas, el número de denominadores comunes puede ser infinito.

Ejemplo 2

Tomemos como ejemplo las fracciones 1 2 x y x + 1 x 2 + 3. Su denominador común es 2 x (x 2 + 3), así como − 2 x (x 2 + 3), así como x(x2+3), así como 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), así como − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, etcétera.

Al resolver problemas, puedes facilitar tu trabajo utilizando un denominador común, que tiene la forma más simple entre todo el conjunto de denominadores. A este denominador se le suele denominar mínimo común denominador.

Definición 2

Mínimo común denominador de fracciones algebraicas es el denominador común de las fracciones algebraicas, que tiene la forma más simple.

Por cierto, el término "mínimo común denominador" no se acepta generalmente, por lo que es mejor limitarnos al término "común denominador". Y es por eso.

Anteriormente centramos su atención en la frase "denominador del tipo más simple". El significado principal de esta frase es el siguiente: el denominador de la forma más simple debe dividir sin resto cualquier otro denominador común de los datos en la condición del problema de fracciones algebraicas. En este caso, en el producto, que es el denominador común de fracciones, se pueden utilizar varios coeficientes numéricos.

Ejemplo 3

Tomemos las fracciones 1 2 · x y x + 1 x 2 + 3 . Ya hemos descubierto que nos resultará más fácil trabajar con un denominador común de la forma 2 · x · (x 2 + 3). Además, el denominador común de estas dos fracciones puede ser x(x2+3), que no contiene un coeficiente numérico. La pregunta es cuál de estos dos denominadores comunes se considera el mínimo común denominador de las fracciones. No hay una respuesta definitiva, por lo que es más correcto simplemente hablar del denominador común y trabajar con la opción con la que será más conveniente trabajar. Entonces, podemos usar denominadores comunes como x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) o − 15 x 5 (x 2 + 3) 3, que tienen una apariencia más compleja, pero puede resultar más complicado realizar acciones con ellos.

Encontrar el denominador común de fracciones algebraicas: algoritmo de acciones

Supongamos que tenemos varias fracciones algebraicas para las que necesitamos encontrar un denominador común. Para solucionar este problema podemos utilizar el siguiente algoritmo de acciones. Primero necesitamos factorizar los denominadores de las fracciones originales. Luego componemos una obra en la que incluimos secuencialmente:

todos los factores del denominador de la primera fracción junto con las potencias;
todos los factores presentes en el denominador de la segunda fracción, pero que no están en el producto escrito o su grado es insuficiente;
todos los factores que faltan en el denominador de la tercera fracción, y así sucesivamente.

El producto resultante será el denominador común de las fracciones algebraicas.

Como factores del producto, podemos tomar todos los denominadores de las fracciones dadas en el enunciado del problema. Sin embargo, el multiplicador que obtendremos al final estará lejos del significado de ENT y su uso será irracional.

Ejemplo 4

Determina el denominador común de las fracciones 1 x 2 y, 5 x + 1 e y - 3 x 5 y.

Solución

En este caso, no necesitamos factorizar los denominadores de las fracciones originales. Por tanto, comenzaremos a aplicar el algoritmo componiendo la obra.

Del denominador de la primera fracción tomamos el multiplicador. x2y, del denominador de la segunda fracción el multiplicador x+1. Obtenemos el producto x 2 y (x + 1).

El denominador de la tercera fracción nos puede dar un multiplicador. x 5 años, sin embargo, el producto que compilamos anteriormente ya tiene factores x2 Y y. Por lo tanto, agregamos más x 5 − 2 = x 3. Obtenemos el producto x 2 y (x + 1) x 3, que se puede reducir a la forma x 5 y (x + 1). Esta será nuestra NOZ de fracciones algebraicas.

Respuesta: x 5 · y · (x + 1) .

Ahora veamos ejemplos de problemas en los que los denominadores de fracciones algebraicas contienen factores numéricos enteros. En tales casos, también seguimos el algoritmo, habiendo descompuesto previamente los factores numéricos enteros en factores simples.

Ejemplo 5

Encuentra el denominador común de las fracciones 1 12 x y 1 90 x 2.

Solución

Al dividir los números en los denominadores de las fracciones en factores primos, obtenemos 1 2 2 3 x y 1 2 3 2 5 x 2. Ahora podemos pasar a compilar un denominador común. Para ello, del denominador de la primera fracción tomamos el producto. 2 2 3x y súmale los factores 3, 5 y X del denominador de la segunda fracción. Obtenemos 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. Este es nuestro denominador común.

Respuesta: 180x2.

Si observa de cerca los resultados de los dos ejemplos analizados, notará que los denominadores comunes de las fracciones contienen todos los factores presentes en las expansiones de los denominadores, y si un determinado factor está presente en varios denominadores, entonces se toma con el mayor exponente disponible. Y si los denominadores tienen coeficientes enteros, entonces el denominador común contiene un factor numérico igual al mínimo común múltiplo de estos coeficientes numéricos.

Ejemplo 6

Los denominadores de ambas fracciones algebraicas 1 12 x y 1 90 x 2 tienen un factor X. En el segundo caso, el factor x se eleva al cuadrado. Para crear un denominador común, debemos llevar este factor al máximo, es decir x2. No hay otros multiplicadores con variables. Coeficientes numéricos enteros de fracciones originales. 12 Y 90 , y su mínimo común múltiplo es 180 . Resulta que el denominador común deseado tiene la forma 180x2.

Ahora podemos escribir otro algoritmo para encontrar el factor común de fracciones algebraicas. Para esto nosotros:

factorizar los denominadores de todas las fracciones;
componemos el producto de todos los factores de letras (si hay un factor en varias expansiones, tomamos la opción con el mayor exponente);
sumamos el MCM de los coeficientes numéricos de las expansiones al producto resultante.

Los algoritmos dados son equivalentes, por lo que cualquiera de ellos puede usarse para resolver problemas. Es importante prestar atención a los detalles.

Hay casos en los que los factores comunes en los denominadores de fracciones pueden resultar invisibles detrás de los coeficientes numéricos. Aquí es recomendable poner primero entre paréntesis los coeficientes numéricos a potencias superiores de las variables en cada uno de los factores presentes en el denominador.

Ejemplo 7

¿Qué denominador común tienen las fracciones 3 5 - x y 5 - x · y 2 2 · x - 10?

Solución

En el primer caso, se debe quitar menos uno de paréntesis. Obtenemos 3 - x - 5 . Multiplicamos el numerador y el denominador por - 1 para eliminar el menos en el denominador: - 3 x - 5.

En el segundo caso, sacamos los dos entre paréntesis. Esto nos permite obtener la fracción 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Es obvio que el denominador común de estas fracciones algebraicas - 3 x - 5 y 5 - x · y 2 2 · x - 5 es 2 (x-5).

Respuesta:2 (x-5).

Los datos en la condición del problema de fracciones pueden tener coeficientes fraccionarios. En estos casos, primero debes deshacerte de los coeficientes fraccionarios multiplicando el numerador y el denominador por un número determinado.

Ejemplo 8

Simplifica las fracciones algebraicas 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 y - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 y luego determina su denominador común.

Solución

Deshagámonos de los coeficientes fraccionarios multiplicando el numerador y el denominador en el primer caso por 14, en el segundo caso por 3. Obtenemos:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 y - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Después de las transformaciones, queda claro que el denominador común es 2 (x 2 + 2).

Respuesta: 2 (x 2 + 2).

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