اصول ایجاد توهم. اشر - گرافیست هلندی

هنر ریاضی موریتز اشر 28 فوریه 2014

اصل برگرفته از imit_omsu در هنر ریاضی موریتز اشر

«ریاضی‌دانان دری را که به دنیایی دیگر منتهی می‌شود باز کردند، اما خودشان جرات ورود به این جهان را نداشتند. آنها بیشتر به مسیری که در روی آن قرار دارد علاقه دارند تا به باغی که پشت آن قرار دارد.»
(M.C. Escher)

لیتوگرافی "دست با یک کره آینه"، خودنگاره.

Maurits Cornelius Escher یک گرافیست هلندی است که برای همه ریاضیدانان شناخته شده است.
توطئه های آثار اشر با درک زیرکانه از پارادوکس های منطقی و پلاستیکی مشخص می شود.
او در درجه اول به خاطر آثارش که در آنها از مفاهیم ریاضی مختلفی استفاده کرده است - از حد و نوار موبیوس گرفته تا هندسه لوباچفسکی شناخته شده است.

حکاکی روی چوب "مورچه های قرمز".

Maurits Escher هیچ آموزش ریاضی خاصی دریافت نکرد. اما از همان ابتدای کار خلاقانه خود به خواص فضا علاقه مند بود و جنبه های غیرمنتظره آن را مطالعه می کرد.

"پیوندهای وحدت"

Escher اغلب با ترکیبی از دنیای دو بعدی و سه بعدی استفاده می کرد.

لیتوگرافی "نقاشی دست".

سنگ نگاره "خزندگان".

Tesselations.

Tessellation تقسیم یک هواپیما به اشکال یکسان است. برای مطالعه این نوع پارتیشن به طور سنتی از مفهوم گروه تقارن استفاده می شود. بیایید هواپیمایی را تصور کنیم که روی آن تعدادی تسل ترسیم شده است. هواپیما می تواند حول یک محور دلخواه بچرخد و جابجا شود. تغییر توسط بردار تغییر و چرخش با مرکز و زاویه تعیین می شود. چنین دگرگونی هایی را حرکات می نامند. آنها می گویند که این یا آن حرکت تقارن است اگر پس از آن کاشی کاری به خود تبدیل شود.

برای مثال، صفحه ای را در نظر می گیریم که به مربع های مساوی تقسیم شده است - یک صفحه بی نهایت از یک دفترچه شطرنجی در همه جهات. اگر چنین صفحه ای 90 درجه (180، 270 یا 360 درجه) به دور مرکز هر مربع بچرخد، کاشی کاری به خود تبدیل می شود. همچنین هنگامی که توسط بردار موازی با یکی از اضلاع مربع جابه جا می شود، به خود تبدیل می شود. طول بردار باید مضربی از ضلع مربع باشد.

در سال 1924، هندسه‌دان جورج پولیا (قبل از نقل مکان به ایالات متحده، گیورگی پولیا) مقاله‌ای در مورد گروه‌های تقارن تسلیایی منتشر کرد، که در آن یک واقعیت قابل توجه را ثابت کرد (اگرچه قبلاً در سال 1891 توسط ریاضی‌دان روسی اوگراف فدوروف کشف شد، و بعداً با خوشحالی فراموش شد): فقط 17 گروه تقارن وجود دارد که شامل جابجایی در حداقل دو جهت مختلف است. در سال 1936، اشر، علاقه مند به الگوهای موری (از دیدگاه هندسی، نوعی کاشی کاری)، آثار پولیا را خواند. با وجود این واقعیت که، به اعتراف خود، او تمام ریاضیات پشت کار را درک نمی کرد، Escher توانست جوهر هندسی آن را به دست آورد. در نتیجه، بر اساس هر 17 گروه، Escher بیش از 40 اثر را خلق کرد.

موزاییک.

حکاکی روی چوب "روز و شب".

"کاشی کاری منظم هواپیمای IV".

حکاکی روی چوب "آسمان و آب".

Tesselations. این گروه ساده است و ایجاد می کند: تقارن لغزشی و انتقال موازی. اما کاشی های سنگفرش فوق العاده هستند. و در ترکیب با نوار موبیوس، همین.

حکاکی روی چوب "سواران".

تنوع دیگری در موضوع دنیای مسطح و حجمی و تسلیحات.

لیتوگرافی "آینه جادویی".

اشر با فیزیکدان راجر پنروز دوست بود. پنروز در اوقات فراغت خود از فیزیک، وقت خود را صرف حل پازل های ریاضی می کرد. یک روز او این ایده را مطرح کرد: اگر یک تسلیت متشکل از بیش از یک شکل را تصور کنیم، آیا گروهی از تقارن های آن با تقارن های توصیف شده توسط پولیا متفاوت خواهد بود؟ همانطور که معلوم شد، پاسخ به این سوال مثبت است - اینگونه بود که موزاییک پنروز متولد شد. در دهه 1980 کشف شد که مربوط به شبه بلورها است (جایزه نوبل شیمی 2011).

با این حال، اشر وقت نداشت (یا شاید هم نمی خواست) از این موزاییک در کار خود استفاده کند. (اما یک موزاییک فوق العاده از پنروز وجود دارد، "جوجه های پنروز"، آنها توسط اشر نقاشی نشده اند.)

هواپیمای لوباچفسکی

پنجمین در فهرست بدیهیات عناصر اقلیدس در بازسازی هایبرگ عبارت زیر است: اگر خط مستقیمی که دو خط مستقیم را قطع می کند، زوایای یک طرفه داخلی کمتر از دو زاویه قائمه را تشکیل دهد، آنگاه، به طور نامحدود، این دو خط مستقیم به هم می رسند. سمتی که زوایای آن کمتر از دو زاویه قائمه باشد. در ادبیات مدرن، صورت‌بندی معادل و ظریف‌تر ترجیح داده می‌شود: از نقطه‌ای که روی یک خط قرار نمی‌گیرد، خطی موازی با نقطه داده شده و علاوه بر این، فقط یک خط عبور می‌کند. اما حتی در این فرمول بندی، اصل موضوع، بر خلاف بقیه فرضیه های اقلیدس، دست و پا گیر و گیج کننده به نظر می رسد - به همین دلیل است که دانشمندان برای دو هزار سال تلاش کرده اند این گزاره را از بدیهیات دیگر استخراج کنند. یعنی در واقع فرض را به یک قضیه تبدیل کنید.

در قرن 19، ریاضیدان نیکلای لوباچفسکی سعی کرد این کار را با تناقض انجام دهد: او فرض کرد که فرض نادرست است و سعی کرد یک تناقض را کشف کند. اما پیدا نشد - و در نتیجه، لوباچفسکی هندسه جدیدی ساخت. در آن، از نقطه ای که روی یک خط قرار ندارد، بی نهایت خط مختلف می گذرد که با خط داده شده قطع نمی شود. لوباچفسکی اولین کسی نبود که این هندسه جدید را کشف کرد. اما او اولین کسی بود که تصمیم گرفت آن را علنی اعلام کند - که البته به خاطر آن مورد خنده قرار گرفت.

شناخت پس از مرگ کار لوباچفسکی، از جمله، به لطف ظهور مدل‌های هندسه او - سیستم‌هایی از اشیاء در صفحه اقلیدسی معمولی که تمام بدیهیات اقلیدس را برآورده می‌کرد، به استثنای فرض پنجم، صورت گرفت. یکی از این مدل ها توسط ریاضیدان و فیزیکدان هنری پوانکاره در سال 1882 - برای نیازهای تحلیل عملکردی و پیچیده - پیشنهاد شد.

بگذارید دایره ای وجود داشته باشد که مرز آن را مطلق می نامیم. "نقاط" در مدل ما، نقاط داخلی دایره خواهند بود. نقش "خطوط مستقیم" توسط دایره ها یا خطوط مستقیم عمود بر مطلق (به طور دقیق تر، کمان های آنها در داخل دایره قرار می گیرند) بازی می کنند. این واقعیت که اصل پنجم برای چنین خطوط "مستقیم" صادق نیست تقریباً واضح است. این واقعیت که فرضیه‌های باقی‌مانده برای این اشیاء برآورده می‌شوند، کمی کمتر آشکار است، با این حال، چنین است.

به نظر می رسد که در مدل پوانکاره می توانید فاصله بین نقاط را تعیین کنید. برای محاسبه طول، مفهوم متریک ریمانی مورد نیاز است. خواص آن به شرح زیر است: هر چه یک جفت نقطه "خط مستقیم" به مطلق نزدیکتر باشد، فاصله بین آنها بیشتر است. زاویه ها نیز بین "خطوط مستقیم" تعریف می شوند - این زوایای بین مماس ها در نقطه تقاطع "خطوط مستقیم" هستند.

حالا برگردیم به کاشی کاری. اگر مدل پوانکاره به چند ضلعی های منتظم یکسان (یعنی چند ضلعی هایی با همه اضلاع و زوایا مساوی) تقسیم شود، چه شکلی خواهند داشت؟ به عنوان مثال، چند ضلعی ها هر چه به مطلق نزدیکتر باشند باید کوچکتر شوند. این ایده توسط اشر در مجموعه آثار "دایره حد" تحقق یافت. با این حال، هلندی از پارتیشن های معمولی استفاده نکرد، بلکه از نسخه های متقارن تر آنها استفاده کرد. موردی که معلوم شد زیبایی مهمتر از دقت ریاضی است.

حکاکی روی چوب "Limit - Circle II".

حکاکی روی چوب "Limit - Circle III".

حکاکی روی چوب "بهشت و جهنم".

ارقام غیرممکن

ارقام غیرممکن معمولاً توهمات نوری خاص نامیده می شوند - به نظر می رسد که آنها تصویری از یک جسم سه بعدی در یک هواپیما هستند. اما با بررسی دقیق تر، تناقضات هندسی در ساختار آنها آشکار می شود. ارقام غیرممکن نه تنها مورد توجه ریاضیدانان و متخصصان طراحی هستند.

پدربزرگ فیگورهای غیرممکن، به اصطلاح مکعب نکر است، تصویری آشنا از یک مکعب در هواپیما. در سال 1832 توسط بلورشناس سوئدی لوئیس نکر پیشنهاد شد. نکته ای که در مورد این تصویر وجود دارد این است که می توان آن را به روش های مختلفی تفسیر کرد. به عنوان مثال، گوشه ای که در این شکل با یک دایره قرمز نشان داده شده است، می تواند از تمام گوشه های مکعب نزدیک به ما باشد یا برعکس، دورترین آن.

اولین فیگورهای غیرممکن واقعی توسط دانشمند دیگر سوئدی، اسکار روترسوارد، در دهه 1930 ایجاد شد. به طور خاص، او ایده جمع آوری مثلثی از مکعب هایی را که در طبیعت وجود ندارد، مطرح کرد. راجر پنروز، مستقل از رادرسوارد، به همراه پدرش لیونل پنروز، مقاله‌ای با عنوان «اشیای غیرممکن: نوع خاصی از توهم‌های نوری» (1956) در مجله روان‌شناسی بریتانیا منتشر کردند. در آن، پنروز دو شی را پیشنهاد کرد - مثلث پنروز (نسخه ای جامد از طراحی مکعب ها توسط رادرسوارد) و راه پله پنروز. آنها از Maurits Escher به عنوان الهام بخش کار خود نام بردند.

هر دو شی - مثلث و راه پله - بعدها در نقاشی های اشر ظاهر شدند.

لیتوگرافی "نسبیت".

لیتوگرافی "آبشار".

سنگ نگاره "Belvedere".

سنگ نگاره «صعود و فرود».

سایر آثار با معنای ریاضی:

چند ضلعی های ستاره ای:

حکاکی روی چوب "ستاره ها".

سنگ نگاره "تقسیم مکعب فضا".

سنگ نگاره "سطح پوشیده شده با امواج."

لیتوگرافی "سه جهان"

"پلکان بی پایان" توسط هنرمند Maurits K. Escher با موفقیت مورد استفاده قرار گرفت، این بار در سنگ نگاره مسحورکننده خود "صعود و فرود"، که در سال 1960 ساخته شد.
در این نقاشی، منعکس کننده تمام احتمالات فیگور پنروز، "پلکان بی پایان" بسیار قابل تشخیص به زیبایی در سقف صومعه حک شده است. راهبان کلاهدار به طور مداوم از پله ها در جهت عقربه های ساعت و خلاف جهت عقربه های ساعت بالا می روند. آنها در مسیری غیرممکن به سمت یکدیگر می روند. آنها هرگز نمی توانند بالا یا پایین بروند.

این اثر از Escher یک پارادوکس را به تصویر می کشد - سقوط آب یک آبشار چرخی را به حرکت در می آورد که آب را به بالای آبشار هدایت می کند. این آبشار ساختار یک مثلث پنروز «غیرممکن» دارد: این سنگ نگاره بر اساس مقاله ای در مجله روانشناسی بریتانیا ساخته شده است.
این سازه از سه میله متقاطع تشکیل شده است که در زوایای قائم روی هم قرار گرفته اند. آبشار در لیتوگرافی مانند یک ماشین حرکت دائمی عمل می کند. همچنین به نظر می رسد که هر دو برج یکسان هستند. در واقع یکی از سمت راست یک طبقه زیر برج سمت چپ است.

"Belvedere" (به ایتالیایی: Belvedere). در پیش زمینه سمت چپ یک ورق کاغذ با طراحی یک مکعب وجود دارد. تقاطع لبه ها با دو دایره مشخص شده است. مرد جوانی که روی نیمکت نشسته است، در دستانش ظاهری پوچ از یک مکعب است. او متفکرانه این شی نامفهوم را بررسی می کند و نسبت به این واقعیت که آلاچیق پشت سر او به همان سبک باورنکردنی و پوچ ساخته شده است، بی تفاوت می ماند.

آثار هنری توهمی جذابیت خاصی دارند. آنها پیروزی هنرهای زیبا بر واقعیت هستند. چرا توهمات اینقدر جالب هستند؟ چرا بسیاری از هنرمندان از آنها در آثار خود استفاده می کنند؟ شاید به این دلیل که آنها آنچه را که در واقع ترسیم شده است نشان نمی دهند. همه سنگ نگاره را جشن می گیرند "آبشار" نوشته موریتز سی اسچر. آب در اینجا بی انتها می چرخد، پس از چرخش چرخ، بیشتر جریان می یابد و به نقطه شروع باز می گردد. اگر می شد چنین سازه ای ساخت، آن وقت یک ماشین حرکت دائمی وجود داشت! اما با بررسی دقیق‌تر تصویر، متوجه می‌شویم که هنرمند ما را فریب می‌دهد و هر تلاشی برای ساخت این سازه محکوم به شکست است.

نقشه های ایزومتریک

برای انتقال توهم واقعیت سه بعدی، از نقشه های دو بعدی (نقاشی روی سطح صاف) استفاده می شود. معمولاً فریب شامل ترسیم برجستگی های شکل های جامد است که فرد سعی می کند مطابق با تجربه شخصی خود آنها را به عنوان اجسام سه بعدی تصور کند.

دیدگاه کلاسیک در شبیه سازی واقعیت در قالب یک تصویر "عکاسی" موثر است. این دیدگاه به چند دلیل ناقص است. این اجازه را به ما نمی دهد که صحنه را از منظرهای مختلف ببینیم، به آن نزدیک شویم و یا از هر طرف شی را ببینیم. این اثر عمقی را که یک شی واقعی خواهد داشت به ما نمی دهد. اثر عمق به این دلیل رخ می دهد که چشمان ما از دو منظر متفاوت به یک شی نگاه می کنند و مغز ما آنها را در یک تصویر ترکیب می کند. یک طراحی مسطح یک صحنه را تنها از یک دیدگاه خاص نشان می دهد. نمونه ای از چنین طراحی می تواند عکسی باشد که با استفاده از دوربین تک چشمی معمولی گرفته شده است.

هنگام استفاده از این دسته از توهمات، نقاشی در نگاه اول به نظر می رسد که یک نمایش معمولی از یک جسم جامد در پرسپکتیو باشد. اما با بررسی دقیق تر، تضادهای درونی چنین شیئی قابل مشاهده است. و روشن می شود که چنین شیئی نمی تواند در واقعیت وجود داشته باشد.

توهم پنروز

آبشار Escher بر اساس توهم پنروز است که گاهی اوقات توهم مثلث غیرممکن نامیده می شود. در اینجا این توهم در ساده ترین شکل خود نشان داده شده است.

به نظر می رسد که ما سه میله مربع را می بینیم که به صورت مثلثی متصل شده اند. اگر گوشه ای از این شکل را ببندید، می بینید که هر سه میله به درستی به هم وصل شده اند. اما وقتی دست خود را از گوشه بسته بردارید، فریب آشکار می شود. آن دو میله ای که در این گوشه به هم متصل می شوند، نباید حتی به هم نزدیک باشند.

توهم پنروز از "چشم انداز نادرست" استفاده می کند. هنگام ساخت تصاویر ایزومتریک از "پرسپکتیو کاذب" نیز استفاده می شود. گاهی به این چشم انداز چینی می گویند (یادداشت مترجم: رویترورد این چشم انداز را ژاپنی نامیده است). این روش نقاشی اغلب در هنرهای زیبای چینی استفاده می شد. با این روش ترسیم، عمق ترسیم مبهم است.

در نقشه های ایزومتریک، تمام خطوط موازی، حتی اگر نسبت به ناظر متمایل باشند، موازی به نظر می رسند. جسمی که با زاویه ای دور از ناظر کج می شود، دقیقاً به نظر می رسد که اگر با همان زاویه به سمت ناظر متمایل شده باشد. یک مستطیل خم شده در وسط (شکل ماخ) به وضوح چنین ابهامی را نشان می دهد. این شکل ممکن است به نظر شما کتابی باز باشد، گویی به صفحات کتابی نگاه می کنید یا کتابی است که صحافی آن به سمت شما چرخیده است و به جلد کتاب نگاه می کنید. این شکل ممکن است دو متوازی الاضلاع روی هم به نظر برسد، اما تعداد کمی از مردم این شکل را به صورت متوازی الاضلاع می بینند.

شکل تیری همان دوگانگی را نشان می دهد

توهم پلکان شرودر را در نظر بگیرید، مثالی «خالص» از ابهام عمق ایزومتریک. این شکل را می توان به عنوان یک پلکان که می توان از راست به چپ بالا رفت یا به عنوان نمایی از راه پله از پایین درک کرد. هر گونه تلاش برای تغییر موقعیت خطوط فیگور، توهم را از بین می برد.

این نقاشی ساده شبیه یک خط مکعب است که از بیرون به داخل نشان داده شده است. از طرف دیگر، این نقاشی شبیه یک خط مکعب است که در بالا و پایین نشان داده شده است. اما بسیار دشوار است که این نقاشی را فقط به عنوان یک سری متوازی الاضلاع درک کنیم.

بیایید برخی از مناطق را سیاه رنگ کنیم. متوازی الاضلاع سیاه می تواند به نظر برسد که گویی از پایین یا از بالا به آنها نگاه می کنیم. سعی کنید، اگر می توانید، این تصویر را متفاوت ببینید، گویی از پایین به یک متوازی الاضلاع نگاه می کنیم و متوازی الاضلاع دیگر را از بالا و آنها را متناوب می بینیم. اکثر مردم نمی توانند این تصویر را به این شکل درک کنند. چرا ما نمی توانیم یک تصویر را به این شکل درک کنیم؟ من معتقدم این پیچیده ترین توهم ساده است.

تصویر سمت راست از توهم یک مثلث غیرممکن به سبک ایزومتریک استفاده می کند. این یکی از نمونه های "سایه سازی" از نرم افزار پیش نویس اتوکد (TM) است. این نمونه "Escher" نام دارد.

ترسیم ایزومتریک ساختار مکعب سیمی ابهام ایزومتریک را نشان می دهد. گاهی اوقات به این شکل مکعب نکر می گویند. اگر نقطه سیاه در مرکز یک طرف مکعب باشد، آیا آن طرف سمت جلو است یا پشت؟ شما همچنین می توانید تصور کنید که نقطه نزدیک گوشه سمت راست پایین سمت راست است، اما هنوز نمی توانید تشخیص دهید که آیا آن طرف سمت جلو است یا خیر. شما همچنین دلیلی ندارید که فرض کنید نقطه روی سطح مکعب یا داخل آن است، می تواند به خوبی جلوی مکعب یا پشت آن باشد، زیرا ما هیچ اطلاعاتی در مورد ابعاد واقعی نقطه نداریم.

اگر چهره یک مکعب را به صورت تخته های چوبی تصور کنید، می توانید نتایج غیرمنتظره ای دریافت کنید. در اینجا از اتصال مبهم تخته های افقی استفاده کردیم که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد. این نسخه از شکل، جعبه غیرممکن نام دارد. این مبنای بسیاری از توهمات مشابه است.

یک جعبه غیرممکن را نمی توان از چوب ساخت. و با این حال ما در اینجا عکسی از یک جعبه غیرممکن ساخته شده از چوب را می بینیم. این یک فریب است. یکی از لت های کشو که به نظر می رسد پشت سر دیگری قرار دارد، در واقع دو لت مجزا با شکاف است، یکی نزدیکتر و دیگری دورتر از لت های متقاطع. چنین رقمی تنها از یک دیدگاه قابل مشاهده است. اگر به یک ساختار واقعی نگاه می‌کردیم، با دید استریوسکوپیک خود ترفندی را می‌بینیم که شکل را غیرممکن می‌کند. اگر دیدگاه خود را تغییر می دادیم، این ترفند بیشتر به چشم می آمد. به همین دلیل است که وقتی چهره‌های غیرممکن در نمایشگاه‌ها و موزه‌ها نمایش داده می‌شوند، مجبور می‌شوید از یک سوراخ کوچک با یک چشم به آنها نگاه کنید.

ارتباطات مبهم

این توهم بر چه اساس است؟ آیا این یک نسخه از کتاب Much است؟

در واقع ترکیبی از توهم Much و اتصال مبهم خطوط است. این دو کتاب دارای سطح وسط مشترک شکل هستند. این باعث می شود شیب جلد کتاب مبهم باشد.

توهمات موقعیت

توهم پوگندورف یا "مستطیل متقاطع" ما را گمراه می کند که کدام خط A یا B ادامه خط C است. تنها با اعمال یک خط کش بر روی خط C و دیدن اینکه کدام خط با آن منطبق است، پاسخ قطعی می توان داد.

توهمات شکل

توهمات شکل ارتباط نزدیکی با توهمات موقعیت دارند، اما در اینجا ساختار طراحی ما را مجبور می کند تا قضاوت خود را در مورد شکل هندسی طرح تغییر دهیم. در مثال زیر، خطوط مورب کوتاه این توهم را ایجاد می کنند که دو خط افقی منحنی هستند. در واقع اینها خطوط موازی مستقیم هستند.

این توهمات از توانایی مغز ما برای پردازش اطلاعات بصری از جمله سطوح متقاطع بهره می برند. ممکن است یک الگوی سایه‌زنی به قدری غالب باشد که سایر عناصر طرح مخدوش به نظر برسند.

یک مثال کلاسیک مجموعه ای از دایره های متحدالمرکز است که یک مربع روی آنها قرار گرفته است. اگرچه اضلاع مربع کاملاً صاف هستند، اما به نظر منحنی هستند. با اعمال خط کش بر روی آنها می توانید راستی اضلاع مربع را تأیید کنید. بیشتر توهمات شکل بر اساس این اثر است.

مثال زیر بر اساس همین اصل عمل می کند. اگرچه اندازه هر دو دایره یکسان است، اما یکی از آنها کوچکتر از دیگری به نظر می رسد. این یکی از بسیاری از توهمات اندازه است.

توضیح این اثر می تواند درک ما از پرسپکتیو در عکس ها و نقاشی ها باشد. در دنیای واقعی، با افزایش فاصله، دو خط موازی را می‌بینیم که همگرا می‌شوند، بنابراین متوجه می‌شویم که دایره‌ای که خطوط را لمس می‌کند از ما دورتر است و بنابراین باید بزرگ‌تر باشد.

اگر دایره ها و نواحی محدود شده توسط خطوط سیاه رنگ شوند، توهم ضعیف تر خواهد بود.

عرض لبه و ارتفاع کلاه یکسان است، اگرچه در نگاه اول اینطور به نظر نمی رسد. سعی کنید تصویر را 90 درجه بچرخانید. آیا اثر ادامه دارد؟ این یک توهم اندازه های نسبی در یک نقاشی است.

بیضی های مبهم

دایره‌های کج‌شده توسط بیضی‌ها بر روی صفحه پخش می‌شوند و این بیضی‌ها دارای ابهام عمقی هستند. اگر شکل (بالا) یک دایره کج باشد، هیچ راهی برای دانستن اینکه آیا قوس بالا به ما نزدیکتر است یا دورتر از قوس پایین وجود ندارد.

اتصال مبهم خطوط یک عنصر اساسی در توهم حلقه مبهم است:

اگر نیمی از تصویر را ببندید، بقیه شبیه به نیمی از یک حلقه معمولی خواهد بود.

وقتی به این شکل رسیدم، فکر کردم که می تواند یک توهم اصلی باشد. اما بعداً تبلیغی با لوگوی شرکت فیبر نوری Canstar دیدم. اگرچه نشان Canstar متعلق به من است، اما می توان آنها را به عنوان همان دسته از توهمات طبقه بندی کرد. بنابراین، من و شرکت به طور مستقل شکل چرخ غیرممکن را توسعه دادیم. فکر می کنم اگر عمیق تر بگردید، احتمالاً می توانید نمونه های قبلی چرخ غیرممکن را پیدا کنید.

راه پله بی پایان

یکی دیگر از توهمات کلاسیک پنروز، پلکان غیرممکن است. اغلب به عنوان یک نقاشی ایزومتریک (حتی در کار پنروز) به تصویر کشیده می شود. نسخه ما از راه پله بی پایان مشابه نسخه Penrose است (به جز سایه).

همچنین می توان آن را در پرسپکتیو به تصویر کشید، همانطور که در سنگ نگاره M. C. Escher انجام شده است.

فریب در سنگ نگاره "صعود و فرود" به روشی کمی متفاوت ساخته شده است. اشر پلکانی را روی سقف یک ساختمان قرار داد و ساختمان زیر را به گونه ای به تصویر کشید که تصور پرسپکتیو را منتقل کند.

این هنرمند یک راه پله بی پایان را با یک سایه به تصویر کشید. مانند سایه زدن، یک سایه می تواند توهم را از بین ببرد. اما هنرمند منبع نور را در جایی قرار داد که سایه به خوبی با سایر قسمت های نقاشی ترکیب شود. شاید سایه پله ها به خودی خود یک توهم باشد.

نتیجه گیری

برخی از مردم اصلاً مجذوب تصاویر واهی نیستند. آنها می گویند: "این فقط یک تصویر اشتباه است." برخی از مردم، شاید کمتر از 1٪ از مردم، آنها را درک نمی کنند زیرا مغز آنها قادر به تبدیل تصاویر مسطح به تصاویر سه بعدی نیست. این افراد معمولاً در درک نقشه های فنی و تصاویر فیگورهای سه بعدی در کتاب ها مشکل دارند.

دیگران ممکن است ببینند که "چیزی اشتباه" در تصویر وجود دارد، اما آنها فکر نمی کنند که بپرسند فریب چگونه به دست آمده است. این افراد هرگز نیازی به درک چگونگی کارکرد طبیعت ندارند.

شاید درک پارادوکس های بصری یکی از ویژگی های بارز نوع خلاقیتی باشد که بهترین ریاضیدانان، دانشمندان و هنرمندان دارند. در میان آثار M.C. Escher بسیاری از نقاشی های توهم و همچنین نقاشی های پیچیده هندسی وجود دارد که می توان آنها را بیشتر به عنوان "بازی های ریاضی فکری" طبقه بندی کرد. با این حال، آنها بر ریاضیدانان و دانشمندان تأثیر می گذارند.

گفته می‌شود افرادی که در جزایر اقیانوس آرام یا در اعماق جنگل‌های آمازون زندگی می‌کنند، جایی که هرگز عکسی ندیده‌اند، نمی‌توانند در ابتدا متوجه شوند که عکس چه چیزی را نشان می‌دهد. تفسیر این نوع خاص از تصویر یک مهارت اکتسابی است. برخی افراد در این مهارت بهتر هستند، برخی دیگر بدتر.

هنرمندان خیلی زودتر از اختراع عکاسی شروع به استفاده از پرسپکتیو هندسی در آثار خود کردند. اما بدون کمک علم نمی توانستند آن را مطالعه کنند. لنزها فقط در قرن چهاردهم به طور کلی در دسترس قرار گرفتند. در آن زمان از آنها در آزمایشات با اتاق های تاریک استفاده می شد. یک لنز بزرگ در سوراخی در دیوار یک محفظه تاریک قرار داده شد تا تصویر معکوس در دیوار مقابل نمایش داده شود. اضافه شدن یک آینه باعث می شود که تصویر از کف تا سقف اتاق ریخته شود. این وسیله اغلب توسط هنرمندانی استفاده می شد که سبک چشم انداز جدید "اروپایی" را در هنر تجربه می کردند. در آن زمان، ریاضیات از قبل به اندازه کافی پیچیده بود که مبنای نظری برای دیدگاه فراهم کند، و این اصول نظری در کتاب هایی برای هنرمندان منتشر شد.

فقط با تلاش برای ترسیم تصاویر واهی خود می توانید از تمام ظرافت های لازم برای ایجاد چنین فریب هایی قدردانی کنید. اغلب ماهیت توهم محدودیت های خود را تحمیل می کند و «منطق» خود را به هنرمند تحمیل می کند. در نتیجه، خلق یک تابلو به نبردی بین شوخ طبعی هنرمند و عجیب و غریب یک توهم غیر منطقی تبدیل می شود.

اکنون که ماهیت برخی از توهمات را مورد بحث قرار دادیم، می‌توانید از آن‌ها برای ایجاد توهمات خود و همچنین دسته‌بندی توهماتی که با آنها برخورد کردید، استفاده کنید. پس از مدتی شما مجموعه بزرگی از توهمات خواهید داشت و باید آنها را به نحوی نشان دهید. من برای این کار یک ویترین شیشه ای طراحی کردم.

شما می توانید همگرایی خطوط در پرسپکتیو و سایر جنبه های هندسی این نقاشی را بررسی کنید. با تجزیه و تحلیل این گونه تصاویر و تلاش برای ترسیم آنها می توانید به ماهیت فریب های استفاده شده در تصویر پی ببرید. M. C. Escher از ترفندهای مشابهی در نقاشی خود Belvedere (در زیر) استفاده کرد.

Donald E. Simanek, دسامبر 1996. ترجمه از انگلیسی

Maurits Cornelis Escher، گرافیست هلندی

اشر موریتز کورنلیس(Maurits Cornelis Escher) (17 ژوئن 1898، Leeuwarden، هلند - 27 مارس 1972، Hilversum، هلند) یک گرافیست هلندی بود که برای کتاب ها، تمبرهای پستی و نقاشی های دیواری تصویرسازی می کرد و ملیله طراحی می کرد. او که عمدتاً به خاطر سنگ نگاره های مفهومی، حکاکی های چوبی و فلزی، که در آن ها جنبه های پلاستیکی مفاهیم بی نهایت و تقارن و همچنین ویژگی های ادراک روانشناختی اشیاء سه بعدی پیچیده را با استادی بررسی می کرد، شناخته شده است، برجسته ترین نماینده است. هنر بد اشر کاملاً عمدا شغلی را به عنوان حکاکی انتخاب کرد تا نقاش رنگ روغن. به گفته هانس لوچر، محقق کار او، اسچر با امکان به دست آوردن چاپ های متعددی که تکنیک های گرافیکی فراهم می کردند جذب شد، زیرا او قبلاً به امکان تکرار تصاویر در سنین پایین علاقه مند بود. یکی از برجسته‌ترین جنبه‌های آثار اشر، به تصویر کشیدن «مگردونه» است که به اشکال مختلف در آثار مختلف ظاهر می‌شود. هنرمند به تفصیل انتقال تدریجی از یک شکل هندسی به شکل دیگر را از طریق تغییرات جزئی در طرح کلی بررسی می کند. علاوه بر این، Escher بارها دگردیسی هایی را که در موجودات زنده رخ می دهد (پرندگان به ماهی تبدیل می شوند و غیره) و حتی اجسام بی جان را در طول دگردیسی "متحرک" می کند و آنها را به موجودات زنده تبدیل می کند. Escher 448 سنگ نگاره، حکاکی و حکاکی روی چوب و بیش از 2000 طراحی و طرح تولید کرد. کار او همچنان میلیون ها نفر را در سراسر جهان تحت تاثیر قرار داده و شگفت زده می کند. در سالهای آخر عمر، سلامتی اشر از بین رفت و او عملاً کار نکرد. او تحت عمل های بسیاری قرار می گیرد و در نهایت بر اثر سرطان روده در بیمارستان می میرد. اشر لیتوگرافی ها، نقاشی ها، طراحی ها و سه پسر شگفت انگیز خود را به جا گذاشت.

تاریخ های کلیدی

1898 - موریتز کورنلیس اشر در 17 ژوئن در لیوردن (هلند)، کوچکترین پسر در خانواده مهندس هیدرولیک G.A. و سارا گلیچمن به دنیا آمد.
1903 - خانواده به آرنهم نقل مکان کردند.
1912-1918 - وارد ورزشگاه شد و در امتحانات نهایی مردود شد.
1919 - به درخواست پدرش، Escher شروع به تحصیل در رشته معماری در هارلم کرد، اما پس از چند ماه به یک کلاس طراحی گرافیک به سرپرستی Jeserand de Mesquite منتقل شد.
1921 - اولین سفر به ایتالیا. اولین چاپ در مجله اثر "گل های عید پاک" (نقش چوب)
1922 - مدرسه هنر را به پایان رساند و برای سفر در مرکز ایتالیا رفت. طرح های زیادی می سازد او در سپتامبر از الحمرا در اسپانیا دیدن می کند و آن را جالب ترین می داند، به ویژه موزاییک های عظیم آن با "پیچیدگی عظیم و معنای ریاضی و هنری".
1923 - سفر به ایتالیا. با همسر آینده اش جتا (جتا اومیکر) آشنا می شود. او از زندگی نقاشی می کشد.
1924 - اولین نمایشگاه در لاهه، هلند. در 12 ژوئن او توسط Yetta در Viareggio ازدواج کرد. به رم نقل مکان می کند.
1926 - نمایشگاه بسیار موفق در رم در ماه مه. بعداً، Escher یک نمایشگاه دائمی در هلند داشت و اغلب نظرات مثبتی دریافت کرد. در 23 ژوئن، اولین پسر آنها، گئورگ، در خانواده اشر به دنیا خواهد آمد. در سالهای بعد، موریتز اشر دائماً (به عنوان مثال، به تونس)، از جمله پیاده به Arbuzi سفر می کند. طرح های منظره و معماری زیادی می سازد.
1928 - 8 دسامبر، پسر آرتور متولد شد.
1929 - اولین سنگ نگاره "نمای گوریانو سیکولی"، آربوزی
1931 - اولین حکاکی چوبی، اما در اصل یک ماتریس چوبی برای چاپ دعوتنامه برای نمایشگاهی در لاهه بود. Escher به عضویت انجمن هنرمندان گرافیک و کمی بعد - عضو استودیو Pulchi می شود. او به عنوان یک "طراحی صبور، آرام و خونسرد" بسیار مورد احترام است و کار او به دلیل "بیش از حد روشنفکرانه" مورد انتقاد قرار می گیرد.
1932 - نقوش چوبی او در سالنامه XXIV Emblemata dat zijns zinnebeelden منتشر شد.
1933 - کتاب "ماجراهای وحشتناک اسکولاستیک" با حکاکی روی چوب توسط اشر منتشر شد.
1934 - آثار او در نمایشگاه حکاکی های مدرن (چاپ) "قرن پیشرفت" در شیکاگو فقط نقدهای مثبت دریافت کردند.
1935 - سیاست های سرکوبگرانه ایتالیای فاشیست، اشر را مجبور کرد به سوئیس نقل مکان کند.
1936 - سفر به اسپانیا، جایی که او دوباره به طور فعال روی الگوهای کاشی موری (الحمرا) کار کرد. ترسیم مجدد آنها الهام بخش اشر برای خلق نقاشی هایی است که در آنها از تقسیم بندی دوره ای صحیح هواپیماها استفاده می کند.
1938 - پسر دیگری به نام جان در 6 مارس به دنیا آمد. اما اشر بر روی "نقاشی های داخلی" تمرکز می کند و تقریباً به طور کامل طراحی از طبیعت را کنار می گذارد.
1939 - مرگ پدر در سن 96 سالگی.
1940 - M.C.Escher en zijn experimenten منتشر شد. مادرش می میرد.
1941 - خانواده اشر به وطن خود در هلند، در بارن (B╠rn) بازگشتند.
1948 Escher شروع به سخنرانی در مورد کار خود همراه با نمایش آن کرد.
1954 - نمایشگاه بزرگ Escher به مناسبت کنگره بزرگ ریاضی. پس از آن نمایشگاهی در واشنگتن برگزار می شود.
1955 - 30 آوریل جایزه بزرگ سلطنتی را دریافت کرد.
1958 - "Regelmatige vlakverdeling" (تقسیم صحیح هواپیماها) منتشر شد.
1959 - "Grafik en Tekeningen" (کارهای گرافیکی) منتشر شد
1960 - نمایشگاه و سخنرانی در کنگره کریستالوگرافی در کمبریج، ماساچوست
1962 - جراحی اورژانسی و اقامت طولانی مدت در بیمارستان.
1964 - برای یک عمل جراحی دیگر عازم کانادا شد.
1965 - جایزه هنر هیلورسوم. «جنبه تقارن» منتشر می شود.
1967 - دومین جایزه ملکه.
1968 - جشن بزرگ هفتادمین سالگرد در لاهه. در پایان سال، Yetta به سوئیس باز می گردد.
1969 - در ژوئیه، Escher آخرین حکاکی روی چوب خود، "Snakes" را خلق کرد.
1970 - جراحی و دوباره بستری طولانی مدت. Escher به Rosa-Spier-Foundation Laaren در خانه ای برای هنرمندان مسن نقل مکان می کند.
1971 - De werelden van M.C.Escher (دنیای اشر) منتشر شد.
1972 - M. S. Escher در بیمارستان لوتران در هیلورسوم درگذشت.

خطوط منحنی سفید، متقاطع، یکدیگر را به بخش ها تقسیم می کنند. هر کدام برابر است با طول ماهی - از بینهایت کوچک تا بزرگترین و دوباره - از بزرگترین تا بی نهایت کوچک. هر ردیف تک رنگ است. برای دستیابی به تضادهای تونال این ردیف ها باید حداقل از چهار رنگ استفاده شود. از نقطه نظر فن آوری، شما به پنج تخته نیاز دارید: یکی برای عناصر سیاه و چهار برای تابلوهای رنگی. برای پر کردن دایره باید هر تخته به شکل دایره مستطیل چهار بار کشیده شود. بنابراین چاپ تمام شده به 4x5=20 قالب نیاز دارد. در اینجا یکی از دو نوع فضای "غیر اقلیدسی" توسط پوانکاره ریاضیدان فرانسوی شرح داده شده است. برای درک ویژگی های این فضا، تصور کنید که در داخل خود نقاشی هستید. همانطور که از مرکز دایره به سمت مرز آن حرکت می کنید، قد شما به همان اندازه کاهش می یابد که ماهی در این تصویر کاهش می یابد. بنابراین، مسیری که باید تا لبه دایره بروید برای شما بی پایان به نظر می رسد. در واقع با قرار گرفتن در چنین فضایی، در نگاه اول نسبت به فضای معمولی اقلیدسی متوجه هیچ چیز غیرعادی در آن نخواهید شد. به عنوان مثال، برای رسیدن به مرزهای فضای اقلیدسی نیز باید از یک مسیر بی نهایت عبور کنید. با این حال، اگر دقت کنید، متوجه تفاوت هایی خواهید شد، به عنوان مثال، همه مثلث های مشابه در این فضا یک اندازه هستند و نمی توانید با چهار زاویه قائمه که با خطوط مستقیم به هم متصل شده اند، اشکال ترسیم کنید.