هویت های مثلثاتی پیچیده معادلات مثلثاتی - فرمول ها، راه حل ها، مثال ها

در این مقاله نگاهی جامع خواهیم داشت. هویت‌های مثلثاتی پایه برابری‌هایی هستند که بین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه ارتباط برقرار می‌کنند و به فرد اجازه می‌دهند هر یک از این توابع مثلثاتی را از طریق دیگری شناخته شده پیدا کنند.

بیایید فوراً هویت های مثلثاتی اصلی را که در این مقاله تحلیل خواهیم کرد، فهرست کنیم. بیایید آنها را در یک جدول یادداشت کنیم و در زیر خروجی این فرمول ها را می دهیم و توضیحات لازم را ارائه می دهیم.

پیمایش صفحه.

رابطه بین سینوس و کسینوس یک زاویه

گاهی اوقات آنها در مورد هویت های مثلثاتی اصلی ذکر شده در جدول بالا صحبت نمی کنند، بلکه در مورد یک تک صحبت می کنند هویت مثلثاتی اولیهمهربان . توضیح این واقعیت بسیار ساده است: تساوی ها از هویت مثلثاتی اصلی پس از تقسیم هر دو قسمت آن بر و به ترتیب و و تساوی ها به دست می آیند. و از تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت پیروی کنید. در پاراگراف های بعدی در این مورد با جزئیات بیشتری صحبت خواهیم کرد.

یعنی این برابری است که مورد توجه خاص است که نام هویت مثلثاتی اصلی به آن داده شد.

قبل از اثبات هویت مثلثاتی اصلی، فرمول آن را می‌دهیم: مجموع مجذورات سینوس و کسینوس یک زاویه به طور یکسان برابر با یک است. حالا بیایید ثابت کنیم.

هویت مثلثاتی اساسی اغلب زمانی استفاده می شود که تبدیل عبارات مثلثاتی. این اجازه می دهد تا مجموع مربع های سینوس و کسینوس یک زاویه با یک جایگزین شود. نه کمتر، از هویت مثلثاتی اصلی به ترتیب معکوس استفاده می شود: واحد با مجموع مربع های سینوس و کسینوس هر زاویه جایگزین می شود.

مماس و کتانژانت از طریق سینوس و کسینوس

هویت های اتصال مماس و کتانژانت با سینوس و کسینوس از یک زاویه دید و بلافاصله از تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت پیروی کنید. در واقع، طبق تعریف، سینوس مختص y است، کسینوس ابسیسا x، مماس نسبت مصداق به ابسیسا است، یعنی و کوتانژانت نسبت ابسیسا به مجمل است، یعنی .

به لطف چنین آشکار بودن هویت ها و مماس و کتانژانت اغلب نه از طریق نسبت ابسیسا و مختصات، بلکه از طریق نسبت سینوس و کسینوس تعریف می شوند. بنابراین مماس یک زاویه نسبت سینوس به کسینوس این زاویه است و کوتانژانت نسبت کسینوس به سینوس است.

در خاتمه این بند لازم به ذکر است که هویت و برای تمام زوایایی که توابع مثلثاتی گنجانده شده در آنها معنا پیدا می کنند، اتفاق می افتد. بنابراین فرمول برای هر , غیر از ( در غیر این صورت مخرج صفر خواهد بود و ما تقسیم بر صفر را تعریف نکردیم ) و فرمول معتبر است - برای همه، متفاوت از، جایی که z هر کدام است.

رابطه مماس و کوتانژانت

یک هویت مثلثاتی آشکارتر از دو مورد قبلی، هویتی است که مماس و کتانژانت یک زاویه از فرم را به هم متصل می کند. . واضح است که برای هر زاویه ای غیر از .

اثبات فرمول بسیار ساده با تعریف و از کجا . اثبات می توانست کمی متفاوت انجام شود. از آنجایی که ، آن .

بنابراین، مماس و کتانژانت همان زاویه ای که در آن معنا پیدا می کنند، هستند.

درخواست "گناه" به اینجا هدایت می شود. معانی دیگر را نیز ببینید درخواست "sec" به اینجا هدایت می شود. معانی دیگر را نیز ببینید درخواست "Sine" به اینجا هدایت می شود. معانی دیگر را نیز ببینید... ویکی پدیا

برنج. 1 نمودار توابع مثلثاتی: سینوس، کسینوس، مماس، سکانت، هم‌زمان، کوتانژانت توابع مثلثاتی نوعی توابع ابتدایی هستند. به طور معمول این موارد عبارتند از سینوس (sin x)، کسینوس (cos x)، مماس (tg x)، کوتانژانت (ctg x)، ... ... ویکی پدیا

اندازه گیری های ژئودتیک (قرن هفدهم) ... ویکی پدیا

در مثلثات، فرمول نیم زاویه قهوهای مایل به زرد، نیم زاویه برنزه را به توابع مثلثاتی با زاویه کامل مرتبط می کند: تغییرات این فرمول به شرح زیر است... ویکی پدیا

- (از یونانی τρίγονο (مثلث) و یونانی μετρειν (اندازه گیری) یعنی اندازه گیری مثلث ها) شاخه ای از ریاضیات که در آن توابع مثلثاتی و کاربرد آنها در هندسه بررسی می شود. این اصطلاح اولین بار در سال 1595 به عنوان... ... ویکی پدیا ظاهر شد

- (lat. solutio triangulorum) یک اصطلاح تاریخی به معنای حل مسئله مثلثاتی اصلی: با استفاده از داده های شناخته شده در مورد یک مثلث (اضلاع، زوایا و غیره) ویژگی های باقی مانده آن را پیدا کنید. مثلث را می توان در... ... ویکی پدیا قرار داد

کتاب ها

مجموعه میز. جبر و آغاز تحلیل. کلاس دهم. 17 جدول + روش شناسی، . میزها بر روی مقوای ضخیم چاپ شده در ابعاد 680 در 980 میلی متر چاپ شده اند.
جداول انتگرال ها و سایر فرمول های ریاضی دوایت جی بی... ویرایش دهم کتاب مرجع معروف شامل جداول بسیار دقیق انتگرال های نامعین و معین و همچنین تعداد زیادی فرمول ریاضی دیگر: بسط سری، ...

شما می توانید یک راه حل دقیق برای مشکل خود سفارش دهید!!!

تساوی حاوی یک مجهول تحت علامت یک تابع مثلثاتی ("sin x، cos x، tan x" یا "ctg x") معادله مثلثاتی نامیده می‌شود و فرمول‌های آن‌ها است که در ادامه بررسی خواهیم کرد.

ساده ترین معادلات «sin x=a، cos x=a، tg x=a، ctg x=a» نامیده می شوند، جایی که «x» زاویه ای است که باید پیدا شود، «a» هر عددی است. اجازه دهید فرمول های ریشه را برای هر یک از آنها بنویسیم.

1. معادله `sin x=a`.

برای `|a|>1` هیچ راه حلی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. معادله «cos x=a».

برای `|a|>1` - مانند سینوس، هیچ راه حلی در بین اعداد حقیقی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

موارد ویژه برای سینوس و کسینوس در نمودارها.

3. معادله `tg x=a`

تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. معادله «ctg x=a».

همچنین تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

فرمول های ریشه معادلات مثلثاتی در جدول

برای سینوس:
برای کسینوس:
برای مماس و کوتانژانت:
فرمول های حل معادلات حاوی توابع مثلثاتی معکوس:

روش های حل معادلات مثلثاتی

حل هر معادله مثلثاتی شامل دو مرحله است:

با کمک تبدیل آن به ساده ترین.
ساده ترین معادله به دست آمده را با استفاده از فرمول های ریشه و جداول نوشته شده در بالا حل کنید.

بیایید با استفاده از مثال به روش های اصلی راه حل نگاه کنیم.

روش جبری.

این روش شامل جایگزینی یک متغیر و جایگزینی آن با یک برابری است.

مثال. معادله را حل کنید: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`،

جایگزینی ایجاد کنید: «cos(x+\frac \pi 6)=y»، سپس «2y^2-3y+1=0»،

ما ریشه ها را پیدا می کنیم: `y_1=1, y_2=1/2` که دو حالت از آن پیروی می کنند:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

پاسخ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

فاکتورسازی

مثال. معادله "sin x+cos x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید تمام شرایط برابری را به سمت چپ منتقل کنیم: `sin x+cos x-1=0`. با استفاده از، سمت چپ را تبدیل و فاکتورسازی می کنیم:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
«cos x/2-sin x/2=0»، «tg x/2=1»، «x/2=arctg 1+ \pi n»، «x/2=\pi/4+ \pi n» ، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

پاسخ: «x_1=2\pi n»، «x_2=\pi/2+ 2\pi n».

کاهش به یک معادله همگن

ابتدا باید این معادله مثلثاتی را به یکی از دو شکل کاهش دهید:

«a sin x+b cos x=0» (معادله همگن درجه اول) یا «a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0» (معادله همگن درجه دوم).

سپس هر دو قسمت را بر «cos x \ne 0» - برای مورد اول و بر «cos^2 x \ne 0» - برای مورد دوم تقسیم کنید. ما معادلاتی را برای «tg x» به دست می‌آوریم: «a tg x+b=0» و «a tg^2 x + b tg x +c =0» که باید با استفاده از روش‌های شناخته شده حل شوند.

مثال. معادله "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید سمت راست را به صورت `1=sin^2 x+cos^2 x` بنویسیم:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

این یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم است، سمت چپ و راست آن را بر 'cos^2 x \ne 0' تقسیم می کنیم، به دست می آوریم:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

«tg^2 x+tg x — 2=0». بیایید جایگزین «tg x=t» را معرفی کنیم که نتیجه آن «t^2 + t - 2=0» است. ریشه های این معادله «t_1=-2» و «t_2=1» هستند. سپس:

«tg x=-2»، «x_1=arctg (-2)+\pi n»، «n \in Z»
«tg x=1»، «x=arctg 1+\pi n»، «x_2=\pi/4+\pi n»، «n \in Z».

پاسخ دهید. `x_1=arctg (-2)+\pi n`، `n \in Z`، `x_2=\pi/4+\pi n`، `n \in Z`.

حرکت به نیم زاویه

مثال. معادله را حل کنید: '11 sin x - 2 cos x = 10'.

راه حل. بیایید فرمول‌های زاویه دوتایی را اعمال کنیم و به این نتیجه می‌رسیم: `22 sin (x/2) cos (x/2) -`` 2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2 =` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

با استفاده از روش جبری که در بالا توضیح داده شد، به دست می آوریم:

«tg x/2=2», «x_1=2 arctg 2+2\pi n»، «n \in Z»،
«tg x/2=3/4»، «x_2=arctg 3/4+2\pi n»، «n \in Z».

پاسخ دهید. `x_1=2 arctg 2+2\pi n، n \in Z`، `x_2=arctg 3/4+2\pi n`، `n \in Z`.

معرفی زاویه کمکی

در معادله مثلثاتی "a sin x + b cos x =c" که در آن a,b,c ضرایب هستند و x یک متغیر است، هر دو طرف را بر "sqrt (a^2+b^2) تقسیم کنید:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

ضرایب سمت چپ دارای ویژگی های سینوس و کسینوس هستند، یعنی مجموع مربع های آنها برابر با 1 است و مدول های آنها بزرگتر از 1 نیست. اجازه دهید آنها را به صورت زیر نشان دهیم: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`، سپس:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

بیایید نگاهی دقیق تر به مثال زیر بیندازیم:

مثال. معادله "3 sin x+4 cos x=2" را حل کنید.

راه حل. هر دو طرف تساوی را بر 'sqrt (3^2+4^2)' تقسیم کنید، به دست می آوریم:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

«3/5 گناه x+4/5 cos x=2/5».

بیایید "3/5 = cos \varphi"، "4/5=sin \varphi" را نشان دهیم. از آنجایی که `sin \varphi>0`، `cos \varphi>0`، پس "\varphi=arcsin 4/5" را به عنوان یک زاویه کمکی در نظر می گیریم. سپس برابری خود را به شکل زیر می نویسیم:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

با اعمال فرمول مجموع زوایای سینوس، تساوی خود را به شکل زیر می نویسیم:

`sin (x+\varphi)=2/5`،

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

پاسخ دهید. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

معادلات مثلثاتی گویا کسری

اینها تساوی با کسری هستند که صورت و مخرج آنها دارای توابع مثلثاتی هستند.

مثال. معادله را حل کنید. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

راه حل. سمت راست تساوی را ضرب و تقسیم بر «(1+cos x)» کنید. در نتیجه دریافت می کنیم:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

با توجه به اینکه مخرج نمی تواند برابر با صفر باشد، «1+cos x \ne 0»، «cos x \ne -1»، «x \ne \pi+2\pi n، n \in Z» به دست می‌آید.

بیایید عدد کسر را با صفر برابر کنیم: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. سپس «sin x=0» یا «1-sin x=0».

"sin x=0"، "x=\pi n"، "n \in Z".
«1-sin x=0»، «sin x=-1»، «x=\pi /2+2\pi n، n \in Z».

با توجه به اینکه `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`، راه حل ها عبارتند از `x=2\pi n, n \in Z` و `x=\pi /2+2\pi n` ، `n \ در Z`.

پاسخ دهید. `x=2\pi n`، `n \in Z`، `x=\pi /2+2\pi n`، `n \in Z`.

مثلثات و به طور خاص معادلات مثلثاتی تقریباً در تمام زمینه های هندسه، فیزیک و مهندسی استفاده می شود. مطالعه از کلاس دهم شروع می شود، همیشه وظایفی برای آزمون یکپارچه دولتی وجود دارد، بنابراین سعی کنید تمام فرمول های معادلات مثلثاتی را به خاطر بسپارید - آنها قطعا برای شما مفید خواهند بود!

با این حال، شما حتی نیازی به حفظ آنها ندارید، نکته اصلی این است که ماهیت را درک کنید و بتوانید آن را استخراج کنید. آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست. خودتان با تماشای ویدیو ببینید.

هویت های مثلثاتی- اینها برابری هایی هستند که بین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه ارتباط برقرار می کنند، که به شما امکان می دهد هر یک از این توابع را پیدا کنید، مشروط بر اینکه هر یک دیگر مشخص باشد.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)، \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

این هویت می گوید که مجموع مجذور سینوس یک زاویه و مجذور کسینوس یک زاویه برابر با یک است که در عمل محاسبه سینوس یک زاویه را زمانی ممکن می سازد که کسینوس آن مشخص باشد و بالعکس. .

هنگام تبدیل عبارات مثلثاتی، اغلب از این هویت استفاده می شود که به شما امکان می دهد مجموع مجذورهای کسینوس و سینوس یک زاویه را با یک جایگزین کنید و همچنین عملیات جایگزینی را به ترتیب معکوس انجام دهید.

یافتن مماس و کتانژانت با استفاده از سینوس و کسینوس

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)،\enspace

این هویت ها از تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت شکل می گیرند. به هر حال، اگر به آن نگاه کنید، بنا به تعریف، مختص y یک سینوس است و آبسیسا x یک کسینوس است. سپس مماس برابر با نسبت خواهد بود \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)، و نسبت \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- یک کوتانژانت خواهد بود.

بیایید اضافه کنیم که فقط برای چنین زوایایی \آلفا که توابع مثلثاتی موجود در آنها معنی دارند، هویت ها پابرجا خواهند بود. ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

به عنوان مثال: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)برای زوایای \alpha که متفاوت از \frac(\pi)(2)+\pi z، A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- برای یک زاویه \alpha غیر از \pi z، z یک عدد صحیح است.

رابطه مماس و کوتانژانت

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

این هویت فقط برای زوایای \alpha که با آنها متفاوت است معتبر است \frac(\pi)(2) z. در غیر این صورت کوتانژانت یا مماس مشخص نمی شود.

با توجه به نکات فوق به این نتیجه می رسیم tg \alpha = \frac(y)(x)، A ctg \alpha=\frac(x)(y). به دنبال آن است tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. بنابراین، مماس و کوتانژانت همان زاویه ای که در آن معنا پیدا می کنند، اعداد متقابل معکوس هستند.

روابط بین مماس و کسینوس، کوتانژانت و سینوس

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- مجموع مجذور مماس زاویه \آلفا و 1 برابر است با مجذور معکوس کسینوس این زاویه. این هویت برای همه \alpha غیر از \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- مجموع 1 و مجذور کتانژانت زاویه \آلفا برابر است با مجذور معکوس سینوس زاویه داده شده. این هویت برای هر \alpha متفاوت از \pi z معتبر است.

مثال هایی با راه حل مسائل با استفاده از هویت های مثلثاتی

مثال 1

\sin \alpha و tg \alpha if را پیدا کنید \cos \alpha=-\frac12و \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

نشان دادن راه حل

راه حل

توابع \sin \alpha و \cos \alpha با فرمول مرتبط هستند \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. جایگزینی در این فرمول \cos \alpha = -\frac12، دریافت می کنیم:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \راست)^2 = 1

این معادله 2 راه حل دارد:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

با شرط \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . در سه ماهه دوم سینوس مثبت است، بنابراین \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

برای پیدا کردن tan \alpha از فرمول استفاده می کنیم tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2): \frac12 = \sqrt 3

مثال 2

\cos \alpha و ctg \alpha if and را پیدا کنید \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

نشان دادن راه حل

راه حل

جایگزین کردن در فرمول \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1شماره داده شده \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2)، دریافت می کنیم \ چپ (\frac(\sqrt3)(2)\راست)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. این معادله دو راه حل دارد \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

با شرط \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . در سه ماهه دوم کسینوس منفی است، بنابراین \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

برای پیدا کردن ctg \alpha از فرمول استفاده می کنیم ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). ما مقادیر مربوطه را می دانیم.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).