حداقل مضرب مشترک به چه معناست؟ Nod و nok اعداد - بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کمترین مضرب مشترک چند عدد

شماره دوم: b=

جدا کننده هزاربدون جداکننده فضا "'

نتیجه:

بزرگترین مقسوم علیه مشترک GCD( الف,ب)=6

کمترین مضرب مشترک LCM( الف,ب)=468

بزرگترین عدد طبیعی را که می توان بدون باقیمانده بر اعداد a و b تقسیم کرد نامیده می شود بزرگترین مقسوم علیه مشترک(GCD) از این اعداد. با gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) یا hcf(a,b) مشخص می‌شود.

کمترین مضرب مشترک LCM دو عدد صحیح a و b کوچکترین عدد طبیعی است که بدون باقیمانده بر a و b بخش پذیر است. LCM(a,b) یا lcm(a,b) نشان داده می شود.

اعداد صحیح a و b نامیده می شوند دوطرفه نخست، اگر هیچ مقسوم علیه مشترک دیگری غیر از +1 و -1 نداشته باشند.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک

بگذارید دو عدد مثبت داده شود الف 1 و الف 2 1). لازم است مقسوم علیه مشترک این اعداد را پیدا کنید، یعنی. چنین عددی را پیدا کنید λ ، که اعداد را تقسیم می کند الف 1 و الف 2 به طور همزمان. بیایید الگوریتم را شرح دهیم.

1) در این مقاله کلمه عدد به صورت یک عدد صحیح درک خواهد شد.

اجازه دهید الف 1 ≥ الف 2 و اجازه دهید

کجا متر 1 , الف 3 تعدادی اعداد صحیح هستند، الف 3 <الف 2 (باقی مانده از تقسیم الف 1 در هر الف 2 باید کمتر باشد الف 2).

بیایید این را فرض کنیم λ تقسیم می کند الف 1 و الف 2 سپس λ تقسیم می کند متر 1 الف 2 و λ تقسیم می کند الف 1 −متر 1 الف 2 =الف 3 (گزاره 2 مقاله تقسیم پذیری اعداد آزمون بخش پذیری). نتیجه می شود که هر مقسوم علیه مشترک الف 1 و الف 2 مقسوم علیه مشترک است الف 2 و الف 3. عکس آن نیز صادق است اگر λ مقسوم علیه مشترک الف 2 و الف 3 سپس متر 1 الف 2 و الف 1 =متر 1 الف 2 +الف 3 نیز بر بخش پذیر است λ . بنابراین مقسوم علیه مشترک الف 2 و الف 3 نیز یک مقسوم علیه مشترک است الف 1 و الف 2. چون الف 3 <الف 2 ≤الف 1، پس می توان گفت که حل مسئله یافتن مقسوم علیه مشترک اعداد است الف 1 و الف 2 به مسئله ساده تر یافتن مقسوم علیه مشترک اعداد کاهش می یابد الف 2 و الف 3 .

اگر الف 3 ≠0، سپس می توانیم تقسیم کنیم الف 2 در هر الف 3. سپس

,

کجا متر 1 و الف 4 تعدادی اعداد صحیح هستند، ( الف 4 باقی مانده از تقسیم الف 2 در هر الف 3 (الف 4 <الف 3)). با استدلال مشابه به این نتیجه می رسیم که مقسوم علیه های مشترک اعداد الف 3 و الف 4 با مقسوم علیه های مشترک اعداد منطبق است الف 2 و الف 3 و همچنین با مقسوم علیه های مشترک الف 1 و الف 2. چون الف 1 , الف 2 , الف 3 , الف 4، ... اعدادی هستند که دائماً در حال کاهش هستند و از آنجایی که تعداد محدودی از اعداد صحیح بین آنها وجود دارد. الف 2 و 0، سپس در مرحله ای n، باقی مانده از تقسیم الف n روشن الف n+1 برابر با صفر خواهد بود ( الف n+2 =0).

.

هر مقسوم علیه مشترک λ اعداد الف 1 و الف 2 نیز مقسوم علیه اعداد است الف 2 و الف 3 , الف 3 و الف 4 , .... الف n و الف n+1 . برعکس نیز درست است، مقسوم‌گیرنده‌های مشترک اعداد الف n و الف n+1 نیز مقسوم علیه اعداد هستند الف n-1 و الف n، ....، الف 2 و الف 3 , الف 1 و الف 2. اما مقسوم علیه مشترک اعداد الف n و الف n+1 یک عدد است الف n+1، زیرا الف n و الف n+1 بر بخش پذیر هستند الف n+1 (به یاد داشته باشید که الف n+2 =0). از این رو الف n+1 نیز مقسوم علیه اعداد است الف 1 و الف 2 .

توجه داشته باشید که شماره الف n+1 بزرگترین مقسوم علیه اعداد است الف n و الف n+1 از بزرگترین مقسوم علیه الف n+1 خودش است الف n+1 . اگر الف n+1 را می توان به عنوان حاصلضرب اعداد صحیح نشان داد، سپس این اعداد نیز مقسوم علیه مشترک اعداد هستند. الف 1 و الف 2. شماره الف n+1 نامیده می شود بزرگترین مقسوم علیه مشترکاعداد الف 1 و الف 2 .

اعداد الف 1 و الف 2 می تواند اعداد مثبت یا منفی باشد. اگر یکی از اعداد برابر با صفر باشد، بزرگترین مقسوم علیه مشترک این اعداد برابر با قدر مطلق عدد دیگر خواهد بود. بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد صفر تعریف نشده است.

الگوریتم فوق نامیده می شود الگوریتم اقلیدسیبرای پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد صحیح.

مثالی از یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد

بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد 630 و 434 را پیدا کنید.

• مرحله 1. عدد 630 را بر 434 تقسیم کنید. باقیمانده 196 است.
• مرحله 2. عدد 434 را بر 196 تقسیم کنید. باقیمانده 42 است.
• مرحله 3. عدد 196 را بر 42 تقسیم کنید. باقیمانده 28 است.
• مرحله 4. عدد 42 را بر 28 تقسیم کنید باقیمانده 14 است.
• مرحله 5. عدد 28 را بر 14 تقسیم کنید، باقیمانده 0 است.

در مرحله 5 باقیمانده تقسیم 0 است.بنابراین بزرگترین مقسوم علیه اعداد 630 و 434 14 است.توجه داشته باشید که اعداد 2 و 7 نیز مقسوم علیه اعداد 630 و 434 هستند.

اعداد همزمان اول

تعریف 1. بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد را بگذارید الف 1 و الف 2 برابر یک است. سپس این اعداد فراخوانی می شوند اعداد همزمان اول، بدون مقسوم علیه مشترک.

قضیه 1. اگر الف 1 و الف 2 عدد همزمان اول و λ یک عدد، سپس هر مقسوم علیه مشترک اعداد λa 1 و الف 2 نیز مقسوم علیه مشترک اعداد است λ و الف 2 .

اثبات الگوریتم اقلیدسی را برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد در نظر بگیرید الف 1 و الف 2 (به بالا مراجعه کنید).

.

از شرایط قضیه چنین بر می آید که بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد الف 1 و الف 2 و بنابراین الف n و الف n+1 1 است الف n+1 =1.

بیایید همه این برابری ها را در ضرب کنیم λ ، سپس

.

اجازه دهید مقسوم علیه مشترک الف 1 λ و الف 2 بله δ . سپس δ به عنوان ضریب در گنجانده شده است الف 1 λ , متر 1 الف 2 λ و در الف 1 λ -متر 1 الف 2 λ =الف 3 λ (به "تقسیم پذیری اعداد"، بیانیه 2 مراجعه کنید). بعدی δ به عنوان ضریب در گنجانده شده است الف 2 λ و متر 2 الف 3 λ ، و بنابراین، به عنوان یک عامل در گنجانده شده است الف 2 λ -متر 2 الف 3 λ =الف 4 λ .

با این استدلال، ما متقاعد شده ایم که δ به عنوان ضریب در گنجانده شده است الف n-1 λ و متر n-1 الف n λ ، و بنابراین در الف n-1 λ −متر n-1 الف n λ =الف n+1 λ . چون الف n+1 =1، سپس δ به عنوان ضریب در گنجانده شده است λ . بنابراین تعداد δ مقسوم علیه مشترک اعداد است λ و الف 2 .

اجازه دهید موارد خاصی از قضیه 1 را در نظر بگیریم.

نتیجه 1. اجازه دهید الفو جاعداد اول نسبتا هستند ب. سپس محصول آنها acیک عدد اول نسبت به ب.

واقعا از قضیه 1 acو بدارای مقسوم علیه های مشترک مشابه هستند جو ب. اما اعداد جو بنسبتا ساده، یعنی دارای یک مقسوم علیه مشترک 1. سپس acو بهمچنین دارای یک مقسوم علیه مشترک 1. بنابراین acو بمتقابل ساده

نتیجه 2. اجازه دهید الفو باعداد coprime و let بتقسیم می کند ak. سپس بتقسیم می کند و ک.

واقعا از شرط تایید akو بمقسوم علیه مشترک دارند ب. به موجب قضیه 1، بباید مقسوم علیه مشترک باشد بو ک. از این رو بتقسیم می کند ک.

نتیجه 1 را می توان تعمیم داد.

نتیجه 3. 1. اجازه دهید اعداد الف 1 , الف 2 , الف 3 , ..., الف m نسبت به عدد اول هستند ب. سپس الف 1 الف 2 , الف 1 الف 2 · الف 3 , ..., الف 1 الف 2 الف 3 ··· الف m، حاصل ضرب این اعداد نسبت به عدد اول است ب.

2. اجازه دهید دو ردیف اعداد داشته باشیم

به طوری که هر عدد در سری اول به نسبت هر عدد در سری دوم اول است. سپس محصول

شما باید اعدادی را پیدا کنید که بر هر یک از این اعداد بخش پذیر باشند.

اگر عددی بر بخش پذیر باشد الف 1، سپس فرم را دارد sa 1 کجا ستعدادی عدد اگر qبزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد است الف 1 و الف 2، سپس

کجا س 1 مقداری عدد صحیح است. سپس

است حداقل مضرب مشترک اعداد الف 1 و الف 2 .

الف 1 و الف 2 نسبتا اول هستند، سپس کمترین مضرب مشترک اعداد هستند الف 1 و الف 2:

ما باید حداقل مضرب مشترک این اعداد را پیدا کنیم.

از موارد فوق چنین نتیجه می شود که هر مضرب اعداد الف 1 , الف 2 , الف 3 باید مضرب اعداد باشد ε و الف 3 و برگشت. حداقل مضرب مشترک اعداد را بگذارید ε و الف 3 بله ε 1. بعد، مضرب اعداد الف 1 , الف 2 , الف 3 , الف 4 باید مضرب اعداد باشد ε 1 و الف 4. حداقل مضرب مشترک اعداد را بگذارید ε 1 و الف 4 بله ε 2. بنابراین، ما متوجه شدیم که همه مضرب اعداد الف 1 , الف 2 , الف 3 ,...,الف m منطبق بر مضرب یک عدد معین است ε n که کمترین مضرب مشترک اعداد داده شده نامیده می شود.

در حالت خاص که اعداد الف 1 , الف 2 , الف 3 ,...,الف m نسبتا اول هستند، سپس کمترین مضرب مشترک اعداد هستند الف 1 , الف 2، همانطور که در بالا نشان داده شده است، شکل (3) دارد. بعد، از زمان الف 3 عدد اول نسبت به اعداد الف 1 , الف 2 سپس الف 3 عدد اول الف 1 · الف 2 (نتیجه 1). به معنای کمترین مضرب مشترک اعداد است الف 1 ,الف 2 ,الف 3 یک عدد است الف 1 · الف 2 · الف 3. با استدلال مشابه به گزاره های زیر می رسیم.

بیانیه 1. کمترین مضرب مشترک اعداد هم اول الف 1 , الف 2 , الف 3 ,...,الف m برابر حاصلضرب آنهاست الف 1 · الف 2 · الف 3 ··· الفمتر

بیانیه 2. هر عددی که بر هر یک از اعداد همزمان اول بخش پذیر باشد الف 1 , الف 2 , الف 3 ,...,الف m نیز بر حاصلضرب آنها قابل تقسیم است الف 1 · الف 2 · الف 3 ··· الفمتر

اما بسیاری از اعداد طبیعی بر سایر اعداد طبیعی نیز بخش پذیر هستند.

به عنوان مثال:

عدد 12 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12 بخش پذیر است.

عدد 36 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12، بر 18، بر 36 بخش پذیر است.

اعدادی که عدد بر یک کل بخش پذیر است (برای 12 اینها 1، 2، 3، 4، 6 و 12 هستند) نامیده می شوند. مقسوم علیه اعداد. مقسوم علیه یک عدد طبیعی الف- یک عدد طبیعی است که یک عدد معین را تقسیم می کند الفبدون اثری عدد طبیعی که بیش از دو مقسوم علیه داشته باشد نامیده می شود کامپوزیت.

لطفا توجه داشته باشید که اعداد 12 و 36 دارای فاکتورهای مشترک هستند. این اعداد عبارتند از: 1، 2، 3، 4، 6، 12. بزرگترین مقسوم علیه این اعداد 12 است. مقسوم علیه مشترک این دو عدد الفو ب- این عددی است که هر دو عدد داده شده بدون باقیمانده بر آن تقسیم می شوند الفو ب.

مضرب های مشترکچند عدد عددی است که بر هر یک از این اعداد بخش پذیر است. به عنوان مثال، اعداد 9، 18 و 45 مضرب مشترک 180 دارند. اما 90 و 360 نیز مضرب مشترک آنها هستند. در میان همه مضرب های مشترک همیشه کوچکترین یک وجود دارد، in در این مورداین 90 است. این عدد نامیده می شود کوچکترینچندگانه مشترک (CMM).

LCM همیشه یک عدد طبیعی است که باید بزرگتر از بزرگترین اعدادی باشد که برای آن تعریف شده است.

حداقل مضرب مشترک (LCM). خواص.

جابجایی:

انجمنی:

به ویژه، اگر و - اعداد همزمان اول، این که:

حداقل مضرب مشترک دو اعداد صحیح مترو nمقسوم علیه همه مضرب های مشترک دیگر است مترو n. علاوه بر این، مجموعه ای از مضرب های مشترک m، nمنطبق با مجموعه مضربهای LCM ( m، n).

مجانبی برای را می توان در قالب برخی از توابع نظری اعداد بیان کرد.

بنابراین، عملکرد چبیشف. و همچنین:

این از تعریف و ویژگی های تابع لاندو به دست می آید g(n).

آنچه از قانون توزیع اعداد اول به دست می آید.

یافتن حداقل مضرب مشترک (LCM).

NOC( الف، ب) به چند روش قابل محاسبه است:

1. اگر شناخته شده باشد بزرگترین مقسوم علیه مشترک، می توانید از اتصال آن با LOC استفاده کنید:

2. اجازه دهید تجزیه متعارف هر دو عدد به عوامل اول مشخص شود:

کجا p 1,...,p k- اعداد اول مختلف و d 1،...،d kو e 1,...,e k- اعداد صحیح غیر منفی (اگر عدد اول مربوطه در بسط نباشد، می توانند صفر باشند).

سپس NOC ( الف,ب) با فرمول محاسبه می شود:

به عبارت دیگر، تجزیه LCM شامل تمام مواد اولیه است ضرب کننده ها، حداقل در یکی از بسط اعداد گنجانده شده است الف، ب، و بزرگترین از دو توان این ضریب گرفته می شود.

مثال:

محاسبه حداقل مضرب مشترک چند عدد را می توان به چندین محاسبه متوالی LCM دو عدد تقلیل داد:

قانون.برای پیدا کردن LCM یک سری اعداد، شما نیاز دارید:

- اعداد را به عوامل اول تجزیه کنید.

- بزرگترین تجزیه ( حاصل ضرب ضرایب بیشترین تعداد داده شده) را به عوامل حاصلضرب مورد نظر منتقل کنید و سپس عواملی را از تجزیه اعداد دیگری که در عدد اول ظاهر نمی شوند یا در آن ظاهر می شوند اضافه کنید. دفعات کمتر؛

- حاصل ضرب ضرایب اول LCM اعداد داده شده خواهد بود.

هر دو یا چند عدد طبیعی LCM خود را دارند. اگر اعداد مضرب یکدیگر نباشند یا عوامل یکسانی در بسط نداشته باشند، LCM آنها برابر است با کار کردناین اعداد

ضرایب اول عدد 28 (2، 2، 7) با ضریب 3 (عدد 21) تکمیل می شود، حاصل ضرب (84) کوچکترین عددی خواهد بود که بر 21 و 28 بخش پذیر است.

ضرایب اول بزرگترین عدد 30 با ضریب 5 عدد 25 تکمیل می شود، حاصل ضرب 150 بزرگتر از بزرگترین عدد 30 است و بر تمام اعداد داده شده بدون باقیمانده بخش پذیر است. این کوچکترین حاصل ضرب ممکن (150، 250، 300...) است که مضرب همه اعداد داده شده است.

اعداد 2،3،11،37 اعداد اول هستند، بنابراین LCM آنها برابر است با حاصلضرب اعداد داده شده.

قانون. برای محاسبه LCM اعداد اول، باید همه این اعداد را در هم ضرب کنید.

گزینه دیگر:

برای پیدا کردن کمترین مضرب مشترک (LCM) از چندین عدد به موارد زیر نیاز دارید:

1) هر عدد را به عنوان حاصلضرب عوامل اول آن نشان دهید، به عنوان مثال:

504 = 2 2 2 3 3 7،

2) توان همه عوامل اول را بنویسید:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1،

3) تمام مقسوم علیه های اول (ضرب) هر یک از این اعداد را بنویسید.

4) بیشترین درجه هر یک از آنها را که در همه بسط های این اعداد یافت می شود انتخاب کنید.

5) این قدرت ها را چند برابر کنید.

مثال. LCM اعداد: 168، 180 و 3024 را بیابید.

راه حل. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1،

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1،

3024 = 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

ما بزرگترین قدرت های همه مقسوم علیه های اول را می نویسیم و آنها را ضرب می کنیم:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

مضرب های مشترک

به بیان ساده، هر عدد صحیحی که بر هر یک از اعداد داده شده بخش پذیر باشد، می باشد مضرب مشترکاعداد صحیح داده شده

می توانید مضرب مشترک دو یا چند عدد صحیح را پیدا کنید.

مثال 1

مضرب مشترک دو عدد را محاسبه کنید: $2$ و $5$.

راه حل.

طبق تعریف، مضرب مشترک $2$ و $5$10$ است، زیرا مضربی از عدد $2$ و عدد $5$ است:

مضرب های رایج اعداد $2$ و $5$ نیز اعداد $–10، 20، –20، 30، –30$ و غیره خواهند بود، زیرا همه آنها به اعداد $2 و $5 $ تقسیم می شوند.

تبصره 1

صفر مضرب مشترک هر تعداد اعداد صحیح غیر صفر است.

با توجه به خصوصیات بخش پذیری، اگر عدد معینی مضرب مشترک چند عدد باشد، عدد مقابل در علامت نیز مضرب مشترک اعداد داده شده خواهد بود. این را می توان از مثال در نظر گرفت.

برای اعداد صحیح داده شده، همیشه می توانید مضرب مشترک آنها را پیدا کنید.

مثال 2

مضرب مشترک 111 دلار و 55 دلار را محاسبه کنید.

راه حل.

بیایید اعداد داده شده را ضرب کنیم: $111\div 55=6105$. به راحتی می توان تأیید کرد که عدد $6105$ بر عدد $111$ و عدد $55$ بخش پذیر است:

6105$\div 111=55$;

6105$\div 55=111$.

بنابراین، 6105 دلار مضرب مشترک 111 دلار و 55 دلار است.

پاسخ دهید: مضرب مشترک 111$ و 55$$6105$ است.

اما همانطور که قبلاً در مثال قبلی دیدیم، این مضرب مشترک یک نیست. سایر مضرب های رایج عبارتند از 6105-$، 12210، -12210، 61050، -61050$ و غیره. بنابراین به این نتیجه رسیدیم:

تبصره 2

هر مجموعه ای از اعداد صحیح دارای بی نهایت مضرب مشترک است.

در عمل، آنها محدود به یافتن مضرب مشترک تنها اعداد صحیح مثبت (طبیعی) هستند، زیرا مجموعه مضربهای یک عدد معین و متضاد آن بر هم منطبق هستند.

تعیین حداقل چندگانه مشترک

از بین همه مضرب های اعداد داده شده، کمترین مضرب مشترک (LCM) بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد.

تعریف 2

کمترین مضرب مشترک مثبت اعداد صحیح داده شده است کمترین مضرب مشترکاین اعداد

مثال 3

LCM اعداد $4$ و $7$ را محاسبه کنید.

راه حل.

چون این اعداد هیچ مقسوم علیه مشترکی ندارند، پس $LCM(4,7)=28$.

پاسخ دهید: $NOK (4,7)=28$.

یافتن NOC از طریق GCD

چون ارتباط بین LCM و GCD وجود دارد، با کمک آن می توانید محاسبه کنید LCM دو عدد صحیح مثبت:

تبصره 3

مثال 4

LCM اعداد 232 دلار و 84 دلار را محاسبه کنید.

راه حل.

بیایید از فرمول برای یافتن LCM از طریق GCD استفاده کنیم:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

بیایید GCD اعداد $232$ و $84$ را با استفاده از الگوریتم اقلیدسی پیدا کنیم:

$232=84\cdot 2+64$،

$84=64\cdot 1+20$،

64$=20\cdot 3+4$،

آن ها $GCD(232, 84)=4$.

بیایید $LCC (232, 84)$ را پیدا کنیم:

$NOK (232.84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

پاسخ دهید: $NOK (232.84)=4872$.

مثال 5

$LCD(23,46)$ را محاسبه کنید.

راه حل.

چون $46$ بر $23$ بخش پذیر است، سپس $gcd (23, 46)=23$. بیایید LOC را پیدا کنیم:

$NOK (23.46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

پاسخ دهید: $NOK (23.46)=46$.

بنابراین، می توان فرموله کرد حکومت کند:

تبصره 4

بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کمترین مضرب مشترک مفاهیم کلیدی حسابی هستند که کار با کسرها را بدون زحمت می کنند. LCM و اغلب برای یافتن مخرج مشترک چند کسر استفاده می شود.

مفاهیم اساسی

مقسوم علیه یک عدد صحیح X عدد صحیح دیگری است که X بدون باقی ماندن بر آن تقسیم می شود. به عنوان مثال، مقسوم علیه 4 برابر 2 است و 36 برابر با 4، 6، 9 است. مضرب یک عدد صحیح X، عددی است که بر X بدون باقیمانده بخش پذیر است. مثلاً 3 مضرب 15 و 6 مضرب 12 است.

برای هر جفت اعداد می توانیم مقسوم علیه و مضرب مشترک آنها را پیدا کنیم. به عنوان مثال، برای 6 و 9، مضرب مشترک 18 و مقسوم علیه مشترک 3 است. بدیهی است که جفت ها می توانند چندین مقسوم علیه و مضرب داشته باشند، بنابراین در محاسبات از بزرگترین مقسوم علیه GCD و کوچکترین مضرب LCM استفاده می شود.

کمترین مقسوم علیه بی معنی است، زیرا برای هر عددی همیشه یک است. بزرگترین مضرب نیز بی معنی است، زیرا دنباله مضرب به بی نهایت می رود.

پیدا کردن gcd

روش های زیادی برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک وجود دارد که معروف ترین آنها عبارتند از:

• شمارش متوالی مقسوم علیه ها، انتخاب موارد مشترک برای یک جفت و جستجوی بزرگترین آنها.
• تجزیه اعداد به عوامل تقسیم ناپذیر؛
• الگوریتم اقلیدسی؛
• الگوریتم باینری

امروزه در موسسات آموزشی رایج ترین روش ها تجزیه به فاکتورهای اول و الگوریتم اقلیدسی است. دومی به نوبه خود هنگام حل معادلات دیوفانتین استفاده می شود: جستجوی GCD برای بررسی معادله برای امکان تفکیک در اعداد صحیح مورد نیاز است.

پیدا کردن NOC

کمترین مضرب مشترک نیز با شمارش متوالی یا فاکتورگیری به عوامل غیرقابل تقسیم تعیین می شود. علاوه بر این، اگر بزرگترین مقسوم علیه قبلاً تعیین شده باشد، یافتن LCM آسان است. برای اعداد X و Y، LCM و GCD با رابطه زیر مرتبط هستند:

LCD (X,Y) = X × Y / GCD (X,Y).

به عنوان مثال، اگر GCM(15,18) = 3، LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. واضح ترین مثال استفاده از LCM یافتن مخرج مشترک است که کمترین مضرب مشترک است. کسرهای داده شده

اعداد همزمان اول

اگر یک جفت اعداد مقسوم علیه مشترک نداشته باشند، به چنین جفتی کوپرایم می گویند. gcd برای چنین جفت هایی همیشه برابر با یک است و بر اساس ارتباط بین مقسوم علیه ها و مضرب ها، gcd برای جفت های coprime برابر است با حاصلضرب آنها. به عنوان مثال، اعداد 25 و 28 نسبتاً اول هستند، زیرا آنها مقسوم علیه مشترک ندارند و LCM(25, 28) = 700 که با حاصلضرب آنها مطابقت دارد. هر دو عدد غیر قابل تقسیم همیشه نسبتا اول خواهند بود.

مقسوم علیه مشترک و ماشین حساب چندگانه

با استفاده از ماشین حساب ما می توانید GCD و LCM را برای تعداد دلخواه اعدادی که می توانید انتخاب کنید محاسبه کنید. وظایف محاسبه مقسوم علیه ها و مضرب های مشترک در ریاضی کلاس پنجم و ششم یافت می شود، اما GCD و LCM مفاهیم کلیدی در ریاضیات هستند و در تئوری اعداد، پلان سنجی و جبر ارتباطی استفاده می شوند.

نمونه های زندگی واقعی

مخرج مشترک کسرها

حداقل مضرب مشترک برای یافتن مخرج مشترک چند کسر استفاده می شود. فرض کنید در یک مسئله حسابی باید 5 کسر را جمع کنید:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

برای اضافه کردن کسرها، عبارت باید به یک مخرج مشترک تقلیل یابد، که به مشکل یافتن LCM کاهش می‌یابد. برای انجام این کار، 5 عدد را در ماشین حساب انتخاب کنید و مقادیر مخرج ها را در سلول های مربوطه وارد کنید. این برنامه LCM (8، 9، 12، 15، 18) = 360 را محاسبه می کند. اکنون باید عوامل اضافی را برای هر کسری محاسبه کنید، که به عنوان نسبت LCM به مخرج تعریف می شود. بنابراین ضریب های اضافی به نظر می رسد:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

پس از این، همه کسرها را در ضریب اضافی مربوطه ضرب می کنیم و به دست می آوریم:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

ما به راحتی می توانیم چنین کسرهایی را جمع کنیم و نتیجه را 159/360 بدست آوریم. کسر را 3 کاهش می دهیم و پاسخ نهایی را می بینیم - 53/120.

حل معادلات دیوفانتین خطی

معادلات دیوفانتین خطی عبارت هایی به شکل ax + by = d هستند. اگر نسبت d / gcd(a, b) یک عدد صحیح باشد، معادله در اعداد صحیح قابل حل است. بیایید چند معادله را بررسی کنیم تا ببینیم آیا آنها یک راه حل عدد صحیح دارند یا خیر. ابتدا معادله 150x + 8y = 37 را بررسی می کنیم. با استفاده از یک ماشین حساب، GCD (150.8) = 2 را پیدا می کنیم. 37/2 = 18.5 را تقسیم می کنیم. عدد یک عدد صحیح نیست، بنابراین معادله ریشه عدد صحیح ندارد.

اجازه دهید معادله 1320x + 1760y = 10120 را بررسی کنیم. از یک ماشین حساب برای پیدا کردن GCD(1320, 1760) = 440 استفاده کنید. .

نتیجه گیری

GCD و LCM نقش بزرگی در تئوری اعداد بازی می‌کنند و خود این مفاهیم به‌طور گسترده در زمینه‌های متنوعی از ریاضیات استفاده می‌شوند. از ماشین حساب ما برای محاسبه بزرگترین مقسوم علیه و کوچکترین مضرب هر تعداد اعداد استفاده کنید.