مثال های تابع نمایی معادلات و نابرابری های نمایی

هایپر مارکت دانش >>ریاضی >>ریاضی پایه دهم >>

تابع نمایی، خواص و نمودار آن

بیایید عبارت 2x را در نظر بگیریم و مقادیر آن را برای مقادیر مختلف منطقی متغیر x پیدا کنیم، به عنوان مثال، برای x = 2.

به طور کلی، مهم نیست که چه معنای منطقی را به متغیر x نسبت می دهیم، همیشه می توانیم مقدار عددی متناظر عبارت 2 x را محاسبه کنیم. بنابراین، ما می توانیم در مورد نمایی صحبت کنیم توابع y=2 x، بر روی مجموعه Q از اعداد گویا تعریف شده است:

بیایید به برخی از ویژگی های این تابع نگاه کنیم.

ملک 1.- افزایش عملکرد ما اثبات را در دو مرحله انجام می دهیم.
مرحله اول.اجازه دهید ثابت کنیم که اگر r یک عدد گویا مثبت است، آنگاه 2 r>1 است.
دو حالت ممکن است: 1) r یک عدد طبیعی است، r = n; 2) غیر قابل کاهش معمولی کسری,

در سمت چپ آخرین نابرابری داریم و در سمت راست 1. این بدان معناست که آخرین نابرابری را می توان به شکل بازنویسی کرد.

بنابراین، در هر صورت، نابرابری 2 r > 1 برقرار است، این همان چیزی است که باید ثابت شود.

مرحله دوم.بگذارید x 1 و x 2 اعداد باشند و x 1 و x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(تفاوت x 2 - x 1 را با حرف r نشان دادیم).

از آنجایی که r یک عدد گویا مثبت است، پس با آنچه در مرحله اول ثابت شد، 2 r > 1، یعنی. 2 r -1 > 0. عدد 2x" نیز مثبت است، به این معنی که حاصلضرب 2 x-1 (2 Г -1) نیز مثبت است. بنابراین ما ثابت کردیم که نابرابری 2 Xg -2x" > 0.

بنابراین، از نابرابری x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

ملک 2.محدود از پایین و نه محدود از بالا.
مرزبندی تابع از زیر از نابرابری 2 x > 0 حاصل می شود که برای هر مقدار x از دامنه تعریف تابع معتبر است. در عین حال، مهم نیست که چه عدد مثبت M را می گیرید، همیشه می توانید یک توان x را طوری انتخاب کنید که نابرابری 2 x >M برآورده شود - که مشخص کننده نامحدود بودن تابع از بالا است. اجازه دهید تعدادی مثال بزنیم.

ملک 3.نه کوچکترین و نه بزرگترین ارزش را دارد.

بدیهی است که این تابع از بیشترین اهمیت برخوردار نیست، زیرا همانطور که قبلاً دیدیم، در بالا محدود نشده است. اما از پایین محدود شده است، چرا حداقل مقدار ندارد؟

فرض کنید 2 r کوچکترین مقدار تابع است (r یک نشانگر منطقی است). بیایید یک عدد گویا q را در نظر بگیریم<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

همه اینها خوب است، شما می گویید، اما چرا تابع y-2 x را فقط روی مجموعه اعداد گویا در نظر می گیریم، چرا آن را مانند سایر توابع شناخته شده در کل خط اعداد یا در برخی بازه های پیوسته در نظر نمی گیریم. خط شماره؟ چه چیزی ما را متوقف می کند؟ بیایید به وضعیت فکر کنیم.

خط اعداد نه تنها شامل اعداد گویا، بلکه غیر منطقی نیز می شود. برای توابع مورد مطالعه قبلی، این ما را اذیت نکرد. به عنوان مثال، ما مقادیر تابع y = x2 را برای مقادیر منطقی و غیرمنطقی x به یک اندازه به راحتی پیدا کردیم: کافی بود مقدار داده شده x را مربع کنیم.

اما با تابع y=2 x وضعیت پیچیده تر است. اگر به آرگومان x معنای منطقی داده شود، در اصل x را می توان محاسبه کرد (دوباره به ابتدای پاراگراف برگردید، جایی که دقیقاً این کار را انجام دادیم). اگر به آرگومان x معنای غیر منطقی داده شود چه؟ مثلا چگونه محاسبه کنیم؟ ما هنوز این را نمی دانیم.
ریاضیدانان راهی برای خروج پیدا کرده اند. آنها اینگونه استدلال کردند.

معلوم است که دنباله ای از اعداد گویا را در نظر بگیرید - تقریب اعشاری از یک عدد بر اساس نقطه ضعف:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

واضح است که 1.732 = 1.7320 و 1.732050 = 1.73205. برای جلوگیری از چنین تکراری، آن دسته از اعضای دنباله ای را که به عدد 0 ختم می شوند، کنار می گذاریم.

سپس یک دنباله افزایشی بدست می آوریم:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

بر این اساس، توالی افزایش می یابد

تمام عبارات این دنباله اعداد مثبت کمتر از 22 هستند، یعنی. این دنباله محدود است با توجه به قضیه وایرشتراس (نگاه کنید به § 30)، اگر دنباله ای در حال افزایش و محدود باشد، آنگاه همگرا می شود. علاوه بر این، از § 30 می دانیم که اگر یک دنباله همگرا شود، این کار را فقط تا یک حد انجام می دهد. توافق شد که این محدودیت واحد باید مقدار یک عبارت عددی در نظر گرفته شود. و مهم نیست که یافتن حتی یک مقدار تقریبی عبارت عددی 2 بسیار دشوار است. مهم این است که این یک عدد خاص باشد (بالاخره، ما ترسی نداشتیم که بگوییم که، به عنوان مثال، ریشه یک معادله منطقی است، ریشه یک معادله مثلثاتی، بدون اینکه واقعاً به این اعداد فکر کنید که دقیقاً چه هستند:
بنابراین، ما متوجه شدیم که ریاضیدانان چه معنایی را در نماد 2^ قرار می دهند. به طور مشابه، می توانید تعیین کنید که a چیست و به طور کلی چیست، a یک عدد غیر منطقی و a > 1 است.
اما اگر 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
اکنون می‌توان نه تنها در مورد قدرت‌هایی با شارح‌های عقلانی دلخواه، بلکه در مورد قدرت‌هایی با شارحان واقعی دلخواه صحبت کرد. ثابت شده است که درجه هایی با هر توان واقعی دارای تمام ویژگی های معمول درجه هستند: هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، توان ها جمع می شوند، هنگام تقسیم، آنها کم می شوند، زمانی که یک درجه را به توان می بریم، ضرب می شوند. و غیره اما مهمترین چیز این است که اکنون می توانیم در مورد تابع y-ax تعریف شده در مجموعه همه اعداد واقعی صحبت کنیم.
بیایید به تابع y = 2 x برگردیم و نمودار آن را بسازیم. برای انجام این کار، بیایید جدولی از مقادیر تابع y=2x ایجاد کنیم:

بیایید نقاط روی صفحه مختصات را علامت گذاری کنیم (شکل 194)، آنها یک خط مشخص را مشخص می کنند، بیایید آن را رسم کنیم (شکل 195).

ویژگی های تابع y - 2 x:
1)
2) نه زوج است و نه فرد. 248
3) افزایش می یابد؛

5) نه بزرگترین و نه کوچکترین مقادیر را دارد.
6) پیوسته؛
7)
8) محدب رو به پایین.

اثبات دقیق ویژگی های فهرست شده تابع y-2 x در درس ریاضیات عالی ارائه شده است. برخی از این ویژگی ها را قبلاً به یک درجه یا دیگری مورد بحث قرار دادیم، برخی از آنها به وضوح توسط نمودار ساخته شده نشان داده شده اند (شکل 195 را ببینید). به عنوان مثال، عدم برابری یا عجیب بودن یک تابع از نظر هندسی با عدم تقارن نمودار به ترتیب نسبت به محور y یا نسبت به مبدا مرتبط است.

هر تابعی به شکل y = a x، که در آن a > 1، خواص مشابهی دارد. در شکل 196 در یک سیستم مختصات ساخته شد، نمودارهای توابع y=2 x، y=3 x، y=5 x.

حالا بیایید تابع را در نظر بگیریم و جدولی از مقادیر برای آن ایجاد کنیم:

بیایید نقاط روی صفحه مختصات را علامت گذاری کنیم (شکل 197)، آنها یک خط مشخص را مشخص می کنند، بیایید آن را رسم کنیم (شکل 198).

ویژگی های تابع

1)
2) نه زوج است و نه فرد.
3) کاهش می یابد؛
4) از بالا محدود نمی شود، از پایین محدود می شود.
5) نه بزرگترین و نه کوچکترین مقدار وجود دارد.
6) پیوسته؛
7)
8) محدب رو به پایین.
هر تابعی به شکل y = a x خواص مشابهی دارد، جایی که O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
لطفا توجه داشته باشید: نمودارهای تابع آن ها y=2 x، متقارن حول محور y (شکل 201). این نتیجه عبارت کلی است (نگاه کنید به § 13): نمودارهای توابع y = f(x) و y = f(-x) در مورد محور y متقارن هستند. به طور مشابه، نمودارهای توابع y = 3 x and

برای خلاصه کردن آنچه گفته شد، تعریفی از تابع نمایی ارائه می دهیم و مهمترین ویژگی های آن را برجسته می کنیم.

تعریف.تابعی از فرم را تابع نمایی می نامند.
ویژگی های اصلی تابع نمایی y = a x

نمودار تابع y=a x برای a> 1 در شکل نشان داده شده است. 201 و برای 0<а < 1 - на рис. 202.

منحنی نشان داده شده در شکل. 201 یا 202 توان نامیده می شود. در واقع، ریاضیدانان معمولاً خود تابع نمایی را y = a x می نامند. بنابراین اصطلاح «نما» به دو معنا به کار می‌رود: هم برای نام‌گذاری تابع نمایی و هم برای نام‌گذاری نمودار تابع نمایی. معمولاً معنی واضح است که آیا ما در مورد یک تابع نمایی صحبت می کنیم یا نمودار آن.

به ویژگی هندسی نمودار تابع نمایی y=ax توجه کنید: محور x مجانب افقی نمودار است. درست است، این بیانیه معمولاً به شرح زیر روشن می شود.
محور x مجانب افقی نمودار تابع است

به عبارت دیگر

اولین نکته مهم دانش‌آموزان اغلب اصطلاحات را اشتباه می‌گیرند: تابع قدرت، تابع نمایی. مقایسه کنید:

اینها نمونه هایی از توابع قدرت هستند.

اینها نمونه هایی از توابع نمایی هستند.

به طور کلی، y = x r، که در آن r یک عدد خاص است، یک تابع توان است (آگومان x در پایه درجه موجود است).
y = a، که در آن a یک عدد خاص است (مثبت و متفاوت از 1)، یک تابع نمایی است (آگومان x در توان موجود است).

یک تابع "عجیب" مانند y = x" نه نمایی و نه توان در نظر گرفته می شود (گاهی اوقات نمایی نامیده می شود).

نکته مهم دوم معمولاً یک تابع نمایی با پایه a = 1 یا با پایه a که نابرابری a را برآورده می کند در نظر نمی گیرد.<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 و a واقعیت این است که اگر a = 1 باشد، برای هر مقدار x برابری Ix = 1 برقرار است، بنابراین، تابع نمایی y = a" با a = 1 "تجزیه" به یک تابع ثابت y = 1 است. اگر a = 0 باشد، برای هر مقدار مثبت x 0x = 0 جالب نیست، یعنی تابع y = 0 را می گیریم که برای x> 0 تعریف شده است - این نیز جالب نیست اگر، در نهایت، a.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

قبل از اینکه به حل مثال ها بپردازید، توجه داشته باشید که تابع نمایی با تمام توابعی که تاکنون مطالعه کرده اید تفاوت قابل توجهی دارد. برای مطالعه کامل یک شی جدید، باید آن را از زوایای مختلف، در موقعیت های مختلف در نظر بگیرید، بنابراین نمونه های زیادی وجود خواهد داشت.
مثال 1.

راه حل، الف) با داشتن نمودارهایی از توابع y = 2 x و y = 1 در یک سیستم مختصات، متوجه می شویم (شکل 203) که آنها یک نقطه مشترک دارند (0؛ 1). این بدان معنی است که معادله 2x = 1 دارای یک ریشه واحد x =0 است.

بنابراین، از معادله 2x = 2°، x = 0 به دست می آید.

ب) با داشتن نمودارهایی از توابع y = 2 x و y = 4 در یک سیستم مختصات، متوجه می شویم (شکل 203) که آنها یک نقطه مشترک دارند (2؛ 4). این بدان معنی است که معادله 2x = 4 دارای یک ریشه واحد x = 2 است.

بنابراین، از معادله 2 x = 2 2، x = 2 می گیریم.

ج) و د) بر اساس همین ملاحظات، نتیجه می گیریم که معادله 2 x = 8 دارای یک ریشه است و برای یافتن آن، نیازی به ساخت نمودارهای توابع مربوطه نیست.

واضح است که x = 3، زیرا 2 3 = 8. به همین ترتیب، ما تنها ریشه معادله را پیدا می کنیم

بنابراین، از معادله 2x = 2 3، x = 3 و از معادله 2 x = 2 x، x = -4 را دریافت می کنیم.
ه) نمودار تابع y = 2 x در بالای نمودار تابع y = 1 برای x>0 قرار دارد - این به وضوح در شکل قابل خواندن است. 203. این بدان معنی است که راه حل نابرابری 2x > 1 بازه است
ه) نمودار تابع y = 2 x در زیر نمودار تابع y = 4 در x قرار دارد.<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
احتمالاً متوجه شده‌اید که مبنای همه نتیجه‌گیری‌هایی که هنگام حل مثال 1 انجام می‌شود، خاصیت یکنواختی (افزایش) تابع y = 2 x است. استدلال مشابه به ما امکان می دهد اعتبار دو قضیه زیر را تأیید کنیم.

راه حل.می‌توانید به این صورت ادامه دهید: نموداری از تابع y-3 x بسازید، سپس آن را از محور x با ضریب 3 بکشید، و سپس نمودار حاصل را 2 واحد مقیاس به بالا ببرید. اما راحت تر است که از این واقعیت استفاده کنیم که 3- 3* =3 *+1، و بنابراین، نموداری از تابع y=3 x*1 + 2 بسازیم.

بیایید، همانطور که بارها در چنین مواردی انجام داده‌ایم، به یک سیستم مختصات کمکی با مبدأ در نقطه (-1؛ 2) برویم - خطوط نقطه‌دار x = - 1 و 1x = 2 در شکل. 207. بیایید تابع y=3* را به سیستم مختصات جدید "پیوند" کنیم. برای انجام این کار، نقاط کنترل را برای عملکرد انتخاب کنید ، اما ما آنها را نه در سیستم مختصات قدیمی، بلکه در سیستم مختصات جدید خواهیم ساخت (این نقاط در شکل 207 مشخص شده اند). سپس یک توان از نقاط می سازیم - این نمودار مورد نیاز خواهد بود (شکل 207 را ببینید).
برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع داده شده در بخش [-2, 2]، از این واقعیت استفاده می کنیم که تابع داده شده در حال افزایش است و بنابراین کوچکترین و بزرگترین مقدار خود را به ترتیب در انتهای چپ و راست بخش
بنابراین:

مثال 4.حل معادله و نامساوی:

راه حل، الف) اجازه دهید نمودارهایی از توابع y=5* و y=6-x در یک سیستم مختصات بسازیم (شکل 208). آنها در یک نقطه تلاقی می کنند. با قضاوت در نقاشی، این نقطه (1؛ 5) است. بررسی نشان می دهد که در واقع نقطه (1؛ 5) هم معادله y = 5* و هم معادله y = 6-x را برآورده می کند. آبسیسا این نقطه به عنوان تنها ریشه معادله داده شده عمل می کند.

بنابراین، معادله 5 x = 6 - x دارای یک ریشه واحد x = 1 است.

ب) و ج) توان y-5x بالای خط مستقیم y=6-x قرار دارد، اگر x>1 باشد، این به وضوح در شکل قابل مشاهده است. 208. این بدان معنی است که راه حل نابرابری 5*>6 را می توان به صورت زیر نوشت: x>1. و راه حل نابرابری 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
پاسخ: a)x = 1; ب) x> 1; ج) x<1.

مثال 5.یک تابع داده شده است ثابت کن که
راه حل.با توجه به شرایطی که داریم.

1. یک تابع نمایی تابعی از شکل y(x) = a x است، بسته به توان x، با مقدار ثابت پایه درجه a، که در آن a > 0، a ≠ 0، xϵR (R برابر است با مجموعه ای از اعداد واقعی).

در نظر بگیریم نمودار تابع اگر پایه شرط را برآورده نکند: a>0
الف) الف< 0
اگر الف< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2

اگر a = 0 باشد، تابع y = تعریف شده و مقدار ثابتی برابر با 0 دارد

ج) a = 1
اگر a = 1 باشد، تابع y = تعریف می شود و مقدار ثابت آن 1 است

2. اجازه دهید نگاهی دقیق تر به تابع نمایی بیندازیم:

0

دامنه تابع (DOF)

محدوده مقادیر تابع مجاز (APV)

3. صفرهای تابع (y = 0)

4. نقاط تقاطع با محور oy (x = 0)

5. افزایش، کاهش توابع

اگر، تابع f(x) افزایش می یابد
اگر، تابع f(x) کاهش می یابد
تابع y=، در 0 تابع y = برای a> 1 به صورت یکنواخت افزایش می یابد
این از ویژگی های یکنواختی یک توان با توان واقعی ناشی می شود.

6. زوج، تابع فرد

تابع y = نسبت به محور 0 و نسبت به مبدأ مختصات متقارن نیست، بنابراین نه زوج است و نه فرد. (عملکرد کلی)

7. تابع y = اکستریم ندارد

8. ویژگی های یک درجه با توان واقعی:

بگذارید a > 0; a≠1
b> 0; b≠1

سپس برای x εR; yεR:

ویژگی های یکنواختی درجه:

اگر، پس
به عنوان مثال:

اگر a> 0، پس.
تابع نمایی در هر نقطه ϵ R پیوسته است.

9. موقعیت نسبی تابع

هرچه پایه a بزرگتر باشد به محورهای x و oy نزدیکتر می شود

a > 1، a = 20

اگر a0 باشد، تابع نمایی شکلی نزدیک به y = 0 می گیرد.
اگر a1 باشد، پس از محورهای ox و oy، نمودار شکلی نزدیک به تابع y = 1 به خود می‌گیرد.

مثال 1.
یک نمودار از y = بسازید

اجازه دهید ابتدا تعریف تابع نمایی را معرفی کنیم.

تابع نمایی $f\left(x\right)=a^x$، که در آن $a >1$.

اجازه دهید ویژگی های تابع نمایی را برای $a >1$ معرفی کنیم.

\ \[بدون ریشه\] \

تقاطع با محورهای مختصات. تابع محور $Ox$ را قطع نمی کند، بلکه محور $Oy$ را در نقطه $(0,1)$ قطع می کند.

$f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$

\ \[بدون ریشه\] \

نمودار (شکل 1).

شکل 1. نمودار تابع $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$.

تابع نمایی $f\left(x\right)=a^x$ که $0 است

اجازه دهید ویژگی های تابع نمایی را در 0 دلار معرفی کنیم

دامنه تعریف همه اعداد حقیقی است.

$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- تابع نه زوج است و نه فرد.

$f(x)$ در کل دامنه تعریف پیوسته است.

محدوده مقادیر بازه $(0,+\infty)$ است.

$f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$

\ \[بدون ریشه\] \ \[بدون ریشه\] \

تابع در کل دامنه تعریف محدب است.

رفتار در انتهای دامنه:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]

نمودار (شکل 2).

مثالی از مسئله برای ساخت تابع نمایی

تابع $y=2^x+3$ را کاوش و رسم کنید.

راه حل.

بیایید با استفاده از نمودار مثال بالا مطالعه ای انجام دهیم:

دامنه تعریف همه اعداد حقیقی است.

$f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- تابع نه زوج است و نه فرد.

$f(x)$ در کل دامنه تعریف پیوسته است.

محدوده مقادیر بازه $(3,+\infty)$ است.

$f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$

تابع در کل دامنه تعریف افزایش می یابد.

$f(x)\ge 0$ در کل دامنه تعریف.

تقاطع با محورهای مختصات. تابع محور $Ox$ را قطع نمی کند، بلکه محور $Oy$ را در نقطه ($0,4)$ قطع می کند.

$f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$

تابع در کل دامنه تعریف محدب است.

رفتار در انتهای دامنه:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty) a^x\ )=+ \infty\]

نمودار (شکل 3).

شکل 3. نمودار تابع $f\left(x\right)=2^x+3$

بیایید مقدار عبارت را برای مقادیر مختلف گویا متغیر x=2 پیدا کنیم. 0; -3؛ -

توجه داشته باشید که مهم نیست چه عددی را جایگزین متغیر x می کنیم، همیشه می توانیم مقدار این عبارت را پیدا کنیم. این بدان معنی است که ما یک تابع نمایی (E برابر با سه به توان x) در نظر می گیریم که بر روی مجموعه اعداد گویا تعریف شده است: .

بیایید با تهیه جدولی از مقادیر آن، نموداری از این تابع بسازیم.

بیایید یک خط صاف که از این نقاط می گذرد رسم کنیم (شکل 1)

با استفاده از نمودار این تابع، ویژگی های آن را در نظر می گیریم:

3. در کل منطقه تعریف افزایش می یابد.

1. محدوده مقادیر از صفر تا به علاوه بی نهایت.

8. تابع به سمت پایین محدب است.

اگر نمودار توابع را در یک سیستم مختصات بسازیم. y=(y برابر دو به توان x، y برابر با پنج به توان x، y برابر با هفت به توان x)، سپس می بینید که آنها دارای ویژگی های مشابه y= هستند. (y برابر است با سه به توان x) (شکل .2)، یعنی تمام توابع شکل y = (a برابر است با توان x، برای بزرگتر از یک) چنین ویژگی هایی خواهند داشت.

بیایید تابع را رسم کنیم:

1. تدوین جدول مقادیر آن.

اجازه دهید نقاط به دست آمده را در صفحه مختصات علامت گذاری کنیم.

بیایید یک خط صاف از این نقاط عبور کنیم (شکل 3).

با استفاده از نمودار این تابع، ویژگی های آن را نشان می دهیم:

1. حوزه تعریف مجموعه تمام اعداد حقیقی است.

2. نه زوج است و نه فرد.

3. در کل دامنه تعریف کاهش می یابد.

4. نه بزرگترین و نه کوچکترین مقادیر را دارد.

5. محدود در زیر، اما نه محدود در بالا.

6. پیوسته در کل دامنه تعریف.

7. محدوده مقادیر از صفر تا به علاوه بی نهایت.

8. تابع به سمت پایین محدب است.

به طور مشابه، اگر نمودارهایی از توابع را در یک سیستم مختصات بسازیم. y = (y برابر است با نصف توان x، y برابر است با یک پنجم توان x، y برابر است با یک هفتم توان x)، سپس می توانید متوجه شوید که آنها همان خصوصیات y = (y برابر است با یک سوم توان x (شکل 4)، یعنی تمام توابع شکل y = (y برابر است با یک تقسیم بر a به توان x، با بزرگتر از صفر اما کمتر از یک) چنین ویژگی هایی را خواهد داشت.

بیایید نمودارهای توابع را در یک سیستم مختصات بسازیم

این بدان معنی است که نمودارهای توابع y=y= نیز متقارن خواهند بود (y برابر است با a به توان x و y برابر است با یک تقسیم بر a به توان x) برای همان مقدار a.

اجازه دهید آنچه را که گفته شد با تعریف تابع نمایی و نشان دادن ویژگی های اصلی آن خلاصه کنیم:

تعریف:تابعی به شکل y= که در آن (y برابر است با توان x که a مثبت و متفاوت از یک است)، تابع نمایی نامیده می شود.

لازم است تفاوت بین تابع نمایی y= و تابع توان y=, a=2,3,4,… را به خاطر بسپارید. هم به صورت شنیداری و هم بصری تابع نمایی Xیک قدرت است و برای یک تابع قدرت Xاساس است.

مثال 1: معادله را حل کنید (سه به توان x معادل 9 است)

(Y برابر با سه به توان X و Y برابر با نه) شکل 7

توجه داشته باشید که آنها یک نقطه مشترک M (2;9) دارند (em با مختصات دو؛ نه)، که به این معنی است که آبسیسا نقطه، ریشه این معادله خواهد بود. یعنی معادله یک ریشه دارد x=2.

مثال 2: معادله را حل کنید

در یک سیستم مختصات، دو نمودار از تابع y= می سازیم (y برابر با پنج به توان x و y برابر با یک بیست و پنجم است) شکل 8. نمودارها در یک نقطه T (-2؛ (te با مختصات منهای دو؛ یک بیست و پنجم) قطع می شوند. این بدان معنی است که ریشه معادله x = -2 است (عدد منهای دو).

مثال 3: نابرابری را حل کنید

در یک سیستم مختصات دو نمودار از تابع y= می سازیم

(Y برابر با سه به توان X و Y برابر با بیست و هفت).

شکل 9 نمودار تابع در بالای نمودار تابع y=at قرار دارد

x بنابراین، راه حل نابرابری بازه (از منهای بی نهایت تا سه) است.

مثال 4: نابرابری را حل کنید

در یک سیستم مختصات، دو نمودار از تابع y= می سازیم (y برابر با یک چهارم توان x و y برابر با شانزده است). (شکل 10). نمودارها در یک نقطه K (-2;16) قطع می شوند. این بدان معنی است که راه حل نابرابری بازه (-2؛ (از منهای دو تا به علاوه بی نهایت) است، زیرا نمودار تابع y= زیر نمودار تابع در x قرار دارد.

استدلال ما به ما امکان می دهد اعتبار قضایای زیر را تأیید کنیم:

موضوع 1: اگر درست باشد اگر و فقط اگر m=n باشد.

قضیه 2: اگر درست باشد اگر و فقط اگر، نابرابری درست است اگر و فقط اگر (شکل *)

قضیه 4: اگر درست باشد اگر و فقط اگر (شکل**)، نابرابری اگر و فقط اگر درست است اگر و فقط اگر m=n باشد.

مثال 5: تابع y= را رسم کنید

بیایید تابع را با اعمال ویژگی درجه y= تغییر دهیم

بیایید یک سیستم مختصات اضافی بسازیم و در سیستم مختصات جدید نموداری از تابع y = بسازیم (y برابر دو برابر توان x است) شکل 11.

مثال 6: معادله را حل کنید

در یک سیستم مختصات دو نمودار از تابع y= می سازیم

(Y برابر با هفت به توان X و Y برابر با هشت منهای X است) شکل 12.

نمودارها در یک نقطه E (1؛ (e با مختصات یک؛ هفت) همدیگر را قطع می کنند. این به این معنی است که ریشه معادله x = 1 (x برابر با یک) است.

مثال 7: نابرابری را حل کنید

در یک سیستم مختصات دو نمودار از تابع y= می سازیم

(Y برابر یک چهارم توان X و Y برابر X به اضافه پنج است). نمودار تابع y= در زیر نمودار تابع y=x+5 قرار می گیرد که جواب نامساوی بازه x (از منهای یک تا به علاوه بی نهایت) باشد.