Как высчитать квадратный корень. Извлечение корня
Пришло время разобрать способы извлечения корней . Они базируются на свойствах корней , в частности, на равенстве , которое справедливо для любого неотрицательного числа b.
Ниже мы по очереди рассмотрим основные способы извлечения корней.
Начнем с самого простого случая – с извлечения корней из натуральных чисел с использованием таблицы квадратов, таблицы кубов и т.п.
Если же таблицы квадратов, кубов и т.п. нет под руками, то логично воспользоваться способом извлечения корня, который подразумевает разложение подкоренного числа на простые множители.
Отдельно стоит остановиться на , что возможно для корней с нечетными показателями.
Наконец, рассмотрим способ, позволяющий последовательно находить разряды значения корня.
Приступим.
Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
В самых простых случаях извлекать корни позволяют таблицы квадратов, кубов и т.д. Что же представляют собой эти таблицы?
Таблица квадратов целых чисел от 0 до 99 включительно (она показана ниже) состоит из двух зон. Первая зона таблицы располагается на сером фоне, она с помощью выбора определенной строки и определенного столбца позволяет составить число от 0 до 99 . Для примера выберем строку 8 десятков и столбец 3 единицы, этим мы зафиксировали число 83 . Вторая зона занимает оставшуюся часть таблицы. Каждая ее ячейка находится на пересечении определенной строки и определенного столбца, и содержит квадрат соответствующего числа от 0 до 99 . На пересечении выбранной нами строки 8 десятков и столбца 3 единицы находится ячейка с числом 6 889 , которое является квадратом числа 83 .
Таблицы кубов, таблицы четвертых степеней чисел от 0 до 99 и так далее аналогичны таблице квадратов, только они во второй зоне содержат кубы, четвертые степени и т.д. соответствующих чисел.
Таблицы квадратов, кубов, четвертых степеней и т.д. позволяют извлекать квадратные корни, кубические корни, корни четвертой степени и т.д. соответственно из чисел, находящихся в этих таблицах. Объясним принцип их применения при извлечении корней.
Допустим, нам нужно извлечь корень n
-ой степени из числа a
, при этом число a
содержится в таблице n
-ых степеней. По этой таблице находим число b
такое, что a=b n
. Тогда 
, следовательно, число b
будет искомым корнем n
-ой степени.
В качестве примера покажем, как с помощью таблицы кубов извлекается кубический корень из 19 683
. Находим число 19 683
в таблице кубов, из нее находим, что это число является кубом числа 27
, следовательно, 
.
Понятно, что таблицы n -ых степеней очень удобны при извлечении корней. Однако их частенько не оказывается под руками, а их составление требует определенного времени. Более того, часто приходится извлекать корни из чисел, которые не содержатся в соответствующих таблицах. В этих случаях приходится прибегать к другим методам извлечения корней.
Разложение подкоренного числа на простые множители
Достаточно удобным способом, позволяющим провести извлечение корня из натурального числа (если конечно корень извлекается), является разложение подкоренного числа на простые множители. Его суть заключается в следующем : после его достаточно легко представить в виде степени с нужным показателем, что позволяет получить значение корня. Поясним этот момент.
Пусть из натурального числа a извлекается корень n -ой степени, и его значение равно b . В этом случае верно равенство a=b n . Число b как любое натуральное число можно представить в виде произведения всех своих простых множителей p 1 , p 2 , …, p m в виде p 1 ·p 2 ·…·p m , а подкоренное число a в этом случае представляется как (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Так как разложение числа на простые множители единственно, то разложение подкоренного числа a на простые множители будет иметь вид (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , что дает возможность вычислить значение корня как .
Заметим, что если разложение на простые множители подкоренного числа a не может быть представлено в виде (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , то корень n -ой степени из такого числа a нацело не извлекается.
Разберемся с этим при решении примеров.
Пример.
Извлеките квадратный корень из 144 .
Решение.
Если обратиться к таблице квадратов, данной в предыдущем пункте, то хорошо видно, что 144=12 2 , откуда понятно, что квадратный корень из 144 равен 12 .
Но в свете данного пункта нас интересует, как извлекается корень с помощью разложения подкоренного числа 144 на простые множители. Разберем этот способ решения.
Разложим 144
на простые множители:
То есть, 144=2·2·2·2·3·3
. На основании с полученным разложением можно провести такие преобразования: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2 ·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2
. Следовательно, 
.
Используя свойства степени и свойства корней , решение можно было оформить и немного иначе: .
Ответ:
Для закрепления материала рассмотрим решения еще двух примеров.
Пример.
Вычислите значение корня .
Решение.
Разложение на простые множители подкоренного числа 243
имеет вид 243=3 5
. Таким образом, 
.
Ответ:
Пример.
Является ли значение корня целым числом?
Решение.
Чтобы ответить на этот вопрос, разложим подкоренное число на простые множители и посмотрим, представимо ли оно в виде куба целого числа.
Имеем 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 . Полученное разложение не представляется в виде куба целого числа, так как степень простого множителя 7 не кратна трем. Следовательно, кубический корень из числа 285 768 не извлекается нацело.
Ответ:
Нет.
Извлечение корней из дробных чисел
Пришло время разобраться, как извлекается корень из дробного числа. Пусть дробное подкоренное число записано в виде как p/q . Согласно свойству корня из частного справедливо следующее равенство . Из этого равенства следует правило извлечения корня из дроби : корень из дроби равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.
Разберем пример извлечения корня из дроби.
Пример.
Чему равен квадратный корень из обыкновенной дроби 25/169 .
Решение.
По таблице квадратов находим, что квадратный корень из числителя исходной дроби равен 5
, а квадратный корень из знаменателя равен 13
. Тогда 
. На этом извлечение корня из обыкновенной дроби 25/169
завершено.
Ответ:
Корень из десятичной дроби или смешанного числа извлекается после замены подкоренных чисел обыкновенными дробями.
Пример.
Извлеките кубический корень из десятичной дроби 474,552 .
Решение.
Представим исходную десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 474,552=474552/1000
. Тогда 
. Осталось извлечь кубические корни, находящиеся в числителе и знаменателе полученной дроби. Так как 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=
(2·3·13) 3 =78 3
и 1 000=10 3
, то 
и 
. Осталось лишь завершить вычисления 
.
Ответ:
.
Извлечение корня из отрицательного числа
Отдельно стоит остановиться на извлечении корней из отрицательных чисел. При изучении корней мы сказали, что когда показатель корня является нечетным числом, то под знаком корня может находиться отрицательное число. Таким записям мы придали следующий смысл: для отрицательного числа −a
и нечетного показателя корня 2·n−1
справедливо 
. Это равенство дает правило извлечения корней нечетной степени из отрицательных чисел
: чтобы извлечь корень из отрицательного числа нужно извлечь корень из противоположного ему положительного числа, и перед полученным результатом поставить знак минус.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Найдите значение корня .
Решение.
Преобразуем исходное выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительное число: 
. Теперь смешанное число заменим обыкновенной дробью: 
. Применяем правило извлечения корня из обыкновенной дроби: 
. Осталось вычислить корни в числителе и знаменателе полученной дроби: 
.
Приведем краткую запись решения: 
.
Ответ:
.
Порязрядное нахождение значения корня
В общем случае под корнем находится число, которое при помощи разобранных выше приемов не удается представить в виде n -ой степени какого-либо числа. Но при этом бывает необходимость знать значение данного корня, хотя бы с точностью до некоторого знака. В этом случае для извлечения корня можно воспользоваться алгоритмом, который позволяет последовательно получить достаточное количество значений разрядов искомого числа.
На первом шаге данного алгоритма нужно выяснить, каков старший разряд значения корня. Для этого последовательно возводятся в степень n числа 0, 10, 100, … до того момента, когда будет получено число, превосходящее подкоренное число. Тогда число, которое мы возводили в степень n на предыдущем этапе, укажет соответствующий старший разряд.
Для примера рассмотрим этот шаг алгоритма при извлечении квадратного корня из пяти. Берем числа 0, 10, 100, … и возводим их в квадрат, пока не получим число, превосходящее 5 . Имеем 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , значит, старшим разрядом будет разряд единиц. Значение этого разряда, а также более младших, будет найдено на следующих шагах алгоритма извлечения корня.
Все следующие шаги алгоритма имеют целью последовательное уточнение значения корня за счет того, что находятся значения следующих разрядов искомого значения корня, начиная со старшего и продвигаясь к младшим. К примеру, значение корня на первом шаге получается 2 , на втором – 2,2 , на третьем – 2,23 , и так далее 2,236067977… . Опишем, как происходит нахождение значений разрядов.
Нахождение разрядов проводится за счет перебора их возможных значений 0, 1, 2, …, 9 . При этом параллельно вычисляются n -ые степени соответствующих чисел, и они сравниваются с подкоренным числом. Если на каком-то этапе значение степени превзойдет подкоренное число, то значение разряда, соответствующее предыдущему значению, считается найденным, и производится переход к следующему шагу алгоритма извлечения корня, если же этого не происходит, то значение этого разряда равно 9 .
Поясним эти моменты все на том же примере извлечения квадратного корня из пяти.
Сначала находим значение разряда единиц. Будем перебирать значения 0, 1, 2, …, 9
, вычисляя соответственно 0 2 , 1 2 , …, 9 2
до того момента, пока не получим значение, большее подкоренного числа 5
. Все эти вычисления удобно представлять в виде таблицы:
Так значение разряда единиц равно 2
(так как 2 2 <5
, а 2 3 >5
). Переходим к нахождению значения разряда десятых. При этом будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9
, сравнивая полученные значения с подкоренным числом 5
:
Так как 2,2 2 <5
, а 2,3 2 >5
, то значение разряда десятых равно 2
. Можно переходить к нахождению значения разряда сотых:
Так найдено следующее значение корня из пяти, оно равно 2,23 . И так можно продолжать дальше находить значения : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.
Сначала определяем старший разряд. Для этого возводим в куб числа 0, 10, 100 и т.д. пока не получим число, превосходящее 2 151,186 . Имеем 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , таким образом, старшим разрядом является разряд десятков.
Определим его значение.
Так как 10 3 <2 151,186
, а 20 3 >2 151,186
, то значение разряда десятков равно 1
. Переходим к единицам.
Таким образом, значение разряда единиц равно 2
. Переходим к десятым.
Так как даже 12,9 3
меньше подкоренного числа 2 151,186
, то значение разряда десятых равно 9
. Осталось выполнить последний шаг алгоритма, он нам даст значение корня с требуемой точностью.
На этом этапе найдено значение корня с точностью до сотых: 
.
В заключение этой статьи хочется сказать, что существует масса других способов извлечения корней. Но для большинства задач достаточно тех, которые мы изучили выше.
Список литературы.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).
Извлечение корня – обратная операция возведению степени. То есть Извлекая корень из числа Х, получим число, которое в квадрате даст то самое число Х.
Извлечение корня довольно-таки несложная операция. Таблица квадратов сможет облегчить работу по извлечению. Потому что, наизусть помнить все квадраты и корни невозможно, а числа могут встретиться большие.
Извлечение корня из числа
Извлечение квадратного корня из числа – просто. Тем более что это можно делать не сразу, а постепенно. Например, возьмем выражение √256. Изначально, незнающему человеку сложно дать ответ сразу. Тогда будем делать по шагам. Сначала разделим на просто число 4, из которого вынесем за корень выделенный квадрат.
Изобразим: √(644), тогда это будет равносильно 2√64. А как известно, по таблице умножения 64=8 8. Ответ будет 2*8=16.
Запишитесь на курс "Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика", чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.
Извлечение комплексного корня
Корень квадратный не может вычисляться из отрицательных чисел, потому что любое число в квадрате – положительное число!
Комплексное число – число i, которое в квадрате равно -1. То есть i2=-1.
В математике существует число, которое получается при извлечении корня из числа -1.
То есть есть возможность вычислить корень из отрицательного числа, но это уже относится к высшей математике, не школьной.
Рассмотрим пример такого извлечения корня: √(-49)=7*√(-1)=7i.
Калькулятор корня онлайн
С помощью нашего калькулятора, Вы сможете посчитать извлечение числа из квадратного корня:
Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения корня
Суть преобразования подкоренных выражений в разложении подкоренного числа на более простые, из которых можно извлечь корень. Такие как 4, 9, 25 и так далее.
Приведем пример, √625. Поделим подкоренное выражение на число 5. Получим √(1255), повторим операцию √(25 25), но мы знаем, что 25 это 52. А значит ответом будет 5*5=25.
Но бывают числа, у которых корень таким методом не вычислить и просто нужно знать ответ или иметь таблицу квадратов под рукой.
√289=√(17*17)=17
Итог
Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше - записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет - НЕ ментальная арифметика.
Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.
Извлечение корня из большого числа. Дорогие друзья! В этой статье мы с вами разберём как извлекать корень из большого числа без калькулятора. Это необходимо не только для решения некоторых типов задач ЕГЭ (есть такие — на движение), но и для общего математического развития этот аналитический приём знать желательно.
Казалось бы, всё просто: разложи на множители, да извлекай. Проблемы нет. Например число 291600 при разложении даст произведение:
Вычисляем:
Есть одно НО! Способ хорош если легко определяются делители 2, 3, 4 и так далее. А что делать если число, из которого мы извлекаем корень является произведением простых чисел? Например 152881 является произведением чисел 17, 17, 23, 23. Попробуй-ка сходу найди эти делители.
Суть рассматриваемого нами метода - это чистый анализ. Корень при наработанном навыке находится быстро. Если навык не отработан, а просто понят подход, то немного медленнее, но всё же определяется.
Извлечём корень из 190969.
Сначала определим — между какими числами (кратными ста) лежит наш результат.
Очевидно, что результат корня из данного числа лежит в пределах от 400 до 500, так как
400 2 =160000 и 500 2 =250000
Действительно:
посредине, ближе к 160 000 или к 250 000?
Число 190969 находится примерно посредине, но все же ближе к 160000. Можно сделать вывод, что результат нашего корня будет меньше 450. Проверим:
Действительно, он меньше 450, так как 190 969 < 202 500.
Теперь проверим число 440:
Значит наш результат меньше 440, так как 190 969 < 193 600.
Проверяем число 430:
Мы установили, что результат данного корня лежит в пределах от 430 до 440.
Произведение чисел имеющих на конце 1 или 9 дают число с 1 в конце. Например, 21 на 21 равно 441.
Произведение чисел имеющих на конце 2 или 8 дают число с 4 в конце. Например, 18 на 18 равно 324.
Произведение чисел имеющих на конце 5 дают число с 5 в конце. Например, 25 на 25 равно 625.
Произведение чисел имеющих на конце 4 или 6 дают число с 6 в конце. Например 26 на 26 равно 676.
Произведение чисел имеющих на конце 3 или 7 дают число с 9 в конце. Например, 17 на 17 равно 289.
Так как число 190969 заканчивается цифрой 9, то это произведение либо числа 433, либо 437.
*Только они при возведении в квадрат могут дать 9 в конце.
Проверяем:
Значит результат корня будет равен 437.
То есть, мы как бы «нащупали» верный ответ.
Как видите, максимум что потребуется это осуществить 5 действий столбиком. Возможно, вы сразу попадёте в точку, или сделаете всего три действия. Всё зависит о того, как точно вы сделаете начальную оценку числа.
Извлеките самостоятельно корень из 148996
Такой дискриминант получается в задаче:
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 336 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Посмотреть решение
Результат корня находится между числами 300 и 400:
300 2 =90000 400 2 =160000
Действительно, 90000<148996<160000.
Суть дальнейших рассуждений сводится к тому, чтобы определить, как число 148996 расположено (отстоит) относительно этих чисел.
Вычислим разности 148996 - 90000=58996 и 160000 - 148996=11004.
Получается, что 148996 близко (на много ближе) к 160000. Поэтому, результат корня однозначно будет больше 350 и даже 360.
Можем сделать вывод, что наш результат больше 370. Далее ясно: так как 148996 оканчивается цифрой 6, то это означает, что в квадрат надо возводить число, оканчивающееся либо на 4, либо на 6. *Только эти числа при возведении в квадрат дают в конце 6.
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Ученики всегда спрашивают: «Почему нельзя пользоваться калькулятором на экзамене по математике? Как извлечь корень квадратный из числа без калькулятора?» Попробуем ответить на этот вопрос.
Как же извлечь корень квадратный из числа без помощи калькулятора?
Действие извлечения корня квадратного обратно действию возведения в квадрат.
√81= 9 9 2 =81
Если из положительного числа извлечь корень квадратный и результат возвести в квадрат, получим то же число.
Из небольших чисел, являющихся точными квадратами натуральных чисел, например 1, 4, 9, 16, 25, …,100 квадратные корни можно извлечь устно. Обычно в школе учат таблицу квадратов натуральных чисел до двадцати. Зная эту таблицу легко извлечь корни квадратные из чисел 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Из чисел больших 400 можно извлекать методом подбора используя, некоторые подсказки. Давайте попробуем на примере рассмотреть этот метод.
Пример: Извлечь корень из числа 676 .
Замечаем, что 20 2 = 400, а 30 2 = 900, значит 20 < √676 < 900.
Точные квадраты натуральных чисел оканчиваются цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Цифру 6 дают 4 2 и 6 2 .
Значит, если из 676 извлекается корень, то это либо 24, либо 26.
Осталось проверить: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Ответ: √676 = 26 .
Еще пример: √6889 .
Так как 80 2 = 6400, а 90 2 = 8100, то 80 < √6889 < 90.
Цифру 9 дают 3 2 и 7 2 , то √6889 равен либо 83, либо 87.
Проверяем: 83 2 = 6889.
Ответ: √6889 = 83 .
Если затрудняетесь решать методом подбора, то можно подкоренное выражение разложить на множители.
Например, найти √893025 .
Разложим число 893025 на множители, вспомните, вы делали это в шестом классе.
Получаем: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Еще пример: √20736 . Разложим число 20736 на множители:
Получаем √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Конечно, разложение на множители требует знания признаков делимости и навыков разложения на множители.
И, наконец, есть же правило извлечение корней квадратных . Давайте познакомимся с этим правилом на примерах.
Вычислите √279841 .
Чтобы извлечь корень из многоцифрового целого числа, разбиваем его справа налево на грани, содержащие по 2 цифры (в левой крайней грани может оказаться и одна цифра). Записываем так 27’98’41
Чтобы получить первую цифру корня (5), извлекаем квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой слева грани (27).
Потом вычитают из первой грани квадрат первой цифры корня (25) и к разности приписывают (сносят) следующую грань (98).
Слева от полученного числа 298 пишут удвоенную цифру корня (10), делят на нее число всех десятков раннее полученного числа (29/2 ≈ 2), испытывают частное (102 ∙2 = 204 должно быть не больше 298) и записывают (2) после первой цифры корня.
Потом вычитают от 298 полученное частное 204 и к разности (94) приписывают (сносят) следующую грань (41).
Слева от полученного числа 9441 пишут удвоенное произведение цифр корня (52 ∙2 = 104), делят на это произведение число всех десятков числа 9441 (944/104 ≈ 9), испытывают частное (1049 ∙9 = 9441) должно быть 9441 и записывают его (9) после второй цифры корня.
Получили ответ √279841 = 529.
Аналогично извлекают корни из десятичных дробей . Только подкоренное число надо разбивать на грани так, чтобы запятая была между гранями.
Пример . Найдите значение √0,00956484.
Только надо помнить, что если десятичная дробь имеет нечетное число десятичных знаков, из нее точно квадратный корень не извлекается .
Итак, теперь вы познакомились с тремя способами извлечения корня. Выбирайте тот, который вам больше подходит и практикуйтесь. Чтобы научиться решать задачи, их надо решать. А если у Вас возникнут вопросы, .
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Столбиком наджней, а когда нужно больше пятнадцати знаков, то компьютеры и телефоны с калькуляторами чаще всего отдыхают. Осталось проверить, займт ли описание методики 4-5 тыс. знаков.
Берм любое число, от запятой отсчитываем пары цифр вправо и влево
Например, 1234567890,098765432100
Пара цифр - это как бы двузначное число. Корень из двузначного - однозначное. Подбираем однозначное, квадрат которого меньше первой пары цифр. В нашем случае это 3.
Как при делении столбиком, под первой парой выписываем этот квадрат и из первой пары вычитаем. Результат сносим под подчерк. 12 - 9 = 3. Добавляем к этой разнице вторую пару цифр (будет 334). Слева от числа берм удвоенное значение той части результата, которую уже нашли о дополняем цифрой (у нас 2*6=6), такой, чтобы при умножении на не полученное число не превосходило число со второй парой цифр. Получаем, что найденная цифра - пятрка. Снова находим разность (9), сносим следующую пару цифр получая 956, снова выписываем удвоенную часть результата (70), снова е дополняем нужной цифрой и так далее до упора. Или до нужной точности вычислений.
Во-первых для того что бы вычислить квадратный корень надо хорошо знать таблицу умножения. Самые простые примеры - это 25 (5 на 5 = 25) и так далее. Если же брать числа посложнее, то можно использовать данную таблицу, где по горизонтали единицы, а по вертикале десятки.
Есть хороший способ как найти корень из числа без помощи калькуляторов. Для этого вам понадобится линейка и циркуль. Суть в том, что вы находите на линейке значение, которое у вас под корнем. Например, ставите отметку возле 9. Ваша задача - поделить это число на равное количество отрезков, то есть на два линии по 4,5 см, а на ровный отрезок. Несложно догадаться, что в итоге получится 3 отрезка по 3 сантиметра.
Способ нелегкий и для больших чисел не подойдет, но зато считается без калькулятора.
без помощи калькулятора способу извлечения корня квадратного учили в советские времена в школе в 8-м классе.
Для этого надо разбить многозначное число справа налево на грани по 2 цифры :
Первая цифра корня это целый корень из левой грани, в данном случае, 5.
Вычитаем 5 в квадрате из 31, 31-25=6 и к шестерке приписываем следующую грань, имеем 678.
Следующая цифра х подбирается к удвоенной пятерке так, чтобы
10х*х было максимально большим, но меньшим чем 678.
х=6, поскольку 106*6 = 636,
теперь вычисляем 678 - 636 = 42 и добавляем следующую грань 92, имеем 4292.
Снова ищем максимальный х, такой что 112х*х lt; 4292.
Ответ: корень равен 563
Так можно продолжать сколько требуется.
В некоторых случаях можно попытаться разложить подкоренное число на два или несколько квадратных множителей.
Также полезно запомнить таблицу (или хотя бы какую-то ее часть) - квадраты натуральных чисел от 10 до 99.
Предлагаю изобретенный мною вариант извлечения квадратного корня в столбик. Он отличается от общеизвестного, исключением подбора чисел. Но как выяснил позже, данный метод уже существовал за много лет до моего рождения. Описал его в своей книге Всеобщая арифметика или книга об арифметических синтезе и анализе великий Исаак Ньютон. Так что здесь излагаю свое видение и обоснование алгоритма метода по Ньютону. Запоминать алгоритм не стоит. Можно просто при необходимости пользоваться схемой на рисунке в качестве наглядного пособия.
С помощью таблиц можно не вычислить, а найти, корни квадратные толь из чисел которые есть в таблицах. Проще всего вычислять корни не только квадратные, но и других степеней, методом последовательных приближений. Например вычислим корень квадратный из 10739, заменяем три последние цифры нулями и извлечем корень из 10000 получим 100 с недостатком, поэтому берем число 102 возводим его в квадрат, получаем 10404, что тоже меньше заданного, берем 103*103=10609 опять с недостатком, берем 103,5*103,5=10712,25, берем ещ больше 103,6*103,6=10732, берем 103,7*103,7=10753,69, что уже с избытком. Можно принять корень из 10739 примерно равны 103,6. Более точно 10739=103,629... . . Аналогично вычисляем корень кубический сначала из 10000 получаем примерно 25*25*25=15625, что с избытком, берем 22*22*22=10,648, берем чуть больше 22,06*22,06*22,06=10735, что очень близко к заданному.
Вычисление (или извлечение) квадратного корня можно производить несколькими способами, но все они не сказать что уж очень просты. Проще, конечно, прибегнуть к помощи калькулятора. Но если такой возможности нет (или вы хотите понять суть квадратного корня), могу посоветовать пойти следующим путем, его алгоритм таков:
Если на такие длительные вычисления у вас нет сил, желания или терпения, можно прибегнуть к помощи грубого подбора, его плюс в том, что он невероятно быстрый и при должной смекалке точный. Пример:
Когда я учился в школе (в начале 60-х годов), нас учили извлекать квадратный корень из любого числа. Методика несложная, внешне похожа на деление столбиком, но излагать е здесь, это потребуется полчаса времени и 4-5 тысяч знаков текста. Но зачем это Вам? У вас есть телефон или иной гаджет, в нм есть калькулятор. Калькулятор есть и в любом компьютере. Лично я предпочитаю производить такого рода вычисления в Excel.
Зачастую в школе требуется находить квадратные корни разных чисел. Но если вот мы привыкли пользоваться постоянно для этого калькулятором, то на экзаменах такой возможности не будет, поэтому нужно учиться искать корень без помощи калькулятора. А сделать-то это в принципе возможно.
Алгоритм таков:
Смотрите сначала на последнюю цифру вашего числа:
Например,
Теперь требуется определить примерно значение для корня из самой левой группы
В случае когда число имеет больше двух групп, то находить корень надо так:
А вот следующая циферка должна быть именно наибольшей, подобрать е надо так:
Теперь надо образовать новое число А посредством добавления к остатку, который был получен выше, следующую группу.
В наших примерах:
