अपूर्ण द्विघात समीकरण का विवेचक कैसे ज्ञात करें। द्विघातीय समीकरण

प्रथम स्तर

द्विघातीय समीकरण। व्यापक गाइड (2019)

"द्विघात समीकरण" शब्द में मुख्य शब्द "द्विघात" है। इसका मतलब यह है कि समीकरण में आवश्यक रूप से एक चर (वही x) वर्ग शामिल होना चाहिए, और तीसरी (या अधिक) घात के लिए xes नहीं होना चाहिए।

कई समीकरणों का समाधान द्विघात समीकरणों को हल करने में आता है।

आइए यह निर्धारित करना सीखें कि यह एक द्विघात समीकरण है, कोई अन्य समीकरण नहीं।

उदाहरण 1।

आइए हर से छुटकारा पाएं और समीकरण के प्रत्येक पद को इससे गुणा करें

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं और पदों को X की घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें

अब हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि यह समीकरण द्विघात है!

उदाहरण 2.

बाएँ और दाएँ पक्षों को इससे गुणा करें:

यह समीकरण, हालाँकि यह मूल रूप से इसमें था, द्विघात नहीं है!

उदाहरण 3.

आइए हर चीज़ को इससे गुणा करें:

डरावना? चौथी और दूसरी डिग्री... हालाँकि, यदि हम प्रतिस्थापन करते हैं, तो हम देखेंगे कि हमारे पास एक सरल द्विघात समीकरण है:

उदाहरण 4.

ऐसा लगता है कि यह वहां है, लेकिन आइए करीब से देखें। आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएँ:

देखिए, यह कम हो गया है - और अब यह एक सरल रैखिक समीकरण है!

अब स्वयं यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि निम्नलिखित में से कौन से समीकरण द्विघात हैं और कौन से नहीं:

उदाहरण:

उत्तर:

1. वर्ग;
2. वर्ग;
3. चौकोर नहीं;
4. चौकोर नहीं;
5. चौकोर नहीं;
6. वर्ग;
7. चौकोर नहीं;
8. वर्ग।

गणितज्ञ परंपरागत रूप से सभी द्विघात समीकरणों को निम्नलिखित प्रकारों में विभाजित करते हैं:

• पूर्ण द्विघात समीकरण- ऐसे समीकरण जिनमें गुणांक और, साथ ही मुक्त पद c, शून्य के बराबर नहीं हैं (जैसा कि उदाहरण में है)। इसके अलावा, पूर्ण द्विघात समीकरण भी मौजूद हैं दिया गया- ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें गुणांक (उदाहरण एक से समीकरण न केवल पूर्ण है, बल्कि कम भी है!)

• अपूर्ण द्विघात समीकरण- समीकरण जिनमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर हैं:

  वे अपूर्ण हैं क्योंकि उनमें कुछ तत्वों की कमी है। लेकिन समीकरण में हमेशा x का वर्ग होना चाहिए!!! अन्यथा, यह अब द्विघात समीकरण नहीं, बल्कि कोई अन्य समीकरण होगा।

वे ऐसा विभाजन क्यों लेकर आये? ऐसा प्रतीत होता है कि कोई X वर्ग है, और ठीक है। यह विभाजन समाधान विधियों द्वारा निर्धारित होता है। आइए उनमें से प्रत्येक को अधिक विस्तार से देखें।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

सबसे पहले, आइए अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने पर ध्यान केंद्रित करें - वे बहुत सरल हैं!

अपूर्ण द्विघात समीकरण के प्रकार हैं:

1. , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।
2. , इस समीकरण में मुक्त पद बराबर है।
3. , इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

1. मैं. चूँकि हम जानते हैं कि वर्गमूल कैसे निकाला जाता है, आइए इसे इस समीकरण से व्यक्त करें

अभिव्यक्ति या तो नकारात्मक या सकारात्मक हो सकती है। एक वर्ग संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, क्योंकि जब दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होगी, इसलिए: यदि, तो समीकरण का कोई समाधान नहीं है।

और यदि, तो हमें दो जड़ें मिलती हैं। इन सूत्रों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है। मुख्य बात यह है कि आपको जानना चाहिए और हमेशा याद रखना चाहिए कि यह कम नहीं हो सकता।

आइए कुछ उदाहरणों को हल करने का प्रयास करें।

उदाहरण 5:

प्रश्न हल करें

अब बस बायीं और दायीं तरफ से जड़ निकालना बाकी है। आख़िरकार, आपको याद है कि जड़ें कैसे निकाली जाती हैं?

उत्तर:

नकारात्मक चिन्ह वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें!!!

उदाहरण 6:

प्रश्न हल करें

उत्तर:

उदाहरण 7:

प्रश्न हल करें

ओह! किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, अर्थात समीकरण

कोई जड़ नहीं!

ऐसे समीकरणों के लिए जिनकी कोई जड़ नहीं है, गणितज्ञ एक विशेष चिह्न - (खाली सेट) लेकर आए हैं। और उत्तर इस प्रकार लिखा जा सकता है:

उत्तर:

इस प्रकार, इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं। यहां कोई प्रतिबंध नहीं है, क्योंकि हमने जड़ नहीं निकाली है।
उदाहरण 8:

प्रश्न हल करें

आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें:

इस प्रकार,

इस समीकरण की दो जड़ें हैं.

उत्तर:

अपूर्ण द्विघात समीकरणों का सबसे सरल प्रकार (हालाँकि वे सभी सरल हैं, ठीक है?)। जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

हम यहां उदाहरणों से दूर रहेंगे।

संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

हम आपको याद दिलाते हैं कि एक पूर्ण द्विघात समीकरण, समीकरण के रूप का एक समीकरण है

संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना इनसे थोड़ा अधिक कठिन (थोड़ा सा) है।

याद करना, किसी भी द्विघात समीकरण को विवेचक का उपयोग करके हल किया जा सकता है! अधूरा भी.

अन्य विधियाँ आपको इसे तेजी से करने में मदद करेंगी, लेकिन यदि आपको द्विघात समीकरणों में समस्या है, तो पहले विवेचक का उपयोग करके समाधान में महारत हासिल करें।

1. विवेचक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

इस पद्धति का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना बहुत सरल है; मुख्य बात क्रियाओं के अनुक्रम और कुछ सूत्रों को याद रखना है।

यदि, तो समीकरण का एक मूल है। आपको चरण पर विशेष ध्यान देने की आवश्यकता है। विवेचक () हमें समीकरण की जड़ों की संख्या बताता है।

• यदि, तो चरण में सूत्र कम हो जाएगा। इस प्रकार, समीकरण का केवल एक मूल होगा।
• यदि, तो हम कदम-कदम पर विभेदक की जड़ नहीं निकाल पाएंगे। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

आइए अपने समीकरणों पर वापस जाएं और कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 9:

प्रश्न हल करें

स्टेप 1हम छोड़ देते हैं.

चरण दो।

हम विभेदक पाते हैं:

इसका मतलब है कि समीकरण की दो जड़ें हैं।

चरण 3।

उत्तर:

उदाहरण 10:

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में प्रस्तुत किया गया है, इसलिए स्टेप 1हम छोड़ देते हैं.

चरण दो।

हम विभेदक पाते हैं:

इसका मतलब यह है कि समीकरण का एक मूल है।

उत्तर:

उदाहरण 11:

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में प्रस्तुत किया गया है, इसलिए स्टेप 1हम छोड़ देते हैं.

चरण दो।

हम विभेदक पाते हैं:

इसका मतलब है कि हम विवेचक की जड़ नहीं निकाल पाएंगे। समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं.

अब हम जानते हैं कि ऐसे उत्तरों को सही ढंग से कैसे लिखा जाए।

उत्तर:कोई जड़ नहीं

2. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

यदि आपको याद हो, तो एक प्रकार का समीकरण होता है जिसे घटा हुआ कहा जाता है (जब गुणांक a बराबर हो):

विएटा के प्रमेय का उपयोग करके ऐसे समीकरणों को हल करना बहुत आसान है:

जड़ों का योग दिया गयाद्विघात समीकरण बराबर होता है और मूलों का गुणनफल बराबर होता है।

उदाहरण 12:

प्रश्न हल करें

इस समीकरण को विएटा के प्रमेय का उपयोग करके हल किया जा सकता है क्योंकि .

समीकरण के मूलों का योग बराबर है, अर्थात हमें पहला समीकरण मिलता है:

और उत्पाद इसके बराबर है:

आइए सिस्टम बनाएं और हल करें:

• और। राशि बराबर है;
• और। राशि बराबर है;
• और। रकम बराबर है.

और सिस्टम का समाधान हैं:

उत्तर: ; .

उदाहरण 13:

प्रश्न हल करें

उत्तर:

उदाहरण 14:

प्रश्न हल करें

समीकरण दिया गया है, जिसका अर्थ है:

उत्तर:

द्विघातीय समीकरण। औसत स्तर

द्विघात समीकरण क्या है?

दूसरे शब्दों में, द्विघात समीकरण उस रूप का समीकरण है, जहां - अज्ञात, - कुछ संख्याएं, और।

संख्या को उच्चतम अथवा कहा जाता है पहला गुणांकद्विघात समीकरण, - दूसरा गुणांक, ए - स्वतंत्र सदस्य.

क्यों? क्योंकि यदि समीकरण तुरंत रैखिक हो जाता है, क्योंकि गायब हो जाएगा।

इस स्थिति में, और शून्य के बराबर हो सकता है. इसमें कुर्सी का समीकरण अधूरा बताया गया है. यदि सभी पद यथास्थान हैं, तो समीकरण पूरा हो गया है।

विभिन्न प्रकार के द्विघात समीकरणों का समाधान

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

सबसे पहले, आइए अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियों को देखें - वे सरल हैं।

हम निम्नलिखित प्रकार के समीकरणों को अलग कर सकते हैं:

I., इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

द्वितीय. , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।

तृतीय. , इस समीकरण में मुक्त पद बराबर है।

आइए अब इनमें से प्रत्येक उपप्रकार के समाधान पर नजर डालें।

जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

एक वर्ग संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, क्योंकि जब आप दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा करते हैं, तो परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होगी। इसीलिए:

यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है;

यदि हमारी दो जड़ें हैं

इन सूत्रों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि यह कम नहीं हो सकता।

उदाहरण:

समाधान:

उत्तर:

नकारात्मक चिन्ह वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें!

किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, अर्थात समीकरण

कोई जड़ नहीं.

संक्षेप में यह लिखने के लिए कि किसी समस्या का कोई समाधान नहीं है, हम खाली सेट आइकन का उपयोग करते हैं।

उत्तर:

तो, इस समीकरण की दो जड़ें हैं: और।

उत्तर:

आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें:

यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है तो उत्पाद शून्य के बराबर है। इसका मतलब यह है कि समीकरण का एक समाधान है जब:

तो, इस द्विघात समीकरण की दो जड़ें हैं: और।

उदाहरण:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

आइए समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करें और मूल खोजें:

उत्तर:

संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

1. विवेकशील

इस तरह से द्विघात समीकरणों को हल करना आसान है, मुख्य बात क्रियाओं के अनुक्रम और कुछ सूत्रों को याद रखना है। याद रखें, किसी भी द्विघात समीकरण को विवेचक का उपयोग करके हल किया जा सकता है! अधूरा भी.

क्या आपने जड़ों के सूत्र में विवेचक से मूल पर ध्यान दिया? लेकिन विवेचक नकारात्मक हो सकता है। क्या करें? हमें चरण 2 पर विशेष ध्यान देने की आवश्यकता है। विवेचक हमें समीकरण की जड़ों की संख्या बताता है।

• यदि, तो समीकरण की जड़ें हैं:
• यदि, तो समीकरण की जड़ें समान हैं, और वास्तव में, एक जड़:

  ऐसी जड़ों को दोहरी जड़ें कहा जाता है।

• यदि, तो विवेचक की जड़ नहीं निकाली जाती। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

जड़ों की भिन्न संख्या क्यों संभव है? आइए हम द्विघात समीकरण के ज्यामितीय अर्थ की ओर मुड़ें। फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है:

एक विशेष मामले में, जो एक द्विघात समीकरण है। इसका मतलब यह है कि द्विघात समीकरण की जड़ें भुज अक्ष (अक्ष) के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। एक परवलय अक्ष को बिल्कुल भी नहीं काट सकता है, या इसे एक (जब परवलय का शीर्ष अक्ष पर स्थित होता है) या दो बिंदुओं पर काट सकता है।

इसके अलावा, गुणांक परवलय की शाखाओं की दिशा के लिए जिम्मेदार है। यदि, तो परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और यदि, तो नीचे की ओर।

उदाहरण:

समाधान:

उत्तर:

उत्तर: ।

उत्तर:

इसका मतलब यह है कि कोई समाधान नहीं है.

उत्तर: ।

2. विएटा का प्रमेय

विएटा के प्रमेय का उपयोग करना बहुत आसान है: आपको बस संख्याओं की एक जोड़ी चुनने की ज़रूरत है जिसका उत्पाद समीकरण के मुक्त पद के बराबर है, और योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि विएटा के प्रमेय को केवल इसमें ही लागू किया जा सकता है कम द्विघात समीकरण ()।

आइए कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण 1:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

इस समीकरण को विएटा के प्रमेय का उपयोग करके हल किया जा सकता है क्योंकि . अन्य गुणांक: ; .

समीकरण की जड़ों का योग है:

और उत्पाद इसके बराबर है:

आइए संख्याओं के ऐसे जोड़े चुनें जिनका गुणनफल बराबर हो और जांचें कि क्या उनका योग बराबर है:

• और। राशि बराबर है;
• और। राशि बराबर है;
• और। रकम बराबर है.

और सिस्टम का समाधान हैं:

इस प्रकार, और हमारे समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: ; .

उदाहरण #2:

समाधान:

आइए गुणनफल में दी गई संख्याओं के जोड़े का चयन करें, और फिर जांचें कि क्या उनका योग बराबर है:

और: वे कुल मिलाकर देते हैं।

और: वे कुल मिलाकर देते हैं। प्राप्त करने के लिए, यह केवल कथित जड़ों के संकेतों को बदलने के लिए पर्याप्त है: और, आखिरकार, उत्पाद।

उत्तर:

उदाहरण #3:

समाधान:

समीकरण का मुक्त पद ऋणात्मक है, और इसलिए मूलों का गुणनफल एक ऋणात्मक संख्या है। यह तभी संभव है जब एक जड़ नकारात्मक हो और दूसरी सकारात्मक। अतः मूलों का योग बराबर है उनके मॉड्यूल के अंतर.

आइए हम उन संख्याओं के युग्मों का चयन करें जो गुणनफल में आते हैं, और जिनका अंतर इसके बराबर है:

और: उनका अंतर बराबर है - फिट नहीं बैठता;

तथा:-उपयुक्त नहीं;

तथा:-उपयुक्त नहीं;

तथा:- उपयुक्त. बस यह याद रखना बाकी है कि जड़ों में से एक नकारात्मक है। चूँकि उनका योग बराबर होना चाहिए, छोटे मापांक वाला मूल ऋणात्मक होना चाहिए:। हम जाँच:

उत्तर:

उदाहरण #4:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

समीकरण दिया गया है, जिसका अर्थ है:

मुक्त पद ऋणात्मक है, और इसलिए मूलों का गुणनफल ऋणात्मक है। और यह तभी संभव है जब समीकरण का एक मूल नकारात्मक और दूसरा सकारात्मक हो।

आइए संख्याओं के ऐसे जोड़े चुनें जिनका गुणनफल बराबर हो, और फिर निर्धारित करें कि किन जड़ों पर ऋणात्मक चिह्न होना चाहिए:

जाहिर है, केवल जड़ें ही पहली स्थिति के लिए उपयुक्त हैं:

उत्तर:

उदाहरण #5:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

समीकरण दिया गया है, जिसका अर्थ है:

मूलों का योग ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि कम से कम एक मूल ऋणात्मक है। लेकिन चूंकि उनका उत्पाद सकारात्मक है, इसका मतलब है कि दोनों जड़ों पर ऋण चिह्न है।

आइए संख्याओं के ऐसे जोड़े चुनें जिनका गुणनफल इसके बराबर हो:

जाहिर है, जड़ें संख्याएं हैं और।

उत्तर:

सहमत हूं, इस घृणित भेदभाव को गिनने के बजाय, मौखिक रूप से जड़ों के बारे में सोचना बहुत सुविधाजनक है। जितनी बार संभव हो विएटा के प्रमेय का उपयोग करने का प्रयास करें।

लेकिन जड़ों को खोजने में सुविधा और तेजी लाने के लिए विएटा के प्रमेय की आवश्यकता है। इसके उपयोग से लाभ उठाने के लिए, आपको कार्यों को स्वचालितता में लाना होगा। और इसके लिए पांच और उदाहरण हल करें. लेकिन धोखा मत दो: आप विवेचक का उपयोग नहीं कर सकते! केवल विएटा का प्रमेय:

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्यों का समाधान:

कार्य 1. ((x)^(2))-8x+12=0

विएटा के प्रमेय के अनुसार:

हमेशा की तरह, हम चयन की शुरुआत इस अंश से करते हैं:

उपयुक्त नहीं है क्योंकि राशि;

: राशि वही है जो आपको चाहिए।

उत्तर: ; .

कार्य 2.

और फिर से हमारा पसंदीदा विएटा प्रमेय: योग बराबर होना चाहिए, और उत्पाद बराबर होना चाहिए।

लेकिन चूंकि यह नहीं होना चाहिए, लेकिन, हम जड़ों के संकेत बदलते हैं: और (कुल मिलाकर)।

उत्तर: ; .

कार्य 3.

हम्म... वह कहाँ है?

आपको सभी शर्तों को एक भाग में ले जाना होगा:

मूलों का योग उत्पाद के बराबर होता है।

ठीक है, रुको! समीकरण नहीं दिया गया है. लेकिन विएटा का प्रमेय केवल दिए गए समीकरणों में ही लागू होता है। तो सबसे पहले आपको एक समीकरण देना होगा। यदि आप नेतृत्व नहीं कर सकते, तो इस विचार को छोड़ दें और इसे दूसरे तरीके से हल करें (उदाहरण के लिए, एक विवेचक के माध्यम से)। मैं आपको याद दिला दूं कि द्विघात समीकरण देने का अर्थ है अग्रणी गुणांक को बराबर बनाना:

महान। तब मूलों का योग और गुणनफल के बराबर होता है।

यहां इसे चुनना नाशपाती के छिलके जितना आसान है: आखिरकार, यह एक अभाज्य संख्या है (टॉटोलॉजी के लिए खेद है)।

उत्तर: ; .

कार्य 4.

मुक्त सदस्य नकारात्मक है. इसमें क्या खास है? और सच तो यह है कि जड़ों के अलग-अलग लक्षण होंगे। और अब, चयन के दौरान, हम जड़ों के योग की नहीं, बल्कि उनके मॉड्यूल में अंतर की जाँच करते हैं: यह अंतर बराबर है, लेकिन एक उत्पाद है।

तो, जड़ें और के बराबर हैं, लेकिन उनमें से एक शून्य है। विएटा का प्रमेय हमें बताता है कि मूलों का योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर है, अर्थात। इसका मतलब यह है कि छोटी जड़ में माइनस होगा: और, चूंकि।

उत्तर: ; .

कार्य 5.

आपको पहले क्या करना चाहिए? यह सही है, समीकरण दीजिए:

पुनः: हम संख्या के गुणनखंडों का चयन करते हैं, और उनका अंतर इसके बराबर होना चाहिए:

जड़ें और के बराबर हैं, लेकिन उनमें से एक ऋणात्मक है। कौन सा? उनका योग बराबर होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि ऋण का मूल बड़ा होगा।

उत्तर: ; .

मुझे संक्षेप में बताएं:

1. विएटा के प्रमेय का उपयोग केवल दिए गए द्विघात समीकरणों में किया जाता है।
2. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके, आप चयन द्वारा, मौखिक रूप से जड़ें पा सकते हैं।
3. यदि समीकरण नहीं दिया गया है या मुक्त पद के कारकों की कोई उपयुक्त जोड़ी नहीं मिली है, तो कोई पूर्ण जड़ें नहीं हैं, और आपको इसे दूसरे तरीके से हल करने की आवश्यकता है (उदाहरण के लिए, एक विवेचक के माध्यम से)।

3. पूर्ण वर्ग चुनने की विधि

यदि अज्ञात वाले सभी पदों को संक्षिप्त गुणन सूत्रों से शब्दों के रूप में दर्शाया जाता है - योग या अंतर का वर्ग - तो चर को प्रतिस्थापित करने के बाद, समीकरण को प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए:

उदाहरण 1:

प्रश्न हल करें: ।

समाधान:

उत्तर:

उदाहरण 2:

प्रश्न हल करें: ।

समाधान:

उत्तर:

सामान्य तौर पर, परिवर्तन इस तरह दिखेगा:

यह संकेत करता है: ।

क्या आपको कुछ याद नहीं आता? यह भेदभावपूर्ण बात है! ठीक इसी तरह हमें विभेदक सूत्र प्राप्त हुआ।

द्विघातीय समीकरण। संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

द्विघात समीकरण- यह उस रूप का समीकरण है, जहां - अज्ञात, - द्विघात समीकरण के गुणांक, - मुक्त पद।

पूर्ण द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं।

कम किया गया द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक, वह है: .

अपूर्ण द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर है:

• यदि गुणांक, समीकरण इस प्रकार दिखता है: ,
• यदि कोई मुक्त पद है, तो समीकरण का रूप इस प्रकार है: ,
• यदि और, तो समीकरण इस प्रकार दिखता है:।

1. अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

1.1. प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहां, :

1) आइए अज्ञात को व्यक्त करें: ,

2) अभिव्यक्ति के चिह्न की जाँच करें:

• यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है,
• यदि, तो समीकरण की दो जड़ें हैं।

1.2. प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहां, :

1) आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें: ,

2) यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है तो उत्पाद शून्य के बराबर है। इसलिए, समीकरण की दो जड़ें हैं:

1.3. प्रपत्र का अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहां:

इस समीकरण का सदैव एक ही मूल होता है: .

2. फॉर्म के संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

2.1. विवेचक का उपयोग कर समाधान

1) आइए समीकरण को मानक रूप में लाएं: ,

2) आइए सूत्र का उपयोग करके विवेचक की गणना करें:, जो समीकरण की जड़ों की संख्या को इंगित करता है:

3) समीकरण की जड़ें खोजें:

• यदि, तो समीकरण की जड़ें हैं, जो सूत्र द्वारा पाई जाती हैं:
• यदि, तो समीकरण का एक मूल है, जो सूत्र द्वारा पाया जाता है:
• यदि, तो समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

2.2. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान

घटे हुए द्विघात समीकरण (जहां के रूप का समीकरण) की जड़ों का योग बराबर है, और जड़ों का उत्पाद बराबर है, यानी। , एक।

2.3. पूर्ण वर्ग चुनने की विधि द्वारा समाधान

इस लेख में हम अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने पर गौर करेंगे।

लेकिन पहले, आइए दोहराएँ कि किन समीकरणों को द्विघात कहा जाता है। ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण, जहां x एक चर है, और गुणांक a, b और c कुछ संख्याएं हैं, और a ≠ 0 है, कहलाता है वर्ग. जैसा कि हम देखते हैं, x 2 के लिए गुणांक शून्य के बराबर नहीं है, और इसलिए x या मुक्त पद के लिए गुणांक शून्य के बराबर हो सकता है, इस स्थिति में हमें एक अपूर्ण द्विघात समीकरण मिलता है।

अपूर्ण द्विघात समीकरण तीन प्रकार के होते हैं:

1) यदि b = 0, c ≠ 0, तो ax 2 + c = 0;

2) यदि b ≠ 0, c = 0, तो ax 2 + bx = 0;

3) यदि b = 0, c = 0, तो ax 2 = 0.

• आइए जानें कैसे हल करें ax 2 + c = 0 के रूप के समीकरण।

समीकरण को हल करने के लिए, हम मुक्त पद c को समीकरण के दाईं ओर ले जाते हैं, हमें मिलता है

कुल्हाड़ी 2 = ‒s. चूँकि a ≠ 0, हम समीकरण के दोनों पक्षों को a से विभाजित करते हैं, तो x 2 = ‒c/a.

यदि ‒с/а > 0, तो समीकरण के दो मूल हैं

x = ±√(–c/a) .

यदि ‒सी/ए< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

आइए उदाहरणों से समझने का प्रयास करें कि ऐसे समीकरणों को कैसे हल किया जाए।

उदाहरण 1. समीकरण 2x 2 ‒ 32 = 0 को हल करें।

उत्तर: x 1 = - 4, x 2 = 4।

उदाहरण 2. समीकरण 2x 2 + 8 = 0 को हल करें।

उत्तर: समीकरण का कोई हल नहीं है।

• आइए जानें कि इसे कैसे हल किया जाए ax 2 + bx = 0 के रूप के समीकरण।

समीकरण ax 2 + bx = 0 को हल करने के लिए, आइए इसका गुणनखंड करें, अर्थात, x को कोष्ठक से बाहर निकालें, हमें x(ax + b) = 0 मिलता है। यदि कम से कम एक गुणनखंड बराबर है तो उत्पाद शून्य के बराबर है। शून्य करने के लिए. तब या तो x = 0, या ax + b = 0. समीकरण ax + b = 0 को हल करने पर, हमें ax = - b प्राप्त होता है, जहाँ से x = - b/a होता है। ax 2 + bx = 0 के रूप के समीकरण के हमेशा दो मूल x 1 = 0 और x 2 = ‒ b/a होते हैं। आरेख में देखें कि इस प्रकार के समीकरणों का समाधान कैसा दिखता है।

आइए एक विशिष्ट उदाहरण के साथ अपने ज्ञान को समेकित करें।

उदाहरण 3. समीकरण 3x 2 ‒ 12x = 0 को हल करें।

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 या 3x – 12 = 0

उत्तर: x 1 = 0, x 2 = 4.

• तीसरे प्रकार के समीकरण ax 2 = 0बहुत ही सरलता से हल हो जाते हैं।

यदि ax 2 = 0, तो x 2 = 0. समीकरण के दो समान मूल हैं x 1 = 0, x 2 = 0.

स्पष्टता के लिए, आइए आरेख देखें।

आइए उदाहरण 4 को हल करते समय यह सुनिश्चित करें कि इस प्रकार के समीकरणों को बहुत सरलता से हल किया जा सकता है।

उदाहरण 4.समीकरण 7x 2 = 0 को हल करें।

उत्तर: x 1, 2 = 0.

यह हमेशा तुरंत स्पष्ट नहीं होता है कि हमें किस प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करना है। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें.

उदाहरण 5.प्रश्न हल करें

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एक उभयनिष्ठ हर से गुणा करें, अर्थात 30 से

आइए इसे कम करें

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

आइए कोष्ठक खोलें

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

आइये समान देते हैं

आइए 99 को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर ले जाएं, चिह्न को विपरीत में बदल दें

उत्तर: कोई जड़ नहीं.

हमने देखा कि अपूर्ण द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। मुझे आशा है कि अब आपको ऐसे कार्यों में कोई कठिनाई नहीं होगी। अपूर्ण द्विघात समीकरण के प्रकार का निर्धारण करते समय सावधान रहें, तभी आप सफल होंगे।

यदि इस विषय पर आपके कोई प्रश्न हैं, तो मेरे पाठों के लिए साइन अप करें, हम साथ मिलकर आने वाली समस्याओं का समाधान करेंगे।

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कई गैर-सरल सूत्रों के कारण यह विषय पहली बार में जटिल लग सकता है। न केवल द्विघात समीकरणों में स्वयं लंबे अंकन होते हैं, बल्कि विवेचक के माध्यम से जड़ें भी पाई जाती हैं। कुल मिलाकर, तीन नए सूत्र प्राप्त होते हैं। याद रखना बहुत आसान नहीं है. ऐसे समीकरणों को बार-बार हल करने पर ही यह संभव है। फिर सारे सूत्र अपने आप याद हो जायेंगे।

द्विघात समीकरण का सामान्य दृश्य

यहां हम उनकी स्पष्ट रिकॉर्डिंग का प्रस्ताव करते हैं, जब सबसे बड़ी डिग्री पहले लिखी जाती है, और फिर अवरोही क्रम में। अक्सर ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब शर्तें असंगत होती हैं। फिर चर की डिग्री के अवरोही क्रम में समीकरण को फिर से लिखना बेहतर है।

आइए कुछ संकेतन का परिचय दें। उन्हें नीचे दी गई तालिका में प्रस्तुत किया गया है।

यदि हम इन नोटेशनों को स्वीकार करते हैं, तो सभी द्विघात समीकरण निम्नलिखित नोटेशन में कम हो जाते हैं।

इसके अलावा, गुणांक a ≠ 0. मान लीजिए कि इस सूत्र को नंबर एक नामित किया गया है।

जब कोई समीकरण दिया जाता है तो यह स्पष्ट नहीं होता कि उत्तर में कितने मूल होंगे। क्योंकि तीन विकल्पों में से एक हमेशा संभव है:

• समाधान की दो जड़ें होंगी;
• उत्तर एक अंक होगा;
• समीकरण की कोई जड़ नहीं होगी।

और जब तक निर्णय अंतिम नहीं हो जाता, तब तक यह समझना मुश्किल है कि किसी विशेष मामले में कौन सा विकल्प सामने आएगा।

द्विघात समीकरणों की रिकॉर्डिंग के प्रकार

कार्यों में अलग-अलग प्रविष्टियाँ हो सकती हैं। वे हमेशा सामान्य द्विघात समीकरण सूत्र की तरह नहीं दिखेंगे। कभी-कभी इसमें कुछ शर्तें गायब होंगी। ऊपर जो लिखा गया वह पूरा समीकरण है। यदि आप इसमें दूसरा या तीसरा पद हटा दें तो आपको कुछ और मिलता है। इन अभिलेखों को द्विघात समीकरण भी कहा जाता है, जो केवल अधूरे हैं।

इसके अलावा, केवल गुणांक "बी" और "सी" वाले शब्द ही गायब हो सकते हैं। संख्या "ए" किसी भी परिस्थिति में शून्य के बराबर नहीं हो सकती। क्योंकि इस स्थिति में सूत्र एक रैखिक समीकरण में बदल जाता है। समीकरणों के अपूर्ण रूप के सूत्र इस प्रकार होंगे:

तो, केवल दो प्रकार हैं; पूर्ण के अलावा, अपूर्ण द्विघात समीकरण भी हैं। मान लीजिए पहला सूत्र नंबर दो है, और दूसरा - तीन।

इसके मूल्य पर जड़ों की संख्या का विभेदक और निर्भरता

समीकरण के मूलों की गणना करने के लिए आपको यह संख्या जानना आवश्यक है। इसकी गणना हमेशा की जा सकती है, चाहे द्विघात समीकरण का सूत्र कोई भी हो। विवेचक की गणना करने के लिए, आपको नीचे लिखी समानता का उपयोग करने की आवश्यकता है, जिसमें संख्या चार होगी।

इस सूत्र में गुणांक मानों को प्रतिस्थापित करने के बाद, आप विभिन्न चिह्नों वाली संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं। यदि उत्तर हाँ है, तो समीकरण का उत्तर दो भिन्न मूल होंगे। यदि संख्या ऋणात्मक है, तो द्विघात समीकरण की कोई जड़ें नहीं होंगी। यदि यह शून्य के बराबर है, तो केवल एक ही उत्तर होगा।

संपूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल करें?

दरअसल, इस मसले पर विचार शुरू हो चुका है. क्योंकि सबसे पहले आपको एक विवेचक ढूंढने की आवश्यकता है। यह निर्धारित होने के बाद कि द्विघात समीकरण की जड़ें हैं, और उनकी संख्या ज्ञात है, आपको चर के लिए सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है। यदि दो जड़ें हैं, तो आपको निम्नलिखित सूत्र लागू करने की आवश्यकता है।

चूँकि इसमें "±" चिह्न है, इसलिए दो मान होंगे। वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति विभेदक है। इसलिए, सूत्र को अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है।

फॉर्मूला नंबर पांच. उसी रिकॉर्ड से यह स्पष्ट है कि यदि विवेचक शून्य के बराबर है, तो दोनों मूल समान मान लेंगे।

यदि द्विघात समीकरणों को हल करना अभी तक संभव नहीं हुआ है, तो विभेदक और चर सूत्रों को लागू करने से पहले सभी गुणांकों के मूल्यों को लिखना बेहतर है। बाद में यह क्षण कठिनाइयों का कारण नहीं बनेगा। लेकिन शुरुआत में ही भ्रम की स्थिति है.

अपूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल करें?

यहां सब कुछ बहुत सरल है. अतिरिक्त फ़ॉर्मूले की भी आवश्यकता नहीं है. और जो पहले से ही विभेदक और अज्ञात के लिए लिखे गए हैं उनकी आवश्यकता नहीं होगी।

सबसे पहले, आइए अपूर्ण समीकरण संख्या दो पर नजर डालें। इस समानता में अज्ञात मात्रा को कोष्ठक से निकालकर रैखिक समीकरण को हल करना आवश्यक है, जो कोष्ठक में ही रहेगा। उत्तर की दो जड़ें होंगी. पहला आवश्यक रूप से शून्य के बराबर है, क्योंकि चर में ही एक गुणक होता है। दूसरा एक रैखिक समीकरण को हल करके प्राप्त किया जाएगा।

अपूर्ण समीकरण संख्या तीन को संख्या को समानता के बायीं ओर से दायीं ओर ले जाकर हल किया जाता है। फिर आपको अज्ञात का सामना करने वाले गुणांक से विभाजित करने की आवश्यकता है। जो कुछ बचा है वह वर्गमूल निकालना है और इसे विपरीत चिह्नों के साथ दो बार लिखना याद रखें।

नीचे कुछ चरण दिए गए हैं जो आपको यह सीखने में मदद करेंगे कि सभी प्रकार की समानताओं को कैसे हल किया जाए जो द्विघात समीकरणों में बदल जाती हैं। वे छात्र को असावधानी के कारण होने वाली गलतियों से बचने में मदद करेंगे। व्यापक विषय "द्विघात समीकरण (8वीं कक्षा)" का अध्ययन करते समय ये कमियाँ खराब ग्रेड का कारण बन सकती हैं। इसके बाद, इन क्रियाओं को लगातार करने की आवश्यकता नहीं होगी। क्योंकि एक स्थिर कौशल दिखाई देगा.

• सबसे पहले आपको समीकरण को मानक रूप में लिखना होगा। अर्थात्, पहले चर की सबसे बड़ी घात वाला पद, और फिर - बिना घात वाला, और अंतिम - केवल एक संख्या।

• यदि गुणांक "ए" से पहले एक ऋण दिखाई देता है, तो यह द्विघात समीकरणों का अध्ययन करने वाले शुरुआती के लिए काम को जटिल बना सकता है। इससे छुटकारा पाना ही बेहतर है. इस प्रयोजन के लिए, सभी समानता को "-1" से गुणा किया जाना चाहिए। इसका मतलब यह है कि सभी पद विपरीत दिशा में संकेत बदल देंगे।

• उसी तरह भिन्नों से छुटकारा पाने की अनुशंसा की जाती है। बस समीकरण को उचित कारक से गुणा करें ताकि हर रद्द हो जाए।

उदाहरण

निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को हल करना आवश्यक है:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12एक्स + एक्स 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

पहला समीकरण: x 2 − 7x = 0. यह अधूरा है, इसलिए इसे सूत्र संख्या दो में वर्णित अनुसार हल किया गया है।

कोष्ठक से बाहर निकालने पर यह प्राप्त होता है: x (x - 7) = 0.

पहला मूल मान लेता है: x 1 = 0. दूसरा रैखिक समीकरण से पाया जाएगा: x - 7 = 0. यह देखना आसान है कि x 2 = 7.

दूसरा समीकरण: 5x 2 + 30 = 0. फिर अधूरा। केवल इसे तीसरे सूत्र के अनुसार हल किया गया है।

30 को समीकरण के दाहिनी ओर ले जाने के बाद: 5x 2 = 30। अब आपको 5 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह निकलता है: x 2 = 6. उत्तर संख्याएं होंगी: x 1 = √6, x 2 = - √6.

तीसरा समीकरण: 15 − 2x − x 2 = 0. इसके बाद, द्विघात समीकरणों को हल करना उन्हें मानक रूप में फिर से लिखकर शुरू होगा: − x 2 − 2x + 15 = 0. अब समय आ गया है कि दूसरी उपयोगी युक्ति का उपयोग करें और सभी को इससे गुणा करें शून्य से एक . यह x 2 + 2x - 15 = 0 निकला। चौथे सूत्र का उपयोग करके, आपको विवेचक की गणना करने की आवश्यकता है: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64। यह एक सकारात्मक संख्या है। ऊपर जो कहा गया है, उससे यह पता चलता है कि समीकरण की दो जड़ें हैं। उन्हें पांचवें सूत्र का उपयोग करके गणना करने की आवश्यकता है। यह पता चला कि x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. फिर x 1 = 3, x 2 = - 5.

चौथा समीकरण x 2 + 8 + 3x = 0 इस प्रकार परिवर्तित होता है: x 2 + 3x + 8 = 0. इसका विभेदक इस मान के बराबर है: -23. चूँकि यह संख्या ऋणात्मक है, इस कार्य का उत्तर निम्नलिखित प्रविष्टि होगी: "कोई जड़ें नहीं हैं।"

पांचवें समीकरण 12x + x 2 + 36 = 0 को इस प्रकार फिर से लिखा जाना चाहिए: x 2 + 12x + 36 = 0. विवेचक के लिए सूत्र लागू करने के बाद, संख्या शून्य प्राप्त होती है। इसका मतलब है कि इसका एक मूल होगा, अर्थात्: x = -12/ (2 * 1) = -6।

छठे समीकरण (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) में परिवर्तन की आवश्यकता है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि आपको पहले कोष्ठक खोलकर समान पद लाने की आवश्यकता है। पहले के स्थान पर निम्नलिखित अभिव्यक्ति होगी: x 2 + 2x + 1. समानता के बाद, यह प्रविष्टि दिखाई देगी: x 2 + 3x + 2. समान पदों की गणना के बाद, समीकरण रूप लेगा: x 2 - x = 0. यह अधूरा हो गया है. इससे मिलती-जुलती बात पर पहले ही थोड़ा ऊपर चर्चा की जा चुकी है। इसके मूल अंक 0 और 1 होंगे।

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 या x - 4 = 0

एक्स = ± √ 25/4

पहली डिग्री के समीकरणों को हल करना सीखने के बाद, निश्चित रूप से, आप दूसरों के साथ काम करना चाहते हैं, विशेष रूप से दूसरी डिग्री के समीकरणों के साथ, जिन्हें अन्यथा द्विघात कहा जाता है।

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 जैसे समीकरण हैं, जहां चर x है, संख्याएं a, b, c हैं, जहां a शून्य के बराबर नहीं है।

यदि किसी द्विघात समीकरण में एक या दूसरा गुणांक (सी या बी) शून्य के बराबर है, तो यह समीकरण अपूर्ण द्विघात समीकरण के रूप में वर्गीकृत किया जाएगा।

यदि छात्र अब तक केवल प्रथम डिग्री के समीकरण ही हल कर पाए हैं तो अपूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल करें? आइए विभिन्न प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों और उन्हें हल करने के सरल तरीकों पर विचार करें।

a) यदि गुणांक c 0 के बराबर है, और गुणांक b शून्य के बराबर नहीं है, तो ax ² + bx + 0 = 0 को ax ² + bx = 0 के रूप के समीकरण में घटा दिया जाता है।

ऐसे समीकरण को हल करने के लिए, आपको अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के सूत्र को जानना होगा, जिसमें इसके बाईं ओर का गुणनखंड करना और बाद में इस शर्त का उपयोग करना शामिल है कि उत्पाद शून्य के बराबर है।

उदाहरण के लिए, 5x² - 20x = 0. हम सामान्य गणितीय ऑपरेशन करते समय समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करते हैं: सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालते हुए

5x (x - 4) = 0

हम इस शर्त का उपयोग करते हैं कि उत्पाद शून्य के बराबर हैं।

5 x = 0 या x - 4 = 0

उत्तर होगा: पहला मूल 0 है; दूसरा मूल 4 है.

ख) यदि b = 0, और मुक्त पद शून्य के बराबर नहीं है, तो समीकरण ax ² + 0x + c = 0 को ax ² + c = 0 के रूप के समीकरण में घटा दिया जाता है। समीकरणों को दो तरीकों से हल किया जाता है : ए) बायीं ओर समीकरण के बहुपद का गुणनखंड करके; बी) अंकगणितीय वर्गमूल के गुणों का उपयोग करना। ऐसे समीकरण को किसी एक विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

एक्स = ± √ 25/4

एक्स = ± 5/2. उत्तर होगा: पहला मूल 5/2 है; दूसरा मूल - 5/2 के बराबर है।

ग) यदि b, 0 के बराबर है और c, 0 के बराबर है, तो ax ² + 0 + 0 = 0 को ax ² = 0 के रूप के समीकरण में घटा दिया जाता है। ऐसे समीकरण में x, 0 के बराबर होगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, अपूर्ण द्विघात समीकरणों में दो से अधिक मूल नहीं हो सकते।

ग्रंथ सूची विवरण:गैसानोव ए.आर., कुरमशिन ए.ए., एल्कोव ए.ए., शिलनेंकोव एन.वी., उलानोव डी.डी., श्मेलेवा ओ.वी. द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके // युवा वैज्ञानिक। 2016. क्रमांक 6.1. पृ. 17-20..02.2019).



हमारा प्रोजेक्ट द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीकों के बारे में है। परियोजना का लक्ष्य: स्कूली पाठ्यक्रम में शामिल नहीं किए गए तरीकों से द्विघात समीकरणों को हल करना सीखें। कार्य: द्विघात समीकरणों को हल करने के सभी संभावित तरीके खोजें और स्वयं उनका उपयोग करना सीखें और इन विधियों को अपने सहपाठियों से परिचित कराएं।

"द्विघात समीकरण" क्या हैं?

द्विघात समीकरण- प्रपत्र का समीकरण कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी = 0, कहाँ ए, बी, सी- कुछ संख्याएँ ( ए ≠ 0), एक्स- अज्ञात।

संख्याएँ a, b, c द्विघात समीकरण के गुणांक कहलाती हैं।

• ए को पहला गुणांक कहा जाता है;
• b को दूसरा गुणांक कहा जाता है;
• सी - मुफ़्त सदस्य.

द्विघात समीकरणों का "आविष्कार" करने वाले पहले व्यक्ति कौन थे?

रैखिक और द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए कुछ बीजगणितीय तकनीकें 4000 साल पहले प्राचीन बेबीलोन में ज्ञात थीं। 1800 और 1600 ईसा पूर्व के बीच की प्राचीन बेबीलोनियाई मिट्टी की पट्टियों की खोज, द्विघात समीकरणों के अध्ययन का सबसे पहला प्रमाण प्रदान करती है। उन्हीं गोलियों में कुछ प्रकार के द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ होती हैं।

न केवल पहली, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता, यहां तक ​​​​कि प्राचीन काल में भी, भूमि भूखंडों के क्षेत्रों को खोजने और सैन्य प्रकृति के उत्खनन कार्यों से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण हुई थी। जैसा कि खगोल विज्ञान और गणित के विकास के साथ ही हुआ।

बेबीलोनियाई ग्रंथों में निर्धारित इन समीकरणों को हल करने का नियम अनिवार्य रूप से आधुनिक के साथ मेल खाता है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोनवासी इस नियम तक कैसे पहुंचे। अब तक पाए गए लगभग सभी क्यूनिफॉर्म ग्रंथ केवल व्यंजनों के रूप में दिए गए समाधानों के साथ समस्याएं प्रदान करते हैं, इस बात का कोई संकेत नहीं है कि उन्हें कैसे खोजा गया था। बेबीलोन में बीजगणित के विकास के उच्च स्तर के बावजूद, क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में नकारात्मक संख्या की अवधारणा और द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य तरीकों का अभाव है।

लगभग चौथी शताब्दी ईसा पूर्व के बेबीलोनियाई गणितज्ञ। सकारात्मक मूल वाले समीकरणों को हल करने के लिए वर्ग की पूरक विधि का उपयोग किया। लगभग 300 ई.पू यूक्लिड एक अधिक सामान्य ज्यामितीय समाधान विधि लेकर आए। पहला गणितज्ञ जिसने बीजगणितीय सूत्र के रूप में नकारात्मक जड़ों वाले समीकरणों का समाधान खोजा वह एक भारतीय वैज्ञानिक थे ब्रह्मगुप्त(भारत, 7वीं शताब्दी ई.पू.)।

ब्रह्मगुप्त ने द्विघात समीकरणों को एकल विहित रूप में हल करने के लिए एक सामान्य नियम बनाया:

ax2 + bx = c, a>0

इस समीकरण में गुणांक ऋणात्मक भी हो सकते हैं। ब्रह्मगुप्त का शासन मूलतः हमारे जैसा ही है।

कठिन समस्याओं को सुलझाने के लिए सार्वजनिक प्रतियोगिताएँ भारत में आम थीं। पुरानी भारतीय किताबों में से एक ऐसी प्रतियोगिताओं के बारे में निम्नलिखित कहती है: "जैसे सूर्य अपनी चमक से सितारों को मात देता है, वैसे ही एक विद्वान व्यक्ति बीजगणितीय समस्याओं का प्रस्ताव और समाधान करके सार्वजनिक सभाओं में अपनी महिमा को बढ़ाएगा।" समस्याओं को प्रायः काव्यात्मक रूप में प्रस्तुत किया जाता था।

एक बीजगणितीय ग्रंथ में अल-ख्वारिज्मीरैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण दिया गया है। लेखक ने 6 प्रकार के समीकरण गिनाए हैं और उन्हें इस प्रकार व्यक्त किया है:

1) "वर्ग जड़ों के बराबर होते हैं," यानी ax2 = bx।

2) "वर्ग संख्याओं के बराबर होते हैं," अर्थात ax2 = c।

3) "मूल संख्या के बराबर हैं," यानी ax2 = c।

4) "वर्ग और संख्याएँ जड़ों के बराबर हैं," यानी ax2 + c = bx।

5) "वर्ग और मूल संख्या के बराबर हैं," यानी ax2 + bx = c।

6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर हैं," अर्थात bx + c == ax2।

अल-ख़्वारिज़्मी के लिए, जो ऋणात्मक संख्याओं के उपयोग से बचते थे, इनमें से प्रत्येक समीकरण के पद जोड़ हैं, घटाने योग्य नहीं। इस मामले में, जिन समीकरणों का सकारात्मक समाधान नहीं है, उन्हें स्पष्ट रूप से ध्यान में नहीं रखा जाता है। लेखक ने अल-जबर और अल-मुकाबल की तकनीकों का उपयोग करके इन समीकरणों को हल करने के तरीके निर्धारित किए हैं। निःसंदेह, उनका निर्णय हमारे निर्णय से पूरी तरह मेल नहीं खाता। यह उल्लेख करने की आवश्यकता नहीं है कि यह पूरी तरह से अलंकारिक है, उदाहरण के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहले प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करते समय, अल-खोरज़मी, 17वीं शताब्दी तक के सभी गणितज्ञों की तरह, शून्य समाधान को ध्यान में नहीं रखते हैं, शायद इसलिए कि विशिष्ट व्यावहारिक कार्यों में इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय, अल-ख्वारिज्मी विशेष संख्यात्मक उदाहरणों और फिर उनके ज्यामितीय प्रमाणों का उपयोग करके उन्हें हल करने के लिए नियम निर्धारित करते हैं।

यूरोप में अल-ख्वारिज्मी के मॉडल का अनुसरण करते हुए द्विघात समीकरणों को हल करने के फॉर्म सबसे पहले 1202 में लिखी गई "अबेकस की पुस्तक" में दिए गए थे। इतालवी गणितज्ञ लियोनार्ड फाइबोनैचि. लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्याओं को हल करने के कुछ नए बीजगणितीय उदाहरण विकसित किए और यूरोप में नकारात्मक संख्याओं की शुरूआत करने वाले पहले व्यक्ति थे।

इस पुस्तक ने न केवल इटली, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में भी बीजगणितीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। इस पुस्तक की कई समस्याओं का उपयोग 14वीं-17वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में किया गया था। चिह्नों और गुणांकों b, c के सभी संभावित संयोजनों के लिए एकल विहित रूप x2 + bх = с में घटाकर द्विघात समीकरणों को हल करने का सामान्य नियम यूरोप में 1544 में तैयार किया गया था। एम. स्टिफ़ेल.

सामान्य रूप में द्विघात समीकरण को हल करने के सूत्र की व्युत्पत्ति वियत से उपलब्ध है, लेकिन वियत ने केवल सकारात्मक जड़ों को मान्यता दी है। इतालवी गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेली 16वीं शताब्दी में सबसे पहले में से एक। सकारात्मक जड़ों के अलावा, नकारात्मक जड़ों को भी ध्यान में रखा जाता है। केवल 17वीं शताब्दी में। प्रयासों को धन्यवाद गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटनऔर अन्य वैज्ञानिकों द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करने की विधि आधुनिक रूप लेती है।

आइए द्विघात समीकरणों को हल करने के कई तरीकों पर नजर डालें।

स्कूली पाठ्यक्रम से द्विघात समीकरणों को हल करने की मानक विधियाँ:

1. समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंडन।
2. पूर्ण वर्ग चुनने की विधि.
3. सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।
4. द्विघात समीकरण का आलेखीय समाधान.
5. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

आइए विएटा के प्रमेय का उपयोग करके कम और कम न किए गए द्विघात समीकरणों के समाधान पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

याद रखें कि उपरोक्त द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, दो संख्याएँ खोजना पर्याप्त है जिनका गुणनफल मुक्त पद के बराबर है, और जिनका योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर है।

उदाहरण।एक्स 2 -5x+6=0

आपको वे संख्याएँ ढूँढ़नी होंगी जिनका गुणनफल 6 है और जिनका योग 5 है। ये संख्याएँ 3 और 2 होंगी।

उत्तर: एक्स 1 =2, एक्स 2 =3.

लेकिन आप इस पद्धति का उपयोग उन समीकरणों के लिए भी कर सकते हैं जिनका पहला गुणांक एक के बराबर नहीं है।

उदाहरण।3x 2 +2x-5=0

पहला गुणांक लें और इसे मुक्त पद से गुणा करें: x 2 +2x-15=0

इस समीकरण के मूल वे संख्याएँ होंगी जिनका गुणनफल - 15 के बराबर है, और जिनका योग - 2 के बराबर है। ये संख्याएँ 5 और 3 हैं। मूल समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए, परिणामी मूलों को पहले गुणांक से विभाजित करें।

उत्तर: एक्स 1 =-5/3, एक्स 2 =1

6. "थ्रो" विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 पर विचार करें, जहां a≠0।

दोनों पक्षों को a से गुणा करने पर, हमें समीकरण a 2 x 2 + abx + ac = 0 प्राप्त होता है।

माना ax = y, जहाँ से x = y/a; तब हम समीकरण y 2 + by + ac = 0 पर पहुंचते हैं, जो दिए गए समीकरण के बराबर है। हम विएटा के प्रमेय का उपयोग करके 1 और 2 के लिए इसकी जड़ें ढूंढते हैं।

अंततः हमें x 1 = y 1 /a और x 2 = y 2 /a प्राप्त होता है।

इस विधि के साथ, गुणांक ए को मुक्त पद से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "फेंक दिया गया" हो, यही कारण है कि इसे "थ्रो" विधि कहा जाता है। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ें आसानी से पाई जा सकती हैं और, सबसे महत्वपूर्ण बात, जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।

उदाहरण।2x 2 - 11x + 15 = 0.

आइए गुणांक 2 को मुक्त पद पर "फेंक" दें और एक प्रतिस्थापन करें और समीकरण y 2 - 11y + 30 = 0 प्राप्त करें।

विएटा के व्युत्क्रम प्रमेय के अनुसार

वाई 1 = 5, एक्स 1 = 5/2, एक्स 1 = 2.5; वाई 2 = 6, एक्स 2 = 6/2, एक्स 2 = 3।

उत्तर: एक्स 1 =2.5; एक्स 2 = 3.

7. द्विघात समीकरण के गुणांकों के गुण।

मान लीजिए द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 दिया गया है।

1. यदि a+ b + c = 0 (अर्थात समीकरण के गुणांकों का योग शून्य है), तो x 1 = 1.

2. यदि a - b + c = 0, या b = a + c, तो x 1 = - 1.

उदाहरण।345x 2 - 137x - 208 = 0.

चूँकि a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), तो x 1 = 1, x 2 = -208/345।

उत्तर: एक्स 1 =1; एक्स 2 = -208/345 .

उदाहरण।132x 2 + 247x + 115 = 0

क्योंकि a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), फिर x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

उत्तर: एक्स 1 = - 1; एक्स 2 =- 115/132

द्विघात समीकरण के गुणांकों के अन्य गुण भी हैं। लेकिन उनका उपयोग अधिक जटिल है.

8. नॉमोग्राम का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

चित्र 1. नॉमोग्राम

यह द्विघात समीकरणों को हल करने की एक पुरानी और वर्तमान में भूली हुई विधि है, जिसे संग्रह के पृष्ठ 83 पर रखा गया है: ब्रैडिस वी.एम. चार अंकों की गणित तालिकाएँ। - एम., शिक्षा, 1990।

तालिका XXII. समीकरण को हल करने के लिए नॉमोग्राम z 2 + pz + q = 0. यह नॉमोग्राम द्विघात समीकरण को हल किए बिना, उसके गुणांकों से समीकरण की जड़ें निर्धारित करने की अनुमति देता है।

नॉमोग्राम का वक्ररेखीय पैमाना सूत्रों के अनुसार बनाया गया है (चित्र 1):

विश्वास ओएस = पी, ईडी = क्यू, ओई = ए(सभी सेमी में), चित्र 1 से त्रिभुजों की समानताएँ सैनऔर सीडीएफहमें अनुपात मिलता है

जो, प्रतिस्थापन और सरलीकरण के बाद, समीकरण उत्पन्न करता है जेड 2 + पीजेड + क्यू = 0,और पत्र जेडइसका अर्थ है घुमावदार पैमाने पर किसी बिंदु का निशान।

चावल। 2 नॉमोग्राम का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना

उदाहरण।

1) समीकरण के लिए जेड 2 - 9z + 8 = 0नॉमोग्राम मूल z 1 = 8.0 और z 2 = 1.0 देता है

उत्तर:8.0; 1.0.

2) नॉमोग्राम का उपयोग करके, हम समीकरण को हल करते हैं

2z 2 - 9z + 2 = 0.

इस समीकरण के गुणांकों को 2 से विभाजित करने पर हमें समीकरण z 2 - 4.5z + 1 = 0 प्राप्त होता है।

नॉमोग्राम मूल z 1 = 4 और z 2 = 0.5 देता है।

उत्तर - 4; 0.5.

9. द्विघात समीकरणों को हल करने की ज्यामितीय विधि।

उदाहरण।एक्स 2 + 10x = 39.

मूल में, यह समस्या इस प्रकार तैयार की गई है: "वर्ग और दस मूल 39 के बराबर हैं।"

भुजा x वाले एक वर्ग पर विचार करें, इसके किनारों पर आयतों का निर्माण किया जाता है ताकि उनमें से प्रत्येक की दूसरी भुजा 2.5 हो, इसलिए प्रत्येक का क्षेत्रफल 2.5x है। परिणामी आकृति को फिर एक नए वर्ग एबीसीडी में पूरक किया जाता है, कोनों में चार समान वर्ग बनाए जाते हैं, उनमें से प्रत्येक की भुजा 2.5 है, और क्षेत्रफल 6.25 है

चावल। 3 समीकरण x 2 + 10x = 39 को हल करने के लिए ग्राफ़िकल विधि

वर्ग ABCD के क्षेत्रफल S को निम्नलिखित क्षेत्रफलों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है: मूल वर्ग x 2, चार आयत (4∙2.5x = 10x) और चार अतिरिक्त वर्ग (6.25∙4 = 25), यानी। S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x को संख्या 39 से प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है कि S = 39 + 25 = 64, जिसका अर्थ है कि वर्ग की भुजा ABCD है, अर्थात। खंड AB = 8. मूल वर्ग की आवश्यक भुजा x के लिए हमें प्राप्त होता है

10. बेज़ाउट प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

बेज़ाउट का प्रमेय. बहुपद P(x) को द्विपद x - α से विभाजित करने पर शेषफल P(α) के बराबर होता है (अर्थात, x = α पर P(x) का मान)।

यदि संख्या α बहुपद P(x) का मूल है, तो यह बहुपद बिना किसी शेषफल के x -α से विभाज्य है।

उदाहरण।x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. P(x) को (x-1) से विभाजित करें: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, या x-3=0, x=3; उत्तर: एक्स1 =2, एक्स2 =3.

निष्कर्ष:द्विघात समीकरणों को जल्दी और तर्कसंगत रूप से हल करने की क्षमता अधिक जटिल समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक है, जैसे कि भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण, उच्च शक्ति समीकरण, द्विघात समीकरण, और, हाई स्कूल में, त्रिकोणमितीय, घातांक और लघुगणक समीकरण। द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए पाए गए सभी तरीकों का अध्ययन करने के बाद, हम अपने सहपाठियों को मानक तरीकों के अलावा, स्थानांतरण विधि (6) द्वारा हल करने और गुणांक (7) की संपत्ति का उपयोग करके समीकरणों को हल करने की सलाह दे सकते हैं, क्योंकि वे अधिक सुलभ हैं समझने के लिए.

साहित्य:

1. ब्रैडिस वी.एम. चार अंकों की गणित तालिकाएँ। - एम., शिक्षा, 1990।
2. बीजगणित 8वीं कक्षा: 8वीं कक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा संस्थान माकार्यचेव यू.एन., मिंड्युक एन.जी., नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. एड। एस. ए. टेल्यकोवस्की 15वां संस्करण, संशोधित। - एम.: शिक्षा, 2015
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4. ग्लेज़र जी.आई. स्कूल में गणित का इतिहास. शिक्षकों के लिए मैनुअल. / ईडी। वी.एन. छोटा। - एम.: शिक्षा, 1964।