Коэффициент эластичности: определение, расчет, назначение. Решение задач по микроэкономике расчет эластичности спроса по доходу

Коэффициент эластичности показывает степень количественного изменения одного фактора (например, объема спроса или предложения) при изменении другого (цены, доходов или издержек) на 1%. Эластичность спроса или предложения вычисляется как отношение процентного изменения величины спроса (предложения) к процентному изменению какой-либо детерминанты.

Детерминанты - это факторы, оказывающие воздействие на спрос или предложение.

Различные товары различаются между собой по степени изменения спроса под воздействием того или иного фактора. Степень реакции спроса на эти товары поддается количественному измерению с помощью коэффициента эластичности спроса.

Понятие эластичности спроса раскрывает процесс адаптации рынка к изменению основных факторов (цены товара, цены товара аналога, дохода потребителя).

При подсчете коэффициента эластичности используют два основных метода: метод дуговой эластичности и метод точечной эластичности.

Это показатель средней реакции спроса на изменение цены, выраженной кривой спроса.

Эластичность по дуге применяется при измерении эластичности между двумя точками на кривой спроса или предложения и предполагает знание первоначальных и последующих уровней цен и объемов продукта (рис. 4.3).

Рис. 4.3.

Дуговая эластичность рассчитывается по формуле

где Р - начальная иена;

Р2 - новая иена;

С] - первоначальный объем;

02 - новый объем.

Использование формулы дуговой эластичности дает лишь приблизительное значение эластичности, и погрешность будет тем больше, чем более выпуклой будет дуга АВ.

Эластичность, измеренная в одной точке кривой спроса или предложения.

Точечная эластичность представляет собой точный показатель чувствительности спроса или предложения к изменениям цен, доходов и других факторов. Она отражает реакцию спроса или предложения на бесконечно незначительное изменение цен, доходов и т.д. Нередко возникает ситуация, когда необходимо знать эластичность на определенном участке кривой, соответствующем переходу от одного состояния к другому. В этом варианте обычно функция спроса или предложения не задана (рис. 4.4).

Рис. 4.4.

Чтобы определить эластичность при цене Р, следует установить наклон кривой спроса в точке А, т.е. наклон касательной (И) к кривой спроса в этой точке. Если прирост цены (ОР) незначителен, прирост объема 040, определяемый касательной 1£, приближается к действительному.

Формула точечной эластичности представляется таким образом:

Если абсолютное значение Е больше единицы, то спрос будет эластичным. Если абсолютное значение Е меньше единицы, но больше нуля - спрос неэластичен.

Точечная эластичность везде является постоянной величиной: вдоль линии спроса и предложения.

Для подавляющего большинства товаров зависимость между ценой и спросом обратная, т.е. коэффициент получается отрицательным. Минус обычно принято опускать, и оценка производится по модулю. Тем не менее встречаются случаи, когда коэффициент эластичности спроса оказывается положительным (например, это характерно для товаров Гиффена).

Товар Гиффена - товар, потребление которого (при прочих равных условиях) увеличивается при повышении цены (т.е. эффект замещения от изменения цены перевешивается действием эффекта дохода).

При соблюдении прочих равных условий потребление таких товаров отражает положительный наклон кривой спроса. Для большинства товаров повышение цены ведет к снижению их потребления (например, при росте цен на мясо население покупает меньше мяса, заменяя его рыбой, грибами и т.д.). У товара Гиффена все наоборот - при росте цен на картофель люди начинают покупать больше картофеля, но меньше, например, мяса. В этом заключается парадокс Гиффена: при повышении цен на определенные виды товара (в основном первой необходимости) их потребление увеличивается за счет экономии на других товарах.

Все товары Гиффена - малоценные, но занимающие в потребительском бюджете значительное место, для них отсутствует равнозначный товар-заменитель. Ценных товаров в этой категории не бывает. Так, например, товарами Гиффена в России являются кетчуп и майонез, в Китае - рис и соевый соус. Обычно такие товары обнаруживаются в условиях нестабильности (кризисные угрозы, нестабильные доходы, резкие институциональные изменения и т.п.). Но надежное их исследование требует изучения "прочих равных условий", что осуществляется далеко не всегда.

При анализе спроса или предложения нас зачастую интересуют не направления их изменения под влиянием каких-либо факторов, а количественное изменение спроса или предложения. Для этого пользуются показателем относительного изменения - эластичностью.

Эластичность - мера реагирования одной переменной величины на изменение другой, или точнее - это число, которое показывает процентное изменение одной переменной в результате однопроцентного изменения другой переменной.

Различают следующие показатели эластичности:

Эластичность спроса по цене;

Эластичности спроса по доходу;

Перекрестную эластичность;

Эластичность предложения.

Эластичность спроса по цене (E D) - показатель реакции величины спроса на товар на изменение цены данного товара.

E D = процентное изменение спроса/процентное изменение цены = = ´ (1.5)

На основании закона спроса коэффициент эластичности спроса по цене - отрицательная величина, но для удобства экономисты абстрагируются от этого знака.

Спрос называют эластичным при E D > 1 , неэластичным - при E D < 1 , говорят о единичной эластичности спроса, если E D = 1 . В первом случае при сокращении цены общая выручка от продажи товара возрастает, во втором - падает, в третьем - остается неизменной.

Ценовая эластичность может принимать крайние значения.

Если E D = ¥, то говорят, что спрос абсолютно эластичен. Это значит, что при данной установившейся цене покупатель готов купить бесконечно большое количество товара. В этом случае кривая спроса принимает вид горизонтальной линии.

Если E D = 0, то говорят, что спрос абсолютно неэластичен. Это значит, что объем спроса совершенно не реагирует на изменение цены в любом направлении. В этом случае кривая спроса принимает вид вертикальной линии.

Факторы, влияющие на эластичность спроса по цене:

1. Наличие товаров-заменителей. Товары, имеющие заменители обладают более эластичным спросом.

2. Разнообразие возможностей использования данного товара. Чем разнообразнее возможности, тем выше эластичность.

3. Степень насыщения потребностей.

4. Фактор времени. Спрос более эластичен в длительном периоде, чем в коротком, поскольку для приспособления к изменившемуся соотношению цен необходимо время.

Эластичность спроса по доходу (Е I) - это реакция или чувствительность спроса на какой-либо товар в результате изменения доходов покупателей.

Е I = процентное изменение спроса / процентное изменение дохода = (1.6)

Если Е I < 0 , товар является товаром низшей категории, то есть товаром, спрос на который падает при увеличении доходов покупателей.

Если Е I > 0 , товар называется нормальным, с ростом доходов увеличивается и спрос на данный товар.

Среди нормальных товаров выделяют 3 группы:

Товары первой необходимости, спрос на которые растет медленнее роста доходов (0 < E I < 1 ) и потому имеет предел насыщения;

Предметы роскоши, спрос на которые опережает рост доходов (Е I > 1 ) и потому не имеет предела насыщения;

Предметы «второй необходимости» - товары, спрос на которые растет в меру роста дохода (Е I = 1 ).

Факторы, влияющие на эластичность спроса по доходу:

1. Степень необходимости данного товара для потребителей: спрос на товары первой необходимости неэластичен, на товары роскоши - эластичен по доходу.

2. Доля в бюджете потребителя. Если доля расходов на приобретение товара небольшая, то спрос на него неэластичен по доходу.

3. Фактор времени. Если рассматривать изменение объема спроса за короткий период, то он будет неэластичен. Так как потребителям необходимо время, чтобы привыкнуть к изменившемуся доходу.

Перекрестная эластичность (Еху ) характеризует относительное изменение спроса на один товар при изменении цены другого товара.

E XY = процентное изменение спроса на товар Х / процентное изменение цены товара У,

(1.7)

Если Еху > 0, то товары взаимозаменяемые.

Если Еху < 0 , то товары взаимодополняющие.

Если Еху = 0, то товары независимые

Основным фактором, определяющим значение коэффициента перекрестной эластичности, являются естественные свойства благ, их способность замещать друг друга в потреблении. Если два товара могут с одним успехом использоваться для удовлетворения одной и той же потребности Exy будет высок и наоборот.

Данный коэффициент может использоваться для характеристик взаимозаменяемости и взаимодополняемости лишь при небольших изменениях цен. При значительных изменениях цен будет проявляться влияние эффекта дохода, что приведет к изменению спроса на оба товара.

Эластичность предложения (Е S ) - реакция, чувствительность предложения на изменение цены товара.

Е S = процентное изменение предложения / процентное изменение цены = , (1.8)

В соответствии с законом предложения значение этого коэффициента положительно.

Если Е S > 1 - предложение эластично.

Если Е S - предложение неэластично.

Если Е S = 1 - предложение характеризуется единичной эластичностью.

Факторы, влияющие на коэффициент эластичности предложения:

1. Фактор времени. Если у продавца недостаточно времени для того, чтобы отреагировать на изменение цены, то его предложение будет менее эластичным, чем в ситуации, когда он имеет для этого время.

2. Технология производства товара. Если расширение производства товара сопряжено с большими затратами капитала, существенными изменениями в технологическом процессе, то предложение такого товара неэластично.

3. Мобильность ресурсов.

4. Наличие свободных производственных мощностей.

5. Возможность длительного хранения товара.

Введение…………………………………………………………………....3

1. Эластичность спроса и факторы, влияющие на эластичность спроса……….5

2. Эластичность спроса по цене, показатели…….………………………..….......7

3. Эластичность спроса по доходу, показатели………………………………....12

4. Перекрестная эластичность спроса, показатели………………………..…….15

Заключение………………….…………………………………………..17

Список использУЕМОЙ литературы………………..……….......18

ВВЕДЕНИЕ

Эластичность – одна из самых важных категорий экономической науки. Впервые она была введена в экономическую теорию А. Маршаллом и представляет собой выраженное в процентах изменение одной переменной в ответ на выраженное в процентах изменение другой переменной. Понятие эластичности позволяет выяснить, как происходит адаптация рынка к изменениям его факторов. Обычно предполагается, что фирма, повышая цену на свою продукцию, имеет возможность увеличить выручку от ее продажи. Однако в действительности так бывает не всегда: возможна ситуация, когда повышение цены приведет не к росту, а, наоборот, к снижению выручки в силу уменьшения спроса и соответствующего сокращения сбыта.

Поэтому понятие эластичности имеет огромное значение для производителей товаров, т.к. дает ответ на вопрос о том на какую величину изменится объем спроса и предложения при изменении цены.

Изучение спроса потребителей, а также мотивов, которыми они руководствуются, совершая покупки, - важнейшая задача фирмы в условиях конкуренции. Обладание как можно более полной информацией о спросе позволяет фирме обеспечивать сбыт своей продукции, расширять производство и успешно конкурировать на рынке.

Для фирмы при планировании объема и структуры производства чрезвычайно важно знать, от чего зависит спрос на ее продукцию. Величина спроса зависит от цены товара, доходов потенциальных потребителей, а также цен на товары, которые являются либо комплементарными (например, автомобили и бензин), либо субститутами (например, масло и маргарин, отдельные сорта мяса и т. п.). На спрос влияют и другие факторы.

С повышением цен на продукцию фирмы можно ожидать, при прочих равных условиях, снижения спроса на нее, при этом активная деятельность конкурентов, выпускающих продукты-заменители и продающих их по более низким ценам, также может привести к снижению спроса на изделия фирмы. В то же время с ростом доходов населения фирма может рассчитывать на расширение покупательского спроса и соответственно увеличение сбыта предлагаемой продукции.

1 Эластичность спроса и факторы, влияющие на эластичность спроса

Эластичность спроса - изменение спроса на данный товар под влиянием экономических и социальных факторов, связанных с изменением цен; спрос может быть эластичным, если процентное изменение его объема превышает снижение уровня цен, и неэластичным, если степень снижения цен выше прироста спроса.

Важным моментом, оказывающим воздействие на эластичность спроса, является наличие товаров-заменителей. Чем больше на рынке продуктов, признанных удовлетворять одну и ту же потребность, тем больше возможностей для покупателя отказаться от приобретения данного конкретного продукта в случае повышения его цены, тем выше эластичность спроса на данный товар.

Например, спрос на хлеб относительно неэластичен. В то же время спрос на отдельные сорта хлеба является относительно эластичным, так как с повышением цены, к примеру, на бородинский хлеб покупатель может перейти на другой сорт ржаного хлеба и т.п. Спрос на сигареты, лекарства, мыло и другие подобные продукты относительно неэластичен. Однако если рассматривать эластичность по отношению к отдельным видам сигарет, сортам мыла и т.п., то она будет значительно выше.

Та же закономерность применима к изделиям, выпускаемым отдельной фирмой. Если на рынке присутствует значительное число конкурентов, выпускающих аналогичную или близкую по назначению продукцию, то спрос на продукцию этой фирмы будет относительно эластичным. В условиях совершенной конкуренции, когда много продавцов предлагают одинаковую продукцию, спрос на товар каждой отдельной фирмы будет абсолютно эластичным.

Другим важным обстоятельством, влияющим на ценовую эластичность, является фактор времени. В краткосрочном периоде спрос имеет тенденцию быть менее эластичным, чем в долгосрочном. Например, спрос на бензин со стороны индивидуальных владельцев автомобилей относительно неэластичен, и повышение цены, особенно в летний сезон, вряд ли сократит спрос. Однако можно предположить, что осенью значительная часть автовладельцев поставят свои машины в гаражи, спрос на бензин снизится, сократится объем продаж его. Кроме того, к следующему лету часть из них начнут пользоваться пригородными электричками. Несмотря на то, что спрос на бензин относительно неэластичен в обоих случаях, в долгосрочном периоде эластичность выше. Такая тенденция изменения эластичности во времени объясняется тем, что с течением времени каждый потребитель имеет возможность изменить свою потребительскую корзину, найти товары-заменители. Различия в эластичности спроса объясняются также значимостью того или иного товара для потребителя. Спрос на предметы первой необходимости неэластичен; спрос на товары, не играющие важной роли в жизни потребителя, обычно эластичен. Действительно, при повышении цен мы можем отказаться от дополнительной пары обуви, драгоценностей, мехов, но вряд ли сократим покупки хлеба, мяса и молока. Как правило, спрос на продукты питания неэластичен, и сейчас, при снижающемся уровне жизни населения, на их приобретение тратится все большая часть доходов средней российской семьи.

2 Эластичность спроса по цене, показатели

Эластичность спроса по цене показывает, на сколько процентов изменится величина спроса при изменении цены на 1%. Если обозначить цену Р , а величину спроса Q , то показатель (коэффициент) ценовой эластичности спроса Е р равен:

где Q - изменение величины спроса, %;

Р - изменение цены, %;

«Р » в индексе означает, что эластичность рассматривается по цене.

На эластичность спроса по цене влияют следующие факторы:

· наличие товаров конкурентов или товаров заменителей (чем их больше, тем больше возможность найти замену подорожавшему товару, т.е. выше эластичность);

· значимость товара для потребителей (спрос на товары важные для потребителя обычно не эластичен)

· фактор времени (чем больше у потребителя времени на выбор товара и обдумывание - тем выше эластичность);

· удельный вес товара в доходах потребителя (чем больше доля цены товара в доходах потребителя, тем выше эластичность).

Показатель ценовой эластичности спроса для всех товаров является отрицательной величиной. Действительно, если цена товара снижается - величина спроса растет, и наоборот. Однако для оценки эластичности часто используется абсолютная величина показателя (знак «минус» опускается).

Например, снижение цены шампуня на 5% вызвало увеличение спроса на него на 10%. Показатель эластичности будет равен:

· Если абсолютная величина показателя ценовой эластичности спроса больше 1, то мы имеем дело с относительно эластичным спросом. Иными словами, изменение цены в данном случае приведет к большему количественному изменению величины спроса.

· Если абсолютная величина показателя ценовой эластичности спроса меньше 1 , то спрос относительно неэластичен. В этом случае изменение цены повлечет за собой меньшее изменение величины спроса.

· При коэффициенте эластичности равном 1 говорят о единичной эластичности. В этом случае изменение цены приводит к такому же количественному изменению величины спроса.

Коэффициент эластичности

формула расчета коэффициента эластичности:

где f"(x) - первая производная, характеризующая соотношение приростов результата и фактора для соответствующей формы связи.

Для степенной функции она составит: . Соответственно, коэффициент эластичности окажется равным:

Коэффициент эластичности только для степенной функции он представляет собой постоянную величину, равную параметру b . В других функциях коэффициент эластичности зависит от значений фактораx . Так, для линейной регрессиипроизводная функции и эластичность следующие:

В силу того, что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения x , то обычно рассчитываетсясредний показатель эластичности по формуле:

Для оценки параметров степенной функции применяется МНК к линеаризованному уравнению, т.е. решается система нормальных уравнений:

Параметр b определяется непосредственно из системы, а параметрa - косвенным путем после потенцирования величины lna . Так, решая систему нормальных уравнений для зависимости спроса от цен, было получено уравнение:. Если потенцировать его, получим:

Поскольку параметр a экономически не интерпретируется, то нередко зависимость записывается в виде логарифмически-линейной, т.е..В виде степенной функции изучается не только эластичность спроса, но и предложения. При этом обычно эластичность спроса характеризуется параметромb <0, а эластичность предложения -b >0.

Поскольку коэффициенты эластичности представляют экономический интерес, а виды моделей не ограничиваются только степенной функцией, приведем формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее распространенных типов уравнений регрессии .

Таблица 2.5.

Коэффициенты эластичности для ряда математических функций.

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в процентах. Например, вряд ли кто будет определять, на сколько процентов может измениться заработная плата с ростом стажа работы на 1%. Или, например, на сколько процентов изменится урожайность пшеницы, если качество почвы, измеряемое в баллах, изменится на 1%. В такой ситуации степенная функция, даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям (исходя из наименьшего значения остаточной вариации) не может быть экономически интерпретирована. Например, изучая соотношение ставок межбанковского кредита y (в процентах годовых) и срока их предоставленияx (в днях), было получено уравнение регрессии:с очень высоким показателем корреляции (0,9895). Коэффициент эластичности 0,352% лишен смысла, ибо срок предоставления кредита не измеряется в процентах. Значительно больший интерес для этой зависимости может представить линейная функция, имеющая более низкий показатель корреляции 0,85. Коэффициент регрессии 0,403 показывает в процентных пунктах изменение ставок кредита с увеличением срока их предоставления на 1 день.

Обобщенный метод наименьших квадратов.

В тех случаях, когда все пять предпосылок МНК выполняются, рассматриваемая модель называется классической нормальной линейной регрессионной моделью (Classical Normal Linear Regression model) Если распределение случайных остатков ε i не соответствует некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель.

При нарушении гомоскедастичности и при наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (известный в английской терминологии как метод OLS – Ordinary Least Squares) заменять обобщенным методом, т. е. методом GLS (Generalized Least Squares).

Обобщенный метод наименьших квадратов применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии. Специфика обобщенного МНК, применительно к корректировке данных при автокорреляции остатков, будет рассмотрена далее. Здесь остановимся на использовании обобщенного МНК для корректировки гетероскедастичности.

Как и раньше, будем предполагать, что среднее значение остаточных величин равно нулю. А вот дисперсия их не остается неизменной для разных значений фактора, а пропорциональна величине K i , т. е., где- дисперсия ошибки при конкретномi – ом значении фактора,- постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о гомоскедастичности остатков,K i – коэффициент пропорциональности, меняющий с изменением свою величину, что и обуславливает неоднородность дисперсии. При этом предполагается, чтонеизвестна, а в отношении величиныK выдвигаются определенные гипотезы, характеризующие структуру гетероскедастичности.

В общем виде для уравнения при, модель примет вид:. В ней остаточные величины гетероскедастичны. Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафиксированные в ходеi – ого наблюдения, т. е..

Иными словами, от регрессии y поx мы перейдем к регрессии на новых переменных:, и. Уравнение регрессии примет вид:

.

Исходные данные для данного уравнения будут иметь вид:

По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными, представляет собой взвешенную регрессию, в которой переменные y иx взяты с весами.

Оценка параметров нового уравнения с преобразованными переменными приводит к взвешенному методу наименьших квадратов, для которого необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений вида:

Соответственно получим следующую систему нормальных уравнений:

.

Если преобразованные переменные x иy взять в отклонениях от средних уровней, то коэффициент регрессииb можно определить как:

При обычном применении метода наименьших квадратов к уравнению линейной регрессии для переменных в отклонениях от средних уровней, коэффициент регрессии b определяется по формуле:

Как видим, при использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетероскедастичности, коэффициент регрессии b представляет собой взвешенную величину по отношению к обычному МНК, с весами.

Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и множественной регрессии. Предположим, что рассматривается модель вида:

для которой дисперсия остаточных величин оказалась пропорциональна .- коэффициент пропорциональности, принимающий различные значения для соответствующихi значений факторови. Ввиду того, что, рассматриваемая модель примет вид:

где ошибки гетероскедастичны. Чтобы получить уравнение, где остатки гомоскедастичны, перейдем к новым преобразованным переменным, разделив все члены исходного уравнения на коэффициент пропорциональностиK . Уравнение с преобразованными переменными составит:

.

Это уравнение не содержит свободного члена. Вместе с тем, найдя переменные в новом преобразованном виде и применяя обычный МНК к ним, получим иную спецификацию модели:

.

Параметры такой модели зависят от концепции, принятой для коэффициента пропорциональности . В эконометрических исследованиях довольно часто выдвигается гипотеза, что остаткипропорциональны значениям фактора. Так, если в уравнении:

предположить, что , т. е.и, то обобщенный МНК предполагает оценку параметров следующего трансформированного уравнения:

.

Если предположить, что ошибки пропорциональны , то модель примет вид:

.

Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к тому, что наблюдения с меньшими значениями преобразованных переменных x / K имеют при определении параметров регрессии относительно больший вес, чем с первоначальными переменными. Вместе с тем, следует иметь ввиду, что новые преобразованные переменные получают новое экономическое содержание, и регрессия по ним имеет иной смысл, чем регрессия по исходным данным.

Пусть y – издержки производства,x 1 – объем продукции,x 2 – основные производственные фонды,x 3 –численность работников, тогда уравнение

является моделью издержек производства с объемными факторами. Предполагая, что пропорциональна квадрату численности работниковx 3 , мы получим в качестве результативного признака- затраты на одного работника, а в качестве факторов – показатели -- производительность труда,- фондовооруженность труда. Соответственно исходная модель примет вид:

,

где параметры ,,численно не совпадают с аналогичными параметрами предыдущей модели. Кроме того, коэффициенты регрессии меняют экономические содержание: из показателей силы связи, характеризующих среднее абсолютное изменение издержек производства с изменением абсолютной величины соответствующего фактора на единицу, они фиксируют при обобщенном МНК среднее изменение затрат на 1 работника, с изменением производительности труда на единицу, и неизменном уровне фондовооруженности труда; и с изменением фондовооруженности труда на единицу при неизменном уровне производительности труда.

Если предположить, что в модели с первоначальными переменными дисперсия остатков пропорциональна квадрату объема продукции, , то тогда мы перейдем к уравнению регрессии вида:

.

В нем новые переменные: - затраты на единицу (или на один рубль продукции),- фондоемкость продукции,- трудоемкость продукции.

Гипотеза о пропорциональности остатков величине фактора может иметь реальное основание: при обработке недостаточно однородной совокупности, включающей как крупные, так и мелкие предприятия, большим объемным значениям фактора может соответствовать и большая дисперсия результативного признака, и большая дисперсия остаточных величин.

При наличии одной объясняющей переменной гипотеза трансформирует линейное уравнение:

в уравнение

в котором параметры α иβ поменялись местами, константа стала коэффициентом наклона линии регрессии, а коэффициент регрессии – свободным членом. Так, например, рассматривая зависимость сбереженийy от доходаx , по первоначальным данным было получено уравнение регрессии:

Применяя обобщенный МНК к данной модели в предположении, что ошибки пропорциональны доходу, было получено уравнение для преобразованных данных:

Коэффициент регрессии первого уравнения сравнивают со свободным членом второго уравнения, т. е. 0,1178 и 0,1026 – оценки параметра b зависимости сбережений от дохода.

Переход к относительным величинам существенно снижает вариацию фактора и соответственно уменьшает дисперсию ошибки. Он представляет собой наиболее простой случай учета гетероскедастичности в регрессионных моделях с помощью обобщенного МНК. Возможны и усложнения рассмотренный процедуры за счет выдвижения иных гипотез о пропорциональности ошибок относительно включенных в модель факторов. Например, , т. е. рассматривается характер взаимосвязиот. Использование той или иной гипотезы предполагает специальные исследования остаточных величин для соответствующих регрессионных моделей. Применение обобщенного МНК позволяет получить оценки параметров модели, обладающие меньшей дисперсией.

Обобщённый МНК устраняет гетероскедастичность, если известна взаимосвязь ошибок регрессии с факторомх (например, на основе рассмотренных тестов гетероскедастичности). Иными словами, должны быть установлены коэффициенты пропорциональностиК i , что и приводит к взвешенному методу наименьших квадратов.

Регрессионные модели с переменной структурой

До сих пор в качестве факторов рассматривались экономические переменные, принимающие количественные значения в некотором интервале. Вместе с тем, может оказаться необходимым включить в модель фактор, имеющий два или более качественных уровня. Это могут быть разного рода атрибутивные признаки, такие, например, как профессия, пол, образование, климатические условия, отдельные регионы. Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, они должны быть упорядочены и им присвоены те или иные значения, т.е. качественные переменные преобразованы в количественные. Такого вида сконструированные переменные принято в эконометрике называть фиктивными переменными. В отечественной литературе за ними закрепился термин структурные переменные.

Качественные признаки могут приводить к неоднородности исследуемой совокупности, что может быть учтено при моделировании двумя путями:

Регрессия строится для каждой качественно отличной группы единиц совокупности, т.е. для каждой группы в отдельности, чтобы преодолеть неоднородность единиц общей совокупности;

Построение общей регрессионной модели для совокупности в целом, учитывающей неоднородность данных. В этом случае в регрессионную модель вводятся фиктивные переменные, т.е. строится регрессионная модель с переменной структурой, отражающей неоднородность данных.

Рассмотрим применение фиктивных переменных для функции спроса. Предположим, что по группе лиц мужского и женского пола изучается линейная зависимость потребления кофе от цены. В общем виде для совокупности обследуемых уравнение регрессии имеет вид:

где: y - количество потребляемого кофе,

x - цена.

Аналогичные уравнения могут быть найдены отдельно для лиц мужского и женского пола:.

Различия в потреблении кофе проявятся в различии средних и. Вместе с тем, сила влиянияx на y может быть одинаковой, т.е. . В этом случае возможно построение общего уравнения регрессии с включением в него фактора «пол» в виде фиктивной переменной. Объединяя уравненияy 1 и y 2 и вводя фиктивные переменные, можно придти к следующему соотношению:

где: z 1 и z 2 фиктивные переменные, принимающие значения:

; .

В общем уравнении регрессии зависимая переменная y рассматривается как функция не только цены x , но и пола (z 1 , z 2 ). Переменная z рассматривается как дихотомическая переменная, принимающая всего два значения: 1 и 0. При этом, когда z 1 = 1, то z 2 =0 и, наоборот, при z 1 = 0 переменная z 2 = 1.

Для лиц мужского пола, когда z 1 = 1 иz 2 = 0, объединенное уравнение регрессии составит:, а для лиц женского пола, когдаz 1 = 0 иz 2 = 1,. Иными словами, различия в потреблении для лиц мужского и женского пола вызваны различиями свободных членов уравнения регрессии:. Параметрb является общим для всей совокупности лиц, как для мужчин, так и для женщин.

Вместе с тем, при практическом введении фиктивных переменных z 1 и z 2 в модель применение МНК для оценивания параметровα 1 и α 2 , приведет к вырожденной матрице исходных данных, а, следовательно, и к невозможности получения их оценок. Объясняется это тем, что при использовании МНК для данного уравнения появляется свободный член, т.е. уравнение примет вид:

Предполагая при параметре A независимую переменную 1, имеем матрицу исходных факторов:

В рассматриваемой матрице существует линейная зависимость между первым, вторым и третьим столбцами: первый равен сумме второго и третьего. Поэтому матрица исходных факторов вырождена. Выходом из создавшегося затруднения может явиться переход к уравнениям вида:

каждое из которых включает только одну фиктивную переменную: z 1 илиz 2 .

Предположим, что определено уравнение ,

где: z 1 - принимает значения 1 для мужчин и 0 для женщин. Теоретические значения размера потребления кофе для мужчин окажутся равными:

Для женщин соответствующие значения получим из выражения:

Сопоставляя эти результаты, видим, что различия в уровне потребления мужчин и женщин состоят в различии свободных членов данных уравнений: A - для женщин и A + A 1 для мужчин.

Примером использования фиктивных переменных может служить зависимость урожайности пшеницы y от вида вспашки z и количества внесенного органического удобрения x . По 25 наблюдениям парное уравнение регрессии (без учета вида вспашки) составило:

F = 8,7; t А = 11,9; t β = 2,95; r yx = 0,5246.

При его расчете использовалась следующая система нормальных уравнений:

.

F , t b , r yx превышают табличные значения (при 5 %-ом уровне существенности и числе степеней свободы 23: F = 4,28; t b = 2,069; r yx = 0,398; при 1%-ой вероятности ошибки: F = 7,88; t b = 2,807; r yx = 0,507;).

По виду вспашки поля характеризовались двумя категориями: зяблевая и весенняя. Вид вспашки не влияет на количество внесенных удобрений, но обусловливает различия в урожайности. Чтобы убедиться в этом введем в уравнение регрессии фиктивную переменную z для отражения эффекта вида вспашки, а именно: z = 1 для зяблевой вспашки и z = 0 для весенней вспашки. Уравнение регрессии примет вид: . Применяя метод наименьших квадратов для оценки параметров данного уравнения, получим следующую систему нормальных уравнений:

В виду того, что z принимает лишь два значения (1 и 0), (число полей с зяблевой вспашкой),(количество внесенных удобрений на полях с зяблевой вспашкой),,(суммаy по полям зяблевой вспашки).

В рассматриваемом примере вся совокупность из 25 единиц подразделена на две подгруппы: с зяблевой вспашкой - 13 полей и с весенней - 12 полей, т.е. n 1 = 13 и n 2 = 12. Соответственно этим двум группам имеем:

Тогда система нормальных уравнений примет вид:

Решая ее, получим уравнение регрессии:

Уравнение регрессии статистически значимо: F = 15,6; R = 0,766; = 0,741; t a = 11,8; t b = 3,9; t c = 4,1. Как видим, добавление в регрессию фиктивной переменной существенно улучшило результат модели: доля объясненной вариации выросла с 27,5% () до 58,7% (). При этом, сила влияния количества внесенных органических удобрений на урожайность осталась практически неизменной: коэффициенты регрессии по существу одинаковы (0,326 в парном уравнении и 0,330 во множественном). Корреляция между видом вспашки и количеством внесенного удобрения на 1 га практически отсутствует:. Вместе с тем, применение зяблевой вспашки способствует росту урожайности в среднем на 2,9 ц с 1 га при одном и том же количестве внесенного удобрения на 1 га, что в целом соответствует и различию средней урожайности по видам вспашки (15,3 ц с 1 га для зяблевой вспашки и 12,5 ц с 1 га для весенней вспашки). ЧастныйF -критерий для фактора z составил 16,58, что выше табличного значения при числе степеней свободы 1 и 22 (4,30 при α = 0,05 и 7,94 при α = 0,01). Это подтверждает целесообразность включения фиктивной переменной в уравнение регрессии.

Парные уравнения регрессии по отдельным видам вспашки показывают, практически одинаковую меру влияния количества внесенного удобрения на урожайность:

При зяблевой вспашке и

При весенней вспашке.

Поэтому вполне реально предположить единую меру влияния данного фактора не зависимо от вида вспашки, что и имеет место в уравнении регрессии с фиктивной переменной. Включив фиктивную переменную, удалось измерить ее влияние на изменение урожайности: частный коэффициент корреляции , оценивающий в чистом виде влияние данного фактора, составил 0,6555, что несколько выше, чем аналогичный показатель для фактораx : .

Доходы населения в среднем на душу населения за год составили 1200 ден. ед. и возросли до 1400 ден. ед., а продажа швейных изделий с 80 ден. ед. до 110 ден. ед. Определить показатель (коэффициент) эластичности спроса. Прокомментировать этот показатель.

Решение:

Эластичность спроса характеризует степень реакции спроса на дей-ствие какого-либо фактора. В зависимости от вида фактора, воздействующе-го на спрос, различают эластичность спроса по цене, эластичность спроса по доходу и перекрестную эластичность спроса.

Эластичность спроса в зависимости от доходов может быть определена по следующей формуле:

Кэ=(Δх/Δу)×(х/у),

где Кэ - коэффициент эластичности спроса по доходу;

х - среднедушевой размер спроса;

у - среднедушевой размер доходов;

Δх - прирост спроса;

Δу - прирост дохода.

Кэ=(110-80)/(1400-1200)=2,25.

Полученное значение коэффициента эластичности свидетельствует, что на 1% прироста дохода приходится 2,25% прироста объема спроса.

Задача о перекрестной эластичности

Перекрестная эластичность между спросом на квас и ценой лимонада составляет 0,75. О каких товарах идет речь? Если цена на лимонад увеличится на 20%, то как изменится спрос на квас?

Решение:

Квас и лимонад – взаимозаменяемые товары, так как коэффициент перекрестной эластичности спроса (Кспер) имеет положительное значение (0,75).

По формуле коэффициента перекрестной эластичности (Кспер) определим, как изменится спрос на квас при увеличении цены на лимонад на 20%.

Кспер= %изменения спроса на квас (х) / %изменения цены на лимонад (у) = 0,75.

Если изменение спроса на квас примем за х, а изменение цены на лимонад за у, то можно записать уравнение Кспер=х/у; откуда х=Кспер×у или х=0,75×у=0,75×20%=15%.

Таким образом, при увеличении цены на лимонад на 20% спрос на квас возрастет на 15%.

Задача. Расчет коэффициентов ценовой эластичности

В таблице представлена шкала спроса на яйца в течение месяца.

Вычислите суммарные доходы (расходы) в ден. ед. и коэффициенты ценовой эластичности спроса, заполнив соответствующие графы. Сделайте вывод о характере взаимосвязей между выручкой и ценовой эластичностью спроса.

Решение:

В таблице в первой графе приведены цены, во второй – объемы спроса при соответствующих ценах. Поэтому, чтобы получить общий (суммарный) доход, необходимо указанные цены перемножить на указанные величины объемов спроса. Суммарный доход представлен в третьей графе таблицы.

Для определения ценовой эластичности спроса используется формула: КС=ΔQ/ΔЦ, КС – коэффициент эластичности по цене; ΔЦ – изменение цены (в %); ΔQ – изменение величины спроса (в %).

Однако данный коэффициент обладает недостатком – его величина получается различной в зависимости от того, речь идет о повышении или о понижении цены, так как исходная база для расчета будет разная. Поэтому для расчета коэффициента эластичности спроса используется более объективный показатель – коэффициент дуговой эластичности:

Кдс=(ΔQ/Qср)/(ΔЦ/Цср), где Qср – средний объем спроса между исходным и конечным их объемами; Цср – средняя цена между начальной и конечной ценами.

В качестве примера рассчитаем Кдс для первого случая: цена снизилась с 12 ден. ед. до 10 ден. ед.; объем спроса в результате данного снижения цены увеличился с 20 тыс. ед. до 40 тыс. ед. В нашем задании изменение цены (ΔЦ) составило 2 ден. ед. (12 - 10), изменение величины спроса (ΔQ) – 20 ед. (40 - 20). Средняя цена равна 11 ден. ед. ((12+10)/2), а средний объем 30 ед. ((20+40)/2). Подставив данные значения в Кдс, получим:

Кдс=(ΔQ/Qср)/(ΔЦ/Цср)=(20/30)÷(2/11)=3,7.

Подобным образом рассчитаем остальные коэффициенты ценовой эластичности спроса. Они представлены в четвертой графе табл.

Для выделения отрезков эластичного и неэластичного спроса на построенной кривой спроса необходимо знать, что критерием эластичного спроса является Кдс>1, а неэластичного спроса Кдс<1. Поэтому единичная эластичность выступает в качестве разграничителя этих двух отрезков кривой спроса. В нашем примере единичная эластичность соответствует цене в размере 7 ден. ед. и объему спроса в размере 70 тыс. ед.

До тех пор, пока спрос эластичен, суммарный доход возрастает, тогда как на участке неэластичного спроса он сокращается.

Задача

Предложение на товар А предъявляют три покупателя. Первый согласен платить за 1 экземпляр товара – 10 долл., второй – 7 долл., третий – 5 долл. Предложение производителя составляет 1 экземпляр товара А при издержках на его производство – 7 долл. Спрашивается, по какой цене производитель продаст свой товар?

По какой цене сможет продать свой товар производитель, если он увеличит производство до 3 единиц при тех же издержках на единицу товара? Будет ли он сокращать предложение товара и до какого предела?

Решение задачи:

Если предложение производителя составляет 1 экземпляр товара А при издержках на его производство – 7 долл., то этот производитель, максимизируя прибыль, реализует 1 экземпляр товара первому покупателю. Прибыль при этом составит 10-7=3 долл.

Если производитель увеличит производство до 3 единиц при тех же издержках на единицу товара, то, применяя гибкую ценовую политику, реализовать эти 3 экземпляра он сможет первому покупателю по 10 долл., второму – по 7 долл., третьему – по 5 долл. Средняя цена реализации составит: (10+7+5)/3=7,33 долл.

Прибыль производителя при этом составит: (7,33-7)×3=0,99≈1 долл.

Для того, чтобы сказать, до какого предела производитель снизит уровень производства, рассчитаем его прибыль при реализации двух единиц продукции и сравним полученные результаты.

Произведя две единицы продукции, производитель, применяя гибкую ценовую политику, реализует их первому покупателю по цене 10 долл., второму покупателю – по 7 долл. Средняя цена реализации составит: (10+7)/2=8,5 долл.

Прибыль этом составит: (8,5-7)×2=3 долл.

Сравним полученные результаты:

Таким образом, производитель имеет три альтернативы производства, две из которых дают максимальную для этого производителя прибыль – 3 долл.