Statisztikai módszerek. A bizonytalanságok leírásának valószínűségi és statisztikai módszereinek alapjai A tudományos kutatás általános logikai módszerei

3.5.1. Valószínűségi-statisztikai kutatási módszer.

Sok esetben nemcsak determinisztikus, hanem véletlenszerű valószínűségi (statisztikai) folyamatok vizsgálatára is szükség van. Ezeket a folyamatokat a valószínűségszámítás alapján vizsgáljuk.

Az x valószínűségi változó halmaza képezi az elsődleges matematikai anyagot. Egy halmazon homogén események halmazát értjük. A tömegjelenség legkülönfélébb változatait tartalmazó halmazt általános populációnak, ill nagy minta N.Általában a populációnak csak egy részét vizsgálják, ún választható populáció vagy kis minta.

Valószínűség P(x) eseményeket x esetszám arányának nevezzük N(x), amelyek egy esemény bekövetkezéséhez vezetnek x, a lehetséges esetek teljes számához N:

P(x)=N(x)/N.

Valószínűségi elmélet a valószínűségi változók elméleti eloszlását és jellemzőit vizsgálja.

Matematikai statisztika az empirikus események feldolgozásának és elemzésének módjaival foglalkozik.

Ez a két rokon tudomány a tömeges véletlenszerű folyamatok egyetlen matematikai elméletét alkotja, amelyet széles körben használnak tudományos kutatás elemzésére.

A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika módszereit nagyon gyakran alkalmazzák a megbízhatóság, a túlélés és a biztonság elméletében, amelyet széles körben alkalmaznak a tudomány és a technológia különböző ágaiban.

3.5.2. Statisztikai modellezés vagy statisztikai tesztelés módszere (Monte Carlo módszer).

Ez a módszer egy numerikus módszer összetett problémák megoldására, és a valószínűségi folyamatokat modellező véletlen számok használatán alapul. A módszer megoldásának eredményei lehetővé teszik a vizsgált folyamatok függőségének empirikus megállapítását.

A Monte Carlo módszerrel történő problémák megoldása csak nagy sebességű számítógépek használatával hatékony. A Monte Carlo módszerrel történő problémák megoldásához rendelkeznie kell egy statisztikai sorozattal, ismernie kell eloszlásának törvényét, az átlagértéket és a matematikai elvárást. t(x), szórás.

Ezzel a módszerrel a megoldás tetszőlegesen megadott pontosságát kaphatja meg, pl.

-> t(x)

3.5.3. Rendszerelemzési módszer.

A rendszerelemzés alatt a komplex rendszerek tanulmányozására szolgáló technikák és módszerek összességét értjük, amelyek egymással kölcsönhatásban álló elemek összetett halmaza. A rendszerelemek kölcsönhatását közvetlen és visszacsatolásos kapcsolatok jellemzik.

A rendszerelemzés lényege, hogy azonosítsa ezeket az összefüggéseket, és megállapítsa hatásukat a rendszer egészének viselkedésére. A legteljesebb és legmélyebb rendszerelemzés a kibernetika módszereivel végezhető el, amely a komplex dinamikus rendszerek tudománya, amely képes az információk észlelésére, tárolására és optimalizálási és ellenőrzési célú feldolgozására.

A rendszerelemzés négy szakaszból áll.

Az első szakasz a probléma megfogalmazása: meghatározzák a vizsgálat tárgyát, céljait és célkitűzéseit, valamint a tárgy tanulmányozásának és kezelésének kritériumait.

A második szakaszban meghatározzák a vizsgált rendszer határait és meghatározzák a szerkezetét. A célhoz kapcsolódó összes objektum és folyamat két osztályra oszlik - magára a vizsgált rendszerre és a külső környezetre. Megkülönböztetni zárvaÉs nyisd ki rendszerek. A zárt rendszerek tanulmányozása során figyelmen kívül hagyjuk a külső környezet viselkedésükre gyakorolt hatását. Ezután a rendszer egyes összetevőit - elemeit - azonosítják, és létrejönnek a köztük lévő kölcsönhatás a külső környezettel.

A rendszerelemzés harmadik szakasza a vizsgált rendszer matematikai modelljének összeállítása. Először a rendszer paraméterezése, a rendszer fő elemei és a rá gyakorolt elemi hatások leírása meghatározott paraméterek segítségével. Ugyanakkor megkülönböztetünk folyamatos és diszkrét, determinisztikus és valószínűségi folyamatokat jellemző paramétereket. A folyamatok jellemzőitől függően egy vagy másik matematikai berendezést használnak.

A rendszerelemzés harmadik szakaszának eredményeként a rendszer teljes matematikai modelljei jönnek létre, amelyeket formális, például algoritmikus nyelven írnak le.

A negyedik szakaszban a kapott matematikai modell elemzése, szélsőséges feltételeinek meghatározása a folyamatok és irányítási rendszerek optimalizálása érdekében, következtetések megfogalmazása. Az optimalizálás az optimalizálási kritérium szerint történik, amely ebben az esetben szélsőséges értékeket vesz fel (minimum, maximum, minimax).

Általában egy kritériumot választanak ki, és a többihez a megengedett maximális küszöbértékeket állítják be. Néha vegyes kritériumokat használnak, amelyek az elsődleges paraméterek függvényei.

A kiválasztott optimalizálási kritérium alapján felvázoljuk az optimalizálási kritérium függését a vizsgált objektum (folyamat) modelljének paramétereitől.

A vizsgált modellek optimalizálására különféle matematikai módszerek ismertek: lineáris, nemlineáris vagy dinamikus programozás módszerei; sorban állás elméleten alapuló valószínűségi-statisztikai módszerek; játékelmélet, amely a folyamatok fejlődését véletlenszerű helyzetnek tekinti.

A tudás önkontrollának kérdései

Az elméleti kutatás módszertana.

A tudományos kutatás elméleti fejlődési szakaszának főbb szakaszai.

A modellek típusai és a kutatási objektum modellezésének típusai.

Analitikai kutatási módszerek.

A kutatás analitikai módszerei kísérlet segítségével.

Valószínűségi-analitikus kutatási módszer.

Statikus modellezési módszerek (Monte Carlo módszer).

Rendszerelemzési módszer.

Hogyan használják a valószínűségszámítást és a matematikai statisztikát? Ezek a diszciplínák képezik a valószínűségi és statisztikai döntéshozatali módszerek alapját. Matematikai apparátusuk használatához szükséges, hogy a döntéshozatali problémákat valószínűségi-statisztikai modellekkel fejezzék ki. Egy konkrét valószínűség-statisztikai döntéshozatali módszer alkalmazása három szakaszból áll:

Az átmenet a gazdasági, vezetési, technológiai valóságról az elvont matematikai és statisztikai sémára, i.e. ellenőrzési rendszer valószínűségi modelljének felépítése, technológiai folyamat, döntéshozatali eljárás, különös tekintettel a statisztikai ellenőrzés eredményeire stb.

Számítások elvégzése és következtetések levonása tisztán matematikai eszközökkel valószínűségi modell keretein belül;

A valós helyzetre vonatkozó matematikai és statisztikai következtetések értelmezése és megfelelő döntés meghozatala (például a termék minőségének a megállapított követelményeknek való megfeleléséről vagy nem megfelelőségéről, a technológiai folyamat kiigazításának szükségességéről stb.), így különösen, következtetések (a hibás termékegységek arányáról egy tételben, a technológiai folyamat szabályozott paramétereinek eloszlásának konkrét formáiról stb.).

A matematikai statisztika a valószínűségszámítás fogalmait, módszereit és eredményeit használja. Tekintsük a gazdasági, vezetési, technológiai és egyéb helyzetekben a döntéshozatal valószínűségi modelljeinek felépítésének fő kérdéseit. A valószínűségszámítási és statisztikai döntéshozatali módszerekre vonatkozó szabályozási, műszaki és oktatóanyagok aktív és helyes használatához előzetes ismeretek szükségesek. Tudni kell tehát, hogy egy adott dokumentumot milyen feltételek mellett kell felhasználni, milyen kiindulási információkkal kell rendelkezni a kiválasztásához és alkalmazásához, milyen döntéseket kell meghozni az adatfeldolgozás eredményei alapján stb.

Alkalmazási példák valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Lássunk néhány példát, ahol a valószínűségi-statisztikai modellek jó eszközt jelentenek a gazdálkodási, termelési, gazdasági és nemzetgazdasági problémák megoldására. Így például A. N. Tolsztoj „Séta a gyötrelemben” című regényében (1. kötet) ez áll: „a műhelyben a selejt huszonhárom százaléka áll rendelkezésre, ön ragaszkodik ehhez az adathoz” – mondta Sztrukov Ivan Iljicsnek.

Felmerül a kérdés, hogyan kell érteni ezeket a szavakat a gyárvezetők beszélgetésében, hiszen egy termelési egység nem lehet 23%-ban hibás. Lehet jó vagy hibás. Strukov valószínűleg arra gondolt, hogy egy nagy volumenű tétel körülbelül 23%-ban hibás gyártási egységet tartalmaz. Felmerül a kérdés, hogy mit jelent a „körülbelül”? Legyen 100 tesztelt gyártási egységből 30 hibás, vagy 1000-300-ból, vagy 100 000-ből 30 000-ből stb., meg kell-e vádolni Strukovot hazugsággal?

Vagy egy másik példa. A tételként használt érmének „szimmetrikusnak” kell lennie, pl. dobáskor átlagosan az esetek felében a címernek kell megjelennie, és az esetek felében - egy hash (farok, szám). De mit jelent az „átlagosan”? Ha minden sorozatban sok 10-es feldobást hajtasz végre, akkor gyakran találkozhatsz olyan sorozatokkal, amelyekben az érme négyszer kerül címerként. Egy szimmetrikus érme esetében ez a futások 20,5%-ában fog megtörténni. És ha 100 000 feldobás után 40 000 címer van, akkor szimmetrikusnak tekinthető az érme? A döntéshozatali eljárás valószínűségszámításon és matematikai statisztikákon alapul.

Lehet, hogy a szóban forgó példa nem tűnik elég komolynak. Azonban nem. A sorsolást széles körben alkalmazzák ipari műszaki és gazdasági kísérletek szervezésében, például a csapágyak minőségi mutatójának (súrlódási nyomatékának) mérési eredményeinek feldolgozásakor a különböző technológiai tényezők függvényében (a konzerváló környezet hatása, a csapágyak mérés előtti előkészítésének módszerei) , a csapágyterhelések hatása a mérési folyamat során stb.). Tegyük fel, hogy össze kell hasonlítani a csapágyak minőségét a különböző tartósítóolajokban való tárolásuk eredményétől függően, pl. összetételű olajokban AÉs BAN BEN. Egy ilyen kísérlet tervezésekor felmerül a kérdés, hogy mely csapágyakat kell elhelyezni a kompozíció olajában A, és melyek - az olajösszetételben BAN BEN, de úgy, hogy elkerüljük a szubjektivitást és biztosítsuk a meghozott döntés objektivitását.

Erre a kérdésre sorshúzással kaphatjuk meg a választ. Hasonló példa adható bármely termék minőségellenőrzésére. Annak eldöntésére, hogy az ellenőrzött terméktétel megfelel-e vagy sem a megállapított követelményeknek, abból mintát választanak ki. A mintaellenőrzés eredményei alapján következtetést vonunk le a teljes tételre vonatkozóan. Ebben az esetben nagyon fontos elkerülni a szubjektivitást a mintaképzés során, vagyis szükséges, hogy az ellenőrzött tételben minden termékegység azonos valószínűséggel kerüljön kiválasztásra a mintába. Gyártási körülmények között a minta termékegységeinek kiválasztása általában nem sorsolással, hanem speciális véletlenszám-táblázatokkal vagy számítógépes véletlenszám-érzékelők segítségével történik.

Hasonló problémák merülnek fel az összehasonlítás objektivitásának biztosításával kapcsolatban, amikor összehasonlítják a különböző termelésszervezési, díjazási rendszereket, pályázatok és versenyvizsgák során, jelölteket választanak ki az üres pozíciókra stb. Mindenhol döntetlenre vagy hasonló eljárásokra van szükségünk. Magyarázzuk meg a legerősebb és a második legerősebb csapatok azonosításának példájával az olimpiai rendszer szerinti torna rendezése során (a vesztes kiesik). Mindig az erősebb csapat győzze le a gyengébbet. Egyértelmű, hogy minden bizonnyal a legerősebb csapat lesz a bajnok. A második legerősebb csapat akkor és csak akkor jut a döntőbe, ha a döntő előtt nem játszik a leendő bajnokkal. Ha ilyen játékot terveznek, a második legerősebb csapat nem jut be a döntőbe. A tornát tervező vagy idő előtt „kiütheti” a tornából a második legerősebb csapatot, az első találkozón megmérkőzve a listavezetővel, vagy a második helyet biztosítva a gyengébb csapatokkal egészen a találkozóig. végső. A szubjektivitás elkerülése érdekében sorsolás történik. Egy 8 csapatos tornán 4/7 annak a valószínűsége, hogy az első két helyezett találkozik a döntőben. Ennek megfelelően 3/7-es valószínűséggel a második legerősebb csapat hamarabb távozik a tornáról.

A termék mértékegységeinek bármely mérése (mérőmérővel, mikrométerrel, ampermérővel stb.) hibákat tartalmaz. Annak megállapításához, hogy vannak-e szisztematikus hibák, ismételt méréseket kell végezni egy ismert jellemzőkkel rendelkező termékegységen (például egy standard mintán). Emlékeztetni kell arra, hogy a szisztematikus hiba mellett véletlenszerű hiba is előfordul.

Felmerül tehát a kérdés, hogy a mérési eredményekből hogyan lehet kideríteni, hogy van-e szisztematikus hiba. Ha csak azt jegyezzük meg, hogy a következő mérés során kapott hiba pozitív vagy negatív, akkor ez a feladat az előzőre redukálható. Valóban, hasonlítsunk össze egy mérést az érme eldobásával, a pozitív hibát a címer elvesztésével, a negatív hibát egy rácshoz (a megfelelő számú skálaosztással nulla hiba szinte soha nem fordul elő). Ekkor a szisztematikus hiba hiányának ellenőrzése egyenértékű az érme szimmetriájának ellenőrzésével.

E megfontolások célja, hogy a szisztematikus hiba hiányának ellenőrzésének problémáját az érme szimmetriájának ellenőrzésére redukálják. A fenti érvelés a matematikai statisztikában az úgynevezett „előjelkritériumhoz” vezet.

A technológiai folyamatok statisztikai szabályozása során a matematikai statisztika módszerei alapján a statisztikai folyamatszabályozás szabályait és terveit dolgozzák ki, amelyek célja a technológiai folyamatok problémáinak időben történő észlelése, és intézkedések megtétele azok kiigazítására és a nem megfelelő termékek kibocsátásának megakadályozására. megfelelnek a megállapított követelményeknek. Ezek az intézkedések a termelési költségek és a gyenge minőségű egységek szállításából származó veszteségek csökkentését célozzák. A statisztikai átvétel-ellenőrzés során a matematikai statisztika módszerei alapján minőség-ellenőrzési terveket dolgoznak ki terméktételekből származó minták elemzésével. A nehézség abban rejlik, hogy a döntéshozatal valószínűségi-statisztikai modelljeit helyesen tudjuk felépíteni, amelyek alapján a fent feltett kérdések megválaszolhatók. A matematikai statisztikában erre a célra valószínűségi modelleket és hipotézisek tesztelésére szolgáló módszereket dolgoztak ki, különösen azokat a hipotéziseket, amelyek szerint a hibás termelési egységek aránya egy bizonyos számmal egyenlő. R 0 , Például, R 0 = 0,23 (emlékezzünk Sztrukov szavaira A. N. Tolsztoj regényéből).

Értékelési feladatok. Számos vezetési, termelési, gazdasági és nemzetgazdasági helyzetben más típusú problémák merülnek fel - a valószínűségi eloszlások jellemzőinek és paramétereinek értékelési problémái.

Nézzünk egy példát. Hagyj egy adagot N elektromos lámpák Ebből a tételből egy minta n elektromos lámpák Számos természetes kérdés merül fel. Hogyan határozható meg az elektromos lámpák átlagos élettartama a mintaelemek vizsgálati eredményei alapján, és milyen pontossággal értékelhető ez a jellemző? Hogyan változik a pontosság, ha nagyobb mintát veszünk? Hány óraszámban T garantálható, hogy az elektromos lámpák legalább 90%-a kitart Tés még több óra?

Tegyük fel, hogy a mintaméret tesztelésekor n elektromos lámpák hibásnak bizonyultak x elektromos lámpák Ekkor a következő kérdések merülnek fel. Milyen határok adhatók meg egy számhoz? D hibás izzók egy tételben, a hibásság mértékére D/ N stb.?

Vagy a technológiai folyamatok pontosságának és stabilitásának statisztikai elemzésekor olyan minőségi mutatókat kell értékelni, mint a szabályozott paraméter átlagos értéke és szórásának mértéke a vizsgált folyamatban. A valószínűségszámítás szerint ennek matematikai elvárását célszerű egy valószínűségi változó átlagértékeként használni, a szórás statisztikai jellemzőjeként pedig a szórást, a szórást vagy a variációs együtthatót. Ez felveti a kérdést: hogyan lehet megbecsülni ezeket a statisztikai jellemzőket a mintaadatokból, és milyen pontossággal lehet ezt megtenni? Sok hasonló példát lehet hozni. Itt fontos volt bemutatni, hogy a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika hogyan használható a termelésirányításban a termékminőség statisztikai irányítása terén hozott döntések meghozatalakor.

Mi az a „matematikai statisztika”? A matematikai statisztika alatt „a matematika azon ágát értjük, amely a statisztikai adatok gyűjtésének, rendszerezésének, feldolgozásának és értelmezésének matematikai módszereinek szentelt, valamint tudományos vagy gyakorlati következtetések levonására. A matematikai statisztika szabályai és eljárásai a valószínűségszámításon alapulnak, amely lehetővé teszi, hogy a rendelkezésre álló statisztikai anyagok alapján értékeljük az egyes problémákban levont következtetések pontosságát és megbízhatóságát.” Ebben az esetben a statisztikai adatok a többé-kevésbé kiterjedt gyűjteményben lévő, bizonyos jellemzőkkel rendelkező objektumok számára vonatkozó információkra utalnak.

A megoldandó problémák típusa alapján a matematikai statisztikákat általában három részre osztják: adatleírásra, becslésre és hipotézisvizsgálatra.

A feldolgozott statisztikai adatok típusa alapján a matematikai statisztika négy területre oszlik:

Egyváltozós statisztika (valószínűségi változók statisztikája), amelyben egy megfigyelés eredményét valós szám írja le;

Többváltozós statisztikai elemzés, ahol egy objektum megfigyelésének eredményét több szám (vektor) írja le;

Véletlenszerű folyamatok és idősorok statisztikája, ahol a megfigyelés eredménye egy függvény;

Nem numerikus természetű objektumok statisztikái, amelyekben a megfigyelés eredménye nem numerikus jellegű, például halmaz (geometriai ábra), rendezés, vagy mérés eredményeként kapott. minőségi kritérium.

Történelmileg a nem numerikus jellegű objektumok statisztikájának egyes területei (különösen a hibák arányának becslésének és az ezzel kapcsolatos hipotézisek tesztelésének problémái) és az egydimenziós statisztikák jelentek meg először. Számukra egyszerűbb a matematikai apparátus, így példájukat általában a matematikai statisztika alapgondolatainak bemutatására használják.

Csak azok az adatfeldolgozási módszerek, pl. A matematikai statisztika bizonyítékokon alapul, amelyek a releváns valós jelenségek és folyamatok valószínűségi modelljein alapulnak. Beszélünk a fogyasztói magatartás modelljeiről, a kockázatok előfordulásáról, a technológiai berendezések működéséről, a kísérleti eredmények megszerzéséről, egy betegség lefolyásáról stb. Egy valós jelenség valószínűségi modelljét megszerkesztettnek kell tekinteni, ha a vizsgált mennyiségek és a köztük lévő összefüggések valószínűségszámítással fejeződnek ki. A valóság valószínűségi modelljének való megfelelés, i.e. megfelelőségét különösen statisztikai módszerekkel támasztják alá a hipotézisek tesztelésére.

Az adatfeldolgozás nem valószínűségi módszerei feltáró jellegűek, csak előzetes adatelemzésben használhatók, mivel nem teszik lehetővé a korlátozott statisztikai anyag alapján levont következtetések pontosságának és megbízhatóságának megítélését.

Valószínűségi és statisztikai módszerek mindenhol alkalmazhatók, ahol lehetséges egy jelenség vagy folyamat valószínűségi modelljének megalkotása és igazolása. Használatuk akkor kötelező, ha a mintaadatokból levont következtetéseket a teljes sokaságra átvisszük (például egy mintából egy teljes terméktételre).

Konkrét alkalmazási területeken mind a valószínűségszámítási, mind a statisztikai, mind az általánosan alkalmazható, mind pedig a specifikus módszereket alkalmazzák. Például a termelésirányításnak a termékminőség-menedzsment statisztikai módszereivel foglalkozó részében alkalmazott matematikai statisztikát (beleértve a kísérletek tervezését is) alkalmazzák. Módszereivel a technológiai folyamatok pontosságának és stabilitásának statisztikai elemzése, statisztikai minőségértékelés történik. A konkrét módszerek közé tartoznak a termékminőség statisztikai átvétel-ellenőrzési módszerei, a technológiai folyamatok statisztikai szabályozása, a megbízhatóság értékelése és ellenőrzése stb.

Az alkalmazott valószínűségszámítási és statisztikai diszciplínákat, például a megbízhatóságelméletet és a sorban álláselméletet széles körben használják. Az első tartalma a névből kiderül, a második olyan rendszerek tanulmányozásával foglalkozik, mint például a telefonközpont, amely véletlenszerűen fogadja a hívásokat - a telefonkészülékükön számot tárcsázó előfizetők követelményeivel. Ezen követelmények kiszolgálásának időtartama, pl. a beszélgetések időtartamát is valószínűségi változók modellezik. E tudományágak fejlődéséhez nagymértékben hozzájárult a Szovjetunió Tudományos Akadémia levelező tagja, A.Ya. Khinchin (1894-1959), az Ukrán SSR Tudományos Akadémia akadémikusa B.V. Gnedenko (1912-1995) és más hazai tudósok.

Röviden a matematikai statisztika történetéről. A matematikai statisztika, mint tudomány a híres német matematikus, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) munkáival kezdődik, aki a valószínűségszámítás alapján vizsgálta és igazolta az általa 1795-ben megalkotott, csillagászati adatok feldolgozására használt legkisebb négyzetek módszerét. egy kis Ceres bolygó pályájának tisztázása érdekében). Az egyik legnépszerűbb valószínűségi eloszlást, a normált gyakran róla nevezik el, és a véletlenszerű folyamatok elméletében a fő vizsgálati tárgy a Gauss-folyamatok.

A 19. század végén. – 20. század eleje A matematikai statisztikákhoz jelentős mértékben hozzájárultak az angol kutatók, elsősorban K. Pearson (1857-1936) és R. A. Fisher (1890-1962). Pearson kidolgozta a khi-négyzet tesztet a statisztikai hipotézisek tesztelésére, Fisher pedig a varianciaanalízist, a kísérleti tervezés elméletét és a paraméterek becslésére szolgáló maximum likelihood módszert.

A huszadik század 30-as éveiben. A lengyel Jerzy Neumann (1894-1977) és az angol E. Pearson kidolgozta a statisztikai hipotézisek tesztelésének általános elméletét, és a szovjet matematikusok, akadémikus A.N. Kolmogorov (1903-1987) és a Szovjetunió Tudományos Akadémia levelező tagja, N. V. Smirnov (1900-1966) lefektette a nemparaméteres statisztika alapjait. A huszadik század negyvenes éveiben. A román A. Wald (1902-1950) felépítette a szekvenciális statisztikai elemzés elméletét.

A matematikai statisztika napjainkban gyorsan fejlődik. Így az elmúlt 40 év során négy alapvetően új kutatási terület különíthető el:

Kísérletek tervezésére szolgáló matematikai módszerek kidolgozása és megvalósítása;

Nem numerikus jellegű objektumok statisztikájának fejlesztése, mint önálló irány az alkalmazott matematikai statisztikában;

Az alkalmazott valószínűségi modelltől való kis eltérésekkel szemben ellenálló statisztikai módszerek kidolgozása;

A statisztikai adatelemzésre tervezett számítógépes szoftvercsomagok létrehozásával kapcsolatos munka széles körű fejlesztése.

Valószínűségi-statisztikai módszerek és optimalizálás. Az optimalizálás gondolata áthatja a modern alkalmazott matematikai statisztikákat és más statisztikai módszereket. Nevezetesen a tervezési kísérletek módszerei, a statisztikai átvétel-ellenőrzés, a technológiai folyamatok statisztikai szabályozása stb. Másrészt az optimalizálási megfogalmazások a döntéshozatalelméletben, például a termékminőség és szabványkövetelmények optimalizálásának alkalmazott elmélete biztosítják a a valószínűségi statisztikai módszerek széles körben elterjedt alkalmazása, elsősorban az alkalmazott matematikai statisztika.

A termelésirányításban, különösen a termékminőség és a szabványos követelmények optimalizálásakor különösen fontos a statisztikai módszerek alkalmazása a termék életciklusának kezdeti szakaszában, azaz. a kutatási szakaszban a kísérleti tervezési fejlesztések előkészítése (ígéretes termékkövetelmények kidolgozása, előzetes tervezés, műszaki specifikációk a kísérleti tervfejlesztéshez). Ennek oka a termék életciklusának kezdeti szakaszában rendelkezésre álló információk korlátozottsága, valamint a műszaki képességek és gazdasági helyzet jövőbeli előrejelzésének szükségessége. Statisztikai módszereket kell alkalmazni az optimalizálási probléma megoldásának minden szakaszában - a változók skálázásakor, a termékek és rendszerek működésének matematikai modelljeinek kidolgozásakor, műszaki és gazdasági kísérletek végzésekor stb.

Az optimalizálási problémákban, beleértve a termékminőség optimalizálását és a szabványos követelményeket, a statisztikai adatok minden területét felhasználják. Nevezetesen a valószínűségi változók statisztikája, többváltozós statisztikai elemzés, véletlenszerű folyamatok és idősorok statisztikái, nem numerikus jellegű objektumok statisztikái. Konkrét adatok elemzésére célszerű statisztikai módszert választani az ajánlásoknak megfelelően.

Küldje el a jó munkát a tudásbázis egyszerű. Használja az alábbi űrlapot

Diákok, végzős hallgatók, fiatal tudósok, akik a tudásbázist tanulmányaikban és munkájukban használják, nagyon hálásak lesznek Önnek.

közzétett http://www.allbest.ru/

Bevezetés

1. Khi-négyzet eloszlás

Következtetés

Alkalmazás

Bevezetés

Hogyan hasznosulnak az életünkben a valószínűségszámítás megközelítései, ötletei és eredményei? matematikai négyzetelmélet

Az alap egy valós jelenség vagy folyamat valószínűségi modellje, azaz. olyan matematikai modell, amelyben az objektív összefüggéseket valószínűségszámítással fejezik ki. A valószínűségek elsősorban a döntéshozatal során figyelembe veendő bizonytalanságok leírására szolgálnak. Ez egyaránt vonatkozik a nemkívánatos lehetőségekre (kockázatokra) és a vonzó lehetőségekre ("szerencsés véletlen"). Néha a véletlenszerűséget szándékosan bevezetik egy helyzetbe, például sorshúzáskor, véletlenszerűen kiválasztják az ellenőrzési egységeket, sorsolást vagy fogyasztói felméréseket végeznek.

A valószínűségszámítás lehetővé teszi, hogy egy valószínűséget használjunk a kutatót érdeklő egyéb valószínűségek kiszámításához.

Egy jelenség vagy folyamat valószínűségi modellje a matematikai statisztika alapja. Két párhuzamos fogalomsorozatot használnak - az elmélettel kapcsolatosakat (valószínűségi modell) és a gyakorlattal kapcsolatosakat (a megfigyelési eredmények mintavétele). Például az elméleti valószínűség megfelel a mintából talált gyakoriságnak. A matematikai elvárás (elméleti sorozat) megfelel a minta számtani átlagának (gyakorlati sorozat). A minta jellemzői általában az elméleti jellemzők becslései. Ugyanakkor az elméleti sorozathoz kapcsolódó mennyiségek „a kutatók fejében járnak”, az eszmevilághoz kapcsolódnak (Platón ógörög filozófus szerint), közvetlen mérésre nem állnak rendelkezésre. A kutatók csak mintaadatokkal rendelkeznek, amelyekkel megpróbálják megállapítani az őket érdeklő elméleti valószínűségi modell tulajdonságait.

Miért van szükség valószínűségi modellre? A helyzet az, hogy csak a segítségével lehet egy adott minta elemzéséből megállapított tulajdonságokat átvinni más mintákba, valamint a teljes, úgynevezett általános sokaságra. A "populáció" kifejezést a vizsgált egységek nagy, de véges gyűjteményére utalják. Például Oroszország összes lakosáról vagy Moszkvában az instant kávét fogyasztók összességéről. A marketing- vagy szociológiai felmérések célja, hogy több száz vagy több ezer fős mintából nyert állításokat több millió fős populációra továbbítsák. A minőség-ellenőrzés során a termékek egy tétele általános populációként működik.

Ahhoz, hogy egy mintából levonjuk a következtetéseket egy nagyobb sokaságra, bizonyos feltételezésekre van szükség a minta jellemzőinek e nagyobb sokaság jellemzőivel való kapcsolatáról. Ezek a feltételezések egy megfelelő valószínűségi modellen alapulnak.

Természetesen lehetséges a mintaadatok feldolgozása egyik vagy másik valószínűségi modell használata nélkül. Például kiszámíthat minta számtani átlagot, megszámolhatja bizonyos feltételek teljesítésének gyakoriságát stb. A számítási eredmények azonban csak egy adott mintára vonatkoznak, ha a segítségükkel kapott következtetéseket bármely más populációra átvinnék. Ezt a tevékenységet néha „adatelemzésnek” is nevezik. A valószínűségi-statisztikai módszerekkel összehasonlítva az adatelemzésnek korlátozott az oktatási értéke.

Tehát a valószínűségi-statisztikai döntéshozatali módszerek lényege a hipotézisek becslésén és mintakarakterisztikával történő tesztelésén alapuló valószínűségi modellek alkalmazása.

1. Khi-négyzet eloszlás

A normál eloszlás felhasználásával három olyan eloszlást definiálunk, amelyeket ma már gyakran használnak a statisztikai adatfeldolgozásban. Ezek a Pearson („khi-négyzet”), Student és Fisher eloszlások.

Az eloszlásra („khi-négyzet”) fogunk összpontosítani. Ezt az eloszlást először F. Helmert csillagász tanulmányozta 1876-ban. A Gauss-féle hibaelmélet kapcsán n független, normál eloszlású valószínűségi változó négyzetösszegét vizsgálta. Később Karl Pearson a „khi-négyzet” nevet adta ennek az eloszlási függvénynek. És most a terjesztés az ő nevét viseli.

A h2 eloszlás a normális eloszlással való szoros kapcsolata miatt fontos szerepet játszik a valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában. A h2-eloszlás és sok más, a h2-eloszlás által meghatározott eloszlás (például a Student-eloszlás) különböző függvények mintaeloszlását írja le normális eloszlású megfigyelési eredményekből, és konfidenciaintervallumok és statisztikai tesztek készítésére szolgál.

Pearson-eloszlás (chi - négyzet) - egy valószínűségi változó eloszlása, ahol X1, X2,..., Xn normális független valószínűségi változók, és mindegyik matematikai elvárása nulla, a szórása pedig egy.

Négyzetek összege

törvény szerint elosztva („chi - square”).

Ebben az esetben a kifejezések száma, pl. n-t a khi-négyzet eloszlás "szabadságfokainak számának" nevezzük. A szabadsági fokok számának növekedésével az eloszlás lassan megközelíti a normálisat.

Ennek az eloszlásnak a sűrűsége

Tehát a h2 eloszlás egy n paramétertől függ - a szabadsági fokok számától.

A h2 eloszlásfüggvény alakja:

ha h2?0. (2.7.)

Az 1. ábra a valószínűségi sűrűség és a h2 eloszlás függvényeinek grafikonját mutatja különböző szabadsági fokokhoz.

1. ábra A q (x) valószínűségi sűrűség függése a h2 (chi - négyzet) eloszlásban különböző számú szabadsági fokra

A khi-négyzet eloszlás mozzanatai:

A khi-négyzet eloszlást a variancia becslésére (konfidenciaintervallum segítségével), az egyezés, homogenitás, függetlenség hipotéziseinek tesztelésére, elsősorban véges számú értéket felvevő kvalitatív (kategorizált) változókra, valamint a statisztikai adatelemzés számos más feladatára használják. .

2. "Khi-négyzet" a statisztikai adatelemzés problémáiban

Az adatelemzés statisztikai módszereit az emberi tevékenység szinte minden területén alkalmazzák. Ezeket akkor használják, amikor valamilyen belső heterogenitású csoportról (tárgyakról vagy szubjektumokról) kapcsolatos ítéletek megszerzése és igazolása szükséges.

A statisztikai módszerek fejlődésének modern szakaszát 1900-tól lehet számítani, amikor az angol K. Pearson megalapította a „Biometrika” című folyóiratot. A huszadik század első harmada. paraméteres statisztika jele alatt ment át. A módszereket a Pearson családgörbék által leírt paraméteres eloszláscsaládok adatainak elemzése alapján tanulmányoztuk. A legnépszerűbb a normál eloszlás volt. A hipotézisek tesztelésére Pearson, Student és Fisher teszteket használtunk. Javaslatot tettek a maximum likelihood módszerre és a varianciaanalízisre, valamint megfogalmazásra kerültek a kísérlettervezés alapelvei.

A khi-négyzet eloszlás az egyik legszélesebb körben használt statisztika a statisztikai hipotézisek tesztelésére. A khi-négyzet eloszlás alapján megalkotják az egyik legerősebb illeszkedési tesztet - a Pearson khi-négyzet tesztet.

Az egyezés kritériuma az ismeretlen eloszlás feltételezett törvényére vonatkozó hipotézis tesztelésének kritériuma.

A h2 teszt („khi-négyzet”) a különféle eloszlások hipotézisének tesztelésére szolgál. Ez az ő méltósága.

A kritérium számítási képlete egyenlő

ahol m és m" empirikus, illetve elméleti frekvenciák

a kérdéses elosztás;

n a szabadságfokok száma.

Az ellenőrzéshez össze kell hasonlítanunk az empirikus (megfigyelt) és az elméleti (normális eloszlás feltételezésével számolt) gyakoriságokat.

Ha az empirikus gyakoriságok teljesen egybeesnek a számított vagy várt gyakoriságokkal, akkor S (E - T) = 0 és a h2 ismérv is nulla lesz. Ha S (E - T) nem egyenlő nullával, ez eltérést jelez a számított frekvenciák és a sorozat tapasztalati gyakoriságai között. Ilyen esetekben értékelni kell a h2 kritérium jelentőségét, amely elméletileg nullától a végtelenig változhat. Ez a h2f tényleges értékének a kritikus értékével (h2st) való összehasonlításával történik. A nullhipotézis, vagyis az a feltételezés, hogy az empirikus és az elméleti vagy várható gyakoriságok közötti eltérés véletlenszerű, megcáfolódik, ha h2f nagyobb vagy egyenlő, mint a h2st. az elfogadott szignifikanciaszintre (a) és a szabadságfokok számára (n).

A h2 valószínűségi változó valószínű értékeinek eloszlása folytonos és aszimmetrikus. A szabadsági fokok számától (n) függ, és a megfigyelések számának növekedésével megközelíti a normális eloszlást. Ezért a h2 kritérium alkalmazása a diszkrét eloszlások értékelésére bizonyos hibákkal jár, amelyek befolyásolják annak értékét, különösen kis mintákon. A pontosabb becslések érdekében a variációs sorozatba osztott mintának legalább 50 opciót kell tartalmaznia. A h2 kritérium helyes alkalmazása azt is megköveteli, hogy az extrém osztályok változatainak gyakorisága ne legyen kisebb 5-nél; ha 5-nél kevesebb van belőlük, akkor azokat a szomszédos osztályok gyakoriságaival kombináljuk úgy, hogy a teljes összeg 5-nél nagyobb vagy egyenlő legyen. A gyakoriságok kombinációjának megfelelően az osztályok száma (N) csökken. A szabadsági fokok számát a másodlagos osztályok száma határozza meg, figyelembe véve a variációs szabadság korlátozásainak számát.

Mivel a h2 kritérium meghatározásának pontossága nagymértékben függ az elméleti frekvenciák (T) számítási pontosságától, ezért az empirikus és a számított frekvenciák közötti különbség meghatározásához kerekítetlen elméleti frekvenciákat kell használni.

Példaként vegyünk egy, a statisztikai módszerek bölcsészettudományi alkalmazásának szentelt honlapon megjelent tanulmányt.

A Khi-négyzet teszt lehetővé teszi a gyakorisági eloszlások összehasonlítását, függetlenül attól, hogy normális eloszlásúak-e vagy sem.

A gyakoriság egy esemény előfordulásának számát jelenti. Az események előfordulási gyakoriságával általában akkor foglalkozunk, amikor a változókat egy névskálán mérjük, és a gyakoriságon kívül egyéb jellemzőik kiválasztása lehetetlen vagy problémás. Más szóval, amikor egy változónak minőségi jellemzői vannak. Emellett sok kutató hajlamos a teszteredményeket szintekre konvertálni (magas, átlagos, alacsony), és táblázatokat készít a pontszámok eloszlásáról, hogy megtudja, hány ember van ezeken a szinteken. Annak bizonyítására, hogy valamelyik szinten (valamelyik kategóriában) valóban nagyobb (kevesebb) a létszám, a Khi-négyzet együtthatót is alkalmazzák.

Nézzük a legegyszerűbb példát.

Fiatalabb serdülők körében végeztek tesztet az önbecsülés azonosítására. A teszteredményeket három szintre konvertálták: magas, közepes, alacsony. A frekvenciák a következőképpen oszlanak meg:

Magas (B) 27 fő.

Átlagos (C) 12 fő.

Alacsony (L) 11 fő

Nyilvánvaló, hogy a gyerekek többsége magas önbecsüléssel rendelkezik, de ezt statisztikailag bizonyítani kell. Ehhez a Khi-négyzet tesztet használjuk.

Feladatunk annak ellenőrzése, hogy a kapott empirikus adatok eltérnek-e az elméletileg egyformán valószínű adatoktól. Ehhez meg kell találni az elméleti frekvenciákat. Esetünkben az elméleti gyakoriságok egyformán valószínű gyakoriságok, amelyeket úgy kapunk meg, hogy az összes gyakoriságot összeadjuk és elosztjuk a kategóriák számával.

A mi esetünkben:

(B + C + H)/3 = (27 + 12 + 11) / 3 = 16,6

A khi-négyzet próba kiszámításának képlete:

h2 = ?(E - T)I/T

A táblázatot elkészítjük:

Empirikus (E)	Elméleti (T)	(E - T)I/T

Keresse meg az utolsó oszlop összegét:

Most meg kell találnia a kritérium kritikus értékét a kritikus értékek táblázata segítségével (1. táblázat a függelékben). Ehhez szükségünk van a szabadsági fokok számára (n).

n = (R - 1) * (C - 1)

ahol R a táblázat sorainak száma, C az oszlopok száma.

Esetünkben csak egy oszlop (értsd az eredeti empirikus gyakoriságokat) és három sor (kategória) van, így a képlet megváltozik - az oszlopokat kizárjuk.

n = (R-1) = 3-1 = 2

A p?0,05 hibavalószínűség és n = 2 esetén a kritikus érték h2 = 5,99.

A kapott tapasztalati érték nagyobb, mint a kritikus érték - a gyakorisági különbségek jelentősek (h2 = 9,64; p? 0,05).

Mint látható, a kritérium kiszámítása nagyon egyszerű, és nem vesz sok időt. A khi-négyzet teszt gyakorlati értéke óriási. Ez a módszer a legértékesebb a kérdőívekre adott válaszok elemzésekor.

Nézzünk egy összetettebb példát.

Például egy pszichológus azt szeretné tudni, hogy igaz-e, hogy a tanárok elfogultabbak a fiúkkal, mint a lányokkal szemben. Azok. nagyobb valószínűséggel dicsérik a lányokat. Ehhez a pszichológus a tanulók jellemzőit elemezte három szó előfordulási gyakoriságára: „aktív”, „szorgalmas”, „fegyelmezett”, és a szavak szinonimáit is megszámolta.

A szavak előfordulási gyakoriságára vonatkozó adatok bekerültek a táblázatba:

A kapott adatok feldolgozásához a khi-négyzet tesztet használjuk.

Ehhez elkészítjük az empirikus gyakoriságok eloszlásának táblázatát, azaz. az általunk megfigyelt frekvenciák:

Elméletileg arra számítunk, hogy a frekvenciák egyenletesen oszlanak el, pl. a gyakoriság arányosan oszlik el fiúk és lányok között. Készítsünk egy táblázatot az elméleti frekvenciákról. Ehhez meg kell szorozni a sor összegét az oszlop összegével, és a kapott számot el kell osztani a teljes összeggel (s).

A számítások végső táblázata így fog kinézni:

		Empirikus (E)	Elméleti (T)	(E - T)I/T
Fiúk	"Aktív"
"Szorgalmas"
"Fegyelmezett"
	"Aktív"
"Szorgalmas"
"Fegyelmezett"
Összeg: 4.21

h2 = ?(E - T)I/T

ahol R a táblázat sorainak száma.

Esetünkben khi-négyzet = 4,21; n = 2.

A kritérium kritikus értékeinek táblázatát használva azt találjuk, hogy n = 2 és 0,05 hibaszint mellett a kritikus érték h2 = 5,99.

A kapott érték kisebb, mint a kritikus érték, ami azt jelenti, hogy a nullhipotézist elfogadjuk.

Következtetés: a tanárok nem tulajdonítanak jelentőséget a gyermek nemének, amikor jellemzőket írnak neki.

Következtetés

Szinte minden szak hallgatói a felsőbb matematika szak végén a „valószínűségszámítás és matematikai statisztika” részt tanulják, a valóságban csak néhány alapfogalommal, eredménnyel ismerkednek meg, amelyek nyilvánvalóan nem elegendőek a gyakorlati munkához. A hallgatók speciális kurzusokon ismerkednek meg néhány matematikai kutatási módszerrel (például „Előrejelzés és műszaki-gazdasági tervezés”, „Műszaki és gazdasági elemzés”, „Termékminőség-ellenőrzés”, „Marketing”, „Kontrolling”, „Az előrejelzés matematikai módszerei” ”) ", "Statisztika" stb. - a közgazdasági szakos hallgatók esetében), azonban a bemutatás a legtöbb esetben nagyon rövidített és képlet jellegű. Emiatt az alkalmazott statisztikai szakemberek ismerete nem elegendő.

Ezért nagy jelentőséggel bír a műszaki egyetemeken az „Alkalmazott statisztika”, a közgazdasági egyetemeken az „Ökonometria” szak, hiszen az ökonometria, mint ismeretes, konkrét gazdasági adatok statisztikai elemzése.

A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika alapvető ismereteket nyújt az alkalmazott statisztika és ökonometria számára.

Szakemberek számára szükségesek a gyakorlati munkához.

Megnéztem a folytonos valószínűségi modellt, és példákkal próbáltam bemutatni a használatát.

Munkám végén pedig arra a következtetésre jutottam, hogy a matematikai-statikai adatelemzés és a hipotézisek statikus tesztelésének alapvető eljárásainak kompetens megvalósítása lehetetlen a khi-négyzet modell ismerete, valamint annak használatának képessége nélkül. asztal.

Bibliográfia

1. Orlov A.I. Alkalmazott statisztika. M.: "Exam" kiadó, 2004.

2. Gmurman V.E. Valószínűségelmélet és matematikai statisztika. M.: Felsőiskola, 1999. - 479 p.

3. Ayvozyan S.A. Valószínűségszámítás és alkalmazott statisztika, 1. köt. M.: Egység, 2001. - 656 p.

4. Khamitov G.P., Vedernikova T.I. Valószínűségek és statisztikák. Irkutszk: BGUEP, 2006 - 272 p.

5. Ezhova L.N. Ökonometria. Irkutszk: BGUEP, 2002. - 314 p.

6. Mosteller F. Ötven szórakoztató valószínűségi probléma megoldásokkal. M.: Nauka, 1975. - 111 p.

7. Mosteller F. Valószínűség. M.: Mir, 1969. - 428 p.

8. Yaglom A.M. Valószínűség és információ. M.: Nauka, 1973. - 511 p.

9. Chistyakov V.P. Valószínűségszámítás tanfolyam. M.: Nauka, 1982. - 256 p.

10. Kremer N.Sh. Valószínűségelmélet és matematikai statisztika. M.: EGYSÉG, 2000. - 543 p.

11. Mathematical Encyclopedia, vol.1. M.: Szovjet Enciklopédia, 1976. - 655 p.

12. http://psystat.at.ua/ - Statisztika a pszichológiában és pedagógiában. Cikk Khi-négyzet teszt.

Alkalmazás

Kritikus elosztási pontok h2

Asztal 1

Közzétéve az Allbest.ru oldalon

...

Hasonló dokumentumok

Az A.N valószínűségi modellje és axiomatikája. Kolmogorov. Véletlenszerű változók és vektorok, a valószínűségszámítás klasszikus határproblémája. Statisztikai adatok elsődleges feldolgozása. Numerikus jellemzők pontbecslései. Hipotézisek statisztikai tesztelése.

képzési kézikönyv, hozzáadva: 2010.02.03

A levelező tagozatra vonatkozó tesztek elvégzésének és kitöltésének szabályai. Feladatok és példák a matematikai statisztika és a valószínűségszámítás feladatmegoldására. Eloszlások referenciaadatainak táblázatai, standard normális eloszlás sűrűsége.

képzési kézikönyv, hozzáadva 2009.11.29

Véletlenszerű jelenségek formalizált leírásának és elemzésének alapvető módszerei, fizikai és numerikus kísérletek eredményeinek feldolgozása és elemzése a valószínűségszámításban. A valószínűségszámítás alapfogalmai és axiómái. A matematikai statisztika alapfogalmai.

előadások tanfolyama, hozzáadva 2011.08.04

A mérési eredmények valószínűség-eloszlásának törvényének meghatározása a matematikai statisztikában. Az empirikus eloszlás elméletivel való összhangjának ellenőrzése. Annak a konfidencia intervallumnak a meghatározása, amelyben a mért mennyiség értéke található.

tanfolyami munka, hozzáadva 2012.02.11

Valószínűségi változók sorozatainak és valószínűségi eloszlásának konvergenciája. A karakterisztikus függvények módszere. Statisztikai hipotézisek tesztelése és a központi határtétel végrehajtása független valószínűségi változók adott sorozataira.

tanfolyami munka, hozzáadva 2012.11.13

A természetes megfigyelésekből származó adatok feldolgozásának főbb szakaszai a matematikai statisztika módszerével. A kapott eredmények értékelése, felhasználása gazdálkodási döntések meghozatalában a természetvédelem és a környezetgazdálkodás területén. Statisztikai hipotézisek tesztelése.

gyakorlati munka, hozzáadva 2013.05.24

Az elosztási törvény lényege és gyakorlati alkalmazása statisztikai problémák megoldására. Valószínűségi változó varianciájának, matematikai elvárásnak és szórásának meghatározása. Az egyirányú varianciaanalízis jellemzői.

teszt, hozzáadva: 2013.12.07

Valószínűség és általános meghatározása. Valószínűségi összeadás és szorzás tételek. Diszkrét valószínűségi változók és numerikus jellemzőik. A nagy számok törvénye. A minta statisztikai megoszlása. A korrelációs és regressziós elemzés elemei.

előadások tanfolyama, hozzáadva 2015.06.13

A tantárgy programja, a valószínűségszámítás alapfogalmai és képletei, azok indoklása és jelentősége. A matematikai statisztika helye és szerepe a tudományágban. Példák és magyarázatok a leggyakrabban előforduló problémák megoldására ezeken a tudományos tudományterületeken különböző témákban.

képzési kézikönyv, hozzáadva 2010.01.15

A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika a tömeges véletlenszerű jelenségek kvantitatív elemzési módszereinek tudománya. Egy valószínűségi változó értékkészletét mintának, a halmaz elemeit pedig egy valószínűségi változó mintaértékeinek nevezzük.

A három fő lehetőségnek – döntéshozatal teljes bizonyosság, kockázat és bizonytalanság mellett – megfelelően a döntéshozatali módszerek és algoritmusok három fő típusra oszthatók: analitikus, statisztikai és fuzzy formalizáción alapuló. A döntéshozatali módot minden esetben az adott feladat, a rendelkezésre álló forrásadatok, a rendelkezésre álló problémamodellek, a döntési környezet, a döntési folyamat, a szükséges döntési pontosság és az elemző személyes preferenciái alapján választják ki.

Egyes információs rendszerekben az algoritmus kiválasztásának folyamata automatizálható:

A megfelelő automatizált rendszer számos különböző típusú algoritmus használatára képes (algoritmuskönyvtár);

A rendszer interaktívan felszólítja a felhasználót, hogy válaszoljon számos kérdésre a vizsgált feladat főbb jellemzőivel kapcsolatban;

A felhasználói válaszok eredménye alapján a rendszer a legmegfelelőbb (az abban meghatározott kritériumoknak megfelelő) algoritmust kínálja a könyvtárból.

2.3.1 Valószínűségi és statisztikai döntéshozatali módszerek

Valószínűségi-statisztikai döntéshozatali módszereket (PSD) alkalmaznak abban az esetben, ha a meghozott döntések hatékonysága olyan valószínűségi változóktól függ, amelyekre ismert valószínűségi eloszlás törvényei és egyéb statisztikai jellemzők. Sőt, minden döntés a sok lehetséges kimenetel egyikéhez vezethet, és minden kimenetelnek van egy bizonyos valószínűsége, amely kiszámítható. Valószínűségi jellemzőkkel is leírják a problémahelyzetet jellemző mutatókat. Ilyen ZPR-nél a döntéshozó mindig fennáll annak a veszélye, hogy olyan eredményt kap, amelyre a véletlenszerű tényezők átlagolt statisztikai jellemzői alapján választja ki az optimális megoldást. , vagyis kockázati feltételek mellett születik a döntés.

A gyakorlatban gyakran alkalmaznak valószínűségi és statisztikai módszereket, amikor a mintaadatokból levont következtetéseket a teljes sokaságra átviszik (például egy mintából egy teljes termékcsoportba). Azonban minden konkrét helyzetben először fel kell mérni a kellően megbízható valószínűségi és statisztikai adatok megszerzésének alapvető lehetőségét.

A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika gondolatainak és eredményeinek a döntéshozatal során történő felhasználása során egy olyan matematikai modell az alap, amelyben az objektív összefüggések valószínűségszámítással fejeződnek ki. A valószínűségek elsősorban a véletlenszerűség leírására szolgálnak, amelyet a döntések meghozatalakor figyelembe kell venni. Ez egyaránt vonatkozik a nemkívánatos lehetőségekre (kockázatokra) és a vonzó lehetőségekre ("szerencsés véletlen").

A valószínűségi-statisztikai döntéshozatali módszerek lényege a valószínűségi modellek alkalmazása, amelyek becslésen és hipotézisek mintajellemzők segítségével történő tesztelésén alapulnak..

Hangsúlyozzuk, hogy a mintajellemzők felhasználásának logikája az elméleti modelleken alapuló döntések meghozatalához két párhuzamos fogalomsorozat egyidejű használatát foglalja magában– elmélettel (valószínűségi modell) és gyakorlattal kapcsolatos (megfigyelési eredmények mintavétele). Például az elméleti valószínűség megfelel a mintából talált gyakoriságnak. A matematikai elvárás (elméleti sorozat) megfelel a minta számtani átlagának (gyakorlati sorozat). A minta jellemzői általában az elméleti jellemzők becslései.

Ezeknek a módszereknek az előnyei közé tartozik az a képesség, hogy figyelembe vehetőek a különféle események alakulásának forgatókönyvei és azok valószínűségei. E módszerek hátránya, hogy a számításokban használt forgatókönyvek valószínűségi értékeit a gyakorlatban általában nagyon nehéz megszerezni.

Egy konkrét valószínűség-statisztikai döntéshozatali módszer alkalmazása három szakaszból áll:

Számítások elvégzése és következtetések levonása tisztán matematikai eszközökkel valószínűségi modell keretein belül;

Egy valós jelenség valószínűségi modelljét megszerkesztettnek kell tekinteni, ha a vizsgált mennyiségek és a köztük lévő összefüggések valószínűségszámítással fejeződnek ki. A valószínűségi modell megfelelőségét különösen statisztikai módszerekkel támasztják alá a hipotézisek tesztelésére.

A megoldandó probléma típusa alapján a matematikai statisztikákat általában három részre osztják: adatleírásra, becslésre és hipotézisvizsgálatra. A feldolgozott statisztikai adatok típusa alapján a matematikai statisztika négy területre oszlik:

Egyváltozós statisztika (valószínűségi változók statisztikája), amelyben egy megfigyelés eredményét valós szám írja le;

Többváltozós statisztikai elemzés, ahol egy objektum megfigyelésének eredményét több szám (vektor) írja le;

Véletlenszerű folyamatok és idősorok statisztikája, ahol a megfigyelés eredménye egy függvény;

Példa arra, amikor célszerű valószínűségi-statisztikai modelleket használni.

Bármely termék minőségének ellenőrzésekor abból mintát választanak ki, amely eldönti, hogy a gyártott terméktétel megfelel-e a megállapított követelményeknek. A mintaellenőrzés eredményei alapján következtetést vonunk le a teljes tételre vonatkozóan. Ebben az esetben nagyon fontos elkerülni a szubjektivitást a mintaképzés során, vagyis szükséges, hogy az ellenőrzött tételben minden termékegység azonos valószínűséggel kerüljön kiválasztásra a mintába. A tétel alapján történő kiválasztás ilyen helyzetben nem kellően objektív. Ezért gyártási körülmények között a minta termékegységeinek kiválasztása általában nem sorsolással, hanem speciális véletlenszám-táblázatokkal vagy számítógépes véletlenszám-érzékelőkkel történik.

Ezenkívül számos vezetési, termelési, gazdasági és nemzetgazdasági helyzetben más típusú problémák merülnek fel - problémák a valószínűségi eloszlások jellemzőinek és paramétereinek értékelésével.

Vagy a technológiai folyamatok pontosságának és stabilitásának statisztikai elemzésekor olyan minőségi mutatókat kell értékelni, mint a szabályozott paraméter átlagos értéke és szórásának mértéke a vizsgált folyamatban. A valószínűségszámítás szerint ennek matematikai elvárását célszerű egy valószínűségi változó átlagértékeként használni, a szórás statisztikai jellemzőjeként pedig a szórást, a szórást vagy a variációs együtthatót. Ez felveti a kérdést: hogyan lehet megbecsülni ezeket a statisztikai jellemzőket a mintaadatokból, és milyen pontossággal lehet ezt megtenni? A szakirodalomban sok hasonló példa található. Ezek mindegyike bemutatja, hogy a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika hogyan használható fel a termelésirányításban a statisztikai termékminőség-menedzsment területére vonatkozó döntések meghozatalakor.

A termelésirányításban különösen a termékminőség optimalizálása és a szabványos követelményeknek való megfelelés biztosítása során különösen fontos a statisztikai módszerek alkalmazása a termék életciklusának kezdeti szakaszában, pl. a kutatási szakaszban a kísérleti tervezési fejlesztések előkészítése (ígéretes termékkövetelmények kidolgozása, előzetes tervezés, műszaki specifikációk a kísérleti tervfejlesztéshez). Ennek oka a termék életciklusának kezdeti szakaszában rendelkezésre álló információk korlátozottsága, valamint a műszaki képességek és gazdasági helyzet jövőbeli előrejelzésének szükségessége.

A legelterjedtebb valószínűségi statisztikai módszerek a regresszióanalízis, a faktoranalízis, a varianciaanalízis, a kockázatértékelés statisztikai módszerei, a szcenárió módszer stb. Egyre fontosabbá válik a statisztikai módszerek területe, amely a nem numerikus jellegű, azaz statisztikai adatok elemzésére irányul. minőségi és különböző típusú jellemzők alapján végzett mérési eredmények. A nem numerikus jellegű objektumok statisztikájának egyik fő alkalmazása a statisztikai döntések és szavazási problémák elméletéhez kapcsolódó szakértői értékelések elmélete és gyakorlata.

Az ember szerepe a statisztikai megoldáselmélet módszereivel történő problémamegoldásban a probléma megfogalmazása, azaz egy valós probléma megfelelő standardra redukálása, az események valószínűségeinek statisztikai adatok alapján történő meghatározása, valamint hagyja jóvá a kapott optimális megoldást.

Különösen érdekes az üzleti kockázat kvantitatív értékelése matematikai statisztikai módszerekkel. Ennek az értékelési módszernek a fő eszközei a következők:

§ egy valószínűségi változó előfordulásának valószínűsége,

§ a vizsgált valószínűségi változó matematikai elvárása vagy átlagértéke,

§ diszperzió,

§ standard (négyzetes átlag) eltérés,

§ a variációs együttható,

§ a vizsgált valószínűségi változó valószínűségi eloszlása.

A döntés meghozatalához ismernie kell a kockázat nagyságát (fokát), amelyet két kritérium alapján mérnek:

1) átlagos várható érték (matematikai elvárás),

2) a lehetséges eredmény ingadozása (változékonysága).

Átlagos Várható érték ez egy valószínűségi változó súlyozott átlaga, amely a helyzet bizonytalanságához kapcsolódik:

ahol a valószínűségi változó értéke.

Az átlagos várható érték azt az eredményt méri, amelyet átlagosan várunk.

Az átlagérték egy általánosított minőségi jellemző, és nem teszi lehetővé, hogy egy valószínűségi változó bármely értéke mellett döntsenek.

A döntés meghozatalához mérni kell a mutatók ingadozásait, vagyis meg kell határozni egy lehetséges eredmény változékonyságának mértékét.

A lehetséges kimenetel változása az, hogy a várható érték milyen mértékben tér el az átlagos értéktől.

Erre a célra a gyakorlatban általában két egymással szorosan összefüggő kritériumot használnak: a „szórást” és a „szórást”.

Diszperzió – a tényleges eredmények négyzeteinek súlyozott átlaga a várható átlagból:

Szórás a variancia négyzetgyöke. Ez egy dimenziós mennyiség, és ugyanazokban az egységekben mérik, amelyekben a vizsgált valószínűségi változót mérik:

A variancia és a szórás az abszolút eltérés mértékét adják. Az elemzéshez általában a variációs együtthatót használják.

A variációs együttható a szórás és az átlagos várható érték arányát jelenti, szorozva 100%-kal

vagy .

A variációs együtthatót nem befolyásolják a vizsgált mutató abszolút értékei.

A variációs együttható segítségével akár a különböző mértékegységekben kifejezett jellemzők ingadozásait is összehasonlíthatja. A variációs együttható 0 és 100% között változhat. Minél nagyobb az együttható, annál nagyobb az ingadozás.

A gazdasági statisztikában a variációs együttható különböző értékeinek következő értékelése történik:

10% -ig - gyenge ingadozás, 10 - 25% - közepes, 25% felett - magas.

Ennek megfelelően minél nagyobb az ingadozás, annál nagyobb a kockázat.

Példa. Egy kis üzlet tulajdonosa minden nap elején vásárol valamilyen romlandó terméket eladásra. Ennek a terméknek egy egysége 200 UAH-ba kerül. Eladási ár - 300 UAH. egy egységhez. A megfigyelésekből ismert, hogy a termék iránti kereslet a nap folyamán 4, 5, 6 vagy 7 egység lehet, 0,1-es valószínűséggel; 0,3; 0,5; 0.1. Ha a terméket nem adják el a nap folyamán, akkor a nap végén mindig 150 UAH áron vásárolják meg. egy egységhez. Hány egységet kell vásárolnia ebből a termékből az üzlet tulajdonosának a nap elején?

Megoldás. Építsünk nyereségmátrixot az üzlet tulajdonosának. Számítsuk ki, mekkora nyereséget kap a tulajdonos, ha például 7 darab terméket vásárol, és a 6. napon és a nap végén egy egységet elad. Minden napközben eladott termékegység 100 UAH nyereséget ad, a nap végén pedig 200-150 = 50 UAH veszteséget. Így a nyereség ebben az esetben:

A számításokat a kereslet és kínálat egyéb kombinációira is hasonlóan kell elvégezni.

A várható nyereséget a lehetséges profitértékek matematikai elvárásaként számítjuk ki a szerkesztett mátrix minden sorára vonatkozóan, figyelembe véve a megfelelő valószínűségeket. Mint látható, a várható nyereségek közül a legnagyobb 525 UAH. A szóban forgó termék 6 darabos vásárlásának felel meg.

A termék szükséges darabszámának megvásárlására vonatkozó végső ajánlás igazolására kiszámítjuk a szórást, a szórást és a variációs együtthatót a termék kereslet-kínálatának minden lehetséges kombinációjára (a profitmátrix minden sorára):


400	0,1	40	16000
400	0,3	120	48000
400	0,5	200	80000
400	0,1	40	16000
	1,0	400	160000


350	0,1	35	12250
500	0,3	150	75000
500	0,5	250	125000
500	0,1	50	25000
	1,0	485	2372500


300	0,1	30	9000
450	0,3	135	60750
600	0,5	300	180000
600	0,1	60	36000
	1,0	525	285750

Ami az áruház tulajdonosát illeti, aki 6 darab terméket vásárol az 5 és 4 egységhez képest, ez nem nyilvánvaló, mivel 6 egység termék vásárlása esetén a kockázat nagyobb (19,2%), mint 5 egység vásárlásakor (9,3%), és még inkább. mint 4 egység vásárlásakor (0%).

Így minden információval rendelkezünk a várható nyereségről és kockázatokról. Az üzlet tulajdonosa pedig dönti el, hogy minden reggel hány egységet kell megvásárolnia a termékből, figyelembe véve tapasztalatait és kockázati étvágyát.

Véleményünk szerint az üzlettulajdonosnak azt kell javasolni, hogy minden reggel 5 darab terméket vásároljon, és átlagosan 485 UAH várható nyeresége lesz. és ha ezt összehasonlítjuk 6 egység termék megvásárlásával, amelynél az átlagos várható nyereség 525 UAH, ami 40 UAH. több, de a kockázat ebben az esetben 2,06-szor nagyobb lesz.