A matematikai várakozás egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlása. Véletlen változók
Mint már ismertük, az eloszlási törvény teljes mértékben jellemzi a valószínűségi változót. Az elosztási törvény azonban gyakran ismeretlen, és az embernek kevesebb információra kell szorítkoznia. Néha még jövedelmezőbb olyan számokat használni, amelyek egy valószínűségi változót összesen írnak le; ilyen számokat hívnak egy valószínűségi változó numerikus jellemzői.
A matematikai elvárás az egyik fontos numerikus jellemző.
A matematikai elvárás megközelítőleg megegyezik egy valószínűségi változó átlagos értékével.
Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása az összes lehetséges értékének és valószínűségeinek szorzatának összege.
Ha egy valószínűségi változót véges eloszlási sorozat jellemez:
| x | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | 1. o | 2. o | 3. o | … | r p |
majd a matematikai elvárás M(X) képlet határozza meg:
A folytonos valószínűségi változó matematikai elvárását a következő egyenlőség határozza meg:
ahol a valószínűségi változó valószínűségi sűrűsége x.
4.7. példa. Határozza meg a kockadobáskor kieső pontok számának matematikai elvárását!
Megoldás:
Véletlenszerű érték x felveszi az 1, 2, 3, 4, 5, 6 értékeket. Alkossuk meg eloszlásának törvényét:
| x | ||||||
| R |
Ekkor a matematikai elvárás:
A matematikai elvárás tulajdonságai:
1. Egy állandó érték matematikai elvárása megegyezik magával az állandóval:
M(S)=S.
2. Az állandó tényezőt ki lehet venni az elvárás jeléből:
M(CX) = CM(X).
3. Két független valószínűségi változó szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik szorzatával:
M(XY) = M(X)M(Y).
4.8. példa. Független valószínűségi változók xÉs Y a következő elosztási törvények adják meg:
| x | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Határozzuk meg egy XY valószínűségi változó matematikai elvárását!
Megoldás.
Keressük meg az egyes mennyiségek matematikai elvárásait:
Véletlen változók xÉs Y független, tehát a kívánt matematikai elvárás:
M(XY)=M(X)M(Y)=
Következmény. Több egymástól független valószínűségi változó szorzatának matematikai elvárása megegyezik azok matematikai elvárásainak szorzatával.
4. Két valószínűségi változó összegének matematikai elvárása megegyezik a feltételek matematikai elvárásainak összegével:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Következmény. Több valószínűségi változó összegének matematikai elvárása megegyezik a tagok matematikai elvárásainak összegével.
4.9. példa. 3 lövést adnak le, a cél eltalálásának valószínűsége egyenlő 1. o = 0,4; p2= 0,3 és 3. o= 0,6. Keresse meg az összes találat számának matematikai elvárását.
Megoldás.
Az első lövés találatainak száma véletlenszerű változó X 1, amely csak két értéket vehet fel: 1 (találat) valószínűséggel 1. o= 0,4 és 0 (kihagyás) valószínűséggel q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Az első lövés találatainak számának matematikai elvárása megegyezik az eltalálás valószínűségével:
Hasonlóan megtaláljuk a második és a harmadik felvétel találati számának matematikai elvárásait:
M(X 2)= 0,3 és M (X 3) \u003d 0,6.
A találatok teljes száma egy véletlenszerű változó is, amely a három kép mindegyikében elért találatok összegéből áll:
X \u003d X 1 + X 2 + X 3.
A kívánt matematikai elvárás x a matematika tételével találjuk meg az összeg elvárását.
Minden egyes értéket teljes mértékben meghatároz az eloszlásfüggvénye. A gyakorlati problémák megoldásához is elegendő több numerikus jellemző ismerete, amelyeknek köszönhetően lehetővé válik egy valószínűségi változó fő jellemzőinek tömör bemutatása.
Ezek a mennyiségek elsősorban várható értékÉs diszperzió .
Várható érték- egy valószínűségi változó átlagos értéke a valószínűségszámításban. Kijelölve: .
A legegyszerűbb módon egy valószínűségi változó matematikai elvárása X(w), mint integrálLebesgue a valószínűségi mérték tekintetében R a kezdeti valószínűségi tér
Megtalálható az as érték matematikai elvárása is Lebesgue integrál tól től x valószínűségi eloszlás szerint R X mennyiségeket x:
ahol az összes lehetséges érték halmaza x.
Függvények matematikai elvárása valószínűségi változóból x terjesztésen keresztül történik R X. Például, Ha x- valószínűségi változó és értékekkel f(x)- egyértelmű Borelfunkció x , Ez:
Ha F(x)- elosztási funkció x, akkor a matematikai elvárás reprezentálható integrálLebesgue - Stieltjes (vagy Riemann - Stieltjes):
míg az integrálhatóság x Ami azt illeti ( * ) az integrál végességének felel meg
Konkrét esetekben, ha x diszkrét eloszlású valószínű értékekkel x k, k = 1, 2, . , és a valószínűségek , akkor
Ha x abszolút folytonos eloszlású valószínűségi sűrűséggel p(x), Azt
ebben az esetben a matematikai elvárás megléte egyenértékű a megfelelő sorozat vagy integrál abszolút konvergenciájával.
Egy valószínűségi változó matematikai elvárásának tulajdonságai.
- Egy állandó érték matematikai elvárása ezzel az értékkel egyenlő:
C- állandó;
- M=C.M[X]
- A véletlenszerűen vett értékek összegének matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik összegével:
- A független valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása = matematikai elvárásaik szorzata:
M=M[X]+M[Y]
Ha xÉs Y független.
ha a sorozat konvergál:
Algoritmus a matematikai elvárás kiszámításához.
A diszkrét valószínűségi változók tulajdonságai: minden értékük átszámozható természetes számokkal; minden értéket egy nem nulla valószínűséggel egyenlővé tesz.
1. Szorozzuk meg a párokat egymás után: x i tovább pi.
2. Adja hozzá az egyes párok szorzatát x i p i.
Például, Mert n = 4 :
Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye lépésenként azokon a pontokon ugrásszerűen növekszik, amelyek valószínűsége pozitív előjelű.
Példa: Keresse meg a matematikai elvárást a képlet alapján!
A DSW jellemzői és tulajdonságai. Matematikai elvárás, szórás, szórás
Az eloszlási törvény teljes mértékben jellemzi a valószínűségi változót. Ha azonban lehetetlen megtalálni az eloszlási törvényt, vagy ez nem szükséges, akkor korlátozódhatunk az értékek megtalálására, amelyeket egy valószínűségi változó numerikus jellemzőinek nevezünk. Ezek a mennyiségek határoznak meg valamilyen átlagos értéket, amely köré egy valószínűségi változó értékei csoportosulnak, és az átlagérték körüli szóródásuk mértékét.
matematikai elvárás A diszkrét valószínűségi változó egy valószínűségi változó összes lehetséges értékének és valószínűségeinek szorzatának összege.
A matematikai elvárás akkor létezik, ha az egyenlőség jobb oldalán lévő sorozatok abszolút konvergálnak.
A valószínűség szempontjából azt mondhatjuk, hogy a matematikai várakozás megközelítőleg megegyezik a valószínűségi változó megfigyelt értékeinek számtani átlagával.
Példa. A diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvénye ismert. Keresse meg a matematikai elvárást.
| x | ||||
| p | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Megoldás:
9.2 Elvárások tulajdonságai
1. Egy állandó érték matematikai elvárása megegyezik magával az állandóval.
2. Az elvárási előjelből kivehető egy állandó tényező.
3. Két független valószínűségi változó szorzatának matematikai elvárása megegyezik matematikai elvárásaik szorzatával.
Ez a tulajdonság tetszőleges számú valószínűségi változóra érvényes.
4. Két valószínűségi változó összegének matematikai elvárása megegyezik a tagok matematikai elvárásainak összegével.
Ez a tulajdonság tetszőleges számú valószínűségi változóra is igaz.
Végezzünk el n független kísérletet, amelyekben az A esemény bekövetkezésének valószínűsége egyenlő p-vel.
Tétel. Az A esemény előfordulásai számának M(X) matematikai elvárása n független próbában egyenlő a kísérletek számának és az esemény bekövetkezési valószínűségének szorzatával az egyes kísérletekben.
Példa. Határozzuk meg egy Z valószínűségi változó matematikai elvárását, ha ismertek X és Y matematikai elvárásai: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Megoldás:
9.3. Egy diszkrét valószínűségi változó szórása
A matematikai elvárás azonban nem képes teljes mértékben jellemezni egy véletlenszerű folyamatot. A matematikai elvárás mellett be kell vezetni egy olyan értéket, amely a valószínűségi változó értékeinek a matematikai elvárástól való eltérését jellemzi.
Ez az eltérés egyenlő a valószínűségi változó és a matematikai elvárása közötti különbséggel. Ebben az esetben az eltérés matematikai elvárása nulla. Ez azzal magyarázható, hogy egyes lehetséges eltérések pozitívak, mások negatívak, és kölcsönös törlésük eredményeként nullát kapunk.
Diszperzió (szórás) A diszkrét valószínűségi változót a valószínűségi változó matematikai elvárásától való négyzetes eltérésének matematikai elvárásának nevezzük.
A gyakorlatban ez a varianciaszámítási módszer kényelmetlen, mert nehézkes számításokhoz vezet egy valószínűségi változó nagyszámú értékéhez.
Ezért egy másik módszert alkalmaznak.
Tétel. A variancia egyenlő az X valószínűségi változó négyzetének matematikai elvárása és a matematikai elvárás négyzete közötti különbséggel.
Bizonyíték. Figyelembe véve, hogy az M (X) matematikai elvárás és az M 2 (X) matematikai elvárás négyzete állandó érték, felírhatjuk:
Példa. Határozzuk meg az eloszlási törvény által adott diszkrét valószínűségi változó varianciáját!
| x | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Megoldás: .
9.4 Diszperziós tulajdonságok
1. Egy állandó érték szórása nulla. .
2. A diszperziós jelből négyzetre emelve kivehető egy állandó tényező. .
3. Két független valószínűségi változó összegének szórása egyenlő ezen változók szórásának összegével. .
4. Két független valószínűségi változó különbségének szórása egyenlő ezen változók szórásának összegével. .
Tétel. Az A esemény előfordulási számának szórása n független próbában, amelyek mindegyikében az esemény bekövetkezésének p valószínűsége állandó, megegyezik a kísérletek számának és a bekövetkezés és a be nem következés valószínűségének szorzatával. az eseményről minden kísérletben.
9.5. Egy diszkrét valószínűségi változó szórása
Szórás Az X valószínűségi változót a variancia négyzetgyökének nevezzük.
Tétel. Véges számú, egymástól független valószínűségi változó összegének szórása megegyezik e változók szórásának négyzetes összegének négyzetgyökével.
Egy X valószínűségi változó matematikai elvárása (átlagértéke) egy diszkrét valószínűségi téren az m =M[X]=∑x i p i szám, ha a sorozat abszolút konvergál.
Szolgálati megbízás. Online szolgáltatással kiszámítják a matematikai elvárást, a szórást és a szórást(lásd a példát). Ezenkívül az F(X) eloszlásfüggvény grafikonját ábrázoljuk.
Egy valószínűségi változó matematikai elvárásának tulajdonságai
- Egy állandó érték matematikai elvárása önmagával egyenlő: M[C]=C , C konstans;
- M=C M[X]
- A valószínűségi változók összegének matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik összegével: M=M[X]+M[Y]
- A független valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik szorzatával: M=M[X] M[Y], ha X és Y függetlenek.
Diszperziós tulajdonságok
- Egy állandó érték diszperziója egyenlő nullával: D(c)=0.
- A diszperziós előjel alól a konstans tényezőt négyzetre emelve vehetjük ki: D(k*X)= k 2 D(X).
- Ha az X és Y valószínűségi változók függetlenek, akkor az összeg szórása egyenlő a szórások összegével: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Ha az X és Y valószínűségi változók függőek: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- A variancia esetében a számítási képlet érvényes:
D(X)=M(X2)-(M(X)) 2
Példa. Két független X és Y valószínűségi változó matematikai elvárásai és varianciái ismertek: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Határozza meg a Z=9X-8Y+7 valószínűségi változó matematikai elvárását és szórását!
Megoldás. A matematikai elvárás tulajdonságai alapján: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
A diszperziós tulajdonságok alapján: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritmus a matematikai elvárás kiszámításához
A diszkrét valószínűségi változók tulajdonságai: minden értékük átszámozható természetes számokkal; Minden értékhez rendeljen nullától eltérő valószínűséget.- Szorozzuk meg egyesével a párokat: x i p i -vel.
- Minden pár x i p i szorzatát összeadjuk.
Például n = 4 esetén: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
1. példa.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
A matematikai elvárást az m = ∑x i p i képlettel találjuk meg.
Matematikai elvárás M[X].
M[x] = 1 * 0,1 + 3 * 0,2 + 4 * 0,1 + 7 * 0,3 + 9 * 0,3 = 5,9
A diszperziót a d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 képlet határozza meg.
D[X] diszperzió.
D[X] = 1 2 * 0, 1 + 3 2 * 0, 2 + 4 2 * 0, 1 + 7 2 * 0, 3 + 9 2 * 0, 3 - 5, 9 2 = 7, 69
Szórás σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
2. példa. Egy diszkrét valószínűségi változónak a következő eloszlási sorozatai vannak:
| x | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Megoldás. Az a értéket a következő összefüggésből kapjuk: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 vagy 0,24 = 3 a , ahonnan a = 0,08
3. példa. Határozzuk meg egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényét, ha a varianciája ismert, és x 1
p 1 = 0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96
Megoldás.
Itt egy képletet kell készítenie a d (x) variancia meghatározásához:
d(x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m(x) 2
ahol elvárás m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Az adatainkért
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3 *0,1+15*0,3=9+0,1x3
12,96 = 6 2 0,3 + 9 2 0,3 + x 3 2 0,1 + 15 2 0,3-(9 + 0,1 x 3) 2
vagy -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Ennek megfelelően meg kell találni az egyenlet gyökereit, és ebből kettő lesz.
x 3 \u003d 8, x 3 = 12
Azt választjuk, amelyik kielégíti az x 1 feltételt
Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye
x 1 = 6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 = 0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
Az eloszlási törvény teljes mértékben jellemzi a valószínűségi változót. Az elosztási törvény azonban gyakran ismeretlen, és az embernek kevesebb információra kell szorítkoznia. Néha még jövedelmezőbb olyan számokat használni, amelyek egy valószínűségi változót összesen írnak le, ilyen számokat hívnak numerikus jellemzők valószínűségi változó. A matematikai elvárás az egyik fontos numerikus jellemző.
A matematikai elvárás, amint az alább látható, megközelítőleg egyenlő a valószínűségi változó átlagos értékével. Sok probléma megoldásához elég ismerni a matematikai elvárást. Például, ha ismert, hogy az első lövő által szerzett pontok számának matematikai elvárása nagyobb, mint a másodiké, akkor az első lövő átlagosan több pontot üt ki, mint a második, és ezért jobban lő, mint a másodiké. a második.
4.1. meghatározás: matematikai elvárás A diszkrét valószínűségi változót az összes lehetséges értéke és valószínűségei szorzatának összegének nevezzük.
Legyen a valószínűségi változó x csak értékeket vehet fel x 1, x 2, … x n, melynek valószínűségei rendre egyenlők p 1, p 2, … p n . Aztán a matematikai elvárás M(X) valószínűségi változó x az egyenlőség határozza meg
M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .
Ha egy diszkrét valószínűségi változó x akkor a lehetséges értékek megszámlálható halmazát veszi fel
,
sőt, a matematikai elvárás akkor áll fenn, ha az egyenlőség jobb oldalán lévő sorozat abszolút konvergál.
Példa. Határozza meg egy esemény előfordulási számának matematikai elvárását! A egy kísérletben, ha egy esemény valószínűsége A egyenlő p.
Megoldás: Véletlenszerű érték x– az esemény előfordulásának száma A Bernoulli eloszlású, tehát
És így, egy esemény előfordulási számának matematikai elvárása egy próba során egyenlő ennek az eseménynek a valószínűségével.
A matematikai elvárás valószínűségi jelentése
Legyen előállított n tesztek, amelyekben a valószínűségi változó x elfogadott m 1 szoros értéke x 1, m2 szoros értéke x2 ,…, m k szoros értéke x k, és m 1 + m 2 + …+ m k = n. Ezután az összes vett érték összege x, egyenlő x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .
A valószínűségi változó által felvett összes érték számtani átlaga lesz
Hozzáállás m i / n- relatív gyakoriság Wiértékeket x i megközelítőleg megegyezik az esemény bekövetkezésének valószínűségével pi, Ahol , Ezért
A kapott eredmény valószínűségi jelentése a következő: a matematikai elvárás megközelítőleg egyenlő(minél pontosabb, annál nagyobb a kísérletek száma) a valószínűségi változó megfigyelt értékeinek számtani átlaga.
Elvárás tulajdonságai
1. tulajdonság:Egy állandó érték matematikai elvárása megegyezik magával az állandóval
2. tulajdonság:Az állandó tényezőt ki lehet venni az elvárás jeléből
4.2. meghatározás: Két valószínűségi változó hívott független, ha az egyik eloszlási törvénye nem függ attól, hogy a másik érték milyen lehetséges értékeket vett fel. Másképp a valószínűségi változók függőek.
4.3. meghatározás: Számos valószínűségi változó hívott egymástól független, ha tetszőleges számú eloszlási törvénye nem függ attól, hogy a többi mennyiség milyen lehetséges értékeket vett fel.
3. tulajdonság:Két független valószínűségi változó szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik szorzatával.
Következmény:Több egymástól független valószínűségi változó szorzatának matematikai elvárása megegyezik azok matematikai elvárásainak szorzatával.
4. tulajdonság:Két valószínűségi változó összegének matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik összegével.
Következmény:Több valószínűségi változó összegének matematikai elvárása megegyezik azok matematikai várakozásainak összegével.
Példa. Számítsa ki egy binomiális valószínűségi változó matematikai elvárását! X- az esemény bekövetkezésének dátuma A V n kísérletek.
Megoldás: Teljes szám x esemény előfordulások A ezekben a próbákban az egyes kísérletekben előforduló események számának összege. Valószínűségi változókat vezetünk be X i az esemény előfordulásának száma ben én th teszt, amelyek Bernoulli valószínűségi változók matematikai elvárásokkal, ahol . A matematikai elvárás tulajdonsága alapján megvan
És így, az n és p paraméterű binomiális eloszlás átlaga egyenlő np szorzatával.
Példa. A cél eltalálásának valószínűsége fegyver elsütése közben p = 0,6. Határozza meg az összes találat számának matematikai elvárását 10 lövés esetén!
Megoldás: Az egyes lövéseknél elért találat nem függ más lövések kimenetelétől, így a vizsgált események függetlenek, és ebből következően a kívánt matematikai elvárás
