Меню
ГлавнаяЛюбовь и отношения

Вычислить логарифмы примеры решения. Решение логарифмичеких уравнений

    Начнем со свойства логарифма единицы . Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, log a 1=0 для любого a>0 , a≠1 . Доказательство не вызывает сложностей: так как a 0 =1 для любого a , удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1 , то доказываемое равенство log a 1=0 сразу следует из определения логарифма.

    Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log 3 1=0 , lg1=0 и .

    Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице , то есть, log a a=1 при a>0 , a≠1 . Действительно, так как a 1 =a для любого a , то по определению логарифма log a a=1 .

    Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log 5 5=1 , log 5,6 5,6 и lne=1 .

    К примеру, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 и .

    Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: log a (x·y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 . Докажем свойство логарифма произведения. В силу свойств степени a log a x+log a y =a log a x ·a log a y , а так как по основному логарифмическому тождеству a log a x =x и a log a y =y , то a log a x ·a log a y =x·y . Таким образом, a log a x+log a y =x·y , откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство.

    Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 и .

    Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x 1 , x 2 , …, x n как log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Данное равенство без проблем доказывается .

    Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4 , e , и .

    Логарифм частного двух положительных чисел x и y равен разности логарифмов этих чисел. Свойству логарифма частного соответствует формула вида , где a>0 , a≠1 , x и y – некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: так как , то по определению логарифма .

    Приведем пример использования этого свойства логарифма: .

    Переходим к свойству логарифма степени . Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: log a b p =p·log a |b| , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .

    Сначала докажем это свойство для положительных b . Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как a log a b , тогда b p =(a log a b) p , а полученное выражение в силу свойство степени равно a p·log a b . Так мы приходим к равенству b p =a p·log a b , из которого по определению логарифма заключаем, что log a b p =p·log a b .

    Осталось доказать это свойство для отрицательных b . Здесь замечаем, что выражение log a b p при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени b p должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае b p =|b| p . Тогда b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , откуда log a b p =p·log a |b| .

    Например, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

    Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня : логарифм корня n -ой степени равен произведению дроби 1/n на логарифм подкоренного выражения, то есть, , где a>0 , a≠1 , n – натуральное число, большее единицы, b>0 .

    Доказательство базируется на равенстве (смотрите ), которое справедливо для любых положительных b , и свойстве логарифма степени: .

    Вот пример использования этого свойства: .

    Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма вида . Для этого достаточно доказать справедливость равенства log c b=log a b·log c a . Основное логарифмическое тождество позволяет нам число b представить как a log a b , тогда log c b=log c a log a b . Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: log c a log a b =log a b·log c a . Так доказано равенство log c b=log a b·log c a , а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма .

    Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: и .

    Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов . Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.

    Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b вида . Отсюда видно, что log a b и log b a – . К примеру, .

    Также часто используется формула , которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида . Имеем . Для доказательства формулы достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a : .

    Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.

    Докажем, что для любых положительных чисел b 1 и b 2 , b 1 log a b 2 , а при a>1 – неравенство log a b 1

    Наконец, осталось доказать последнее из перечисленных свойств логарифмов. Ограничимся доказательством его первой части, то есть, докажем, что если a 1 >1 , a 2 >1 и a 1 1 справедливо log a 1 b>log a 2 b . Остальные утверждения этого свойства логарифмов доказываются по аналогичному принципу.

    Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a 1 >1 , a 2 >1 и a 1 1 справедливо log a 1 b≤log a 2 b . По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как и соответственно, а из них следует, что log b a 1 ≤log b a 2 и log b a 1 ≥log b a 2 соответственно. Тогда по свойствам степеней с одинаковыми основаниями должны выполняться равенства b log b a 1 ≥b log b a 2 и b log b a 1 ≥b log b a 2 , то есть, a 1 ≥a 2 . Так мы пришли к противоречию условию a 1

Список литературы.

  • Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Основное логарифмическое тождество

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического "тождества" при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень - единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании "слева направо" происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного - расширение ОДЗ.

Действительно, выражение log a (f (x) g (x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму log a f (x) + log a g (x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть - только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.


Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

Таблица формул, связанных с логарифмами

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)
log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

\(a^{b}=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_{a}{c}=b\)

Объясним проще. Например, \(\log_{2}{8}\) равен степени, в которую надо возвести \(2\), чтоб получить \(8\). Отсюда понятно, что \(\log_{2}{8}=3\).

Примеры:

\(\log_{5}{25}=2\)

т.к. \(5^{2}=25\)

\(\log_{3}{81}=4\)

т.к. \(3^{4}=81\)

\(\log_{2}\)\(\frac{1}{32}\) \(=-5\)

т.к. \(2^{-5}=\)\(\frac{1}{32}\)

Аргумент и основание логарифма

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание - подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».

Как вычислить логарифм?

Чтобы вычислить логарифм - нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

Например , вычислите логарифм: а) \(\log_{4}{16}\) б) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\) в) \(\log_{\sqrt{5}}{1}\) г) \(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\) д) \(\log_{3}{\sqrt{3}}\)

а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому:

\(\log_{4}{16}=2\)

\(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\) \(=-1\)

в) В какую степень надо возвести \(\sqrt{5}\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

\(\log_{\sqrt{5}}{1}=0\)

г) В какую степень надо возвести \(\sqrt{7}\), чтобы получить \(\sqrt{7}\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

\(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=1\)

д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt{3}\)? Из мы знаем, что – это дробная степень, и значит квадратный корень - это степень \(\frac{1}{2}\) .

\(\log_{3}{\sqrt{3}}=\)\(\frac{1}{2}\)

Пример : Вычислить логарифм \(\log_{4\sqrt{2}}{8}\)

Решение :

\(\log_{4\sqrt{2}}{8}=x\)

Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма:
\(\log_{a}{c}=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^{b}=c\)

\((4\sqrt{2})^{x}=8\)

Что связывает \(4\sqrt{2}\) и \(8\)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить двойки:
\(4=2^{2}\) \(\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\) \(8=2^{3}\)

\({(2^{2}\cdot2^{\frac{1}{2}})}^{x}=2^{3}\)

Слева воспользуемся свойствами степени: \(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\) и \((a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\)

\(2^{\frac{5}{2}x}=2^{3}\)

Основания равны, переходим к равенству показателей

\(\frac{5x}{2}\) \(=3\)

Умножим обе части уравнения на \(\frac{2}{5}\)

Получившийся корень и есть значение логарифма

Ответ : \(\log_{4\sqrt{2}}{8}=1,2\)

Зачем придумали логарифм?

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: \(3^{x}=9\). Просто подберите \(x\), чтобы равенство сработало. Конечно, \(x=2\).

А теперь решите уравнение: \(3^{x}=8\).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как \(x=\log_{3}{8}\).

Хочу подчеркнуть, что \(\log_{3}{8}\), как и любой логарифм - это просто число . Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: \(1,892789260714.....\)

Пример : Решите уравнение \(4^{5x-4}=10\)

Решение :

\(4^{5x-4}=10\)

\(4^{5x-4}\) и \(10\) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.

Воспользуемся определением логарифма:
\(a^{b}=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_{a}{c}=b\)

\(\log_{4}{10}=5x-4\)

Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева

\(5x-4=\log_{4}{10}\)

Перед нами . Перенесем \(4\) вправо.

И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.

\(5x=\log_{4}{10}+4\)

Поделим уравнение на 5

\(x=\)\(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)


Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Ответ : \(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание - число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln{a}\).

То есть, \(\ln{a}\) это то же самое, что и \(\log_{e}{a}\)

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg{a}\).

То есть, \(\lg{a}\) это то же самое, что и \(\log_{10}{a}\) , где \(a\) - некоторое число.

Основное логарифмическое тождество

У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:

\(a^{\log_{a}{c}}=c\)

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

если \(a^{b}=c\), то \(\log_{a}{c}=b\)

То есть, \(b\) – это тоже самое, что \(\log_{a}{c}\). Тогда мы можем в формуле \(a^{b}=c\) написать \(\log_{a}{c}\) вместо \(b\). Получилось \(a^{\log_{a}{c}}=c\) – основное логарифмическое тождество.

Остальные свойства логарифмов вы можете найти . С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.

Пример : Найдите значение выражения \(36^{\log_{6}{5}}\)

Решение :

Ответ : \(25\)

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_{2}{4}\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_{2}{4}\).

Но \(\log_{3}{9}\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_{3}{9}\) . Аналогично и с \(\log_{5}{25}\), и с \(\log_{9}{81}\), и т.д. То есть, получается

\(2=\log_{2}{4}=\log_{3}{9}=\log_{4}{16}=\log_{5}{25}=\log_{6}{36}=\log_{7}{49}...\)

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_{2}{8}\), или как \(\log_{3}{27}\), или как \(\log_{4}{64}\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

\(3=\log_{2}{8}=\log_{3}{27}=\log_{4}{64}=\log_{5}{125}=\log_{6}{216}=\log_{7}{343}...\)

И с четверкой:

\(4=\log_{2}{16}=\log_{3}{81}=\log_{4}{256}=\log_{5}{625}=\log_{6}{1296}=\log_{7}{2401}...\)

И с минус единицей:

\(-1=\) \(\log_{2}\)\(\frac{1}{2}\) \(=\) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\log_{4}\)\(\frac{1}{4}\) \(=\) \(\log_{5}\)\(\frac{1}{5}\) \(=\) \(\log_{6}\)\(\frac{1}{6}\) \(=\) \(\log_{7}\)\(\frac{1}{7}\) \(...\)

И с одной третьей:

\(\frac{1}{3}\) \(=\log_{2}{\sqrt{2}}=\log_{3}{\sqrt{3}}=\log_{4}{\sqrt{4}}=\log_{5}{\sqrt{5}}=\log_{6}{\sqrt{6}}=\log_{7}{\sqrt{7}}...\)

Любое число \(a\) может быть представлено как логарифм с основанием \(b\): \(a=\log_{b}{b^{a}}\)

Пример : Найдите значение выражения \(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)

Решение :

Ответ : \(1\)

Инструкция

Запишите заданное логарифмическое выражение. Если в выражении используется логарифм 10, то его запись укорачивается и выглядит так: lg b - это десятичный логарифм. Если же логарифм имеет в виде основания число е, то записывают выражение: ln b – натуральный логарифм. Подразумевается, что результатом любого является степень, в которую надо возвести число основания, чтобы получилось число b.

При нахождении от суммы двух функций, необходимо просто их по очереди продифференцировать, а результаты сложить: (u+v)" = u"+v";

При нахождении производной от произведения двух функций, необходимо производную от первой функции умножить на вторую и прибавить производную второй функции, умноженную на первую функцию: (u*v)" = u"*v+v"*u;

Для того, чтобы найти производную от частного двух функций необходимо, из произведения производной делимого, умноженной на функцию делителя, вычесть произведение производной делителя, умноженной на функцию делимого, и все это разделить на функцию делителя возведенную в квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Если дана сложная функция, то необходимо перемножить производную от внутренней функции и производную от внешней. Пусть y=u(v(x)), тогда y"(x)=y"(u)*v"(x).

Используя полученные выше , можно продифференцировать практически любую функцию. Итак, рассмотрим несколько примеров:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2*x));
Также встречаются задачи на вычисление производной в точке. Пусть задана функция y=e^(x^2+6x+5), нужно найти значение функции в точке х=1.
1) Найдите производную функции: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Вычислите значение функции в заданной точке y"(1)=8*e^0=8

Видео по теме

Полезный совет

Выучите таблицу элементарных производных. Это заметно сэкономит время.

Источники:

  • производная константы

Итак, чем же отличается иррациональное уравнение от рационального? Если неизвестная переменная находиться под знаком квадратного корня, то уравнение считается иррациональным.

Инструкция

Основной метод решения таких уравнений - метод возведения обоих частей уравнения в квадрат. Впрочем. это естественно, первым делом необходимо избавиться от знака . Технически этот метод не сложен, но иногда это может привести к неприятностям. Например, уравнение v(2х-5)=v(4х-7). Возведя обе его стороны в квадрат, вы получите 2х-5=4х-7. Такое уравнение решить не составит труда; х=1. Но число 1 не будет являться данного уравнения . Почему? Подставьте единицу в уравнение вместо значения х.И в правой и в левой части будут содержаться выражения, не имеющие смысла, то есть . Такое значение не допустимо для квадратного корня. Поэтому 1 - посторонний корень, и следовательно данное уравнение не имеет корней.

Итак, иррациональное уравнение решается с помощью метода возведения в квадрат обоих его частей. И решив уравнение, необходимо обязательно , чтобы отсечь посторонние корни. Для этого подставьте найденные корни в оригинальное уравнение.

Рассмотрите еще один .
2х+vх-3=0
Конечно же, это уравнение можно решить по той же , что и предыдущее. Перенести составные уравнения , не имеющие квадратного корня, в правую часть и далее использовать метод возведения в квадрат. решить полученное рациональное уравнение и корни. Но и другой , более изящный. Введите новую переменную; vх=y. Соответственно, вы получите уравнение вида 2y2+y-3=0. То есть обычное квадратное уравнение. Найдите его корни; y1=1 и y2=-3/2. Далее решите два уравнения vх=1; vх=-3/2. Второе уравнение корней не имеет, из первого находим, что х=1. Не забудьте, о необходимости проверки корней.

Решать тождества достаточно просто. Для этого требуется совершать тождественные преобразования, пока поставленная цель не будет достигнута. Таким образом, при помощи простейших арифметических действий поставленная задача будет решена.

Вам понадобится

  • - бумага;
  • - ручка.

Инструкция

Простейший таких преобразований – алгебраические сокращенного умножения (такие как квадрат суммы (разности), разность квадратов, сумма (разность) , куб суммы (разности)). Кроме того существует множество и тригонометрических формул, которые по своей сути теми же тождествами.

Действительно, квадрат суммы двух слагаемых равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе и плюс квадрат второго, то есть (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab+b^2.

Упростите обеих

Общие принципы решения

Повторите по учебнику по математическому анализу или высшей математике, что собой представляет определённый интеграл. Как известно, решение определенного интеграла есть функция, производная которой даст подынтегральное выражение. Данная функция называется первообразной. По данному принципу и строится основных интегралов.
Определите по виду подынтегральной функции, какой из табличных интегралов подходит в данном случае. Не всегда удается это определить сразу же. Зачастую, табличный вид становится заметен только после нескольких преобразований по упрощению подынтегральной функции.

Метод замены переменных

Если подынтегральной функцией является тригонометрическая функция, в аргументе которой некоторый многочлен, то попробуйте использовать метод замены переменных. Для того чтобы это сделать, замените многочлен, стоящий в аргументе подынтегральной функции, на некоторую новую переменную. По соотношению между новой и старой переменной определите новые пределы интегрирования. Дифференцированием данного выражения найдите новый дифференциал в . Таким образом, вы получите новый вид прежнего интеграла, близкий или даже соответствующий какому-либо табличному.

Решение интегралов второго рода

Если интеграл является интегралом второго рода, векторный вид подынтегральной функции, то вам будет необходимо пользоваться правилами перехода от данных интегралов к скалярным. Одним из таких правил является соотношение Остроградского-Гаусса. Данный закон позволяет перейти от потока ротора некоторой векторной функции к тройному интегралу по дивергенции данного векторного поля.

Подстановка пределов интегрирования

После нахождения первообразной необходимо подставить пределы интегрирования. Сначала подставьте значение верхнего предела в выражение для первообразной. Вы получите некоторое число. Далее вычтите из полученного числа другое число, полученное нижнего предела в первообразную. Если один из пределов интегрирования является бесконечностью, то при подстановке ее в первообразную функцию необходимо перейти к пределу и найти, к чему стремится выражение.
Если интеграл является двумерным или трехмерным, то вам придется изображать геометрически пределы интегрирования, чтобы понимать, как рассчитывать интеграл. Ведь в случае, скажем, трехмерного интеграла пределами интегрирования могут быть целые плоскости, ограничивающие интегрируемый объем.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное (х) и выражения с ним находятся под знаком логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений подразумевает, что вы уже знакомы с и .
Как решать логарифмические уравнения?

Самое простое уравнение имеет вид log a x = b , где a и b -некоторые числа,x - неизвестное.
Решением логарифмическое уравнения является x = a b при условии: a > 0, a 1.

Следует отметить, что если х будет находиться где-нибудь вне логарифма, например log 2 х = х-2, то такое уравнение уже называется смешанным и для его решения нужен особый подход.

Идеальным случаем является ситуация, когда Вам попадется уравнение, в котором под знаком логарифма находятся только числа, например х+2 = log 2 2. Здесь достаточно знать свойства логарифмов для его решения. Но такая удача случается не часто, поэтому приготовьтесь к более сложным вещам.

Но сначала, все-таки, начнём с простых уравнений. Для их решения желательно иметь самое общее представление о логарифме.

Решение простейших логарифмических уравнений

К таковым относятся уравнения типа log 2 х = log 2 16. Невооруженным глазом видно, что опустив знак логарифма получим х = 16.

Для того, чтобы решить более сложное логарифмическое уравнение, его обычно приводят к решению обычного алгебраического уравнения или к решению простейшего логарифмического уравнения log a x = b. В простейших уравнениях это происходит в одно движение, поэтому они и носят название простейших.

Вышеиспользованный метод опускания логарифмов является одним из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция носит название потенцирования. Существуют определенные правила или ограничения для подобного рода операций:

  • одинаковые числовые основания у логарифмов
  • логарифмы в обоих частях уравнения находятся свободно, т.е. без каких бы то ни было коэффициентов и других разного рода выражений.

Скажем в уравнении log 2 х = 2log 2 (1- х) потенцирование неприменимо - коэффициент 2 справа не позволяет. В следующем примере log 2 х+log 2 (1 - х) = log 2 (1+х) также не выполняется одно из ограничений - слева логарифма два. Вот был бы один – совсем другое дело!

Вообщем, убирать логарифмы можно только при условии, что уравнение имеет вид:

log a (...) = log a (...)

В скобках могут находится совершенно любые выражения, на операцию потенцирования это абсолютно никак не влияет. И уже после ликвидации логарифмов останется более простое уравнение – линейное, квадратное, показательное и т.п., которое Вы уже, надеюсь, умеете решать.

Возьмем другой пример:

log 3 (2х-5) = log 3 х

Применяем потенцирование, получаем:

log 3 (2х-1) = 2

Исходя из определения логарифма, а именно, что логарифм - это число, в которое надо возвести основание, чтобы получить выражение, которое находится под знаком логарифма, т.е. (4х-1), получаем:

Опять получили красивый ответ. Здесь мы обошлись без ликвидации логарифмов, но потенцирование применимо и здесь, потому как логарифм можно сделать из любого числа, причем именно такой, который нам надо. Этот способ очень помогает при решении логарифмических уравнений и особенно неравенств.

Решим наше логарифмическое уравнение log 3 (2х-1) = 2 с помощью потенцирования:

Представим число 2 в виде логарифма, например, такого log 3 9, ведь 3 2 =9.

Тогда log 3 (2х-1) = log 3 9 и опять получаем все то же уравнение 2х-1 = 9. Надеюсь, все понятно.

Вот мы и рассмотрели как решать простейшие логарифмические уравнения, которые на самом деле очень важны, ведь решение логарифмических уравнений , даже самых страшных и закрученных, в итоге всегда сводится к решению простейших уравнений.

Во всем, что мы делали выше, мы упускали из виду один очень важный момент, который в последующем будет иметь решающую роль. Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения, даже самого элементарного, состоит из двух равноценных частей. Первая – это само решение уравнения, вторая - работа с областью допустимых значений (ОДЗ). Вот как раз первую часть мы и освоили. В вышеприведенных примерах ОДЗ на ответ никак не влияет, поэтому мы ее и не рассматривали.

А вот возьмем другой пример:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Внешне это уравнение ничем не отличается от элементарного, которое весьма успешно решается. Но это не совсем так. Нет, мы конечно же его решим, но скорее всего неправильно, потому что в нем кроется небольшая засада, в которую сходу попадаются и троечники, и отличники. Давайте рассмотрим его поближе.

Допустим необходимо найти корень уравнения или сумму корней, если их несколько:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Применяем потенцирование, здесь оно допустимо. В итоге получаем обычное квадратное уравнение.

Находим корни уравнения:

Получилось два корня.

Ответ: 3 и -1

С первого взгляда все правильно. Но давайте проверим результат и подставим его в исходное уравнение.

Начнем с х 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Проверка прошла успешно, теперь очередь х 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Так, стоп! Внешне всё идеально. Один момент - логарифмов от отрицательных чисел не бывает! А это значит, что корень х = -1 не подходит для решения нашего уравнения. И поэтому правильный ответ будет 3, а не 2, как мы написали.

Вот тут-то и сыграла свою роковую роль ОДЗ, о которой мы позабыли.

Напомню, что под областью допустимых значений принимаются такие значения х, которые разрешены или имеют смысл для исходного примера.

Без ОДЗ любое решение, даже абсолютно правильное, любого уравнения превращается в лотерею - 50/50.

Как же мы смогли попасться при решении, казалось бы, элементарного примера? А вот именно в момент потенцирования. Логарифмы пропали, а с ними и все ограничения.

Что же в таком случае делать? Отказываться от ликвидации логарифмов? И напрочь отказаться от решения этого уравнения?

Нет, мы просто, как настоящие герои из одной известной песни, пойдем в обход!

Перед тем, как приступать к решению любого логарифмического уравнения, будем записывать ОДЗ. А вот уж после этого можно делать с нашим уравнением все, что душа пожелает. Получив ответ, мы просто выбрасываем те корни, которые не входят в нашу ОДЗ, и записываем окончательный вариант.

Теперь определимся, как же записывать ОДЗ. Для этого внимательно осматриваем исходное уравнение и ищем в нем подозрительные места, вроде деления на х, корня четной степени и т.п. Пока мы не решили уравнение, мы не знаем – чему равно х, но твердо знаем, что такие х, которые при подстановке дадут деление на 0 или извлечение квадратного корня из отрицательного числа, заведомо в ответ не годятся. Поэтому такие х неприемлемы, остальные же и будут составлять ОДЗ.

Воспользуемся опять тем же уравнением:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Как видим, деления на 0 нет, квадратных корней также нет, но есть выражения с х в теле логарифма. Тут же вспоминаем, что выражение, находящееся внутри логарифма, всегда должно быть >0. Это условие и записываем в виде ОДЗ:

Т.е. мы еще ничего не решали, но уже записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Фигурная скобка означает, что эти условия должны выполняться одновременно.

ОДЗ записано, но необходимо еще и решить полученную систему неравенств, чем и займемся. Получаем ответ х > v3. Теперь точно известно – какие х нам не подойдут. А дальше уже приступаем к решению самого логарифмического уравнения, что мы и сделали выше.

Получив ответы х 1 = 3 и х 2 = -1, легко увидеть, что нам подходит лишь х1= 3, его и записываем, как окончательный ответ.

На будущее очень важно запомнить следующее: решение любого логарифмического уравнения делаем в 2 этапа. Первый - решаем само уравнение, второй – решаем условие ОДЗ. Оба этапа выполняются независимо друг от друга и только лишь при написании ответа сопоставляются, т.е. отбрасываем все лишнее и записываем правильный ответ.

Для закрепления материала настоятельно рекомендуем посмотреть видео:

На видео другие примеры решения лог. уравнений и отработка метода интервалов на практике.

На это по вопросу, как решать логарифмические уравнения , пока всё. Если что то по решению лог. уравнений осталось не ясным или непонятным, пишите свои вопросы в комментариях.

Заметка: Академия социального образования (КСЮИ) - готова принять новых учащихся.