Вычитание чисел с разными знаками правило. Сложение чисел с разными знаками

Сложение отрицательных чисел.

Сумма отрицательных чисел есть число отрицательное. Модуль суммы равен сумме модулей слагаемых .

Давайте разберемся, почему же сумма отрицательных чисел будет тоже отрицательным числом. Поможет нам в этом координатная прямая, на которой мы выполним сложение чисел -3 и -5. Отметим на координатной прямой точку, соответствующее числу -3.

К числу -3 нам нужно прибавить число -5. Куда мы пойдем от точки, соответствующей числу -3? Правильно, влево! На 5 единичных отрезков. Отмечаем точку и пишем число ей соответствующее. Это число -8.

Итак, при выполнении сложения отрицательных чисел с помощью координатной прямой мы все время находимся слева от начала отсчета, поэтому, понятно, что результат сложения отрицательных чисел есть число тоже отрицательное.

Примечание. Мы складывали числа -3 и -5, т.е. находили значение выражения -3+(-5). Обычно при сложении рациональных чисел просто записывают эти числа с их знаками, как бы перечисляют все числа, которые нужно сложить. Такую запись называют алгебраической суммой. Применяют (в нашем примере) запись: -3-5=-8.

Пример. Найти сумму отрицательных чисел: -23-42-54. (Согласитесь, что эта запись короче и удобнее вот такой: -23+(-42)+(-54))?

Решаем по правилу сложения отрицательных чисел: складываем модули слагаемых: 23+42+54=119. Результат будет со знаком «минус».

Записывают обычно так: -23-42-54=-119.

Сложение чисел с разными знаками.

Сумма двух чисел с разными знаками имеет знак слагаемого с большим модулем. Чтобы найти модуль суммы, нужно из большего модуля вычесть меньший .

Выполним сложение чисел с разными знаками с помощью координатной прямой.

1) -4+6. Требуется к числу -4 прибавить число 6. Отметим число -4 точкой на координатной прямой. Число 6 — положительное, значит от точки с координатой -4 нам нужно идти вправо на 6 единичных отрезков. Мы оказались справа от начала отсчета (от нуля) на 2 единичных отрезка.

Результат суммы чисел -4 и 6 — это положительное число 2:

— 4+6=2. Как можно было получить число 2? Из 6 вычесть 4, т.е. из большего модуля вычесть меньший. У результата тот же знак, что и у слагаемого с большим модулем.

2) Вычислим: -7+3 с помощью координатной прямой. Отмечаем точку, соответствующую числу -7. Идем вправо на 3 единичных отрезка и получаем точку с координатой -4. Мы были и остались слева от начала отсчета: ответ — отрицательное число.

— 7+3=-4. Этот результат мы могли получить так: из большего модуля вычли меньший, т.е. 7-3=4. В результате поставили знак слагаемого, имеющего больший модуль: |-7|>|3|.

Примеры. Вычислить: а) -4+5-9+2-6-3; б) -10-20+15-25.

Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

Плюс на минус дает минус;
Минус на минус дает плюс.

Разберем все это на конкретных примерах:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

Что делать, если знаменатели разные

Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю », поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Что делать, если у дроби есть целая часть

Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.

Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.

Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь ». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:

Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.

Резюме: общая схема вычислений

В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:

Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.

Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.

«Сложение чисел с разными знаками» — Учебник по математике 6 класс (Виленкин)

Краткое описание:

В этом разделе Вы выучите правила сложения чисел с разными знаками: то есть научитесь складывать отрицательные и положительные числа.
Вы уже умеете их складывать на координатной прямой, но ведь в каждом примере не будете рисовать прямую и по ней считать? Поэтому нужно научиться складывать без нее.
Давайте попробуем с Вами к положительному числу добавить отрицательное, например восемь добавить минус шесть: 8+(-6). Вы уже знаете, что добавление отрицательного числа ведет к уменьшению первоначального на значение отрицательного. Это означает, что восемь необходимо уменьшить на шесть, то есть от восьми отнять шесть: 8-6=2, получается два. В этом примере вроде все понятно, от восьми отнимаем шесть.
А если взять такой пример: к отрицательному числу добавить положительное. Например, минус восемь добавить шесть: -8+6. Суть остается та же: положительное число уменьшаем на значение отрицательного, получаем шесть отнять восемь будет минус два: -8+6=-2.
Как Вы заметили, и в первом и во втором примере с числами выполняется действие вычитание. Почему? Потому что они имеют разные знаки (плюс и минус). Чтобы не делать ошибок при сложении чисел с разными знаками следует выполнять такой алгоритм действий:
1. найдите модули чисел;
2. от большего модуля отнимите меньший модуль;
3. перед полученным результатом поставьте знак числа с большим модулем (обычно ставится только знак минус, а знак плюс не ставится).
Если вы будете складывать числа с разными знаками, следуя этому алгоритму, то шансов ошибиться у Вас будет намного меньше.

Если температура воздуха была равна 9°С, а потом она изменилась на -6°С (т. е. понизилась на 6°С), то она стала равной 9 + (-6) градусам (рис. 83).

Рис. 83

Чтобы сложить числа 9 и -6 с помощью координатной прямой, надо точку A(9) переместить влево на 6 единичных отрезков (рис. 84). Получим точку В(3).

Рис. 84

Значит, 9 + (-6) = 3. Число 3 имеет тот же знак, что и слагаемое 9, а его модуль равен разности модулей слагаемых 9 и -6.

Действительно, |3| = 3 и |9| - |-6| = 9 - 6 = 3.

Если та же температура воздуха 9°С изменилась на -12°С (т. е. понизилась на 12°С), то она стала равной 9 + (-12) градусам (рис. 85).

Рис. 85

Сложив числа 9 и -12 с помощью координатной прямой (рис. 86), получим 9 + (-12) = -3. Число -3 имеет тот же знак, что и слагаемое -12, а его модуль равен разности модулей слагаемых -12 и 9.

Рис. 86

Действительно, |-3| = 3 и |-12| - |-9| = 12 - 9 = 3.

Обычно сначала определяют и записывают знак суммы, а потом находят разность модулей.

Например:

При сложении положительных и отрицательных чисел можно использовать микрокалькулятор. Чтобы ввести отрицательное число в микрокалькулятор, надо ввести модуль этого числа, потом нажать клавишу «изменение знака» . Например, чтобы ввести число -56,81, надо последовательно нажимать клавиши: . Операции над числами любого знака выполняются на микрокалькуляторе так же, как над положительными числами. Например, сумму -6,1 + 3,8 вычисляют по программе

Короче эту программу пишут так: .

Вопросы для самопроверки

Числа а и b имеют разные знаки. Какой знак будет иметь сумма этих чисел, если больший модуль имеет отрицательное число? если меньший модуль имеет отрицательное число? если больший модуль имеет положительное число? если меньший модуль имеет положительное число?
Сформулируйте правило сложения чисел с разными знаками.
Как ввести в микрокалькулятор отрицательное число?

Выполните упражнения

1061. Число 6 изменили на -10. С какой стороны от начала отсчёта расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчёта оно находится? Чему равна сумма 6 и -10?

1062. Число 10 изменили на -6. С какой стороны от начала отсчёта расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчёта оно находится? Чему равна сумма 10 и -6?

1063. Число -10 изменили на 3. С какой стороны от начала отсчёта расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчёта оно находится? Чему равна сумма -10 и 3?

1064. Число -10 изменили на 15. С какой стороны от начала отсчёта расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчёта оно находится? Чему равна сумма -10 и 15?

1065. В первую половину дня температура изменилась на -4°С, а во вторую - на +12 °С. На сколько градусов изменилась температура в течение дня?

1066. Выполните сложение:

а) 26 + (-6);
б) -70 + 50;
в) -17 + 30;
г) 80 + (-120);
д) -6,3 + 7,8;
е) -9 + 10,2;
ж) 1 + (-0,39);
з) 0,3 + (-1,2);

1067. Прибавьте:

а) к сумме -6 и -12 число 20;
б) к числу 2,6 сумму -1,8 и 5,2;
в) к сумме -10 и -1,3 сумму 5 и 8,7;
г) к сумме 11 и -6,5 сумму -3,2 и -6.

1068. Какое из чисел 8; 7,1; -7,1; -7; -0,5 является корнем уравнения -6 + х = -13,1?

1069. Угадайте корень уравнения и выполните проверку:

а) х + (-3) = -11;
б) -5 + у = 15;
в) т + (-12) = 2;
г) 3 + п = -10.

1070. Найдите значение выражения:

1071. Выполните действия с помощью микрокалькулятора:

а) -3,2579 + (-12,308);
б) 7,8547 + (-9,239);
в) -0,00154 + 0,0837;
г) -3,8564 + (-0,8397) + 7,84;
д) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
е) -0,0085 + 0,00354 + (-0,00921).

1072. Найдите значение суммы:

1073. Найдите значение выражения:

1074. Сколько целых чисел расположено между числами:

а) 0 и 24;
б) -12 и -3;
в) -20 и 7?

1075. Представьте число -10 в виде суммы двух отрицательных слагаемых так, чтобы:

а) оба слагаемых были целыми числами;
б) оба слагаемых были десятичными дробями;
в) одно из слагаемых было правильной обыкновенной дробью.

1076. Каково расстояние (в единичных отрезках) между точками координатной прямой с координатами:

а) 0 и а;
б) -а и а;
в) -а и 0;
г) а и -За?

1077. Радиусы географических параллелей земной поверхности, на которых расположены города Афины и Москва, соответственно равны 5040 км и 3580 км (рис. 87). На сколько параллель Москвы короче параллели Афин?

Рис. 87

1078. Составьте уравнение для решения задачи: «Поле площадью 2,4 га разделили на два участка. Найдите площадь каждого участка, если известно, что один из участков:

1079. Решите задачу:

В первый день путешественники проехали 240 км, во второй день 140 км, в третий день они проехали в 3 раза больше, чем во второй, а в четвёртый день они отдыхали. Сколько километров они проехали в пятый день, если за 5 дней они проезжали в среднем по 230 км в день?
Фермер с двумя сыновьями собранные яблоки поместили в 4 контейнера, в среднем по 135 кг в каждый. Фермер собрал 280 кг яблок, а младший сын - в 4 раза меньше. Сколько килограммов яблок собрал старший сын?

1080. Выполните действия:

(2,35 + 4,65) 5,3: (40 - 2,9);
(7,63 - 5,13) 0,4: (3,17 + 6,83).

1081. Выполните сложение:

1082. Представьте в виде суммы двух равных слагаемых каждое из чисел: 10; -8; -6,8; .

1083. Найдите значение а + b, если:

1084. На одном этаже жилого дома было 8 квартир. Жилую площадь по 22,8 м 2 имели 2 квартиры, по 16,2 м 2 - 3 квартиры, по 34 м 2 - 2 квартиры. Какую жилую площадь имела восьмая квартира, если на этом этаже в среднем на каждую квартиру приходилось по 24,7 м 2 жилой площади?

1085. В составе товарного поезда было 42 вагона. Крытых вагонов было в 1,2 раза больше, чем платформ, а число цистерн составляло числа платформ. Сколько вагонов каждого вида было в составе поезда?

1086. Найдите значение выражения

Задача 1. Игрок записывал выигрыш знаком + и проигрыш знаком –. Найти результат каждой из следующих записей: a) +7 руб. +4 руб.; b) –3 руб. –6 руб.; c) –4 р. +4 р.; d) +8 р. –6 р.; e) –11 р. +7 р.; f) +2 р. +3 р. –5 р.; g) +6 р. –4 р. +3 р. –5 р. +2 р. –6 р.

Запись a) указывает, что игрок сначала выиграл 7 руб. и затем еще выиграл 4 р., – итого выиграл 11 р.; запись c) указывает, что сначала игрок проиграл 4 р. и затем выиграл 4 р., – потому общий результат = 0 (игрок ничего не сделал); запись e) указывает, что игрок сначала проиграл 11 руб., потом выиграл 7 руб., – проигрыш пересиливает выигрыш на 4 руб.; следовательно, в общем, игрок проиграл 4 руб. Итак, имеем право для этих записей записать, что

a) +7 р. +4 р. = +11 р.; c) –4 р. +4 р. = 0; e) –11 р. + 7 р. = –4 руб.

Так же легко разбираются и остальные записи.

По своему смыслу эти задачи сходны с теми, которые в арифметике решаются с помощью действия сложения, поэтому и здесь мы станем считать, что везде приходится для нахождения общего результата игры складывать относительные числа, выражающие результаты отдельных игр, например, в примере c) относительное число –11 руб. складывается с относительным числом +7 руб.

Задача 2. Кассир записывал приход кассы знаком +, а расход знаком –. Найти общий результат каждой из следующих записей: a) +16 р. +24 р.; b) –17 р. –48 р.; c) +26 р. –26 р.; d) –24 р. +56 р.; e) –24 р. +6 р.; f) –3 р. +25 р. –20 р. +35 р.; g) +17 р. –11 р. +14 р. –9 р. –18 р. +7 р.; h) –9 р –7 р. +15 р. –11 р. +4 р.

Разберем, напр., запись f): сосчитаем сперва весь приход кассы: по этой записи было 25 руб. приходу, да еще 35 руб. приходи, итого приходу было 60 руб., а расходу было 3 руб., да еще 20 руб., итого было 23 руб. расходу; приход превышает расход на 37 руб. След.,

– 3 руб. + 25 руб. – 20 руб. + 35 руб. = +37 руб.

Задача 3. Точка колеблется по прямой, начиная от точки A (черт. 2).

Черт. 2.

Перемещение ее вправо обозначаем знаком + и перемещение ее влево знаком –. Где будет находиться точка после нескольких колебаний, записанных одною из следующих записей: a) +2 дм. –3 дм. +4 дм.; b) –1 дм. +2 дм. +3 дм. +4 дм. –5 дм. +3 дм.; c) +10 дм. –1 дм. +8 дм. –2 дм. +6 дм. –3 дм. +4 дм. –5 дм.; d) –4 дм. +1 дм. –6 дм. +3 дм. –8 дм. +5 дм.; e) +5 дм. –6 дм. +8 дм. –11 дм. На чертеже дюймы обозначены отрезками, меньшими настоящих.

Последнюю запись (e) разберем: сначала колеблющаяся точка передвинулась вправо от A на 5 дм., потом передвинулась влево на 6 дм., – в общем, она должна оказаться находящеюся влево от A на 1 дм., потом подвинулась вправо на 8 дюйм., след., теперь она находится вправо от A на 7 дм., а затем подвинулась влево на 11 дм., следовательно, она находится влево от A на 4 дм.

Остальные примеры предоставляем разобрать самим учащимся.

Мы приняли, что во всех разобранных записях приходится складывать записанные относительные числа. Поэтому условимся:

Если несколько относительных чисел написаны рядом (с их знаками), то эти числа надо сложить.

Разберем теперь главные случаи, встречающиеся при сложении, причем возьмем относительные числа без названий (т. е. вместо того, чтобы говорить, напр., 5 руб. выигрышу, да еще 3 руб. проигрышу, или точка переместилась на 5 дм. вправо от A, да потом еще на 3 дм. Влево, станем говорить 5 положительных единиц, да еще 3 отрицательных единиц …).

Здесь надо сложить числа, состоящие из 8 полож. единиц, да еще из 5 полож. единиц, получим число, состоящее из 13 полож. единиц.

Итак, + 8 + 5 = 13

Здесь надо сложить число, состоящее из 6 отрицат. единиц с числом, состоящим из 9 отрицат. единиц, получим 15 отрицат. единиц (сравнить: 6 рублей проигрыша и 9 руб. проигрыша – составят 15 руб. проигрыша). Итак,

– 6 – 9 = – 15.

4 рубля выигрыша да затем 4 руб. проигрыша, в общем, дадут нуль (взаимно уничтожается); также, если точка продвинулась от A сначала вправо на 4 дм., а потом влево на 4 дм., то она окажется опять в точке A и, след., окончательное ее расстояние от A равно нулю, и вообще мы должны считать, что 4 полож. единицы, да еще 4 отрицательных единицы, в общем, дадут нуль, или взаимно уничтожатся. Итак,

4 – 4 = 0, также – 6 + 6 = 0 и т. д.

Два относительных числа, имеющие одинаковую абсолютную величину, но различные знаки, взаимно уничтожаются.

6 отрицат. единиц уничтожатся с 6 положит. единицами, да еще останется 3 полож. единицы. Итак,

– 6 + 9 = + 3.

7 полож. единиц уничтожатся с 7 отрицат. единицами, да еще останется 4 отрицат. единицы. Итак,

7 – 11 = – 4.

Рассматривая 1), 2), 4) и 5) случаи, имеем

8 + 5 = + 13; – 6 – 9 = – 15; – 6 + 9 = + 3 и
+ 7 – 11 = – 4.

Отсюда видим, что надо различать два случая сложения алгебраических чисел: случай, когда слагаемые имеют одинаковые знаки (1-й и 2-й) и случай сложения чисел с разными знаками (4-й и 5-й).

Не трудно теперь увидать, что

при сложении чисел с одинаковыми знаками следует сложить их абсолютные величины и написать их общий знак, а при сложении двух чисел с разными знаками надо вычесть арифметически их абсолютные величины (из большей меньшую) и написать знак того числа, у которого абсолютная величина больше.

Пусть требуется найти сумму

6 – 7 – 3 + 5 – 4 – 8 + 7 + 9.

Мы можем сначала сложить все положительные числа + 6 + 5 + 7 + 9 = + 27, потом все отрицат. – 7 – 3 – 4 – 8 = – 22 и затем полученные результаты между собою + 27 – 22 = + 5.

Можем также воспользоваться здесь тем, что числа + 5 – 4 – 8 + 7 взаимно уничтожаются и тогда остается сложить лишь числа + 6 – 7 – 3 + 9 = + 5.

Другой способ обозначения сложения

Можно каждое слагаемое заключать в скобки и между скобками написать знак сложения. Напр.:

(+7) + (+9); (–3) + (–8); (+7) + (–11); (–4) + (+5);
(–3) + (+5) + (–7) + (+9) + (–11) и т. п.

Мы можем, согласно предыдущему, сразу написать сумму, напр. (–4) + (+5) = +1 (случай сложения чисел с разными знаками: надо из большей абсолютной величины вычесть меньшую и написать знак того числа, у которого абсолютная величина больше), но можем также переписать сначала то же самое без скобок, пользуясь нашим условием, что если числа написаны рядом с их знаками, то эти числа надо сложить; след.,

чтобы раскрыть скобки при сложении положительных и отрицательных чисел, надо слагаемые написать рядом с их знаками (знак сложения и скобки опустить).

Напр.: (+ 7) + (+ 9) = + 7 + 9; (– 3) + (– 8) = – 3 – 8; (+ 7) + (– 11) = + 7 – 11; (– 4) + (+ 5) = – 4 + 5; (– 3) + (+ 5) + (– 7) + (+ 9) + (– 11) = – 3 + 5 – 7 + 9 – 11.

После этого можно полученные числа сложить.

В курсе алгебры следует обратить особенное внимание на уменье раскрывать скобки.

Упражнения.

1) (– 7) + (+ 11) + (– 15) + (+ 8) + (– 1);