Дараа нь бид квадрат тэгшитгэлийг авна. Квадрат тэгшитгэлийн үндэс
Квадрат тэгшитгэл. Ялгаварлан гадуурхагч. Шийдэл, жишээ.
Анхаар!
Нэмэлт байдаг
555-р тусгай хэсгийн материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)
Квадрат тэгшитгэлийн төрлүүд
Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ? Энэ юу шиг харагдаж байна? Хугацааны хувьд квадрат тэгшитгэлтүлхүүр үг нь "дөрвөлжин".Энэ нь тэгшитгэлд гэсэн үг юм Заавал x квадрат байх ёстой. Үүнээс гадна тэгшитгэл нь зөвхөн X (эхний зэрэглэлд) ба зөвхөн тоог агуулж болно (эсвэл үгүй ч байж болно!) (чөлөөт гишүүн).Мөн хоёр зэрэгтэй X тэмдэгт байх ёсгүй.
Математикийн хувьд квадрат тэгшитгэл нь дараахь хэлбэрийн тэгшитгэл юм.
Энд a, b ба c- зарим тоо. б ба в- туйлын ямар ч, гэхдээ А- тэгээс бусад бүх зүйл. Жишээлбэл:
Энд А =1; б = 3; в = -4
Энд А =2; б = -0,5; в = 2,2
Энд А =-3; б = 6; в = -18
За ойлголоо...
Эдгээр квадрат тэгшитгэлд зүүн талд байна бүрэн багцгишүүд. X коэффициент бүхий квадрат А, x-ийг коэффициенттэй эхний зэрэглэлд шилжүүлнэ бТэгээд чөлөөт гишүүн С.
Ийм квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг дүүрэн.
Тэгээд хэрэв б= 0, бид юу авах вэ? Бидэнд байгаа X нь эхний зэрэгтэй алга болно.Энэ нь тэгээр үржихэд тохиолддог.) Энэ нь жишээлбэл:
5х 2 -25 = 0,
2х 2 -6х=0,
-x 2 +4x=0
гэх мэт. Хэрэв хоёулаа коэффициент байвал бТэгээд втэгтэй тэнцүү бол энэ нь бүр энгийн:
2х 2 =0,
-0.3x 2 =0
Ямар нэг зүйл дутуу байгаа ийм тэгшитгэлийг нэрлэдэг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.Энэ нь нэлээд логик юм.) Бүх тэгшитгэлд x квадрат байгааг анхаарна уу.
Дашрамд хэлэхэд яагаад Атэгтэй тэнцүү байж болохгүй гэж үү? Та оронд нь орлоно Атэг.) Манай X квадрат алга болно! Тэгшитгэл нь шугаман болно. Мөн шийдэл нь огт өөр ...
Энэ бол квадрат тэгшитгэлийн бүх үндсэн төрлүүд юм. Бүрэн ба бүрэн бус.
Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хялбар байдаг. Томъёо, ойлгомжтой, энгийн дүрмийн дагуу. Эхний шатанд өгөгдсөн тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулах шаардлагатай, жишээлбэл. маягт руу:
Хэрэв тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр аль хэдийн өгсөн бол та эхний шатыг хийх шаардлагагүй.) Хамгийн гол нь бүх коэффициентийг зөв тодорхойлох, А, бТэгээд в.
Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томъёо дараах байдалтай байна.
Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийллийг дуудна ялгаварлагч. Гэхдээ түүний тухай доор дэлгэрэнгүй. Таны харж байгаагаар бид X-г олохын тулд ашигладаг зөвхөн a, b ба c. Тэдгээр. квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд. Зүгээр л утгыг болгоомжтой орлуулах хэрэгтэй a, b ба cБид энэ томъёогоор тооцоолно. Орлуулж үзье өөрийн шинж тэмдгээр! Жишээлбэл, тэгшитгэлд:
А =1; б = 3; в= -4. Энд бид үүнийг бичнэ:
Жишээ нь бараг шийдэгдсэн:
Энэ бол хариулт юм.
Бүх зүйл маш энгийн. Юу вэ, та алдаа гаргах боломжгүй гэж бодож байна уу? За, тийм ээ, яаж ...
Хамгийн түгээмэл алдаа бол тэмдгийн утгыг төөрөгдүүлэх явдал юм a, b ба c. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн шинж тэмдгээр биш (хаана андуурч байна вэ?), Харин сөрөг утгыг үндсийг тооцоолох томъёонд орлуулах замаар. Энд туслах зүйл бол тодорхой тоогоор томъёоны нарийвчилсан бичлэг юм. Хэрэв тооцоололд асуудал гарвал Үүнийг хийх!
Бид дараах жишээг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё.
Энд а = -6; б = -5; в = -1
Та анх удаа хариулт авах нь ховор гэдгийг мэддэг гэж бодъё.
За, битгий залхуу бай. Нэмэлт мөр бичихэд 30 секунд зарцуулагдана. Мөн алдааны тоо огцом буурах болно. Тиймээс бид бүх хаалт, тэмдгүүдийн хамт дэлгэрэнгүй бичнэ.
Ийм анхааралтай бичих нь үнэхээр хэцүү юм шиг санагддаг. Гэхдээ энэ нь зөвхөн тийм юм шиг санагддаг. Үүнийг нэг туршаад. За, эсвэл сонго. Аль нь дээр вэ, хурдан эсвэл зөв үү? Түүнээс гадна би чамайг баярлуулах болно. Хэсэг хугацааны дараа бүх зүйлийг маш болгоомжтой бичих шаардлагагүй болно. Энэ нь өөрөө бие даан ажиллах болно. Ялангуяа та доор тайлбарласан практик техникийг ашигладаг бол. Олон тооны хасах зүйлтэй энэ муу жишээг амархан, алдаагүйгээр шийдэж болно!
Гэхдээ ихэнхдээ квадрат тэгшитгэлүүд арай өөр харагддаг. Жишээлбэл, иймэрхүү:
Та үүнийг таньсан уу?) Тийм ээ! Энэ бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
Тэдгээрийг мөн ерөнхий томъёогоор шийдэж болно. Энд тэд юутай тэнцүү болохыг та зүгээр л зөв ойлгох хэрэгтэй. a, b ба c.
Та үүнийг олж мэдсэн үү? Эхний жишээнд a = 1; b = -4;А в? Энэ нь огт байхгүй! За, тийм ээ, зөв. Математикийн хувьд энэ нь тийм гэсэн үг юм c = 0 ! Тэгээд л болоо. Томъёоны оронд тэгийг орлуулаарай в,мөн бид амжилтанд хүрнэ. Хоёр дахь жишээн дээр мөн адил. Зөвхөн энд тэг байхгүй -тай, А б !
Гэхдээ бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг илүү энгийнээр шийдэж болно. Ямар ч томьёогүйгээр. Эхний бүрэн бус тэгшитгэлийг авч үзье. Та зүүн талд юу хийж чадах вэ? Та X-г хаалтнаас гаргаж болно! Үүнийг гаргаж авцгаая.
Тэгээд үүнээс яах вэ? Мөн хүчин зүйлүүдийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байвал бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна! Надад итгэхгүй байна уу? За тэгвэл үржүүлбэл тэг өгөх хоёр тэгээс өөр тоо гар!
Ажиллахгүй байна? Ингээд л болоо...
Тиймээс бид итгэлтэйгээр бичиж болно: x 1 = 0, x 2 = 4.
Бүгд. Эдгээр нь бидний тэгшитгэлийн үндэс байх болно. Аль аль нь тохиромжтой. Тэдгээрийн аль нэгийг нь анхны тэгшитгэлд орлуулахад бид 0 = 0 зөв таних тэмдгийг олж авна. Таны харж байгаагаар шийдэл нь ерөнхий томъёог ашиглахаас хамаагүй хялбар юм. Дашрамд хэлэхэд, аль X нь эхнийх, аль нь хоёрдугаарт орохыг огт хайхрамжгүй болгоё. Энэ нь дарааллаар бичихэд тохиромжтой, x 1- юу нь бага ба x 2- энэ нь илүү том юм.
Хоёр дахь тэгшитгэлийг бас энгийнээр шийдэж болно. 9-ийг баруун тийш шилжүүлнэ үү. Бид авах:
9-ээс үндсийг нь гаргаж авахад л үлдлээ, тэгээд л болоо. Энэ нь гарах болно:
Мөн хоёр үндэс . x 1 = -3, x 2 = 3.
Бүрэн бус бүх квадрат тэгшитгэлийг ингэж шийддэг. Хаалтанд X-г оруулах, эсвэл зүгээр л тоог баруун тийш шилжүүлж, үндсийг нь гаргаж авна.
Эдгээр техникийг төөрөлдүүлэх нь туйлын хэцүү байдаг. Зүгээр л учир нь эхний тохиолдолд та ямар нэгэн байдлаар ойлгомжгүй X-ийн үндсийг задлах хэрэгтэй болно, хоёр дахь тохиолдолд хаалтнаас гаргах зүйл байхгүй ...
Ялгаварлан гадуурхагч. Ялгаварлах томъёо.
Шидэт үг ялгаварлагч ! Энэ үгийг сонсоогүй ахлах сургуулийн сурагч ховор байх! "Бид ялгаварлан гадуурхах замаар шийддэг" гэсэн хэллэг нь өөртөө итгэх итгэл, итгэлийг төрүүлдэг. Яагаад гэвэл ялгаварлагчаас заль мэхийг хүлээх шаардлагагүй! Ашиглахад хялбар бөгөөд асуудалгүй.) Шийдвэрлэх хамгийн ерөнхий томъёог танд сануулж байна ямар чквадрат тэгшитгэл:
Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийлэлийг ялгаварлагч гэж нэрлэдэг. Ихэвчлэн ялгаварлагчийг үсгээр тэмдэглэдэг Д. Ялгаварлах томъёо:
D = b 2 - 4ac
Мөн энэ илэрхийлэл нь юугаараа гайхалтай вэ? Яагаад тусгай нэр авах ёстой байсан бэ? Юу ялгаварлагчийн утга нь юу вэ?Эцэст нь -б,эсвэл 2аэнэ томъёонд тэд тусгайлан юу ч гэж нэрлэдэггүй ... Үсэг, үсэг.
Энэ нь энд байна. Энэ томъёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд боломжтой ердөө гурван тохиолдол.
1. Ялгаварлагч эерэг байна.Энэ нь үндсийг нь гаргаж авах боломжтой гэсэн үг юм. Үндэс нь сайн олборлосон уу, муу уу гэдэг нь өөр асуудал. Зарчмын хувьд юу олборлож байгаа нь чухал. Тэгвэл таны квадрат тэгшитгэл хоёр үндэстэй. Хоёр өөр шийдэл.
2. Дискриминант нь тэг байна.Дараа нь танд нэг шийдэл байх болно. Учир нь тоологч дээр тэг нэмэх, хасах нь юу ч өөрчлөгдөхгүй. Хатуухан хэлэхэд энэ нь нэг үндэс биш, гэхдээ хоёр ижил. Гэхдээ хялбаршуулсан хувилбараар ярих нь заншилтай байдаг нэг шийдэл.
3. Ялгаварлагч сөрөг байна.Сөрөг тооны квадрат язгуурыг авах боломжгүй. За яахав. Энэ нь ямар ч шийдэл байхгүй гэсэн үг юм.
Үнэнийг хэлэхэд, квадрат тэгшитгэлийг энгийнээр шийдэхэд дискриминантын тухай ойлголт огт хэрэггүй. Бид коэффициентийн утгыг томъёонд орлуулж, тоолно. Тэнд бүх зүйл өөрөө тохиолддог, хоёр үндэс, нэг, аль нь ч байхгүй. Гэсэн хэдий ч мэдлэггүйгээр илүү төвөгтэй ажлуудыг шийдвэрлэхэд ялгаварлагчийн утга ба томъёохангалтгүй. Ялангуяа параметр бүхий тэгшитгэлд. Ийм тэгшитгэлүүд нь Улсын шалгалт ба Улсын нэгдсэн шалгалтанд зориулсан нисэх онгоц юм!)
Тэгэхээр, квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхТаны санаж байсан ялгаварлагчаар дамжуулан. Эсвэл та сурсан, энэ нь бас муу биш юм.) Та хэрхэн зөв тодорхойлохоо мэддэг a, b ба c. Та яаж мэдэх вэ? анхааралтайтэдгээрийг үндсэн томъёонд орлуулах ба анхааралтайүр дүнг тоол. Энд байгаа түлхүүр үг гэдгийг та ойлгож байна анхааралтай уу?
Одоо алдааны тоог эрс багасгадаг практик аргуудыг анхаарч үзээрэй. Анхаарал болгоомжгүйгээс болж үүсдэг тэр л зүйлүүд... Үүний төлөө сүүлдээ өвдөж, гомдоодог...
Эхний уулзалт
. Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхээсээ өмнө залхуу байж, стандарт хэлбэрт оруулах хэрэггүй. Энэ юу гэсэн үг вэ?
Бүх хувиргалтын дараа та дараах тэгшитгэлийг авна гэж бодъё.
Үндэс томъёог бичих гэж бүү яар! Та магадлалыг бараг л хольж хутгана a, b ба c.Жишээг зөв зохио. Эхлээд X квадрат, дараа нь квадратгүй, дараа нь чөлөөт гишүүн. Үүн шиг:
Мөн дахин, бүү яар! X квадратын өмнөх хасах нь таныг үнэхээр бухимдуулж чадна. Мартах амархан... Хасах зүйлээ хая. Хэрхэн? Тийм ээ, өмнөх сэдвээр заасны дагуу! Бид бүхэл тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Бид авах:
Харин одоо та үндэсийн томъёог аюулгүй бичиж, ялгаварлагчийг тооцоолж, жишээг шийдэж дуусгах боломжтой. Өөрийнхөө төлөө шийд. Та одоо 2 ба -1 үндэстэй байх ёстой.
Хоёр дахь хүлээн авалт. Үндэсийг шалгана уу! Вьетагийн теоремын дагуу. Битгий ай, би бүгдийг тайлбарлах болно! Шалгаж байна сүүлчийн зүйлтэгшитгэл. Тэдгээр. бидний язгуур томьёог бичдэг байсан. Хэрэв (энэ жишээн дээрх шиг) коэффициент a = 1, үндсийг нь шалгах нь амархан. Тэднийг үржүүлэхэд хангалттай. Үр дүн нь чөлөөт гишүүн байх ёстой, i.e. манай тохиолдолд -2. Анхаарна уу, 2 биш, харин -2! Чөлөөт гишүүн таны тэмдгээр . Хэрэв энэ нь бүтэхгүй бол тэд аль хэдийн хаа нэгтээ залхаасан гэсэн үг юм. Алдааг хай.
Хэрэв энэ нь ажиллаж байгаа бол та үндсийг нэмэх хэрэгтэй. Сүүлийн ба эцсийн шалгалт. Коэффицент нь байх ёстой б-тай эсрэг
танил. Манай тохиолдолд -1+2 = +1. Коэффицент б X-ийн өмнө байгаа нь -1-тэй тэнцүү байна. Тиймээс, бүх зүйл зөв байна!
Энэ нь зөвхөн х квадрат нь цэвэр, коэффициенттэй жишээнүүдэд маш энгийн байдаг нь харамсалтай a = 1.Гэхдээ ядаж ийм тэгшитгэлийг шалгаарай! Алдаа багасах болно.
Гурав дахь хүлээн авалт . Хэрэв таны тэгшитгэл бутархай коэффициенттэй бол бутархайг зайлуул! Тэгшитгэлийг "Тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Биеийн хувиргалт" хичээлд тайлбарласны дагуу нийтлэг хуваагчаар үржүүлнэ. Бутархайтай ажиллахад яагаад ч юм алдаа гарсаар л байдаг...
Дашрамд хэлэхэд би муу жишээг олон тооны хасах зүйлээр хялбарчлахаа амласан. Гуйя! Тэр энд байна.
Хасах тал дээр төөрөлдөхгүйн тулд бид тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлнэ. Бид авах:
Тэгээд л болоо! Шийдэх нь таашаал юм!
За ингээд сэдвийг тоймлон хүргэе.
Практик зөвлөмжүүд:
1. Шийдвэрлэхийн өмнө квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулж, байгуулна Зөв.
2. Хэрвээ X квадратын өмнө сөрөг коэффициент байвал тэгшитгэлийг бүхэлд нь -1-ээр үржүүлж арилгана.
3. Хэрэв коэффициентүүд нь бутархай бол бид бүхэл тэгшитгэлийг харгалзах хүчин зүйлээр үржүүлж бутархайг арилгана.
4. Хэрэв x квадрат нь цэвэр бол түүний коэффициент нэгтэй тэнцүү бол шийдлийг Виетийн теоремыг ашиглан хялбархан шалгаж болно. Үүнийг хий!
Одоо бид шийдэж чадна.)
Тэгшитгэлийг шийдэх:
8х 2 - 6х + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Хариултууд (эмх замбараагүй):
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1.2 =2
x 1 = 2
x 2 = -0.5
x - дурын тоо
x 1 = -3
x 2 = 3
шийдэл байхгүй
x 1 = 0.25
x 2 = 0.5
Бүх зүйл таарч байна уу? Агуу их! Квадрат тэгшитгэл нь таны толгойны өвчин биш юм. Эхний гурав нь ажилласан, харин бусад нь ажилласангүй? Тэгвэл асуудал нь квадрат тэгшитгэлд биш юм. Асуудал нь тэгшитгэлийн ижил хувиргалтуудад байна. Холбоосыг хараарай, энэ нь тустай.
Бүрэн бүтэхгүй байна уу? Эсвэл огт болохгүй байна уу? Дараа нь 555-р бүлэгт эдгээр бүх жишээг задалсан болно. Үзүүлсэн голшийдэл дэх алдаа. Мэдээжийн хэрэг, бид янз бүрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ижил хувиргалтыг ашиглах талаар бас ярьдаг. Маш их тусалдаг!
Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...
Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)
Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)
Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.
Энэ өгүүллийг судалсны дараа та бүрэн квадрат тэгшитгэлийн үндсийг хэрхэн олохыг сурах болно гэж найдаж байна.
Дискриминантыг ашиглан бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд зөвхөн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийддэг бөгөөд үүнийг "Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" нийтлэлээс олох болно.
Ямар квадрат тэгшитгэлийг бүрэн гэж нэрлэдэг вэ? Энэ ax 2 + b x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл, a, b ба c коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Тиймээс бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид D дискриминантыг тооцоолох хэрэгтэй.
D = b 2 – 4ac.
Ялгаварлагчийн үнэ цэнээс хамааран бид хариултыг бичнэ.
Хэрэв ялгаварлагч нь сөрөг тоо бол (D< 0),то корней нет.
Дискриминант нь тэг бол x = (-b)/2a. Дискриминант нь эерэг тоо байх үед (D > 0)
дараа нь x 1 = (-b - √D)/2a, мөн x 2 = (-b + √D)/2a.
Жишээлбэл. Тэгшитгэлийг шийд x 2– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Хариулт: 2.
2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Хариулт: үндэс байхгүй.
2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Хариулт: – 3.5; 1.
Тиймээс 1-р зураг дээрх диаграммыг ашиглан бүрэн квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг төсөөлцгөөе.
Эдгээр томъёог ашигласнаар та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Та зүгээр л болгоомжтой байх хэрэгтэй тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичсэн
А x 2 + bx + c,тэгэхгүй бол та алдаа гаргаж магадгүй. Жишээлбэл, x + 3 + 2x 2 = 0 тэгшитгэлийг бичихдээ та андуурч болно.
a = 1, b = 3 ба c = 2. Дараа нь
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ба тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. Мөн энэ нь үнэн биш юм. (Дээрх жишээ 2-ын шийдлийг үзнэ үү).
Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичээгүй бол эхлээд бүрэн квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичих ёстой (хамгийн том илтгэгчтэй мономиал эхлээд байх ёстой, өөрөөр хэлбэл А x 2 , дараа нь бага – bxдараа нь үнэгүй гишүүн болно -тай.
Хоёр дахь гишүүнд бууруулсан квадрат тэгшитгэл ба тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бусад томъёог ашиглаж болно. Эдгээр томьёотой танилцацгаая. Хэрэв бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хоёр дахь гишүүн дэх коэффициент нь тэгш (b = 2k) байвал та 2-р зураг дээрх диаграммд өгөгдсөн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж болно.
Коэффицент нь -д байвал бүрэн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан гэж нэрлэдэг x 2 нэгтэй тэнцүү байх ба тэгшитгэл хэлбэрийг авна x 2 + px + q = 0. Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд өгч болно, эсвэл тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг коэффициентэд хуваах замаар олж авч болно. А, дээр зогсож байна x 2 .
Зураг 3-т багасгасан квадратыг шийдэх диаграммыг үзүүлэв 
тэгшитгэл. Энэ нийтлэлд авч үзсэн томъёоны хэрэглээний жишээг авч үзье.
Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Зураг 1-ийн диаграммд үзүүлсэн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдье.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3
Хариулт: –1 – √3; –1 + √3
Энэ тэгшитгэлийн х-ийн коэффициент нь тэгш тоо гэдгийг анзаарч болно, өөрөөр хэлбэл b = 6 эсвэл b = 2k, үүнээс k = 3. Дараа нь D зургийн диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж үзье. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3
Хариулт: –1 – √3; –1 + √3. Энэ квадрат тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд 3-т хуваагддаг болохыг анзаарч, хуваахдаа бид x 2 + 2x – 2 = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авна. 
тэгшитгэл зураг 3.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3
Хариулт: –1 – √3; –1 + √3.
Таны харж байгаагаар энэ тэгшитгэлийг янз бүрийн томъёогоор шийдвэрлэхэд бид ижил хариултыг хүлээн авсан. Тиймээс 1-р зурагт үзүүлсэн томьёог сайтар эзэмшсэнээр та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно.
вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.
Копьевская хөдөөгийн дунд сургууль
Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх 10 арга
Дарга: Патрикеева Галина Анатольевна,
математикийн багш
Копево тосгон, 2007 он
1. Квадрат тэгшитгэлийн хөгжлийн түүх
1.1 Эртний Вавилоны квадрат тэгшитгэл
1.2 Диофант квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн зохиож, шийдвэрлэсэн
1.3 Энэтхэг дэх квадрат тэгшитгэл
1.4 Аль-Хорезмигийн квадрат тэгшитгэл
1.5 XIII - XVII зууны Европ дахь квадрат тэгшитгэл
1.6 Вьетагийн теоремын тухай
2. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга
Дүгнэлт
Уран зохиол
1. Квадрат тэгшитгэлийн хөгжлийн түүх
1.1 Эртний Вавилоны квадрат тэгшитгэл
Зөвхөн эхний төдийгүй хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгцээ нь эртний үед ч газар нутгийн талбайг олох, цэргийн шинж чанартай газар шорооны ажилтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байв. одон орон, математикийн хөгжлийн нэгэн адил. Квадрат тэгшитгэлийг МЭӨ 2000 онд шийдэж болно. д. Вавилончууд.
Орчин үеийн алгебрийн тэмдэглэгээг ашиглан тэдгээрийн дөрвөлжин бичвэрт бүрэн бус бичвэрүүдээс гадна жишээлбэл, бүрэн квадрат тэгшитгэлүүд байдаг гэж хэлж болно.
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Вавилоны бичвэрт дурдсан эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх дүрэм нь орчин үеийнхтэй үндсэндээ давхцаж байгаа боловч вавилончууд энэ дүрэмд хэрхэн хүрсэн нь тодорхойгүй байна. Өнөөг хүртэл олдсон бараг бүх дөрвөлжин бичвэрүүд нь зөвхөн жор хэлбэрээр гаргасан шийдлүүдийн талаархи асуудлуудыг өгдөг бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн олсон тухай ямар ч заалтгүй байдаг.
Вавилонд алгебрийн хөгжил өндөр байсан ч дөрвөлжин тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий арга, сөрөг тооны тухай ойлголт дутмаг дөрвөлжин бичвэрт байдаг.
1.2 Диофант квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн зохиож, шийдсэн.
Диофантусын Арифметик нь алгебрийн системчилсэн танилцуулгыг агуулаагүй боловч янз бүрийн зэрэглэлийн тэгшитгэл байгуулах замаар шийдэгдсэн, тайлбарын хамт системчилсэн цуврал асуудлуудыг агуулдаг.
Диофант тэгшитгэл зохиохдоо шийдлийг хялбарчлахын тулд үл мэдэгдэх зүйлийг чадварлаг сонгодог.
Жишээлбэл, энд түүний даалгаваруудын нэг юм.
Асуудал 11."Нийлбэр нь 20, үржвэр нь 96 гэдгийг мэдэж байгаа хоёр тоог ол"
Диофант дараах байдлаар тайлбарлав: асуудлын нөхцлөөс харахад шаардлагатай тоонууд нь тэнцүү биш, учир нь тэд тэнцүү байсан бол тэдгээрийн үржвэр нь 96 биш, харин 100-тай тэнцүү байх болно. Тиймээс тэдгээрийн нэг нь түүнээс их байх болно. тэдгээрийн нийлбэрийн тал хувь, өөрөөр хэлбэл. 10 + x, нөгөө нь бага, өөрөөр хэлбэл. 10-аад. Тэдний хоорондын ялгаа 2x .
Тиймээс тэгшитгэл:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Эндээс x = 2. Шаардлагатай тоонуудын нэг нь тэнцүү байна 12 , бусад 8 . Шийдэл x = -2Учир нь Грекийн математик зөвхөн эерэг тоог мэддэг байсан тул Диофант байдаггүй.
Хэрэв бид шаардлагатай тоонуудын аль нэгийг үл мэдэгдэх тоогоор сонгох замаар энэ асуудлыг шийдвэл тэгшитгэлийн шийдэлд хүрнэ.
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Шаардлагатай тоонуудын хагас зөрүүг үл мэдэгдэх байдлаар сонгосноор Диофант шийдлийг хялбарчлах нь тодорхой байна; тэрээр бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд асуудлыг багасгаж чадсан (1).
1.3 Энэтхэг дэх квадрат тэгшитгэл
Квадрат тэгшитгэлийн асуудлуудыг Энэтхэгийн математикч, одон орон судлаач Арьябхаттагийн 499 онд эмхэтгэсэн "Арьябхаттиам" хэмээх одон орны зохиолд аль хэдийн олдсон байдаг. Энэтхэгийн өөр нэг эрдэмтэн Брахмагупта (7-р зуун) нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий дүрмийг тодорхойлсон.
аа 2 + б x = c, a > 0. (1)
(1) тэгшитгэлд коэффициентүүд, бусад А, мөн сөрөг байж болно. Брахмагуптагийн дүрэм үндсэндээ манайхтай адилхан.
Эртний Энэтхэгт хүнд хэцүү асуудлуудыг шийдвэрлэх олон нийтийн уралдаанууд түгээмэл байв. Энэтхэгийн хуучин номнуудын нэгэнд ийм тэмцээн уралдааны тухай: "Нар оддыг гялалзуулан гялалзуулж байхын хэрээр эрдэмт хүн олон нийтийн цуглаан дээр алгебрийн бодлого дэвшүүлж, шийдвэрлэх үед бусдын алдрыг гийгүүлэх болно" гэж бичсэн байдаг. Асуудлыг ихэвчлэн яруу найргийн хэлбэрээр танилцуулдаг байв.
Энэ бол 12-р зууны Энэтхэгийн нэрт математикчийн асуудлын нэг юм. Бхаскарууд.
Асуудал 13.
“Сүрлэг сармагчингууд, усан үзмийн мод дагуух арван хоёр...
Эрх баригчид хоол идээд хөгжилдөв. Тэд үсэрч, унжиж эхлэв ...
Тэд талбай дээр байна, наймдугаар хэсэг Тэнд хэдэн сармагчин байсан бэ?
Би цэвэрлэгээнд хөгжилдөж байсан. Надад хэлээч, энэ хайрцагт уу?
Бхаскарын шийдэл нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь хоёр утгатай гэдгийг мэддэг байсныг харуулж байна (Зураг 3).
13-р асуудалд тохирох тэгшитгэл нь:
( x /8) 2 + 12 = x
Бхашкара нэрийн дор бичжээ.
x 2 - 64x = -768
Энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг дөрвөлжин болгож дуусгахын тулд хоёр талд нэмнэ 32 2 , дараа нь авах:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Аль-Хорезми дахь квадрат тэгшитгэл
Аль-Хорезмигийн алгебрийн зохиолд шугаман ба квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг өгсөн болно. Зохиогч 6 төрлийн тэгшитгэлийг тоолж, дараах байдлаар илэрхийлэв.
1) "Квадратууд нь үндэстэй тэнцүү" гэх мэт. сүх 2 + c = б X.
2) "Квадрат нь тоонуудтай тэнцүү", i.e. сүх 2 = c.
3) "Үндэс нь тоотой тэнцүү байна," i.e. аа = с.
4) "Квадрат ба тоонууд нь язгууртай тэнцүү", i.e. сүх 2 + c = б X.
5) "Квадрат ба үндэс нь тоонуудтай тэнцүү", i.e. аа 2 + bx = s.
6) "Үндэс ба тоо нь квадраттай тэнцүү" гэх мэт. bx + c = сүх 2.
Сөрөг тоог ашиглахаас зайлсхийсэн аль-Хорезмигийн хувьд эдгээр тэгшитгэл бүрийн нөхцөл нь хасах биш харин нэмэх юм. Энэ тохиолдолд эерэг шийдэлгүй тэгшитгэлийг тооцохгүй нь ойлгомжтой. Зохиогч аль-жабр ба аль-мукабалагийн техникийг ашиглан эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг тодорхойлсон. Мэдээжийн хэрэг, түүний шийдвэрүүд бидний шийдвэртэй бүрэн нийцэхгүй байна. Энэ нь цэвэр риторик гэдгийг дурдахгүй, жишээлбэл, эхний хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ
Аль-Хорезми 17-р зууны өмнөх бүх математикчдын нэгэн адил тэг шийдлийг харгалздаггүй бөгөөд энэ нь тодорхой практик асуудлуудад энэ нь хамаагүй учраас магадгүй юм. Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ аль-Хорезми тодорхой тоон жишээнүүд, дараа нь геометрийн нотолгоог ашиглан тэдгээрийг шийдвэрлэх дүрмийг тодорхойлсон.
Асуудал 14.“Дөрвөлжин ба 21 тоо нь 10 язгууртай тэнцүү. Үндэс олох" (х 2 + 21 = 10х тэгшитгэлийн язгуурыг илэрхийлнэ).
Зохиогчийн шийдэл ийм байна: язгуурын тоог хоёр хуваавал 5-ыг авна, 5-ыг өөрөө үржүүл, үржвэрээс 21-ийг хасвал 4 үлдэнэ. 4-өөс үндсийг авбал 2-ыг авна. 5-аас 2-ыг хасна. , та 3-ыг авна, энэ нь хүссэн үндэс болно. Эсвэл 2-ыг 5-д нэмбэл 7 гарна, энэ нь бас үндэс юм.
Квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг системтэйгээр гаргаж, тэдгээрийн шийдлийн томъёог өгсөн аль-Хорезмигийн товхимол бол бидэнд ирсэн анхны ном юм.
1.5 Европ дахь квадрат тэгшитгэл XIII - XVII bb
Европ дахь аль-Хорезмийн шугамын дагуу квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёог Италийн математикч Леонардо Фибоначчийн 1202 онд бичсэн Абакус номонд анх гаргажээ. Исламын болон эртний Грекийн математикийн нөлөөг тусгасан энэхүү том бүтээл нь бүрэн дүүрэн, ойлгомжтой байдлаараа ялгагдана. Зохиогч нь асуудлыг шийдвэрлэх зарим шинэ алгебрийн жишээг бие даан боловсруулж, Европт анх удаа сөрөг тоог нэвтрүүлэхэд ойртжээ. Түүний ном нь зөвхөн Италид төдийгүй Герман, Франц болон Европын бусад орнуудад алгебрийн мэдлэгийг түгээхэд хувь нэмэр оруулсан. 16-17-р зууны бараг бүх Европын сурах бичигт Абакус номноос олон асуудлыг ашигласан. болон хэсэгчлэн XVIII.
Нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий дүрэм:
x 2 + bx = c,
коэффициент тэмдгийн бүх боломжит хослолын хувьд б , -тайЕвропт зөвхөн 1544 онд М.Штифель томъёолсон.
Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр шийдэх томъёоны гарал үүслийг Виетээс авах боломжтой боловч Виет зөвхөн эерэг язгуурыг хүлээн зөвшөөрсөн. Италийн математикч Тартаглиа, Кардано, Бомбелли нар 16-р зууны анхны хүмүүсийн нэг байв. Эерэг зүйлээс гадна сөрөг үндсийг харгалзан үздэг. Зөвхөн 17-р зуунд. Жирард, Декарт, Ньютон болон бусад эрдэмтдийн ажлын ачаар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга орчин үеийн хэлбэрийг олж авдаг.
1.6 Вьетагийн теоремын тухай
Квадрат тэгшитгэлийн коэффициент ба түүний язгуур хоорондын хамаарлыг илэрхийлсэн теоремыг Вьетагийн нэрээр нэрлэсэн бөгөөд тэрээр 1591 онд анх удаа дараах байдлаар томъёолжээ. Б + Д, үржүүлсэн А - А 2 , тэнцүү байна Б.Д, Тэр Атэнцүү байна INба тэнцүү Д ».
Виетаг ойлгохын тулд бид үүнийг санах хэрэгтэй А, ямар ч эгшиг үсгийн нэгэн адил үл мэдэгдэх гэсэн утгатай (манай X), эгшиг IN, Д- үл мэдэгдэх коэффициентүүд. Орчин үеийн алгебрийн хэлээр дээрх Вьета томъёолол нь: хэрэв байгаа бол гэсэн утгатай
(а + б )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + б )x + a б = 0,
x 1 = a, x 2 = б .
Тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг тэмдэгт ашиглан бичсэн ерөнхий томьёогоор илэрхийлэхдээ Виет тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын нэгдмэл байдлыг тогтоожээ. Гэсэн хэдий ч Вьетнамын бэлгэдэл орчин үеийн хэлбэрээс хол хэвээр байна. Тэрээр сөрөг тоог хүлээн зөвшөөрдөггүй байсан тул тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бүх үндэс эерэг байсан тохиолдлуудыг л авч үзсэн.
2. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга
Квадрат тэгшитгэлүүд нь алгебрийн гайхамшигт байгууламжийн үндэс суурь болдог. Квадрат тэгшитгэлийг тригонометр, экспоненциал, логарифм, иррационал, трансцендентал тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг. Бид бүгд сургуулиас (8-р анги) төгсөх хүртлээ квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг мэддэг.
Физик, математикийн янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд квадрат тэгшитгэл ихэвчлэн гарч ирдэг. Энэ нийтлэлд бид "ялгаварлагчаар дамжуулан" эдгээр тэгш байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар авч үзэх болно. Олж авсан мэдлэгээ ашиглах жишээг мөн нийтлэлд өгсөн болно.
Бид ямар тэгшитгэлийн тухай ярих вэ?
Доорх зурагт x нь үл мэдэгдэх хувьсагч, латин тэмдэгт a, b, c зарим мэдэгдэж буй тоог илэрхийлдэг томъёог харуулж байна.
Эдгээр тэмдэг бүрийг коэффициент гэж нэрлэдэг. Таны харж байгаагаар х квадрат хувьсагчийн өмнө "a" тоо гарч ирнэ. Энэ нь илэрхийллийн хамгийн их хүч бөгөөд үүнийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Түүний өөр нэрийг ихэвчлэн ашигладаг: хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэл. a утга нь өөрөө квадрат коэффициент (хувьсагчийн квадраттай хамт зогсох), b нь шугаман коэффициент (энэ нь эхний зэрэглэлд хүрсэн хувьсагчийн хажууд байрладаг), эцэст нь c тоо нь чөлөөт нэр томъёо юм.
Дээрх зурагт үзүүлсэн тэгшитгэлийн төрөл нь ерөнхий сонгодог квадрат илэрхийлэл гэдгийг анхаарна уу. Үүнээс гадна b ба c коэффициентүүд тэг байж болох хоёрдахь эрэмбийн тэгшитгэлүүд байдаг.
Асуудалтай тэгш байдлыг шийдэх даалгавар тавигдсан бол энэ нь x хувьсагчийн ийм утгыг хангахуйц олох шаардлагатай гэсэн үг юм. Энд та хамгийн түрүүнд дараах зүйлийг санаж байх хэрэгтэй: X-ийн дээд зэрэг нь 2 тул энэ төрлийн илэрхийлэлд 2-оос илүү шийдэл байж болохгүй. Энэ нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед түүнийг хангах x-ийн 2 утга олдвол x-ийн оронд 3-р тоо байхгүй гэдэгт итгэлтэй байж болно гэсэн үг юм. Математик дахь тэгшитгэлийн шийдлүүдийг түүний үндэс гэж нэрлэдэг.
Хоёрдахь эрэмбийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга
Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд тэдгээрийн талаархи зарим онолын мэдлэгийг шаарддаг. Сургуулийн алгебрийн хичээлд 4 өөр шийдлийн аргыг авч үздэг. Тэднийг жагсаацгаая:
- хүчин зүйлчлэлийг ашиглах;
- төгс квадратын томъёог ашиглах;
- харгалзах квадрат функцийн графикийг хэрэглэх замаар;
- дискриминантын тэгшитгэлийг ашиглан.
Эхний аргын давуу тал нь түүний энгийн байдал юм, гэхдээ үүнийг бүх тэгшитгэлд ашиглах боломжгүй; Хоёр дахь арга нь бүх нийтийнх боловч зарим талаараа төвөгтэй байдаг. Гурав дахь арга нь тодорхой байдлаараа ялгагдана, гэхдээ энэ нь үргэлж тохиромжтой, хэрэглэхэд хялбар байдаггүй. Эцэст нь, дискриминант тэгшитгэлийг ашиглах нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн үндсийг олох бүх нийтийн бөгөөд нэлээд энгийн арга юм. Тиймээс, энэ нийтлэлд бид зөвхөн үүнийг авч үзэх болно.
Тэгшитгэлийн язгуурыг олж авах томъёо
Квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэрт хандъя. Үүнийг бичье: a*x²+ b*x + c =0. "Ялгаварлан гадуурхагчаар" шийдвэрлэх аргыг ашиглахаасаа өмнө тэгш байдлыг үргэлж бичмэл хэлбэрт оруулах хэрэгтэй. Энэ нь гурван гишүүнээс бүрдэх ёстой (эсвэл b эсвэл c нь 0 бол түүнээс бага).
Жишээ нь: x²-9*x+8 = -5*x+7*x² гэсэн илэрхийлэл байвал эхлээд түүний бүх гишүүнийг тэгш байдлын нэг тал руу шилжүүлж, х хувьсагчийг агуулсан нөхцөлүүдийг нэмэх хэрэгтэй. ижил эрх мэдэл.
Энэ тохиолдолд энэ үйлдэл нь дараах илэрхийлэлд хүргэнэ: -6*x²-4*x+8=0, энэ нь 6*x²+4*x-8=0 тэгшитгэлтэй тэнцүү (энд бид зүүн ба тэгш байдлын баруун талууд -1) .
Дээрх жишээнд a = 6, b=4, c=-8 байна. Харгалзан үзэж буй тэгш байдлын бүх нөхцөлийг үргэлж нэгтгэн нэгтгэдэг тул "-" тэмдэг гарч ирвэл энэ тохиолдолд c тоо шиг харгалзах коэффициент сөрөг байна гэсэн үг юм.
Энэ цэгийг судалж үзээд квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олж авах боломжтой томьёо руу шилжье. Доорх зурган дээр үзүүлсэн шиг харагдаж байна.
Энэ илэрхийллээс харахад энэ нь хоёр үндэс авах боломжийг олгодог ("±" тэмдэгт анхаарлаа хандуулаарай). Үүнийг хийхийн тулд b, c, a коэффициентүүдийг орлуулахад хангалттай.
Ялгаварлагчийн тухай ойлголт
Өмнөх догол мөрөнд хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийг хурдан шийдвэрлэх боломжийг олгодог томьёог өгсөн. Үүнд радикал илэрхийлэлийг дискриминант гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл D = b²-4*a*c.
Томъёоны энэ хэсгийг яагаад онцолсон бэ, яагаад тэр бүр өөрийн гэсэн нэртэй байдаг вэ? Дискриминант нь тэгшитгэлийн бүх гурван коэффициентийг нэг илэрхийлэл болгон холбосон явдал юм. Сүүлчийн баримт нь үндэсийн талаархи мэдээллийг бүрэн агуулдаг гэсэн үг бөгөөд үүнийг дараахь жагсаалтад илэрхийлж болно.
- D>0: Тэгш байдал нь 2 өөр шийдэлтэй, хоёулаа бодит тоо.
- D=0: Тэгшитгэл нь зөвхөн нэг язгууртай бөгөөд энэ нь бодит тоо юм.
Дискриминант тодорхойлох даалгавар
Ялгаварлагчийг хэрхэн олох талаар энгийн жишээ хэлье. Дараах тэгш байдлыг өгье: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.
Үүнийг стандарт хэлбэрт оруулъя, бид дараахь зүйлийг авна: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, үүнээс бид тэгш байдал руу хүрнэ. : -2*x² +2*x-11 = 0. Энд a=-2, b=2, c=-11.
Одоо та ялгаварлагчийн хувьд дээрх томьёог ашиглаж болно: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Үүссэн тоо нь даалгаврын хариулт юм. Жишээн дээрх дискриминант нь тэгээс бага тул энэ квадрат тэгшитгэл бодит үндэсгүй гэж хэлж болно. Үүний шийдэл нь зөвхөн нарийн төвөгтэй төрлийн тоонууд байх болно.
Ялгаварлагчаар дамжуулан тэгш бус байдлын жишээ
-3*x²-6*x+c = 0 тэгшитгэлийг өгвөл арай өөр төрлийн асуудлыг шийдье. D>0 байх c-ийн утгыг олох шаардлагатай.
Энэ тохиолдолд 3 коэффициентийн 2 нь л мэдэгдэж байгаа тул ялгаварлагчийн тодорхой утгыг тооцоолох боломжгүй, гэхдээ эерэг байна. Тэгш бус байдлыг бүрдүүлэхдээ бид сүүлчийн баримтыг ашигладаг: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Үүссэн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь үр дүнд хүргэнэ: c>-3.
Үр дүнгийн тоог шалгацгаая. Үүний тулд бид 2 тохиолдлын хувьд D-г тооцоолно: c=-2 ба c=-4. -2 тоо нь олж авсан үр дүнг хангаж байна (-2>-3), харгалзах ялгаварлагч нь дараах утгатай болно: D = 12>0. Хариуд нь -4 тоо нь тэгш бус байдлыг хангахгүй (-4. Тиймээс -3-аас их c тоо нь нөхцөлийг хангана.
Тэгшитгэлийг шийдэх жишээ
Зөвхөн дискриминантыг олох төдийгүй тэгшитгэлийг шийдэх асуудлыг танилцуулъя. -2*x²+7-9*x = 0 тэгш байдлын язгуурыг олох шаардлагатай.
Энэ жишээнд дискриминант нь дараах утгатай тэнцүү байна: D = 81-4*(-2)*7= 137. Дараа нь тэгшитгэлийн язгуурыг дараах байдлаар тодорхойлно: x = (9±√137)/(- 4). Эдгээр нь язгууруудын яг тодорхой утгууд юм; хэрэв та үндсийг ойролцоогоор тооцоолвол дараах тоонуудыг авна: x = -5.176 ба x = 0.676.
Геометрийн асуудал
Дискриминантыг тооцоолох чадвар төдийгүй хийсвэр сэтгэх чадвар, квадрат тэгшитгэл хэрхэн бичих мэдлэг шаардагддаг асуудлыг шийдье.
Боб 5х4 метрийн хөнжилтэй байсан. Хүү бүхэл бүтэн периметрийн эргэн тойронд үзэсгэлэнтэй даавуугаар тасралтгүй тууз оёхыг хүссэн. Хэрэв бид Бобыг 10 м² даавуутай гэдгийг мэдвэл энэ тууз хэр зузаан байх вэ?
Туузыг x м зузаантай болго, тэгвэл хөнжилний урт талын дагуух даавууны талбай (5+2*x)*x байх ба 2 урт тал байгаа тул бидэнд: 2*x байна. *(5+2*x). Богино тал дээр оёсон даавууны талбай нь 4 * x байх болно, учир нь эдгээр хоёр тал байгаа тул бид 8 * x утгыг авна. Хөнжлийн урт нь энэ тоогоор нэмэгдсэн тул урт талд 2*x утгыг нэмсэн болохыг анхаарна уу. Хөнжилд оёсон даавууны нийт талбай нь 10 м² байна. Тиймээс бид тэгшитгэлийг авна: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.
Энэ жишээний хувьд дискриминант нь тэнцүү байна: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Түүний үндэс нь 22. Томьёог ашиглан бид шаардлагатай язгууруудыг олно: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0.5). Мэдээжийн хэрэг, хоёр язгуураас зөвхөн 0.5 тоо нь асуудлын нөхцөлийн дагуу тохиромжтой.
Тиймээс Бобын хөнжилдөө оёж буй даавууны тууз нь 50 см өргөн болно.
Энэ сэдэв нь маш энгийн биш олон томъёоны улмаас эхлээд төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй юм. Квадрат тэгшитгэлүүд өөрөө урт тэмдэглэгээтэй байхаас гадна язгуурууд нь ялгаварлагчаар дамжин олддог. Нийтдээ гурван шинэ томьёог олж авлаа. Санахад тийм ч амар биш. Ийм тэгшитгэлийг ойр ойрхон шийдсний дараа л боломжтой. Дараа нь бүх томъёог өөрөө санах болно.
Квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий ойлголт
Энд бид хамгийн том зэрэглэлийг эхлээд, дараа нь буурах дарааллаар бичсэн тохиолдолд тэдгээрийн тодорхой бичлэгийг санал болгож байна. Нөхцөл байдал нь хоорондоо нийцэхгүй байх тохиолдол элбэг байдаг. Дараа нь хувьсагчийн зэрэг буурах дарааллаар тэгшитгэлийг дахин бичих нь дээр.
Зарим тэмдэглэгээг танилцуулъя. Тэдгээрийг доорх хүснэгтэд үзүүлэв.
Хэрэв бид эдгээр тэмдэглэгээг хүлээн авбал бүх квадрат тэгшитгэлийг дараах тэмдэглэгээ болгон бууруулна.
Үүнээс гадна коэффициент нь a ≠ 0. Энэ томьёог нэгдүгээрт тэмдэглэе.
Тэгшитгэл өгөхөд хариултанд хэдэн үндэс байх нь тодорхойгүй. Учир нь гурван сонголтын аль нэг нь үргэлж боломжтой байдаг:
- шийдэл нь хоёр үндэстэй байх болно;
- хариулт нь нэг тоо байх болно;
- тэгшитгэл нь огт үндэсгүй болно.
Шийдвэр эцэслэн гарах хүртэл тодорхой тохиолдолд аль хувилбар гарч ирэхийг ойлгоход хэцүү байдаг.
Квадрат тэгшитгэлийн бичлэгийн төрлүүд
Даалгавруудад өөр өөр оруулгууд байж болно. Тэд үргэлж квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий томьёо шиг харагдахгүй. Заримдаа энэ нь зарим нэр томъёог орхигдуулдаг. Дээр бичсэн зүйл бол бүрэн тэгшитгэл юм. Хэрэв та хоёр, гурав дахь нэр томъёог хасвал өөр зүйл гарч ирнэ. Эдгээр бүртгэлийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бөгөөд зөвхөн бүрэн бус байна.
Түүнээс гадна зөвхөн "b" ба "c" коэффициент бүхий нэр томъёо алга болно. "a" тоо ямар ч тохиолдолд тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Учир нь энэ тохиолдолд томъёо нь шугаман тэгшитгэл болж хувирдаг. Бүрэн бус хэлбэрийн тэгшитгэлийн томъёо нь дараах байдалтай байна.
Тиймээс, зөвхөн хоёр төрөл байдаг бөгөөд бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүд байдаг. Эхний томьёо нь хоёр, хоёр дахь нь гурав байна.
Үндэсийн тоог ялгаварлан гадуурхах, түүний үнэ цэнээс хамаарал
Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолохын тулд та энэ тоог мэдэх хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийн томьёо нь ямар ч байсан үүнийг үргэлж тооцоолж болно. Ялгаварлан гадуурхагчийг тооцоолохын тулд доор бичсэн тэгш байдлыг ашиглах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь дөрөв байх болно.
Коэффициент утгыг энэ томъёонд орлуулсны дараа та өөр өөр тэмдэг бүхий тоонуудыг авч болно. Хэрэв хариулт нь тийм бол тэгшитгэлийн хариулт нь хоёр өөр үндэс болно. Хэрэв тоо сөрөг байвал квадрат тэгшитгэлийн үндэс байхгүй болно. Хэрэв тэгтэй тэнцүү бол зөвхөн нэг хариулт байх болно.
Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
Уг нь энэ асуудлыг хэлэлцэж эхэлсэн. Учир нь эхлээд ялгагчийг олох хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа бөгөөд тэдгээрийн тоо тодорхой болсны дараа та хувьсагчийн томъёог ашиглах хэрэгтэй. Хэрэв хоёр үндэс байгаа бол та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.
Энэ нь "±" тэмдэг агуулсан тул хоёр утга байх болно. Квадрат язгуур тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь ялгаварлагч юм. Тиймээс томъёог өөрөөр дахин бичиж болно.
Тавдугаар томъёо. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгтэй тэнцүү бол хоёр үндэс нь ижил утгыг авах нь ижил бүртгэлээс тодорхой байна.
Хэрэв квадрат тэгшитгэлийг шийдэж амжаагүй бол ялгах болон хувьсах томъёог хэрэглэхээсээ өмнө бүх коэффициентүүдийн утгыг бичих нь дээр. Хожим нь энэ мөч нь хүндрэл учруулахгүй. Гэхдээ эхэндээ будлиантай байдаг.
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
Энд бүх зүйл илүү хялбар болсон. Нэмэлт томъёолол ч хэрэггүй. Мөн ялгаварлагч болон үл мэдэгдэх хүмүүст аль хэдийн бичигдсэн зүйлүүд хэрэггүй болно.
Эхлээд хоёр дахь бүрэн бус тэгшитгэлийг харцгаая. Энэ тэгшитгэлд хаалтанд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг гаргаж, шугаман тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай бөгөөд энэ нь хаалтанд үлдэх болно. Хариулт нь хоёр үндэстэй байх болно. Эхнийх нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой, учир нь хувьсагчаас бүрдэх үржүүлэгч байдаг. Хоёр дахь нь шугаман тэгшитгэлийг шийдэх замаар олж авна.
Гурав дахь бүрэн бус тэгшитгэлийг тэгшитгэлийн зүүн талаас баруун тийш шилжүүлснээр шийднэ. Дараа нь үл мэдэгдэх рүү чиглэсэн коэффициентээр хуваах хэрэгтэй. Үлдсэн зүйл бол квадрат язгуурыг гаргаж аваад эсрэг тэмдгээр хоёр удаа бичихээ мартуузай.
Доорх нь квадрат тэгшитгэл болж хувирах бүх төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахад туслах зарим алхмуудыг доор харуулав. Тэд сурагчийг анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж алдаа гаргахаас зайлсхийхэд тусална. Эдгээр дутагдал нь "Квадрат тэгшитгэл (8-р анги)" гэсэн өргөн сэдвийг судлахад муу үнэлгээ авч болно. Дараа нь эдгээр үйлдлүүдийг байнга хийх шаардлагагүй болно. Учир нь тогтвортой ур чадвар гарч ирнэ.
- Эхлээд та тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр бичих хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, эхлээд хувьсагчийн хамгийн том зэрэгтэй нэр томъёо, дараа нь зэрэггүй, хамгийн сүүлд - зүгээр л тоо.
- Хэрэв "a" коэффициентийн өмнө хасах тэмдэг гарч ирвэл энэ нь квадрат тэгшитгэлийг судалж эхэлж буй хүмүүсийн ажлыг хүндрүүлнэ. Үүнээс салсан нь дээр. Үүний тулд бүх тэгш байдлыг "-1" -ээр үржүүлэх шаардлагатай. Энэ нь бүх нэр томьёо эсрэгээрээ тэмдгийг өөрчилнө гэсэн үг юм.
- Үүнтэй ижил аргаар фракцаас салахыг зөвлөж байна. Тэгшитгэлийг тохирох хүчин зүйлээр үржүүлснээр хуваагч хүчингүй болно.
Жишээ
Дараах квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай.
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
Эхний тэгшитгэл: x 2 − 7x = 0. Энэ нь бүрэн бус тул хоёр дахь томьёоны дагуу шийдэгдэнэ.
Үүнийг хаалтнаас гаргасны дараа: x (x - 7) = 0 болно.
Эхний үндэс нь дараах утгыг авна: x 1 = 0. Хоёр дахь нь шугаман тэгшитгэлээс олно: x - 7 = 0. x 2 = 7 гэдгийг харахад хялбар байдаг.
Хоёр дахь тэгшитгэл: 5x 2 + 30 = 0. Дахин бүрэн бус. Гурав дахь томъёонд тайлбарласны дагуу зөвхөн үүнийг шийднэ.
30-ыг тэгшитгэлийн баруун тал руу шилжүүлсний дараа: 5х 2 = 30. Одоо та 5-д хуваах хэрэгтэй. Энэ нь: x 2 = 6. Хариултууд нь тоонууд байх болно: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Гурав дахь тэгшитгэл: 15 − 2x − x 2 = 0. Цаашид квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр дахин бичиж эхлэх болно: − x 2 − 2x + 15 = 0. Одоо хоёр дахь ашигтай зөвлөмжийг ашиглаж, бүх зүйлийг үржүүлэх цаг болжээ. хасах нэг. Энэ нь болж байна x 2 + 2x - 15 = 0. Дөрөв дэх томьёог ашиглан та ялгаварлагчийг тооцоолох хэрэгтэй: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Энэ нь эерэг тоо юм. Дээр дурдсанаас харахад тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болох нь харагдаж байна. Тэдгээрийг тав дахь томьёог ашиглан тооцоолох шаардлагатай. Эндээс харахад x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Дараа нь x 1 = 3, x 2 = - 5 болно.
Дөрөв дэх тэгшитгэл x 2 + 8 + 3x = 0 нь дараах байдлаар хувирав: x 2 + 3x + 8 = 0. Түүний ялгах утга нь энэ утгатай тэнцүү байна: -23. Энэ тоо сөрөг байгаа тул энэ даалгаврын хариулт нь "Ямар ч үндэс байхгүй" гэсэн оруулга байх болно.
Тав дахь тэгшитгэл 12x + x 2 + 36 = 0-ийг дараах байдлаар дахин бичих хэрэгтэй: x 2 + 12x + 36 = 0. Дискриминантийн томъёог хэрэглэсний дараа тэг тоо гарна. Энэ нь нэг үндэстэй болно гэсэн үг, тухайлбал: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Зургаа дахь тэгшитгэл (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) нь хувиргалтыг шаарддаг бөгөөд энэ нь та ижил төстэй нэр томъёог авчирч, эхлээд хаалт нээх хэрэгтэй гэсэн үг юм. Эхнийх нь оронд дараах илэрхийлэл байх болно: x 2 + 2x + 1. Тэгш байдлын дараа энэ оруулга гарч ирнэ: x 2 + 3x + 2. Ижил нэр томъёог тоолсны дараа тэгшитгэл нь: x 2 хэлбэртэй болно. - x = 0. Энэ нь бүрэн бус болсон. Үүнтэй төстэй зүйлийг аль хэдийн арай дээр хэлэлцсэн. Үүний үндэс нь 0 ба 1 тоонууд байх болно.
