Тригонометрийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг бичих томъёо. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Бүлэг 15. Тригонометрийн тэгшитгэл

15.6. Илүү төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Өмнөх 3-5-р догол мөрөнд хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг өгсөн болно: , , болон. Ижил буюу өөр аргументуудын хэд хэдэн тригонометрийн функцийг агуулсан илүү төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлийг ижил хувиргалтаар эсвэл туслах алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх замаар багасгадаг.

Ийм тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий арга бол тэгшитгэлд багтсан бүх тригонометрийн функцийг эдгээр функцийг холбосон томьёо дээр үндэслэн нэг функцээр солих явдал юм. Тэгшитгэлийг шийдэхдээ бид өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэлд хүргэх өөрчлөлтүүдийг хийхийг эрмэлздэг. Үгүй бол та олж авсан үндсийг шалгах хэрэгтэй.

Үндэс алдах нь нийтлэг алдаа юм. Бусад ийм алдаанууд нь хамгийн энгийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийн томъёоны талаархи буруу мэдлэг, түүнчлэн нумын функцийн шаардлагатай утгыг зөв олох боломжгүй байдаг.

Жишээнүүдийг харцгаая.

Тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ 2. (нэг аргумент болгон бууруулах жишээ).

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:
Аргумент руу шилжихийг зөвлөж байна. Уг ажил нь давхар аргумент синус томъёог санагдуулдаг: .
Тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
Зүүн талд бид давхар аргументын синусын томъёог дахин ашиглах боловч эхлээд тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлнэ.
; ; .
Бид хамгийн энгийн тэгшитгэлийг олж авсан бөгөөд бүх аргументыг хамгийн энгийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй тэнцүүлэв.
, хаана.

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:
Зэрэг бууруулах томъёоны аль нэгийг ашиглан бид .

Тэгшитгэлд орлуулсны дараа бидэнд байна

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:
Баруун тал руу шилжүүлснээр бид дараахтай тэнцүү байна.
; ; .
Энд бид тэгшитгэлийн зэрэглэлийг нэмэгдүүлэх замаар явах ёстой байсан ч бид сайн шийдлийн техникийг ашиглах боломжтой болсон - бүх нэр томъёог нэг хэсэг болгон шилжүүлж, үүссэн илэрхийллийг хүчин зүйл болгон хуваах:
.
Хүчин зүйл бүрийг тусад нь тэгтэй тэнцүүлснээр бид тэгшитгэлийн багцыг олж авна.

Энэ нь дүрмээр бол энэ тэгшитгэлтэй тэнцүү байна (энэ дүрмийн үл хамаарах зүйлийг дараах жишээнд авч үзнэ).
Бид тэгшитгэлийг шийддэг, бидэнд байна
, Мөн .
Бид тэгшитгэлийг шийддэг буюу , бидэнд байна, ба .

Тэгшитгэлийг шийд.

Хариултанд гадны үндэс оруулах нь бүдүүлэг алдаа гэж тооцогддог. Үүнээс зайлсхийхийн тулд та үүссэн язгуурууд нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн бутархайн хуваагч дахь функцүүдийн аль нэгийг нь тэглэхгүй (хэрэв тэнд бутархайнууд байгаа бол) мөн эдгээр язгуурууд дахь функцүүдийн аль нь ч байхгүй эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Анхны тэгшитгэл нь утгаа алддаг (хэрэв тэдгээрийг оруулсан бол). Аргументийн ямар утгууд дээр функц алга болж, тригонометрийн функц бүрийн тодорхойлолтын мужийг адилтгах замаар тэд тэгшитгэлийн тодорхойлолтын домэйныг (зөвшөөрөгдсөн утгын муж эсвэл үл мэдэгдэх VA) ярьдаг. ). Тригонометрийн тэгшитгэлийн тодорхойлолтын муж нь энэ тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тодорхойлох домэйнуудын нийтлэг хэсэг (огтлолцол) юм. Хэрэв үүссэн үндэс нь тэгшитгэлийн тодорхойлолтын домэйнд хамаарахгүй бол энэ нь гадуурх бөгөөд үүнийг хаях ёстой.

Тэгшитгэлийг шийд
.

Шийдэл:
Нэг функц руу шилжье. Хэрэв бид үүнийг -ээр илэрхийлбэл иррационал тэгшитгэлийг авах бөгөөд энэ нь хүсээгүй юм. Дараахаар солих:
; .
Үүссэн тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл болгон шийдье.
эсвэл .
Тэгшитгэлд үндэс байхгүй.
Тэгшитгэлийн хувьд бидэнд байна:
. Гэхдээ тэдгээр нь мөн адил сондгой тоонуудыг илэрхийлдэг тул бид шийдлийг илүү энгийн байдлаар бичих болно: .

Тэгшитгэлийг шийд
.

Нэг төрлийн тэгшитгэлийг олж авахын тулд (ижил зэрэглэлийн бүх нэр томъёо - хоёр дахь) бид баруун талыг илэрхийлэлээр үржүүлж, тэнцүү байна.
;
.
Тэгшитгэлийн язгуурууд нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш тул (үүнийг орлуулах замаар хялбархан шалгаж болно) нэг функц руу шилжихийн тулд бид тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваана.

Бид квадрат тэгшитгэлийг шийддэг.
эсвэл .
Тэгшитгэлийн хувьд бидэнд байна: .
Тэгшитгэлийн хувьд бид авна.

Тэгшитгэлийг шийд.

Үүнийг ба -аар дамжуулан илэрхийлье
. Энд тэгээс ялгаатай байх ёстой (өөрөөр бол тэгшитгэл нь утгагүй болно), тиймээс тэгшитгэлийн тодорхойлолтын домэйн нь бүгд . -ээс хойш бид бутархайг арилгахын тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлнэ.
;
;
.
Бидэнд байгаа тэгшитгэлийн хувьд

Анги: 10

"Тэгшитгэлүүд үүрд үргэлжлэх болно."

А.Эйнштейн

Хичээлийн зорилго:

Боловсролын:
- тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын талаархи ойлголтыг гүнзгийрүүлэх;
- тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг ялгах, зөв сонгох чадварыг хөгжүүлэх.
Боловсролын:
- боловсролын үйл явцад танин мэдэхүйн сонирхлыг хөгжүүлэх;
- өгөгдсөн даалгаварт дүн шинжилгээ хийх чадварыг хөгжүүлэх;
- ангийн сэтгэлзүйн уур амьсгалыг сайжруулахад хувь нэмэр оруулах.
Хөгжлийн:
- бие даан мэдлэг олж авах чадварыг хөгжүүлэх;
- оюутнуудын үзэл бодлоо илэрхийлэх чадварыг дэмжих;

Тоног төхөөрөмж:үндсэн тригонометрийн томьёо бүхий зурагт хуудас, компьютер, проектор, дэлгэц.

1 хичээл

I. Лавлах мэдлэгийг шинэчлэх

Тэгшитгэлийг амаар шийд:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx =;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2к;
7) x = + k;
8) x = + k; З руу.

II. Шинэ материал сурах

– Өнөөдөр бид илүү төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлүүдийг авч үзэх болно. Тэдгээрийг шийдвэрлэх 10 аргыг авч үзье. Дараа нь нэгтгэх хоёр хичээл, дараагийн хичээлд шалгалт орно. "Хичээл" гэсэн стенд дээр шалгалтанд орохтой ижил төстэй даалгаврууд тавигдсан байдаг. (Туршилтын өмнөх өдөр эдгээр даалгаврын шийдлүүдийг стенд дээр байрлуул).

Тиймээс, тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга замыг авч үзье. Эдгээр аргуудын зарим нь танд хэцүү мэт санагдаж байхад зарим нь хялбар мэт санагдах болно, учир нь... Та тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарим аргыг аль хэдийн мэддэг болсон.

Ангийн дөрвөн сурагч бие даасан даалгавар авсан: Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 4 аргыг ойлгож, танд үзүүлэх.

(Ярьдаг оюутнууд слайдыг урьдчилан бэлтгэсэн. Ангийн бусад нь дэвтэрт тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн алхмуудыг бичдэг.)

1 оюутан: 1 арга. Тэгшитгэлийг факторингоор шийдвэрлэх

нүгэл 4х = 3 cos 2x

Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид давхар өнцгийн синусыг sin 2 = 2 sin cos томъёог ашиглана
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Хэрэв хүчин зүйлүүдийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү байвал эдгээр хүчин зүйлсийн үржвэр тэгтэй тэнцүү байна.

2x = + k, k Z эсвэл sin 2x = 1.5 – шийдэл байхгүй, учир нь | нүгэл| 1
x = + k; З руу.
Хариулт: x = + k, k Z.

2 оюутан. Арга 2. Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр эсвэл зөрүүг үржвэрт хувиргах замаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд sin– sin = 2 sin сos томъёог ашиглана

cos 3x + 2 sin cos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Үүссэн тэгшитгэл нь хоёр тэгшитгэлийн багцтай тэнцүү байна.

Хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдлүүдийн багц нь эхний тэгшитгэлийн шийдлүүдийн багцад бүрэн багтсан болно. гэсэн үг

Хариулт:

3 оюутан. 3 зам. Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрийг нийлбэр болгон хувиргах замаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид томъёог ашиглана

Хариулт:

4 оюутан. 4 зам. Квадрат тэгшитгэл болгон бууруулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x) = 0,
2 нүгэл 2 х + 3 нүгэл x – 2 = 0,

sin x = t байг, хаана | t |. Бид 2t 2 + 3t – 2 = 0 квадрат тэгшитгэлийг олж авна.

D = 9 + 16 = 25.

Тиймээс . нөхцөлийг хангахгүй байна | t |.

Тэгэхээр sin x =. Тийм ч учраас .

Хариулт:

III. А.Н. Колмогоровын сурах бичгээс олж мэдсэн зүйлээ нэгтгэх

1. No 164 (a), 167 (a) (квадрат тэгшитгэл)
2. № 168 (а) (факторжуулалт)
3. No 174 (a) (нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргах)
4. (бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хөрвүүлэх)

(Хичээлийн төгсгөлд баталгаажуулахын тулд эдгээр тэгшитгэлийн шийдлийг дэлгэцэн дээр харуул.)

№ 164 (A)

2 нүгэл 2 х + нүгэл х – 1 = 0.
sin x = t, | гэж үзье t | 1. Дараа нь
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Хаана

Хариулт: - .

№ 167 (A)

3 тг 2 х + 2 тг х – 1 = 0.

tg x = 1 гэж үзье, тэгвэл бид 3 t 2 + 2 t – 1 = 0 тэгшитгэлийг авна.

Хариулт:

№ 168 (A)

Хариулт:

№ 174 (A)

Тэгшитгэлийг шийд:

Хариулт:

Хичээл 2 (хичээл-лекц)

IV. Шинэ материал сурах(үргэлжлэл)

– Тэгэхээр тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг үргэлжлүүлэн судалцгаая.

5 зам. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Маягтын тэгшитгэл a sin x + b cos x = 0, энд a ба b нь зарим тоонуудыг sin x эсвэл cos x-тэй харьцуулсан нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Тэгшитгэлийг авч үзье

sin x – cos x = 0. Тэгшитгэлийн хоёр талыг cos x-д хуваая. Үүнийг хийж болно, учир нь үндэс алдагдал гарахгүй , Хэрэв cos x = 0,Тэр sin x = 0. Гэхдээ энэ нь тригонометрийн үндсэн шинжтэй зөрчилддөг нүгэл 2 x+cos 2 x = 1.

Бид авдаг tan x – 1 = 0.

tan x = 1,

Маягтын тэгшитгэл шиг 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 ,Хаана a, b, c -зарим тоонуудыг sin x эсвэл cos x-тэй харьцуулахад хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Тэгшитгэлийг авч үзье

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Тэгшитгэлийн хоёр талыг cos x-т хуваая, учир нь язгуур нь алдагдахгүй. cos x = 0 нь энэ тэгшитгэлийн үндэс биш юм.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

tg x = t гэж үзье. D = 9 – 8 = 1.

Тэгэхээр tg x = 2 эсвэл tg x = 1 байна.

Үүний үр дүнд x = arctan 2 + , x =

Хариулт: arctg 2 + ,

Өөр нэг тэгшитгэлийг авч үзье: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Тэгшитгэлийн баруун талыг 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x) хэлбэрээр хувиргая. Дараа нь бид:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Бид аль хэдийн шинжилсэн 2-р тэгшитгэлийг авсан).

Хариулт: арктан 2 + k,

6 зам. Шугаман тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Шугаман тригонометрийн тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм a sin x + b cos x = c, энд a, b, c нь зарим тоо юм.

Тэгшитгэлийг авч үзье sin x + cos x= – 1.
Тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичье.

Үүнийг харгалзан үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хариулт:

7 зам. Нэмэлт аргументыг танилцуулж байна

Илэрхийлэл a cos x + b sin xхөрвүүлж болно:

(Бид тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлахдаа энэ хувиргалтыг аль хэдийн ашигласан)

Нэмэлт аргумент оруулъя - өнцөг нь ийм байна

Дараа нь

Тэгшитгэлийг авч үзье: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

Гэрийн даалгавар: No 164 -170 (c, d).

Тригонометрийн үндсэн томьёо - синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр, синус ба косинусын шүргэгчийг илэрхийлэх гэх мэт мэдлэгийг шаарддаг. Тэднийг мартсан эсвэл мэдэхгүй хүмүүст "" нийтлэлийг уншихыг зөвлөж байна.
Тиймээс бид тригонометрийн үндсэн томъёог мэддэг тул тэдгээрийг практикт ашиглах цаг болжээ. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхЗөв арга барилтай бол энэ нь жишээлбэл, Рубикийн шоо тайлах гэх мэт сэтгэл хөдөлгөм үйл ажиллагаа юм.

Нэрнээс нь харахад тригонометрийн тэгшитгэл нь тригонометрийн функцийн тэмдгийн доор үл мэдэгдэх нь байгаа тэгшитгэл гэдэг нь тодорхой байна.
Энгийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлүүд байдаг. Тэдгээр нь дараах байдалтай байна: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Ингээд авч үзье Ийм тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх, тодорхой болгохын тулд бид аль хэдийн танил болсон тригонометрийн тойргийг ашиглах болно.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

ор x = a

Аливаа тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр үе шаттайгаар шийддэг: бид тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулаад дараа нь энгийн тригонометрийн тэгшитгэл болгон шийддэг.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 7 үндсэн арга байдаг.

Хувьсах ба орлуулах арга

2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Бууруулах томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Энгийн квадрат тэгшитгэлийг хялбарчилж авахын тулд cos(x + /6)-г y-ээр солино уу.

2 жил 2 – 3 жил + 1 + 0

Үндэс нь y 1 = 1, y 2 = 1/2

Одоо урвуу дарааллаар явцгаая

Бид y-ийн олсон утгыг орлуулж, хариултын хоёр сонголтыг авна.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлэлээр шийдвэрлэх

sin x + cos x = 1 тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Баруун талд 0 үлдэхийн тулд бүгдийг зүүн тийш шилжүүлье:

sin x + cos x – 1 = 0

Тэгшитгэлийг хялбарчлахын тулд дээр дурдсан таних тэмдгүүдийг ашиглацгаая.

нүгэл х - 2 нүгэл 2 (х/2) = 0

Хүчин зүйлд тооцъё:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Бид хоёр тэгшитгэл авдаг

Нэг төрлийн тэгшитгэлд буулгах

Хэрэв тэгшитгэлийн бүх гишүүн ижил өнцгийн синус ба косинустай харьцангуй байвал тэгшитгэл нь синус ба косинусын хувьд нэгэн төрлийн байна. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд дараах алхмуудыг гүйцэтгэнэ.

а) бүх гишүүдээ зүүн тал руу шилжүүлэх;

б) бүх нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах;

в) бүх хүчин зүйл болон хаалтыг 0-тэй тэнцүүлэх;

г) доод түвшний нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг хаалтанд авах бөгөөд энэ нь эргээд дээд зэргийн синус эсвэл косинус руу хуваагдана;

e) tg-ийн үр дүнд үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 тэгшитгэлийг шийд.

sin 2 x + cos 2 x = 1 томьёог ашиглаад баруун талд байгаа нээлттэй хоёрыг хасъя:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x-т хуваах:

тг 2 х + 4 тг х + 3 = 0

tan x-г y-ээр сольж квадрат тэгшитгэл гарга.

y 2 + 4y +3 = 0, үндэс нь y 1 =1, y 2 = 3

Эндээс бид анхны тэгшитгэлийн хоёр шийдлийг олно.

x 2 = арктан 3 + k

Хагас өнцөгт шилжих замаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

3sin x – 5cos x = 7 тэгшитгэлийг шийд

x/2 руу шилжье:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Бүгдийг зүүн тийш шилжүүлье:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2)-д хуваах:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Туслах өнцгийн танилцуулга

Үүнийг авч үзэхийн тулд дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье: a sin x + b cos x = c,

Энд a, b, c нь зарим дурын коэффициент, х нь үл мэдэгдэх коэффициент юм.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг дараахь байдлаар хуваая.

Одоо тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь тригонометрийн томъёоны дагуу sin ба cos шинж чанартай байдаг, тухайлбал: тэдгээрийн модуль нь 1-ээс ихгүй ба квадратуудын нийлбэр = 1. Тэдгээрийг тус тусад нь cos болон sin гэж тэмдэглэе. туслах өнцөг гэж нэрлэгддэг. Дараа нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

cos * sin x + sin * cos x = C

эсвэл sin(x + ) = C

Энэхүү хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл нь

x = (-1) k * arcsin C - + k, хаана

Cos болон sin гэсэн тэмдэглэгээ нь солигддог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

sin 3x – cos 3x = 1 тэгшитгэлийг шийд

Энэ тэгшитгэл дэх коэффициентүүд нь:

a =, b = -1 тул хоёр талыг = 2-т хуваа

Жишээ нь:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ:

Аливаа тригонометрийн тэгшитгэлийг дараах төрлүүдийн аль нэгэнд нь буулгана.

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

Энд \(t\) нь x-тэй илэрхийлэл, \(a\) нь тоо юм. Ийм тригонометрийн тэгшитгэлийг нэрлэдэг хамгийн энгийн. Тэдгээрийг () эсвэл тусгай томъёогоор хялбархан шийдэж болно:

Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх инфографикийг эндээс үзнэ үү:, болон.

Жишээ . \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\) тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл:

Хариулт: \(\left[ \begin(цуглуулсан)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \төгсгөл(цуглуулсан)\баруун.\) \(k,n∈Z\)

Тригонометрийн тэгшитгэлийн язгуурын томъёонд тэмдэг тус бүр ямар утгатай болохыг үзнэ үү.

Анхаар!\(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\) бол \(\sin⁡x=a\) ба \(\cos⁡x=a\) тэгшитгэлүүдэд шийдэл байхгүй. Учир нь дурын х-ийн синус ба косинус нь \(-1\)-ээс их буюу тэнцүү, \(1\)-ээс бага эсвэл тэнцүү байна:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Жишээ . \(\cos⁡x=-1,1\) тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Хариулах : шийдэл байхгүй.

Жишээ . tg\(⁡x=1\) тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл:

Тооны тойргийг ашиглан тэгшитгэлийг шийдье. Үүний тулд:
1) тойрог барих)
2) \(x\) ба \(y\) тэнхлэгүүд ба шүргэгч тэнхлэгийг байгуулна (энэ нь \(y\) тэнхлэгтэй параллель \((0;1)\) цэгээр дамжин өнгөрдөг).
3) Шүргэдэг тэнхлэг дээр \(1\) цэгийг тэмдэглэнэ.
4) Энэ цэг болон координатын гарал үүслийг шулуун шугамаар холбоно.
5) Энэ шугам ба тооны тойргийн огтлолцох цэгүүдийг тэмдэглэ.
6) Эдгээр цэгүүдийн утгыг тэмдэглэе: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) Эдгээр цэгүүдийн бүх утгыг бичнэ үү. Тэд бие биенээсээ яг \(π\) зайд байрладаг тул бүх утгыг нэг томъёогоор бичиж болно.

Хариулт: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Жишээ . \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\) тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл:

Тооны тойргийг дахин ашиглая.
1) Тойрог, \(x\) ба \(y\) тэнхлэгүүдийг байгуул.
2) Косинусын тэнхлэгт (\(x\) тэнхлэг) \(0\) тэмдэглэнэ.
3) Энэ цэгээр дамжуулан косинусын тэнхлэгт перпендикуляр зур.
4) Перпендикуляр ба тойргийн огтлолцлын цэгүүдийг тэмдэглэ.
5) Эдгээр цэгүүдийн утгыг гарын үсэг зурцгаая: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) Бид эдгээр цэгүүдийн утгыг бүхэлд нь бичиж, тэдгээрийг косинустай (косинус дотор байгаа зүйлтэй) тэнцүүлнэ.

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) Бид ердийнхөөрөө \(x\)-г тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.
Тоонуудыг \(π\), мөн \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\) гэх мэтээр бичихээ бүү мартаарай. Эдгээр нь бусадтай ижил тоо юм. Тоон ялгаварлал байхгүй!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Хариулт: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хамгийн энгийн болгон багасгах нь бүтээлч ажил бөгөөд тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тусгай аргуудыг хоёуланг нь ашиглах хэрэгтэй.
- Арга (Улсын нэгдсэн шалгалтанд хамгийн алдартай).
- Арга.
- Туслах аргументуудын арга.

Квадрат тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх жишээг авч үзье

Жишээ . \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\) тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Орлуулах \(t=\cos⁡x\) хийцгээе.

	Бидний тэгшитгэл ердийн болсон. Та үүнийг ашиглан шийдэж болно.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Бид урвуу орлуулалт хийдэг.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Бид тооны тойргийг ашиглан эхний тэгшитгэлийг шийддэг. Хоёр дахь тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, учир нь \(\cos⁡x∈[-1;1]\) бөгөөд дурын x-д хоёртой тэнцүү байж болохгүй.
	Эдгээр цэгүүд дээр байгаа бүх тоог бичье.

Хариулт: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

ODZ-ийн судалгаатай тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх жишээ:

Жишээ (USE) . \(=0\) тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Бутархай, котангенс байдаг - энэ нь бид үүнийг бичих хэрэгтэй гэсэн үг юм. Котангенс нь үнэндээ бутархай гэдгийг танд сануулъя: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Тиймээс ctg\(x\)-ийн ODZ: \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Тооны тойрог дээр "шийдвэргүй" гэж тэмдэглэе.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Тэгшитгэлийн хуваагчийг ctg\(x\)-ээр үржүүлээд хасъя. ctg\(x ≠0\) гэж дээр бичсэн болохоор бид үүнийг хийж чадна.
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Синусын давхар өнцгийн томьёог хэрэглэцгээе: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Хэрэв таны гар косинусаар хуваахаар сунгавал буцааж тат! Хэрэв энэ нь тэгтэй тэнцүү биш бол хувьсагчтай илэрхийллээр хувааж болно (жишээ нь: \(x^2+1.5^x\)). Оронд нь хаалтанд \(\cos⁡x\) оруулъя.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Тэгшитгэлийг хоёр болгон "хуваацгаая".
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Тооны тойргийг ашиглан эхний тэгшитгэлийг шийдье. Хоёр дахь тэгшитгэлийг \(2\)-д хувааж, \(\sin⁡x\)-г баруун тийш шилжүүлнэ.

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Үүссэн үндэс нь ODZ-д ороогүй болно. Тиймээс бид хариу болгож бичихгүй. Хоёр дахь тэгшитгэл нь ердийн зүйл юм. Үүнийг \(\sin⁡x\)-д хуваая (\(\sin⁡x=0\) нь тэгшитгэлийн шийдэл байж чадахгүй, учир нь энэ тохиолдолд \(\cos⁡x=1\) эсвэл \(\cos⁡) x=-1\)).
	Бид дахин тойрог ашигладаг.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Эдгээр үндэсийг ODZ хасаагүй тул та тэдгээрийг хариултанд бичиж болно.

Хариулт: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

"Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" сэдвээр хичээл, танилцуулга.

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.

1С-ийн 10-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрийн гарын авлага, симуляторууд
Бид геометрийн асуудлыг шийддэг. Сансарт барих интерактив даалгавар
Програм хангамжийн орчин "1С: Математик конструктор 6.1"

Бид юу судлах вэ:
1. Тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ?

3. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр үндсэн арга.
4. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.
5. Жишээ.

Тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ?

Залуус аа, бид аль хэдийн арксинус, арккосин, арктангенс, арккотангенсыг судалж үзсэн. Одоо тригонометрийн тэгшитгэлийг ерөнхийд нь авч үзье.

Тригонометрийн тэгшитгэл гэдэг нь тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор хувьсагч агуулагдсан тэгшитгэл юм.

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэлбэрийг давтаж үзье.

1)Хэрэв |a|≤ 1 бол cos(x) = a тэгшитгэл нь шийдтэй байна:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Хэрэв |a|≤ 1 бол sin(x) = a тэгшитгэл нь шийдтэй байна:

3) Хэрэв |a| > 1, тэгвэл sin(x) = a ба cos(x) = a тэгшитгэлийн шийдэл байхгүй 4) tg(x)=a тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна: x=arcctg(a)+ πk

Бүх томьёоны хувьд k нь бүхэл тоо юм

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: T(kx+m)=a, T нь зарим тригонометрийн функц юм.

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд: a) sin(3x)= √3/2

Шийдэл:

A) 3x=t гэж тэмдэглээд тэгшитгэлээ дараах хэлбэрээр бичнэ.

Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn болно.

Утгын хүснэгтээс бид олж авна: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Хувьсагч руугаа буцъя: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Дараа нь x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Хариулт: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, энд n нь бүхэл тоо. (-1)^n – n-ийн зэрэглэлд нэгийг хасна.

Тригонометрийн тэгшитгэлийн бусад жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Шийдэл:

A) Энэ удаад тэгшитгэлийн үндсийг шууд тооцоолоход шууд шилжье:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тэгвэл x/5= πk => x=5πk болно

Хариулт: x=5πk, энд k нь бүхэл тоо.

B) Бид үүнийг дараах хэлбэрээр бичнэ: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Арктан(√3)= π/3 гэдгийг бид мэднэ

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Хариулт: x=2π/9 + πk/3, энд k нь бүхэл тоо.

Тэгшитгэлийг шийд: cos(4x)= √2/2. Мөн сегмент дээрх бүх үндсийг олоорой.

Шийдэл:

Тэгшитгэлээ ерөнхий хэлбэрээр шийдье: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Одоо манай сегмент дээр ямар үндэс суурь болохыг харцгаая. k-д k=0, x= π/16 үед бид өгөгдсөн хэрчимд байна.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 байхад бид дахин цохилоо.
k=2-ийн хувьд x= π/16+ π=17π/16, гэхдээ энд бид оносонгүй, энэ нь том k-ийн хувьд бид онохгүй нь тодорхой гэсэн үг юм.

Хариулт: x= π/16, x= 9π/16

Шийдвэрлэх хоёр үндсэн арга.

Бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүдийг авч үзсэн боловч илүү төвөгтэй тэгшитгэлүүд бас байдаг. Тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга, хүчин зүйлчлэлийн аргыг ашигладаг. Жишээнүүдийг харцгаая.

Тэгшитгэлийг шийдье:

Шийдэл:
Тэгшитгэлээ шийдэхийн тулд бид t=tg(x) гэж тэмдэглэсэн шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх аргыг ашиглана.

Орлуулалтын үр дүнд бид дараахь зүйлийг авна: t 2 + 2t -1 = 0

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олъё: t=-1 ба t=1/3

Дараа нь tg(x)=-1 ба tg(x)=1/3, бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг гаргаж, үндсийг нь олъё.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Хариулт: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Тэгшитгэлийг шийдэх жишээ

Тэгшитгэлийг шийд: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Шийдэл:

Шинжилгээг ашиглая: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Бидний тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x) орлуулалтыг танилцуулъя: 2t 2 -3t - 2 = 0

Манай квадрат тэгшитгэлийн шийдэл нь үндэс юм: t=2 ба t=-1/2

Дараа нь cos(x)=2 ба cos(x)=-1/2.

Учир нь косинус нэгээс их утгыг авч чадахгүй бол cos(x)=2 нь үндэсгүй болно.

cos(x)=-1/2-ийн хувьд: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Хариулт: x= ±2π/3 + 2πk

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.

Тодорхойлолт: a sin(x)+b cos(x) хэлбэрийн тэгшитгэлийг нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэнэ.

Маягтын тэгшитгэл

Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.

Нэгдүгээр зэргийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд cos(x)-д хуваана: Хэрэв косинус нь тэгтэй тэнцүү бол та хуваах боломжгүй, тийм биш эсэхийг шалгацгаая.
cos(x)=0 байг, тэгвэл asin(x)+0=0 => sin(x)=0, гэхдээ синус ба косинус нь тэгтэй тэнцүү биш тул бид зөрчилдөөнийг олж авдаг тул аюулгүйгээр хувааж болно. тэгээр.

Тэгшитгэлийг шийд:
Жишээ нь: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Шийдэл:

Нийтлэг хүчин зүйлийг гаргая: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Дараа нь бид хоёр тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй:

Cos(x)=0 ба cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 үед x= π/2 + πk;

cos(x)+sin(x)=0 тэгшитгэлийг авч үзье Бидний тэгшитгэлийг cos(x)-д хуваа.

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Хариулт: x= π/2 + πk ба x= -π/4+πk

Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
Залуус аа, эдгээр дүрмийг үргэлж дагаж мөрдөөрэй!

1. a коэффициент хэдтэй тэнцүү болохыг харна уу, хэрэв a=0 бол бидний тэгшитгэл cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) хэлбэртэй байх бөгөөд үүний шийдлийн жишээ өмнөх слайд дээр байна.

2. Хэрэв a≠0 бол тэгшитгэлийн хоёр талыг косинусын квадратаар хуваах шаардлагатай бол бид дараахь зүйлийг авна.

Бид t=tg(x) хувьсагчийг өөрчилж тэгшитгэлийг авна.