дагуу арифметик прогрессийн ялгаа. Арифметик прогресс - тооны дараалал
Хэрэв натурал тоо бүрийн хувьд n бодит тоотой таарна a n , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг тооны дараалал :
а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .
Тэгэхээр тооны дараалал нь байгалийн аргументийн функц юм.
Тоо а 1 дуудсан дарааллын эхний гишүүн , тоо а 2 — дарааллын хоёр дахь гишүүн , тоо а 3 — гурав дахь гэх мэт. Тоо a n дуудсан дарааллын n-р гишүүн , мөн натурал тоо n — түүний дугаар .
Хоёр зэргэлдээ гишүүнээс a n Тэгээд a n +1 дарааллын гишүүн a n +1 дуудсан дараагийн ( зүг a n ), А a n — өмнөх ( зүг a n +1 ).
Дараалалыг тодорхойлохын тулд та дарааллын гишүүнийг дурын тоогоор олох боломжийг олгох аргыг зааж өгөх хэрэгтэй.
Ихэнхдээ дарааллыг ашиглан зааж өгдөг n-р хугацааны томьёо , өөрөөр хэлбэл дарааллын гишүүнийг дугаараар нь тодорхойлох томьёо.
Жишээлбэл,
эерэг сондгой тооны дарааллыг томъёогоор өгч болно
a n= 2n- 1,
болон ээлжлэн солих дараалал 1 Тэгээд -1 - томьёо
б n = (-1)n +1 . ◄
Дарааллыг тодорхойлж болно давтагдах томъёо, өөрөөр хэлбэл, өмнөх (нэг ба түүнээс дээш) гишүүдээр дамжуулан заримаас эхлэн дарааллын аль нэг гишүүнийг илэрхийлэх томъёо юм.
Жишээлбэл,
Хэрэв а 1 = 1 , А a n +1 = a n + 5
а 1 = 1,
а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Хэрэв a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , Дараа нь тоон дарааллын эхний долоон гишүүнийг дараах байдлаар тогтооно.
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
а 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,
а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Дараалал байж болно эцсийн Тэгээд эцэс төгсгөлгүй .
Дараалал гэж нэрлэдэг эцсийн , хэрэв энэ нь хязгаарлагдмал тооны гишүүдтэй бол. Дараалал гэж нэрлэдэг эцэс төгсгөлгүй , хэрэв энэ нь хязгааргүй олон гишүүнтэй бол.
Жишээлбэл,
Хоёр оронтой натурал тооны дараалал:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
эцсийн.
Анхны тоонуудын дараалал:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
эцэс төгсгөлгүй. ◄
Дараалал гэж нэрлэдэг нэмэгдэх , хэрэв түүний гишүүн бүр хоёр дахь үеэс эхлэн өмнөхөөсөө их байвал.
Дараалал гэж нэрлэдэг буурч байна , хэрэв түүний гишүүн бүр хоёр дахь үеэс эхлэн өмнөхөөсөө бага байвал.
Жишээлбэл,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - нэмэгдүүлэх дараалал;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - дараалал буурах. ◄
Элементүүд нь тоо нэмэгдэх тусам буурдаггүй, эсвэл эсрэгээрээ өсдөггүй дарааллыг гэнэ. нэг хэвийн дараалал .
Ялангуяа монотоник дараалал нь дараалал нэмэгдэж, дараалал буурч байна.
Арифметик прогресс
Арифметик прогресс гэдэг нь хоёр дахь хэсгээс эхлэн гишүүн бүр өмнөхтэй нь тэнцүү байх дараалал бөгөөд түүнд ижил тоо нэмэгдэнэ.
а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .
аль нэг натурал тооны хувьд арифметик прогресс юм n нөхцөл хангагдсан:
a n +1 = a n + г,
Хаана г - тодорхой тоо.
Тиймээс өгөгдсөн арифметик прогрессийн дараагийн болон өмнөх нөхцлүүдийн хоорондын ялгаа үргэлж тогтмол байна:
a 2 - а 1 = a 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = г.
Тоо г дуудсан арифметик прогрессийн ялгаа.
Арифметик прогрессийг тодорхойлохын тулд түүний эхний гишүүн ба ялгааг зааж өгөхөд хангалттай.
Жишээлбэл,
Хэрэв а 1 = 3, г = 4 , дараа нь бид дарааллын эхний таван гишүүнийг дараах байдлаар олно.
a 1 =3,
a 2 = a 1 + г = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + г= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + г= 11 + 4 = 15,
а 5 = а 4 + г= 15 + 4 = 19. ◄
Эхний гишүүнтэй арифметик прогрессийн хувьд а 1 ба ялгаа г түүнийг n
a n = a 1 + (n- 1)г.
Жишээлбэл,
арифметик прогрессийн гучин гишүүнийг ол
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, г = 3,
нь 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
a n-1 = a 1 + (n- 2)г,
a n= a 1 + (n- 1)г,
a n +1 = а 1 + nd,
тэгвэл ойлгомжтой
| a n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
Хоёр дахь хэсгээс эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна.
a, b, c тоонууд нь тэдгээрийн аль нэг нь нөгөө хоёрын арифметик дундажтай тэнцүү байх тохиолдолд зарим арифметик прогрессийн дараалсан гишүүн болно.
Жишээлбэл,
a n = 2n- 7 , нь арифметик прогресс юм.
Дээрх мэдэгдлийг ашиглацгаая. Бидэнд байгаа:
a n = 2n- 7,
a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Тиймээс,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
Тэрийг тэмдэглэ n Арифметик прогрессийн 3-р гишүүнийг зөвхөн дамжуулан олж болно а 1 , гэхдээ өмнөх ямар ч байсан a k
a n = a k + (n- к)г.
Жишээлбэл,
Учир нь а 5 бичиж болно
а 5 = a 1 + 4г,
а 5 = a 2 + 3г,
а 5 = a 3 + 2г,
а 5 = a 4 + г. ◄
a n = а н-к + кд,
a n = a n+k - кд,
тэгвэл ойлгомжтой
| a n=
| а н-к
+ a n+k
|
| 2
|
Хоёр дахь хэсгээс эхлэн арифметик прогрессийн аль ч гишүүн нь энэ арифметик прогрессийн ижил зайтай гишүүдийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.
Үүнээс гадна аливаа арифметик прогрессийн хувьд дараахь тэгшитгэлийг хангана.
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Жишээлбэл,
арифметик прогрессоор
1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;
2) 28 = а 10 = a 3 + 7г= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, учир нь
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,
эхлээд n Арифметик прогрессийн гишүүд нь туйлын гишүүн ба гишүүний тооны нийлбэрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна.
Эндээс, тухайлбал, хэрэв та нөхцлүүдийг нэгтгэх шаардлагатай бол энэ нь дараах байдалтай байна
a k, a k +1 , . . . , a n,
Дараа нь өмнөх томьёо нь бүтэцээ хадгална:
Жишээлбэл,
арифметик прогрессоор 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Хэрэв арифметик прогресс өгөгдсөн бол хэмжигдэхүүнүүд а 1 , a n, г, nТэгээдС n хоёр томъёогоор холбогдсон:
Тиймээс, эдгээр хэмжигдэхүүний гурвын утгыг өгсөн бол бусад хоёр хэмжигдэхүүний харгалзах утгыг эдгээр томъёоноос тодорхойлж, хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системд нэгтгэнэ.
Арифметик прогресс нь монотон дараалал юм. Үүнд:
- Хэрэв г > 0 , дараа нь энэ нь нэмэгдэж байна;
- Хэрэв г < 0 , дараа нь буурч байна;
- Хэрэв г = 0 , дараа нь хөдөлгөөнгүй байх болно.
Геометрийн прогресс
Геометрийн прогресс гэдэг нь хоёр дахь гишүүнээс эхлэн гишүүн бүр өмнөхтэй нь ижил тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байх дараалал юм.
б 1 , б 2 , б 3 , . . . , б н, . . .
ямар нэгэн натурал тооны хувьд геометр прогресс байна n нөхцөл хангагдсан:
б н +1 = б н · q,
Хаана q ≠ 0 - тодорхой тоо.
Тиймээс өгөгдсөн геометрийн прогрессийн дараагийн гишүүний өмнөхтэй харьцуулсан харьцаа нь тогтмол тоо юм.
б 2 / б 1 = б 3 / б 2 = . . . = б н +1 / б н = q.
Тоо q дуудсан геометр прогрессийн хуваагч.
Геометр прогрессийг тодорхойлохын тулд түүний эхний гишүүн болон хуваагчийг зааж өгөхөд хангалттай.
Жишээлбэл,
Хэрэв б 1 = 1, q = -3 , дараа нь бид дарааллын эхний таван гишүүнийг дараах байдлаар олно.
б 1 = 1,
б 2 = б 1 · q = 1 · (-3) = -3,
б 3 = б 2 · q= -3 · (-3) = 9,
б 4 = б 3 · q= 9 · (-3) = -27,
б 5 = б 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
б 1 ба хуваагч q түүнийг n 2-р нэр томъёог дараах томъёогоор олж болно.
б н = б 1 · qn -1 .
Жишээлбэл,
геометр прогрессийн долоо дахь гишүүнийг ол 1, 2, 4, . . .
б 1 = 1, q = 2,
б 7 = б 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
b n-1 = б 1 · qn -2 ,
б н = б 1 · qn -1 ,
б н +1 = б 1 · qn,
тэгвэл ойлгомжтой
б н 2 = б н -1 · б н +1 ,
Хоёр дахь хэсгээс эхлэн геометрийн прогрессийн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүдийн геометрийн дундажтай (пропорциональ) тэнцүү байна.
Эсрэг заалт нь бас үнэн тул дараахь мэдэгдэлд нийцнэ.
a, b, c тоонууд нь тэдгээрийн аль нэгнийх нь квадрат нь нөгөө хоёрын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл аль нэг нь нөгөө хоёрын геометрийн дундаж нь байвал геометрийн зарим прогрессийн дараалсан гишүүн болно.
Жишээлбэл,
Томъёогоор өгөгдсөн дараалал гэдгийг баталцгаая б н= -3 2 n , нь геометрийн прогресс юм. Дээрх мэдэгдлийг ашиглацгаая. Бидэнд байгаа:
б н= -3 2 n,
б н -1 = -3 2 n -1 ,
б н +1 = -3 2 n +1 .
Тиймээс,
б н 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = б н -1 · б н +1 ,
энэ нь хүссэн мэдэгдлийг баталж байна. ◄
Тэрийг тэмдэглэ n Геометр прогрессийн 3-р гишүүнийг зөвхөн дамжуулан олж болно б 1 , гэхдээ өмнөх гишүүн ч байсан б к , үүний тулд томъёог ашиглахад хангалттай
б н = б к · qn - к.
Жишээлбэл,
Учир нь б 5 бичиж болно
б 5 = б 1 · q 4 ,
б 5 = б 2 · q 3,
б 5 = б 3 · q 2,
б 5 = б 4 · q. ◄
б н = б к · qn - к,
б н = б н - к · q k,
тэгвэл ойлгомжтой
б н 2 = б н - к· б н + к
Хоёр дахь хэсгээс эхлэн геометрийн прогрессийн аль ч гишүүний квадрат нь түүнээс ижил зайд байгаа энэ прогрессийн гишүүний үржвэртэй тэнцүү байна.
Үүнээс гадна аливаа геометр прогрессийн хувьд тэгш байдал нь үнэн юм.
б м· б н= б к· б л,
м+ n= к+ л.
Жишээлбэл,
геометрийн прогрессоор
1) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = б 5 · б 7 ;
2) 1024 = б 11 = б 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = б 4 · б 8 ;
4) б 2 · б 7 = б 4 · б 5 , учир нь
б 2 · б 7 = 2 · 64 = 128,
б 4 · б 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= б 1 + б 2 + б 3 + . . . + б н
эхлээд n хуваагчтай геометр прогрессийн гишүүд q ≠ 0 томъёогоор тооцоолно:
Тэгээд хэзээ q = 1 - томьёоны дагуу
S n= Nb 1
Хэрэв та нөхцлүүдийг нэгтгэх шаардлагатай бол гэдгийг анхаарна уу
б к, б к +1 , . . . , б н,
Дараа нь томъёог ашиглана:
| S n- С к -1 = б к + б к +1 + . . . + б н = б к · | 1 - qn -
к +1
| . |
| 1 - q
|
Жишээлбэл,
геометрийн прогрессоор 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Хэрэв геометрийн прогресс өгөгдсөн бол хэмжигдэхүүнүүд б 1 , б н, q, nТэгээд S n хоёр томъёогоор холбогдсон:
Тиймээс, хэрэв эдгээр хэмжигдэхүүний гурвын аль нэгийн утгыг өгсөн бол бусад хоёр хэмжигдэхүүний харгалзах утгыг эдгээр томъёоноос тодорхойлж, хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системд нэгтгэнэ.
Эхний гишүүнтэй геометр прогрессийн хувьд б 1 ба хуваагч q дараах үйл явдал болно монотон байдлын шинж чанарууд :
- Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд ахиц дэвшил нэмэгдэнэ.
б 1 > 0 Тэгээд q> 1;
б 1 < 0 Тэгээд 0 < q< 1;
- Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд явц буурна.
б 1 > 0 Тэгээд 0 < q< 1;
б 1 < 0 Тэгээд q> 1.
Хэрэв q< 0 , дараа нь геометрийн прогресс нь ээлжлэн солигдоно: сондгой тоотой гишүүний эхний гишүүнтэй ижил тэмдэгтэй, тэгш тоотой гишүүний эсрэг тэмдэгтэй байна. Хувьсах геометрийн прогресс нь монотон биш гэдэг нь ойлгомжтой.
Анхны бүтээгдэхүүн n Геометр прогрессийн нөхцөлийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.
Pn= б 1 · б 2 · б 3 · . . . · б н = (б 1 · б н) n / 2 .
Жишээлбэл,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Хязгааргүй буурах геометр прогресс
Хязгааргүй буурах геометр прогресс хуваарийн модуль нь бага байдаг хязгааргүй геометр прогресс гэж нэрлэдэг 1 , тэр бол
|q| < 1 .
Хязгааргүй буурах геометрийн прогресс нь буурах дараалал байж болохгүй гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь тухайн нөхцөл байдалд тохирсон
1 < q< 0 .
Ийм хуваагчтай бол дараалал нь ээлжлэн солигддог. Жишээлбэл,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр эхнийхүүдийн нийлбэр хязгааргүй ойртож буй тоог нэрлэнэ үү n тооны хязгааргүй өсөлт бүхий прогрессийн гишүүд n . Энэ тоо үргэлж хязгаарлагдмал бөгөөд томъёогоор илэрхийлэгдэнэ
| С= б 1 + б 2 + б 3 + . . . = | б 1
| . |
| 1 - q
|
Жишээлбэл,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Арифметик ба геометр прогрессийн хамаарал
Арифметик ба геометрийн прогрессууд хоорондоо нягт холбоотой. Хоёрхон жишээг авч үзье.
а 1 , а 2 , а 3 , . . . г , Тэр
б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . б г .
Жишээлбэл,
1, 3, 5, . . . - ялгавартай арифметик прогресс 2 Тэгээд
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - хуваагчтай геометр прогресс 7 2 . ◄
б 1 , б 2 , б 3 , . . . - хуваагчтай геометр прогресс q , Тэр
log a b 1, бүртгэл a b 2, бүртгэл a b 3, . . . - ялгавартай арифметик прогресс бүртгэл аq .
Жишээлбэл,
2, 12, 72, . . . - хуваагчтай геометр прогресс 6 Тэгээд
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - ялгавартай арифметик прогресс lg 6 . ◄
Арифметик прогрессийн нийлбэр.
Арифметик прогрессийн нийлбэр нь энгийн зүйл юм. Утгын хувьд ч, томъёоны хувьд ч. Гэхдээ энэ сэдвээр бүх төрлийн даалгавар байдаг. Үндсэнээс нэлээд хатуу хүртэл.
Эхлээд дүнгийн утга, томьёог ойлгоцгооё. Тэгээд бид шийднэ. Өөрийнхөө таашаалд зориулж.) Хэмжээний утга нь моо шиг энгийн. Арифметик прогрессийн нийлбэрийг олохын тулд та түүний бүх гишүүнийг анхааралтай нэмэх хэрэгтэй. Хэрэв эдгээр нэр томъёо цөөн бол та ямар ч томьёогүйгээр нэмж болно. Гэхдээ их, эсвэл их байвал ... нэмэх нь ядаргаатай.) Энэ тохиолдолд томъёо нь аврах ажилд ирдэг.
Хэмжээний томъёо нь энгийн:
Томъёонд ямар үсэг орсон болохыг олж мэдье. Энэ нь маш их зүйлийг тодруулах болно.
S n - арифметик прогрессийн нийлбэр. Нэмэлт үр дүн хүн бүргишүүд, хамт эхлээд By сүүлчийн.Энэ нь чухал юм. Тэд яг нийлдэг Бүгдгишүүд дараалан, алгасах, алгасахгүйгээр. Тэгээд яг тэрнээс эхлэн эхлээд.Гурав, найм дахь гишүүний нийлбэр, таваас хорьдугаар гишүүний нийлбэрийг олох зэрэг асуудалд томъёог шууд хэрэглэх нь урам хугарах болно.)
a 1 - эхлээддэвшлийн гишүүн. Энд бүх зүйл ойлгомжтой, энгийн эхлээдэгнээний дугаар.
a n- сүүлчийндэвшлийн гишүүн. Цувралын сүүлийн дугаар. Нэг их танил нэр биш, гэхдээ үнийн дүнгийн хувьд энэ нь маш тохиромжтой. Дараа нь та өөрөө харах болно.
n - сүүлчийн гишүүний дугаар. Томъёонд энэ тоог ойлгох нь чухал юм нэмэгдсэн нэр томъёоны тоотой давхцаж байна.
Үзэл баримтлалыг тодорхойлъё сүүлчийнгишүүн a n. Асар төвөгтэй асуулт: аль гишүүн байх вэ? сүүлийн ганцөгсөн бол эцэс төгсгөлгүйарифметик прогресс?)
Итгэлтэй хариулахын тулд та арифметик прогрессийн үндсэн утгыг ойлгох хэрэгтэй бөгөөд... даалгаврыг анхааралтай уншина уу!)
Арифметик прогрессийн нийлбэрийг олох даалгаварт сүүлийн гишүүн үргэлж гарч ирдэг (шууд эсвэл шууд бус), хязгаарлах ёстой.Үгүй бол эцсийн, тодорхой хэмжээ зүгээр л байхгүй.Шийдлийн хувьд прогресс өгөгдсөн эсэх нь хамаагүй: төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй. Хэрхэн өгөгдсөн нь хамаагүй: цуврал тоо эсвэл n-р гишүүний томъёо.
Хамгийн гол нь томьёо нь прогрессийн эхний гишүүнээс тоотой нэр томъёо хүртэл ажилладаг гэдгийг ойлгох явдал юм n.Үнэндээ томъёоны бүтэн нэр дараах байдалтай байна. арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр.Эдгээр хамгийн анхны гишүүдийн тоо, i.e. n, зөвхөн даалгавараар тодорхойлогддог. Даалгаврын хувьд энэ бүх үнэ цэнэтэй мэдээллийг ихэвчлэн шифрлэдэг, тийм ээ ... Гэхдээ санаа зовох хэрэггүй, доорх жишээн дээр бид эдгээр нууцыг илчилдэг.)
Арифметик прогрессийн нийлбэрийн даалгаврын жишээ.
Юуны өмнө хэрэгтэй мэдээлэл:
Арифметик прогрессийн нийлбэртэй холбоотой ажлуудын гол бэрхшээл нь томъёоны элементүүдийг зөв тодорхойлоход оршдог.
Даалгаврын зохиогчид эдгээр элементүүдийг хязгааргүй төсөөллийн тусламжтайгаар шифрлэдэг.) Энд гол зүйл бол айх хэрэггүй. Элементүүдийн мөн чанарыг ойлгохын тулд тэдгээрийг зүгээр л тайлахад хангалттай. Хэд хэдэн жишээг нарийвчлан авч үзье. Жинхэнэ ТЕГ дээр үндэслэсэн даалгавраас эхэлье.
1. Арифметик прогрессийг a n = 2n-3.5 нөхцөлөөр тодорхойлно. Түүний эхний 10 гишүүний нийлбэрийг ол.
Сайн ажил. Хялбар.) Томъёог ашиглан хэмжээг тодорхойлохын тулд бид юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Анхны гишүүн a 1, сүүлийн улирал a n, тиймээ сүүлчийн гишүүний дугаар n.
Сүүлийн гишүүний дугаарыг хаанаас авах вэ? n? Тийм ээ, яг тэнд, нөхцөлтэйгээр! Энэ нь: нийлбэрийг ол эхний 10 гишүүн.За, ямар дугаартай байх вэ? сүүлчийн,арав дахь гишүүн үү?) Та үүнд итгэхгүй байна, түүний тоо арав дахь!) Тиймийн тул, оронд нь a nБид томъёонд орлуулах болно а 10, оронд нь n- арав. Дахин хэлье, сүүлийн гишүүний тоо гишүүдийн тоотой давхцаж байна.
Үүнийг тодорхойлоход л үлдлээ a 1Тэгээд а 10. Үүнийг асуудлын тайлбарт өгөгдсөн n-р гишүүний томъёогоор хялбархан тооцдог. Үүнийг яаж хийхээ мэдэхгүй байна уу? Өмнөх хичээлд суу, үүнгүйгээр арга байхгүй.
a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5
а 10=2·10 - 3.5 =16.5
S n = S 10.
Бид арифметик прогрессийн нийлбэрийн томъёоны бүх элементүүдийн утгыг олж мэдсэн. Үлдсэн зүйл бол тэдгээрийг орлуулж, тоолох явдал юм:
Ингээд л болоо. Хариулт: 75.
ТЕГ-т суурилсан өөр нэг даалгавар. Бага зэрэг төвөгтэй:
2. Арифметик прогресс (a n) өгөгдсөн бөгөөд ялгаа нь 3.7; a 1 =2.3. Түүний эхний 15 гишүүний нийлбэрийг ол.
Бид нэн даруй нийлбэрийн томъёог бичнэ.
Энэ томъёо нь ямар ч нэр томъёоны утгыг тоогоор нь олох боломжийг олгодог. Бид энгийн орлуулалтыг хайж байна:
a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1
Арифметик прогрессийн нийлбэрийн томъёонд бүх элементүүдийг орлуулж, хариултыг тооцоолоход л үлддэг.
Хариулт: 423.
Дашрамд хэлэхэд, хэрэв нийлбэрийн томъёонд оронд нь a nБид зүгээр л n-р гишүүний томъёог орлуулаад дараахийг авна.
Үүнтэй төстэй зүйлсийг танилцуулж, арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэрийн шинэ томъёог олцгооё.
 |
Таны харж байгаагаар энд n-р гишүүн байх шаардлагагүй a n. Зарим асуудалд энэ томъёо маш их тусалдаг, тиймээ ... Та энэ томъёог санаж болно. Эсвэл та зүгээр л энд байгаа шиг зөв цагт нь үзүүлж болно. Эцсийн эцэст та нийлбэрийн томъёо болон n-р гишүүний томъёог үргэлж санаж байх хэрэгтэй.)
Одоо богино шифрлэлтийн хэлбэрээр даалгавар):
3. Гурвын үржвэр бүх эерэг хоёр оронтой тооны нийлбэрийг ол.
Хөөх! Чиний анхны гишүүн ч биш, сүүлчийнх ч биш, ахиц дэвшил ч биш... Яаж амьдрах вэ!?
Та толгойгоо бодож, нөхцөлөөс арифметик прогрессийн нийлбэрийн бүх элементүүдийг гаргаж авах хэрэгтэй болно. Хоёр оронтой тоо гэж юу байдгийг бид мэднэ. Тэд хоёр тооноос бүрдэнэ.) Ямар хоёр оронтой тоо байх вэ эхлээд? 10, магадгүй.) А сүүлчийн зүйлхоёр оронтой тоо? 99, мэдээжийн хэрэг! Гурван оронтой тоонууд түүнийг дагана...
Гуравын үржвэр... Хм... Эдгээр нь гуравт хуваагддаг тоонууд, энд! Арав нь гуравт хуваагддаггүй, 11 нь хуваагддаггүй... 12... хуваагддаг! Тэгэхээр ямар нэгэн зүйл гарч ирж байна. Асуудлын нөхцлийн дагуу та аль хэдийн цуврал бичиж болно.
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Энэ цуврал арифметик прогресс байх уу? Мэдээжийн хэрэг! Нэр томьёо бүр өмнөхөөсөө 3-аар ялгаатай байна. Хэрэв та нэр томъёонд 2 эсвэл 4-ийг нэмбэл үр дүн, i.e. шинэ тоо 3-т хуваагдахаа больсон. Та арифметик прогрессийн зөрүүг шууд тодорхойлж болно: d = 3.Энэ нь хэрэг болно!)
Тиймээс бид зарим дэвшилтийн параметрүүдийг аюулгүйгээр бичиж болно:
Тоо хэд байх вэ? nсүүлчийн гишүүн? 99 гэж бодсон хүн үхмээр эндүүрч байна... Тоонууд дандаа дараалан гардаг ч манай гишүүд гурваас дээш үсэрдэг. Тэд таарахгүй байна.
Энд хоёр шийдэл байна. Нэг арга зам бол хэт хөдөлмөрч хүмүүс юм. Та дэвшилт, бүхэл бүтэн цувралыг бичиж, гишүүдийн тоог хуруугаараа тоолж болно.) Хоёр дахь арга нь бодолтой хүмүүст зориулагдсан юм. Та n-р гишүүний томъёог санах хэрэгтэй. Хэрэв бид томьёог бодлогодоо хэрэглэвэл 99 нь прогрессийн гуч дахь гишүүн болохыг олж мэднэ. Тэдгээр. n = 30.
Арифметик прогрессийн нийлбэрийн томъёог харцгаая.
Бид харж, баярлаж байна.) Бид асуудлын мэдэгдлээс дүнг тооцоход шаардлагатай бүх зүйлийг гаргаж авсан.
a 1= 12.
нь 30= 99.
S n = S 30.
Үлдсэн зүйл бол энгийн арифметик юм. Бид тоонуудыг томъёонд орлуулж, тооцоолно:
Хариулт: 1665
Өөр нэг алдартай оньсого:
4. Арифметик прогресс өгөгдсөн:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Хорь-оос гучин дөрөв хүртэлх гишүүний нийлбэрийг ол.
Бид дүнгийн томъёог хараад... бид бухимдаж байна.) Томъёо, танд сануулъя, дүнг тооцдог. эхний үеэсгишүүн. Мөн асуудалд та нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй хорьдугаар оноос хойш ...Томъёо ажиллахгүй.
Мэдээжийн хэрэг та бүх явцыг цувралаар бичиж, 20-оос 34 хүртэлх нөхцөлийг нэмж болно. Гэхдээ ... энэ нь ямар нэгэн байдлаар тэнэг бөгөөд удаан хугацаа шаарддаг, тийм үү?)
Илүү гоёмсог шийдэл бий. Цувралуудаа хоёр хэсэгт хуваацгаая. Эхний хэсэг нь байх болно эхний үеэс арван есдүгээр улирал хүртэл.Хоёр дахь хэсэг - хорин гучин дөрөв хүртэл.Хэрэв бид эхний хэсгийн нөхцлийн нийлбэрийг тооцвол тодорхой байна S 1-19, хоёрдугаар хэсгийн нөхцлийн нийлбэрээр нэмье S 20-34, бид эхний гишүүнээс гучин дөрөв хүртэлх прогрессийн нийлбэрийг авна S 1-34. Үүн шиг:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Үүнээс бид нийлбэрийг олохыг харж болно S 20-34энгийн хасах замаар хийж болно
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Баруун талд байгаа хоёр дүнг хоёуланг нь харгалзан үзнэ эхний үеэсгишүүн, өөрөөр хэлбэл нийлбэрийн стандарт томъёо нь тэдэнд маш тохиромжтой. Эхэлцгээе?
Бид асуудлын мэдэгдлээс явцын параметрүүдийг гаргаж авдаг:
d = 1.5.
a 1= -21,5.
Эхний 19 ба эхний 34 гишүүний нийлбэрийг тооцоолохын тулд бидэнд 19 ба 34 дэх гишүүн байх шаардлагатай. Бид тэдгээрийг 2-р асуудлын адил n-р гишүүний томъёогоор тооцоолно.
а 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5
а 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28
Юу ч үлдсэнгүй. 34 гишүүний нийлбэрээс 19 гишүүний нийлбэрийг хасна.
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5
Хариулт: 262.5
Нэг чухал тэмдэглэл! Энэ асуудлыг шийдэхэд маш хэрэгтэй заль мэх бий. Шууд тооцоолохын оронд танд хэрэгтэй зүйл (S 20-34),бид тоолсон шаардлагагүй мэт санагдах зүйл - S 1-19.Тэгээд тэд шийдсэн S 20-34, бүрэн үр дүнгээс шаардлагагүй зүйлийг хаях. Иймэрхүү "чихээрээ хуурах" нь таныг муу асуудлаас авардаг.)
Энэ хичээлээр бид арифметик прогрессийн нийлбэрийн утгыг ойлгоход хангалттай асуудлуудыг авч үзсэн. За, та хэд хэдэн томъёог мэдэх хэрэгтэй.)
Практик зөвлөгөө:
Арифметик прогрессийн нийлбэртэй холбоотой аливаа асуудлыг шийдэхдээ би энэ сэдвийн үндсэн хоёр томьёог нэн даруй бичихийг зөвлөж байна.
n-р гишүүний томъёо:
Эдгээр томьёо нь асуудлыг шийдэхийн тулд юу хайх, ямар чиглэлд бодох хэрэгтэйг шууд хэлэх болно. Туслана.
Одоо бие даасан шийдвэрлэх ажлууд.
5. Гуравт хуваагддаггүй бүх хоёр оронтой тооны нийлбэрийг ол.
Гайхалтай юу?) 4-р асуудлын тэмдэглэлд зөвлөгөө нуугдаж байна. За 3-р асуудал тус болно.
6. Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. Түүний эхний 24 гишүүний нийлбэрийг ол.
Ер бусын уу?) Энэ бол давтагдах томъёо юм. Та энэ тухай өмнөх хичээлээс уншиж болно. Холбоосыг үл тоомсорлож болохгүй, ийм асуудал Улсын Шинжлэх Ухааны Академид байнга гардаг.
7. Вася баяраар мөнгө цуглуулсан. 4550 рубль хүртэл! Тэгээд би дуртай хүндээ (өөртөө) хэдэн өдрийн аз жаргал өгөхөөр шийдсэн). Өөрийгөө юуг ч үгүйсгэлгүй сайхан амьдар. Эхний өдөр 500 рубль зарцуулж, дараагийн өдөр бүр өмнөхөөсөө 50 рубль илүү зарцуулаарай! Мөнгө дуусах хүртэл. Вася хэдэн өдөр аз жаргалтай байсан бэ?
Хэцүү үү?) 2-р асуудлын нэмэлт томъёо нь туслах болно.
Хариултууд (эмх замбараагүй): 7, 3240, 6.
Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...
Дашрамд хэлэхэд, надад танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)
Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)
Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.
Ерөнхий боловсролын сургуульд (9-р анги) алгебр судлахдаа чухал сэдвүүдийн нэг бол геометрийн болон арифметикийн прогрессийг багтаасан тоон дарааллыг судлах явдал юм. Энэ нийтлэлд бид арифметик прогресс болон шийдлийн жишээг авч үзэх болно.
Арифметик прогресс гэж юу вэ?
Үүнийг ойлгохын тулд асуудлыг шийдвэрлэхэд дараа нь ашиглах үндсэн томъёог өгөхийн зэрэгцээ тухайн асуудлын явцыг тодорхойлох шаардлагатай.
Зарим алгебрийн прогрессийн 1-р гишүүн 6-тай, 7-р гишүүн нь 18-тай тэнцүү байдаг нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд ялгааг олж, энэ дарааллыг 7-р гишүүн болгон сэргээх шаардлагатай.
Үл мэдэгдэх нэр томъёог тодорхойлохын тулд томъёог ашиглая: a n = (n - 1) * d + a 1 . Нөхцөлөөс мэдэгдэж буй өгөгдлийг, өөрөөр хэлбэл a 1 ба 7 тоонуудыг орлуулъя, бидэнд: 18 = 6 + 6 * d байна. Энэ илэрхийллээс та ялгааг хялбархан тооцоолж болно: d = (18 - 6) /6 = 2. Ингээд бид асуудлын эхний хэсэгт хариуллаа.
7-р гишүүний дарааллыг сэргээхийн тулд та алгебрийн прогрессийн тодорхойлолтыг ашиглах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d гэх мэт. Үүний үр дүнд бид бүх дарааллыг сэргээдэг: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Жишээ №3: Прогресс зурах
Асуудлыг улам хүндрүүлье. Одоо бид арифметик прогрессийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултанд хариулах хэрэгтэй. Дараах жишээг өгч болно: хоёр тоо өгөгдсөн, жишээлбэл - 4 ба 5. Эдгээрийн хооронд өөр гурван гишүүн байхын тулд алгебрийн прогрессийг үүсгэх шаардлагатай.
Энэ асуудлыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө өгөгдсөн тоонууд цаашдын хөгжилд ямар байр суурь эзлэхийг ойлгох хэрэгтэй. Тэдний хооронд дахин гурван гишүүн байх тул 1 = -4 ба 5 = 5 болно. Үүнийг тогтоосны дараа бид өмнөхтэй төстэй асуудал руу шилждэг. Дахин хэлэхэд, n-р гишүүний хувьд бид томъёог ашиглана: a 5 = a 1 + 4 * d. Эндээс: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Эндээс олж авсан зүйл бол ялгааны бүхэл тоо биш, харин рационал тоо учраас алгебрийн прогрессийн томьёо ижил хэвээр байна.
Одоо олсон зөрүүг 1 дээр нэмээд прогрессийн алга болсон нөхцлүүдийг сэргээе. Бид дараахийг авна: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, энэ нь давхцсан. асуудлын нөхцөлтэй хамт.
Жишээ №4: Прогрессийн эхний хугацаа
Шийдэл бүхий арифметик прогрессийн жишээг үргэлжлүүлье. Өмнөх бүх бодлогод алгебрийн прогрессийн эхний тоог мэддэг байсан. Одоо өөр төрлийн бодлогыг авч үзье: 15 = 50 ба 43 = 37 гэсэн хоёр тоог өгье. Энэ дараалал аль тооноос эхэлж байгааг олох шаардлагатай.
Өнөөг хүртэл ашигласан томьёо нь 1 ба d-ийн талаархи мэдлэгтэй гэж үздэг. Асуудлын мэдэгдэлд эдгээр тоонуудын талаар юу ч мэдэгддэггүй. Гэсэн хэдий ч бид мэдээлэл байгаа нэр томъёо бүрийн илэрхийлэлүүдийг бичих болно: a 15 = a 1 + 14 * d, a 43 = a 1 + 42 * d. Бид 2 үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнтэй (a 1 ба d) хоёр тэгшитгэлийг хүлээн авсан. Энэ нь шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхэд асуудлыг багасгасан гэсэн үг юм.
Энэ системийг шийдэх хамгийн хялбар арга бол тэгшитгэл бүрт 1-ийг илэрхийлж, дараа нь үүссэн илэрхийллүүдийг харьцуулах явдал юм. Эхний тэгшитгэл: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; хоёр дахь тэгшитгэл: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Эдгээр илэрхийлэлийг тэгшитгэснээр бид дараахь зүйлийг авна: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, эндээс d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (зөвхөн 3 аравтын бутархай өгөгдсөн).
d-г мэдэж байгаа тул дээрх 2 илэрхийллийн аль нэгийг 1-д ашиглаж болно. Жишээлбэл, эхлээд: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.
Хэрэв та олж авсан үр дүнгийн талаар эргэлзэж байгаа бол үүнийг шалгаж болно, жишээлбэл, нөхцөл байдалд заасан дэвшлийн 43-р хугацааг тодорхойлж болно. Бид авна: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Жижиг алдаа нь тооцоололд мянганы нэг болгон бөөрөнхийлсөнтэй холбоотой юм.
Жишээ №5: хэмжээ
Одоо арифметик прогрессийн нийлбэрийн шийдэл бүхий хэд хэдэн жишээг харцгаая.
Дараах хэлбэрийн тоон прогрессийг өгье: 1, 2, 3, 4, ...,. Эдгээр тооны 100-ийн нийлбэрийг хэрхэн тооцоолох вэ?
Компьютерийн технологийн хөгжлийн ачаар энэ асуудлыг шийдэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл хүн Enter товчийг дармагц компьютер хийх бүх тоог дарааллаар нь нэмнэ. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та танилцуулсан тоон цуваа нь алгебрийн прогресс бөгөөд түүний зөрүү нь 1-тэй тэнцүү гэдгийг анхаарч үзвэл асуудлыг оюун ухаанаар шийдэж болно. Нийлбэрийн томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
18-р зууны эхээр 10-хан настай Германы алдарт хүн хэдхэн секундын дотор энэ асуудлыг толгой дотроо шийдэж чадсан тул энэ асуудлыг "гаусс" гэж нэрлэсэн нь сонирхолтой юм. Хүү алгебрийн прогрессийн нийлбэрийн томьёог мэдэхгүй ч дарааллын төгсгөлд байгаа тоонуудыг хосоор нь нэмбэл үргэлж ижил үр дүн, өөрөөр хэлбэл 1 + 100 = 2 + 99 гарна гэдгийг анзаарчээ. = 3 + 98 = ..., эдгээр нийлбэрүүд яг 50 (100/2) байх тул зөв хариултыг авахын тулд 50-г 101-ээр үржүүлэхэд хангалттай.
Жишээ №6: n-ээс m хүртэлх гишүүний нийлбэр
Арифметик прогрессийн нийлбэрийн өөр нэг ердийн жишээ бол: 3, 7, 11, 15, ... гэсэн цуврал тоонуудыг өгвөл 8-аас 14 хүртэлх гишүүний нийлбэр нь хэдтэй тэнцүү болохыг олох хэрэгтэй. .
Асуудлыг хоёр аргаар шийддэг. Тэдгээрийн эхнийх нь 8-аас 14 хүртэлх үл мэдэгдэх нэр томъёог олох, дараа нь тэдгээрийг дараалан нэгтгэх явдал юм. Цөөн нэр томъёо байдаг тул энэ арга нь маш их хөдөлмөр шаарддаггүй. Гэсэн хэдий ч энэ асуудлыг илүү түгээмэл хоёрдахь аргыг ашиглан шийдвэрлэхийг санал болгож байна.
Гол санаа нь n > m нь бүхэл тоо болох m ба n гишүүний хоорондох алгебрийн прогрессийн нийлбэрийн томъёог олж авах явдал юм. Хоёр тохиолдолд бид нийлбэрийн хоёр илэрхийлэл бичнэ.
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
n > m тул 2-р нийлбэрт эхнийх нь багтах нь ойлгомжтой. Сүүлийн дүгнэлт нь эдгээр нийлбэрүүдийн зөрүүг авч, түүнд a m нэр томъёог нэмбэл (ялгааг авах тохиолдолд S n нийлбэрээс хасна) бид асуудлын шаардлагатай хариултыг авна гэсэн үг юм. Бидэнд: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a м * (1- м/2). Энэ илэрхийлэлд n ба m-ийн томъёог орлуулах шаардлагатай. Дараа нь бид дараахь зүйлийг авна: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - м / 2) = a 1 * (n - м + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * м - м 2 - 2) / 2.
Үүссэн томъёо нь бага зэрэг төвөгтэй боловч S mn нийлбэр нь зөвхөн n, m, a 1, d-ээс хамаарна. Манай тохиолдолд a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Эдгээр тоог орлуулснаар бид: S mn = 301 болно.
Дээрх шийдлүүдээс харахад бүх бодлого нь n-р гишүүний илэрхийлэл ба эхний гишүүний олонлогийн нийлбэрийн томъёоны мэдлэг дээр суурилдаг. Эдгээр асуудлын аль нэгийг шийдэж эхлэхээсээ өмнө нөхцөл байдлыг сайтар уншиж, юу олох хэрэгтэйг тодорхой ойлгож, дараа нь шийдлийг үргэлжлүүлэхийг зөвлөж байна.
Өөр нэг зөвлөгөө бол энгийн байхыг хичээх явдал юм, өөрөөр хэлбэл та нарийн төвөгтэй математик тооцоололгүйгээр асуултанд хариулж чадвал үүнийг хийх хэрэгтэй, учир нь энэ тохиолдолд алдаа гаргах магадлал бага байдаг. Жишээлбэл, 6-р шийдэлтэй арифметик прогрессийн жишээн дээр S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m томъёогоор зогсоож болно. ерөнхий асуудлыг тусдаа дэд даалгаварт хуваах (энэ тохиолдолд эхлээд a n ба a m нэр томъёог олоорой).
Хэрэв та олж авсан үр дүндээ эргэлзэж байвал зарим жишээн дээр дурдсанчлан үүнийг шалгахыг зөвлөж байна. Бид арифметик прогрессийг хэрхэн олохыг олж мэдсэн. Хэрэв та үүнийг ойлговол энэ нь тийм ч хэцүү биш юм.
Томъёоны гол мөн чанар юу вэ?
Энэ томъёо нь олох боломжийг танд олгоно ямар ч ТҮҮНИЙ ДУГААР" n" .
Мэдээжийн хэрэг, та эхний нэр томъёог бас мэдэх хэрэгтэй a 1болон явцын ялгаа г, За, эдгээр параметргүйгээр та тодорхой дэвшлийг бичиж чадахгүй.
Энэ томъёог цээжлэх (эсвэл хүүхдийн хэвтэх) нь хангалтгүй юм. Та түүний мөн чанарыг ойлгож, янз бүрийн асуудалд томъёог ашиглах хэрэгтэй. Мөн түүнчлэн зөв цагт мартаж болохгүй, тиймээ ...) Хэрхэн мартаж болохгүй-Мэдэхгүй ээ. Бас энд яаж санах вэШаардлагатай бол би танд заавал зөвлөгөө өгөх болно. Хичээлийг эцэс хүртэл дуусгасан хүмүүст зориулав.)
Ингээд арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёог авч үзье.
Ер нь томъёо гэж юу вэ? Дашрамд хэлэхэд хэрэв та уншиж амжаагүй бол үзээрэй. Тэнд бүх зүйл энгийн байдаг. Энэ нь юу болохыг олж мэдэх л үлдлээ n-р улирал.
Прогрессийг ерөнхийд нь дараах тоонуудын цуваа хэлбэрээр бичиж болно.
1, 2, 3, 4, 5, .....
a 1- арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг илэрхийлнэ; a 3- гурав дахь гишүүн, a 4- дөрөв дэх гэх мэт. Хэрэв бид тав дахь удаагаа сонирхож байгаа бол хамтран ажиллаж байна гэж бодъё а 5, хэрэв нэг зуун хорин - s 120.
Үүнийг ерөнхийд нь хэрхэн тодорхойлох вэ? ямар чарифметик прогрессийн гишүүн, хамт ямар чтоо? Маш энгийн! Үүн шиг:
a n
Ийм л байна арифметик прогрессийн n-р гишүүн. N үсэг нь бүх гишүүний дугаарыг нэг дор нуудаг: 1, 2, 3, 4 гэх мэт.
Ийм бичлэг бидэнд юу өгдөг вэ? Бодоод үз дээ, тэд дугаарын оронд захидал бичсэн ...
Энэхүү тэмдэглэгээ нь арифметик прогресстой ажиллах хүчирхэг хэрэгслийг бидэнд өгдөг. Тэмдэглэгээг ашиглах a n, бид хурдан олох боломжтой ямар чгишүүн ямар чарифметик прогресс. Мөн бусад ахиц дэвшлийн асуудлыг шийдээрэй. Та цааш нь өөрөө харах болно.
Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёонд:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- арифметик прогрессийн эхний гишүүн;
n- гишүүний дугаар.
Томъёо нь аливаа дэвшлийн гол параметрүүдийг холбодог. a n ; a 1; гТэгээд n. Бүх дэвшилттэй асуудлууд эдгээр параметрүүдийн эргэн тойронд эргэлддэг.
n-р гишүүний томьёог мөн тодорхой прогресс бичихэд ашиглаж болно. Жишээлбэл, асуудал нь ахиц дэвшлийг дараах нөхцлөөр тодорхойлсон гэж хэлж болно.
a n = 5 + (n-1) 2.
Ийм асуудал мухардалд орж болно... Цуврал ч биш, ялгаа ч байхгүй... Гэхдээ томьёотой нөхцөлийг харьцуулж үзэхэд энэ дэвшилд гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг. a 1 =5, d=2.
Энэ нь бүр ч муу байж болно!) Хэрэв бид ижил нөхцөлийг авбал: a n = 5 + (n-1) 2,Тийм ээ, хашилтыг нээж, ижил төстэй зүйлийг авчрах уу? Бид шинэ томъёог авна:
a n = 3 + 2n.
Энэ Зөвхөн ерөнхий биш, харин тодорхой ахиц дэвшилд зориулагдсан. Энд л сүйрэл нуугдаж байна. Зарим хүмүүс эхний нэр томъёог гурав гэж боддог. Хэдийгээр бодит байдал дээр эхний нэр томъёо нь тав ... Бага зэрэг доогуур бид ийм өөрчилсөн томъёогоор ажиллах болно.
Прогрессийн асуудлуудад өөр тэмдэглэгээ байдаг - a n+1. Энэ нь таны таамаглаж байсанчлан прогрессийн "n дээр нэмэх эхний" гишүүн юм. Үүний утга нь энгийн бөгөөд хор хөнөөлгүй.) Энэ нь тоо нь n-ээс нэгээр их байгаа прогрессийн гишүүн юм. Жишээ нь, хэрэв бид ямар нэг асуудал гарвал a nдараа нь тав дахь улирал a n+1зургаа дахь гишүүн болно. гэх мэт.
Ихэнхдээ тэмдэглэгээ a n+1давтагдах томъёоноос олдсон. Энэ аймшигт үгнээс бүү ай!) Энэ бол зүгээр л арифметик прогрессийн гишүүнийг илэрхийлэх арга юм. өмнөх замаар.Бидэнд давтагдах томьёог ашиглан энэ хэлбэрээр арифметик прогресс өгөгдсөн гэж үзье.
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Дөрөв дэх нь - гурав дахь нь, тав дахь нь - дөрөв дэх нь гэх мэт. Хорьдугаар гишүүнийг бид яаж шууд тоолох вэ? нь 20? Гэхдээ ямар ч арга байхгүй!) 19-р улиралыг олж мэдэх хүртэл бид 20-ыг тоолж чадахгүй. Энэ нь давтагдах томьёо болон n-р гишүүний томъёоны үндсэн ялгаа юм. Давтагдах нь зөвхөн дамжуулан ажилладаг өмнөхгишүүн, n-р гишүүний томъёо нь дамжуулан байна эхлээдмөн зөвшөөрдөг шуудДурын гишүүнийг дугаараар нь олоорой. Бүх тооны цувралыг дарааллаар нь тооцоолохгүйгээр.
Арифметик прогрессийн хувьд давтагдах томьёог ердийн томъёо болгон хувиргахад хялбар байдаг. Дараалсан хос гишүүнийг тоолж, зөрүүг тооцоол г,шаардлагатай бол эхний нэр томъёог олоорой a 1, томьёог ердийн хэлбэрээр бичиж, түүнтэй ажиллах. Улсын Шинжлэх Ухааны Академид ийм ажил байнга гардаг.
Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёоны хэрэглээ.
Эхлээд томъёоны шууд хэрэглээг харцгаая. Өмнөх хичээлийн төгсгөлд нэг асуудал гарсан:
Арифметик прогресс (a n) өгөгдсөн. a 1 =3 ба d=1/6 бол 121-ийг ол.
Энэ асуудлыг ямар ч томьёогүйгээр зүгээр л арифметик прогрессийн утгад үндэслэн шийдэж болно. Нэмэх, нэмэх... Нэг эсвэл хоёр цаг.)
Мөн томъёоны дагуу шийдэл нь нэг минутаас бага хугацаа шаардагдана. Та цаг гаргаж болно.) Шийдвэрлэцгээе.
Нөхцөлүүд нь томъёог ашиглах бүх өгөгдлийг өгдөг: a 1 =3, d=1/6.Юу нь тэнцүү болохыг олж мэдэх л үлдлээ n.Асуудалгүй! Бид олох хэрэгтэй а 121. Тиймээс бид бичнэ:
Анхаарна уу! Индексийн оронд nтодорхой тоо гарч ирэв: 121. Энэ нь нэлээд логик юм.) Бид арифметик прогрессийн гишүүнийг сонирхож байна. нэг зуун хорин нэг.Энэ биднийх болно n.Энэ бол утга учир юм n= 121-ийг бид хаалтанд томъёонд орлуулах болно. Бид бүх тоонуудыг томъёонд орлуулж, тооцоолно:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Ингээд л болоо. Таван зуун арав дахь гишүүн, мянга, гурав дахь гишүүнийг аль нэгийг нь хурдан олж болно. Бид оронд нь тавьдаг nүсгийн индекс дэх хүссэн тоо " а"мөн хаалтанд, бид тоолно.
Нэг зүйлийг сануулъя: энэ томъёо нь олох боломжийг танд олгоно ямар чарифметик прогрессийн гишүүн ТҮҮНИЙ ДУГААР" n" .
Асуудлыг арай зальтай аргаар шийдье. Дараахь асуудалтай тулгарцгаая.
Арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг (a n) ол, хэрэв a 17 =-2; d=-0.5.
Хэрэв танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал би эхний алхамыг хэлье. Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томьёог бичээрэй!Тийм тийм. Гараараа шууд дэвтэр дээрээ бичээрэй.
| a n = a 1 + (n-1)d |
Одоо томъёоны үсгүүдийг хараад бид ямар өгөгдөлтэй, юу дутагдаж байгааг ойлгож байна уу? Боломжтой d=-0.5,арван долоо дахь гишүүн байна... Энэ мөн үү? Хэрэв та ийм байна гэж бодож байгаа бол та асуудлыг шийдэхгүй, тиймээ ...
Бидэнд дугаар байгаа n! Нөхцөл байдалд a 17 =-2далд хоёр параметр.Энэ нь арван долоо дахь гишүүний утга (-2) ба түүний тоо (17) хоёулаа юм. Тэдгээр. n=17.Энэ "жижиг зүйл" нь ихэвчлэн толгойноосоо урсан өнгөрдөг бөгөөд үүнгүйгээр (толгой биш "жижиг зүйл"гүйгээр!) асуудлыг шийдэж чадахгүй. Хэдийгээр... бас толгойгүй ч гэсэн.)
Одоо бид өгөгдлөө томъёогоор тэнэг байдлаар орлуулж болно:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)
Өө тиймээ, а 17-2 гэдгийг бид мэднэ. За, орлуулъя:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)
Энэ бол үндсэндээ. Арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг томъёоноос илэрхийлж, тооцоолоход л үлддэг. Хариулт нь: a 1 = 6.
Томьёог бичиж, мэдэгдэж буй өгөгдлийг орлуулах энэ техник нь энгийн ажлуудад маш сайн тусалдаг. Мэдээжийн хэрэг, та томъёоноос хувьсагчийг илэрхийлэх чадвартай байх ёстой, гэхдээ яах вэ!? Энэ чадваргүй бол математикийг огт судлахгүй байж магадгүй...
Өөр нэг алдартай оньсого:
Арифметик прогрессийн (a n) ялгааг ол, хэрэв a 1 =2; a 15 =12.
Бид юу хийж байна вэ? Та гайхах болно, бид томъёог бичиж байна!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Бид юу мэддэгээ авч үзье: a 1 =2; a 15 =12; ба (би онцлон тэмдэглэх болно!) n=15. Үүнийг дараах томъёонд орлуулж болно.
12=2 + (15-1)d
Бид арифметик хийдэг.)
12=2 + 14d
г=10/14 = 5/7
Энэ бол зөв хариулт юм.
Тиймээс, даалгаврууд a n, a 1Тэгээд гшийдсэн. Үлдсэн зүйл бол дугаарыг хэрхэн олохыг сурах явдал юм.
99 тоо нь арифметик прогрессийн (a n) гишүүн бөгөөд a 1 =12; d=3. Энэ гишүүний дугаарыг олоорой.
Бидэнд мэдэгдэж буй хэмжигдэхүүнүүдийг n-р гишүүний томъёонд орлуулна.
a n = 12 + (n-1) 3
Эхлээд харахад энд үл мэдэгдэх хоёр хэмжигдэхүүн байна: a n ба n.Гэхдээ a n- энэ бол тоотой ахиц дэвшлийн зарим гишүүн юм n...Мөн бид энэ дэвшлийн гишүүнийг мэднэ! Энэ бол 99. Бид дугаарыг нь мэдэхгүй. n,Тиймээс энэ тоо нь таны олох ёстой зүйл юм. Бид 99-ийн прогрессийн гишүүнийг томъёонд орлуулна.
99 = 12 + (n-1) 3
Бид томъёогоор илэрхийлдэг n, Бид бодохдоо. Бид хариултыг авна: n=30.
Одоо нэг сэдэвтэй холбоотой асуудал, гэхдээ илүү бүтээлч):
117 тоо нь арифметик прогрессийн (a n) гишүүн эсэхийг тодорхойлно уу:
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Томьёог дахин бичье. Ямар ч параметр байхгүй юу? Хм... Яагаад бидэнд нүд өгөгдсөн бэ?) Бид ахиц дэвшлийн эхний үеийг харж байна уу? Бид харж байна. Энэ нь -3.6. Та аюулгүйгээр бичиж болно: a 1 = -3.6.Ялгаа гцувралаас тодорхойлж чадах уу? Хэрэв та арифметик прогрессийн ялгаа нь юу болохыг мэдэж байвал амархан.
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
Тиймээс бид хамгийн энгийн зүйлийг хийсэн. Үл мэдэгдэх тоотой харьцах л үлдлээ nмөн үл ойлгогдох тоо 117. Өмнөх бодлого дээр ядаж л энэ нь прогрессийн нэр томъёог өгсөн гэдгийг мэддэг байсан. Гэхдээ энд бид бүр мэдэхгүй байна ... Юу хийх вэ!? За, яаж байх вэ, яаж байх вэ ... Бүтээлч чадвараа асаагаарай!)
Бид гэж бодъёТэр 117 бол эцсийн эцэст бидний дэвшлийн гишүүн юм. Үл мэдэгдэх дугаартай n. Мөн өмнөх асуудлын нэгэн адил энэ тоог олохыг хичээцгээе. Тэдгээр. Бид томъёог бичээд (тийм ээ, тийм!)) тоонуудаа орлуулна:
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
Бид дахин томъёогоор илэрхийлнэn, бид тоолж аваад:
Өө! Тоо гарсан бутархай!Зуун нэг хагас. Мөн прогресс дахь бутархай тоо байж болохгүй.Бид ямар дүгнэлт хийж чадах вэ? Тийм ээ! 117 дугаар бишбидний дэвшлийн гишүүн. Энэ нь нэг зуу, нэг, зуун хоёр дахь нөхцлийн хооронд байдаг. Хэрэв тоо нь байгалийн болж хувирсан бол, өөрөөр хэлбэл. эерэг бүхэл тоо бол тухайн тоо нь олсон тоотой прогрессийн гишүүн байх болно. Мөн бидний тохиолдолд асуудлын хариулт нь: Үгүй
ТЕГ-ын бодит хувилбар дээр үндэслэсэн даалгавар:
Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно.
a n = -4 + 6.8n
Прогрессийн эхний ба арав дахь гишүүнийг ол.
Энд ахиц дэвшил нь ер бусын байдлаар тавигддаг. Ямар нэгэн томъёолол... Энэ нь тохиолддог.) Гэсэн хэдий ч, энэ томъёо (би дээр бичсэнчлэн) - мөн арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёо!Тэр бас зөвшөөрдөг Прогрессийн аль нэг гишүүнийг тоогоор нь олоорой.
Бид анхны гишүүнийг хайж байна. Сэтгэдэг хүн. Эхний гишүүн нь дөрөвийг хассан нь маш буруу байна!) Учир нь бодлого дахь томьёо өөрчлөгдсөн. Үүнд арифметик прогрессийн эхний гишүүн далд.Зүгээр дээ, бид одоо олох болно.)
Өмнөх асуудлуудын нэгэн адил бид орлуулдаг n=1энэ томъёонд:
a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8
Энд! Эхний гишүүн нь -4 биш, 2.8 байна!
Бид арав дахь нэр томъёог ижил аргаар хайж байна.
a 10 = -4 + 6.8 10 = 64
Ингээд л болоо.
Одоо эдгээр мөрүүдийг уншсан хүмүүст амласан урамшуулал.)
Улсын шалгалт эсвэл улсын нэгдсэн шалгалтын тулалдааны хүнд нөхцөлд та арифметик прогрессийн n-р гишүүний ашигтай томъёог мартсан гэж бодъё. Би нэг зүйлийг санаж байна, гэхдээ ямар нэгэн байдлаар тодорхойгүй байна ... Эсвэл nтэнд, эсвэл n+1, эсвэл n-1...Яаж байх вэ!?
Тайвшир! Энэ томъёог гаргахад хялбар байдаг. Энэ нь тийм ч хатуу биш, гэхдээ энэ нь итгэлтэй, зөв шийдвэр гаргахад хангалттай юм!) Дүгнэлт гаргахын тулд арифметик прогрессийн үндсэн утгыг санаж, хэдэн минут зарцуулахад хангалттай. Та зүгээр л зураг зурах хэрэгтэй. Тодорхой болгохын тулд.
Тоон шугам зураад эхнийхийг нь тэмдэглэ. хоёр дахь, гурав дахь гэх мэт. гишүүд. Мөн бид ялгааг тэмдэглэж байна ггишүүдийн хооронд. Үүн шиг:
Бид зургийг хараад: хоёр дахь гишүүн юутай тэнцэх вэ? Хоёрдугаарт нэг г:
а 2 =a 1 + 1 г
Гурав дахь нэр томъёо гэж юу вэ? Гуравдугаартхугацаа нь эхний гишүүн нэмэхтэй тэнцүү хоёр г.
а 3 =a 1 + 2 г
Та үүнийг ойлгож байна уу? Би бүдүүн үсгээр зарим үгийг онцолж байгаа нь дэмий зүйл биш юм. За, дахиад нэг алхам).
Дөрөв дэх нэр томъёо гэж юу вэ? Дөрөвдүгээртхугацаа нь эхний гишүүн нэмэхтэй тэнцүү гурав г.
а 4 =a 1 + 3 г
Цоорхойн тоо, i.e. гэдгийг ойлгох цаг болжээ. г, Үргэлж Таны хайж буй гишүүний тооноос нэгээр бага n. Энэ нь тоогоор n, зайны тооболно n-1.Тиймээс томъёо нь (өөрчлөлтгүйгээр!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Ер нь математикийн олон асуудлыг шийдвэрлэхэд визуал зураг их тус болдог. Зургийг үл тоомсорлож болохгүй. Гэхдээ хэрэв зураг зурахад хэцүү бол ... зөвхөн томьёо!) Нэмж дурдахад n-р гишүүний томъёо нь математикийн бүх хүчирхэг арсеналыг тэгшитгэл, тэгш бус байдал, систем гэх мэт шийдэлд холбох боломжийг олгодог. Та тэгшитгэлд зураг оруулах боломжгүй ...
Бие даасан шийдлийн даалгавар.
Халаахын тулд:
1. Арифметик прогрессоор (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. 3-ыг ол.
Зөвлөгөө: Зурган дээрхээс харахад 20 секундын дотор асуудлыг шийдэж болно ... Томъёогоор бол илүү хэцүү болж байна. Гэхдээ томъёог эзэмшихийн тулд энэ нь илүү ашигтай байдаг.) 555-р хэсэгт энэ асуудлыг зураг болон томьёоны аль алиныг нь ашиглан шийдсэн. Ялгааг мэдэр!)
Энэ нь халаалт байхаа больсон.)
2. Арифметик прогрессоор (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. 3-ыг ол.
Юу вэ, та зураг зурахыг хүсэхгүй байна уу?) Мэдээжийн хэрэг! Томъёоны дагуу илүү сайн, тиймээ ...
3. Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно.a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. Энэ прогрессийн зуун хорин тав дахь гишүүнийг ол.
Энэ даалгаварт ахиц дэвшлийг давтагдах байдлаар зааж өгсөн болно. Харин зуун хорин тав хүртэл тоолбол... Хүн бүр ийм эр зориг гаргаж чадахгүй.) Гэвч n-р гишүүний томьёо хүн бүрийн эрх мэдэлд байдаг!
4. Арифметик прогресс (a n) өгөгдсөн:
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Прогрессийн хамгийн бага эерэг гишүүний тоог ол.
5. 4-р даалгаврын нөхцлийн дагуу прогрессийн хамгийн бага эерэг ба хамгийн том сөрөг гишүүний нийлбэрийг ол.
6. Өсөн нэмэгдэж буй арифметик прогрессийн тав, арван хоёрдугаар гишүүний үржвэр нь -2.5, гурав, арван нэг дэх гишүүний нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байна. 14-ийг олоорой.
Хамгийн хялбар ажил биш, тийм ээ ...) Энд "хурууны үзүүр" арга ажиллахгүй. Та томьёо бичиж, тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй болно.
Хариултууд (эмх замбараагүй):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Болсон уу? Гоё!)
Бүх зүйл болохгүй байна уу? Болдог. Дашрамд хэлэхэд, сүүлчийн даалгаварт нэг нарийн зүйл бий. Асуудлыг уншиж байхдаа анхааралтай байх шаардлагатай. Мөн логик.
Эдгээр бүх асуудлын шийдлийг 555-р хэсэгт нарийвчлан авч үзсэн болно. Мөн дөрөв дэх нь уран зөгнөлийн элемент, зургаа дахь нарийн цэг, n-р гишүүний томьёотой холбоотой аливаа асуудлыг шийдвэрлэх ерөнхий аргуудыг бүгдийг нь тайлбарласан болно. Би зөвлөж байна.
Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...
Дашрамд хэлэхэд, надад танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)
Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)
Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.
Зарим хүмүүс "хөгжил" гэдэг үгийг дээд математикийн салбаруудаас маш нарийн төвөгтэй нэр томъёо гэж болгоомжтой ханддаг. Үүний зэрэгцээ хамгийн энгийн арифметик прогресс бол такси тоолуурын ажил юм (тэдгээр нь одоо ч байгаа). Мөн арифметик дарааллын мөн чанарыг (мөн математикт "мөн чанарыг ойлгохоос өөр чухал зүйл гэж байдаггүй) ойлгох нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд цөөн хэдэн энгийн ойлголтуудыг шинжилдэг.
Математик тооны дараалал
Тоон дарааллыг ихэвчлэн тоонуудын цуваа гэж нэрлэдэг бөгөөд тус бүр нь өөрийн гэсэн дугаартай байдаг.
a 1 нь дарааллын эхний гишүүн юм;
ба 2 нь дарааллын хоёр дахь гишүүн юм;
ба 7 нь дарааллын долоо дахь гишүүн юм;
ба n нь дарааллын n дэх гишүүн;
Гэсэн хэдий ч дур зоргоороо тогтсон тоо, тоо биднийг сонирхдоггүй. Бид n-р гишүүний утга нь түүний эрэмбийн тоотой математикийн хувьд тодорхой томьёолж болох хамаарлаар холбогдох тоон дараалалд анхаарлаа хандуулах болно. Өөрөөр хэлбэл: n-р тооны тоон утга нь n-ийн зарим функц юм.
a нь тоон дарааллын гишүүний утга;
n нь түүний серийн дугаар;
f(n) нь функц бөгөөд n тоон дарааллын дарааллын тоо нь аргумент юм.
Тодорхойлолт
Арифметик прогрессийг ихэвчлэн дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор их (бага) байх тоон дараалал гэж нэрлэдэг. Арифметик дарааллын n-р гишүүний томъёо дараах байдалтай байна.
a n - арифметик прогрессийн одоогийн гишүүний утга;
a n+1 - дараагийн тооны томъёо;
d - ялгаа (тодорхой тоо).
Хэрэв зөрүү эерэг (d>0) байвал авч үзэж буй цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байх ба ийм арифметик прогресс нэмэгдэхийг тодорхойлоход хялбар байдаг.
Доорх графикаас тооны дарааллыг яагаад "өсгөх" гэж нэрлэснийг ойлгоход хялбар байдаг.
Зөрүү сөрөг гарсан тохиолдолд (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Заасан гишүүний үнэ цэнэ
Заримдаа арифметик прогрессийн дурын a n гишүүний утгыг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Үүнийг арифметик прогрессийн бүх гишүүдийн утгыг эхнийхээс хүссэн хүртэл нь дараалан тооцоолох замаар хийж болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, таван мянга, найман сая дахь нэр томъёоны утгыг олох шаардлагатай бол энэ замыг үргэлж хүлээн зөвшөөрдөггүй. Уламжлалт тооцоо хийхэд маш их цаг хугацаа шаардагдана. Гэхдээ тодорхой арифметик прогрессийг тодорхой томъёогоор судалж болно. Мөн n-р гишүүний томьёо байдаг: арифметик прогрессийн аль ч гишүүний утгыг прогрессийн эхний гишүүний нийлбэр, хүссэн гишүүний тоогоор үржүүлж, бууруулсан прогрессийн зөрүүгээр тодорхойлж болно. нэг.
Томъёо нь ахиц дэвшлийг нэмэгдүүлэх, бууруулахад түгээмэл байдаг.
Өгөгдсөн нэр томъёоны утгыг тооцоолох жишээ
Арифметик прогрессийн n-р гишүүний утгыг олох дараах бодлогыг бодъё.
Нөхцөл: параметртэй арифметик прогресс байна:
Дарааллын эхний гишүүн нь 3;
Тооны цувааны зөрүү 1.2 байна.
Даалгавар: та 214 нэр томъёоны утгыг олох хэрэгтэй
Шийдэл: Өгөгдсөн нэр томъёоны утгыг тодорхойлохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.
a(n) = a1 + d(n-1)
Асуудлын мэдэгдлийн өгөгдлийг илэрхийлэлд орлуулснаар бид дараах байдалтай байна.
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
Хариулт: Дарааллын 214 дэх гишүүн нь 258.6-тай тэнцүү.
Тооцооллын энэ аргын давуу тал нь тодорхой юм - бүх шийдэл нь 2-оос илүүгүй мөр авдаг.
Өгөгдсөн тооны нэр томъёоны нийлбэр
Ихэнх тохиолдолд өгөгдсөн арифметик цувралд түүний зарим сегментийн утгын нийлбэрийг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Үүнийг хийхийн тулд нэр томъёо бүрийн утгыг тооцоолж, дараа нь нэмэх шаардлагагүй. Хэрэв нийлбэрийг нь олох шаардлагатай нэр томъёоны тоо бага байвал энэ аргыг хэрэглэнэ. Бусад тохиолдолд дараах томъёог ашиглах нь илүү тохиромжтой.
1-ээс n хүртэлх арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэр нь эхний болон n-р гишүүний нийлбэрийг n гишүүний тоогоор үржүүлж, хоёрт хуваасантай тэнцүү байна. Хэрэв томьёоны n-р гишүүний утгыг өгүүллийн өмнөх догол мөрийн илэрхийллээр сольсон бол бид дараахь зүйлийг авна.
Тооцооллын жишээ
Жишээлбэл, дараах нөхцлөөр асуудлыг шийдье.
Дарааллын эхний гишүүн нь тэг;
Энэ ялгаа нь 0.5 байна.
Асуудал нь 56-аас 101 хүртэлх цувралын нөхцлийн нийлбэрийг тодорхойлохыг шаарддаг.
Шийдэл. Прогрессийн хэмжээг тодорхойлох томъёог ашиглацгаая.
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Нэгдүгээрт, бид асуудлынхаа өгөгдсөн нөхцөлийг томъёонд орлуулах замаар прогрессийн 101 гишүүний утгын нийлбэрийг тодорхойлно.
s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
Мэдээжийн хэрэг, 56-аас 101 хүртэлх прогрессийн нөхцлийн нийлбэрийг олохын тулд S 101-ээс S 55-ыг хасах шаардлагатай.
s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5
Тиймээс, энэ жишээний арифметик прогрессийн нийлбэр нь:
s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5
Арифметик прогрессийн практик хэрэглээний жишээ
Өгүүллийн төгсгөлд эхний догол мөрөнд өгөгдсөн арифметик дарааллын жишээ рүү буцъя - таксиметр (таксины машины тоолуур). Энэ жишээг авч үзье.
Таксинд суух (3 км замыг багтаасан) 50 рубль болно. Дараагийн км тутамд 22 рубль / км-ийн төлбөр төлдөг. Аяллын зай 30 км. Аяллын зардлыг тооцоол.
1. Буух зардалд үнэ нь багтсан эхний 3 км-ыг хасъя.
30 - 3 = 27 км.
2. Цаашид тооцоо хийх нь арифметик тооны цувааг задлан шинжлэхээс өөр зүйл биш юм.
Гишүүний дугаар - аялсан километрийн тоо (эхний гурвыг хассан).
Гишүүний үнэ цэнэ нь нийлбэр юм.
Энэ асуудлын эхний нэр томъёо нь 1 = 50 рубльтэй тэнцүү байх болно.
Прогрессийн зөрүү d = 22 r.
бидний сонирхож буй тоо бол арифметик прогрессийн (27+1)-р гишүүний утга - 27-р километрийн төгсгөлд тоолуурын заалт 27.999... = 28 км.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Дурын урт хугацааны хуанлийн өгөгдлийн тооцоолол нь тодорхой тоон дарааллыг дүрсэлсэн томъёонд суурилдаг. Одон орон судлалд тойрог замын урт нь геометрийн хувьд селестиелийн од хүртэлх зайнаас хамаардаг. Үүнээс гадна янз бүрийн тооны цувралуудыг статистик болон математикийн бусад хэрэглээний салбарт амжилттай ашиглаж байна.
Тоон дарааллын өөр нэг төрөл нь геометр юм
Геометрийн прогресс нь арифметик прогресстой харьцуулахад илүү их өөрчлөлтийн хурдаар тодорхойлогддог. Улс төр, социологи, анагаах ухаанд тодорхой үзэгдлийн тархалтын өндөр хурдыг харуулахын тулд жишээлбэл, тахал өвчний үед энэ үйл явц геометрийн прогрессоор хөгждөг гэж хэлдэг нь санамсаргүй хэрэг биш юм.
Геометрийн тооны цувралын N-р гишүүн нь өмнөхөөсөө ялгаатай бөгөөд үүнийг зарим тогтмол тоогоор үржүүлдэг - хуваагч, жишээлбэл, эхний гишүүн нь 1, хуваагч нь 2-той тэнцүү байна, тэгвэл:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - геометр прогрессийн одоогийн гишүүний утга;
b n+1 - геометр прогрессийн дараагийн гишүүний томъёо;
q нь геометр прогрессийн хуваагч (тогтмол тоо).
Хэрэв арифметик прогрессийн график шулуун шугам байвал геометр прогресс нь арай өөр зургийг зурна.
Арифметикийн нэгэн адил геометр прогресс нь дурын гишүүний утгын томъёотой байдаг. Геометр прогрессийн дурын n-р гишүүн нь эхний гишүүний үржвэр ба n-ийн зэрэглэлийн прогрессийн хуваагчийг нэгээр багасгасантай тэнцүү байна.
Жишээ. Бидэнд эхний гишүүн нь 3-тай тэнцүү, прогрессийн хуваагч нь 1.5-тай тэнцүү геометр прогресс байна. Прогрессийн 5-р гишүүнийг олъё
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875
Өгөгдсөн тооны нэр томъёоны нийлбэрийг мөн тусгай томъёогоор тооцоолно. Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр нь прогрессийн n-р гишүүн ба хуваагч ба прогрессийн эхний гишүүний үржвэрийн зөрүүг нэгээр бууруулсан хуваалттай тэнцүү байна.
Хэрэв b n-ийг дээр дурдсан томъёогоор сольсон бол авч үзэж буй тооны цувралын эхний n гишүүний нийлбэрийн утга дараах хэлбэртэй болно.
Жишээ. Геометр прогресс нь 1-тэй тэнцэх эхний гишүүнээс эхэлнэ. Хусагч нь 3-тай тэнцүү байна. Эхний найман гишүүний нийлбэрийг олъё.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
