Комплекс тооны алгебр ба тригонометрийн хэлбэр. "Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр" сэдэвт лекц.

Лекц

Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

Төлөвлөгөө

1.Комплекс тооны геометрийн дүрслэл.

2.Комплекс тооны тригонометрийн тэмдэглэгээ.

3. Тригонометрийн хэлбэрийн комплекс тоон дээрх үйлдлүүд.

Комплекс тоонуудын геометрийн дүрслэл.

a) Дараах дүрмийн дагуу нийлмэл тоонуудыг хавтгайн цэгүүдээр илэрхийлнэ. а + би = М ( а ; б ) (Зураг 1).

Зураг 1

б) Цогцолбор тоог тухайн цэгээс эхэлсэн вектороор илэрхийлж болноТУХАЙ ба өгөгдсөн цэг дээр дуусна (Зураг 2).

Зураг 2

Жишээ 7. Комплекс тоонуудыг дүрсэлсэн цэгүүд:1; - би ; - 1 + би ; 2 – 3 би (Зураг 3).

Зураг 3

Комплекс тоонуудын тригонометрийн тэмдэглэгээ.

Цогцолбор тооz = а + би радиус - векторыг ашиглан тохируулж болно координатуудтай( а ; б ) (Зураг 4).

Зураг 4

Тодорхойлолт . Вектор урт нийлмэл тоог илэрхийлдэгz , энэ тооны модуль гэж нэрлэгддэг ба тэмдэглэсэн байна эсвэлr .

Аливаа комплекс тооны хувьдz түүний модульr = | z | томъёогоор өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог .

Тодорхойлолт . Бодит тэнхлэгийн эерэг чиглэл ба векторын хоорондох өнцгийн утга нийлмэл тоог илэрхийлэхийг энэ цогцолбор тооны аргумент гэж нэрлээд тэмдэглэнэА rg z эсвэлφ .

Цогцолбор тооны аргументz = 0 тодорхойлогдсон. Цогцолбор тооны аргументz≠ 0 нь олон утгатай хэмжигдэхүүн бөгөөд тухайн нэр томъёо хүртэл тодорхойлогддог2πк (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Арг z = arg z + 2πк , Хаанаarg z - интервалд хавсаргасан аргументийн үндсэн утга(-π; π] , тэр бол-π < arg z ≤ π (заримдаа интервалд хамаарах утгыг аргументийн үндсэн утга болгон авдаг .

Энэ томъёо ньr =1 ихэвчлэн Де Мойврын томъёо гэж нэрлэдэг:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Жишээ 11 Тооцоо(1 + би ) 100 .

Комплекс тоо бичье1 + би тригонометрийн хэлбэрээр.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + би нүгэл үйлддэг )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + би нүгэл үйлддэг 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Комплекс тооны квадрат язгуурыг гаргаж авах.

Комплекс тооны квадрат язгуурыг гаргаж авахдааа + би бидэнд хоёр тохиолдол байна:

Хэрэвб > тухай , Тэр ;

Алгебрийн хэлбэрээр бичсэн комплекс тоон дээрх үйлдлүүд

z = комплекс тооны алгебрийн хэлбэр(а,б) хэлбэрийн алгебр илэрхийлэл гэж нэрлэдэг

z = а + би.

Комплекс тоон дээрх арифметик үйлдлүүд z 1 = a 1 +б 1 биТэгээд z 2 = a 2 +б 2 би, алгебрийн хэлбэрээр бичсэнийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.

1. Комплекс тоонуудын нийлбэр (ялгаа).

z 1 ±z 2 = (а 1 ± a 2) + (б 1 ±б 2)∙i,

тэдгээр. нэмэх (хасах) нь ижил төстэй гишүүдийн бууралт бүхий олон гишүүнтүүдийг нэмэх дүрмийн дагуу хийгддэг.

2. Комплекс тоонуудын үржвэр

z 1 ∙z 2 = (а 1 ∙а 2 -б 1 ∙б 2) + (а 1 ∙б 2 + a 2 ∙б 1)∙i,

тэдгээр. үржүүлэх нь олон гишүүнтийг үржүүлэх ердийн дүрмийн дагуу хийгддэг бөгөөд үүнийг харгалзан үздэг. би 2 = 1.

3. Хоёр нийлмэл тоог хуваахыг дараах дүрмийн дагуу гүйцэтгэнэ.

, (z 2 ≠ 0),

тэдгээр. хуваах нь ногдол ашиг ба хуваагчийг хуваагчийн нэгдэлээр үржүүлэх замаар хийгддэг.

Комплекс тоонуудын экспонентацийг дараах байдлаар тодорхойлно.

Үүнийг харуулах нь амархан

Жишээ.

1. Комплекс тоонуудын нийлбэрийг ол z 1 = 2 – биТэгээд z 2 = – 4 + 3би.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3би) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) би = –2+2би.

2. Комплекс тооны үржвэрийг ол z 1 = 2 – 3биТэгээд z 2 = –4 + 5би.

= (2 – 3би) ∙ (–4 + 5би) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3би)+ 2∙5би– 3би∙ 5би = 7+22би.

3. Хувийн мэдээллийг олох zхуваалтаас z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – би.

z= .

4. Тэгшитгэлийг шийд:, xТэгээд y Î Р.

(2x+y) + (x+y)би = 2 + 3би.

Комплекс тоонуудын тэгш байдлын ачаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

хаана x=–1 , y= 4.

5. Тооцоол: би 2 ,би 3 ,би 4 ,би 5 ,би 6 ,би -1 , би -2 .

6. Хэрэв .

.

7. Тооны эсрэг тоог тооцоол z=3-и.

Тригонометрийн хэлбэрийн нийлмэл тоо

нарийн төвөгтэй хавтгайДекарт координаттай хавтгай гэж нэрлэдэг ( x, y), хэрэв цэг бүр координаттай ( а, б)-д нийлмэл тоо өгөгдсөн z = a + bi. Энэ тохиолдолд абсцисса тэнхлэг гэж нэрлэдэг бодит тэнхлэг, мөн у тэнхлэг нь байна төсөөлөлтэй. Дараа нь нийлмэл тоо бүр a+biгеометрийн хувьд хавтгай дээр цэг хэлбэрээр дүрслэгдсэн А (а, б) эсвэл вектор.

Тиймээс цэгийн байрлал А(тиймээс комплекс тоо z) векторын уртаар тохируулж болно | | = rболон өнцөг j| вектороор үүсгэгддэг | бодит тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй. Векторын уртыг нэрлэдэг комплекс тооны модульба | гэж тэмдэглэнэ z|=r, болон өнцөг jдуудсан комплекс тооны аргументболон тэмдэглэсэн j = argz.

Энэ нь тодорхой байна | z| ³ 0 ба | z | = 0 Û z= 0.

Зураг дээрээс. 2 гэдгийг харуулж байна.

Комплекс тооны аргумент нь хоёрдмол утгатай бөгөөд 2 хүртэл тодорхойлогддог pk,kÎ З.

Зураг дээрээс. 2 нь мөн хэрэв бол гэдгийг харуулж байна z=a+biТэгээд j=argz,Тэр

cos j =, нүгэл j =, төг j =.

Хэрэв зОРТэгээд z >тэгвэл 0 argz = 0 +2pk;

Хэрэв z ОРТэгээд z< тэгвэл 0 argz = p + 2pk;

Хэрэв z= 0,argzтодорхойлогдсон.

Аргументийн үндсэн утгыг 0 интервал дээр тодорхойлно £argz£2 p,

эсвэл -х£ arg z £ х.

Жишээ нь:

1. Комплекс тооны модулийг ол z 1 = 4 – 3биТэгээд z 2 = –2–2би.

2. Нөхцөлөөр тогтоосон талбайг цогц хавтгайд тодорхойлно.

1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+би) | £3; 4) £6 | z – би| £7.

Шийдэл ба хариултууд:

1) | z| = 5 Û Û нь 5 радиустай, эх цэг дээр төвлөрсөн тойргийн тэгшитгэл юм.

2) Гарал үүсэл дээр төвлөрсөн 6 радиустай тойрог.

3) Нэг цэг дээр төвлөрсөн 3 радиустай тойрог z0 = 2 + би.

4) Нэг цэг дээр төвлөрсөн 6 ба 7 радиустай тойргоор хүрээлэгдсэн цагираг z 0 = би.

3. Тоонуудын модуль ба аргументыг ол: 1) ; 2).

1) ; А = 1, б = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2би; a =–2, b=-2 Þ ,

.

Анхаар: Үндсэн аргументыг тодорхойлохдоо нарийн төвөгтэй хавтгайг ашиглана.

Тиймээс: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 =, .

3) , r 3 = 1, j 3 =, .

4) , r 4 = 1, j4 =, .

Хавтгай дээрх цэгийн байрлалыг тодорхойлохын тулд туйлын координатыг ашиглаж болно [g, (p), Хаана Гнь цэгийн эхлэлээс зай, ба (Р- радиусын үүсгэдэг өнцөг - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ цэгийн вектор Өө.Өнцгийн өөрчлөлтийн эерэг чиглэл (Рцагийн зүүний эсрэг чиглэлийг авч үзнэ. Декарт ба туйлын координатуудын хоорондын хамаарлыг ашиглан: x \u003d r cos cf, y \u003d r нүгэл (х,

Бид цогцолбор тооны тригонометрийн хэлбэрийг олж авдаг

z - r(нүгэл (p + i нүгэл

Хаана Г

Xi + y2, (p нь нийлмэл тооны аргумент бөгөөд үүнийг олдог

л X . y y

томъёо cos(p --, sin^9  = - эсвэл үүнээс үүдэлтэй тг(p --, (p-arctg

Утгыг сонгохдоо үүнийг анхаарна уу Лхагвасүүлчийн тэгшитгэлээс шинж тэмдгүүдийг харгалзан үзэх шаардлагатай x ба у.

Жишээ 47. Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр бич 2 \u003d -1 + л / Z / .

Шийдэл. Комплекс тооны модуль ба аргументыг ол:

= yj 1 + 3 = 2 . Булан Лхагвахарилцаанаас олох cos(х = -, нүгэл(p = - .Дараа нь

бид авдаг cos(p = -, суп

u/z g~

• - -. z = -1 + V3-/ цэг нь ойлгомжтой
• 2 руу 3

хоёрдугаар улиралд: (Р= 120°

Орлуулах

2 к.. cos-h; нүгэл

(1) томъёонд 27G L олсон

Сэтгэгдэл. Комплекс тооны аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддоггүй, харин үржвэр болох нэр томъёо хүртэл байдаг 2х.Дараа нь дамжин cn^rтомилох

дотор хавсаргасан аргументын утга (х 0 %2 Дараа нь

A) ^ r = + 2kk.

Сайн мэдэх Эйлерийн томъёог ашиглан e, бид цогцолбор тооны экспоненциал хэлбэрийг олж авдаг.

Бидэнд байгаа r = r(co^(p + i?, n(p)=re,

Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд

• 1. Хоёр комплекс тооны нийлбэр r, = X] + у х/ ба r 2 - x 2 + y 2 / r томъёоны дагуу тодорхойлогдоно! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' g
• 2. Комплекс тоог хасах үйлдлийг нэмэхийн эсрэг үйлдлээр тодорхойлно. Цогцолбор тоо g \u003d g x - g 2,Хэрэв g 2 + g \u003d g x,

нь нийлмэл тоонуудын ялгаа 2, ба g 2.Дараа нь r = (x, - x 2) + (y, - цагт 2) /.

• 3. Хоёр комплекс тооны үржвэр g x= x, +y, -z ба 2 2 = x 2+ U2‘ g томъёогоор тодорхойлогдоно
• *1*2 =(* +У"0 (X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 + x Y2 " * + At1 At2 " ^ =

\u003d (xx 2 ~ YY 2) + ( X Y2 + X 2Y) - "-

Тухайлбал, y-y\u003d (x + y-g) (x-y /) \u003d x 2 + y 2.

Та комплекс тоонуудын үржүүлэх томъёог экспоненциал болон тригонометрийн хэлбэрээр авах боломжтой. Бидэнд байгаа:

• 1^ 2 - r x e 1 = )Г 2 e > = Г]Г 2 cOs((P + cp 2) + isin
• 4. Комплекс тоог хуваахыг урвуу үйлдэл гэж тодорхойлно

үржүүлэх, өөрөөр хэлбэл. тоо G-- r-ийн хуваагдлын коэффициент гэж нэрлэдэг! g 2 дээр,

Хэрэв r x -1 2 ? 2 . Дараа нь

X + Ті _ (*і + ІU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 (2 + ^Y 2)( 2 ~ 1 Y 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x, y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 д

би (р г

• - 1U e "(1 Fg) - I.sOї ((P - cf 1) + I- (Р-,)] >2 >2
• 5. Комплекс тоог эерэг бүхэл тоо болгон өсгөх нь тухайн тоог экспоненциал эсвэл тригонометрийн хэлбэрээр бичсэн тохиолдолд хамгийн тохиромжтой.

Үнэхээр, хэрэв z = ge 1 дараа нь

=(гэ,) = r p e t = G"(co8 psr + іt gcr).

Формула g" =r n (cosn(p+бол n(p))Де Мойврын томъёо гэж нэрлэдэг.

6. Үндэсийг задлах P-Комплекс тооны 0-р зэрэглэлийг экспонентацийн урвуу үйлдэл гэж тодорхойлно p, p- 1,2,3,... өөрөөр хэлбэл. нийлмэл тоо = y[gүндэс гэж нэрлэдэг P-нийлмэл тооны р зэрэг

d бол Г = g x. Энэ тодорхойлолтоос ийм зүйл гарч байна g - g ", А g x= л/г. (p-psr x,А sr^-sr/n, энэ нь = r/*+ тоонд зориулж бичсэн Мойврийн томьёог дагаж гардаг ippp(p).

Дээр дурьдсанчлан, нийлмэл тооны аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддоггүй, харин 2-ын үржвэр болох нэр томъёо хүртэл байдаг. болон.Тийм ч учраас = (p + 2pc, мөн r тооны аргументаас хамааран руу,тэмдэглэнэ (х хүртэлмөн боо

томъёогоор тооцоолно (х хүртэл= - + . Байгаа нь ойлгомжтой П com-

plex тоо, Пр зэрэг нь 2 тоотой тэнцүү. Эдгээр тоонууд нэгтэй

ба ижил модуль, тэнцүү байна y[r,ба эдгээр тоонуудын аргументуудыг олж авна руу = 0, 1, P - 1. Тиймээс тригонометрийн хэлбэрээр i-р зэргийн язгуурыг дараах томъёогоор тооцоолно.

(p + 2kp . . cf + 2kp

, руу = 0, 1, 77-1,

.(r+2ктг

ба экспоненциал хэлбэрээр - томъёоны дагуу l[r - y[ge n

Жишээ 48. Комплекс тоон дээр үйлдлүүдийг алгебрийн хэлбэрээр гүйцэтгэнэ:

a) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

• (1 - /л/2) 3 (с + /) \u003d (1 - Zl / 2 / + 6/2 - 2 л / 2 / ? 3) (3 + /) \u003d
• (1 - Зл/2/ - 6 + 2л/2/ДЗ + /)=(- 5 - л/2/ДЗ + /) =

15-Зл/2/-5/-л/2/ 2 = -15 - Зл/2/-5/+ л/2 = (-15 + л/2)-(5 + Зл/2)/;

Жишээ 49. r \u003d Uz - / тоог тав дахь зэрэгт өсгө.

Шийдэл. Бид r тоог бичих тригонометрийн хэлбэрийг авдаг.

G =л/3 + 1 =2, CO8 (p --, 5ІІ7 (Р =

• (1 - 2/X2 + /)
• (s-,)

O - 2.-x2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (тийм болохоор

З/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) 'з+/
• 9 + 1 с_±.
• 5 2 1 "

Эндээс О--, А r = 2

Бид дараах зүйлийг авна. i-2

/ ^ _ 7r, . ?Г

• -АНУ-- IBIP -

• --b/-

\u003d - (l / W + g) \u003d -2.

Жишээ 50 Бүх утгыг ол

Шийдэл, r = 2, a Лхагватэгшитгэлээс ол coy(p = -, zt--.

Энэ цэг 1 - / d/z дөрөвдүгээр улиралд, i.e. f =--. Дараа нь

• 1 - 2
• ( (УГ Л

Үндсэн утгыг илэрхийллээс олно

V1 - /л/с = л/2

• --+ 2А:/г ---b 2 кк
• 3 . . 3

С08--1- ба 81П-

At - 0 бидэнд 2 0 = л/2 байна

Та 2-ын язгуурын утгыг дэлгэцэн дээрх тоог харуулах замаар олох боломжтой

-* TO/ 3 + 2 анги

At руу= 1 бидэнд өөр нэг үндсэн утга байна:

• 7G. 7G_
• ---b27g ---b2;g
• 3 . . h

7G . . 7G L-C05- + 181P - 6 6

• --N-

хамт? - 7G + / 5Sh - Би "

л/3__т_

биеийн хэлбэр. Учир нь r= 2, а Лхагва= , дараа нь r = 2е 3 , ба y[g = y/2e 2