Бүтээгдэхүүний нийлбэр ба санамсаргүй үйл явдлын зөрүү. Магадлалын онолын танилцуулга

Тодорхойлолт 1. Тэд зарим туршлагаар үйл явдал гэж хэлдэг А агуулдагүйл явдлын харагдах байдлын ард IN, хэрэв үйл явдал тохиолдсон үед Аүйл явдал ирж байна IN. Энэ тодорхойлолтын тэмдэглэгээ А Ì IN. Энгийн үйл явдлын хувьд энэ нь анхан шатны үйл явдал бүрийг багтаасан гэсэн үг юм А, мөн багтсан болно IN.

Тодорхойлолт 2. Үйл явдал АТэгээд INтэнцүү буюу эквивалент гэж нэрлэдэг (тэмдэглэсэн А= IN), Хэрэв А Ì INТэгээд INÌ A, i.e. АТэгээд INижил энгийн үйл явдлуудаас бүрдэнэ.

Найдвартай үйл явдалтэврэх Ω олонлогоор, боломжгүй үйл явдлыг Æ хоосон дэд олонлогоор илэрхийлнэ. Үйл явдлын үл нийцэх байдал АТэгээд INхаргалзах дэд олонлогууд гэсэн үг АТэгээд INогтолж болохгүй: А∩IN = Æ.

Тодорхойлолт 3. Хоёр үйл явдлын нийлбэр АТэгээд IN(тэмдэглэсэн ХАМТ= А + IN) үйл явдал гэж нэрлэдэг ХАМТ, бүрдэнэ ядаж ирдэгүйл явдлын нэг Аэсвэл IN(тоогийн "эсвэл" холбоос нь түлхүүр үг юм), i.e. ирдэг эсвэл А, эсвэл IN, эсвэл АТэгээд INхамтдаа.

Жишээ. Хоёр буудагч нэгэн зэрэг бай руу буудаж байг, үйл явдал А 1-р мэргэн буудагч зорилтот онох явдал, үйл явдал бүрддэг Б– 2-р буудагч байг оносон. Үйл явдал А+ БЭнэ нь бай оносон, өөрөөр хэлбэл бууддаг хүмүүсийн нэг нь (1-р буудагч эсвэл 2-р буудагч, эсвэл хоёуланг нь) байг оносон гэсэн үг.

Үүнтэй адилаар хязгаарлагдмал тооны үйл явдлын нийлбэр А 1 , А 2 , …, А n (тэмдэглэсэн А= А 1 + А 2 + … + А n) үйл явдлыг дуудаж байна А, бүрдэнэ дор хаяж нэг тохиолдохүйл явдлуудаас Аби ( би = 1, … , n), эсвэл дурын цуглуулга Аби ( би = 1, 2, … , n).

Жишээ. Үйл явдлын нийлбэр A, B, Cдараах үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолдсоноос бүрдсэн үйл явдал юм. А, B, C, АТэгээд IN, АТэгээд ХАМТ, INТэгээд ХАМТ, АТэгээд INТэгээд ХАМТ, Аэсвэл IN, Аэсвэл ХАМТ, INэсвэл ХАМТ,Аэсвэл INэсвэл ХАМТ.

Тодорхойлолт 4. Хоёр үйл явдлын бүтээгдэхүүн АТэгээд INүйл явдал гэж нэрлэдэг ХАМТ(тэмдэглэсэн ХАМТ = A ∙ B), туршилтын үр дүнд үйл явдал бас тохиолдсоноос бүрддэг А,болон үйл явдал INнэгэн зэрэг. (Үйл явдал үүсгэх "ба" холбоос нь түлхүүр үг юм).

Хязгаарлагдмал тооны үйл явдлын үржвэртэй төстэй А 1 , А 2 , …, А n (тэмдэглэсэн А = А 1 ∙А 2 ∙…∙ А n) үйл явдлыг дуудаж байна А, туршилтын үр дүнд заасан бүх үйл явдал тохиолдсоноос бүрддэг.

Жишээ. Хэрэв үйл явдлууд А, IN, ХАМТЭхний, хоёр, гурав дахь шүүх хуралдаанд тус тус "сүлд" гарч ирсэн, дараа нь үйл явдал А× IN× ХАМТГурван шүүх хуралд “сүлд” дусал бий.

Тайлбар 1. Тохиромжгүй үйл явдлын хувьд АТэгээд INтэгш байдал үнэн A ∙ B= Æ, энд Æ нь боломжгүй үйл явдал юм.

Тайлбар 2. Үйл явдал А 1 , А 2, … , А n хэрэв .

Тодорхойлолт 5. Эсрэг үйл явдлуудБүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг хосгүй боломжтой үл нийцэх хоёр үйл явдал гэж нэрлэдэг. Үйл явдлын эсрэг үйл явдал А,гэж тэмдэглэсэн. Үйл явдлын эсрэг үйл явдал А, арга хэмжээний нэмэлт юм Атогтоосон Ом хүртэл.

Эсрэг үйл явдлын хувьд хоёр нөхцөл нэгэн зэрэг хангагдана A∙= Æ ба A+= Ω.

Тодорхойлолт 6. Ялгаагаарүйл явдал АТэгээд IN(тэмдэглэсэн А– IN) үйл явдал болохоос бүрдсэн үйл явдал гэж нэрлэдэг Аирэх ба үйл явдал IN -үгүй бөгөөд энэ нь тэнцүү байна А– IN= А× .

Энэ үйл явдлуудыг анхаарна уу A + B, A ∙ B, , А - БЭйлер-Венн диаграммыг ашиглан графикаар тайлбарлахад тохиромжтой (Зураг 1.1).

Жишээг ингэж томъёолъё: туршлагаа үзье ГΩ хэсэгт санамсаргүй байдлаар буудахаас бүрдэх ба тэдгээрийн цэгүүд нь ω элементар үйл явдал юм. Ω бүсэд орох нь найдвартай үйл явдал болох Ω, бүс рүү орохыг зөвшөөрөх АТэгээд IN- тус тусын үйл явдал АТэгээд IN. Дараа нь үйл явдлууд A+B(эсвэл АÈ IN- гэрэл Зураг дээрх талбай), A ∙ B(эсвэл АÇ IN -төвд байрлах газар), А - Б(эсвэл А\IN -хөнгөн дэд бүсүүд) Зураг дээрх дөрвөн зурагтай тохирно. 1.1. Өмнөх жишээний нөхцөлд хоёр буудагч бай руу буудаж байгаа бол үйл явдлын бүтээгдэхүүн АТэгээд INарга хэмжээ болно C = AÇ IN, байг хоёр сумаар онохоос бүрдэнэ.

Тайлбар 3. Хэрэв үйл явдал дээрх үйлдлүүдийг олонлог дээр үйлдлээр, үйл явдлуудыг зарим Ω олонлогийн дэд олонлогоор дүрсэлсэн бол үйл явдлын нийлбэр болно. A+Bхолбоонд таарч байна АÈ INэдгээр дэд олонлогууд болон үйл явдлын бүтээгдэхүүн A ∙ B- уулзвар А∩INэдгээр дэд олонлогууд.

Тиймээс үйл явдал дээрх үйлдлүүд нь олонлог дээрх үйлдлүүдтэй холбоотой байж болно. Энэ захидал харилцааг хүснэгтэд үзүүлэв. 1.1

Хүснэгт 1.1

Үйл явдал дээрх үйлдлүүд нь дараахь шинж чанартай байдаг.

A + B = B + A, A ∙ B = B ∙ A(шилждэг);

(A + B) ∙ C = A× C + B× C, A ∙ B + C =(A+C) × ( B + C) (тараах);

(A + B) + ХАМТ = А + (B + C), (A ∙ B) ∙ ХАМТ= А ∙ (B ∙ C) (холбоо);

A + A = A, A ∙ A = A;

А + Ω = Ω, А∙ Ω = А;

Бодит туршлагын (туршилт) үр дүн нь нэг буюу хэд хэдэн бие биенээ үгүйсгэсэн үр дүн байж болно гэж бид таамаглах болно; Эдгээр үр дүн нь салшгүй бөгөөд бие биенээ үгүйсгэдэг. Энэ тохиолдолд туршилтыг зөвхөн нэгээр дуусгана гэж хэлдэг анхан шатны үр дүн.

Үүний үр дүнд болж буй бүх энгийн үйл явдлуудын багц Санамсаргүйтуршилт, бид үүнийг нэрлэх болно анхан шатны үйл явдлын орон зайВ (анхны үйл явдал нь үндсэн үр дүнтэй тохирч байна).

Санамсаргүй үйл явдлууд(үйл явдлууд), бид анхан шатны үйл явдлын орон зайн дэд олонлогуудыг W гэж нэрлэх болно.

Жишээ 1.Зоосоо нэг удаа эргүүлцгээе. Зоос дээш тоогоор - энгийн үзэгдэл w c (эсвэл w 1) эсвэл сүлдтэй - w Г (эсвэл w 2) -аар унаж болно. W элементар үйл явдлын харгалзах орон зай нь хоёр үндсэн үйл явдлаас бүрдэнэ.

W = (w c,w Г) эсвэл W = (w 1,w 2).

Жишээ 2. Бид нэг удаа шоо шиддэг. Энэ туршилтанд энгийн үзэгдлийн орон зай W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), энд w би- сургуулиа орхих бионоо. Үйл явдал А- тэгш тооны оноо авах, А= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), АВ.

Жишээ 3. Цэгийг сегмент дээр санамсаргүй байдлаар (санамсаргүй байдлаар) байрлуулсан. Сегментийн зүүн төгсгөлөөс цэгийн зайг хэмжинэ. Энэ туршилтанд энгийн үзэгдлийн орон зай W = нь нэгж сегмент дээрх бодит тоонуудын олонлог юм.

Илүү нарийн, албан ёсны хэллэгээр, анхан шатны үйл явдлууд болон энгийн үйл явдлын орон зайг дараах байдлаар дүрсэлдэг.

Энгийн үйл явдлын орон зай нь дурын олонлог W, W =(w) юм. Энэ W олонлогийн w элементүүдийг дуудна энгийн үйл явдлууд .

Үзэл баримтлал анхан шатны үйл явдал, үйл явдал, анхан шатны үйл явдлын орон зай, магадлалын онолын анхны ойлголтууд юм. Энгийн үйл явдлын орон зайн талаар илүү тодорхой тайлбар өгөх боломжгүй юм. Бодит загвар бүрийг тайлбарлахын тулд харгалзах W зайг сонгоно.

W үйл явдал гэж нэрлэдэг найдвартайүйл явдал.

Туршилтын үр дүнд найдвартай үйл явдал тохиолдохгүй байх боломжгүй; үргэлж тохиолддог.

Жишээ 4. Бид нэг удаа шоо шиддэг. Найдвартай үйл явдал бол өнхрүүлсэн онооны тоо нэгээс багагүй, зургаагаас ихгүй байна, i.e. W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), энд w би- сургуулиа орхих бионоо, найдвартай үйл явдал юм.

Боломжгүй үйл явдал бол хоосон багц юм.

Туршилтын үр дүнд боломжгүй үйл явдал тохиолдож болохгүй; хэзээ ч болдоггүй.

Туршилтын үр дүнд санамсаргүй үйл явдал тохиолдож болно, үгүй ​​ч байж болно, энэ нь заримдаа тохиолддог.

Жишээ 5. Бид нэг удаа шоо шиддэг. Зургаан онооноос дээш өнхрөх нь боломжгүй зүйл юм.

Үйл явдлын эсрэг Аүйл явдал болсон үйл явдал гэж нэрлэдэг АБолоогүй. , гэж тэмдэглэнэ.

Жишээ 6. Бид нэг удаа шоо шиддэг. Үйл явдал АДараа нь үйл явдал нь сондгой тооны оноо алдах явдал юм. Энд W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), энд w би- сургуулиа орхих бинүдний шил, А= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), = .

Жишээ 7. Бид нэг удаа шоо шиддэг. Үйл явдал А- тэгш тооны оноо өнхрөх, үйл явдал Б- алдсан онооны тоо хоёроос бага. Үйл явдал АБ хоёроос бага тооны цэгүүдийг өнхрүүлэхээс бүрдэнэ. Энэ боломжгүй, А= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), B=(w 1), А B =, тэдгээр. үйл явдал АТэгээд Б-нийцэхгүй.

Дүнүйл явдал АТэгээд Баль нэг үйл явдалд хамаарах бүх анхан шатны үйл явдлуудаас бүрдэх үйл явдал юм Аэсвэл Б.Томилогдсон A+ Б.

Жишээ 8. Бид нэг удаа шоо шиддэг. Энэ туршилтанд анхан шатны үйл явдлын орон зай W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), үндсэн үйл явдал w байна. би- сургуулиа орхих бионоо. Үйл явдал А- тэгш тооны оноо авах, А Б B=(w 5, w 6).

Үйл явдал A+ Б = (w 2 ,w 4 , w 5 , w 6 ) нь тэгш тооны оноо, эсвэл дөрвөөс дээш тооны оноо эргэлдсэн, i.e. үйл явдал болсон А, эсвэл үйл явдал Б.Энэ нь ойлгомжтой A+ БВ.

Ажилүйл явдал АТэгээд Бүйл явдалд нэгэн зэрэг хамаарах бүх анхан шатны үйл явдлуудаас бүрдэх үйл явдал юм АТэгээд Б.Томилогдсон AB.

Жишээ 9. Бид нэг удаа шоо шиддэг. Энэхүү туршлагад анхан шатны үйл явдлын орон зай W = ( w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), энд w энгийн үзэгдэл би- сургуулиа орхих бионоо. Үйл явдал А- тэгш тооны оноо авах, А= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), үйл явдал Б- дөрвөөс дээш тооны оноо эргэлдэж, B=(w 5, w 6).

Үйл явдал А Бтэгш тооны оноо эргэлдэж, дөрвөөс их, i.e. үйл явдал болсон ба үйл явдал хоёулаа Аболон үйл явдал Б, А Б = (w 6) А БВ.

Ялгаагаарүйл явдал АТэгээд Бхамаарах бүх анхан шатны үйл явдлуудаас бүрдэх үйл явдал юм А, гэхдээ харьяалагдахгүй Б.Томилогдсон A\B.

Жишээ 10. Бид нэг удаа шоо шиддэг. Үйл явдал А- тэгш тооны оноо авах, А= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), үйл явдал Б- дөрвөөс дээш тооны оноо эргэлдэж, B=(w 5, w 6). Үйл явдал A\ Б = (w 2 ,w 4 ) нь тэгш тооны цэгүүдийг дөрвөөс хэтрэхгүй өнхрүүлсэн, i.e. үйл явдал болсон Амөн үйл явдал болоогүй B, A\BВ.

Энэ нь ойлгомжтой

A+A=A, AA=A, .

Тэнцүү байдлыг батлахад хялбар байдаг:

, (A+B)C=AC+BC.

Үйл явдлын нийлбэр ба үржвэрийн тодорхойлолтууд нь үйл явдлын хязгааргүй дараалалд шилждэг.

, наад зах нь нэгд хамаарах энгийн үйл явдлуудаас бүрдсэн үйл явдал;

, хүн бүрт нэгэн зэрэг хамаарах энгийн үйл явдлуудаас бүрдэх үйл явдал.

W нь анхан шатны үйл явдлуудын дурын орон зай байг, ба - үүн шиг Дараахь зүйл үнэн болох санамсаргүй үйл явдлын багц: W , AB, A+B ба A\B, хэрэв A болон Б.

Үйл явдлын багц дээр тодорхойлогдсон P тоон функцийг дуудна магадлал,Хэрэв : (А) аль нэг нь 0 А-аас ; (W) = 1;

Тэд тройка гэж нэрлэдэг магадлалын орон зай.

Түүврийн орон зай дахь бүх үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.Жишээлбэл, хэрэв туршилт нь А үйл явдал = толгой, В үйл явдал = сүүлтэй зоос шидэж байгаа бол A ба B нь бүх түүврийн орон зайг илэрхийлнэ. гэсэн үг, P(A) + P(B) = 0.5 + 0.5 = 1.

Жишээ.Хоёр цэнхэр, нэг улаан үзэг агуулсан дээлний халааснаас улаан үзэг гаргах магадлалыг (энэ нь А үйл явдал юм) тооцоолохын өмнө санал болгож буй жишээнд P(A) = 1/3 ≈ 0.33, эсрэг талын магадлал. үйл явдал - цэнхэр үзэг зурах - болно

Үндсэн теорем руу шилжихийн өмнө бид үйл явдлын нийлбэр ба үржвэр гэсэн хоёр илүү төвөгтэй ойлголтыг танилцуулж байна. Эдгээр ойлголтууд нь арифметикийн нийлбэр ба үржвэрийн ердийн ойлголтуудаас ялгаатай. Магадлалын онол дахь нэмэх, үржүүлэх нь тодорхой дүрэмд захирагддаг бэлгэдлийн үйлдлүүд бөгөөд шинжлэх ухааны дүгнэлтийг логикоор бий болгоход тусалдаг.

Дүнхэд хэдэн үйл явдал бол тэдгээрийн дор хаяж нэг нь тохиолдсон үйл явдал юм. Өөрөөр хэлбэл, А ба В хоёр үйл явдлын нийлбэрийг С үйл явдал гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь А үйл явдал, эсвэл В үйл явдал, эсвэл А, В үйл явдлууд хамтдаа тохиолдохоос бүрддэг.

Жишээлбэл, хэрэв зорчигч трамвайны зогсоол дээр хоёр чиглэлийн аль нэгийг хүлээж байгаа бол эхний чиглэлд трамвай гарч ирэх (А үйл явдал), эсвэл хоёр дахь чиглэлд трамвай (B үйл явдал) гарч ирэх явдал юм. эсвэл эхний болон хоёрдугаар чиглэлд трамвайнуудын хамтарсан дүр төрх (WITH үйл явдал). Магадлалын онолын хэлээр энэ нь зорчигчдод шаардлагатай D үйл явдал нь А, В, эсвэл С үйл явдлуудаас бүрдэх бөгөөд үүнийг дараах хэлбэрээр бичнэ гэсэн үг юм.

D=A+B+C

Хоёр үйл явдлын бүтээгдэхүүнАТэгээд INүйл явдлуудын хамтарсан үйл явдлаас бүрдэх үйл явдал юм АТэгээд IN. Хэд хэдэн арга хэмжээний бүтээгдэхүүнэдгээр бүх үйл явдлын хамтарсан тохиолдлыг гэж нэрлэдэг.

Дээрх жишээнд зорчигчтой, үйл явдал ХАМТ(хоёр чиглэлд трамвайнуудын хамтарсан дүр төрх) нь хоёр үйл явдлын үр дүн юм АТэгээд IN, энэ нь дараах байдлаар тэмдэглэгдсэн байна.

Тодорхой өвчнийг тодорхойлохын тулд хоёр эмч өвчтөнд тус тусад нь үзлэг хийдэг гэж бодъё. Хяналт шалгалтын явцад дараахь үйл явдал тохиолдож болно.

Анхны эмч өвчний нээлт ( А);

Эхний эмч өвчнийг илрүүлээгүй ();

Хоёр дахь эмч өвчнийг илрүүлэх ( IN);

Хоёр дахь эмч өвчнийг илрүүлэхгүй байх ().

Шалгалтын үеэр яг нэг удаа өвчин илрэх үйл явдлыг авч үзье. Энэ үйл явдлыг хоёр аргаар хийж болно:

Өвчнийг анхны эмч илрүүлнэ ( А) мөн хоёр дахь ();

Өвчин эмгэгийг эхний эмч илрүүлэхгүй () хоёр дахь эмч () илрүүлнэ. Б).

Хэлэлцэж буй үйл явдлыг дараах байдлаар тэмдэглэж, бэлгэдлээр бичье.

Шалгалтанд хоёр удаа (эхний болон хоёр дахь эмчийн аль алинд нь) өвчнийг илрүүлэх үйл явдлыг авч үзье. Энэ үйл явдлыг тэмдэглээд: .

Эхний болон хоёр дахь эмч өвчнийг илрүүлээгүй үйл явдлыг бид тэмдэглэж бичнэ: .

Үйл явдал дээрх алгебрийн үйлдлүүд нь үйл явдалтай харьцах дүрмийг тодорхойлж, нэг үйл явдлыг нөгөөгөөр илэрхийлэх боломжийг олгодог. Үйл явдал дээрх үйлдлүүд нь зөвхөн ижил энгийн үйл явдлын орон зайн дэд олонлогуудыг төлөөлдөг үйл явдлуудад хамаарна.

Үйл явдлын үйлдлийг Венн диаграмм ашиглан дүрсэлж болно. Диаграммд үйл явдлууд нь хавтгай дээрх янз бүрийн хэсгүүдтэй тохирч, үйл явдлыг бүрдүүлдэг анхан шатны үйл явдлын дэд бүлгүүдийг тэмдэглэдэг. Тиймээс 1.1-р зурагт энгийн үзэгдлийн орон зай нь квадратын дотоод цэгүүдтэй, А үйл явдал тойргийн дотоод цэгүүдтэй, В үйл явдал гурвалжны дотоод цэгүүдтэй тохирч байна. А ба В үйл явдлууд нь анхан шатны үйл явдлуудын (А, В) орон зайн дэд олонлогууд болохыг Зураг 1.1а,б-ийн диаграммд харуулав.

А ба В үйл явдлуудын нийлбэр (нэгдэл) нь C=A+B (эсвэл C=AB) үйл явдал бөгөөд А эсвэл В үйл явдлуудын дор хаяж нэг нь бүх элементар үйл явдлуудаас бүрддэг А эсвэл В үйл явдлын дор хаяж нэг, эсвэл хоёр үйл явдалд хамаарах. Диаграммд (Зураг 1.2.) С үйл явдал нь А ба В талбайн нэгдлийг илэрхийлсэн сүүдэртэй С талбайтай тохирч байна. Үүний нэгэн адил A 1, A 2,..., A n гэсэн хэд хэдэн үйл явдлын нийлбэрийг үйл явдал гэнэ. C, наад зах нь нэг үйл явдал тохиолдохоос бүрдэх A i, i=:

Үйл явдлын нийлбэр нь A i, i=-г бүрдүүлдэг бүх энгийн үйл явдлуудыг нэгтгэдэг. Хэрэв E 1, E 2,…, E n үйл явдлууд нь бүтэн бүлгийг бүрдүүлж байвал тэдгээрийн нийлбэр нь найдвартай үйл явдалтай тэнцүү байна.

Энгийн үйл явдлын нийлбэр нь найдвартай үйл явдалтай тэнцүү байна

А ба В үзэгдлийн үржвэр (уулзвар) нь А ба В үйл явдлуудын хамт тохиолдохоос бүрдэх C=AB (эсвэл C=AB) үйл явдал юм. С үйл явдал нь А ба В аль алинд нь хамаарах тэдгээр энгийн үзэгдлүүдээс бүрдэнэ. Зураг 1.3.а-д С үйл явдлыг А ба В талбайн огтлолцолоор дүрсэлсэн. Хэрэв А ба В нь үл нийцэх үйл явдал бол тэдгээрийн үржвэр нь боломжгүй үзэгдэл, өөрөөр хэлбэл AB = (Зураг 1.3.б).

A 1, A 2,…, A n үйл явдлуудын үржвэр нь A i, i= бүх үйл явдлуудын нэгэн зэрэг биелэгдэхээс бүрдэх С үйл явдал юм.

A 1, A 2,…, A n хос үйл явдлын бүтээгдэхүүнүүд нь боломжгүй үйл явдал юм: A i A j =, дурын ij-ийн хувьд. Бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг үйл явдлын бүтээгдэхүүнүүд нь боломжгүй үйл явдал юм: E i E j =, ij, анхан шатны үйл явдлын бүтээгдэхүүнүүд нь мөн боломжгүй үйл явдал юм: ij =, ij.

А ба В үйл явдлуудын ялгааг C=A_B (C=AB) үйл явдал гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь А үйл явдал тохиолдох ба В үйл явдал үүсэхгүй байх явдал нь А-д хамаарах ба хамаарахгүй энгийн үйл явдлуудаас бүрддэг хамаарах B. Зурагт үзүүлсэн үйл явдлын ялгаа диаграмм. 1.4. Диаграмаас харахад C=A_B= байна

А үйл явдлын эсрэг үйл явдал (эсвэл түүний нэмэлт) нь А үйл явдал болоогүйгээс бүрдэх үйл явдал юм. Эсрэг үйл явдал нь А үйл явдлыг бүрэн бүлэгт нөхөж, орон зайд хамаарах, А үйл явдалд хамааралгүй тэдгээр анхан шатны үйл явдлуудаас бүрдэнэ (Зураг 1.5). Тиймээс найдвартай үйл явдал ба А үйл явдлын ялгаа нь: =_A.

Үйл явдал дээрх үйлдлүүдийн шинж чанарууд.

Шилжилтийн шинж чанар: A+B=B+A, A·B=В·A.

Хосолсон шинж чанарууд: (A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC).

Тархалтын шинж чанар: A(B+C)=AB+AC.

Үйл явдал дээрх үйлдлүүдийн тодорхойлолтоос шинж чанаруудыг дагаж мөрдөнө

A+A=A; A+=; A+=A; A·A=A; A = A; A·=

Эсрэг үйл явдлын тодорхойлолтоос харахад ийм байна

A+=; A=; =A; =; =; ;

1.4-р зураг дээрх диаграмаас харахад хамтарсан үйл явдлын ялгааны шинж чанарууд нь тодорхой байна.

Хэрэв А ба В нь үл нийцэх үйл явдал бол

Хамтарсан үйл явдлын шинж чанар нь бас тодорхой юм

Эсрэг үйл явдлын хувьд заримдаа Де Морганы дүрэм эсвэл хоёрдмол байдлын зарчим гэж нэрлэгддэг шинж чанарууд үнэн байдаг: нэгдэл ба огтлолцлын үйлдлүүд нь эсрэг үйл явдлууд руу шилжих үед байраа өөрчилдөг.

Хоёрдмол байдлын зарчмын баталгааг Венн диаграмм ашиглан графикаар эсвэл 1-6-р шинж чанарыг ашиглан аналитик аргаар олж авч болно.

Үйл явдалтай үйлдэл хийхдээ "ижил төстэй нэр томъёог багасгах" болон тоонуудын алгебр дахь хүчийг нэмэгдүүлэхтэй ижил төстэй үйлдлүүд нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Жишээлбэл, үйл явдлуудтай ажиллахдаа зөв үйлдлүүд нь:

Үйлдлүүдийг алгебрийн үйлдлүүдтэй зүйрлэн буруу хэрэглэх нь: (A+B)B=A+BB=A нь буруу үр дүнд хүргэдэг (Венн диаграммыг ашиглан шалгана уу!).

Жишээ 1.11. Өөрийгөө батлах

a) (A+C)(B+C)=AB+C;

б) AC_B=AC_BC

a) (A+C)(B+C) = AB+CB+AC+CC = AB+C(A+B)+C= =AB+C(A+B)+C = AB+C(A+ B+) ) = AB+C = AB+C;

б) AC_B = AC = CA = C(A_B) = SA_SV = AC_BC

Жишээ 1.12. Шагналыг шоу нэвтрүүлгийн эцсийн шатанд шалгарсан хоёр оролцогчид гардуулдаг. Зургийг эхний амжилттай оролдлого хүртэл нэг нэгээр нь явуулна, оролцогч бүрийн оролдлогын тоо гурваар хязгаарлагдана. Эхний финалд шалгарсан хүн эхлээд эхэлнэ. Дараах үйл явдлуудыг харгалзан үзнэ: A = (анхны финалд шалгарсан оролцогч шагнал хүртсэн); B=(хоёр дахь финалын оролцогч шагнал хүртсэн). 1) Эдгээр үйл явдлуудыг бүтэн бүлэгт нэмж, түүнд зориулсан найдвартай үйл явдлыг зохио. 2) Анхан шатны үйл явдлуудын бүрэн бүлгийг зохио. 3) Анхан шатны үйл явдлуудаар дамжуулан эхний бүрэн бүлгийн үйл явдлуудыг илэрхийл. 4) Бусад бүрэн хэмжээний үйл явдлын бүлгийг зохиож, тэдгээрээр дамжуулан найдвартай үйл явдлуудыг тэмдэглэ.

1) А ба В үйл явдлууд нь тохирохгүй байгаа бүлгийг дуусгахын тулд тэдгээрийг тохирохгүй үйл явдал C = (хэн ч шагнал аваагүй); Найдвартай үйл явдал = (эхний финалд шалгарсан хүн шагнал авах, хоёр дахь нь, эсвэл хэн ч ялахгүй) нь: =A+B+C-тэй тэнцүү байна.

2) Тоглогч бүрийн оролдлого бүрийн үр дүнг тодорхойлсон, тэмцээний нөхцлөөс хамаарахгүй үйл явдлуудыг танилцуулъя: A i = (эхний шигшээд шалгарсан оролцогч i-р оролдлогыг амжилттай гүйцэтгэсэн), B i = (хоёр дахь финалд шалгарсан оролцогч) i-р оролдлогыг амжилттай гүйцэтгэсэн), . Эдгээр арга хэмжээ нь тэмцээний нөхцөлийг харгалздаггүй тул шагнал авах баримтын хувьд энгийн зүйл биш юм. Гэхдээ эдгээр үйл явдлуудаар дамжуулан үйл явдлуудын үйлдлүүдийг ашиглан эхний амжилттай оролдлогод ялах нөхцөлийг харгалзан үзсэн үндсэн арга хэмжээний иж бүрэн бүлгийг бий болгох боломжтой: 1 = (эхний финалд шалгарсан хүн эхний оролдлогоор шагнал авсан), 2 = (хоёр дахь финалд шалгарсан оролцогч эхний оролдлогоор шагналыг хүртсэн), 3 =(эхний финалд шалгарсан оролцогч хоёр дахь оролдлогоор шагнал хүртсэн), 4 =(хоёр дахь финалд шалгарсан оролцогч хоёр дахь оролдлого дээрээ шагналыг хүртсэн), 5 =(эхний финалд шалгарсан оролцогч гурав дахь оролдлогын шагнал), 6 =(хоёр дахь финалын оролцогч гурав дахь оролдлого нь шагналыг хүртсэн), 7 =( финалд оролцогч хоёулаа гурван оролдлогын дараа шагналыг авч чадаагүй). Тэмцээний болзлын дагуу

1 =A 1, 2 =, 3 =, 4 =,

5 =, 6 = , 7 = .

Анхан шатны үйл явдлуудын бүрэн бүлэг: =( 1 ,…, 7 )

3) А ба В үйл явдлууд нь нийлбэрийн үйлдлүүдийг ашиглан энгийн үйл явдлуудаар илэрхийлэгддэг бол С нь энгийн үзэгдэлтэй давхцдаг.

4) Бүрэн үйл явдлын бүлгүүд нь мөн үйл явдлыг бүрдүүлдэг

Холбогдох найдвартай үйл явдлууд:

=(Эхний финалд шалгарсан хүн шагнал авах эсвэл үгүй)=;

=(хоёр дахь финалд шалгарсан хүн шагнал авах эсвэл үгүй)=;

=(тэд шагнал авахгүй, эсвэл тэд авах болно)=.