Оюутнуудад зориулсан интегралын бүрэн хүснэгт. Тогтмолын интеграл
Эсрэг дериватив функц ба тодорхойгүй интеграл
Баримт 1. Интеграл гэдэг нь дифференциалын урвуу үйлдэл, тухайлбал, энэ функцийн мэдэгдэж буй деривативаас функцийг сэргээх явдал юм. Ингэснээр функц сэргээгдсэн Ф(x) гэж нэрлэдэг эсрэг деривативфункцийн хувьд е(x).
Тодорхойлолт 1. Чиг үүрэг Ф(x е(x) тодорхой интервалаар X, хэрэв бүх утгын хувьд xЭнэ интервалаас тэгш байдал хадгалагдана Ф "(x)=е(x), өөрөөр хэлбэл энэ функц е(x) нь эсрэг дериватив функцийн дериватив юм Ф(x). .
Жишээлбэл, функц Ф(x) = нүгэл x функцийн эсрэг дериватив юм е(x) = cos x бүх тооны шулуун дээр, учир нь x-ийн дурын утгын хувьд (нүгэл x)" = (cos x) .
Тодорхойлолт 2. Функцийн тодорхойгүй интеграл е(x) нь түүний бүх эсрэг деривативуудын багц юм. Энэ тохиолдолд тэмдэглэгээг ашиглана
∫
е(x)dx
,тэмдэг хаана байна ∫ интеграл тэмдэг, функц гэж нэрлэдэг е(x) – интеграл функц, ба е(x)dx - интеграл илэрхийлэл.
Тиймээс, хэрэв Ф(x) – зарим эсрэг дериватив е(x), Тэр
∫
е(x)dx = Ф(x) +C
Хаана C - дурын тогтмол (тогтмол).
Функцийн эсрэг деривативуудын багцын утгыг тодорхойгүй интеграл гэж ойлгохын тулд дараах зүйрлэл тохиромжтой. Хаалга (уламжлалт модон хаалга) байг. Үүний үүрэг бол "хаалга байх" юм. Хаалга юугаар хийгдсэн бэ? Модоор хийсэн. Энэ нь "хаалга байх" функцийн интегралын эсрэг деривативуудын олонлог, өөрөөр хэлбэл түүний тодорхойгүй интеграл нь "мод байх + C" функц байна гэсэн үг бөгөөд C нь тогтмол бөгөөд энэ нөхцөлд үүнийг хийж болно. Жишээ нь, модны төрлийг заана. Хаалгыг зарим багаж ашиглан модоор хийдэгтэй адил функцийн деривативыг ашиглан эсрэг дериватив функцээс "бүтээдэг". деривативыг судалж байхдаа бидний сурсан томъёо .
Дараа нь нийтлэг объектуудын функцын хүснэгт ба тэдгээрийн харгалзах эсрэг деривативууд ("хаалга байх" - "мод байх", "халбага байх" - "төмөр байх" гэх мэт) нь үндсэн хүснэгттэй төстэй байна. тодорхойгүй интегралуудыг доор өгөв. Тодорхой бус интегралын хүснэгтэд эдгээр функцийг "хийсэн" эсрэг деривативуудыг харуулсан нийтлэг функцуудыг жагсаав. Тодорхой бус интегралыг олох асуудлын нэг хэсэгт маш их хүчин чармайлтгүйгээр шууд интегралд оруулах боломжтой, өөрөөр хэлбэл тодорхойгүй интегралын хүснэгтийг ашиглан интегралуудыг өгдөг. Илүү төвөгтэй бодлогод хүснэгтийн интегралыг ашиглахын тулд эхлээд интегралыг хувиргах ёстой.
Баримт 2. Функцийг эсрэг дериватив болгон сэргээхдээ бид дурын тогтмол (тогтмол)-ыг харгалзан үзэх ёстой. C, мөн 1-ээс хязгааргүй хүртэлх янз бүрийн тогтмолтой эсрэг деривативуудын жагсаалтыг бичихгүйн тулд дурын тогтмолтой эсрэг деривативуудын багц бичих хэрэгтэй. C, жишээ нь: 5 x³+C. Тиймээс эсрэг дериватив нь функц байж болох тул дурын тогтмол (тогтмол) нь эсрэг деривативын илэрхийлэлд багтсан болно, жишээлбэл, 5. x³+4 эсвэл 5 x³+3, ялгах үед 4 эсвэл 3 эсвэл бусад тогтмол нь тэг болно.
Энэ функцийн хувьд интеграцийн асуудлыг тавьцгаая е(x) ийм функцийг олоорой Ф(x), хэний деривативтэнцүү байна е(x).
Жишээ 1.Функцийн эсрэг деривативуудын олонлогийг ол
Шийдэл. Энэ функцийн хувьд эсрэг дериватив нь функц юм
Чиг үүрэг Ф(x) функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг е(x), хэрэв дериватив бол Ф(x) тэнцүү байна е(x), эсвэл ижил зүйл болох дифференциал Ф(x) тэнцүү байна е(x) dx, өөрөөр хэлбэл
(2)
Тиймээс функц нь функцийн эсрэг дериватив юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь цорын ганц эсрэг дериватив биш юм. Тэд бас үүрэг гүйцэтгэдэг
Хаана ХАМТ- дурын тогтмол. Үүнийг ялгах замаар баталгаажуулж болно.
Тиймээс, хэрэв функцэд нэг эсрэг дериватив байгаа бол түүний хувьд тогтмол нэр томъёогоор ялгаатай хязгааргүй тооны эсрэг дериватив байдаг. Функцийн бүх эсрэг деривативуудыг дээрх хэлбэрээр бичнэ. Энэ нь дараах теоремоос үүдэлтэй.
Теорем (баримт 2-ын албан ёсны мэдэгдэл).Хэрэв Ф(x) – функцийн эсрэг дериватив е(x) тодорхой интервалаар X, дараа нь бусад ямар ч эсрэг дериватив е(x) ижил интервал дээр хэлбэрээр илэрхийлж болно Ф(x) + C, Хаана ХАМТ- дурын тогтмол.
Дараагийн жишээнд бид тодорхойгүй интегралын шинж чанаруудын дараа 3-р зүйлд өгөгдсөн интегралын хүснэгт рүү шилждэг. Дээрх зүйлийн мөн чанар тодорхой байхын тулд бид хүснэгтийг бүхэлд нь уншихаас өмнө үүнийг хийдэг. Хүснэгт болон шинж чанаруудын дараа бид нэгтгэх явцад тэдгээрийг бүхэлд нь ашиглах болно.
Жишээ 2.Эсрэг дериватив функцүүдийн багцыг ол:
Шийдэл. Бид эдгээр функцийг "хийсэн" эсрэг дериватив функцүүдийн багцыг олдог. Интегралын хүснэгтээс томьёог дурдахдаа одоохондоо ийм томьёо байдаг гэдгийг хүлээн зөвшөөрч, тодорхой бус интегралын хүснэгтийг өөрөө бага зэрэг судлах болно.
1) Интегралын хүснэгтээс (7) томъёог ашиглана n= 3, бид олж авна
2) Интегралын хүснэгтээс (10) томъёог ашиглана n= 1/3, бидэнд байна
3) Түүнээс хойш
дараа нь (7) томъёоны дагуу n= -1/4 бид олдог
Энэ нь интеграл тэмдгийн доор бичигдсэн функц өөрөө биш юм. е, мөн түүний бүтээгдэхүүн нь дифференциалаар dx. Энэ нь үндсэндээ эсрэг деривативыг аль хувьсагчаар хайж байгааг харуулахын тулд хийгддэг. Жишээ нь,
,
;
Энд хоёр тохиолдолд интеграл нь -тэй тэнцүү боловч авч үзсэн тохиолдолд түүний тодорхойгүй интегралууд өөр байна. Эхний тохиолдолд энэ функцийг хувьсагчийн функц гэж үзнэ x, хоёрдугаарт - функцээр z .
Функцийн тодорхойгүй интегралыг олох үйл явцыг тухайн функцийг интегралдах гэж нэрлэдэг.
Тодорхой бус интегралын геометрийн утга
Бид муруй олох хэрэгтэй гэж бодъё y=F(x)Мөн түүний цэг тус бүрийн шүргэгч өнцгийн тангенс нь өгөгдсөн функц гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн f(x)энэ цэгийн абсцисса.
Деривативын геометрийн утгын дагуу муруйн өгөгдсөн цэг дэх шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенс y=F(x)деривативын утгатай тэнцүү байна F"(x). Тиймээс бид ийм функцийг олох хэрэгтэй F(x), үүний төлөө F"(x)=f(x). Даалгаварт шаардлагатай функц F(x)-ийн эсрэг дериватив юм f(x). Асуудлын нөхцлийг нэг муруй биш, харин муруйн гэр бүл хангадаг. y=F(x)- эдгээр муруйнуудын аль нэгийг, мөн өөр ямар ч муруйг тэнхлэгийн дагуу параллель хөрвүүлэх замаар олж авч болно Өө.
-ийн эсрэг дериватив функцийн графикийг нэрлэе f(x)интеграл муруй. Хэрэв F"(x)=f(x), дараа нь функцийн график y=F(x)интеграл муруй байна.
Баримт 3. Тодорхой бус интеграл нь геометрийн хувьд бүх интеграл муруйн бүлгээр илэрхийлэгдэнэ. , доорх зурган дээрх шиг. Муруй бүрийн координатын гарал үүслийн зайг дурын интеграцийн тогтмолоор тодорхойлно C.
Тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд
Баримт 4. Теорем 1. Тодорхой бус интегралын дериватив нь интегралтай, дифференциал нь интегралтай тэнцүү.
Баримт 5. Теорем 2. Функцийн дифференциалын тодорхойгүй интеграл е(x) функцтэй тэнцүү байна е(x) тогтмол хугацаа хүртэл , өөрөөр хэлбэл
(3)
1 ба 2-р теоремууд нь дифференциал ба интеграл нь харилцан урвуу үйлдлүүд гэдгийг харуулж байна.
Баримт 6. Теорем 3. Интеграл дахь тогтмол хүчин зүйлийг тодорхойгүй интегралын тэмдгээс гаргаж авч болно. , өөрөөр хэлбэл
Сургуульд олон хүмүүс интегралыг шийдэж чадахгүй эсвэл тэдэнтэй холбоотой ямар нэгэн бэрхшээлтэй тулгардаг. Энэ нийтлэл танд үүнийг ойлгоход тусална, учир нь та бүх зүйлийг олох болно. салшгүй хүснэгтүүд.
Интегралматематик шинжилгээний үндсэн тооцоо, ойлголтуудын нэг юм. Түүний гадаад төрх нь хоёр зорилгоос үүдэлтэй:
Эхний гоол- уламжлалыг ашиглан функцийг сэргээх.
Хоёр дахь зорилго- графикаас f(x) функц хүртэлх зайд байрлах талбайн тооцоо, a нь b-ээс их буюу тэнцүү, х тэнхлэгээс их буюу тэнцүү байна.
Эдгээр зорилго нь биднийг тодорхой ба тодорхойгүй интеграл руу хөтөлдөг. Эдгээр интегралуудын хоорондын холбоо нь шинж чанарыг хайх, тооцоолоход оршино. Гэвч бүх зүйл урсаж, цаг хугацаа өнгөрөх тусам бүх зүйл өөрчлөгдөж, шинэ шийдлүүдийг олж, нэмэлтүүдийг тодорхойлсон бөгөөд ингэснээр тодорхой ба тодорхойгүй интегралуудыг интеграцийн бусад хэлбэрт хүргэж байна.
Юу болов тодорхойгүй интеграл гэж та асууж байна. Энэ нь х-ээс их b-ээс их интервал дахь нэг х хувьсагчийн эсрэг дериватив функц F(x) юм. дурын функцийг F(x) гэж нэрлэдэг бөгөөд аливаа x тэмдэглэгээний өгөгдсөн интервалд дериватив нь F(x)-тэй тэнцүү байна. F(x) нь f(x)-ийн хувьд эсрэг дериватив болох нь тодорхой байна. Энэ нь F1(x) = F(x) + C гэсэн үг юм. C - өгөгдсөн интервал дахь f(x)-ийн аливаа тогтмол ба эсрэг дериватив. Энэ мэдэгдэл нь f(x) - 2 функцийн хувьд эсрэг деривативууд нь зөвхөн тогтмол хэмжээгээр ялгаатай; Интеграл тооцооллын теорем дээр үндэслэн а интервалд үргэлжилдэг
Тодорхой интеграл интеграл нийлбэр дэх хязгаар буюу зарим (a,b) мөрөнд тодорхойлогдсон f(x) функцийн өгөгдсөн шугамын төгсгөл дэх илэрхийллүүдийн зөрүүг илэрхийлсэн эсрэг дериватив F байгаа нөхцөлд ойлгогдоно. F(b) - F(a).
Энэ сэдвийг судлахын тулд би видеог үзэхийг санал болгож байна. Энэ нь интегралыг хэрхэн олохыг нарийвчлан хэлж өгдөг.
Интегралын хүснэгт бүр нь тодорхой төрлийн интегралыг шийдвэрлэхэд тусалдаг тул маш ашигтай байдаг.
Бүх төрлийн бичиг хэргийн хэрэгсэл гэх мэт. Та v-kant.ru онлайн дэлгүүрээр дамжуулан худалдан авах боломжтой. Эсвэл зүгээр л Самара бичгийн хэрэгслийн холбоосыг дагана уу (http://v-kant.ru) чанар, үнэ нь таныг тааламжтайгаар гайхшруулах болно.
Интеграци нь математик шинжилгээний үндсэн үйлдлүүдийн нэг юм. Мэдэгдэж буй антидеривативуудын хүснэгтүүд нь ашигтай байж болох ч одоо компьютерийн алгебрийн систем гарч ирсний дараа тэдгээр нь ач холбогдлоо алдаж байна. Хамгийн түгээмэл командуудын жагсаалтыг доор харуулав.
Үндсэн интегралын хүснэгт
Өөр нэг, авсаархан сонголт
Тригонометрийн функцүүдийн интегралын хүснэгт
Рационал функцуудаас
Иррациональ функцүүдээс
Трансцендент функцүүдийн интегралууд
"C" нь дурын интегралын тогтмол бөгөөд аль ч цэг дэх интегралын утга мэдэгдэж байгаа тохиолдолд тодорхойлогддог. Функц бүр нь хязгааргүй тооны эсрэг деривативтай.
Ихэнх сургуулийн сурагчид, оюутнууд интегралыг тооцоолоход бэрхшээлтэй байдаг. Энэ хуудас агуулж байна салшгүй хүснэгтүүдшийдэлд туслах тригонометрийн, рациональ, иррационал, трансцендент функцуудаас. Деривативын хүснэгт танд туслах болно.
Видео - интегралыг хэрхэн олох вэ
Хэрэв та энэ сэдвийг сайн ойлгохгүй байгаа бол бүх зүйлийг нарийвчлан тайлбарласан видеог үзээрэй.Оюутан бүрийн мэдэх ёстой үндсэн интегралууд
Жагсаалтад орсон интегралууд нь үндсэн суурь, үндэс суурь юм. Эдгээр томъёог заавал санаж байх ёстой. Илүү төвөгтэй интегралуудыг тооцоолохдоо та тэдгээрийг байнга ашиглах хэрэгтэй болно.
Томъёо (5), (7), (9), (12), (13), (17) ба (19)-д онцгой анхаарал хандуулаарай. Интеграл хийхдээ хариултдаа дурын тогтмол C нэмэхээ бүү мартаарай!
Тогтмолын интеграл
∫ A d x = A x + C (1)Эрчим хүчний функцийг нэгтгэх
Үнэн хэрэгтээ бид зөвхөн (5) ба (7) томъёогоор хязгаарлагдах боломжтой байсан боловч энэ бүлгийн бусад интегралууд маш олон удаа тохиолддог тул тэдэнд бага зэрэг анхаарал хандуулах нь зүйтэй юм.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Экспоненциал функц ба гипербол функцийн интеграл
Мэдээжийн хэрэг, томъёо (8) (магадгүй цээжлэхэд хамгийн тохиромжтой) томъёог (9) тусгай тохиолдол гэж үзэж болно. Гипербол синус ба гипербол косинусын интеграл (10) ба (11) томъёог (8) томъёоноос амархан гаргаж авдаг боловч эдгээр хамаарлыг зүгээр л санах нь дээр.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Тригонометрийн функцүүдийн үндсэн интегралууд
Сурагчдын ихэвчлэн гаргадаг алдаа бол томьёо (12) ба (13) дахь тэмдгүүдийг андуурдаг явдал юм. Синусын дериватив нь косинустай тэнцүү гэдгийг санаж, яагаад ч юм олон хүн sinx функцийн интеграл нь cosx-тэй тэнцүү гэж үздэг. Энэ үнэн биш! Синусын интеграл нь "хасах косинус"-тай тэнцүү, харин cosx-ийн интеграл нь "зүгээр л синус"-тай тэнцүү байна:
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 нүгэл 2 x d x = − c t g x + C (15)
Урвуу тригонометрийн функц болгон бууруулдаг интегралууд
Арктангенс руу хөтлөх томъёо (16) нь байгалийн хувьд (17) a=1 томъёоны онцгой тохиолдол юм. Үүний нэгэн адил (18) нь (19)-ийн онцгой тохиолдол юм.
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Илүү төвөгтэй интегралууд
Эдгээр томъёог санах нь зүйтэй. Тэдгээрийг бас ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд гаралт нь нэлээд уйтгартай байдаг.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |
x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |
x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
Интеграцийн ерөнхий дүрмүүд
1) Хоёр функцийн нийлбэрийн интеграл нь харгалзах интегралуудын нийлбэртэй тэнцүү байна: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Хоёр функцийн ялгаварын интеграл нь харгалзах интегралуудын ялгавартай тэнцүү байна: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Тогтмолыг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Үл хөдлөх хөрөнгө (26) нь ердөө л (25) ба (27) шинж чанаруудын хослол гэдгийг харахад хялбар байдаг.
4) Дотоод функц нь шугаман бол комплекс функцийн интеграл: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Энд F(x) нь f(x) функцийн эсрэг дериватив юм. Анхаарна уу: энэ томъёо нь зөвхөн дотоод функц Ax + B үед л ажиллана.
Анхаарах зүйл: хоёр функцийн үржвэрийн интеграл, түүнчлэн бутархайн интегралын бүх нийтийн томъёо байдаггүй.∫ f (x) g (x) d x = ?
∫ f (x) g (x) d x = ?
(30)
Одоо үндсэн интегралуудын хүснэгтийг ашиглая. Бид (3), (12), (8) ба (1) томъёог ашиглах шаардлагатай болно. Хүчин чадлын функц, синус, экспоненциал ба тогтмол 1-ийг нэгтгэж үзье. Төгсгөлд нь дурын тогтмол С нэмэхээ бүү мартаарай:
3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн дараа бид эцсийн хариултыг авна.
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Өөрийгөө ялгах замаар туршиж үзээрэй: үүссэн функцийн деривативыг авч, анхны интегралтай тэнцүү эсэхийг шалгаарай.
Интегралын хураангуй хүснэгт
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | +C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 син 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | |
| x + x 2 + a 2 | +C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | |
| x + x 2 − a 2 | +C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |
x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |
x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)
Интегралын хүснэгтийг (II хэсэг) энэ линкээс татаж авна уу
Хэрэв та их дээд сургуульд суралцаж байгаа бол дээд математикийн (математик анализ, шугаман алгебр, магадлалын онол, статистик) бэрхшээлтэй байгаа бол мэргэшсэн багшийн үйлчилгээ шаардлагатай бол дээд математикийн багшийн хуудас руу очно уу. Бид таны асуудлыг хамтдаа шийдэх болно!
Та бас сонирхож магадгүй
Деривативын хүснэгт ба тодорхойлолт 2-оос бид үндсэн интегралын хүснэгтийг олж авна.
Жишээ 1
7-р томьёоны хүчинтэй эсэхийг интегралын хүснэгтээс шалгана уу.
\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]
Баруун талыг нь ялгаж үзье: $-\ln |\cos x|+C$.
\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]
Жишээ 2
Интегралын хүснэгтээс 8-р томьёоны үнэн зөвийг шалгана уу.
\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]
Баруун талыг нь ялгаж үзье: $\ln |\sin x|+C$.
\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]
Дериватив нь интегралтай тэнцүү болсон. Тиймээс томъёо нь зөв юм.
Жишээ 3
Интегралын хүснэгтээс 11" томъёоны хүчинтэй эсэхийг шалгана уу.
\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]
Баруун талыг нь ялгаж үзье: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.
\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]
Дериватив нь интегралтай тэнцүү болсон. Тиймээс томъёо нь зөв юм.
Жишээ 4
12-р томьёоны хүчинтэй эсэхийг интегралын хүснэгтээс шалгана уу.
\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \баруун|+ C,\, \, C=const.\]
Баруун талыг нь ялгаж үзье: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.
$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \баруун)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $ Дериватив нь интегралтай тэнцүү болсон. Тиймээс томъёо нь зөв юм.
Жишээ 5
Интегралын хүснэгтээс 13" томъёоны хүчинтэй эсэхийг шалгана уу.
\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]
Баруун талыг нь ялгаж үзье: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.
\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \баруун)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]
Дериватив нь интегралтай тэнцүү болсон. Тиймээс томъёо нь зөв юм.
Жишээ 6
14-р томьёоны хүчинтэй эсэхийг интегралын хүснэгтээс шалгана уу.
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=const.\]
Баруун талыг нь ялгаж үзье: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.
\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm) a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]
Дериватив нь интегралтай тэнцүү болсон. Тиймээс томъёо нь зөв юм.
Жишээ 7
Интегралыг ол:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]
Нийлбэрийн интеграл теоремыг ашиглая:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]
Тогтмол хүчин зүйлийг интеграл тэмдгийн гадна байрлуулах тухай теоремыг ашиглацгаая.
\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]
Интегралын хүснэгтийн дагуу:
\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]
Эхний интегралыг тооцоолохдоо бид 3-р дүрмийг ашигладаг.
\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]
Тиймээс,
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1) ) +C_(2) \]
