Własności faktoryzacji. Złożone przypadki rozkładu wielomianów na czynniki

Dowolny wielomian algebraiczny stopnia n można przedstawić jako iloczyn n-liniowych czynników postaci i stałej liczby, która jest współczynnikiem wielomianu na najwyższym stopniu x, tj.

Gdzie - są pierwiastkami wielomianu.

Pierwiastkiem wielomianu jest liczba (rzeczywista lub zespolona), która powoduje zanik wielomianu. Pierwiastki wielomianu mogą być pierwiastkami rzeczywistymi lub złożonymi pierwiastkami sprzężonymi, wówczas wielomian można przedstawić w następującej postaci:

Rozważmy metody rozkładu wielomianów stopnia „n” na iloczyn czynników pierwszego i drugiego stopnia.

Metoda nr 1.Metoda współczynników nieokreślonych.

Współczynniki tak przekształconego wyrażenia wyznacza się metodą współczynników nieokreślonych. Istota metody polega na tym, że z góry znany jest rodzaj czynników, na które dany wielomian jest rozkładany. W przypadku stosowania metody niepewnych współczynników prawdziwe są następujące stwierdzenia:

P.1. Dwa wielomiany są identycznie równe, jeśli ich współczynniki są równe dla tych samych potęg x.

P.2. Każdy wielomian trzeciego stopnia rozkłada się na iloczyn czynników liniowych i kwadratowych.

P.3. Każdy wielomian czwartego stopnia można rozłożyć na iloczyn dwóch wielomianów drugiego stopnia.

Przykład 1.1. Konieczne jest rozłożenie wyrażenia sześciennego na czynniki:

P.1. Zgodnie z przyjętymi stwierdzeniami identyczna równość zachodzi dla wyrażenia sześciennego:

P.2. Prawa strona wyrażenia może być przedstawiona w następujący sposób:

P.3. Układ równań układamy z warunku równości współczynników przy odpowiednich potęgach wyrażenia sześciennego.

Ten układ równań można rozwiązać dobierając współczynniki (jeśli jest to prosty problem akademicki) lub można zastosować metody rozwiązywania nieliniowych układów równań. Rozwiązując ten układ równań, stwierdzamy, że niepewne współczynniki wyznacza się w następujący sposób:

Zatem oryginalne wyrażenie jest rozkładane na czynniki w następującej formie:

Metodę tę można zastosować zarówno w obliczeniach analitycznych, jak i w programowaniu komputerowym w celu zautomatyzowania procesu znajdowania pierwiastka równania.

Metoda nr 2.Formuły Vieta

Wzory Viety to wzory łączące współczynniki równań algebraicznych stopnia n i jego pierwiastki. Wzory te zostały pośrednio przedstawione w pracach francuskiego matematyka Francois Vieta (1540 - 1603). Ponieważ Vieth rozważał tylko pozytywne pierwiastki rzeczywiste, nie miał zatem możliwości zapisania tych wzorów w ogólnej, jednoznacznej formie.

Dla dowolnego wielomianu algebraicznego stopnia n, który ma n-rzeczywiste pierwiastki,

Obowiązują następujące zależności łączące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami:

Wzory Viety są wygodne w użyciu do sprawdzenia poprawności znalezienia pierwiastków wielomianu, a także do skonstruowania wielomianu z podanych pierwiastków.

Przykład 2.1. Zastanówmy się, jak pierwiastki wielomianu są powiązane z jego współczynnikami na przykładzie równania sześciennego

Zgodnie ze wzorami Viety związek pomiędzy pierwiastkami wielomianu a jego współczynnikami ma postać:

Podobne zależności można przeprowadzić dla dowolnego wielomianu stopnia n.

Metoda numer 3. Rozkładanie na czynniki równania kwadratowego z pierwiastkami wymiernymi

Z ostatniego wzoru Viety wynika, że ​​pierwiastki wielomianu są dzielnikami jego wyrazu wolnego i współczynnika wiodącego. W związku z tym, jeśli stwierdzenie problemu określa wielomian stopnia n ze współczynnikami całkowitymi

wówczas ten wielomian ma pierwiastek wymierny (ułamek nieredukowalny), gdzie p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego. W tym przypadku wielomian stopnia n można przedstawić jako (twierdzenie Bezouta):

Wielomian, którego stopień jest o 1 mniejszy od stopnia wielomianu początkowego, wyznacza się poprzez podzielenie wielomianu stopnia n na dwumian, na przykład za pomocą schematu Hornera lub najprościej - „kolumny”.

Przykład 3.1. Konieczne jest rozłożenie wielomianu na czynniki

P.1. Z uwagi na to, że współczynnik najwyższego wyrazu jest równy jedności, pierwiastkami wymiernymi tego wielomianu są dzielniki wolnego wyrazu wyrażenia, tj. mogą być liczbami całkowitymi . Podstawiamy każdą z przedstawionych liczb do pierwotnego wyrażenia i stwierdzamy, że pierwiastek przedstawionego wielomianu jest równy .

Podzielmy pierwotny wielomian przez dwumian:

Skorzystajmy ze schematu Hornera

W górnym wierszu ustawiamy współczynniki pierwotnego wielomianu, natomiast pierwsza komórka górnego wiersza pozostaje pusta.

W pierwszej komórce drugiego wiersza zapisywany jest znaleziony pierwiastek (w rozważanym przykładzie zapisana jest liczba „2”), a następujące wartości w komórkach są obliczane w określony sposób i są to współczynniki wielomianu, który otrzymuje się dzieląc wielomian przez dwumian. Nieznane współczynniki wyznacza się w następujący sposób:

Wartość z odpowiedniej komórki pierwszego wiersza jest przenoszona do drugiej komórki drugiego wiersza (w rozważanym przykładzie zapisana jest liczba „1”).

Trzecia komórka drugiego wiersza zawiera wartość iloczynu pierwszej komórki i drugiej komórki drugiego wiersza plus wartość z trzeciej komórki pierwszego wiersza (w rozważanym przykładzie 2 ∙1 -5 = -3 ).

Czwarta komórka drugiego wiersza zawiera wartość iloczynu pierwszej komórki i trzeciej komórki drugiego wiersza plus wartość z czwartej komórki pierwszego wiersza (w rozpatrywanym przykładzie 2 ∙ (-3) + 7 = 1).

W ten sposób pierwotny wielomian jest rozkładany na czynniki:

Metoda numer 4.Stosowanie skróconych wzorów na mnożenie

Skrócone wzory na mnożenie służą do uproszczenia obliczeń, a także do rozkładu wielomianów na czynniki. Skrócone wzory na mnożenie pozwalają uprościć rozwiązanie poszczególnych problemów.

Wzory stosowane do faktoryzacji

Rozkładanie wielomianów na czynniki to transformacja tożsamości, w wyniku której wielomian przekształca się w iloczyn kilku czynników - wielomianów lub jednomianów.

Istnieje kilka sposobów rozkładania wielomianów na czynniki.

Metoda 1. Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów.

Transformacja ta opiera się na rozdzielnym prawie mnożenia: ac + bc = c(a + b). Istota transformacji polega na wyodrębnieniu wspólnego czynnika w obu rozpatrywanych składnikach i „wyjęciu” go z nawiasów.

Rozłóżmy wielomian na czynniki 28x3 – 35x4.

Rozwiązanie.

1. Znajdź wspólny dzielnik dla elementów 28x3 i 35x4. Dla 28 i 35 będzie to 7; dla x 3 i x 4 – x 3. Innymi słowy, nasz wspólny dzielnik to 7x3.

2. Każdy z elementów reprezentujemy jako iloczyn czynników, z których jeden
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Wyjmujemy wspólny czynnik z nawiasów
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metoda 2. Stosowanie skróconych wzorów na mnożenie. „Opanowanie” stosowania tej metody polega na dostrzeżeniu w wyrażeniu jednego ze skróconych wzorów na mnożenie.

Rozłóżmy wielomian na czynniki x 6 – 1.

Rozwiązanie.

1. Do tego wyrażenia możemy zastosować wzór na różnicę kwadratów. Aby to zrobić, wyobraź sobie x 6 jako (x 3) 2 i 1 jako 1 2, tj. 1. Wyrażenie będzie miało postać:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Do otrzymanego wyrażenia możemy zastosować wzór na sumę i różnicę kostek:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Więc,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Grupowanie. Metoda grupowania polega na łączeniu składników wielomianu w taki sposób, aby można było na nich łatwo wykonywać operacje (dodawanie, odejmowanie, odejmowanie wspólnego czynnika).

Rozłóżmy wielomian na czynniki x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Rozwiązanie.

1. Pogrupujmy komponenty w ten sposób: 1. z 2. i 3. z 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. W otrzymanym wyrażeniu wyjmujemy z nawiasów wspólne czynniki: x 2 w pierwszym przypadku i 5 w drugim.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Bierzemy z nawiasów wspólny współczynnik x – 3 i otrzymujemy:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Więc,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Zabezpieczmy materiał.

Rozłóż wielomian na czynniki a 2 – 7ab + 12b 2.

Rozwiązanie.

1. Przedstawmy jednomian 7ab jako sumę 3ab + 4ab. Wyrażenie będzie miało postać:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Otwórzmy nawiasy i otrzymajmy:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Pogrupujmy składniki wielomianu w następujący sposób: 1. z 2. i 3. z 4. Otrzymujemy:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Wyjmijmy wspólne czynniki z nawiasów:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Wyjmijmy wspólny czynnik (a – 3b) z nawiasów:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Więc,
za 2 – 7ab + 12b 2 =
= za 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= za 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.

Rozkładanie wielomianów na czynniki to transformacja tożsamości, w wyniku której wielomian przekształca się w iloczyn kilku czynników - wielomianów lub jednomianów.

Istnieje kilka sposobów rozkładania wielomianów na czynniki.

Metoda 1. Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów.

Transformacja ta opiera się na rozdzielnym prawie mnożenia: ac + bc = c(a + b). Istota transformacji polega na wyodrębnieniu wspólnego czynnika w obu rozpatrywanych składnikach i „wyjęciu” go z nawiasów.

Rozłóżmy wielomian na czynniki 28x3 – 35x4.

Rozwiązanie.

1. Znajdź wspólny dzielnik dla elementów 28x3 i 35x4. Dla 28 i 35 będzie to 7; dla x 3 i x 4 – x 3. Innymi słowy, nasz wspólny dzielnik to 7x3.

2. Każdy z elementów reprezentujemy jako iloczyn czynników, z których jeden
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Wyjmujemy wspólny czynnik z nawiasów
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metoda 2. Stosowanie skróconych wzorów na mnożenie. „Opanowanie” stosowania tej metody polega na dostrzeżeniu w wyrażeniu jednego ze skróconych wzorów na mnożenie.

Rozłóżmy wielomian na czynniki x 6 – 1.

Rozwiązanie.

1. Do tego wyrażenia możemy zastosować wzór na różnicę kwadratów. Aby to zrobić, wyobraź sobie x 6 jako (x 3) 2 i 1 jako 1 2, tj. 1. Wyrażenie będzie miało postać:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Do otrzymanego wyrażenia możemy zastosować wzór na sumę i różnicę kostek:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Więc,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Grupowanie. Metoda grupowania polega na łączeniu składników wielomianu w taki sposób, aby można było na nich łatwo wykonywać operacje (dodawanie, odejmowanie, odejmowanie wspólnego czynnika).

Rozłóżmy wielomian na czynniki x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Rozwiązanie.

1. Pogrupujmy komponenty w ten sposób: 1. z 2. i 3. z 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. W otrzymanym wyrażeniu wyjmujemy z nawiasów wspólne czynniki: x 2 w pierwszym przypadku i 5 w drugim.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Bierzemy z nawiasów wspólny współczynnik x – 3 i otrzymujemy:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Więc,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Zabezpieczmy materiał.

Rozłóż wielomian na czynniki a 2 – 7ab + 12b 2.

Rozwiązanie.

1. Przedstawmy jednomian 7ab jako sumę 3ab + 4ab. Wyrażenie będzie miało postać:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Otwórzmy nawiasy i otrzymajmy:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Pogrupujmy składniki wielomianu w następujący sposób: 1. z 2. i 3. z 4. Otrzymujemy:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Wyjmijmy wspólne czynniki z nawiasów:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Wyjmijmy wspólny czynnik (a – 3b) z nawiasów:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Więc,
za 2 – 7ab + 12b 2 =
= za 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= za 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.

Przyjrzyjmy się konkretnym przykładom rozkładania wielomianu na czynniki.

Będziemy rozwijać wielomiany zgodnie z .

Wielomiany czynnikowe:

Sprawdźmy, czy istnieje wspólny czynnik. tak, jest równe 7cd. Wyjmijmy to z nawiasów:

Wyrażenie w nawiasach składa się z dwóch terminów. Nie ma już wspólnego dzielnika, wyrażenie nie jest wzorem na sumę kostek, co oznacza, że ​​rozkład został zakończony.

Sprawdźmy, czy istnieje wspólny czynnik. NIE. Wielomian składa się z trzech wyrazów, więc sprawdzamy, czy istnieje wzór na pełny kwadrat. Dwa wyrazy są kwadratami wyrażeń: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², trzeci wyraz jest równy podwójnemu iloczynowi tych wyrażeń: 2∙5x∙3y=30xy. Oznacza to, że ten wielomian jest doskonałym kwadratem. Ponieważ iloczyn podwójny ma znak minus, jest to:

Sprawdzamy, czy możliwe jest usunięcie wspólnego czynnika z nawiasów. Istnieje wspólny czynnik, jest on równy a. Wyjmijmy to z nawiasów:

W nawiasach znajdują się dwa terminy. Sprawdzamy, czy istnieje wzór na różnicę kwadratów lub różnicę sześcianów. a² jest kwadratem a, 1=1². Oznacza to, że wyrażenie w nawiasach można zapisać korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:

Istnieje wspólny dzielnik, który wynosi 5. Wyjmijmy to z nawiasów:

w nawiasach znajdują się trzy terminy. Sprawdzamy, czy wyrażenie jest idealnym kwadratem. Dwa wyrazy to kwadraty: 16=4² i a² - kwadrat a, trzeci wyraz jest równy iloczynowi podwójnemu 4 i a: 2∙4∙a=8a. Jest to zatem kwadrat idealny. Ponieważ wszystkie terminy mają znak „+”, wyrażenie w nawiasach jest idealnym kwadratem sumy:

Z nawiasów bierzemy ogólny mnożnik -2x:

W nawiasach podano sumę dwóch wyrazów. Sprawdzamy, czy to wyrażenie jest sumą sześcianów. 64=4³, x³- sześcian x. Oznacza to, że dwumian można rozwinąć za pomocą wzoru:

Istnieje wspólny mnożnik. Ponieważ jednak wielomian składa się z 4 wyrazów, najpierw i dopiero wtedy usuniemy wspólny czynnik z nawiasów. Połączmy pierwszy termin z czwartym, a drugi z trzecim:

Z pierwszych nawiasów wyciągamy wspólny współczynnik 4a, z drugiego - 8b:

Nie ma jeszcze wspólnego mnożnika. Aby to uzyskać, usuwamy „-” z drugiego nawiasu i każdy znak w nawiasie zmienia się na przeciwny:

Teraz wyjmijmy wspólny czynnik (1-3a) z nawiasów:

W drugim nawiasie znajduje się wspólny współczynnik 4 (jest to ten sam współczynnik, którego nie usunęliśmy z nawiasów na początku przykładu):

Ponieważ wielomian składa się z czterech wyrazów, przeprowadzamy grupowanie. Połączmy pierwszy wyraz z drugim, trzeci z czwartym:

W pierwszych nawiasach nie ma wspólnego czynnika, ale jest wzór na różnicę kwadratów, w drugich nawiasach wspólny czynnik wynosi -5:

Pojawił się wspólny mnożnik (4m-3n). Wyjmijmy to z równania.

Ogólnie rzecz biorąc, zadanie to wymaga kreatywnego podejścia, ponieważ nie ma uniwersalnej metody jego rozwiązania. Spróbujmy jednak podać kilka wskazówek.

W przeważającej większości przypadków faktoryzacja wielomianu opiera się na następstwie twierdzenia Bezouta, to znaczy znajduje się lub wybiera pierwiastek, a stopień wielomianu zmniejsza się o jeden poprzez podzielenie przez . Szukany jest pierwiastek powstałego wielomianu i proces jest powtarzany aż do całkowitego rozwinięcia.

Jeśli nie można znaleźć korzenia, stosuje się określone metody ekspansji: od grupowania po wprowadzenie dodatkowych, wzajemnie wykluczających się terminów.

Dalsza prezentacja opiera się na umiejętnościach rozwiązywania równań wyższych stopni o współczynnikach całkowitych.

Ujmując w nawias wspólny czynnik.

Zacznijmy od najprostszego przypadku, gdy wyraz wolny jest równy zeru, czyli wielomian ma postać .

Oczywiście pierwiastkiem takiego wielomianu jest , to znaczy możemy przedstawić wielomian w postaci .

Ta metoda to nic innego jak wyjmując wspólny czynnik z nawiasów.

Przykład.

Rozłóż na czynniki wielomian trzeciego stopnia.

Rozwiązanie.

Oczywiście, jaki jest pierwiastek wielomianu X można wyjąć z nawiasów:

Znajdźmy pierwiastki trójmianu kwadratowego

Zatem,

Na górze strony

Rozkładanie wielomianu na czynniki z pierwiastkami wymiernymi.

Najpierw rozważmy metodę rozwinięcia wielomianu o współczynniki całkowite postaci , współczynnik najwyższego stopnia jest równy jeden.

W tym przypadku, jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego.

Przykład.

Rozwiązanie.

Sprawdźmy, czy korzenie są nienaruszone. Aby to zrobić, zapisz dzielniki liczby -18 : . Oznacza to, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to należą one do liczb zapisanych. Sprawdźmy te liczby po kolei korzystając ze schematu Hornera. Jego wygoda polega również na tym, że ostatecznie otrzymujemy współczynniki rozwinięcia wielomianu:

To jest, x=2 I x=-3 są pierwiastkami pierwotnego wielomianu i możemy go przedstawić jako iloczyn:

Pozostaje rozwinąć trójmian kwadratowy.

Wyróżnik tego trójmianu jest ujemny, dlatego nie ma on pierwiastków rzeczywistych.

Odpowiedź:

Komentarz:

Zamiast schematu Hornera można by zastosować wybór pierwiastka i późniejsze dzielenie wielomianu przez wielomian.

Rozważmy teraz rozwinięcie wielomianu o współczynniki całkowite postaci , a współczynnik najwyższego stopnia nie jest równy jedności.

W tym przypadku wielomian może mieć pierwiastki ułamkowo wymierne.

Przykład.

Uwzględnij wyrażenie.

Rozwiązanie.

Wykonując zmienną zmianę y=2x, przejdźmy do wielomianu o współczynniku równym jeden w najwyższym stopniu. Aby to zrobić, najpierw pomnóż wyrażenie przez 4 .

Jeśli wynikowa funkcja ma pierwiastki całkowite, to należą one do dzielników terminu wolnego. Zapiszmy je:

Obliczmy wartości funkcji sekwencyjnie g(y) w tych punktach, aż do osiągnięcia zera.