Nájdite počet troch čísel. Spoločný deliteľ a násobok

Najväčší spoločný deliteľ

Definícia 2

Ak je prirodzené číslo a deliteľné prirodzeným číslom $b$, potom $b$ sa nazýva deliteľ $a$ a $a$ sa nazýva násobok $b$.

Nech $a$ a $b$ sú prirodzené čísla. Číslo $c$ sa nazýva spoločný deliteľ $a$ a $b$.

Množina spoločných deliteľov čísel $a$ a $b$ je konečná, pretože žiadny z týchto deliteľov nemôže byť väčší ako $a$. To znamená, že medzi týmito deliteľmi je jeden najväčší, ktorý sa nazýva najväčší spoločný deliteľ čísel $a$ a $b$ a označuje sa nasledujúcim zápisom:

$GCD\(a;b)\ alebo \D\(a;b)$

Na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel potrebujete:

Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.

Príklad 1

Nájdite gcd čísel $ 121 $ a $ 132, $

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Vyberte čísla, ktoré sú zahrnuté v rozšírení týchto čísel

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.

$GCD=2\cdot 11=22$

Príklad 2

Nájdite gcd monomiálií $ 63 $ a $ 81 $.

Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to:

Zoberme si čísla do prvočísel

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Vyberáme čísla, ktoré sú zahrnuté do rozšírenia týchto čísel

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.

$GCD=3\cdot 3=9$

Gcd dvoch čísel môžete nájsť iným spôsobom, pomocou množiny deliteľov čísel.

Príklad 3

Nájdite gcd čísel $ 48 $ a $ 60 $.

Riešenie:

Nájdite množinu deliteľov čísla $48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Teraz nájdime množinu deliteľov čísla $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ $

Nájdeme priesečník týchto množín: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - táto množina určí množinu spoločných deliteľov čísel $48$ a $60 $. Najväčší prvok v tejto sade bude číslo $12$. To znamená, že najväčší spoločný deliteľ čísel $48$ a $60$ je $12$.

Definícia NPL

Definícia 3

Spoločné násobky prirodzených čísel$a$ a $b$ je prirodzené číslo, ktoré je násobkom $a$ aj $b$.

Spoločné násobky čísel sú čísla, ktoré sú deliteľné pôvodnými číslami bezo zvyšku, napríklad pre čísla $25$ a $50$ budú spoločné násobky čísla $50,100,150,200 $ atď.

Najmenší spoločný násobok sa bude nazývať najmenší spoločný násobok a bude označený LCM$(a;b)$ alebo K$(a;b).$

Ak chcete nájsť LCM dvoch čísel, musíte:

Rozdeľte čísla na prvočísla
Zapíšte si faktory, ktoré sú súčasťou prvého čísla a pridajte k nim faktory, ktoré sú súčasťou druhého a nie sú súčasťou prvého

Príklad 4

Nájdite LCM čísel 99 $ a 77 $.

Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to

Rozdeľte čísla na prvočísla

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Zapíšte si faktory zahrnuté v prvom

pridajte k nim multiplikátory, ktoré sú súčasťou druhého a nie sú súčasťou prvého

Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najmenší spoločný násobok

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Zostavovanie zoznamov deliteľov čísel je často veľmi pracná úloha. Existuje spôsob, ako nájsť GCD nazývaný Euklidovský algoritmus.

Tvrdenia, na ktorých je založený euklidovský algoritmus:

Ak $a$ a $b$ sú prirodzené čísla a $a\vbodky b$, potom $D(a;b)=b$

Ak $a$ a $b$ sú prirodzené čísla také, že $b

Pomocou $D(a;b)= D(a-b;b)$ môžeme postupne zmenšovať uvažované čísla, až kým nedosiahneme dvojicu čísel tak, že jedno z nich je deliteľné druhým. Potom menšie z týchto čísel bude požadovaným najväčším spoločným deliteľom pre čísla $a$ a $b$.

Vlastnosti GCD a LCM

Každý spoločný násobok $a$ a $b$ je deliteľný K$(a;b)$
Ak $a\vdots b$ , potom К$(a;b)=a$

Ak K$(a;b)=k$ a $m$ je prirodzené číslo, potom K$(am;bm)=km$

Ak $d$ je spoločný deliteľ pre $a$ a $b$, potom K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ak $a\vdots c$ a $b\vdots c$ , potom $\frac(ab)(c)$ je spoločný násobok $a$ a $b$

Pre ľubovoľné prirodzené čísla $a$ a $b$ platí rovnosť

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Akýkoľvek spoločný deliteľ čísel $a$ a $b$ je deliteľom čísla $D(a;b)$

Ale mnohé prirodzené čísla sú deliteľné aj inými prirodzenými číslami.

Napríklad:

Číslo 12 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Číslo 36 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Čísla, ktorými je číslo deliteľné celkom (pre 12 sú to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), sa nazývajú deliče čísel. Deliteľ prirodzeného čísla a- je prirodzené číslo, ktoré delí dané číslo a bez stopy. Prirodzené číslo, ktoré má viac ako dvoch deliteľov, sa nazýva zložený .

Upozorňujeme, že čísla 12 a 36 majú spoločné faktory. Tieto čísla sú: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najväčší deliteľ týchto čísel je 12. Spoločný deliteľ týchto dvoch čísel a A b- je to číslo, ktorým sa obe dané čísla bezo zvyšku delia a A b.

Spoločné násobky niekoľko čísel je číslo, ktoré je deliteľné každým z týchto čísel. Napríklad, čísla 9, 18 a 45 majú spoločný násobok 180. Ale aj 90 a 360 sú ich spoločné násobky. Spomedzi všetkých spoločných násobkov je vždy jeden najmenší, v tomto prípade je to 90. Toto číslo sa nazýva najmenšíspoločný násobok (CMM).

LCM je vždy prirodzené číslo, ktoré musí byť väčšie ako najväčšie z čísel, pre ktoré je definované.

Najmenší spoločný násobok (LCM). Vlastnosti.

Komutivita:

Asociativita:

Najmä, ak sú a sú prvočísla, potom:

Najmenší spoločný násobok dvoch celých čísel m A n je deliteľom všetkých ostatných spoločných násobkov m A n. Navyše množina spoločných násobkov m, n sa zhoduje s množinou násobkov LCM( m, n).

Asymptotiku for možno vyjadriť pomocou niektorých číselných teoretických funkcií.

takže, Čebyševova funkcia. a:

Vyplýva to z definície a vlastností Landauovej funkcie g(n).

Čo vyplýva zo zákona o rozdelení prvočísel.

Hľadanie najmenšieho spoločného násobku (LCM).

NOC( a, b) možno vypočítať niekoľkými spôsobmi:

1. Ak je známy najväčší spoločný deliteľ, môžete použiť jeho spojenie s LCM:

2. Nech je známy kanonický rozklad oboch čísel na prvočiniteľa:

Kde p 1 ,...,p k- rôzne prvočísla a d 1,...,d k A e 1 ,...,ek— nezáporné celé čísla (môžu to byť nuly, ak zodpovedajúce prvočíslo nie je v expanzii).

Potom NOC ( a,b) sa vypočíta podľa vzorca:

Inými slovami, rozklad LCM obsahuje všetky prvočísla zahrnuté aspoň v jednom z rozkladov čísel a, b a vezme sa najväčší z dvoch exponentov tohto multiplikátora.

Príklad:

Výpočet najmenšieho spoločného násobku niekoľkých čísel možno zredukovať na niekoľko sekvenčných výpočtov LCM dvoch čísel:

Pravidlo. Ak chcete nájsť LCM série čísel, potrebujete:

- rozložiť čísla na prvočísla;

- preniesť najväčší rozklad (súčin faktorov najväčšieho počtu z daných) na faktory požadovaného súčinu a potom pridať faktory z rozkladu iných čísel, ktoré sa v prvom čísle nevyskytujú alebo sa v ňom vyskytujú menej krát;

— výsledný súčin prvočiniteľov bude LCM daných čísel.

Akékoľvek dve alebo viac prirodzených čísel má svoj vlastný LCM. Ak čísla nie sú navzájom násobkami alebo nemajú rovnaké faktory v expanzii, potom sa ich LCM rovná súčinu týchto čísel.

Prvočísla čísla 28 (2, 2, 7) sú doplnené koeficientom 3 (číslo 21), výsledný súčin (84) bude najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 21 a 28.

Prvočísla najväčšieho čísla 30 sú doplnené o činiteľ 5 čísla 25, výsledný súčin 150 je väčší ako najväčšie číslo 30 a je deliteľný všetkými danými číslami bezo zvyšku. Ide o najmenší možný súčin (150, 250, 300...), ktorý je násobkom všetkých zadaných čísel.

Čísla 2,3,11,37 sú prvočísla, takže ich LCM sa rovná súčinu daných čísel.

Pravidlo. Ak chcete vypočítať LCM prvočísel, musíte všetky tieto čísla vynásobiť.

Ďalšia možnosť:

Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) niekoľkých čísel, potrebujete:

1) predstavujú každé číslo ako súčin jeho prvočísel, napríklad:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) napíšte mocniny všetkých prvočiniteľov:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapíšte si všetkých prvočíselníkov (násobiteľov) každého z týchto čísel;

4) vyberte najväčší stupeň každého z nich, ktorý sa nachádza vo všetkých rozšíreniach týchto čísel;

5) znásobte tieto právomoci.

Príklad. Nájdite LCM čísel: 168, 180 a 3024.

Riešenie. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Zapíšeme najväčšie mocniny všetkých prvočíselných deliteľov a vynásobíme ich:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Nižšie uvedený materiál je logickým pokračovaním teórie z článku s názvom LCM - najmenší spoločný násobok, definícia, príklady, spojenie medzi LCM a GCD. Tu budeme hovoriť o nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM), pričom osobitnú pozornosť budeme venovať riešeniu príkladov. Najprv si ukážeme, ako sa vypočíta LCM dvoch čísel pomocou GCD týchto čísel. Ďalej sa pozrieme na nájdenie najmenšieho spoločného násobku rozkladom čísel na prvočísla. Potom sa zameriame na nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel a venujeme pozornosť aj výpočtu LCM záporných čísel.

Navigácia na stránke.

Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) cez GCD

Jeden spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na vzťahu medzi LCM a GCD. Existujúce spojenie medzi LCM a GCD nám umožňuje vypočítať najmenší spoločný násobok dvoch kladných celých čísel prostredníctvom známeho najväčšieho spoločného deliteľa. Zodpovedajúci vzorec je LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Pozrime sa na príklady nájdenia LCM pomocou daného vzorca.

Príklad.

Nájdite najmenší spoločný násobok dvoch čísel 126 a 70.

Riešenie.

V tomto príklade a=126, b=70. Využime spojenie medzi LCM a GCD, vyjadrené vzorcom LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). To znamená, že najprv musíme nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel 70 a 126, potom môžeme pomocou napísaného vzorca vypočítať LCM týchto čísel.

Nájdite GCD(126, 70) pomocou euklidovského algoritmu: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, teda GCD(126, 70)=14.

Teraz nájdeme požadovaný najmenší spoločný násobok: GCD(126; 70)=126·70:GCD(126; 70)= 126,70:14=630.

odpoveď:

LCM(126,70)=630.

Príklad.

Čomu sa rovná LCM(68, 34)?

Riešenie.

Pretože 68 je deliteľné 34, potom GCD(68, 34)=34. Teraz vypočítame najmenší spoločný násobok: GCD(68; 34)=68·34:GCD(68; 34)= 68-34:34=68.

odpoveď:

LCM(68,34)=68.

Všimnite si, že predchádzajúci príklad vyhovuje nasledujúcemu pravidlu na nájdenie LCM pre kladné celé čísla a a b: ak je číslo a deliteľné b, potom najmenší spoločný násobok týchto čísel je a.

Nájdenie LCM rozdelením čísel na prvočísla

Ďalší spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na rozklade čísel na prvočísla. Ak poskladáte súčin zo všetkých prvočísel daných čísel a potom z tohto súčinu vylúčite všetky spoločné prvočísla prítomné v rozkladoch daných čísel, výsledný súčin sa bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku daných čísel .

Uvedené pravidlo pre nájdenie LCM vyplýva z rovnosti LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Súčin čísel a a b sa skutočne rovná súčinu všetkých faktorov podieľajúcich sa na rozširovaní čísel a a b. Na druhej strane, GCD(a, b) sa rovná súčinu všetkých prvočiniteľov súčasne prítomných v expanziách čísel a a b (ako je popísané v časti o hľadaní GCD pomocou rozšírenia čísel na prvočísla).

Uveďme si príklad. Dajte nám vedieť, že 75=3·5·5 a 210=2·3·5·7. Zostavme súčin zo všetkých faktorov týchto expanzií: 2·3·3·5·5·5·7 . Teraz z tohto súčinu vylúčime všetky faktory prítomné v rozšírení čísla 75 aj rozšírení čísla 210 (tieto faktory sú 3 a 5), potom bude súčin mať tvar 2·3·5·5·7 . Hodnota tohto súčinu sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku 75 a 210, tj. NOC(75; 210)= 2·3·5·5·7=1 050.

Príklad.

Rozložte čísla 441 a 700 na prvočísla a nájdite najmenší spoločný násobok týchto čísel.

Riešenie.

Rozložme čísla 441 a 700 do prvočísel:

Dostaneme 441=3·3·7·7 a 700=2·2·5·5·7.

Teraz vytvorme súčin zo všetkých faktorov zahrnutých do rozšírenia týchto čísel: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Vylúčme z tohto produktu všetky faktory, ktoré sú súčasne prítomné v oboch expanziách (existuje len jeden taký faktor - toto je číslo 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. teda LCM(441; 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

odpoveď:

NOC(441,700)= 44100.

Pravidlo na nájdenie LCM pomocou rozkladu čísel na prvočísla možno formulovať trochu inak. Ak sa chýbajúce faktory z rozšírenia čísla b pripočítajú k faktorom z rozšírenia čísla a, potom sa hodnota výsledného súčinu bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku čísel a a b.

Vezmime si napríklad rovnaké čísla 75 a 210, ich rozklad na prvočiniteľ je nasledovný: 75=3·5·5 a 210=2·3·5·7. K faktorom 3, 5 a 5 z rozšírenia čísla 75 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 7 z rozšírenia čísla 210, dostaneme súčin 2·3·5·5·7, ktorého hodnota je sa rovná LCM(75, 210).

Príklad.

Nájdite najmenší spoločný násobok 84 a 648.

Riešenie.

Najprv získame rozklady čísel 84 a 648 na prvočiniteľa. Vyzerajú ako 84=2·2·3·7 a 648=2·2·2·3·3·3·3. K faktorom 2, 2, 3 a 7 z rozšírenia čísla 84 pripočítame chýbajúce faktory 2, 3, 3 a 3 z rozšírenia čísla 648, dostaneme súčin 2 2 2 3 3 3 3 7, čo sa rovná 4 536 . Požadovaný najmenší spoločný násobok 84 a 648 je teda 4 536.

odpoveď:

LCM(84,648)=4,536.

Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel

Najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel možno nájsť postupným nájdením LCM dvoch čísel. Pripomeňme si zodpovedajúcu vetu, ktorá umožňuje nájsť LCM troch alebo viacerých čísel.

Veta.

Nech sú dané kladné celé čísla a 1 , a 2 , …, a k, najmenší spoločný násobok m k týchto čísel nájdeme postupným výpočtom m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2, a 3), …, mk = LCM(mk-1, ak).

Uvažujme o aplikácii tejto vety na príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku štyroch čísel.

Príklad.

Nájdite LCM štyroch čísel 140, 9, 54 a 250.

Riešenie.

V tomto príklade a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Najprv nájdeme m2 = LOC(a1, a2) = LOC(140; 9). Aby sme to dosiahli, pomocou euklidovského algoritmu určíme GCD(140, 9), máme 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, teda GCD(140, 9)=1, odkiaľ GCD(140; 9)=140 9:GCD(140; 9)= 140.9:1=1260. To znamená, m2 = 1 260.

Teraz nájdeme m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). Vypočítajme to pomocou GCD(1 260, 54), ktoré určíme aj pomocou euklidovského algoritmu: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Potom gcd(1,260, 54)=18, z čoho gcd(1,260,54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. To znamená, m3 = 3 780.

Zostáva len nájsť m4 = LOC(m3, a4) = LOC(3 780, 250). Aby sme to dosiahli, nájdeme GCD(3,780, 250) pomocou euklidovského algoritmu: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Preto GCM(3,780, 250)=10, odkiaľ GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3 780 · 250 : 10 = 94 500. To znamená, m4 = 94 500.

Takže najmenší spoločný násobok pôvodných štyroch čísel je 94 500.

odpoveď:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

V mnohých prípadoch je vhodné nájsť najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel pomocou prvočíselných rozkladov daných čísel. V tomto prípade by ste mali dodržiavať nasledujúce pravidlo. Najmenší spoločný násobok viacerých čísel sa rovná súčinu, ktorý sa skladá takto: chýbajúce činitele z rozšírenia druhého čísla sa pripočítajú ku všetkým súčiniteľom z rozšírenia prvého čísla, chýbajúce činitele z rozšírenia prvého čísla tretie číslo sa pripočíta k výsledným faktorom atď.

Pozrime sa na príklad hľadania najmenšieho spoločného násobku pomocou prvočíselného rozkladu.

Príklad.

Nájdite najmenší spoločný násobok piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.

Riešenie.

Najprv získame rozklady týchto čísel na prvočísla: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je prvočíslo, zhoduje sa s jej rozkladom na prvočiniteľa) a 143=11·13.

Ak chcete nájsť LCM týchto čísel, k faktorom prvého čísla 84 (sú to 2, 2, 3 a 7), musíte pridať chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla 6. Rozklad čísla 6 neobsahuje chýbajúce faktory, keďže 2 aj 3 sú už prítomné v rozklade prvého čísla 84. Ďalej k faktorom 2, 2, 3 a 7 pridáme chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia tretieho čísla 48, dostaneme množinu faktorov 2, 2, 2, 2, 3 a 7. V ďalšom kroku nebude potrebné do tejto sady pridávať násobiče, keďže 7 je v nej už obsiahnutá. Nakoniec k faktorom 2, 2, 2, 2, 3 a 7 pridáme chýbajúce faktory 11 a 13 z rozšírenia čísla 143. Dostaneme súčin 2·2·2·2·3·7·11·13, čo sa rovná 48 048.

Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok sú kľúčové aritmetické pojmy, vďaka ktorým je práca so zlomkami jednoduchá. LCM a sa najčastejšie používajú na nájdenie spoločného menovateľa viacerých zlomkov.

Základné pojmy

Deliteľ celého čísla X je ďalšie celé číslo Y, ktorým sa X delí bez zanechania zvyšku. Napríklad deliteľ čísla 4 je 2 a 36 je 4, 6, 9. Násobkom celého čísla X je číslo Y, ktoré je deliteľné X bez zvyšku. Napríklad 3 je násobok 15 a 6 je násobok 12.

Pre každú dvojicu čísel môžeme nájsť ich spoločných deliteľov a násobkov. Napríklad pre 6 a 9 je spoločný násobok 18 a spoločný deliteľ 3. Je zrejmé, že páry môžu mať niekoľko deliteľov a násobkov, takže výpočty používajú najväčšieho deliteľa GCD a najmenšieho násobku LCM.

Najmenší deliteľ nemá význam, pretože pre každé číslo je vždy jedna. Najväčší násobok je tiež nezmyselný, pretože postupnosť násobkov siaha do nekonečna.

Hľadá sa gcd

Existuje mnoho metód na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa, z ktorých najznámejšie sú:

postupné vyhľadávanie deliteľov, výber spoločných pre pár a hľadanie najväčšieho z nich;
rozklad čísel na nedeliteľné faktory;
euklidovský algoritmus;
binárny algoritmus.

Dnes sú vo vzdelávacích inštitúciách najpopulárnejšími metódami rozklad na hlavné faktory a euklidovský algoritmus. Ten sa zase používa pri riešení diofantických rovníc: hľadanie GCD je potrebné na kontrolu rovnice na možnosť rozlíšenia v celých číslach.

Nájdenie NOC

Najmenší spoločný násobok sa určí aj postupným vyhľadávaním alebo rozkladom na nedeliteľné faktory. Okrem toho je ľahké nájsť LCM, ak už bol určený najväčší deliteľ. Pre čísla X a Y sú LCM a GCD spojené nasledujúcim vzťahom:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Ak napríklad GCM(15,18) = 3, potom LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najzrejmejším príkladom použitia LCM je nájsť spoločného menovateľa, ktorým je najmenší spoločný násobok dané zlomky.

Coprime čísla

Ak dvojica čísel nemá spoločných deliteľov, potom sa takáto dvojica nazýva koprimá. Gcd pre takéto páry sa vždy rovná jednej a na základe spojenia medzi deliteľmi a násobkami sa gcd pre párové páry rovná ich súčinu. Napríklad čísla 25 a 28 sú relatívne prvočísla, pretože nemajú spoločných deliteľov, a LCM(25, 28) = 700, čo zodpovedá ich súčinu. Akékoľvek dve nedeliteľné čísla budú vždy relatívne prvočísla.

Spoločný deliteľ a viacnásobná kalkulačka

Pomocou našej kalkulačky môžete vypočítať GCD a LCM pre ľubovoľný počet čísel, z ktorých si môžete vybrať. Úlohy týkajúce sa výpočtu spoločných deliteľov a násobkov sa nachádzajú v aritmetike 5. a 6. ročníka, ale GCD a LCM sú kľúčové pojmy v matematike a používajú sa v teórii čísel, planimetrii a komunikačnej algebre.

Príklady zo života

Spoločný menovateľ zlomkov

Najmenší spoločný násobok sa používa pri hľadaní spoločného menovateľa niekoľkých zlomkov. Povedzme, že v aritmetickom probléme potrebujete sčítať 5 zlomkov:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Ak chcete pridať zlomky, výraz sa musí zredukovať na spoločného menovateľa, čím sa zníži problém s nájdením LCM. Ak to chcete urobiť, vyberte v kalkulačke 5 čísel a do príslušných buniek zadajte hodnoty menovateľov. Program vypočíta LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Teraz musíte pre každý zlomok vypočítať ďalšie faktory, ktoré sú definované ako pomer LCM k menovateľovi. Takže dodatočné multiplikátory budú vyzerať takto:

360/8 = 45
360/9 = 40
360/12 = 30
360/15 = 24
360/18 = 20.

Potom vynásobíme všetky zlomky zodpovedajúcim dodatočným faktorom a dostaneme:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Takéto zlomky môžeme ľahko sčítať a dostaneme výsledok 159/360. Zlomok znížime o 3 a uvidíme konečnú odpoveď - 53/120.

Riešenie lineárnych diofantických rovníc

Lineárne diofantické rovnice sú vyjadrením tvaru ax + by = d. Ak je pomer d / gcd(a, b) celé číslo, potom je rovnica riešiteľná v celých číslach. Pozrime sa na pár rovníc, aby sme zistili, či majú celočíselné riešenie. Najprv skontrolujme rovnicu 150x + 8y = 37. Pomocou kalkulačky zistíme GCD (150,8) = 2. Vydelíme 37/2 = 18,5. Číslo nie je celé číslo, preto rovnica nemá celé korene.

Skontrolujeme rovnicu 1320x + 1760y = 10120. Pomocou kalkulačky nájdite GCD(1320, 1760) = 440. Vydeľte 10120/440 = 23. Výsledkom je celé číslo, preto je diofantínska rovnica riešiteľná v .

Záver

GCD a LCM zohrávajú veľkú úlohu v teórii čísel a samotné koncepty sa široko používajú v širokej škále oblastí matematiky. Použite našu kalkulačku na výpočet najväčších deliteľov a najmenších násobkov ľubovoľného počtu čísel.

Online kalkulačka vám umožňuje rýchlo nájsť najväčšieho spoločného deliteľa a najmenšieho spoločného násobku pre dva alebo akýkoľvek iný počet čísel.

Kalkulačka na nájdenie GCD a LCM

Nájdite GCD a LOC

Nájdené GCD a LOC: 5806

Ako používať kalkulačku

Do vstupného poľa zadajte čísla
Ak zadáte nesprávne znaky, vstupné pole sa zvýrazní červenou farbou
kliknite na tlačidlo "Nájsť GCD a LOC".

Ako zadávať čísla

Čísla sa zadávajú oddelené medzerou, bodkou alebo čiarkou
Dĺžka zadávaných čísel nie je obmedzená, takže nájsť GCD a LCM dlhých čísel nie je ťažké

Čo sú GCD a NOC?

Najväčší spoločný deliteľ niekoľko čísel je najväčšie prirodzené celé číslo, ktorým sú všetky pôvodné čísla bezo zvyšku deliteľné. Najväčší spoločný deliteľ je skrátený ako GCD.
Najmenší spoločný násobok niekoľko čísel je najmenšie číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné každým z pôvodných čísel. Najmenší spoločný násobok sa označuje skratkou NOC.

Ako skontrolovať, či je číslo deliteľné iným číslom bez zvyšku?

Ak chcete zistiť, či je jedno číslo bezo zvyšku deliteľné druhým, môžete použiť niektoré vlastnosti deliteľnosti čísel. Potom ich spojením môžete skontrolovať deliteľnosť niektorých z nich a ich kombinácií.

Niektoré znaky deliteľnosti čísel

1. Test deliteľnosti čísla 2
Ak chcete zistiť, či je číslo deliteľné dvoma (či je párne), stačí sa pozrieť na poslednú číslicu tohto čísla: ak sa rovná 0, 2, 4, 6 alebo 8, potom je číslo párne, čo znamená, že je deliteľné 2.
Príklad: určiť, či je číslo 34938 deliteľné 2.
Riešenie: Pozeráme sa na poslednú číslicu: 8 - to znamená, že číslo je deliteľné dvoma.

2. Test deliteľnosti čísla 3
Číslo je deliteľné tromi, keď súčet jeho číslic je deliteľný tromi. Ak teda chcete zistiť, či je číslo deliteľné 3, musíte vypočítať súčet číslic a skontrolovať, či je deliteľné 3. Aj keď je súčet číslic veľmi veľký, môžete zopakovať rovnaký postup.
Príklad: určiť, či je číslo 34938 deliteľné 3.
Riešenie: Spočítame súčet čísel: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deliteľné 3, čo znamená, že číslo je deliteľné tromi.

3. Test deliteľnosti čísla 5
Číslo je deliteľné 5, ak je jeho posledná číslica nula alebo päť.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 5.
Riešenie: pozrite sa na poslednú číslicu: 8 znamená, že číslo NIE JE deliteľné piatimi.

4. Test deliteľnosti čísla 9
Toto znamienko je veľmi podobné znamienku deliteľnosti tromi: číslo je deliteľné 9, ak súčet jeho číslic je deliteľný 9.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 9.
Riešenie: Spočítame súčet čísel: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deliteľné 9, čo znamená, že číslo je deliteľné deviatimi.

Ako nájsť GCD a LCM dvoch čísel

ako nájsť gcd dvoch čísel

Najjednoduchší spôsob, ako vypočítať najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel, je nájsť všetkých možných deliteľov týchto čísel a vybrať najväčšieho.

Zoberme si túto metódu pomocou príkladu hľadania GCD(28, 36):

Vynásobíme obe čísla: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
Nájdeme spoločné faktory, teda tie, ktoré majú obe čísla: 1, 2 a 2.
Vypočítame súčin týchto faktorov: 1 2 2 = 4 - to je najväčší spoločný deliteľ čísel 28 a 36.

Ako nájsť LCM dvoch čísel

Existujú dva najbežnejšie spôsoby, ako nájsť najmenší násobok dvoch čísel. Prvý spôsob je taký, že si môžete zapísať prvé násobky dvoch čísel a potom si z nich vybrať číslo, ktoré bude spoločné pre obe čísla a zároveň najmenšie. A druhým je nájsť gcd týchto čísel. Uvažujme len o tom.

Ak chcete vypočítať LCM, musíte vypočítať súčin pôvodných čísel a potom ho rozdeliť na predtým nájdené GCD. Nájdite LCM pre rovnaké čísla 28 a 36:

Nájdite súčin čísel 28 a 36: 28·36 = 1008
GCD(28, 36), ako je už známe, sa rovná 4
LCM(28,36) = 1008/4 = 252.

Nájdenie GCD a LCM pre niekoľko čísel

Najväčší spoločný deliteľ možno nájsť pre niekoľko čísel, nielen pre dve. Na tento účel sa čísla, ktoré sa majú nájsť pre najväčšieho spoločného deliteľa, rozložia na prvočísla a potom sa nájde súčin spoločných prvočísel týchto čísel. Na nájdenie gcd niekoľkých čísel môžete použiť aj nasledujúci vzťah: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Podobný vzťah platí pre najmenší spoločný násobok: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Príklad: nájdite GCD a LCM pre čísla 12, 32 a 36.

Najprv rozložme čísla na faktor: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
Poďme nájsť spoločné faktory: 1, 2 a 2.
Ich súčin poskytne GCD: 1·2·2 = 4
Teraz nájdime LCM: aby sme to urobili, najprv nájdime LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
Ak chcete nájsť LCM všetkých troch čísel, musíte nájsť GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1 · 2 · 2 3 = 12.
LCM(12, 32, 36) = 96,36/12 = 288.