Fibonacciho čísla: praktická aplikácia. Fibonacciho sekvencia ilustrovaná prírodou
Kanalieva Dana
V tejto práci sme študovali a analyzovali prejav Fibonacciho sekvenčných čísel v realite okolo nás. Objavili sme prekvapivý matematický vzťah medzi počtom špirál v rastlinách, počtom vetiev v akejkoľvek horizontálnej rovine a Fibonacciho sekvenčnými číslami. V ľudskej štruktúre sme videli aj prísnu matematiku. Molekula ľudskej DNA, v ktorej je zašifrovaný celý vývojový program človeka, dýchací systém, štruktúra ucha - všetko sa riadi určitými číselnými vzťahmi.
Sme presvedčení, že príroda má svoje vlastné zákony vyjadrené pomocou matematiky.
A matematika je veľmi dôležitý nástroj poznania tajomstvá prírody.
Stiahnuť:
Ukážka:
MBOU "Stredná škola Pervomajskaja"
Okres Orenburg, kraj Orenburg
VÝSKUMNÉ PRÁCE
"Tajomstvo čísel"
Fibonacci"
Doplnila: Kanalieva Dana
Žiak 6. ročníka
Vedecký vedúci:
Gazizová Valeria Valerievna
Učiteľ matematiky najvyššej kategórie
n
2012
Vysvetlivka ……………………………………………………………………………………………….. 3.
Úvod. História Fibonacciho čísel ………………………………………………………………… 4.
Kapitola 1. Fibonacciho čísla v živej prírode...........…. ………………………………………… 5.
Kapitola 2. Fibonacciho špirála............................................ ....................................... 9.
Kapitola 3. Fibonacciho čísla v ľudských vynálezoch...........……………………………….. 13
Kapitola 4. Náš výskum……………………………………………………………………….. 16.
Kapitola 5. Záver, závery……………………………………………………………………………………………… 19.
Zoznam použitej literatúry a internetových stránok………………………………………………..21.
Predmet štúdia:
Človek, matematické abstrakcie vytvorené človekom, ľudské vynálezy, okolitá flóra a fauna.
Predmet výskumu:
forma a štruktúra skúmaných predmetov a javov.
Účel štúdie:
študovať prejavy Fibonacciho čísel a súvisiaci zákon zlatého rezu v štruktúre živých a neživých predmetov,
nájsť príklady použitia Fibonacciho čísel.
Ciele práce:
Opíšte metódu konštrukcie Fibonacciho radu a Fibonacciho špirály.
Pozrite si matematické zákonitosti v štruktúre ľudí, flóry a neživej prírody z pohľadu fenoménu zlatého rezu.
Novinka výskumu:
Objav Fibonacciho čísel v realite okolo nás.
Praktický význam:
Využívanie získaných vedomostí a bádateľských zručností pri štúdiu iných školských predmetov.
Zručnosti a schopnosti:
Organizácia a priebeh experimentu.
Použitie odbornej literatúry.
Získanie schopnosti kontrolovať zozbieraný materiál (správa, prezentácia)
Návrh práce s výkresmi, schémami, fotografiami.
Aktívna účasť na diskusiách o vašej práci.
Metódy výskumu:
empirické (pozorovanie, experiment, meranie).
teoretické (logické štádium poznania).
Vysvetľujúca poznámka.
„Čísla vládnu svetu! Číslo je moc, ktorá vládne bohom a smrteľníkom!“ - toto hovorili starí Pythagorejci. Je tento základ Pytagorasovho učenia aktuálny aj dnes? Pri štúdiu vedy o číslach v škole sa chceme uistiť, že javy celého vesmíru skutočne podliehajú určitým numerickým vzťahom, aby sme našli toto neviditeľné spojenie medzi matematikou a životom!
Je naozaj v každom kvete,
V molekule aj v galaxii,
Číselné vzory
Táto prísna „suchá“ matematika?
Obrátili sme sa na moderný zdroj informácií - internet a prečítali sme si o Fibonacciho číslach, o magických číslach, ktoré sú plné veľkého tajomstva. Ukazuje sa, že tieto čísla možno nájsť v slnečniciach a šiškách, v krídlach vážok a hviezdice, v rytmoch ľudského srdca a v hudobných rytmoch...
Prečo je táto postupnosť čísel v našom svete taká bežná?
Chceli sme vedieť o tajomstvách Fibonacciho čísel. Táto výskumná práca bola výsledkom našej činnosti.
hypotéza:
v realite okolo nás je všetko postavené podľa úžasne harmonických zákonov s matematickou presnosťou.
Všetko na svete je premyslené a vypočítané naším najdôležitejším dizajnérom - Prírodou!
Úvod. História Fibonacciho série.
Úžasné čísla objavil taliansky stredoveký matematik Leonardo z Pisy, známy skôr ako Fibonacci. Cestou po Východe sa zoznámil s výdobytkami arabskej matematiky a prispel k ich presunu na Západ. V jednom zo svojich diel s názvom „Kniha výpočtov“ predstavil Európe jeden z najväčších objavov všetkých čias – systém desiatkových čísel.
Jedného dňa si lámal hlavu nad riešením matematického problému. Snažil sa vytvoriť vzorec, ktorý by opísal postupnosť chovu králikov.
Riešením bol číselný rad, ktorého každé nasledujúce číslo je súčtom dvoch predchádzajúcich:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...
Čísla, ktoré tvoria túto postupnosť, sa nazývajú „Fibonacciho čísla“ a samotná postupnosť sa nazýva Fibonacciho postupnosť.
"Tak čo?" - poviete: "Naozaj môžeme sami prísť s podobnými radmi čísel, ktoré sa zvyšujú podľa daného postupu?" Keď sa objavila séria Fibonacci, nikto vrátane neho netušil, ako blízko sa mu podarilo dostať k vyriešeniu jednej z najväčších záhad vesmíru!
Fibonacci viedol samotársky životný štýl, trávil veľa času v prírode a pri prechádzke v lese si všimol, že ho tieto čísla začali doslova prenasledovať. Všade v prírode sa s týmito číslami stretával znova a znova. Napríklad okvetné lístky a listy rastlín presne zapadajú do daného číselného radu.
Vo Fibonacciho číslach je zaujímavá vlastnosť: kvocient delenia nasledujúceho Fibonacciho čísla predchádzajúcim, keď samotné čísla rastú, má tendenciu k 1,618. Práve toto konštantné číslo delenia sa v stredoveku nazývalo Božská proporcia a teraz sa označuje ako zlatý rez alebo zlatý podiel.
V algebre sa toto číslo označuje gréckym písmenom phi (Ф)
Takže φ = 1,618
233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618
1597 / 987 = 1,618
2584 / 1597 = 1,618
Nezáleží na tom, koľkokrát vydelíme číslo, ktoré k nemu susedí, vždy dostaneme 1,618 a ak urobíme opak, teda menšie číslo vydelíme väčším, dostaneme 0,618, toto je. inverzná hodnota 1,618 nazývaná aj zlatý rez.
Fibonacciho séria mohla zostať len matematickým incidentom, nebyť toho, že všetci výskumníci zlatého rozdelenia vo svete rastlín a zvierat, nehovoriac o umení, vždy prišli k tomuto radu ako k aritmetickému vyjadreniu zákona zlatého. divízie.
Vedci, ktorí analyzovali ďalšiu aplikáciu tohto číselného radu na prírodné javy a procesy, zistili, že tieto čísla sú obsiahnuté doslova vo všetkých objektoch živej prírody, v rastlinách, zvieratách a ľuďoch.
Úžasná matematická hračka sa ukázala ako jedinečný kód vložený do všetkých prírodných objektov samotným Stvoriteľom vesmíru.
Pozrime sa na príklady, kde sa Fibonacciho čísla vyskytujú v živej a neživej prírode.
Fibonacciho čísla v živej prírode.
Ak sa pozriete na rastliny a stromy okolo nás, môžete vidieť, koľko listov je na každom z nich. Z diaľky sa zdá, že vetvy a listy na rastlinách sú umiestnené náhodne, v žiadnom konkrétnom poradí. Vo všetkých rastlinách však zázračným, matematicky presným spôsobom, ktorá vetva odkiaľ vyrastie, ako budú vetvy a listy umiestnené v blízkosti stonky alebo kmeňa. Od prvého dňa svojho objavenia sa rastlina vo svojom vývoji presne riadi týmito zákonmi, to znamená, že sa náhodou neobjaví ani jeden list, ani jeden kvet. Ešte pred jeho objavením je rastlina už presne naprogramovaná. Koľko konárov bude na budúcom strome, kde budú rásť konáre, koľko listov bude na každom konári a ako a v akom poradí budú listy usporiadané. Spoločná práca botanikov a matematikov objasnila tieto úžasné prírodné javy. Ukázalo sa, že Fibonacciho séria sa prejavuje v usporiadaní listov na konári (fylotaxia), v počte otáčok na stonke, v počte listov v cykle, a preto sa prejavuje aj zákon zlatého rezu. sám.
Ak sa vydáte hľadať číselné vzory v živej prírode, všimnete si, že tieto čísla sa často nachádzajú v rôznych špirálovitých formách, ktoré sú vo svete rastlín také bohaté. Napríklad odrezky listov sú priľahlé k stonke v špirále, ktorá prebieha medzi nimidva susediace listy:plná rotácia - pri lieske,- pri dube, - pri topoľoch a hruškách,- pri vŕbe.
Semená slnečnice, Echinacea purpurea a mnohých ďalších rastlín sú usporiadané v špirálach a počet špirál v každom smere je Fibonacciho číslo.
Slnečnica, 21 a 34 špirál. Echinacea, 34 a 55 špirál.
Jasný, symetrický tvar kvetov tiež podlieha prísnemu zákonu.
Pri mnohých kvetoch je počet okvetných lístkov presne taký, ako čísla zo série Fibonacci. Napríklad:
dúhovka, 3p. masliaka, 5 lep. zlatý kvet, 8 lep. delphinium,
13 lep.
čakanka, 21lep. astra, 34 lep. sedmokrásky, 55 lep.
Séria Fibonacci charakterizuje štrukturálnu organizáciu mnohých živých systémov.
Už sme povedali, že pomer susedných čísel vo Fibonacciho rade je číslo φ = 1,618. Ukazuje sa, že človek sám je jednoducho zásobárňou čísel phi.
Proporcie jednotlivých častí nášho tela sú číslom veľmi blízkym zlatému rezu. Ak sa tieto proporcie zhodujú so vzorcom zlatého pomeru, potom sa vzhľad alebo telo osoby považujú za ideálne proporcie. Princíp výpočtu miery zlata na ľudskom tele možno znázorniť vo forme diagramu.
M/m = 1,618
Prvý príklad zlatého rezu v štruktúre ľudského tela:
Ak vezmeme bod pupka ako stred ľudského tela a vzdialenosť medzi chodidlom človeka a bodom pupka ako mernú jednotku, potom sa výška osoby rovná číslu 1,618.
Ľudská ruka
Stačí k sebe priblížiť dlaň a pozorne sa pozrieť na ukazovák a hneď v ňom nájdete vzorec zlatého rezu. Každý prst našej ruky pozostáva z troch falangov.
Súčet prvých dvoch falangov prsta vo vzťahu k celej dĺžke prsta udáva číslo zlatého rezu (s výnimkou palca).
Navyše, pomer medzi prostredníkom a malíčkom sa tiež rovná zlatému rezu.
Osoba má 2 ruky, prsty na každej ruke pozostávajú z 3 falangov (okrem palca). Na každej ruke je 5 prstov, teda spolu 10, ale s výnimkou dvoch dvojfalangových palcov je vytvorených len 8 prstov podľa princípu zlatého rezu. Zatiaľ čo všetky tieto čísla 2, 3, 5 a 8 sú čísla Fibonacciho postupnosti.
Zlatý rez v štruktúre ľudských pľúc
Americký fyzik B.D West a Dr.A.L. Goldberger počas fyzikálnych a anatomických štúdií zistil, že zlatý rez existuje aj v štruktúre ľudských pľúc.
Zvláštnosť priedušiek, ktoré tvoria ľudské pľúca, spočíva v ich asymetrii. Priedušky pozostávajú z dvoch hlavných dýchacích ciest, z ktorých jedna (ľavá) je dlhšia a druhá (pravá) je kratšia.
Zistilo sa, že táto asymetria pokračuje vo vetvách priedušiek, vo všetkých menších dýchacích cestách. Navyše pomer dĺžok krátkych a dlhých priedušiek je tiež zlatým pomerom a rovná sa 1:1,618.
Umelci, vedci, módni návrhári, dizajnéri robia svoje výpočty, kresby alebo náčrty na základe pomeru zlatého rezu. Využívajú merania z ľudského tela, ktoré bolo tiež vytvorené podľa princípu zlatého rezu. Leonardo Da Vinci a Le Corbusier pred vytvorením svojich majstrovských diel prevzali parametre ľudského tela vytvoreného podľa zákona zlatého podielu.
Existuje aj iná, prozaickejšia aplikácia proporcií ľudského tela. Pomocou týchto vzťahov napríklad analytici kriminality a archeológovia používajú fragmenty častí ľudského tela na rekonštrukciu vzhľadu celku.
Zlaté proporcie v štruktúre molekuly DNA.
Všetky informácie o fyziologických vlastnostiach živých bytostí, či už ide o rastlinu, zviera alebo človeka, sú uložené v mikroskopickej molekule DNA, ktorej štruktúra obsahuje aj zákon zlatého pomeru. Molekula DNA pozostáva z dvoch vertikálne prepletených špirál. Dĺžka každej z týchto špirál je 34 angstromov a šírka 21 angstromov. (1 angstrom je sto milióntina centimetra).
Takže 21 a 34 sú čísla nasledujúce za sebou v postupnosti Fibonacciho čísel, to znamená, že pomer dĺžky a šírky logaritmickej špirály molekuly DNA nesie vzorec zlatého pomeru 1:1,618.
Nielen vzpriamení chodci, ale ani všetky plávajúce, lezúce, lietajúce a skákajúce tvory neunikli osudu podriadiť sa číslu phi. Ľudský srdcový sval sa stiahne na 0,618 svojho objemu. Štruktúra ulity slimáka zodpovedá Fibonacciho proporciám. A takýchto príkladov možno nájsť neúrekom – ak by tu bola túžba skúmať prírodné objekty a procesy. Svet je tak presiaknutý Fibonacciho číslami, že sa niekedy zdá, že vesmír sa dá vysvetliť iba nimi.
Fibonacciho špirála.
V matematike neexistuje žiadna iná forma, ktorá by mala rovnaké jedinečné vlastnosti ako špirála, pretože
Štruktúra špirály je založená na pravidle zlatého rezu!
Aby sme pochopili matematickú konštrukciu špirály, zopakujme si, čo je zlatý rez.
Zlatý rez je také proporčné rozdelenie segmentu na nerovnaké časti, pri ktorom celý segment súvisí s väčšou časťou, ako samotná väčšia časť súvisí s menšou, alebo inými slovami, menšia časť súvisí s čím väčší je tým väčší k celku.
To je (a+b) /a = a / b
Obdĺžnik s presne týmto pomerom strán sa začal nazývať zlatý obdĺžnik. Jeho dlhé strany sú v pomere ku krátkym stranám v pomere 1,168:1.
Zlatý obdĺžnik má veľa nezvyčajných vlastností. Vyrezanie štvorca zo zlatého obdĺžnika, ktorého strana sa rovná menšej strane obdĺžnika,
opäť nám vznikne menší zlatý obdĺžnik.
Tento proces môže pokračovať donekonečna. Keď budeme pokračovať v odkrajovaní štvorcov, skončíme pri stále menších zlatých obdĺžnikoch. Navyše budú umiestnené v logaritmickej špirále, čo je dôležité pri matematických modeloch prírodných objektov.
Napríklad špirálovitý tvar môžeme vidieť v usporiadaní slnečnicových semien, v ananásoch, kaktusoch, štruktúre ružových lístkov atď.
Sme prekvapení a potešení špirálovitou štruktúrou mušlí.
U väčšiny slimákov, ktoré majú ulity, ulita rastie v tvare špirály. Niet však pochýb o tom, že tieto nerozumné stvorenia nielenže nemajú o špirále ani potuchy, ale nemajú ani tie najjednoduchšie matematické znalosti, aby si sami vytvorili škrupinu v tvare špirály.
Ale ako boli potom tieto nerozumné stvorenia schopné určiť a zvoliť si pre seba ideálnu formu rastu a existencie vo forme špirálovej škrupiny? Dokázali by si tieto živé bytosti, ktoré vedecký svet nazývajú primitívne formy života, spočítať, že špirálovitý tvar škrupiny by bol pre ich existenciu ideálny?
Pokúšať sa vysvetliť vznik takejto aj najprimitívnejšej formy života náhodnou kombináciou určitých prírodných okolností je prinajmenšom absurdné. Je jasné, že tento projekt je vedomým výtvorom.
Špirály existujú aj u ľudí. Pomocou špirál počujeme:
Vo vnútornom uchu človeka je tiež orgán nazývaný slimák ("slimák"), ktorý vykonáva funkciu prenosu zvukových vibrácií. Táto kostná štruktúra je naplnená tekutinou a vytvorená v tvare slimáka so zlatými proporciami.
Na našich dlaniach a prstoch sú špirály:
V živočíšnej ríši nájdeme aj množstvo príkladov špirál.
Rohy a kly zvierat sa vyvíjajú v tvare špirály; pazúry levov a zobáky papagájov sú logaritmické tvary a pripomínajú tvar osi, ktorá má tendenciu sa otáčať do špirály.
Je zaujímavé, že oblaky hurikánu a cyklónu sa krútia ako špirála a je to jasne viditeľné z vesmíru:
V oceánskych a morských vlnách môže byť špirála matematicky znázornená na grafe s bodmi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 a 55.
Každý spozná aj takúto „každodennú“ a „prozaickú“ špirálu.
Koniec koncov, voda uniká z kúpeľne v špirále:
Áno, a žijeme v špirále, pretože galaxia je špirála zodpovedajúca vzorcu Zlatého rezu!
Takže sme zistili, že ak vezmeme Zlatý obdĺžnik a rozdelíme ho na menšie obdĺžnikyv presnej Fibonacciho postupnosti a potom každú z nich znova a znova rozdeľte v takých pomeroch, dostanete systém nazývaný Fibonacciho špirála.
Túto špirálu sme objavili v tých najneočakávanejších objektoch a javoch. Teraz je jasné, prečo sa špirála nazýva aj „krivka života“.
Špirála sa stala symbolom evolúcie, pretože všetko sa vyvíja v špirále.
Fibonacciho čísla v ľudských vynálezoch.
Vedci a umelci, ktorí pozorovali zákon v prírode vyjadrený postupnosťou Fibonacciho čísel, sa ho snažia napodobniť a stelesniť tento zákon vo svojich výtvoroch.
Pomer phi vám umožňuje vytvárať majstrovské diela maľby a správne zapadnúť architektonické štruktúry do priestoru.
Nielen vedci, ale aj architekti, dizajnéri a umelci sú ohromení touto dokonalou špirálou lastúry nautilus,
zaberajú najmenej miesta a poskytujú najmenšie tepelné straty. Americkí a thajskí architekti, inšpirovaní príkladom „komorového nautila“ v otázke umiestnenia maxima do minimálneho priestoru, sú zaneprázdnení vývojom zodpovedajúcich projektov.
Od nepamäti sa podiel zlatého rezu považuje za najvyšší podiel dokonalosti, harmónie a dokonca božskosti. Zlatý rez nájdeme v sochách a dokonca aj v hudbe. Príkladom sú hudobné diela Mozarta. Dokonca aj výmenné kurzy a hebrejská abeceda obsahujú zlatý rez.
Chceme sa však zamerať na jedinečný príklad vytvorenia efektívnej solárnej inštalácie. Americký školák z New Yorku Aidan Dwyer dal dokopy svoje vedomosti o stromoch a zistil, že účinnosť solárnych elektrární sa dá zvýšiť pomocou matematiky. Počas zimnej prechádzky sa Dwyer čudoval, prečo stromy potrebujú taký „vzor“ konárov a listov. Vedel, že konáre na stromoch sú usporiadané podľa Fibonacciho postupnosti a listy vykonávajú fotosyntézu.
V určitom okamihu sa inteligentný chlapec rozhodol skontrolovať, či táto poloha konárov pomáha zbierať viac slnečného svetla. Aidan postavil pilotnú elektráreň na svojom dvore pomocou malých solárnych panelov namiesto listov a otestoval ju v akcii. Ukázalo sa, že v porovnaní s bežným plochým solárnym panelom jeho „strom“ zhromažďuje o 20 % viac energie a efektívne funguje o 2,5 hodiny dlhšie.
Dwyerov model slnečného stromu a grafy vytvorené študentom školy.
„Táto inštalácia tiež zaberá menej miesta ako plochý panel, v zime zbiera o 50 % viac slnka aj tam, kde nie je otočená na juh, a navyše sa v nej oveľa viac nehromadí sneh mestská krajina,“ poznamenáva mladý vynálezca.
Aidana spoznali jeden z najlepších mladých prírodovedcov roku 2011. Súťaž Mladý prírodovedec v roku 2011 usporiadalo Prírodovedné múzeum v New Yorku. Aidan podal predbežnú patentovú prihlášku na svoj vynález.
Vedci naďalej aktívne rozvíjajú teóriu Fibonacciho čísel a zlatého rezu.
Yu. Matiyasevich rieši Hilbertov 10. problém pomocou Fibonacciho čísel.
Vznikajú elegantné metódy riešenia množstva kybernetických problémov (teória vyhľadávania, hry, programovanie) pomocou Fibonacciho čísel a zlatého rezu.
V USA dokonca vzniká Mathematical Fibonacci Association, ktorá od roku 1963 vydáva špeciálny časopis.
Vidíme teda, že rozsah Fibonacciho postupnosti čísel je veľmi mnohostranný:
Vedci pozorovaním javov vyskytujúcich sa v prírode dospeli k pozoruhodným záverom, že celý sled udalostí, ktoré sa vyskytujú v živote, revolúcie, krachy, bankroty, obdobia prosperity, zákony a vlny rozvoja na akciových a devízových trhoch, cykly rodinného života, a tak ďalej, sú organizované na časovej škále vo forme cyklov a vĺn. Tieto cykly a vlny sú tiež rozdelené podľa Fibonacciho číselného radu!
Na základe týchto poznatkov sa človek naučí predvídať a riadiť rôzne udalosti v budúcnosti.
4. Náš výskum.
Pokračovali sme v pozorovaní a študovali štruktúru
šiška
rebríček
komár
osoba
A presvedčili sme sa, že v týchto na prvý pohľad tak odlišných objektoch boli neviditeľne prítomné rovnaké čísla Fibonacciho postupnosti.
Takže, krok 1.
Vezmime si šišku:
Poďme sa na to pozrieť bližšie:
Všimli sme si dve série Fibonacciho špirál: jedna - v smere hodinových ručičiek, druhá - proti smeru hodinových ručičiek, ich počet 8 a 13.
Krok 2
Vezmime si rebríček:
Starostlivo zvážme štruktúru stoniek a kvetov:
Všimnite si, že každá nová vetva rebríka rastie z pazuchy a nové vetvy vyrastajú z novej vetvy. Sčítaním starej a novej vetvy sme našli Fibonacciho číslo v každej horizontálnej rovine.
Krok 3.
Objavujú sa Fibonacciho čísla v morfológii rôznych organizmov? Zvážte známeho komára:
Vidíme: 3 páry nôh, hlava 5 tykadlá, brucho sa delí na 8 segmentov.
Záver:
Pri našom výskume sme videli, že v rastlinách okolo nás, živých organizmoch a dokonca aj v štruktúre človeka sa prejavujú čísla z Fibonacciho postupnosti, čo odráža harmóniu ich štruktúry.
Šiška, rebríček, komár a ľudská bytosť sú usporiadané s matematickou presnosťou.
Hľadali sme odpoveď na otázku: ako sa Fibonacciho séria prejavuje v realite okolo nás? Ale keď sme na to odpovedali, dostávali sme čoraz viac otázok.
Odkiaľ sa vzali tieto čísla? Kto je tento architekt vesmíru, ktorý sa ho pokúsil urobiť ideálnym? Špirála sa krúti alebo odvíja?
Aké úžasné je pre človeka zažiť tento svet!!!
Keď nájde odpoveď na jednu otázku, dostane ďalšiu. Ak to vyrieši, dostane dve nové. Keď sa s nimi vysporiada, objavia sa ďalší traja. Keď ich vyriešil, bude mať päť nevyriešených. Potom osem, potom trinásť, 21, 34, 55...
poznáš?
Záver.
samotným tvorcom do všetkých predmetov
Poskytuje sa jedinečný kód
A ten, kto je priateľský k matematike,
On to bude vedieť a pochopí!
Študovali sme a analyzovali prejav Fibonacciho sekvenčných čísel v realite okolo nás. Dozvedeli sme sa tiež, že vzory tohto číselného radu, vrátane vzorov „zlatej“ symetrie, sa prejavujú v energetických prechodoch elementárnych častíc, v planetárnych a kozmických systémoch, v génových štruktúrach živých organizmov.
Objavili sme prekvapivý matematický vzťah medzi počtom špirál v rastlinách, počtom vetiev v akejkoľvek horizontálnej rovine a číslami vo Fibonacciho postupnosti. Videli sme, ako sa tomuto tajomnému zákonu podriaďuje aj morfológia rôznych organizmov. V ľudskej štruktúre sme videli aj prísnu matematiku. Molekula ľudskej DNA, v ktorej je zašifrovaný celý vývojový program človeka, dýchací systém, štruktúra ucha - všetko sa riadi určitými číselnými vzťahmi.
Dozvedeli sme sa, že šišky, ulity slimákov, morské vlny, zvieracie rohy, cyklónové oblaky a galaxie tvoria logaritmické špirály. Dokonca aj ľudský prst, ktorý sa skladá z troch falangov v zlatom pomere voči sebe navzájom, nadobúda pri stlačení špirálovitý tvar.
Večnosť času a svetelné roky priestoru oddeľujú borovicový kužeľ a špirálovú galaxiu, ale štruktúra zostáva rovnaká: koeficient 1,618 ! Možno je to primárny zákon upravujúci prírodné javy.
Potvrdzuje sa teda naša hypotéza o existencii špeciálnych číselných vzorcov, ktoré sú zodpovedné za harmóniu.
Naozaj, všetko na svete je premyslené a vypočítané naším najdôležitejším dizajnérom - Prírodou!
Sme presvedčení, že Príroda má svoje vlastné zákony, vyjadrené pomocou matematiky. A matematika je veľmi dôležitý nástroj
spoznávať tajomstvá prírody.
Zoznam literatúry a internetových stránok:
1.
Vorobiev N. N. Fibonacciho čísla. - M., Nauka, 1984.
2. Ghika M. Estetika proporcií v prírode a umení. - M., 1936.
3. Dmitriev A. Chaos, fraktály a informácie. // Veda a život, č.5, 2001.
4. Kashnitsky S. E. Harmónia utkaná z paradoxov // Kultúra a
Život. - 1982.- č.10.
5. Malajčina G. Harmónia - identita paradoxov // MN. - 1982.- č.19.
6. Sokolov A. Tajomstvá zlatého rezu // Mládežnícka technika. - 1978.- č.5.
7. Stakhov A.P. Kódy zlatého podielu. - M., 1984.
8. Urmantsev Yu A. Symetria prírody a povaha symetrie. - M., 1974.
9. Urmantsev Yu A. Zlatý rez // Príroda. - 1968.- č.11.
10. Shevelev I.Sh., Marutaev M.A., Shmelev I.P. Zlatý pomer/trojka
Pohľad na povahu harmónie.-M., 1990.
11. Shubnikov A. V., Koptsik V. A. Symetria vo vede a umení. -M.:
Taliansky matematik Leonardo Fibonacci žil v 13. storočí a ako jeden z prvých v Európe začal používať arabské (indické) číslice. Prišiel s trochu umelým problémom o chove králikov na farme, pričom všetky sú považované za samice, samci sú ignorovaní. Králiky sa začínajú množiť po dosiahnutí veku dvoch mesiacov a potom každý mesiac porodia králika. Králiky nikdy nezomrú.
Musíme určiť, koľko králikov bude na farme n mesiacov, ak v počiatočnom čase bol iba jeden novonarodený králik.
Je zrejmé, že farmár má jedného králika v prvom mesiaci a jedného králika v druhom mesiaci. Do tretieho mesiaca budú dva králiky, do štvrtého mesiaca tri atď. Označme počet králikov v n mesiac ako . teda 
,
,
,
,
,
…
Je možné zostaviť algoritmus na nájdenie 
pri akomkoľvek n.
Podľa vyhlásenia o probléme celkový počet králikov 
V n+1 mesiac je rozdelený na tri zložky:
mesačné králiky neschopné reprodukcie, v množstve
;
Tak dostaneme
. (8.1)
Vzorec (8.1) umožňuje vypočítať sériu čísel: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..
Čísla v tomto poradí sa volajú Fibonacciho čísla .
Ak prijmeme 
A 
, potom pomocou vzorca (8.1) môžete určiť všetky ostatné Fibonacciho čísla. Vzorec (8.1) sa nazýva opakujúce sa
vzorec ( opakovanie
– „návrat“ v latinčine).
Príklad 8.1. Predpokladajme, že je tam schodisko n kroky. Môžeme na ňu stúpať v krokoch po jednom kroku, alebo v krokoch po dvoch krokoch. Koľko kombinácií rôznych liftingových metód existuje?
Ak n= 1, existuje len jedno riešenie problému. Pre n= 2 sú 2 možnosti: dva jednoduché schodíky alebo jeden dvojitý. Pre n= 3 sú 3 možnosti: tri jednoduché kroky, alebo jeden jednoduchý a jeden dvojitý, alebo jeden dvojitý a jeden jednoduchý.
V nasledujúcom prípade n= 4, máme 5 možností (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).
Aby sme odpovedali na náhodne položenú otázku n, označme počet možností ako 
, a skúsme určiť 
podľa známeho 
A 
. Ak začneme jedným krokom, tak máme 
kombinácie pre zvyšok n kroky. Ak začneme dvojitým krokom, tak máme 
kombinácie pre zvyšok n– 1 krok. Celkový počet možností pre n+1 krok sa rovná
. (8.2)
Výsledný vzorec pripomína vzorec (8.1) ako dvojča. To nám však neumožňuje identifikovať počet kombinácií 
s Fibonacciho číslami 
. Vidíme to napríklad 
, Ale 
. Vzniká však nasledujúca závislosť:
.
Toto platí pre n= 1, 2 a tiež platí pre všetkých n. Fibonacciho čísla a počet kombinácií 
sa vypočítajú pomocou rovnakého vzorca, ale počiatočné hodnoty 
,
A 
,
líšia sa.
Príklad 8.2. Tento príklad má praktický význam pre problémy kódovania na opravu chýb. Nájdite počet všetkých binárnych slov dĺžky n, ktorý neobsahuje niekoľko núl za sebou. Označme toto číslo pomocou 
. samozrejme, 
a slová dĺžky 2, ktoré spĺňajú naše obmedzenie, sú: 10, 01, 11, t.j. 
. Nechaj 
- také slovo z n postavy. Ak je symbol 
, To 
môže byť ľubovoľné ( 
)-doslovné slovo, ktoré neobsahuje niekoľko núl za sebou. To znamená, že počet slov končiacich na jednu je 
.
Ak je symbol 
, tak určite 
, a prvý 
symbol 
môžu byť ľubovoľné, s výhradou uvažovaných obmedzení. Preto existuje 
dĺžka slov
n s nulou na konci. Celkový počet slov, ktoré nás zaujímajú, sa teda rovná
.
Vzhľadom na to 
A 
, výsledná postupnosť čísel sú Fibonacciho čísla.
Príklad 8.3. V príklade 7.6 sme zistili, že počet binárnych slov s konštantnou hmotnosťou t(a dĺžka k) sa rovná 
. Teraz nájdime počet binárnych slov s konštantnou hmotnosťou t, ktorý neobsahuje niekoľko núl za sebou.
Môžete uvažovať takto. Nechaj 
počet núl v predmetných slovách. Akékoľvek slovo má 
medzery medzi najbližšími nulami, z ktorých každá obsahuje jednu alebo viac jednotiek. Predpokladá sa, že 
. Inak neexistuje ani jedno slovo bez susedných núl.
Ak z každého intervalu odstránime práve jednu jednotku, dostaneme slovo dĺžky 
obsahujúce 
nuly. Akékoľvek takéto slovo možno uvedeným spôsobom získať od niektorých (a iba jedného) k-spisovné slovo obsahujúce 
nuly, z ktorých žiadne dve nesusedia. To znamená, že požadovaný počet sa zhoduje s počtom všetkých slov dĺžky 
, obsahujúci presne 
nuly, t.j. rovná sa 
.
Príklad 8.4. Dokážme, že súčet 
rovné Fibonacciho číslam pre akékoľvek celé číslo 
. Symbol 
znamená najmenšie celé číslo väčšie alebo rovné
. Napríklad, ak 
, To 
; čo ak 
, To 
strop("strop"). Je tam aj symbol 
, ktorý označuje najväčšie celé číslo menšie alebo rovné
. V angličtine sa táto operácia nazýva poschodie
("podlaha").
Ak 
, To 
. Ak 
, To 
. Ak 
, To 
.
V uvažovaných prípadoch sa teda súčet skutočne rovná Fibonacciho číslam. Teraz uvádzame dôkaz pre všeobecný prípad. Keďže Fibonacciho čísla možno získať pomocou rovnice opakovania (8.1), musí byť splnená rovnosť:
.
A skutočne to funguje:
Tu sme použili predtým získaný vzorec (4.4): 
.
Súčet Fibonacciho čísel
Určme súčet prvého n Fibonacciho čísla.
0+1+1+2+3+5 = 12,
0+1+1+2+3+5+8 = 20,
0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.
Je ľahké vidieť, že pridaním jednotky na pravú stranu každej rovnice opäť dostaneme Fibonacciho číslo. Všeobecný vzorec na určenie súčtu prvého n Fibonacciho čísla majú tvar:
Dokážme to pomocou metódy matematickej indukcie. Ak to chcete urobiť, napíšte:
Táto suma by sa mala rovnať 
.
Zmenšením ľavej a pravej strany rovnice o –1 dostaneme rovnicu (6.1).
Vzorec pre Fibonacciho čísla
Veta 8.1. Fibonacciho čísla možno vypočítať pomocou vzorca
.
Dôkaz. Overme si platnosť tohto vzorca pre n= 0, 1, a potom dokážeme platnosť tohto vzorca pre ľubovoľný n indukciou. Vypočítajme pomer dvoch najbližších Fibonacciho čísel:
Vidíme, že pomer týchto čísel kolíše okolo 1,618 (ak ignorujeme prvých pár hodnôt). Táto vlastnosť Fibonacciho čísel sa podobá podmienkam geometrickej progresie. Prijmime 
,
(
). Potom výraz
prevedené na
ktorý po zjednodušení vyzerá takto
.
Získali sme kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú rovnaké:
Teraz môžeme napísať:
(Kde c je konštanta). Obaja členovia 
A 
neuvádzajte napríklad Fibonacciho čísla 
, zatiaľ čo 
. Avšak rozdiel 
spĺňa rovnicu opakovania:
Pre n= 0 dáva tento rozdiel 
, teda: 
. Avšak, kedy n=1 máme 
. Získať 
, musíte prijať: 
.
Teraz máme dve sekvencie: 
A 
, ktoré začínajú rovnakými dvoma číslami a spĺňajú rovnaký vzorec opakovania. Musia byť rovnaké: 
. Veta je dokázaná.
Pri zvyšovaní nčlenom 
sa stáva veľmi veľkým 
a úloha člena 
rozdiel sa znižuje. Preto na slobode n môžeme približne písať
.
Ignorujeme 1/2 (pretože Fibonacciho čísla sa zvyšujú do nekonečna ako n do nekonečna).
Postoj 
volal zlatý rez, používa sa mimo matematiky (napríklad v sochárstve a architektúre). Zlatý rez je pomer medzi uhlopriečkou a stranou pravidelný päťuholník(obr. 8.1).
Ryža. 8.1. Pravidelný päťuholník a jeho uhlopriečky
Na označenie zlatého rezu je zvykom používať písmeno 
na počesť slávneho aténskeho sochára Phidiasa.
Prvočísla
Všetky prirodzené čísla, veľké, spadajú do dvoch tried. Prvý zahŕňa čísla, ktoré majú práve dvoch prirodzených deliteľov, jedného a samého seba, druhý zahŕňa všetky ostatné. Volajú sa čísla prvej triedy jednoduché a druhý - zložený. Prvočísla v rámci prvých troch desiatok: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
Vlastnosti prvočísel a ich vzťah so všetkými prirodzenými číslami študoval Euklides (3. storočie pred Kristom). Ak si zapíšete prvočísla za sebou, všimnete si, že ich relatívna hustota klesá. Na prvých desať sú 4, teda 40 %, na sto – 25, t.j. 25 %, promile – 168, t.j. menej ako 17 %, na milión – 78498, t.j. menej ako 8% atď. Ich celkový počet je však nekonečný.
Medzi prvočíslami sú dvojice takých čísel, medzi ktorými je rozdiel rovný dvom (tzv jednoduché dvojčatá), konečnosť alebo nekonečnosť takýchto párov však nebola dokázaná.
Euklides považoval za samozrejmé, že vynásobením iba prvočísel možno získať všetky prirodzené čísla a každé prirodzené číslo možno znázorniť ako súčin prvočísel jedinečným spôsobom (až do poradia faktorov). Prvočísla teda tvoria multiplikatívny základ prirodzeného radu.
Štúdium distribúcie prvočísel viedlo k vytvoreniu algoritmu, ktorý umožňuje získať tabuľky prvočísel. Takýto algoritmus je sito Eratosthenes(3. storočie pred Kristom). Táto metóda spočíva v odstránení (napríklad vyčiarknutím) týchto celých čísel danej postupnosti 
, ktoré sú deliteľné aspoň jedným z prvočísel menších 
.
Veta 8 . 2 . (Euklidovská veta). Počet prvočísel je nekonečný.
Dôkaz. Euklidovu vetu o nekonečnosti počtu prvočísel dokážeme metódou navrhnutou Leonhardom Eulerom (1707–1783). Euler zvažoval súčin nad všetkými prvočíslami p:
pri 
. Tento súčin konverguje a ak sa rozšíri, potom sa v dôsledku jedinečnosti rozkladu prirodzených čísel na prvočísla ukáže, že sa rovná súčtu radu 
, z ktorého vyplýva Eulerova identita:
.
Odkedy 
rad vpravo diverguje (harmonický rad), potom z Eulerovej identity vyplýva Euklidova veta.
Ruský matematik P.L. Čebyšev (1821 – 1894) odvodil vzorec, ktorý určuje hranice, v ktorých leží počet prvočísel 
, nepresahujúce X:
,
Kde 
,
.
(Fibonacciho čísla, anglická Fibonacciho postupnosť, Fibonacciho čísla) – rad čísel odvodených slávnym matematikom Fibonaccim. Má nasledujúci tvar: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 atď.
História Fibonacciho série
Leonardo z Pisy (Fibonacci) prišiel k matematike z praktickej potreby nadväzovať obchodné kontakty. V mladosti Fibonacci veľa cestoval, sprevádzal svojho otca na rôznych služobných cestách, čo mu umožnilo komunikovať s miestnymi vedcami.
Séria čísel, ktorá dnes nesie jeho meno, bola odvodená od problému s králikmi, ktorý autor načrtol v knihe s názvom Liber abacci (1202): muž vložil pár králikov do ohrady obklopenej zo všetkých strán stenou. Otázka: Koľko párov králikov môže tento pár vyprodukovať za rok, ak je známe, že každý mesiac, počnúc druhým mesiacom, každý pár vyprodukuje ďalší pár králikov.
V dôsledku toho Fibonacci určil, že počet párov králikov v každom z nasledujúcich dvanástich mesiacov bude:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Kde každé nasledujúce číslo je súčtom predchádzajúcich dvoch. Toto je Fibonacciho séria (čísla). Táto postupnosť má mnoho vlastností, ktoré sú zaujímavé z matematického hľadiska. Ak napríklad rozdelíte čiaru na 2 segmenty tak, že pomer medzi menším a väčším segmentom je úmerný pomeru medzi väčším segmentom a celou čiarou, získate koeficient proporcionality známy ako „zlatý pomer“. Približne sa rovná 0,618. Renesanční vedci verili, že práve tento podiel, ak je pozorovaný v architektonických štruktúrach, môže najviac potešiť oko.
Aplikácia Fibonacciho série
Séria Fibonacci našla široké uplatnenie v rôznych oblastiach vedy a života. Napríklad v prírode: v štruktúre hurikánov, mušlí a dokonca aj galaxií. Výnimkou nebol ani devízový trh, kde sa na predpovedanie trendov začal používať postupný rad čísel. Treba poznamenať, že medzi týmito číslami existujú neustále vzťahy. Napríklad, ako je uvedené vyššie, pomer predchádzajúceho čísla k nasledujúcemu asymptoticky smeruje k 0,618 (zlatý rez). Pomer určitého čísla k predchádzajúcemu má tiež tendenciu k 0,618.
Okrem predpovedania trendov sa Fibonacciho čísla na Forexe používajú na predpovedanie smeru pohybu cien. Napríklad obrat trendu podľa zlatého rezu nastáva na úrovni cca 61,8 % predchádzajúcej zmeny ceny (pozri obr. 1). Preto by najziskovejšou možnosťou v tomto prípade bolo zatvorenie pozície tesne pod touto úrovňou. Na základe Fibonacciho série môžete vypočítať najziskovejšie momenty pre uzatváranie a otváranie transakcií.
Jedným zo spôsobov, ako použiť po sebe idúce čísla Fibonacciho série na Forexovom trhu, je stavať oblúky. Výber stredu pre takýto oblúk nastáva v bode dôležitého dna alebo stropu. Polomer oblúkov sa vypočíta vynásobením Fibonacciho pomerov hodnotou predchádzajúceho výrazného nárastu alebo poklesu cien.
Vybrané koeficienty majú tieto hodnoty: 0,333, 0,382, 0,4, 0,5, 0,6, 0,618, 0,666. Umiestnenie oblúkov určuje ich úlohu: podpora alebo odpor. Aby sme tiež získali predstavu o načasovaní pohybu cien, oblúky sa zvyčajne používajú v spojení s rýchlostnými alebo ventilátorovými linkami.
Princíp ich konštrukcie je podobný: musíte vybrať body minulých extrémov a vytvoriť vodorovnú čiaru z hornej časti prvého z nich a zvislú čiaru z vrcholu druhej. Potom by ste mali rozdeliť výsledný vertikálny segment na časti zodpovedajúce koeficientom, nakresliť lúče prichádzajúce z prvého bodu cez tie, ktoré ste práve vybrali. Pri použití pomerov 2/3 a 1/3 sa získajú vysokorýchlostné vedenia s prísnejšími pomermi 0,618, 0,5 a 0,382. Všetky slúžia ako línie podpory alebo odporu pre cenový trend (pozri obr. 2).
Priesečníky oblúkov a línií ventilátora slúžia ako signály na určenie bodov obratu trendu – v čase aj v cene.
(Obr. 2 – Fibonacciho séria, konštrukcia oblúkov)
Viac volatilné menové páry sa vyznačujú dosahovaním vyšších Fibonacciho úrovní v porovnaní s menej volatilnými. Maximálne pohyby sa zaznamenávajú v pároch dolár/frank a libra/dolár, po ktorých nasledujú dolár/jen a euro/dolár.
Použitie série Fibonacci na menovom trhu Forex má jednu vlastnosť - možno ich použiť iba na dobré impulzné pohyby.
Fibonacciho sekvencia, ktorú všetci poznajú z filmu „Da Vinciho kód“, je séria čísel, ktoré vo forme hádanky opísal taliansky matematik Leonardo z Pisy, známejší ako Fibonacci, v 13. storočí. Stručne podstata hádanky:
Niekto umiestnil pár králikov do určitého uzavretého priestoru, aby zistil, koľko párov králikov sa počas roka narodí, ak je povaha králikov taká, že každý mesiac pár králikov porodí ďalší pár a stanú sa schopnými potomkov, keď dosiahnu vek dvoch mesiacov.
Fibonacciho sekvencia a králiky
Výsledkom je nasledujúci rad čísel: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, kde je uvedený počet párov králikov v každom z dvanástich mesiacov oddelene čiarkami. Dá sa pokračovať donekonečna. Jeho podstatou je, že každé ďalšie číslo je súčtom dvoch predchádzajúcich.
Táto séria má niekoľko matematických funkcií, ktorých sa rozhodne treba dotknúť. Asymptoticky (približuje sa čoraz pomalšie) má tendenciu k nejakému konštantnému pomeru. Tento pomer je však iracionálny, to znamená, že ide o číslo s nekonečnou, nepredvídateľnou postupnosťou desatinných číslic v zlomkovej časti. Nedá sa to presne vyjadriť.
Pomer ktoréhokoľvek člena radu k tomu, ktorý mu predchádza, teda kolíše okolo čísla 1,618, niekedy ho prekročí, niekedy ho nedosiahne. Pomer k ďalšiemu sa podobne blíži k číslu 0,618, čo je nepriamo úmerné 1,618. Ak prvky rozdelíme cez jednotku, dostaneme čísla 2,618 a 0,382, ktoré sú tiež nepriamo úmerné. Ide o takzvané Fibonacciho pomery.
Načo to všetko je?
Takto pristupujeme k jednému z najzáhadnejších prírodných javov. Dômyselný Leonardo v podstate neobjavil nič nové, len pripomenul svetu taký fenomén, akým je zlatý rez, ktorý nie je o nič menej dôležitý ako Pytagorova veta.
Všetky predmety okolo nás rozlišujeme podľa ich tvaru. Niektoré sa nám páčia viac, niektoré menej, niektoré sú úplne mimo. Niekedy môže byť záujem diktovaný životnou situáciou a niekedy krásou pozorovaného objektu. Symetrický a proporcionálny tvar podporuje najlepšie vizuálne vnímanie a navodzuje pocit krásy a harmónie. Kompletný obraz sa vždy skladá z častí rôznych veľkostí, ktoré sú v určitom vzťahu medzi sebou a celkom. Zlatý rez je najvyšším prejavom dokonalosti celku a jeho častí vo vede, umení a prírode.
Ak použijeme jednoduchý príklad, zlatý rez je rozdelenie segmentu na dve časti v takom pomere, že väčšia časť súvisí s menšou, keďže ich súčet (celý segment) je s väčším.
Zlatý rez - segment
Ak zoberieme celý segment c ako 1, tak segment a bude rovný 0,618, segment b - 0,382, len tak bude splnená podmienka Zlatého pomeru (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618) . Pomer c k a je 1,618 a c k b je 2,618. Toto sú všetky rovnaké Fibonacciho pomery, ktoré už poznáme.
Samozrejmosťou je zlatý obdĺžnik, zlatý trojuholník a dokonca aj zlatý kváder. Proporcie ľudského tela sú v mnohých ohľadoch blízke Zlatému rezu.
Zlatý rez a ľudské telo 
Obrázok: marcus-frings.de
Fibonacciho sekvencia - Animácia 
Ale zábava začína, keď spojíme získané poznatky. Obrázok jasne ukazuje vzťah medzi Fibonacciho postupnosťou a zlatým rezom. Začneme dvoma štvorcami prvej veľkosti. Navrch pridajte štvorec druhej veľkosti. Vedľa neho nakreslite štvorec so stranou rovnajúcou sa súčtu strán predchádzajúcich dvoch, tretej veľkosti. Analogicky sa objaví štvorec veľkosti päť. A tak ďalej, kým sa neunavíte, hlavná vec je, že dĺžka strany každého ďalšieho štvorca sa rovná súčtu dĺžok strán predchádzajúcich dvoch. Vidíme sériu obdĺžnikov, ktorých dĺžky strán sú Fibonacciho čísla a napodiv sa nazývajú Fibonacciho obdĺžniky.
Ak nakreslíme hladké čiary cez rohy našich štvorcov, nedostaneme nič iné ako Archimedovu špirálu, ktorej prírastok je vždy rovnomerný.
Fibonacciho špirála 
Nič vám to nepripomína?
Foto: ethanhein na Flickri
A nielen v lastúre mäkkýšov nájdete Archimedove špirály, ale v mnohých kvetoch a rastlinách jednoducho nie sú také zrejmé.
Aloe multifolia: 
Foto: brewbooks na Flickri
Brokolica Romanesco: 
Foto: beart.org.uk
slnečnica: 
Foto: esdrascalderan na Flickri
Borovicová šiška: 
Foto: mandj98 na Flickri
A teraz je čas pripomenúť si Zlatý rez! Sú na týchto fotografiách zobrazené niektoré z najkrajších a najharmonickejších výtvorov prírody? A to nie je všetko. Ak sa pozriete pozorne, môžete nájsť podobné vzory v mnohých podobách.
Samozrejme, tvrdenie, že všetky tieto javy sú založené na Fibonacciho sekvencii, znie príliš nahlas, ale trend je zrejmý. A okrem toho, ona sama má ďaleko od dokonalosti, ako všetko na tomto svete.
Existuje predpoklad, že Fibonacciho séria je pokusom prírody prispôsobiť sa zásadnejšej a dokonalejšej logaritmickej postupnosti zlatého rezu, ktorá je takmer rovnaká, len začína odnikiaľ a nikam nevedie. Príroda určite potrebuje nejaký úplný začiatok, z ktorého môže začať, nemôže vytvoriť niečo z ničoho. Pomery prvých členov Fibonacciho postupnosti sú ďaleko od zlatého pomeru. Ale čím ďalej sa po nej pohybujeme, tým viac sa tieto odchýlky vyhladzujú. Na definovanie akejkoľvek série stačí poznať jej tri pojmy, ktoré prichádzajú jeden po druhom. Ale nie na zlatú postupnosť, stačia na ňu dve, je to geometrický a aritmetický postup zároveň. Niekto by si mohol myslieť, že je základom pre všetky ostatné sekvencie.
Každý člen zlatej logaritmickej postupnosti je mocninou zlatého podielu (z). Časť série vyzerá asi takto: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z5 ... Ak zaokrúhlime hodnotu Zlatého podielu na tri číslice, dostaneme z = 1,618, potom rad vyzerá takto: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Každý ďalší výraz možno získať nielen vynásobením predchádzajúceho 1,618, ale aj sčítaním dvoch predchádzajúcich. Exponenciálny rast sa teda dosiahne jednoduchým pridaním dvoch susedných prvkov. Je to séria bez začiatku a konca a taká sa Fibonacciho sekvencia snaží byť. S veľmi jasným začiatkom sa usiluje o ideál, ale nikdy ho nedosiahne. Taký je život.
A predsa v súvislosti so všetkým, čo sme videli a čítali, vyvstávajú celkom logické otázky:
Odkiaľ sa vzali tieto čísla? Kto je tento architekt vesmíru, ktorý sa ho pokúsil urobiť ideálnym? Bolo všetko tak, ako chcel? A ak áno, prečo sa to pokazilo? Mutácie? Slobodná voľba? čo bude ďalej? Špirála sa krúti alebo odvíja?
Keď nájdete odpoveď na jednu otázku, dostanete ďalšiu. Ak to vyriešite, získate dve nové. Keď sa s nimi vysporiadate, objavia sa ďalšie tri. Keď ich vyriešite, budete mať päť nevyriešených. Potom osem, potom trinásť, 21, 34, 55...
1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362
Fibonacciho čísla a zlatý rez tvoria základ pre pochopenie okolitého sveta, konštruovanie jeho podoby a optimálneho zrakového vnímania človekom, pomocou ktorého môže cítiť krásu a harmóniu.
Princíp určovania rozmerov zlatého rezu je základom dokonalosti celého sveta a jeho častí v jeho štruktúre a funkciách, jeho prejav možno vidieť v prírode, umení a technike. Doktrína zlatého podielu bola založená ako výsledok výskumu starovekých vedcov o povahe čísel.
Dôkazy o používaní zlatého rezu starovekými mysliteľmi sú uvedené v Euklidovej knihe „Elements“, napísanej už v 3. storočí. BC, ktorý toto pravidlo aplikoval na konštrukciu pravidelných päťuholníkov. Medzi pytagorejcami je táto postava považovaná za posvätnú, pretože je symetrická aj asymetrická. Pentagram symbolizoval život a zdravie.
Fibonacciho čísla
Slávna kniha Liber abaci od talianskeho matematika Leonarda z Pisy, ktorý sa neskôr stal známym ako Fibonacci, vyšla v roku 1202. Vedec v nej prvýkrát cituje vzor čísel, v ktorých je každé číslo súčtom 2 predchádzajúce číslice. Fibonacciho postupnosť čísel je nasledovná:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 atď.
Vedec tiež uviedol niekoľko vzorov:
Akékoľvek číslo zo série vydelené ďalším číslom sa bude rovnať hodnote, ktorá má tendenciu k 0,618. Navyše prvé Fibonacciho čísla nedávajú také číslo, ale keď sa posunieme od začiatku postupnosti, tento pomer bude čoraz presnejší.
Ak vydelíte číslo zo série predchádzajúcim, výsledok sa ponáhľa na 1,618.
Jedno číslo vydelené ďalším číslom bude ukazovať hodnotu s tendenciou k 0,382.
Uplatnenie spojenia a vzorcov zlatého rezu, Fibonacciho čísla (0,618) nájdeme nielen v matematike, ale aj v prírode, histórii, architektúre a stavebníctve a v mnohých ďalších vedách.
Pre praktické účely sú obmedzené na približnú hodnotu Φ = 1,618 alebo Φ = 1,62. V zaokrúhlenej percentuálnej hodnote je zlatý rez delenie ľubovoľnej hodnoty v pomere 62 % a 38 %.
Historicky sa zlatý rez pôvodne nazýval rozdelenie segmentu AB bodom C na dve časti (menší segment AC a väčší segment BC), takže pre dĺžky segmentov platilo AC/BC = BC/AB. Jednoducho povedané, zlatý rez rozdeľuje segment na dve nerovnaké časti tak, že menšia časť súvisí s väčšou, rovnako ako väčšia časť súvisí s celým segmentom. Neskôr sa tento koncept rozšíril na ľubovoľné množstvá.
Nazýva sa aj číslo Φ zlaté číslo.
Zlatý rez má mnoho úžasných vlastností, no okrem toho sa mu pripisuje mnoho fiktívnych vlastností.
Teraz podrobnosti:
Definícia GS je rozdelenie segmentu na dve časti v takom pomere, v ktorom väčšia časť súvisí s menšou tak, ako je ich súčet (celý segment) k väčšej.
To znamená, že ak vezmeme celý segment c ako 1, potom segment a bude rovný 0,618, segment b - 0,382. Ak teda vezmeme budovu, napríklad chrám postavený podľa princípu 3S, potom s jeho výškou, povedzme 10 metrov, bude výška bubna s kupolou rovná 3,82 cm a výška základňa konštrukcie bude 6,18 cm (je jasné, že čísla sú pre prehľadnosť brané naplocho)
Aké je spojenie medzi číslami ZS a Fibonacciho?
Fibonacciho poradové čísla sú:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
Vzorec čísel je taký, že každé nasledujúce číslo sa rovná súčtu dvoch predchádzajúcich čísel.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 atď.,
a pomer susedných čísel sa približuje pomeru ZS.
Takže 21:34 = 0,617 a 34:55 = 0,618.
To znamená, že GS je založený na číslach Fibonacciho sekvencie.
Verí sa, že termín „Zlatý pomer“ zaviedol Leonardo Da Vinci, ktorý povedal: „Nech sa nikto, kto nie je matematik, neodváži čítať moje diela“ a ukázal proporcie ľudského tela vo svojej slávnej kresbe „Vitruviánsky muž“. “. „Ak zviažeme ľudskú postavu – najdokonalejší výtvor vesmíru – opaskom a potom zmeriame vzdialenosť od opasku k chodidlám, potom sa táto hodnota bude vzťahovať na vzdialenosť od toho istého opasku po temeno hlavy, tak ako celá výška človeka súvisí s dĺžkou od pása po chodidlá.“
Fibonacciho číselný rad je vizuálne modelovaný (materializovaný) vo forme špirály.
A v prírode vyzerá špirála GS takto:
Zároveň je špirála pozorovaná všade (v prírode a nielen):
Semená vo väčšine rastlín sú usporiadané do špirály
- Pavúk tká sieť do špirály
- Hurikán sa točí ako špirála
- Vyplašené stádo sobov sa rozprchne v špirále.
- Molekula DNA je stočená do dvojitej špirály. Molekula DNA sa skladá z dvoch vertikálne prepletených špirál, dlhých 34 angstrômov a šírky 21 angstrômov. Čísla 21 a 34 nasledujú za sebou vo Fibonacciho postupnosti.
- Embryo sa vyvíja v tvare špirály
- Kochleárna špirála vo vnútornom uchu
- Voda steká do odtoku v špirále
- Špirálová dynamika ukazuje vývoj osobnosti človeka a jeho hodnôt v špirále.
- A samozrejme, samotná Galaxia má tvar špirály
Dá sa teda tvrdiť, že samotná príroda je postavená podľa princípu zlatého rezu, preto je tento podiel ľudským okom vnímaný harmonickejšie. Nevyžaduje „opravu“ alebo doplnenie výsledného obrazu sveta.
Film. Božie číslo. Nevyvrátiteľný dôkaz Boha; Božie číslo. Nesporný dôkaz Boha.
Zlaté proporcie v štruktúre molekuly DNA
Všetky informácie o fyziologických vlastnostiach živých bytostí sú uložené v mikroskopickej molekule DNA, ktorej štruktúra obsahuje aj zákon zlatého pomeru. Molekula DNA pozostáva z dvoch vertikálne prepletených špirál. Dĺžka každej z týchto špirál je 34 angstromov a šírka 21 angstromov. (1 angstrom je sto milióntina centimetra).
21 a 34 sú čísla nasledujúce za sebou v postupnosti Fibonacciho čísel, to znamená, že pomer dĺžky a šírky logaritmickej špirály molekuly DNA nesie vzorec zlatého pomeru 1:1,618
Zlatý rez v štruktúre mikrokozmu
Geometrické tvary sa neobmedzujú len na trojuholník, štvorec, päťuholník alebo šesťuholník. Ak tieto obrazce navzájom spojíme rôznymi spôsobmi, získame nové trojrozmerné geometrické obrazce. Príkladom toho sú figúrky ako kocka alebo pyramída. Okrem nich však existujú aj ďalšie trojrozmerné postavy, s ktorými sme sa v bežnom živote nestretli a ktorých mená počujeme možno prvýkrát. Medzi takéto trojrozmerné postavy patrí štvorsten (pravidelný štvorsten), osemsten, dvanásťsten, dvadsaťsten atď. Dvanásťsten pozostáva z 13 päťuholníkov, dvadsaťsten z 20 trojuholníkov. Matematici poznamenávajú, že tieto čísla sa matematicky veľmi ľahko transformujú a ich transformácia nastáva v súlade so vzorcom logaritmickej špirály zlatého rezu.
V mikrokozme sú trojrozmerné logaritmické formy postavené podľa zlatých proporcií všadeprítomné. Napríklad mnohé vírusy majú trojrozmerný geometrický tvar dvadsaťstenu. Snáď najznámejším z týchto vírusov je vírus Adeno. Proteínový obal vírusu Adeno je tvorený 252 jednotkami proteínových buniek usporiadaných v určitej sekvencii. V každom rohu dvadsaťstenu je 12 jednotiek proteínových buniek v tvare päťuholníkového hranola a z týchto rohov sa rozprestierajú hrotovité štruktúry.
Zlatý rez v štruktúre vírusov bol prvýkrát objavený v 50. rokoch minulého storočia. vedci z Birkbeck College London A. Klug a D. Kaspar. 13 Polyo vírus bol prvý, ktorý zobrazil logaritmickú formu. Ukázalo sa, že forma tohto vírusu je podobná forme vírusu Rhino 14.
Vynára sa otázka, ako vírusy tvoria také zložité trojrozmerné útvary, ktorých štruktúra obsahuje zlatý rez, ktoré je dosť ťažké zostrojiť aj našou ľudskou mysľou? Objaviteľ týchto foriem vírusov, virológ A. Klug, uvádza nasledujúci komentár:
„Doktor Kaspar a ja sme ukázali, že pre sférický obal vírusu je najoptimálnejší tvar symetria, ako napríklad tvar dvadsaťstena. Toto poradie minimalizuje počet spojovacích prvkov... Väčšina geodetických pologuľových kociek Buckminster Fuller je postavená na podobnom geometrickom princípe. 14 Inštalácia takýchto kociek vyžaduje mimoriadne presný a podrobný vysvetľujúci diagram. Zatiaľ čo samotné nevedomé vírusy vytvárajú takú zložitú schránku z elastických, flexibilných proteínových bunkových jednotiek.
