Më pas marrim një ekuacion kuadratik. Rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Ekuacionet kuadratike. Diskriminues. Zgjidhje, shembuj.

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Llojet e ekuacioneve kuadratike

Çfarë është një ekuacion kuadratik? Si duket? Në terma ekuacioni kuadratik fjala kyçe është "katror". Kjo do të thotë se në ekuacion Domosdoshmërisht duhet të ketë një x në katror. Përveç tij, ekuacioni mund (ose jo!) të përmbajë vetëm X (në fuqinë e parë) dhe vetëm një numër (anëtar i lirë). Dhe nuk duhet të ketë X për një fuqi më të madhe se dy.

Në terma matematikorë, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës:

Këtu a, b dhe c- disa numra. b dhe c- absolutisht çdo, por A– çdo gjë tjetër përveç zeros. Për shembull:

Këtu A =1; b = 3; c = -4

Këtu A =2; b = -0,5; c = 2,2

Këtu A =-3; b = 6; c = -18

Epo, ju e kuptoni ...

Në këto ekuacione kuadratike në të majtë ka komplet i plotë anëtarët. X në katror me një koeficient A, x në fuqinë e parë me koeficient b Dhe anëtar i lirë s.

Ekuacionet e tilla kuadratike quhen plot.

Dhe nëse b= 0, çfarë marrim? Ne kemi X do të humbet në fuqinë e parë. Kjo ndodh kur shumëzohet me zero.) Rezulton, për shembull:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Dhe kështu me radhë. Dhe nëse të dy koeficientët b Dhe c janë të barabarta me zero, atëherë është edhe më e thjeshtë:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Ekuacione të tilla ku diçka mungon quhen ekuacionet kuadratike jo të plota. E cila është mjaft logjike.) Ju lutemi vini re se x në katror është i pranishëm në të gjitha ekuacionet.

Nga rruga, pse A nuk mund të jetë e barabartë me zero? Dhe ju zëvendësoni në vend të kësaj A zero.) X-ja jonë në katror do të zhduket! Ekuacioni do të bëhet linear. Dhe zgjidhja është krejtësisht e ndryshme ...

Këto janë të gjitha llojet kryesore të ekuacioneve kuadratike. E plotë dhe e paplotë.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike.

Ekuacionet kuadratike janë të lehta për t'u zgjidhur. Sipas formulave dhe rregullave të qarta, të thjeshta. Në fazën e parë, është e nevojshme të sillni ekuacionin e dhënë në një formë standarde, d.m.th. në formën:

Nëse ekuacioni ju është dhënë tashmë në këtë formë, nuk keni nevojë të bëni fazën e parë.) Gjëja kryesore është të përcaktoni saktë të gjithë koeficientët, A, b Dhe c.

Formula për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik duket si kjo:

Shprehja nën shenjën e rrënjës quhet diskriminuese. Por më shumë rreth tij më poshtë. Siç mund ta shihni, për të gjetur X, ne përdorim vetëm a, b dhe c. Ato. koeficientët nga një ekuacion kuadratik. Thjesht zëvendësoni me kujdes vlerat a, b dhe c Ne llogarisim në këtë formulë. Le të zëvendësojmë me shenjat tuaja! Për shembull, në ekuacionin:

A =1; b = 3; c= -4. Këtu e shkruajmë atë:

Shembulli është pothuajse i zgjidhur:

Kjo është përgjigja.

Gjithçka është shumë e thjeshtë. Dhe çfarë, mendoni se është e pamundur të bëni një gabim? Epo, po, si ...

Gabimet më të zakonshme janë konfuzioni me vlerat e shenjave a, b dhe c. Ose më mirë, jo me shenjat e tyre (ku të ngatërrohemi?), por me zëvendësimin e vlerave negative në formulën për llogaritjen e rrënjëve. Ajo që ndihmon këtu është një regjistrim i detajuar i formulës me numra specifikë. Nëse ka probleme me llogaritjet, beje ate!

Supozoni se duhet të zgjidhim shembullin e mëposhtëm:

Këtu a = -6; b = -5; c = -1

Le të themi se e dini se rrallë merrni përgjigje herën e parë.

Epo, mos u bëj dembel. Do të duhen rreth 30 sekonda për të shkruar një rresht shtesë dhe numrin e gabimeve do të ulet ndjeshëm. Pra, ne shkruajmë në detaje, me të gjitha kllapat dhe shenjat:

Duket tepër e vështirë të shkruash me kaq kujdes. Por vetëm kështu duket. Provojeni. Epo, ose zgjidhni. Çfarë është më mirë, e shpejtë apo e drejtë? Përveç kësaj, unë do t'ju bëj të lumtur. Pas një kohe, nuk do të ketë nevojë të shkruani gjithçka me kaq kujdes. Do të dalë vetë. Sidomos nëse përdorni teknika praktike që përshkruhen më poshtë. Ky shembull i keq me një mori minusesh mund të zgjidhet lehtësisht dhe pa gabime!

Por, shpesh, ekuacionet kuadratike duken paksa të ndryshme. Për shembull, si kjo:

A e keni njohur?) Po! Kjo ekuacionet kuadratike jo të plota.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota.

Ato gjithashtu mund të zgjidhen duke përdorur një formulë të përgjithshme. Thjesht duhet të kuptoni saktë se me çfarë janë të barabarta këtu. a, b dhe c.

E keni kuptuar? Në shembullin e parë a = 1; b = -4; A c? Nuk është fare aty! Epo po, ashtu është. Në matematikë kjo do të thotë se c = 0 ! Kjo eshte e gjitha. Në vend të kësaj, zero në formulë c, dhe ne do të kemi sukses. E njëjta gjë me shembullin e dytë. Vetëm ne nuk kemi zero këtu Me, A b !

Por ekuacionet kuadratike jo të plota mund të zgjidhen shumë më thjeshtë. Pa asnjë formulë. Le të shqyrtojmë ekuacionin e parë jo të plotë. Çfarë mund të bëni në anën e majtë? Ju mund të hiqni X nga kllapa! Le ta nxjerrim.

Dhe çfarë nga kjo? Dhe fakti që produkti është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse ndonjë nga faktorët është i barabartë me zero! Nuk me beson? Mirë, atëherë dilni me dy numra jo zero që, kur shumëzohen, do të japin zero!
Nuk punon? Kjo eshte...
Prandaj, mund të shkruajmë me besim: x 1 = 0, x 2 = 4.

Të gjitha. Këto do të jenë rrënjët e ekuacionit tonë. Të dyja janë të përshtatshme. Kur zëvendësojmë ndonjë prej tyre në ekuacionin origjinal, marrim identitetin e saktë 0 = 0. Siç mund ta shihni, zgjidhja është shumë më e thjeshtë sesa përdorimi i formulës së përgjithshme. Më lejoni të vërej, meqë ra fjala, cili X do të jetë i pari dhe cili do të jetë i dyti - absolutisht indiferent. Është i përshtatshëm për të shkruar në mënyrë, x 1- çfarë është më e vogël dhe x 2- ajo që është më e madhe.

Ekuacioni i dytë gjithashtu mund të zgjidhet thjesht. Lëvizni 9 në anën e djathtë. Ne marrim:

Gjithçka që mbetet është të nxjerrim rrënjën nga 9, dhe kaq. Do të rezultojë:

Gjithashtu dy rrënjë . x 1 = -3, x 2 = 3.

Kështu zgjidhen të gjitha ekuacionet kuadratike jo të plota. Ose duke vendosur X jashtë kllapave, ose thjesht duke e lëvizur numrin në të djathtë dhe më pas duke nxjerrë rrënjën.
Është jashtëzakonisht e vështirë të ngatërrosh këto teknika. Thjesht sepse në rastin e parë do të duhet të nxirrni rrënjën e X-it, e cila është disi e pakuptueshme, dhe në rastin e dytë nuk ka asgjë për të nxjerrë nga kllapa...

Diskriminues. Formula diskriminuese.

Fjalë magjike diskriminuese ! Rrallëherë një gjimnazist nuk e ka dëgjuar këtë fjalë! Shprehja "ne zgjidhim përmes një diskriminuesi" frymëzon besim dhe siguri. Sepse nga diskriminuesi nuk ka nevojë të presësh marifete! Është i thjeshtë dhe pa probleme në përdorim.) Ju kujtoj formulën më të përgjithshme për zgjidhje ndonjë ekuacionet kuadratike:

Shprehja nën shenjën e rrënjës quhet diskriminuese. Zakonisht diskriminuesi shënohet me shkronjë D. Formula diskriminuese:

D = b 2 - 4ac

Dhe çfarë është kaq e mrekullueshme në këtë shprehje? Pse meritonte një emër të veçantë? Çfarë kuptimi i diskriminuesit? Pas te gjithave -b, ose 2a në këtë formulë nuk e quajnë konkretisht asgjë... Letrat dhe shkronjat.

Këtu është gjëja. Kur zgjidhni një ekuacion kuadratik duke përdorur këtë formulë, është e mundur vetëm tre raste.

1. Diskriminuesi është pozitiv. Kjo do të thotë se rrënja mund të nxirret prej saj. Nëse rrënja nxirret mirë apo keq është një pyetje tjetër. E rëndësishme është ajo që nxirret në parim. Atëherë ekuacioni juaj kuadratik ka dy rrënjë. Dy zgjidhje të ndryshme.

2. Diskriminuesi është zero. Atëherë do të keni një zgjidhje. Meqenëse mbledhja ose zbritja e zeros në numërues nuk ndryshon asgjë. Në mënyrë të rreptë, kjo nuk është një rrënjë, por dy identike. Por, në një version të thjeshtuar, është zakon të flasim një zgjidhje.

3. Diskriminuesi është negativ. Rrënja katrore e një numri negativ nuk mund të merret. Epo, në rregull. Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Për të qenë i sinqertë, kur thjesht zgjidhen ekuacionet kuadratike, koncepti i një diskriminuesi nuk është vërtet i nevojshëm. Ne zëvendësojmë vlerat e koeficientëve në formulë dhe numërojmë. Gjithçka ndodh atje vetvetiu, dy rrënjë, një dhe asnjë. Sidoqoftë, kur zgjidhni detyra më komplekse, pa njohuri kuptimi dhe formula e diskriminuesit jo mjaftueshem. Sidomos në ekuacionet me parametra. Ekuacione të tilla janë aerobatikë për Provimin e Shtetit dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit!)

Kështu që, si të zgjidhim ekuacionet kuadratike përmes diskriminuesit që kujtove. Ose keni mësuar, gjë që gjithashtu nuk është e keqe.) Ju dini të përcaktoni saktë a, b dhe c. A e dini se si? me vëmendje zëvendësojini ato në formulën rrënjësore dhe me vëmendje numëroni rezultatin. Ju e kuptoni se fjala kyçe këtu është me vëmendje?

Tani merrni parasysh teknikat praktike që reduktojnë në mënyrë dramatike numrin e gabimeve. Të njëjtat që janë për shkak të pavëmendjes... Për të cilat më vonë bëhet e dhimbshme dhe fyese...

Takimi i parë . Mos u bëni dembel përpara se të zgjidhni një ekuacion kuadratik dhe ta sillni atë në formën standarde. Çfarë do të thotë kjo?
Le të themi se pas të gjitha transformimeve ju merrni ekuacionin e mëposhtëm:

Mos nxitoni të shkruani formulën rrënjë! Ju pothuajse me siguri do t'i ngatërroni shanset a, b dhe c. Ndërtoni saktë shembullin. Së pari, X në katror, pastaj pa katror, pastaj termi i lirë. Si kjo:

Dhe përsëri, mos nxitoni! Një minus para një X në katror mund t'ju shqetësojë vërtet. Është e lehtë të harrosh... Hiqni qafe minusin. Si? Po, siç u mësua në temën e mëparshme! Duhet të shumëzojmë të gjithë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Por tani mund të shkruani me siguri formulën për rrënjët, të llogarisni diskriminuesin dhe të përfundoni zgjidhjen e shembullit. Vendosni vetë. Tani duhet të keni rrënjët 2 dhe -1.

Pritja e dyta. Kontrolloni rrënjët! Sipas teoremës së Vietës. Mos kini frikë, unë do t'ju shpjegoj gjithçka! Duke kontrolluar gjëja e fundit ekuacionin. Ato. ai që përdorëm për të shkruar formulën rrënjësore. Nëse (si në këtë shembull) koeficienti a = 1, kontrollimi i rrënjëve është i lehtë. Mjafton t'i shumohen ato. Rezultati duhet të jetë një anëtar i lirë, d.m.th. në rastin tonë -2. Ju lutemi vini re, jo 2, por -2! Anëtar i lirë me shenjën tuaj . Nëse nuk funksionon, do të thotë se ata tashmë kanë dështuar diku. Kërkoni për gabimin.

Nëse funksionon, duhet të shtoni rrënjët. Kontrolli i fundit dhe i fundit. Koeficienti duhet të jetë b Me e kundërt i njohur. Në rastin tonë -1+2 = +1. Një koeficient b, e cila është para X, është e barabartë me -1. Pra, gjithçka është e saktë!
Është për të ardhur keq që kjo është kaq e thjeshtë vetëm për shembujt ku x në katror është i pastër, me një koeficient a = 1. Por të paktën kontrolloni në ekuacione të tilla! Do të ketë gjithnjë e më pak gabime.

Pritja e treta . Nëse ekuacioni juaj ka koeficientë thyesorë, hiqni qafe thyesat! Shumëzoni ekuacionin me një emërues të përbashkët siç përshkruhet në mësimin "Si të zgjidhim ekuacione? Transformimet e identitetit". Kur punoni me thyesa, gabimet vazhdojnë të zvarriten për disa arsye ...

Nga rruga, unë premtova të thjeshtoja shembullin e keq me një mori minusesh. Ju lutem! Këtu është ai.

Për të mos u ngatërruar nga minuset, e shumëzojmë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Kjo eshte e gjitha! Zgjidhja është një kënaqësi!

Pra, le të përmbledhim temën.

Këshilla praktike:

1. Para se ta zgjidhim, e sjellim ekuacionin kuadratik në formë standarde dhe e ndërtojmë E drejta.

2. Nëse ka një koeficient negativ përballë katrorit X, e eliminojmë duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me -1.

3. Nëse koeficientët janë thyesorë, i eliminojmë thyesat duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me faktorin përkatës.

4. Nëse x në katror është i pastër, koeficienti i tij është i barabartë me një, zgjidhja mund të verifikohet lehtësisht duke përdorur teoremën e Vietës. Beje!

Tani mund të vendosim.)

Zgjidh ekuacionet:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Përgjigjet (në rrëmujë):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - çdo numër

x 1 = -3
x 2 = 3

asnjë zgjidhje

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

A përshtatet gjithçka? E shkëlqyeshme! Ekuacionet kuadratike nuk janë dhimbja juaj e kokës. Tre të parat funksionuan, por pjesa tjetër jo? Atëherë problemi nuk është me ekuacionet kuadratike. Problemi është në transformimet identike të ekuacioneve. Hidhini një sy lidhjes, është e dobishme.

Nuk funksionon fare? Apo nuk funksionon fare? Më pas, Seksioni 555 do t'ju ndihmojë të gjithë këta shembuj. Treguar kryesore gabimet në zgjidhje. Natyrisht, flasim edhe për përdorimin e transformimeve identike në zgjidhjen e ekuacioneve të ndryshme. Ndihmon shumë!

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Shpresoj që pasi të keni studiuar këtë artikull do të mësoni se si të gjeni rrënjët e një ekuacioni të plotë kuadratik.

Duke përdorur diskriminuesin, zgjidhen vetëm ekuacionet e plota kuadratike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota, përdoren metoda të tjera, të cilat do t'i gjeni në artikullin "Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota".

Cilat ekuacione kuadratike quhen të plota? Kjo ekuacionet e formës ax 2 + b x + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c nuk janë të barabartë me zero. Pra, për të zgjidhur një ekuacion të plotë kuadratik, duhet të llogarisim diskriminuesin D.

D = b 2 – 4ac.

Në varësi të vlerës së diskriminuesit, do ta shkruajmë përgjigjen.

Nëse diskriminuesi është një numër negativ (D< 0),то корней нет.

Nëse diskriminuesi është zero, atëherë x = (-b)/2a. Kur diskriminuesi është një numër pozitiv (D > 0),

atëherë x 1 = (-b - √D)/2a, dhe x 2 = (-b + √D)/2a.

Për shembull. Zgjidhe ekuacionin x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Përgjigje: 2.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Përgjigje: pa rrënjë.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Përgjigje: – 3,5; 1.

Pra, le të imagjinojmë zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike duke përdorur diagramin në Figurën 1.

Duke përdorur këto formula ju mund të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik. Thjesht duhet të keni kujdes ekuacioni është shkruar si një polinom i formës standarde

A x 2 + bx + c, përndryshe mund të bëni një gabim. Për shembull, kur shkruani ekuacionin x + 3 + 2x 2 = 0, mund të vendosni gabimisht se

a = 1, b = 3 dhe c = 2. Pastaj

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dhe pastaj ekuacioni ka dy rrënjë. Dhe kjo nuk është e vërtetë. (Shih zgjidhjen e shembullit 2 më lart).

Prandaj, nëse ekuacioni nuk shkruhet si polinom i formës standarde, së pari duhet të shkruhet ekuacioni i plotë kuadratik si një polinom i formës standarde (monomi me eksponentin më të madh duhet të jetë i pari, d.m.th. A x 2 , pastaj me më pak – bx dhe më pas një anëtar i lirë Me.

Kur zgjidhni ekuacionin kuadratik të reduktuar dhe një ekuacion kuadratik me një koeficient çift në termin e dytë, mund të përdorni formula të tjera. Le të njihemi me këto formula. Nëse në një ekuacion të plotë kuadratik termi i dytë ka një koeficient çift (b = 2k), atëherë mund ta zgjidhni ekuacionin duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 2.

Një ekuacion i plotë kuadratik quhet i reduktuar nëse koeficienti është në x 2 është e barabartë me një dhe ekuacioni merr formën x 2 + px + q = 0. Një ekuacion i tillë mund të jepet për zgjidhje, ose mund të merret duke pjesëtuar të gjithë koeficientët e ekuacionit me koeficientin A, duke qëndruar në x 2 .

Figura 3 tregon një diagram për zgjidhjen e katrorit të reduktuar
ekuacionet. Le të shohim një shembull të aplikimit të formulave të diskutuara në këtë artikull.

Shembull. Zgjidhe ekuacionin

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Le ta zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3

Mund të vëreni se koeficienti i x në këtë ekuacion është një numër çift, domethënë b = 6 ose b = 2k, prej nga k = 3. Më pas le të përpiqemi ta zgjidhim ekuacionin duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin e figurës D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = - 1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3. Duke vënë re se të gjithë koeficientët në këtë ekuacion kuadratik janë të pjesëtueshëm me 3 dhe duke kryer pjesëtimin, marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar x 2 + 2x – 2 = 0 Zgjidheni këtë ekuacion duke përdorur formulat për kuadrin e reduktuar.
ekuacionet figura 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = - 1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3.

Siç mund ta shihni, kur zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formula të ndryshme, morëm të njëjtën përgjigje. Prandaj, pasi të keni zotëruar plotësisht formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1, gjithmonë do të jeni në gjendje të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik.

në faqen e internetit, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

Shkolla e mesme rurale Kopyevskaya

10 mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike

Drejtues: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

mësues i matematikës

fshati Kopevë, 2007

1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike

1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë

1.2 Si i përpiloi dhe zgjidhi Diofanti ekuacionet kuadratike

1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi

1.4 Ekuacionet kuadratike nga al-Khorezmi

1.5 Ekuacionet kuadratike në Evropë shekujt XIII - XVII

1.6 Rreth teoremës së Vietës

2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

konkluzioni

Letërsia

1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike

1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë

Nevoja për zgjidhjen e ekuacioneve jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë, edhe në kohët e lashta, u shkaktua nga nevoja për zgjidhjen e problemeve që lidhen me gjetjen e sipërfaqeve të parcelave dhe me punë gërmimi të karakterit ushtarak, si dhe. si me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Ekuacionet kuadratike mund të zgjidheshin rreth vitit 2000 para Krishtit. e. babilonasit.

Duke përdorur shënimet algjebrike moderne, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme ka, përveç atyre jo të plota, të tilla, për shembull, ekuacione të plota kuadratike:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, në thelb përkon me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e paraqitura në formën e recetave, pa asnjë tregues se si u gjetën.

Megjithë nivelin e lartë të zhvillimit të algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

1.2 Si i përpiloi dhe zgjidhi Diofanti ekuacionet kuadratike.

Aritmetika e Diofantit nuk përmban një paraqitje sistematike të algjebrës, por përmban një sërë problemesh sistematike, të shoqëruara me shpjegime dhe të zgjidhura duke ndërtuar ekuacione të shkallëve të ndryshme.

Kur kompozon ekuacione, Diofanti zgjedh me mjeshtëri të panjohurat për të thjeshtuar zgjidhjen.

Këtu, për shembull, është një nga detyrat e tij.

Problemi 11."Gjeni dy numra, duke ditur që shuma e tyre është 20 dhe prodhimi i tyre është 96"

Diofanti arsyeton si më poshtë: nga kushtet e problemit del se numrat e kërkuar nuk janë të barabartë, pasi nëse do të ishin të barabartë, atëherë produkti i tyre nuk do të ishte i barabartë me 96, por me 100. Kështu, njëri prej tyre do të jetë më shumë se gjysma e shumës së tyre, d.m.th. 10 + x, tjetri është më pak, d.m.th. 10-ta. Dallimi mes tyre 2x .

Prandaj ekuacioni:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Nga këtu x = 2. Një nga numrat e kërkuar është i barabartë me 12 , të tjera 8 . Zgjidhje x = -2 sepse Diofanti nuk ekziston, pasi matematika greke dinte vetëm numra pozitivë.

Nëse e zgjidhim këtë problem duke zgjedhur një nga numrat e kërkuar si të panjohur, atëherë do të arrijmë në një zgjidhje të ekuacionit

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20 y + 96 = 0. (2)

Është e qartë se duke zgjedhur gjysmëdiferencën e numrave të kërkuar si të panjohur, Diofanti thjeshton zgjidhjen; ai arrin ta reduktojë problemin në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik jo të plotë (1).

1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi

Problemet mbi ekuacionet kuadratike gjenden tashmë në traktatin astronomik "Aryabhattiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta (shekulli VII), përshkroi një rregull të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

Në ekuacionin (1), koeficientët, përveç A, mund të jetë edhe negative. Rregulli i Brahmagupta është në thelb i njëjtë me yni.

Në Indinë e lashtë, konkurset publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme. Një nga librat e vjetër indian thotë si vijon për konkurse të tilla: "Ndërsa dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një njeri i ditur do ta kalojë lavdinë e një tjetri në asambletë publike, duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike." Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.

Ky është një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të. Bhaskarët.

Problemi 13.

"Një tufë majmunësh të gjallë dhe dymbëdhjetë përgjatë hardhive...

Autoritetet, pasi kishin ngrënë, u argëtuan. Ata filluan të kërcejnë, të varen...

Janë ata në shesh, pjesa e tetë Sa majmunë ishin?

Po argëtohesha në pastrim. Më thuaj, në këtë paketë?

Zgjidhja e Bhaskara tregon se ai e dinte se rrënjët e ekuacioneve kuadratike janë me dy vlera (Fig. 3).

Ekuacioni që i korrespondon problemit 13 është:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara shkruan nën maskën:

x 2 - 64x = -768

dhe, për të plotësuar anën e majtë të këtij ekuacioni në katror, shton në të dyja anët 32 2 , pastaj duke marrë:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ekuacionet kuadratike në el - Khorezmi

Në traktatin algjebrik të al-Khorezmi, jepet një klasifikim i ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori numëron 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpatë 2 + c = b X.

2) “Katroret janë të barabartë me numrat”, d.m.th. sëpatë 2 = c.

3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. ah = s.

4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpatë 2 + c = b X.

5) “Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrat”, d.m.th. ah 2 + bx = s.

6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. bx + c = sëpatë 2 .

Për al-Khorezmi, i cili shmangi përdorimin e numrave negativë, termat e secilit prej këtyre ekuacioneve janë shtesa dhe jo zbritës. Në këtë rast, ekuacionet që nuk kanë zgjidhje pozitive padyshim që nuk merren parasysh. Autori parashtron metoda për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve duke përdorur teknikat el-xhebr dhe el-muqabala. Vendimet e tij, natyrisht, nuk përkojnë plotësisht me tonat. Për të mos përmendur që është thjesht retorik, duhet theksuar, për shembull, se kur zgjidhet një ekuacion kuadratik jo i plotë i llojit të parë

al-Khorezmi, si të gjithë matematikanët para shekullit të 17-të, nuk e merr parasysh zgjidhjen zero, ndoshta sepse në problemet specifike praktike nuk ka rëndësi. Kur zgjidh ekuacione të plota kuadratike, al-Khorezmi përcakton rregullat për zgjidhjen e tyre duke përdorur shembuj të veçantë numerik, dhe më pas prova gjeometrike.

Problemi 14.“Katrori dhe numri 21 janë të barabartë me 10 rrënjë. Gjeni rrënjën" (duke nënkuptuar rrënjën e ekuacionit x 2 + 21 = 10x).

Zgjidhja e autorit shkon diçka e tillë: ndani numrin e rrënjëve në gjysmë, merrni 5, shumëzoni 5 me vetveten, zbrisni 21 nga prodhimi, ajo që mbetet është 4. Merrni rrënjën nga 4, merrni 2. Zbrisni 2 nga 5 , ju merrni 3, kjo do të jetë rrënja e dëshiruar. Ose shtoni 2 në 5, që jep 7, kjo është gjithashtu një rrënjë.

Traktati i el-Khorezmi është libri i parë që na ka ardhur, i cili përcakton sistematikisht klasifikimin e ekuacioneve kuadratike dhe jep formula për zgjidhjen e tyre.

1.5 Ekuacionet kuadratike në Evropë XIII - XVII bb

Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike përgjatë linjave të al-Khuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në Librin e Abacus, shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Kjo vepër voluminoze, e cila pasqyron ndikimin e matematikës, si nga vendet islame, ashtu edhe nga Greqia e lashtë, dallohet për plotësinë dhe qartësinë e paraqitjes. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa shembuj të rinj algjebrikë të zgjidhjes së problemeve dhe ishte i pari në Evropë që iu afrua futjes së numrave negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga Libri i Abacus u përdorën pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 16 - 17. dhe pjesërisht XVIII.

Rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike reduktuar në një formë të vetme kanonike:

x 2 + bx = c,

për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të koeficientit b , Me u formulua në Evropë vetëm në vitin 1544 nga M. Stiefel.

Derivimi i formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në formë të përgjithshme është i disponueshëm nga Viète, por Viète njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. Përveç pozitiveve, merren parasysh edhe rrënjët negative. Vetëm në shekullin e 17-të. Falë punës së Girardit, Dekartit, Njutonit dhe shkencëtarëve të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne.

1.6 Rreth teoremës së Vietës

Teorema që shpreh marrëdhënien midis koeficientëve të një ekuacioni kuadratik dhe rrënjëve të tij, me emrin Vieta, u formulua prej tij për herë të parë në 1591 si më poshtë: "Nëse B + D, shumëzuar me A - A 2 , e barabartë BD, Kjo A barazohet NË dhe të barabartë D ».

Për të kuptuar Vietën, duhet ta kujtojmë këtë A, si çdo shkronjë zanore, nënkuptonte të panjohurën (tonë X), zanoret NË, D- koeficientët për të panjohurën. Në gjuhën e algjebrës moderne, formulimi i mësipërm Vieta do të thotë: nëse ka

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Duke shprehur marrëdhënien midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacioneve me formulat e përgjithshme të shkruara duke përdorur simbole, Viète vendosi uniformitet në metodat e zgjidhjes së ekuacioneve. Sidoqoftë, simbolika e Vietit është ende larg nga forma e saj moderne. Ai nuk i njihte numrat negativë dhe për këtë arsye, gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, ai merrte parasysh vetëm rastet kur të gjitha rrënjët ishin pozitive.

2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Ekuacionet kuadratike janë themeli mbi të cilin mbështetet ndërtesa madhështore e algjebrës. Ekuacionet kuadratike përdoren gjerësisht në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive trigonometrike, eksponenciale, logaritmike, irracionale dhe transcendentale. Të gjithë dimë të zgjidhim ekuacionet kuadratike nga shkolla (klasa e 8-të) deri në diplomim.

Ekuacionet kuadratike shfaqen shpesh kur zgjidhen probleme të ndryshme në fizikë dhe matematikë. Në këtë artikull do të shikojmë se si t'i zgjidhim këto barazi në një mënyrë universale "përmes një diskriminuesi". Në artikull jepen edhe shembuj të përdorimit të njohurive të marra.

Për çfarë ekuacionesh do të flasim?

Figura më poshtë tregon një formulë në të cilën x është një ndryshore e panjohur dhe simbolet latine a, b, c përfaqësojnë disa numra të njohur.

Secili prej këtyre simboleve quhet koeficient. Siç mund ta shihni, numri "a" shfaqet para ndryshores x në katror. Kjo është fuqia maksimale e shprehjes së paraqitur, prandaj quhet ekuacion kuadratik. Emri tjetër i tij përdoret shpesh: ekuacion i rendit të dytë. Vetë vlera a është një koeficient katror (që qëndron me variablin në katror), b është një koeficient linear (është ngjitur me ndryshoren e ngritur në fuqinë e parë) dhe së fundi, numri c është termi i lirë.

Vini re se lloji i ekuacionit të paraqitur në figurën e mësipërme është një shprehje e përgjithshme klasike kuadratike. Përveç tij, ekzistojnë ekuacione të tjera të rendit të dytë në të cilat koeficientët b dhe c mund të jenë zero.

Kur vendoset detyra për të zgjidhur barazinë në fjalë, kjo do të thotë që duhet të gjenden vlera të tilla të ndryshores x që do ta kënaqin atë. Këtu, gjëja e parë që duhet të mbani mend është gjëja e mëposhtme: meqenëse shkalla maksimale e X është 2, atëherë ky lloj shprehjeje nuk mund të ketë më shumë se 2 zgjidhje. Kjo do të thotë që nëse, gjatë zgjidhjes së një ekuacioni, janë gjetur 2 vlera të x që e plotësojnë atë, atëherë mund të jeni të sigurt se nuk ka numër të tretë, duke e zëvendësuar atë me x, barazia do të ishte gjithashtu e vërtetë. Zgjidhjet e një ekuacioni në matematikë quhen rrënjët e tij.

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të rendit të dytë

Zgjidhja e ekuacioneve të këtij lloji kërkon njohuri të disa teorive rreth tyre. Në kursin e algjebrës shkollore merren parasysh 4 metoda të ndryshme zgjidhjeje. Le t'i rendisim ato:

duke përdorur faktorizimin;
duke përdorur formulën për një katror të përsosur;
duke zbatuar grafikun e funksionit kuadratik përkatës;
duke përdorur ekuacionin diskriminues.

Avantazhi i metodës së parë është thjeshtësia e saj, megjithatë, ajo nuk mund të përdoret për të gjitha ekuacionet. Metoda e dytë është universale, por disi e rëndë. Metoda e tretë dallohet nga qartësia e saj, por nuk është gjithmonë e përshtatshme dhe e zbatueshme. Dhe së fundi, përdorimi i ekuacionit diskriminues është një mënyrë universale dhe mjaft e thjeshtë për të gjetur rrënjët e absolutisht çdo ekuacioni të rendit të dytë. Prandaj, në këtë artikull do ta shqyrtojmë vetëm atë.

Formula për marrjen e rrënjëve të ekuacionit

Le t'i drejtohemi formës së përgjithshme të ekuacionit kuadratik. Le ta shkruajmë: a*x²+ b*x + c =0. Përpara se të përdorni metodën e zgjidhjes së tij "përmes një diskriminuesi", duhet të sillni gjithmonë barazinë në formën e tij të shkruar. Kjo do të thotë, duhet të përbëhet nga tre terma (ose më pak nëse b ose c është 0).

Për shembull, nëse ekziston një shprehje: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², atëherë së pari duhet të zhvendosni të gjithë termat e saj në njërën anë të barazisë dhe të shtoni termat që përmbajnë ndryshoren x në të njëjtat fuqi.

Në këtë rast, ky operacion do të çojë në shprehjen e mëposhtme: -6*x²-4*x+8=0, e cila është ekuivalente me ekuacionin 6*x²+4*x-8=0 (këtu kemi shumëzuar majtas dhe anët e djathta të barazisë me -1) .

Në shembullin e mësipërm, a = 6, b=4, c=-8. Vini re se të gjithë termat e barazisë në shqyrtim mblidhen gjithmonë së bashku, kështu që nëse shfaqet shenja "-", kjo do të thotë se koeficienti përkatës është negativ, si numri c në këtë rast.

Duke shqyrtuar këtë pikë, le të kalojmë tani në vetë formulën, e cila bën të mundur marrjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik. Duket si ajo e treguar në foton më poshtë.

Siç shihet nga kjo shprehje, ju lejon të merrni dy rrënjë (i kushtoni vëmendje shenjës "±"). Për ta bërë këtë, mjafton të zëvendësoni koeficientët b, c dhe a në të.

Koncepti i një diskriminuesi

Në paragrafin e mëparshëm, u dha një formulë që ju lejon të zgjidhni shpejt çdo ekuacion të rendit të dytë. Në të, shprehja radikale quhet diskriminuese, domethënë D = b²-4*a*c.

Pse theksohet kjo pjesë e formulës dhe pse ka edhe emrin e saj? Fakti është se diskriminuesi lidh të tre koeficientët e ekuacionit në një shprehje të vetme. Fakti i fundit do të thotë se ai mbart plotësisht informacion për rrënjët, të cilat mund të shprehen në listën e mëposhtme:

D>0: Barazia ka 2 zgjidhje të ndryshme, që të dyja janë numra realë.
D=0: Ekuacioni ka vetëm një rrënjë, dhe ai është një numër real.

Detyrë për përcaktimin e diskriminimit

Le të japim një shembull të thjeshtë se si të gjesh një diskriminues. Le të jepet barazia e mëposhtme: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Le ta sjellim në formën standarde, marrim: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, nga ku vijmë te barazia : -2*x² +2*x-11 = 0. Këtu a=-2, b=2, c=-11.

Tani mund të përdorni formulën e mësipërme për diskriminuesin: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Numri që rezulton është përgjigja e detyrës. Meqenëse diskriminuesi në shembull është më i vogël se zero, mund të themi se ky ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë reale. Zgjidhja e tij do të jetë vetëm numra të tipit kompleks.

Një shembull i pabarazisë përmes një diskriminuesi

Le të zgjidhim probleme të një lloji paksa të ndryshëm: duke pasur parasysh barazinë -3*x²-6*x+c = 0. Është e nevojshme të gjejmë vlerat e c për të cilat D>0.

Në këtë rast njihen vetëm 2 nga 3 koeficientët, pra nuk mund të llogaritet saktësisht vlera e diskriminuesit, por dihet se është pozitiv. Ne përdorim faktin e fundit kur kompozojmë pabarazinë: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Zgjidhja e pabarazisë që rezulton çon në rezultatin: c>-3.

Le të kontrollojmë numrin që rezulton. Për ta bërë këtë, ne llogarisim D për 2 raste: c=-2 dhe c=-4. Numri -2 plotëson rezultatin e marrë (-2>-3), diskriminuesi përkatës do të ketë vlerën: D = 12>0. Nga ana tjetër, numri -4 nuk plotëson pabarazinë (-4. Kështu, çdo numër c që është më i madh se -3 do të plotësojë kushtin.

Një shembull i zgjidhjes së një ekuacioni

Le të paraqesim një problem që përfshin jo vetëm gjetjen e diskriminuesit, por edhe zgjidhjen e ekuacionit. Është e nevojshme të gjenden rrënjët për barazinë -2*x²+7-9*x = 0.

Në këtë shembull, diskriminuesi është i barabartë me vlerën e mëposhtme: D = 81-4*(-2)*7= 137. Pastaj rrënjët e ekuacionit përcaktohen si më poshtë: x = (9±√137)/(- 4). Këto janë vlerat e sakta të rrënjëve nëse llogaritni rrënjën afërsisht, atëherë merrni numrat: x = -5.176 dhe x = 0.676.

Problemi gjeometrik

Le të zgjidhim një problem që do të kërkojë jo vetëm aftësinë për të llogaritur diskriminuesin, por edhe përdorimin e aftësive të të menduarit abstrakt dhe njohuri për mënyrën e shkrimit të ekuacioneve kuadratike.

Bob kishte një jorgan 5 x 4 metra. Djali donte t'i qepte një rrip të vazhdueshëm pëlhure të bukur rreth të gjithë perimetrit. Sa i trashë do të jetë ky shirit nëse e dimë se Bob ka 10 m² pëlhurë.

Lëreni shiritin të ketë një trashësi prej x m, atëherë sipërfaqja e pëlhurës përgjatë anës së gjatë të batanijes do të jetë (5+2*x)*x, dhe duke qenë se ka 2 anë të gjata, kemi: 2*x *(5+2*x). Në anën e shkurtër, sipërfaqja e pëlhurës së qepur do të jetë 4*x, pasi ka 2 nga këto anë, marrim vlerën 8*x. Vini re se vlera 2*x iu shtua anës së gjatë sepse gjatësia e batanijes u rrit me atë numër. Sipërfaqja e përgjithshme e pëlhurës së qepur në batanije është 10 m². Prandaj, marrim barazinë: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Për këtë shembull, diskriminuesi është i barabartë me: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Rrënja e tij është 22. Duke përdorur formulën, gjejmë rrënjët e kërkuara: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Natyrisht, nga dy rrënjët, vetëm numri 0.5 është i përshtatshëm sipas kushteve të problemit.

Kështu, brezi i pëlhurës që Bob qep në batanijen e tij do të jetë 50 cm i gjerë.

Kjo temë mund të duket e ndërlikuar në fillim për shkak të shumë formulave jo shumë të thjeshta. Jo vetëm që vetë ekuacionet kuadratike kanë shënime të gjata, por rrënjët gjenden edhe përmes diskriminuesit. Në total, fitohen tre formula të reja. Jo shumë e lehtë për t'u mbajtur mend. Kjo është e mundur vetëm pas zgjidhjes së shpeshtë të ekuacioneve të tilla. Atëherë të gjitha formulat do të mbahen mend vetë.

Pamje e përgjithshme e një ekuacioni kuadratik

Këtu propozojmë regjistrimin e qartë të tyre, kur fillimisht shkruhet shkalla më e madhe dhe më pas në rend zbritës. Shpesh ka situata kur termat nuk janë në përputhje. Atëherë është më mirë të rishkruhet ekuacioni në rend zbritës të shkallës së ndryshores.

Le të prezantojmë disa shënime. Ato janë paraqitur në tabelën e mëposhtme.

Nëse i pranojmë këto shënime, të gjitha ekuacionet kuadratike reduktohen në shënimin vijues.

Për më tepër, koeficienti a ≠ 0. Le të caktohet kjo formulë numër një.

Kur jepet një ekuacion, nuk është e qartë se sa rrënjë do të ketë në përgjigje. Sepse një nga tre opsionet është gjithmonë e mundur:

zgjidhja do të ketë dy rrënjë;
përgjigja do të jetë një numër;
ekuacioni nuk do të ketë fare rrënjë.

Dhe derisa vendimi të finalizohet, është e vështirë të kuptohet se cili opsion do të shfaqet në një rast të veçantë.

Llojet e regjistrimeve të ekuacioneve kuadratike

Mund të ketë hyrje të ndryshme në detyra. Ato nuk do të duken gjithmonë si formula e përgjithshme e ekuacionit kuadratik. Ndonjëherë do t'i mungojnë disa terma. Ajo që u shkrua më lart është ekuacioni i plotë. Nëse hiqni termin e dytë ose të tretë në të, ju merrni diçka tjetër. Këto regjistrime quhen gjithashtu ekuacione kuadratike, vetëm të paplota.

Për më tepër, vetëm termat me koeficientët "b" dhe "c" mund të zhduken. Numri "a" nuk mund të jetë i barabartë me zero në asnjë rrethanë. Sepse në këtë rast formula kthehet në një ekuacion linear. Formulat për formën jo të plotë të ekuacioneve do të jenë si më poshtë:

Pra, ka vetëm dy lloje, përveç atyre të plota, ka edhe ekuacione kuadratike jo të plota. Le të jetë formula e parë numri dy, dhe e dyta - tre.

Diskriminimi dhe varësia e numrit të rrënjëve nga vlera e tij

Ju duhet ta dini këtë numër për të llogaritur rrënjët e ekuacionit. Mund të llogaritet gjithmonë, pavarësisht se cila është formula e ekuacionit kuadratik. Për të llogaritur diskriminuesin, duhet të përdorni barazinë e shkruar më poshtë, e cila do të ketë numrin katër.

Pas zëvendësimit të vlerave të koeficientit në këtë formulë, mund të merrni numra me shenja të ndryshme. Nëse përgjigja është po, atëherë përgjigja e ekuacionit do të jetë dy rrënjë të ndryshme. Nëse numri është negativ, nuk do të ketë rrënjë të ekuacionit kuadratik. Nëse është e barabartë me zero, do të ketë vetëm një përgjigje.

Si të zgjidhim një ekuacion të plotë kuadratik?

Në fakt, shqyrtimi i kësaj çështjeje tashmë ka filluar. Sepse së pari ju duhet të gjeni një diskriminues. Pasi të përcaktohet se ka rrënjë të ekuacionit kuadratik dhe numri i tyre është i njohur, duhet të përdorni formula për variablat. Nëse ka dy rrënjë, atëherë duhet të aplikoni formulën e mëposhtme.

Meqenëse përmban një shenjë "±", do të ketë dy kuptime. Shprehja nën shenjën e rrënjës katrore është diskriminuese. Prandaj, formula mund të rishkruhet ndryshe.

Formula numër pesë. Nga i njëjti regjistrim është e qartë se nëse diskriminuesi është i barabartë me zero, atëherë të dy rrënjët do të marrin të njëjtat vlera.

Nëse zgjidhja e ekuacioneve kuadratike ende nuk është përpunuar, atëherë është më mirë të shkruani vlerat e të gjithë koeficientëve përpara se të aplikoni formulat diskriminuese dhe të ndryshueshme. Më vonë ky moment nuk do të shkaktojë vështirësi. Por në fillim ka një konfuzion.

Si të zgjidhim një ekuacion kuadratik jo të plotë?

Gjithçka është shumë më e thjeshtë këtu. Nuk ka nevojë as për formula shtesë. Dhe ato që tashmë janë shkruar për diskriminuesin dhe të panjohurin nuk do të nevojiten.

Së pari, le të shohim ekuacionin numër dy jo të plotë. Në këtë barazi, është e nevojshme të nxirret sasia e panjohur nga kllapa dhe të zgjidhet ekuacioni linear, i cili do të mbetet në kllapa. Përgjigja do të ketë dy rrënjë. E para është domosdoshmërisht e barabartë me zero, sepse ekziston një shumëzues që përbëhet nga vetë ndryshorja. E dyta do të merret duke zgjidhur një ekuacion linear.

Ekuacioni jo i plotë numër tre zgjidhet duke lëvizur numrin nga ana e majtë e barazimit në të djathtë. Pastaj ju duhet të pjesëtoni me koeficientin përballë të panjohurës. Mbetet vetëm të nxirrni rrënjën katrore dhe mos harroni ta shkruani dy herë me shenja të kundërta.

Më poshtë janë disa hapa që do t'ju ndihmojnë të mësoni se si të zgjidhni të gjitha llojet e barazive që kthehen në ekuacione kuadratike. Ato do ta ndihmojnë nxënësin të shmangë gabimet për shkak të pavëmendjes. Këto mangësi mund të shkaktojnë nota të dobëta gjatë studimit të temës së gjerë "Ekuacionet kuadratike (klasa e 8-të)." Më pas, këto veprime nuk do të kenë nevojë të kryhen vazhdimisht. Sepse do të shfaqet një aftësi e qëndrueshme.

Së pari ju duhet të shkruani ekuacionin në formë standarde. Kjo do të thotë, së pari termi me shkallën më të madhe të ndryshores, dhe më pas - pa një shkallë, dhe së fundi - vetëm një numër.

Nëse një minus shfaqet përpara koeficientit "a", mund të komplikojë punën për një fillestar që studion ekuacionet kuadratike. Është më mirë ta heqësh qafe. Për këtë qëllim, e gjithë barazia duhet të shumëzohet me "-1". Kjo do të thotë që të gjithë termat do të ndryshojnë shenjën në të kundërtën.

Rekomandohet të hiqni qafe fraksionet në të njëjtën mënyrë. Thjesht shumëzojeni ekuacionin me faktorin e duhur në mënyrë që emëruesit të anulohen.

Shembuj

Kërkohet të zgjidhen ekuacionet e mëposhtme kuadratike:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Ekuacioni i parë: x 2 − 7x = 0. Është i paplotë, prandaj zgjidhet siç përshkruhet për formulën numër dy.

Pasi e keni nxjerrë nga kllapat, rezulton: x (x - 7) = 0.

Rrënja e parë merr vlerën: x 1 = 0. E dyta do të gjendet nga ekuacioni linear: x - 7 = 0. Është e lehtë të shihet se x 2 = 7.

Ekuacioni i dytë: 5x 2 + 30 = 0. Përsëri i paplotë. Vetëm ajo zgjidhet siç përshkruhet për formulën e tretë.

Pasi të keni lëvizur 30 në anën e djathtë të ekuacionit: 5x 2 = 30. Tani ju duhet të pjesëtoni me 5. Rezulton: x 2 = 6. Përgjigjet do të jenë numrat: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Ekuacioni i tretë: 15 − 2x − x 2 = 0. Në vijim, zgjidhja e ekuacioneve kuadratike do të fillojë duke i rishkruar ato në formë standarde: − x 2 − 2x + 15 = 0. Tani është koha të përdorni këshillën e dytë të dobishme dhe të shumëzoni gjithçka me minus një. Rezulton x 2 + 2x - 15 = 0. Duke përdorur formulën e katërt, duhet të llogaritni diskriminuesin: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Është një numër pozitiv. Nga sa u tha më sipër, rezulton se ekuacioni ka dy rrënjë. Ato duhet të llogariten duke përdorur formulën e pestë. Rezulton se x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Pastaj x 1 = 3, x 2 = - 5.

Ekuacioni i katërt x 2 + 8 + 3x = 0 shndërrohet në këtë: x 2 + 3x + 8 = 0. Diskriminuesi i tij është i barabartë me këtë vlerë: -23. Meqenëse ky numër është negativ, përgjigja për këtë detyrë do të jetë hyrja e mëposhtme: "Nuk ka rrënjë".

Ekuacioni i pestë 12x + x 2 + 36 = 0 duhet të rishkruhet si më poshtë: x 2 + 12x + 36 = 0. Pas zbatimit të formulës për diskriminuesin, fitohet numri zero. Kjo do të thotë se do të ketë një rrënjë, përkatësisht: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Ekuacioni i gjashtë (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) kërkon transformime, të cilat konsistojnë në faktin se duhet të sillni terma të ngjashëm, duke hapur fillimisht kllapat. Në vend të së parës do të ketë shprehjen e mëposhtme: x 2 + 2x + 1. Pas barazisë, do të shfaqet kjo hyrje: x 2 + 3x + 2. Pasi të numërohen termat e ngjashëm, ekuacioni do të marrë formën: x 2 - x = 0. Është bërë jo i plotë. Diçka e ngjashme me këtë tashmë është diskutuar pak më lart. Rrënjët e kësaj do të jenë numrat 0 dhe 1.