Formulat për shkrimin e zgjidhjeve të përgjithshme të ekuacioneve trigonometrike. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike

Kapitulli 15. Ekuacionet trigonometrike

15.6. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike më komplekse

Në paragrafët e mëparshëm 3-5, janë dhënë zgjidhjet e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike: , , dhe . Ekuacionet trigonometrike më komplekse që përmbajnë disa funksione trigonometrike të argumenteve të njëjta ose të ndryshme reduktohen në to përmes transformimeve identike ose duke zgjidhur një ekuacion algjebrik ndihmës.

Teknika e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla është zëvendësimi i të gjitha funksioneve trigonometrike të përfshira në ekuacion përmes një funksioni bazuar në formulat që lidhin këto funksione. Kur zgjidhim një ekuacion, ne përpiqemi të bëjmë transformime që çojnë në ekuacione të barazvlefshme me atë të dhënë. Përndryshe, ju duhet të kontrolloni rrënjët e marra.

Humbja e rrënjëve është një gabim i zakonshëm. Gabime të tjera të tilla janë njohja e pasaktë e formulave për zgjidhjet e ekuacioneve më të thjeshta, si dhe pamundësia për të gjetur saktë vlerën e kërkuar të funksionit të harkut.

Le të shohim shembuj.

Zgjidhe ekuacionin.

Shembulli 2. (shembull i reduktimit në një argument).

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:
Këshillohet që të kaloni te argumenti. Vepra na kujton formulën e sinusit të një argumenti të dyfishtë: .
Duke zëvendësuar në ekuacion, marrim: .
Në anën e majtë do të aplikojmë edhe një herë formulën e sinusit të dyfishtë, por së pari do t'i shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me .
; ; .
Ne kemi marrë ekuacionin më të thjeshtë të llojit dhe barazojmë të gjithë argumentin me zgjidhjen e ekuacionit më të thjeshtë:
, ku.

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:
Duke përdorur një nga formulat për uljen e shkallës, marrim .

Pas zëvendësimit në ekuacion kemi

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:
Duke transferuar në anën e djathtë, marrim që është e barabartë me:
; ; .
Këtu duhej të shkonim duke rritur shkallën e ekuacionit, por patëm mundësinë të përdorim një teknikë të mirë zgjidhjeje - zhvendosni të gjithë termat në një pjesë dhe faktorizoni shprehjen që rezulton:
.
Duke barazuar secilin faktor veçmas me zero, marrim një grup ekuacionesh,

e cila, si rregull, është ekuivalente me këtë ekuacion (një përjashtim nga ky rregull diskutohet në shembullin e mëposhtëm).
E zgjidhim ekuacionin, kemi
, Dhe .
Ne zgjidhim ekuacionin ose , kemi , dhe .

Zgjidhe ekuacionin.

Përfshirja e një rrënjë të jashtme në përgjigje konsiderohet një gabim i madh. Për ta shmangur atë, duhet të siguroheni që rrënjët që rezultojnë të mos kthehen në zero asnjë nga funksionet në emëruesin e fraksionit të ekuacionit të dhënë (nëse ka fraksione atje) dhe që me këto rrënjë asnjë nga funksionet në ekuacioni origjinal humbet kuptimin (nëse përfshihen aty). Duhet të mbani mend se në cilat vlera të argumentit zhduket funksioni dhe domeni i përkufizimit të secilit funksion trigonometrik. Për analogji, ata flasin për domenin e përcaktimit të një ekuacioni (fushën e vlerave të lejueshme, ose VA, e të panjohurës. ). Fusha e përkufizimit të një ekuacioni trigonometrik është pjesa e përbashkët (kryqëzimi) i domeneve të përcaktimit të anës së majtë dhe të djathtë të këtij ekuacioni. Nëse rrënja që rezulton nuk i përket fushës së përkufizimit të ekuacionit, atëherë ajo është e jashtme dhe duhet të hidhet poshtë.

Zgjidhe ekuacionin
.

Zgjidhja:
Le të kalojmë në një funksion. Nëse e shprehim përmes , marrim një ekuacion irracional, i cili është i padëshirueshëm. Zëvendësoni nëpërmjet:
; .
Le të zgjidhim ekuacionin që rezulton si një ekuacion kuadratik në lidhje me .
ose .
Ekuacioni nuk ka rrënjë.
Për ekuacionin kemi:
. Por nënkuptojnë edhe numrat e njëjtë tek, kështu që zgjidhjen do ta shkruajmë më thjeshtë: .

Zgjidhe ekuacionin
.

Për të marrë një ekuacion homogjen (të gjithë termat e së njëjtës shkallë - e dyta) shumëzojmë anën e djathtë me shprehjen, e cila është e barabartë me .
;
.
Meqenëse rrënjët e ekuacionit nuk janë rrënjët e ekuacionit origjinal (kjo mund të verifikohet lehtësisht me zëvendësim), për të kaluar në një funksion, ne ndajmë të dy anët e ekuacionit me .

Zgjidhim ekuacionin kuadratik për .
ose .
Për barazimin kemi: .
Për ekuacionin marrim .

Zgjidhe ekuacionin.

Le ta shprehim përmes dhe , marrim
. Këtu duhet të jetë ndryshe nga zero (përndryshe ekuacioni nuk ka kuptim), kështu që fusha e përkufizimit të ekuacionit është e gjitha. Meqenëse, ne i shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me për të hequr qafe thyesat.
;
;
.
Për ekuacionin që kemi

Klasa: 10

"Ekuacionet do të zgjasin përgjithmonë."

A. Ajnshtajni

Objektivat e mësimit:

arsimore:
- thellimi i të kuptuarit të metodave për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike;
- të zhvillojë aftësitë për të dalluar dhe përzgjedhur saktë metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.
arsimore:
- kultivimi i interesit kognitiv në procesin arsimor;
- zhvillimi i aftësisë për të analizuar një detyrë të caktuar;
- kontribuojnë në përmirësimin e klimës psikologjike në klasë.
Zhvillimore:
- promovojnë zhvillimin e aftësive të përvetësimit të pavarur të njohurive;
- nxisin aftësinë e nxënësve për të argumentuar këndvështrimin e tyre;

Pajisjet: poster me formula bazë trigonometrike, kompjuter, projektor, ekran.

1 mësim

I. Përditësimi i njohurive referuese

Zgjidhini me gojë ekuacionet:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; te Z.

II. Mësimi i materialit të ri

– Sot do të shikojmë ekuacionet trigonometrike më komplekse. Le të shohim 10 mënyra për t'i zgjidhur ato. Më pas do të ketë dy orë mësimi për konsolidim, dhe për mësimin tjetër do të ketë një test. Në stendën "Për mësimin" ka detyra të postuara që janë të ngjashme me ato që do të jenë në test; duhet t'i zgjidhni ato para testit. (Një ditë para testit, vendosini zgjidhjet e këtyre detyrave në stendë).

Pra, le të kalojmë në shqyrtimin e mënyrave për të zgjidhur ekuacionet trigonometrike. Disa nga këto metoda ndoshta do t'ju duken të vështira, ndërsa të tjerat do të duken të lehta, sepse... Ju tashmë dini disa teknika për zgjidhjen e ekuacioneve.

Katër nxënës në klasë morën një detyrë individuale: të kuptojnë dhe t'ju tregojnë 4 mënyra për të zgjidhur ekuacionet trigonometrike.

(Nxënësit që flasin kanë përgatitur paraprakisht sllajde. Pjesa tjetër e klasës shënon hapat kryesorë për zgjidhjen e ekuacioneve në një fletore.)

1 student: 1 mënyrë. Zgjidhja e ekuacioneve me faktorizimin

sin 4x = 3 cos 2x

Për të zgjidhur ekuacionin, ne përdorim formulën e sinusit me kënd të dyfishtë sin 2 = 2 sin cos
2 mëkat 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Prodhimi i këtyre faktorëve është i barabartë me zero nëse të paktën njëri prej faktorëve është i barabartë me zero.

2x = + k, k Z ose sin 2x = 1,5 – nuk ka zgjidhje, sepse | mëkat| 1
x = + k; te Z.
Përgjigje: x = + k, k Z.

2 student. Metoda 2. Zgjidhja e ekuacioneve duke e kthyer shumën ose ndryshimin e funksioneve trigonometrike në produkt

cos 3x + sin 2x – mëkat 4x = 0.

Për të zgjidhur ekuacionin, përdorim formulën sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin cos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Ekuacioni që rezulton është i barabartë me një grup prej dy ekuacionesh:

Bashkësia e zgjidhjeve të ekuacionit të dytë përfshihet plotësisht në grupin e zgjidhjeve të ekuacionit të parë. Do të thotë

Përgjigje:

3 student. 3 mënyra. Zgjidhja e ekuacioneve duke e kthyer produktin e funksioneve trigonometrike në një shumë

sin 5x cos 3x = mëkat 6x cos2x.

Për të zgjidhur ekuacionin, ne përdorim formulën

Përgjigje:

4 student. 4 mënyra. Zgjidhja e ekuacioneve që reduktohen në ekuacione kuadratike

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 mëkat x – 2 (1 – mëkat 2 x) = 0,
2 mëkat 2 x + 3 mëkat x – 2 = 0,

Le të sin x = t, ku | t |. Ne marrim ekuacionin kuadratik 2t 2 + 3t – 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

Kështu. nuk e plotëson kushtin | t |.

Pra sin x = . Kjo është arsyeja pse .

Përgjigje:

III. Konsolidimi i asaj që është mësuar nga libri shkollor i A. N. Kolmogorov

1. Nr. 164 (a), 167 (a) (ekuacioni kuadratik)
2. Nr. 168 (a) (faktorizim)
3. Nr. 174 (a) (konvertimi i një shume në një produkt)
4. (konverto produktin në shumë)

(Në fund të mësimit, tregoni zgjidhjen e këtyre ekuacioneve në ekran për verifikim)

№ 164 (A)

2 mëkat 2 x + mëkat x – 1 = 0.
Le të sin x = t, | t | 1. Pastaj
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Ku

Përgjigje: - .

№ 167 (A)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Le të tg x = 1, atëherë marrim ekuacionin 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Përgjigje:

№ 168 (A)

Përgjigje:

№ 174 (A)

Zgjidhe ekuacionin:

Përgjigje:

Mësimi 2 (mësim-ligjëratë)

IV. Mësimi i materialit të ri(vazhdim)

– Pra, le të vazhdojmë të studiojmë mënyrat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

5 mënyra. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike homogjene

Ekuacionet e formës a sin x + b cos x = 0, ku a dhe b janë disa numra, quhen ekuacione homogjene të shkallës së parë në lidhje me sin x ose cos x.

Merrni parasysh ekuacionin

sin x – cos x = 0. Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me cos x. Kjo mund të bëhet; humbja e rrënjës nuk do të ndodhë, sepse , Nëse cos x = 0, Se sin x = 0. Por kjo bie ndesh me identitetin themelor trigonometrik mëkat 2 x + cos 2 x = 1.

marrim tan x – 1 = 0.

tan x = 1,

Ekuacionet e formës si në 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0, Ku a, b, c - disa numra quhen ekuacione homogjene të shkallës së dytë në lidhje me sin x ose cos x.

Merrni parasysh ekuacionin

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me cos x, dhe rrënja nuk do të humbasë, sepse cos x = 0 nuk është rrënja e këtij ekuacioni.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Le të jetë tg x = t. D = 9 - 8 = 1.

Pastaj tg x = 2 ose tg x = 1.

Si rezultat, x = arctan 2 + , x =

Përgjigje: arctg 2 + ,

Shqyrtoni një ekuacion tjetër: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Le të transformojmë anën e djathtë të ekuacionit në formën 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Pastaj marrim:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Kemi marrë ekuacionin e 2-të, të cilin e kemi analizuar tashmë).

Përgjigje: arctan 2 + k,

6 mënyra. Zgjidhja e ekuacioneve lineare trigonometrike

Një ekuacion linear trigonometrik është një ekuacion i formës një mëkat x + b cos x = c, ku a, b, c janë disa numra.

Merrni parasysh ekuacionin sin x + cos x= – 1.
Le ta rishkruajmë ekuacionin si:

Duke marrë parasysh këtë dhe, marrim:

Përgjigje:

7 mënyra. Paraqitja e një argumenti shtesë

Shprehje a cos x + b sin x mund të konvertohet:

(ne e kemi përdorur tashmë këtë transformim kur thjeshtojmë shprehjet trigonometrike)

Le të paraqesim një argument shtesë - këndi është i tillë që

Pastaj

Merrni parasysh ekuacionin: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

Detyre shtepie: Nr 164 -170 (c, d).

Kërkon njohuri për formulat themelore të trigonometrisë - shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit, shprehja e tangjentes përmes sinusit dhe kosinusit, dhe të tjera. Për ata që i kanë harruar ose nuk i njohin, ju rekomandojmë të lexoni artikullin "".
Pra, ne i dimë formulat bazë trigonometrike, është koha t'i përdorim ato në praktikë. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike me qasjen e duhur, është një aktivitet mjaft emocionues, si, për shembull, zgjidhja e një kubi Rubik.

Bazuar në vetë emrin, është e qartë se një ekuacion trigonometrik është një ekuacion në të cilin e panjohura është nën shenjën e funksionit trigonometrik.
Ekzistojnë të ashtuquajturat ekuacione trigonometrike më të thjeshta. Ja si duken ato: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Le të shqyrtojmë si të zgjidhen ekuacione të tilla trigonometrike, për qartësi do të përdorim rrethin trigonometrik tashmë të njohur.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

ahur x = a

Çdo ekuacion trigonometrik zgjidhet në dy faza: e reduktojmë ekuacionin në formën e tij më të thjeshtë dhe më pas e zgjidhim si ekuacion të thjeshtë trigonometrik.
Ekzistojnë 7 metoda kryesore me të cilat zgjidhen ekuacionet trigonometrike.

Zëvendësimi i ndryshueshëm dhe metoda e zëvendësimit

Zgjidhe ekuacionin 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Duke përdorur formulat e reduktimit marrim:

2cos 2 (x + /6) - 3cos(x + /6) +1 = 0

Zëvendësoni cos(x + /6) me y për të thjeshtuar dhe për të marrë ekuacionin e zakonshëm kuadratik:

2v 2 – 3vje + 1 + 0

Rrënjët e të cilave janë y 1 = 1, y 2 = 1/2

Tani le të shkojmë në rend të kundërt

Ne zëvendësojmë vlerat e gjetura të y dhe marrim dy opsione përgjigjeje:

Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike përmes faktorizimit

Si të zgjidhet ekuacioni sin x + cos x = 1?

Le të lëvizim gjithçka në të majtë në mënyrë që 0 të mbetet në të djathtë:

sin x + cos x – 1 = 0

Le të përdorim identitetet e diskutuara më sipër për të thjeshtuar ekuacionin:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Le të faktorizojmë:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Marrim dy ekuacione

Reduktimi në një ekuacion homogjen

Një ekuacion është homogjen në lidhje me sinusin dhe kosinusin nëse të gjithë termat e tij janë relativë me sinusin dhe kosinusin e së njëjtës fuqi të të njëjtit kënd. Për të zgjidhur një ekuacion homogjen, veproni si më poshtë:

a) transferoni të gjithë anëtarët e tij në anën e majtë;

b) hiqni nga kllapa të gjithë faktorët e përbashkët;

c) barazoni të gjithë faktorët dhe kllapat me 0;

d) në kllapa fitohet një ekuacion homogjen i një shkalle më të ulët, i cili nga ana tjetër ndahet në një sinus ose kosinus të një shkalle më të lartë;

e) zgjidhni ekuacionin që rezulton për tg.

Zgjidhe ekuacionin 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Le të përdorim formulën sin 2 x + cos 2 x = 1 dhe të heqim qafe dy të hapura në të djathtë:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Pjestojeni me cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Zëvendësoni tan x me y dhe merrni një ekuacion kuadratik:

y 2 + 4y +3 = 0, rrënjët e së cilës janë y 1 = 1, y 2 = 3

Nga këtu gjejmë dy zgjidhje për ekuacionin origjinal:

x 2 = arctan 3 + k

Zgjidhja e ekuacioneve përmes kalimit në një gjysmë kënd

Zgjidheni ekuacionin 3sin x – 5cos x = 7

Le të kalojmë te x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Le të lëvizim gjithçka në të majtë:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Pjestojeni me cos(x/2):

tg 2 (x/2) - 3tg (x/2) + 6 = 0

Futja e këndit ndihmës

Për shqyrtim, le të marrim një ekuacion të formës: a sin x + b cos x = c,

ku a, b, c janë disa koeficientë arbitrarë, dhe x është një e panjohur.

Le të ndajmë të dyja anët e ekuacionit me:

Tani koeficientët e ekuacionit, sipas formulave trigonometrike, kanë vetitë sin dhe cos, përkatësisht: moduli i tyre nuk është më shumë se 1 dhe shuma e katrorëve = 1. Le t'i shënojmë përkatësisht si cos dhe sin, ku - kjo është i ashtuquajturi kënd ndihmës. Atëherë ekuacioni do të marrë formën:

cos * sin x + sin * cos x = C

ose sin(x + ) = C

Zgjidhja e këtij ekuacioni më të thjeshtë trigonometrik është

x = (-1) k * arcsin C - + k, ku

Duhet të theksohet se shënimet cos dhe sin janë të këmbyeshme.

Zgjidheni ekuacionin sin 3x – cos 3x = 1

Koeficientët në këtë ekuacion janë:

a = , b = -1, ndaj ndani të dyja anët me = 2

Shembuj:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Si të zgjidhim ekuacionet trigonometrike:

Çdo ekuacion trigonometrik duhet të reduktohet në një nga llojet e mëposhtme:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

ku \(t\) është një shprehje me një x, \(a\) është një numër. Ekuacionet e tilla trigonometrike quhen më e thjeshta. Ato mund të zgjidhen lehtësisht duke përdorur () ose formula të veçanta:

Shihni infografikë për zgjidhjen e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike këtu:, dhe.

Shembull . Zgjidheni ekuacionin trigonometrik \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Zgjidhja:

Përgjigje: \(\majtas[ \fillimi(i mbledhur)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \fund(mblodhi)\djathtas.\) \(k,n∈Z\)

Çfarë do të thotë çdo simbol në formulën për rrënjët e ekuacioneve trigonometrike, shih.

Kujdes! Ekuacionet \(\sin⁡x=a\) dhe \(\cos⁡x=a\) nuk kanë zgjidhje nëse \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Për shkak se sinusi dhe kosinusi për çdo x janë më të madh ose të barabartë me \(-1\) dhe më të vogël se ose të barabartë me \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Shembull . Zgjidheni ekuacionin \(\cos⁡x=-1,1\).
Zgjidhja: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Përgjigju : nuk ka zgjidhje.

Shembull . Zgjidheni ekuacionin trigonometrik tg\(⁡x=1\).
Zgjidhja:

Le të zgjidhim ekuacionin duke përdorur rrethin e numrave. Për këtë:
1) Ndërtoni një rreth)
2) Ndërtoni boshtet \(x\) dhe \(y\) dhe boshtin tangjent (ai kalon nëpër pikën \((0;1)\) paralel me boshtin \(y\)).
3) Në boshtin tangjent, shënoni pikën \(1\).
4) Lidhni këtë pikë dhe origjinën e koordinatave - një vijë e drejtë.
5) Shënoni pikat e kryqëzimit të kësaj drejtëze dhe rrethin numerik.
6) Le të nënshkruajmë vlerat e këtyre pikave: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) Shkruani të gjitha vlerat e këtyre pikave. Meqenëse ato janë të vendosura në një distancë prej saktësisht \(π\) nga njëra-tjetra, të gjitha vlerat mund të shkruhen në një formulë:

Përgjigje: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Shembull . Zgjidheni ekuacionin trigonometrik \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Zgjidhja:

Le të përdorim përsëri rrethin e numrave.
1) Ndërtoni një rreth, boshtet \(x\) dhe \(y\).
2) Në boshtin kosinus (boshti \(x\)), shënoni \(0\).
3) Vizatoni një pingul me boshtin kosinus përmes kësaj pike.
4) Shënoni pikat e kryqëzimit të pingulës dhe rrethit.
5) Le të nënshkruajmë vlerat e këtyre pikave: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) Shkruajmë të gjithë vlerën e këtyre pikave dhe i barazojmë me kosinusin (me atë që është brenda kosinusit).

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) Si zakonisht, ne do të shprehim \(x\) në ekuacione.
Mos harroni të trajtoni numrat me \(π\), si dhe \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), etj. Këta janë të njëjtët numra si të gjithë të tjerët. Asnjë diskriminim numerik!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Përgjigje: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Reduktimi i ekuacioneve trigonometrike në më të thjeshtat është një detyrë krijuese; këtu duhet të përdorni të dyja dhe metoda të veçanta për zgjidhjen e ekuacioneve:
- Metoda (më e popullarizuara në Provimin e Unifikuar të Shtetit).
- Metoda.
- Metoda e argumenteve ndihmëse.

Le të shqyrtojmë një shembull të zgjidhjes së ekuacionit trigonometrik kuadratik

Shembull . Zgjidheni ekuacionin trigonometrik \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Zgjidhja:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Le të bëjmë zëvendësimin \(t=\cos⁡x\).

	Ekuacioni ynë është bërë tipik. Mund ta zgjidhni duke përdorur.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Ne bëjmë një zëvendësim të kundërt.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	E zgjidhim ekuacionin e parë duke përdorur rrethin e numrave. Ekuacioni i dytë nuk ka zgjidhje sepse \(\cos⁡x∈[-1;1]\) dhe nuk mund të jetë e barabartë me dy për çdo x.
	Le të shkruajmë të gjithë numrat që shtrihen në këto pika.

Përgjigje: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Një shembull i zgjidhjes së një ekuacioni trigonometrik me studimin e ODZ:

Shembull (Përdorimi) . Zgjidhja e ekuacionit trigonometrik \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Ka një fraksion dhe ka një kotangjent - kjo do të thotë që ne duhet ta shkruajmë atë. Më lejoni t'ju kujtoj se një kotangjent është në të vërtetë një fraksion: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Prandaj, ODZ për ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Le të shënojmë "jo zgjidhjet" në rrethin e numrave.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Le të heqim qafe emëruesin në ekuacion duke e shumëzuar me ctg\(x\). Ne mund ta bëjmë këtë, pasi kemi shkruar më lart se ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Le të zbatojmë formulën e këndit të dyfishtë për sinusin: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Nëse duart tuaja shtrihen për t'u ndarë me kosinus, tërhiqini ato! Ju mund të ndani me një shprehje me një ndryshore nëse definitivisht nuk është e barabartë me zero (për shembull, këto: \(x^2+1.5^x\)). Në vend të kësaj, le të nxjerrim \(\cos⁡x\) nga kllapat.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Le ta "ndajmë" ekuacionin në dysh.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Le të zgjidhim ekuacionin e parë duke përdorur rrethin e numrave. Le të ndajmë ekuacionin e dytë me \(2\) dhe të lëvizim \(\sin⁡x\) në anën e djathtë.

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Rrënjët që rezultojnë nuk përfshihen në ODZ. Prandaj, ne nuk do t'i shkruajmë ato si përgjigje. Ekuacioni i dytë është tipik. Le ta ndajmë me \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) nuk mund të jetë zgjidhje e ekuacionit sepse në këtë rast \(\cos⁡x=1\) ose \(\cos⁡ x=-1\)).
	Ne përdorim përsëri një rreth.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Këto rrënjë nuk përjashtohen nga ODZ, kështu që mund t'i shkruani në përgjigje.

Përgjigje: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Mësim dhe prezantim me temën: "Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Manualë dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 10 nga 1C
Ne zgjidhim probleme në gjeometri. Detyra ndërvepruese për ndërtimin në hapësirë
Mjedisi i softuerit "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Çfarë do të studiojmë:
1. Çfarë janë ekuacionet trigonometrike?

3. Dy metoda kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.
4. Ekuacionet trigonometrike homogjene.
5. Shembuj.

Cilat janë ekuacionet trigonometrike?

Djema, ne kemi studiuar tashmë arksine, arccosine, arctangent dhe arcotangent. Tani le të shohim ekuacionet trigonometrike në përgjithësi.

Ekuacionet trigonometrike janë ekuacione në të cilat një ndryshore gjendet nën shenjën e një funksioni trigonometrik.

Le të përsërisim formën e zgjidhjes së ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike:

1) Nëse |a|≤ 1, atëherë ekuacioni cos(x) = a ka një zgjidhje:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Nëse |a|≤ 1, atëherë ekuacioni sin(x) = a ka një zgjidhje:

3) Nëse |a| > 1, atëherë ekuacioni sin(x) = a dhe cos(x) = a nuk kanë zgjidhje 4) Ekuacioni tg(x)=a ka një zgjidhje: x=arctg(a)+ πk

5) Ekuacioni ctg(x)=a ka zgjidhje: x=arcctg(a)+ πk

Për të gjitha formulat k është një numër i plotë

Ekuacionet trigonometrike më të thjeshta kanë formën: T(kx+m)=a, T është një funksion trigonometrik.

Shembull.

Zgjidh barazimet: a) sin(3x)= √3/2

Zgjidhja:

A) Le të shënojmë 3x=t, atëherë do ta rishkruajmë ekuacionin tonë në formën:

Zgjidhja e këtij ekuacioni do të jetë: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Nga tabela e vlerave marrim: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Le të kthehemi te ndryshorja jonë: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Atëherë x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Përgjigje: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, ku n është një numër i plotë. (-1)^n – minus një në fuqinë e n.

Më shumë shembuj të ekuacioneve trigonometrike.

Zgjidh ekuacionet: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Zgjidhja:

A) Këtë herë le të kalojmë drejtpërdrejt në llogaritjen e rrënjëve të ekuacionit menjëherë:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Atëherë x/5= πk => x=5πk

Përgjigje: x=5πk, ku k është një numër i plotë.

B) E shkruajmë në formën: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Ne e dimë se: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Përgjigje: x=2π/9 + πk/3, ku k është një numër i plotë.

Zgjidhini ekuacionet: cos(4x)= √2/2. Dhe gjeni të gjitha rrënjët në segment.

Zgjidhja:

Le ta zgjidhim ekuacionin tonë në formë të përgjithshme: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Tani le të shohim se cilat rrënjë bien në segmentin tonë. Në k Në k=0, x= π/16, jemi në segmentin e dhënë.
Me k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, goditemi sërish.
Për k=2, x= π/16+ π=17π/16, por këtu nuk goditëm, që do të thotë se edhe për k të madh, padyshim që nuk do të godasim.

Përgjigje: x= π/16, x= 9π/16

Dy metoda kryesore të zgjidhjes.

Ne shikuam ekuacionet trigonometrike më të thjeshta, por ka edhe më komplekse. Për zgjidhjen e tyre përdoret metoda e futjes së një ndryshoreje të re dhe metoda e faktorizimit. Le të shohim shembuj.

Le të zgjidhim ekuacionin:

Zgjidhja:
Për të zgjidhur ekuacionin tonë, do të përdorim metodën e prezantimit të një ndryshoreje të re, që tregon: t=tg(x).

Si rezultat i zëvendësimit marrim: t 2 + 2t -1 = 0

Të gjejmë rrënjët e ekuacionit kuadratik: t=-1 dhe t=1/3

Pastaj tg(x)=-1 dhe tg(x)=1/3, marrim ekuacionin më të thjeshtë trigonometrik, le të gjejmë rrënjët e tij.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Përgjigje: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Një shembull i zgjidhjes së një ekuacioni

Zgjidh ekuacionet: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Zgjidhja:

Le të përdorim identitetin: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Ekuacioni ynë do të marrë formën: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Le të prezantojmë zëvendësimin t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Zgjidhja e ekuacionit tonë kuadratik janë rrënjët: t=2 dhe t=-1/2

Pastaj cos(x)=2 dhe cos(x)=-1/2.

Sepse kosinusi nuk mund të marrë vlera më të mëdha se një, atëherë cos(x)=2 nuk ka rrënjë.

Për cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Përgjigje: x= ±2π/3 + 2πk

Ekuacionet trigonometrike homogjene.

Përkufizim: Ekuacionet e formës a sin(x)+b cos(x) quhen ekuacione trigonometrike homogjene të shkallës së parë.

Ekuacionet e formës

ekuacionet homogjene trigonometrike të shkallës së dytë.

Për të zgjidhur një ekuacion homogjen trigonometrik të shkallës së parë, pjesëtojeni atë me cos(x): Ju nuk mund të pjesëtoni me kosinusin nëse është i barabartë me zero, le të sigurohemi që nuk është kështu:
Le të cos(x)=0, pastaj asin(x)+0=0 => sin(x)=0, por sinusi dhe kosinusi nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë, marrim një kontradiktë, kështu që mund të ndajmë me siguri me zero.

Zgjidhe ekuacionin:
Shembull: cos 2 (x) + sin (x) cos(x) = 0

Zgjidhja:

Le të nxjerrim faktorin e përbashkët: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Atëherë duhet të zgjidhim dy ekuacione:

Cos(x)=0 dhe cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 në x= π/2 + πk;

Konsideroni ekuacionin cos(x)+sin(x)=0 Pjesëtojmë ekuacionin tonë me cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Përgjigje: x= π/2 + πk dhe x= -π/4+πk

Si të zgjidhen ekuacionet homogjene trigonometrike të shkallës së dytë?
Djema, ndiqni gjithmonë këto rregulla!

1. Shihni me çfarë është i barabartë koeficienti a, nëse a=0 atëherë ekuacioni ynë do të marrë formën cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), një shembull i zgjidhjes së të cilit është në rrëshqitjen e mëparshme.

2. Nëse a≠0, atëherë duhet të ndani të dyja anët e ekuacionit me kosinusin në katror, marrim:

Ndryshojmë variablin t=tg(x) dhe marrim ekuacionin: