Menu
në shtëpiMartesa dhe familja

Silogjizmat Një ditë, hetuesit iu desh të merrte në pyetje tre dëshmitarë: Claude, Jacques dhe Dick. Dëshmia e tyre kundërshtonte njëra-tjetrën dhe secili


Një ditë, hetuesit iu desh të merrte në pyetje tre dëshmitarë: Claude, Jacques dhe Dick. Dëshmia e tyre kundërshtonte njëra-tjetrën dhe secili prej tyre akuzonte dikë se kishte gënjyer. Klodi pretendoi se Zhaku gënjen, Zhaku akuzoi Dikun se gënjen dhe Diku e bindi hetuesin që të mos besonte as Klodin, as Zhakin. Por hetuesi i nxori shpejt në dritë pa i bërë asnjë pyetje. Cili nga dëshmitarët po thoshte të vërtetën?


Ilya Muromets, Dobrynya Nikitich dhe Alyosha Popovich iu dhanë 6 monedha për shërbimin e tyre besnik: 3 ari dhe 3 argjendi. Të gjithë morën dy monedha. Ilya Muromets nuk e di se cilat monedha shkuan në Dobrynya dhe cilat në Alyosha, por ai e di se cilat monedha i mori. Dilni me një pyetje të cilës Ilya Muromets do t'i përgjigjet "po", "jo" ose "nuk e di", dhe me përgjigjen e së cilës mund të kuptoni se çfarë monedhash ka marrë


Rregullat e silogjizmave 1. Një silogizëm duhet të ketë vetëm tre pohime dhe vetëm tre terma. ZhG Të gjithë ekskursionistët kanë ikur në drejtime të ndryshme, Petrov është ekskursionist, që do të thotë se ka ikur në drejtime të ndryshme. 3. Nëse të dy mjediset janë deklarata private, atëherë përfundimi nuk mund të nxirret. 2. Nëse një nga objektet është deklaratë private, atëherë përfundimi duhet të jetë privat. 4. Nëse një nga premisat është pohim negativ, atëherë përfundimi është pohim negativ. 5. Nëse të dyja premisat janë deklarata negative, atëherë përfundimi nuk mund të nxirret. 7. Një term nuk mund të shpërndahet në përfundim nëse nuk shpërndahet në objekt.


Të gjitha macet kanë katër këmbë. Të gjithë qentë kanë katër këmbë. Të gjithë qentë janë mace. Të gjithë njerëzit janë të vdekshëm. Të gjithë qentë nuk janë njerëz. Qentë janë të pavdekshëm (jo të vdekshëm). Ukraina zë një territor të madh. Krimea është pjesë e Ukrainës. Krimea zë një territor të madh

PAKETA E INSTRUMENTEVE

për mësuesit mbi organizimin dhe drejtimin

Olimpiada në disiplinën "Matematikë"

për të gjitha specialitetet

    DISPOZITAT E PËRGJITHSHME

    1. Olimpiada në disiplinën "Matematikë"mbahet çdo vit

      Procedura për zhvillimin e Olimpiadës përcaktohet në përputhje me orarin e miratuar të garave (olimpiadave)për vitin akademik, shqyrtohet nga komisioni metodologjik ciklik dhe miratohetzv drejtor për zhvillim të qëndrueshëm.

      Lojërat Olimpike janë gara intramurale që përfshijnëkryerja e detyrave specifike, e ndjekur nga vlerësimi i cilësisë, kohës dhe të tjerakritere, të mbajtura gjatë një periudhe të caktuar dhe që kulmojnë me një ceremoniduke nderuar fituesit.

    QËLLIMET DHE OBJEKTIVAT E OLIMPIKËS

    1. Objektivi i Olimpiadës. Mësoni të zbatoni njohuritë matematikore në praktikë. Të identifikojë nivelin e erudicionit të nxënësve dhe njohuritë e tyre për përkufizimet, teoremat dhe vetitë themelore matematikore.

      Objektivat e Olimpiadës

      1. Zhvilloni interesin e nxënësve për të eksploruar çështjetmatematikë.

        Zhvilloni aftësitë e komunikimit të studentëve, përgjegjësinë për punën, interesat dhe preferencat profesionale.

        Krijokushtet për formimin e veprimtarisë krijuese, krijojnë një atmosferë konkurrence të shëndetshme, një situatë suksesi.

    PJESËMARRËSIT E OLIMPIKËS

Duke marrë pjesë në Lojërat Olimpikestudentë që zotërojnë programet kryesore të vitit 1 të Institucionit Arsimor Buxhetor të Shtetit BPTnë përputhje me Standardin Federal të Arsimit Shtetëror.

    ORGANIZIMI DHE KRYERJA E OLIMPIADAVE

mbahen Lojërat OlimpikeInstitucioni arsimor profesional buxhetor shtetëror "Kolegji Politeknik Bogorodsky".

Olimpiada zhvillohet në dy faza midis nxënësve të shkollës teknike:

    fazë - brenda grupit;

    skena - brenda shkollës teknike.

Olimpiada në disiplinën "Matematikë" përfshin plotësiminnxënësit (pjesëmarrësit) e detyrave praktike.

Detyrat e fazës së parë të Olimpiadës

Janë 9 pika të shënuara siç tregohet në foto. Vizatoni dy shtatëkëndësha me forma të ndryshme me kulmet e tyre në pikat e shënuara. Për çdo shtatëkëndësh, bëni një vizatim të veçantë.

    Në ditën kur Dima u urua për ditëlindjen nga vëllai dhe motra e tij, Dima tha: "Shiko, sa interesante, tani jam dy herë më i vjetër se vëllai im dhe tre herë më i vjetër se motra ime!" "Dhe mosha juaj mesatare është 11 vjeç," mori babai. Sa vjeç është Dima?

    Një ditë, hetuesi duhej të merrte në pyetje tre dëshmitarë të grabitjes: John White, Sam Grey dhe Bob Black. Gjoni këmbënguli se e gjithë dëshmia e Semit ishte një gënjeshtër e plotë dhe Semi nuk bëri gjë tjetër veçse këmbënguli që Bobi nuk po thoshte të vërtetën. Bob, gjatë gjithë kësaj kohe, e bindi hetuesin që të mos besonte as White, as, veçanërisht, Grey. Hetuesi, duke qenë një njeri mendjemprehtë dhe inteligjent, u kërkoi të treve të heshtin dhe, pa bërë më pyetje, përcaktoi shpejt se me cilin prej tyre ia vlente të merreshim e me cilin jo. Cili nga dëshmitarët nuk gënjeu?

    Sa numra treshifrorë ka që janë 5 herë prodhimi i shifrave të tyre?

    Diametri është tërhequr në një rrethAB dhe një akord paralel me tëCD në mënyrë që distanca ndërmjet tyre të jetë e barabartë me gjysmën e rrezes së këtij rrethi (shih figurën). Gjeni këndinCAB .

    Ndërtoni një grafik të ekuacionit, domethënë paraqisni atë në planin koordinativTë gjitha pika, koordinata(x;y) të cilat plotësojnë këtë ekuacion.

Detyrat e fazës së dytë të Olimpiadës

    NumriA 1 numër më shumëb . Numrat e kanaçevea 2 Dheb 2 të jetë i barabartë?

    Petya vrapon nga kati i katërt në katin e parë 2 sekonda më shpejt sesa nëna e tij merr ashensorin. Mami merr ashensorin nga kati i katërt në katin e parë 2 sekonda më shpejt sesa Petya vrapon nga kati i pestë në të parën. Sa sekonda i duhen Petya për të ikur nga kati i katërt në i pari? (Gjatësia e fluturimeve të shkallëve midis të gjitha kateve është e njëjtë).

    Grafikoni funksionin

    Në një katror me anën 5 u shënuan në mënyrë të rastësishme 201 pikë. A është e vërtetë që rreth 5 pika mund të mbulohen nga një katror me brinjën 1?

    Në vijën numerike, pikat me koordinata të plota lyhen me ngjyrë të kuqe dhe blu sipas rregullave të mëposhtme: a) pikat, ndryshimi i koordinatave të të cilave është 7, duhet të lyhen me të njëjtën ngjyrë; b) pikat me koordinatat 20 dhe 14 duhet të jenë me ngjyrë të kuqe, dhe pikat me koordinatat 71 dhe 143 duhet të jenë me ngjyrë blu. Në sa mënyra mund të ngjyrosen të gjithë numrat e plotë duke ndjekur këto rregulla?

    Jepet një drejtkëndëshABCD . PikaM - mesi i anësAB , pikaK - mesi i anësB.C. . SegmentetA.K. DheC.M. kryqëzohen në një pikëE . Sa herë është sipërfaqja e katërkëndëshitMBKE më pak se sipërfaqja e një katërkëndëshiAECD ?

Përgjigjet e detyrave të fazës së parë të Olimpiadës

    Përgjigju . Shembuj të shtatëkëndëshave janë paraqitur në figurë. Opsione të tjera janë gjithashtu të mundshme.

Kriteret e verifikimit.

    Dy ose më shumë shtatëkëndësha të gjetur -7 pikë.

    U gjet një shtatëkëndësh -3 pikë.

    Përgjigju . 18 vjet.

Zgjidhje .

Mënyra e parë . Bazuar në kushtet e problemit, mund të krijoni një ekuacion. Le të jetë mosha e Dimës x vjet, atëherë mosha e motrës është x/3 dhe mosha e vëllait x/2; (x + x/3 + x/2): 3=11. Pas zgjidhjes së këtij ekuacioni gjejmë se x=18. Dima mbushi 18 vjeç. Do të jetë e dobishme të jepni një zgjidhje paksa të ndryshme, "në pjesë".

Mënyra e dytë . Nëse moshat e Dima, vëllai dhe motra e tij përshkruhen me segmente, atëherë "segmenti i Dima" përbëhet nga dy "segmente vëllezër" ose tre "segmente motra". Atëherë, nëse mosha e Dimës ndahet në 6 pjesë, atëherë mosha e motrës është dy pjesë të tilla, dhe mosha e vëllait është tre pjesë të tilla. Atëherë shuma e moshave të tyre është 11 pjesë të tilla. Nga ana tjetër, nëse mosha mesatare është 11 vjeç, atëherë shuma e moshave është 33 vjeç. Nga kjo rezulton se në një pjesë janë tre vjet. Kjo do të thotë që Dima është 18 vjeç.

Kriteret e verifikimit .

    Zgjidhja plotësisht e saktë -7 pikë.

    Ekuacioni u hartua saktë, por u bënë gabime në zgjidhjen e tij -3 pikë.

    Përgjigja e saktë jepet dhe kontrolli përfundon -2 pikë.

    0 pikë.

    Përgjigju . Sam Grey.

Zgjidhje .

Nga kushtet e problemit del qartë se deklaratat e secilit prej dëshmitarëve janë bërë në lidhje me deklaratat e dy dëshmitarëve të tjerë. Merrni parasysh deklaratën e Bob Black. Nëse ajo që thotë është e vërtetë, atëherë Sam Grey dhe John White gënjejnë. Por fakti që John White gënjen do të thotë se jo të gjitha dëshmitë e Sam Grey janë një gënjeshtër e plotë. Dhe kjo bie ndesh me fjalët e Bob Black, të cilit ne zgjedhim ta besojmë dhe që pretendon se Sam Grey gënjen. Pra, ajo që tha Bob Black nuk mund të jetë e vërtetë. Kjo do të thotë se ai gënjeu, dhe ne duhet t'i pranojmë fjalët e Sam Greit si të vërteta, dhe, për rrjedhojë, deklaratat e John White si gënjeshtra. Përgjigje: Sam Grey nuk gënjeu.

Kriteret e verifikimit .

    Jepet një analizë e plotë e saktë e situatës problemore dhe jepet përgjigja e saktë -7 pikë.

    Jepet një analizë e plotë e saktë e situatës, por për ndonjë arsye jepet një përgjigje e pasaktë (për shembull, në vend se kush NUK gënjeu, përgjigja tregon ata që gënjejnë) -6 pikë.

    Është dhënë një analizë e saktë e situatës, por për disa arsye nuk jepet përgjigja e saktë (për shembull, vërtetohet se Bob Black gënjeu, por nuk nxirren përfundime të mëtejshme) -4 pikë.

    Jepet pergjigja e sakte dhe tregohet se ploteson kushtet e problemit (kontrolluar), por nuk vertetohet qe pergjigja eshte e vetmja -3 pikë.

    Jepet vetëm përgjigja e saktë -1 pikë.

    0 pikë.

    Përgjigju . Një numër 175.

Zgjidhje . Mënyra e parë . Shifrat e përdorura për të shkruar një numër nuk përmbajnë numrin 0, përndryshe kushti i detyrës nuk mund të plotësohet. Ky numër treshifror fitohet duke shumëzuar prodhimin e shifrave të tij me 5, pra pjesëtohet me 5. Kjo do të thotë se shënimi i tij përfundon me numrin 5. Përftojmë se prodhimi i shifrave i shumëzuar me 5 duhet të jetë i pjesëtueshëm me 25. Vini re se ka shifra çift në shënimin e numrit nuk mund, përndryshe prodhimi i shifrave do të ishte i barabartë me zero. Kështu, një numër treshifror duhet të jetë i pjesëtueshëm me 25 dhe të mos ketë shifra çift. Janë vetëm pesë numra të tillë: 175, 375, 575, 775 dhe 975. Prodhimi i shifrave të numrit të dëshiruar duhet të jetë më i vogël se 200, përndryshe, shumëzuar me 5, do të japë një numër katërshifror. Prandaj, numrat 775 dhe 975 padyshim nuk janë të përshtatshëm. Ndër tre numrat e mbetur, vetëm 175 i plotëson kushtet e problemit. Mënyra e dytë. Vini re (ngjashëm me metodën e parë të zgjidhjes) se shifra e fundit e numrit të dëshiruar është 5. Lea , b , 5 – shifra të njëpasnjëshme të numrit të dëshiruar. Sipas kushteve të problemit kemi: 100a + 10 b + 5 = a · b ·5·5. Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit me 5, marrim: 20a + 2 b + 1 = 5 ab . Pasi zbresim 20a nga të dyja anët e ekuacionit dhe nxjerrim faktorin e përbashkët në anën e djathtë, marrim: 2b + 1 = 5 a (b – 4 a ) (1 ). Duke pasur parasysh atë a Dhe b mund të marrim vlera natyrore nga 1 në 9, gjejmë se vlerat e mundshme të a janë vetëm 1 ose 2. Por a=2 nuk e plotëson barazinë (1 ), në anën e majtë të së cilës ka një numër tek, dhe në anën e djathtë, kur zëvendësohet a=2, fitohet numër çift. Pra e vetmja mundësi është a=1. Zëvendësimi i kësaj vlere në (1 ), marrim: 2 b + 1 = 5 b– 20, nga ku b =7. Përgjigje: numri i vetëm që kërkohet është 175.

Kriteret e verifikimit .

    Zgjidhja plotësisht e saktë -7 pikë.

    Përgjigja e saktë është marrë dhe ka argumente që reduktojnë ndjeshëm kërkimin e opsioneve, por nuk ka zgjidhje të plotë -4 pikë.

    Ekuacioni është hartuar saktë dhe janë dhënë transformime dhe arsyetim për të zgjidhur problemin, por zgjidhja nuk është përfunduar -4 pikë.

    Lista e opsioneve është zvogëluar, por nuk ka shpjegim pse, dhe tregohet përgjigja e saktë -3 pikë.

    Ekuacioni është i saktë, por problemi nuk zgjidhet -2 pikë.

    Zgjidhja përmban arsyetim që bën të mundur përjashtimin e çdo numri nga shqyrtimi ose shqyrtimin e numrave me veti të caktuara (për shembull, duke përfunduar me numrin 5), por nuk ka përparim të mëtejshëm të rëndësishëm në zgjidhje -1 pikë.

    Jepet vetëm përgjigja e saktë ose një përgjigje e verifikuar -1 pikë.

    Përgjigju . 75°.

Zgjidhje . Konsideroni trekëndëshin AOC, ku O është qendra e rrethit. Ky trekëndësh është dykëndësh, pasi OC dhe OA janë rreze. Kjo do të thotë, sipas vetive të një trekëndëshi dykëndësh, këndet A dhe C janë të barabartë. Le të vizatojmë një SM pingul në anën AO dhe të marrim parasysh trekëndëshin kënddrejtë OMC. Sipas kushteve të problemit, CM e këmbës është gjysma e OS hipotenuzë. Kjo do të thotë që këndi COM është 30°. Pastaj, sipas teoremës mbi shumën e këndeve të një trekëndëshi, gjejmë se këndi CAO (ose CAB) është i barabartë me 75°.

Kriteret e verifikimit .

    Një zgjidhje e saktë, e bazuar mirë për problemin -7 pikë.

    Është dhënë arsyetimi i saktë që është një zgjidhje për problemin, por për ndonjë arsye jepet përgjigja e gabuar (për shembull, në vend të këndit CAO tregohet këndi COA) -6 pikë.

    Në përgjithësi jepet arsyetimi i saktë, në të cilin janë bërë gabime që nuk janë thelbësore për thelbin e vendimit dhe jepet përgjigja e saktë -5 pikë.

    Zgjidhja e saktë e problemit jepet në mungesë të arsyetimit: të gjitha përfundimet e ndërmjetme tregohen pa treguar lidhjet midis tyre (referencat në teorema ose përkufizime) -4 pikë.

    Në vizatim janë bërë ndërtime dhe shënime shtesë, nga të cilat është e qartë rrjedha e zgjidhjes, është dhënë përgjigja e saktë, por vetë arsyetimi nuk është dhënë -3 pikë.

    Përgjigja e saktë për arsyetimin e gabuar është dhënë -0 pikë.

    Jepet vetëm përgjigja e saktë -0 pikë.

    Përgjigju . Shih foton.

Zgjidhje . Le ta transformojmë këtë ekuacion duke zgjedhur një katror të plotë nën shenjën e rrënjës: . Shprehja në anën e djathtë ka kuptim vetëm kur x = 9. Duke zëvendësuar këtë vlerë në ekuacion, marrim: 9 2 – y 4 = 0. Le të faktorizojmë anën e majtë: (3 -y )(3 + y )(9 + y 2 ) = 0. Ku y= 3 ose y = –3. Kjo do të thotë se koordinatat e vetëm dy pikave (9; 3) ose (9; -3) e plotësojnë këtë ekuacion. Grafiku i ekuacionit është paraqitur në figurë.

Kriteret e verifikimit.

    Janë kryer transformimet dhe arsyetimi i saktë dhe grafiku është ndërtuar saktë -7 pikë.

    U kryen konvertimet e sakta, por kuptimi humbiy = –3; një pikë tregohet si grafik -3 pikë.

    Tregohen një ose dy pika të përshtatshme, mundësisht, me verifikim, por pa shpjegime të tjera ose pas transformimeve të pasakta -1 pikë.

    U kryen transformimet e sakta, por u deklarua se shprehja nën rrënjë (ose në anën e djathtë pas katrorit) është negative dhe grafiku është një grup bosh pikash -1 pikë.

    Është kryer arsyetimi që çoi në treguesin e dy pikave, por këto pika janë të lidhura në një farë mënyre (për shembull, nga një segment) -1 pikë.

    Tregohen dy pika pa shpjegim që janë disi të lidhura -0 pikë.

    Në raste të tjera -0 pikë.

Përgjigjet e detyrave të fazës së dytë të Olimpiadës

    Përgjigju . Ata munden.

Zgjidhje . Nëse a = , b = - , atëherë a = b+1 dhe a 2 = b 2

Ju gjithashtu mund të zgjidhni sistemin e ekuacioneve:

Kriteret e verifikimit.

    Përgjigja e saktë me numraa Dheb – 7 pikë.

    U përpilua një sistem ekuacionesh, por u bë një gabim aritmetik gjatë zgjidhjes së tij -3 pikë.

    Përgjigja e vetme është1 pikë.

    Përgjigju . Në 12 sekonda.

Zgjidhje . Ka 3 fluturime midis katit të parë dhe të katërt, dhe 4 midis katit të pestë dhe të parë, sipas kushtit, Petya kryen 4 fluturime 2 sekonda më shumë se sa merr nëna e tij në ashensor, dhe tre fluturime janë 2 sekonda më shpejt se nëna e tij. Kjo do të thotë që Petya kryen një fluturim në 4 sekonda. Pastaj Petya vrapon nga kati i katërt në të parën (d.m.th., 3 fluturime) në 4*3=12 sekonda.

Kriteret e verifikimit.

    Përgjigja e saktë me zgjidhje të plotë -7 pikë.

    Shpjegohet se një fluturim zgjat 4 sekonda, përgjigja tregon 4 sekonda -5 pikë.

    Arsyetimi i saktë bazohet në supozimin se rruga nga kati i pestë në të parën është 1.25 herë më i gjatë se rruga nga kati i katërt në të parën dhe përgjigja është 16 sekonda -3 pikë.

    Përgjigja e vetme është0 pikë.

    Përgjigju . Shih foton.

Zgjidhje . Sepse X 2 =| X | 2 , pastaj =| X |, dhe x≠ 0.

Është gjithashtu e mundur, duke përdorur përkufizimin e një moduli, për të marrë(në x = 0 funksion nuk është përcaktuar).

Kriteret e verifikimit.

    Grafiku i saktë me shpjegim -7 pikë.

    Grafiku i vërtetë pa asnjë shpjegim -5 pikë.

    Grafiku i funksionit=|x| pa një pikë të shpuar -3 pikë.

    Përgjigju . po.

Zgjidhje . Le ta ndajmë këtë katror me një anë prej 5 vijash të drejta paralele me brinjët e tij në 25 katrorë me brinjë 1 (shih figurën). Nëse çdo katror i tillë nuk do të kishte më shumë se 4 pika të shënuara, atëherë në total nuk do të shënoheshin më shumë se 25 * 4 = 100 pikë, gjë që bie ndesh me kushtin. Prandaj, të paktën një nga sheshet që rezultojnë duhet të përmbajë 5 nga pikat e shënuara.

Kriteret e verifikimit.

    Vendimi i duhur -7 pikë.

    Përgjigja e vetme është0 pikë.

    Përgjigju . Tetë mënyra.

Zgjidhje . Nga pika a) rezulton se ngjyrosja e të gjitha pikave me koordinata të plota përcaktohet në mënyrë unike nga ngjyrosja e pikave që u korrespondojnë numrave 0, 1, 2, 3, 4, 5 dhe 6. Pika 0=14-2*7 duhet të ngjyrosen në të njëjtën mënyrë si 14, ato. e kuqe. Në mënyrë të ngjashme, pika 1=71-107 duhet të jetë me ngjyrë blu, pika 3=143-20*7 – blu dhe 6=20-2*7 – e kuqe. Prandaj, mbetet vetëm të numëroni se sa mënyra të ndryshme mund t'i ngjyrosni pikat që korrespondojnë me numrat 2, 4 dhe 5. Meqenëse secila pikë mund të ngjyroset në dy mënyra - e kuqe ose blu - ka 2*2*2=8 mënyra në total. shënim. Kur numëroni numrin e mënyrave për të ngjyrosur pikat 2, 4 dhe 5, thjesht mund të renditni të gjitha mënyrat, për shembull, në formën e një tabele:

Kriteret e verifikimit .

    Përgjigja e saktë me arsyetim të saktë -7 pikë.

    Problemi u reduktua në numërimin e numrit të mënyrave për të ngjyrosur 3 pikë, por përgjigja ishte 6 ose 7 -4 pikë.

    Detyra reduktohet në numërimin e numrit të mënyrave për të ngjyrosur 3 pikë, por nuk numërohet numri i mënyrave ose përgjigja e marrë është e ndryshme nga ato të treguara më parë -3 pikë.

    Përgjigjuni (përfshirë atë të saktë) pa arsyetim -0 pikë.

    Përgjigju . 4 herë.

Zgjidhje .

Le të vizatojmë segmentet MK dhe AC. Katërkëndëshi MVKE përbëhet nga

trekëndëshat MVK dhe MKE, dhe katërkëndëshi AESD - nga trekëndëshat

AES dhe AC D. Për më tepër, mund të arsyetoni në mënyra të ndryshme.

1 mënyrë . Trekëndëshat MVK dhe ACD - drejtkëndëshe dhe këmbët e të parit janë 2 herë më të vogla se këmbët e të dytit, kështu që ato janë të ngjashme dhe sipërfaqja e trekëndëshit është ACD 4 herë sipërfaqja e trekëndëshit MVK. Sepse M dhe K – mesi i AB dhe BC përkatësisht, pastaj MK– , prandaj MK|| AS dhe MK= 0,5 AC. Nga paralelizmi i drejtëzave MK dhe AC, rrjedh ngjashmëria

trekëndëshat MKE dhe AEC, dhe sepse koeficienti i ngjashmërisë është 0.5, atëherë sipërfaqja e trekëndëshit AEC është 4 herë më e madhe se sipërfaqja e trekëndëshit MKE. Tani:S AESD =SAEC+SACD= 4 SMKE+ 4 SMBK= 4 (SMKE+SMBK)= 4 SMBKE.

2 mënyrë. Lëreni zonën e drejtkëndëshit ABCD e barabartë meS. Pastaj zona e trekëndëshit ACD e barabartë me( diagonalja e drejtkëndëshit e ndan atë në dy trekëndësha të barabartë), dhe sipërfaqja e trekëndëshit MVK është e barabartë me MV×VK=T.k. M dhe K– pikat e mesit të segmenteve AB dhe BC, pastaj AK dhe SM– mediana e trekëndëshit ABC, prandaj E– pika e prerjes së ndërmjetëseve të trekëndëshit ABC, ato. distanca nga E në AC ështëh, Kuh - lartësia e trekëndëshit ABC, nxjerrë nga kulmi B. Atëherë sipërfaqja e trekëndëshit AEC është. Pastaj për zonën e katërkëndëshit AESD, e barabartë me shumën e sipërfaqeve të trekëndëshave AEC dhe ACD, marrim: Tjetra, sepse MK– mesi i trekëndëshit ABC, atëherë sipërfaqja e trekëndëshit MKE është e barabartë me* h -* h) = h)=(A.C.* h)== S. Prandaj, për zonën e katërkëndëshit MVKE, e barabartë me shumën e sipërfaqeve të trekëndëshave MVK dhe MKE, marrim: . Kështu, raporti i sipërfaqeve të katërkëndëshave AESD dhe MVKE është e barabartë.

Kriteret e verifikimit.

    Zgjidhja e duhur dhe përgjigja e duhur -7 pikë.

    Zgjidhja e saktë, por përgjigja është e pasaktë për shkak të një gabimi aritmetik -5 pikë.

5. PËRMBLEDHJA E REZULTATEVE DHE SHPËLBIMI I FITUESVE

Treguesit përfundimtarë të detyrave të përfunduara konkurruese përcaktohen nga juria nënë përputhje me kriteret e zhvilluara të vlerësimit;

Për fituesit e Olimpiadës, të përcaktuar nga numri më i madh i pikëve,vendosen tre çmime;

Rezultatet e konkursit janë të dokumentuara në një raport nga organizatori i Olimpiadës.

Fituesve u shpërblehen certifikata dhe dhurata të vlefshme.

Në rast mosmarrëveshjeje me vlerësimin e dhënë nga juria, pjesëmarrësi mund të paraqesëankesë me shkrim brenda një ore pas shpalljes së rezultateve.

Sigurohet publiciteti i konkursit - bazuar në rezultatet e konkursit,fituesit.

Problemi 35

Një person mori një punë me një pagë prej 1000 dollarë në vit. Gjatë diskutimit të kushteve të pranimit, atij i është premtuar se nëse do të performojë mirë, do t'i rritet paga. Për më tepër, ju mund të zgjidhni shumën e rritjes nga dy opsione sipas gjykimit tuaj: në një rast, një rritje prej 50 dollarë u ofrua çdo gjashtë muaj, duke filluar nga gjysma e dytë, në tjetrën - 200 dollarë çdo vit, duke filluar nga e dyta. Duke ofruar lirinë e zgjedhjes, punëdhënësit donin që jo vetëm të përpiqeshin të kursenin në paga, por edhe të testonin se sa shpejt mendon punonjësi i ri. Pasi u mendua për një minutë, ai emëroi me besim kushtet e rritjes.

Cili opsion ishte i preferuar?

Problemi 36

Një ditë, hetuesi duhej të merrte në pyetje tre dëshmitarë: Claude, Jacques dhe Dick. Dëshmia e tyre ishte në kundërshtim me njëra-tjetrën dhe secili prej tyre akuzoi dikë për gënjeshtër. Klodi pretendoi se Zhaku po gënjen. Zhaku e akuzoi Dikun për gënjeshtër dhe Diku u përpoq të bindte hetuesin që të mos besonte as Klodin, as Zhakin. Por hetuesi i nxori shpejt në shesh pa i bërë asnjë pyetje.

Cili dëshmitar po thoshte të vërtetën?

Problemi 37

Një aksident i tmerrshëm, inspektor, tha punonjësi i muzeut. - Nuk mund ta imagjinoni sa i emocionuar jam. Unë do t'ju tregoj gjithçka në rregull. Unë qëndrova sot në muze për të punuar dhe për të rregulluar çështjet tona financiare. Sapo isha ulur në këtë tavolinë dhe po shikoja llogaritë kur papritmas pashë një hije në anën e djathtë. Dritarja ishte e hapur.

Dhe nuk keni dëgjuar ndonjë shushurimë? - pyeti inspektori.

Absolutisht asnjë. Radioja luante muzikë, dhe përveç kësaj, isha shumë i apasionuar pas asaj që bëja. Duke hequr sytë nga nxehtësia, pashë një burrë që kërceu nga dritarja. Ndez menjëherë dritën e sipërme dhe zbulova se dy kuti me një koleksion të vlefshëm monedhash, të cilat i kisha çuar në zyrën time për punë, ishin zhdukur. Është në gjendje të tmerrshme: në fund të fundit, ky koleksion vlerësohet me 10 mijë marka.

Ju besoni se unë me të vërtetë; A do t'i besoj trillimeve tuaja?

Vërejti inspektori i irrituar. "Askush nuk ka arritur të më mashtrojë, dhe ju nuk do të jeni i pari."

Si e kuptoi inspektori se po përpiqeshin ta mashtronin?

Problemi 38

Trupi i personit të zhdukur u gjet i mbështjellë me një çarçaf që kishte një etiketë lavanderie. U identifikua një familje që përdorte etiketa të tilla, por gjatë procesit të verifikimit rezultoi se anëtarët e kësaj familjeje nuk njiheshin me njëri-tjetrin dhe nuk kishin asnjë kontakt me të ndjerin dhe të afërmit e tij. Nuk u gjetën prova të tjera për përfshirjen e tyre në vrasje.



Gjatë procesit të verifikimit, a ka pasur gabime në plotësinë dhe korrektësinë e informacionit të marrë?

Problemi 39

Potapov, Shchedrin dhe Semenov shërbejnë në njësinë e aviacionit. Konovalov dhe Samoilov. Specialitetet e tyre janë: pilot, navigator, mekanik fluturimi, radio operator dhe parashikues i motit.

Përcaktoni se çfarë specialiteti ka secila prej tyre nëse dihen faktet e mëposhtme.

Shchedrin dhe Konovalov nuk janë të njohur me kontrollet e avionit;

Potapov dhe Konovalov po përgatiten të bëhen lundërtarë; apartamentet e Shchedrin dhe Samoilov janë të vendosura pranë banesës së operatorit të radios;

Semyon, ndërsa ishte në një shtëpi pushimi, takoi Shchedrin dhe motrën e parashikuesit të motit: Potapov dhe Shchedrin, në kohën e tyre të lirë nga puna, luanin shah me mekanikun e fluturimit dhe pilotin; Konovalov, Semenov dhe parashikuesi i motit janë të dhënë pas boksit; Operatori i radios nuk merret me boks.

Problemi 40

Tezja, e cila priste nipin e saj, inspektorin, nxitoi ta takonte, duke mos e fshehur padurimin.

Një grua vetëm tani; ajo më rrëmbeu çantën me para dhe u zhduk menjëherë.

Me shumë mundësi ajo është zhdukur në bankën e kursimeve ku ishe ti”, vuri në dukje inspektori. - Le të përpiqemi ta gjejmë.

Dhe në fakt tezja ka parë menjëherë çantën e saj, e cila qëndronte në stolin mes dy grave. U zbulua. Kur inspektori hodhi një vështrim të kujdesshëm në çantën, të dyja gratë, duke e vënë re këtë, u ngritën në këmbë dhe shkuan në skajin tjetër të dhomës. Çanta mbeti në stol.

Por nuk e di se cili më ka vjedhur çantën. "Yana nuk kishte kohë për ta parë atë," tha halla e saj.

"Epo, nuk është asgjë," u përgjigj nipi. - Do t'i marrim në pyetje të dy, por mendoj se ai që ju vodhi çantën ishte ai nga ...

Cilin?

Problemi 41

Pasi mori një mesazh se një Chevrolet gri me targa që fillonte me gjashtë kishte goditur një grua dhe kishte ikur, inspektori dhe ndihmësi i tij shkuan në vilën e një zotërie, makina e të cilit dukej se përputhej me përshkrimin. Nuk kishte kaluar më pak se gjysmë ore para se të ishin atje.



Një Chevrolet gri ishte parkuar para shtëpisë. Duke parë policinë, pronari ka zbritur tek ata me pizhame.

"Unë nuk shkova askund sot," tha ai pasi dëgjoi inspektorin. - Po, dhe nuk munda: dje humba çelësin e ndezjes dhe një i ri do të jetë gati vetëm të Premten.

Asistenti, ndërkohë që arriti të kontrollonte makinën, i pëshpëriti inspektorit:

Me sa duket po thotë të vërtetën. Në makinë nuk ka shenja përplasjeje.

Inspektori, i mbështetur në kapuçin e makinës, u përgjigj:

Kjo nuk do të thotë asgjë, goditja nuk ishte e fortë, sepse viktima është gjallë. Dhe alibia juaj, zotëri, më duket jashtëzakonisht e dyshimtë. Pse po përpiqesh të fshihesh nga unë që sapo mbërrite këtu me këtë makinë?

Çfarë i dha inspektorit një arsye për të dyshuar për zotërinë për gënjeshtër?

Problemi 42

Presidenti i kompanisë informon hetuesin për një vjedhje të kryer në shtëpinë e tij.

Me të mbërritur në punë, m'u kujtua se kisha harruar dokumentet e nevojshme në shtëpi. I dhashë çelësin e kasafortës së shtëpisë ndihmësit tim dhe e dërgova të merrte një dosje me dokumente. Kemi kohë që punojmë bashkë, i kam besuar prej kohësh dhe shpesh e dërgoja në shtëpi për të marrë diçka nga kasaforta. Kësaj radhe, pak pas largimit, më mori në telefon dhe më tha se me të hyrë në dhomë, pa se dera e kasafortës së murit ishte e hapur dhe letrat ishin të shpërndara nëpër zyrë. Mbërrita në shtëpi dhe zbulova se, përveç dokumenteve të shpërndara, nga kasaforta ishin zhdukur bizhuteri dhe para.

Dëshmia e asistentit: “Kur mbërrita, kupëmbajtësi më la të hyja dhe u ngjita në katin e dytë të banesës. Duke hyrë në zyrë, gjeta letra të shpërndara në dysheme dhe një derë të hapur të kasafortës. Menjëherë thirra shefin tim dhe raportova atë që kisha parë. Pas kësaj, unë u hodha jashtë në ulje dhe thirra shërbyesin. Në përgjigje të thirrjes sime, një shërbëtore doli nga dhoma e ndenjes në katin e poshtëm dhe pyeti se çfarë ishte puna. I thashë asaj çfarë pashë. Në thirrjen e saj, kupëmbajtësi doli me vrap nga oborri. Kur e pyeta, më thanë se nuk ka ardhur njeri në banesë pas largimit të pronarit dhe nuk kanë dëgjuar asnjë zhurmë në shtëpi.”

Butleri shpjegoi: “Pasi pronari u largua në mëngjes, unë isha duke bërë punën time të zakonshme në katin përdhes dhe nuk pashë askënd dhe nuk dëgjova asgjë të pazakontë. Shërbëtorja nuk doli nga kuzhina para meje. Kur erdhi një punonjës i pronarit tonë, i cili më njihte prej kohësh, ai shkoi në shkallët në katin e dytë dhe doli në oborr. Pak minuta më vonë më thirri kuzhinierja dhe hyra në shtëpi, ku asistentja më tregoi për vjedhjen nga zyra e pronarit.”

Shërbëtorja tha se pas mëngjesit ishte në kuzhinë, nuk shkoi askund dhe vetëm kur dëgjoi britmën e asistentit doli në dhomën e ndenjjes. Asistenti raportoi një vjedhje në shtëpi dhe kërkoi të njihte shërbëtorin.

Kur u pyet nga hetuesi, asistenti u përgjigj se nuk ka prekur asgjë në zyrë përveç telefonit dhe nuk e ka rirregulluar. Kupëmbajtësi dhe shërbëtorja thanë se nuk hynë fare në zyrë.

Gjatë këqyrjes së zyrës, hetuesi nuk ka gjetur asnjë gjurmë gishtash në derën e zyrës, derën e kasafortës, sende apo telefon mbi tavolinë. Pas ekzaminimit të bravës së derës së kasafortës, specialisti nuk gjeti asnjë gjurmë të ndonjë objekti apo çelësi të huaj në pjesët e saj.

1. a) ( komutativiteti i disjunksionit );

b)
(komutativiteti i lidhëzës );

2. a) ( asociativiteti i disjunksionit );

b) ( asociativiteti lidhor );

3. a) ( shpërndarja e disjunksionit në lidhje me lidhëzën );

b) ( shpërndarja e lidhëzës në lidhje me disjunksionin );

4.
Dhe
–ligjet e de Morganit .

5.
;
;
;

6.
(ose
) (ligji i mesit të përjashtuar );

(ose
(ligji i kontradiktës );

7.
(ose
);
(ose
);

(ose
);
(ose
).

Vetitë e dhëna zakonisht përdoren për të transformuar dhe thjeshtuar formulat logjike. Këtu jepen vetitë e vetëm tre veprimeve logjike (disjunksioni, lidhja dhe mohimi), por më tej do të tregohet se të gjitha veprimet e tjera mund të shprehen përmes tyre.

Me ndihmën e lidhjeve logjike, ju mund të hartoni ekuacione logjike dhe të zgjidhni problemet logjike në të njëjtën mënyrë siç zgjidhen problemet aritmetike duke përdorur sisteme të ekuacioneve të zakonshme.

Shembull. Një ditë, hetuesi duhej të merrte në pyetje tre dëshmitarë: Claude, Jacques dhe Dick. Dëshmia e tyre ishte në kundërshtim me njëra-tjetrën dhe secili prej tyre akuzoi dikë për gënjeshtër. Klodi pretendoi se Zhaku gënjen, Zhaku akuzoi Dikun se gënjen dhe Diku e bindi hetuesin që të mos besonte as Klodin, as Zhakin. Por hetuesi i nxori shpejt në dritë pa i bërë asnjë pyetje. Cili dëshmitar po thoshte të vërtetën?

Zgjidhje. Le të shohim deklaratat:
(Klodi po thotë të vërtetën);
(Jacques po thotë të vërtetën);
(Dick po thotë të vërtetën).

Ne nuk e dimë se cilat janë të vërteta, por dimë sa vijon:

1) ose Klodi tha të vërtetën, dhe pastaj Zhaku gënjeu, ose Klodi gënjeu, dhe pastaj Zhaku tha të vërtetën;

2) ose Zhaku tha të vërtetën, dhe pastaj Diku gënjeu, ose Zhaku gënjeu, dhe pastaj Diku tha të vërtetën;

3) ose Dick tha të vërtetën, dhe pastaj Klodi dhe Zhaku gënjyen, ose Dick gënjeu, dhe atëherë nuk është e vërtetë që të dy dëshmitarët e tjerë kanë gënjyer (d.m.th., të paktën njëri nga këta dëshmitarë ka thënë të vërtetën).

Le t'i shprehim këto deklarata në formën e një sistemi ekuacionesh:

Kushti i problemit do të plotësohet nëse këto tre pohime janë njëkohësisht të vërteta, që do të thotë se lidhja e tyre është e vërtetë. Le t'i shumëzojmë këto barazi (d.m.th. të marrim lidhjen e tyre)

Por
nese dhe vetem nese
, A
. Prandaj, Zhaku po thotë të vërtetën, dhe Klodi dhe Diku gënjejnë.

Çdo -operacion anëtar, i shënuar, për shembull,
, do të përcaktohet plotësisht nëse vërtetohet se në çfarë vlerash deklaratash
rezultati do të jetë i vërtetë ose i rremë. Një mënyrë për të specifikuar një operacion të tillë është të plotësoni një tabelë vlerash:

Në tabelën e kuptimeve të pohimit të formuar nga thënie të thjeshta
, në dispozicion linjat. Kolona e vlerës gjithashtu ka pozicionet. Prandaj, ekziston
opsione të ndryshme për mbushjen e tij, dhe, në përputhje me rrethanat, numrin e të gjithëve -operacionet e anëtarëve janë të barabartë me
. Në
numri i operacioneve me një afat është 4, me
numri i binomeve është 16, me
numri i trekahëshave – 256, etj.

Le të shohim disa lloje të veçanta formulash.

Formula quhet lidhëza elementare , nëse është një lidhje e ndryshoreve dhe mohimeve të ndryshoreve. Për shembull, formulat ,
,
,
– lidhëzat elementare.

Një formulë që përfaqëson një ndarje (ndoshta një term) të lidhëzave elementare quhet trajtë normale disjunctive (D.N.F.). Për shembull, formulat ,
,
.

Teorema 1(në lidhje me reduktimin në D.N.F.). Për çdo formulë , i cili është doktor shkencash. f. .

Kjo teoremë dhe teorema 2 në vijim do të vërtetohen në pjesën tjetër. Duke zbatuar këto teorema, është e mundur të standardizohet forma e formulave logjike.

Formula quhet ndarje elementare , nëse është një ndarje e variablave dhe mohime të ndryshoreve. Për shembull, formulat
,
,
etj.

Një formulë që është një lidhje (ndoshta një term) e ndarjeve elementare quhet formë normale lidhore (PhD). Për shembull, formulat
,
.

Teorema 2(në lidhje me reduktimin në Ph.D.). Për çdo formulë ju mund të gjeni një formulë ekuivalente , i cili është Ph.D. f.

Mund të dallojmë sekuencën e mëposhtme të hapave në zgjidhjen e problemeve logjike.

1. Zgjidhni pohime elementare (të thjeshta) nga deklarata e problemit dhe emërtojini ato me shkronja.

2. Shkruani kushtet e problemit në gjuhën e algjebrës logjike, lidhni pohime të thjeshta në ato komplekse duke përdorur veprime logjike.

3. Krijo një shprehje të vetme logjike për kërkesat e detyrës.

4. Duke përdorur ligjet e algjebrës logjike, përpiquni të thjeshtoni shprehjen që rezulton dhe të llogaritni të gjitha vlerat e saj ose të ndërtoni një tabelë të vërtetësisë për shprehjen në fjalë.

5. Zgjidhni një zgjidhje - grup vlerash pohime të thjeshta në të cilat shprehja logjike e ndërtuar është e vërtetë.

6. Kontrolloni nëse zgjidhja që rezulton i plotëson kushtet e problemit.

Shembull:

Detyra 1:“Duke u përpjekur të kujtojnë fituesit e turneut të vitit të kaluar, pesë ish-shikues të turneut deklaruan se:

1. Anton ishte i dyti, dhe Boris ishte i pesti.

2. Victor ishte i dyti, dhe Denisi ishte i treti.

3. Gregori ishte i pari, dhe Boris ishte i treti.

4. Anton ishte i treti, dhe Evgeniy ishte i gjashti.

5. Victor ishte i treti, dhe Evgeniy ishte i katërti.

Më pas, doli se secili shikues ishte i gabuar në një nga dy deklaratat e tij. Cila ishte shpërndarja e vërtetë e vendeve në turne?

1) Le të shënojmë me shkronjën e parë në emrin e pjesëmarrësit të turneut, a, numrin e vendit që ka, d.m.th. ne kemi .

2) 1. ; 3. ; 5. .

3) Një shprehje e vetme logjike për të gjitha kërkesat e detyrës: .

4) Në formulë L Le të kryejmë transformime ekuivalente, marrim: .

5) Nga pika 4 rrjedh: , , , , .

6) Shpërndarja e vendeve në turne: Anton ishte i treti, Boris ishte i pesti, Victor ishte i dyti, Grigory ishte i pari dhe Evgeniy ishte i katërti.

Detyra 2:“Ivanov, Petrov, Sidorov u paraqitën në gjykatë me akuzën e grabitjes. Nga hetimi u konstatua:

1. nëse Ivanov nuk është fajtor ose Petrov është fajtor, atëherë Sidorov është fajtor;

2. Nëse Ivanov nuk është fajtor, atëherë Sidorov nuk është fajtor.

A është Ivanov fajtor?

1) Merrni parasysh deklaratat:

A"Ivanov është fajtor" NË: "Petrov është fajtor" ME: "Sidorov është fajtor."

2) Faktet e vërtetuara nga hetimi: , .

3) Shprehje logjike e vetme: . Eshte e vertete.

Le të krijojmë një tabelë të së vërtetës për të.

A NË ME L

Të zgjidhësh një problem do të thotë të tregosh se në cilat vlera të A është e vërtetë deklarata komplekse që rezulton L. Nëse , a , atëherë hetimi nuk ka fakte të mjaftueshme për ta akuzuar Ivanovin për krim. Analiza e tabelës tregon dhe, d.m.th. Ivanov është fajtor për grabitje.



Pyetje dhe detyra.

1. Përpiloni RKS për formulat:

A)


2. Thjeshtoni RKS:

3. Duke përdorur këtë qark komutues, ndërtoni një formulë logjike përkatëse.


4. Kontrolloni ekuivalencën e RKS:

Dhe

Dhe

Dhe


Dhe

5. Ndërtoni një qark me tre çelësa dhe një llambë në mënyrë që llamba të ndizet vetëm kur saktësisht dy çelësa janë në pozicionin "on ndezur".

6. Duke përdorur këtë tabelë përçueshmërie, ndërtoni një qark elementësh funksionalë me tre hyrje dhe një dalje, duke zbatuar formulën.

x y z F

7. Analizoni diagramin e paraqitur në figurë dhe shkruani formulën për funksionin F.

8. Problemi: “Dikur hetuesit iu desh të merrte në pyetje tre dëshmitarë: Claude, Jacques, Dick. Dëshmia e tyre ishte në kundërshtim me njëra-tjetrën dhe secili prej tyre akuzoi dikë për gënjeshtër.

1) Klodi pretendoi se Zhaku po gënjen.

2) Zhak akuzoi Dikun për gënjeshtër.

3) Dik u përpoq të bindte hetuesin që të mos besonte as Klodin, as Zhak.

Por hetuesi i nxori shpejt në dritë pa i bërë asnjë pyetje. Cili dëshmitar po thoshte të vërtetën?

9. Përcaktoni se cili nga katër nxënësit e kaloi provimin nëse dihet se:

1) Nëse i pari kalon, atëherë i dyti kalon.

2) Nëse i dyti kalon, atëherë i treti kalon ose i pari dështon.

3) Nëse i katërti nuk kaloi, atëherë i pari kaloi, dhe i treti nuk kaloi.

4) Nëse kalon i katërti, atëherë kalon i pari.

10. Në pyetjen se cili nga tre nxënësit ka studiuar logjikën, është marrë përgjigjja: nëse ka studiuar të parin, atëherë ka studiuar të tretën, por nuk është e vërtetë se nëse ka studiuar të dytin, atëherë ka studiuar të tretën. Kush studioi logjikën?