Rrezja e sipërfaqes anësore të konit. Sipërfaqja e përgjithshme e konit është

Prapa Përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha tiparet e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Lloji i mësimit: një mësim për të mësuarit e materialit të ri duke përdorur elementë të një metode të mësimdhënies zhvillimore të bazuar në problem.

Objektivat e mësimit:

• arsimore:
  • njohja me një koncept të ri matematikor;
  • formimi i qendrave të reja të trajnimit;
  • formimi i aftësive praktike për zgjidhjen e problemeve.
• duke zhvilluar:
  • zhvillimi i të menduarit të pavarur të nxënësve;
  • zhvillimi i aftësive të drejta të të folurit të nxënësve të shkollës.
• arsimore:
  • zhvillimin e aftësive të punës në grup.

Pajisjet e mësimit: tabelë magnetike, kompjuter, ekran, projektor multimedial, model kon, prezantim mësimi, fletushkë.

Objektivat e mësimit (për nxënësit):

• të njiheni me një koncept të ri gjeometrik - kon;
• nxjerrin një formulë për llogaritjen e sipërfaqes së një kon;
• mësojnë të zbatojnë njohuritë e marra gjatë zgjidhjes së problemeve praktike.

Ecuria e mësimit

Faza I. Organizative.

Dorëzimi i fletoreve me punë testimi në shtëpi për temën e trajtuar.

Ftohen nxënësit të zbulojnë temën e mësimit të ardhshëm duke zgjidhur enigmën (rrëshqitje 1):

Figura 1.

Njoftimi i temës dhe objektivave të orës së mësimit për nxënësit (rrëshqitje 2).

Faza II. Shpjegimi i materialit të ri.

1) Ligjërata e mësuesit.

Në tabelë ka një tabelë me një foto të një koni. Materiali i ri shpjegohet i shoqëruar me materialin programor “Stereometria”. Një imazh tredimensional i një koni shfaqet në ekran. Mësuesi/ja jep përkufizimin e konit dhe flet për elementet e tij. (rrëshqitje 3). Thuhet se një kon është një trup i formuar nga rrotullimi i një trekëndëshi kënddrejtë në lidhje me një këmbë. (rrëshqitje 4, 5). Shfaqet një imazh i një skanimi të sipërfaqes anësore të konit. (rrëshqitja 6)

2) Punë praktike.

Përditësimi i njohurive bazë: përsëritni formulat për llogaritjen e sipërfaqes së një rrethi, sipërfaqen e një sektori, gjatësinë e një rrethi, gjatësinë e një harku të një rrethi. (rrëshqitje 7–10)

Klasa është e ndarë në grupe. Secili grup merr një skanim të sipërfaqes anësore të konit të prerë nga letra (një sektor i një rrethi me një numër të caktuar). Nxënësit marrin matjet e nevojshme dhe llogaritin sipërfaqen e sektorit që rezulton. Udhëzimet për kryerjen e punës, pyetjet - deklaratat e problemeve - shfaqen në ekran (rrëshqitjet 11–14). Një përfaqësues i secilit grup shënon rezultatet e llogaritjeve në një tabelë të përgatitur në tabelë. Pjesëmarrësit në secilin grup ngjitin së bashku një model të një koni nga modeli që kanë. (rrëshqitje 15)

3) Deklarata dhe zgjidhja e problemit.

Si të llogarisni sipërfaqen anësore të një koni nëse dihet vetëm rrezja e bazës dhe gjatësia e gjeneratorit të konit? (rrëshqitje 16)

Secili grup merr matjet e nevojshme dhe përpiqet të nxjerrë një formulë për llogaritjen e sipërfaqes së kërkuar duke përdorur të dhënat e disponueshme. Gjatë kryerjes së kësaj pune, nxënësit duhet të vërejnë se perimetri i bazës së konit është i barabartë me gjatësinë e harkut të sektorit - zhvillimi i sipërfaqes anësore të këtij koni. (rrëshqitjet 17–21) Duke përdorur formulat e nevojshme, nxirret formula e dëshiruar. Argumentet e studentëve duhet të duken diçka si kjo:

Rrezja e fshirjes së sektorit është e barabartë me l, masa e shkallës së harkut – φ. Sipërfaqja e sektorit llogaritet me formulën: gjatësia e harkut që kufizon këtë sektor është e barabartë me rrezen e bazës së konit R. Gjatësia e rrethit që shtrihet në bazën e konit është C = 2πR . Vini re se meqenëse sipërfaqja e sipërfaqes anësore të konit është e barabartë me zonën e zhvillimit të sipërfaqes së saj anësore, atëherë

Pra, sipërfaqja e sipërfaqes anësore të konit llogaritet me formulë S BOD = πRl.

Pas llogaritjes së sipërfaqes së sipërfaqes anësore të modelit të konit duke përdorur një formulë të nxjerrë në mënyrë të pavarur, një përfaqësues i secilit grup shkruan rezultatin e llogaritjeve në një tabelë në tabelë në përputhje me numrat e modelit. Rezultatet e llogaritjes në çdo rresht duhet të jenë të barabarta. Bazuar në këtë, mësuesi përcakton saktësinë e përfundimeve të secilit grup. Tabela e rezultateve duhet të duket si kjo:

Parametrat e modelit:

1. l=12 cm, φ =120°
2. l=10 cm, φ =150°
3. l=15 cm, φ =120°
4. l=10 cm, φ =170°
5. l=14 cm, φ =110°

Përafrimi i llogaritjeve shoqërohet me gabime në matje.

Pas kontrollit të rezultateve, dalja e formulave për zonat e sipërfaqeve anësore dhe totale të konit shfaqet në ekran. (rrëshqitjet 22–26), nxënësit mbajnë shënime në fletore.

Faza III. Konsolidimi i materialit të studiuar.

1) U ofrohen studentëve problema për zgjidhje gojore në vizatime të gatshme.

Gjeni sipërfaqet e sipërfaqeve të plota të koneve të paraqitura në figura (rrëshqitjet 27–32).

2) Pyetje: A janë të barabarta sipërfaqet e sipërfaqeve të koneve duke rrotulluar një trekëndësh kënddrejtë rreth këmbëve të ndryshme? Nxënësit nxjerrin një hipotezë dhe e testojnë atë. Hipoteza testohet duke zgjidhur problema dhe shkruhet nga nxënësi në tabelë.

E dhënë:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

ВАА", АВВ" - trupat e rrotullimit.

Gjeni: S PPK 1, S PPK 2.

Figura 5. (rrëshqitje 33)

Zgjidhja:

1) R=BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S kryesore 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S baza 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).

Nëse S PPK 1 = S PPK 2, atëherë a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Sepse a, b, c - numrat pozitivë (gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit), barazia është e vërtetë vetëm nëse a =b.

konkluzioni: Sipërfaqja e dy koneve është e barabartë vetëm nëse anët e trekëndëshit janë të barabarta. (rrëshqitje 34)

3) Zgjidhja e problemës nga teksti mësimor: Nr.565.

Faza IV. Duke përmbledhur mësimin.

Detyrë shtëpie: paragrafët 55, 56; nr 548, nr 561. (rrëshqitje 35)

Shpallja e notave të caktuara.

Përfundime gjatë orës së mësimit, përsëritje e informacionit kryesor të marrë gjatë orës së mësimit.

Letërsia (rrëshqitje 36)

1. Klasat e gjeometrisë 10-11 - Atanasyan, V.F Butuzov, S.B. Kadomtsev et al., M., "Prosveshchenie", 2008.
2. "Puzzles dhe sharada matematikore" - N.V. Udaltsova, biblioteka "I pari i shtatorit", seria "MATEMATIKA", numri 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Ne e dimë se çfarë është një kon, le të përpiqemi të gjejmë sipërfaqen e tij. Pse keni nevojë për të zgjidhur një problem të tillë? Për shembull, ju duhet të kuptoni se sa brumë do të shkojë për të bërë një kon waffle? Ose sa tulla duhen për të bërë një çati kështjelle me tulla?

Matja e sipërfaqes anësore të një koni thjesht nuk mund të bëhet. Por le të imagjinojmë të njëjtin bri të mbështjellë me pëlhurë. Për të gjetur zonën e një copë pëlhure, duhet ta prisni dhe ta vendosni në tavolinë. Rezultati është një figurë e sheshtë, ne mund të gjejmë zonën e saj.

Oriz. 1. Seksioni i një koni përgjatë gjeneratorit

Le të bëjmë të njëjtën gjë me konin. Le të "prejmë" sipërfaqen e saj anësore përgjatë çdo gjenerate, për shembull (shih Fig. 1).

Tani le të "zgjidhim" sipërfaqen anësore në një aeroplan. Ne marrim një sektor. Qendra e këtij sektori është kulmi i konit, rrezja e sektorit është e barabartë me gjeneratorin e konit dhe gjatësia e harkut të tij përkon me perimetrin e bazës së konit. Ky sektor quhet zhvillimi i sipërfaqes anësore të konit (shih Fig. 2).

Oriz. 2. Zhvillimi i sipërfaqes anësore

Oriz. 3. Matja e këndit në radiane

Le të përpiqemi të gjejmë zonën e sektorit duke përdorur të dhënat e disponueshme. Së pari, le të prezantojmë shënimin: le të jetë këndi në kulmin e sektorit në radianë (shih Fig. 3).

Shpesh do të na duhet të merremi me këndin në krye të fshirjes në probleme. Tani për tani, le të përpiqemi t'i përgjigjemi pyetjes: a nuk mund të dalë ky kënd më shumë se 360 ​​gradë? Kjo do të thotë, a nuk do të rezultonte që fshirja do të mbivendosej vetë? Sigurisht që jo. Le ta vërtetojmë këtë matematikisht. Lëreni skanimin të "superpozojë" në vetvete. Kjo do të thotë se gjatësia e harkut të fshirjes është më e madhe se gjatësia e rrethit të rrezes. Por, siç u përmend tashmë, gjatësia e harkut të fshirjes është gjatësia e rrethit të rrezes. Dhe rrezja e bazës së konit, natyrisht, është më e vogël se gjenerata, për shembull, sepse kema e një trekëndëshi kënddrejtë është më e vogël se hipotenuza

Më pas le të kujtojmë dy formula nga kursi i planimetrisë: gjatësia e harkut. Zona e sektorit: .

Në rastin tonë, rolin e luan gjeneratori , dhe gjatësia e harkut është e barabartë me perimetrin e bazës së konit, domethënë. Ne kemi:

Më në fund marrim: .

Së bashku me sipërfaqen anësore, mund të gjendet edhe sipërfaqja totale. Për ta bërë këtë, zona e bazës duhet të shtohet në zonën e sipërfaqes anësore. Por baza është një rreth me rreze, zona e të cilit sipas formulës është e barabartë me .

Më në fund kemi: , ku është rrezja e bazës së cilindrit, është gjenerata.

Le të zgjidhim disa probleme duke përdorur formulat e dhëna.

Oriz. 4. Këndi i kërkuar

Shembulli 1. Zhvillimi i sipërfaqes anësore të konit është një sektor me një kënd në majë. Gjeni këtë kënd nëse lartësia e konit është 4 cm dhe rrezja e bazës është 3 cm (shih Fig. 4).

Oriz. 5. Trekëndëshi kënddrejt duke formuar një kon

Me veprimin e parë, sipas teoremës së Pitagorës, gjejmë gjeneratorin: 5 cm (shih Fig. 5). Më pas, ne e dimë atë .

Shembulli 2. Zona e prerjes kryq boshtore e konit është e barabartë me , lartësia është e barabartë me . Gjeni sipërfaqen totale (shih Fig. 6).

Trupat e rrotullimit të studiuara në shkollë janë cilindri, koni dhe topi.

Nëse në një problem në provimin e shtetit të bashkuar në matematikë ju duhet të llogaritni vëllimin e një koni ose sipërfaqen e një sfere, konsiderojeni veten me fat.

Aplikoni formulat për vëllimin dhe sipërfaqen e një cilindri, kon dhe sferë. Të gjithë janë në tryezën tonë. Mësoni përmendësh. Këtu fillon njohja e stereometrisë.

Ndonjëherë është mirë të vizatoni pamjen nga lart. Ose, si në këtë problem, nga poshtë.

2. Sa herë vëllimi i një koni të rrethuar rreth një piramide të rregullt katërkëndore është më i madh se vëllimi i një koni të gdhendur në këtë piramidë?

Është e thjeshtë - vizatoni pamjen nga poshtë. Shohim se rrezja e rrethit më të madh është herë më e madhe se rrezja e rrethit më të vogël. Lartësitë e të dy koneve janë të njëjta. Prandaj, vëllimi i konit më të madh do të jetë dy herë më i madh.

Një pikë tjetër e rëndësishme. Kujtojmë se në problemat e pjesës B të Provimit të Bashkuar të Shtetit në matematikë, përgjigja shkruhet si numër i plotë ose thyesë dhjetore përfundimtare. Prandaj, nuk duhet të ketë asnjë ose në përgjigjen tuaj në pjesën B. Nuk ka nevojë të zëvendësohet as vlera e përafërt e numrit! Duhet patjetër të tkurret! Është për këtë qëllim që në disa probleme, detyra formulohet, për shembull, si më poshtë: "Gjeni zonën e sipërfaqes anësore të cilindrit të ndarë me".

Ku tjetër përdoren formulat për vëllimin dhe sipërfaqen e trupave të revolucionit? Sigurisht, në problemin C2 (16). Ne gjithashtu do t'ju tregojmë për të.

Sipërfaqja e një koni (ose thjesht sipërfaqja e një koni) është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të bazës dhe sipërfaqes anësore.

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të konit llogaritet me formulën: S = πR l, ku R është rrezja e bazës së konit, dhe l- duke formuar një kon.

Meqenëse sipërfaqja e bazës së konit është e barabartë me πR 2 (si zona e një rrethi), sipërfaqja e sipërfaqes totale të konit do të jetë e barabartë me: πR 2 + πR l= πR(R+ l).

Marrja e formulës për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një koni mund të shpjegohet me arsyetimin e mëposhtëm. Lëreni vizatimin të tregojë zhvillimin e sipërfaqes anësore të një koni. Le ta ndajmë harkun AB në sa më shumë pjesë të barabarta dhe të lidhim të gjitha pikat e ndarjes në qendër të harkut, dhe ato fqinje me njëra-tjetrën me korda.

Marrim një seri trekëndëshash të barabartë. Sipërfaqja e çdo trekëndëshi është ah / 2 ku A- gjatësia e bazës së trekëndëshit, a h- lartësia e saj.

Shuma e sipërfaqeve të të gjithë trekëndëshave do të jetë: ah / 2 n = anh / 2 ku n- numri i trekëndëshave.

Me një numër të madh ndarjesh, shuma e sipërfaqeve të trekëndëshave bëhet shumë afër zonës së zhvillimit, d.m.th., zonës së sipërfaqes anësore të konit. Shuma e bazave të trekëndëshave, d.m.th. një, afrohet shumë me gjatësinë e harkut AB, d.m.th., me perimetrin e bazës së konit. Lartësia e çdo trekëndëshi bëhet shumë afër rrezes së harkut, d.m.th., me gjeneratën e konit.

Duke neglizhuar dallimet e vogla në madhësitë e këtyre sasive, marrim formulën për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të konit (S):

S=C l / 2, ku C është perimetri i bazës së konit, l- duke formuar një kon.

Duke ditur se C = 2πR, ku R është rrezja e rrethit të bazës së konit, marrim: S = πR l.

Shënim. Në formulën S = C l / 2 ka një shenjë barazie të saktë, jo të përafërt, megjithëse bazuar në arsyetimin e mësipërm mund ta konsiderojmë këtë barazi të përafërt. Por në shkollën e mesme dëshmohet se barazia

S=C l / 2 është e saktë, jo e përafërt.

Teorema. Sipërfaqja anësore e konit është e barabartë me produktin e perimetrit të bazës dhe gjysmës së gjeneratorit.

Le të futim një piramidë të rregullt në kon (Fig.) dhe ta caktojmë atë me shkronja r Dhe l numra që shprehin gjatësinë e perimetrit të bazës dhe apotemës së kësaj piramide.

Atëherë sipërfaqja e saj anësore do të shprehet me produktin 1/2 r l .

Le të supozojmë tani se numri i brinjëve të shumëkëndëshit të gdhendur në bazë rritet pa kufi. Pastaj perimetri r do të priret në kufirin e marrë si gjatësi C e perimetrit bazë dhe apotemë l do te kete si limit gjeneraten e konit (meqe ΔSAK rrjedh qe SA - SK
1 / 2 r l, do të priret në kufirin 1/2 C L. Ky kufi merret si madhësia e sipërfaqes anësore të konit. Duke përcaktuar sipërfaqen anësore të konit me shkronjën S, mund të shkruajmë:

S = 1/2 C L = C 1/2 L

Pasojat.
1) Meqenëse C = 2 π R, atëherë sipërfaqja anësore e konit shprehet me formulën:

S = 1/2 2π R L= π R.L.

2) Ne marrim sipërfaqen e plotë të konit nëse shtojmë sipërfaqen anësore në zonën e bazës; prandaj, duke treguar sipërfaqen e plotë me T, do të kemi:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Teorema. Sipërfaqja anësore e një koni të cunguar është e barabartë me produktin e gjysmës së shumës së gjatësive të rrathëve të bazave dhe gjeneratorit.

Le të futim një piramidë të rregullt të cunguar në konin e cunguar (Fig.) dhe ta caktojmë atë me shkronja r, r 1 dhe l numra që shprehin në njësi lineare identike gjatësitë e perimetrit të bazës së poshtme dhe të sipërme dhe apotemës së kësaj piramide.

Atëherë sipërfaqja anësore e piramidës së gdhendur është e barabartë me 1/2 ( p + fq 1) l

Me një rritje të pakufizuar të numrit të faqeve anësore të piramidës së gdhendur, perimetrat r Dhe r 1 priren në kufijtë e marrë si gjatësitë C dhe C 1 të rrathëve bazë, dhe apotema l ka si kufi gjeneratorin L të një koni të cunguar. Rrjedhimisht, madhësia e sipërfaqes anësore të piramidës së brendashkruar tenton në një kufi të barabartë me (C + C 1) L. Ky kufi merret si madhësia e sipërfaqes anësore të konit të cunguar. Duke treguar sipërfaqen anësore të konit të cunguar me shkronjën S, kemi:

S = 1/2 (C + C 1) L

Pasojat.
1) Nëse R dhe R 1 nënkuptojnë rrezet e rrathëve të bazave të poshtme dhe të sipërme, atëherë sipërfaqja anësore e konit të cunguar do të jetë:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R + R 1) L.

2) Nëse në trapezin OO 1 A 1 A (Fig.), nga rrotullimi i të cilit fitohet një kon i cunguar, vizatojmë vijën e mesme BC, atëherë marrim:

BC = 1 / 2 (OA + O 1 A 1) = 1 / 2 (R + R 1),

R + R 1 = 2VS.

Prandaj,

S=2 π BC L,

dmth. sipërfaqja anësore e një koni të cunguar është e barabartë me produktin e perimetrit të seksionit të mesëm dhe gjeneratorit.

3) Sipërfaqja totale T e një koni të cunguar do të shprehet si më poshtë:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)