Trigonometrik denklemlerin genel çözümlerini yazmak için formüller. Trigonometrik denklemleri çözme

Bölüm 15. Trigonometrik Denklemler

15.6. Daha karmaşık trigonometrik denklemleri çözme

Önceki paragraf 3-5'te en basit trigonometrik denklemlerin çözümleri verilmiştir: , , ve . Aynı veya farklı argümanların birkaç trigonometrik fonksiyonunu içeren daha karmaşık trigonometrik denklemler, aynı dönüşümler yoluyla veya yardımcı bir cebirsel denklemin çözülmesiyle bunlara indirgenir.

Bu tür denklemleri çözmenin genel tekniği, denklemde yer alan tüm trigonometrik fonksiyonları, bu fonksiyonları bağlayan formüllere dayalı tek bir fonksiyonla değiştirmektir. Bir denklemi çözerken, verilene eşdeğer denklemlere yol açacak dönüşümler yapmaya çalışırız. Aksi takdirde elde edilen kökleri kontrol etmeniz gerekir.

Kökleri kaybetmek yaygın bir hatadır. Bu tür diğer hatalar, en basit denklemlerin çözümlerine yönelik formüllerin yanlış bilgisinin yanı sıra yay fonksiyonunun gerekli değerini doğru bir şekilde bulamamaktır.

Örneklere bakalım.

Denklemi çözün.

Örnek 2. (tek argümana indirgeme örneği).

Denklemi çözün.

Çözüm:
Tartışmaya devam etmeniz tavsiye edilir. Çalışma bize çift argümanın sinüs formülünü hatırlatıyor: .
Denklemde yerine koyarsak şunu elde ederiz: .
Sol tarafta çift argümanlı sinüs formülünü bir kez daha uygulayacağız, ancak önce denklemin her iki tarafını da ile çarpacağız.
; ; .
Türün en basit denklemini elde ettik ve tüm argümanı en basit denklemin çözümüne eşitledik:
, Neresi .

Denklemi çözün.

Çözüm:
Dereceyi azaltmak için formüllerden birini kullanarak şunu elde ederiz:

Elimizdeki denklemde yerine koyduktan sonra

Denklemi çözün.

Çözüm:
Sağ tarafa aktarırsak şunu elde ederiz:
; ; .
Burada denklemin derecesini artırarak ilerlemek zorundaydık, ancak iyi bir çözüm tekniği kullanma fırsatını yakaladık: tüm terimleri tek bir parçaya taşıyın ve ortaya çıkan ifadeyi çarpanlarına ayırın:
.
Her faktörü ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek bir dizi denklem elde ederiz:

bu, kural olarak, bu denkleme eşdeğerdir (bu kuralın bir istisnası aşağıdaki örnekte tartışılmıştır).
Denklemi çözersek, elimizde
, Ve .
Denklemi çözüyoruz veya , elimizde , ve .

Denklemi çözün.

Cevaba yabancı bir kök eklemek büyük bir hata olarak kabul edilir. Bunu önlemek için, elde edilen köklerin, verilen denklemin kesirinin paydasındaki hiçbir fonksiyonun sıfıra dönmediğinden (eğer orada kesirler varsa) ve bu köklerle denklemdeki hiçbir fonksiyonun olmadığından emin olmanız gerekir. orijinal denklem anlamını kaybeder (eğer oraya dahil edilmişlerse). Fonksiyonun argümanın hangi değerlerinde kaybolduğunu ve her trigonometrik fonksiyonun tanım alanını hatırlamak gerekir.Benzetme yoluyla, bir denklemin tanım alanından (izin verilen değerlerin alanı veya VA) bahsederler. bilinmeyen). Bir trigonometrik denklemin tanım alanı, bu denklemin sol ve sağ taraflarının tanım alanlarının ortak kısmıdır (kesişimidir). Ortaya çıkan kök denklemin tanım alanına ait değilse, o zaman konu dışıdır ve atılması gerekir.

Denklemi çözün
.

Çözüm:
Bir fonksiyona geçelim. Eğer bunu ile ifade edersek irrasyonel bir denklem elde ederiz ki bu da istenmeyen bir durumdur. Şununla değiştirin:
; .
Ortaya çıkan denklemi 'ye göre ikinci dereceden bir denklem olarak çözelim.
veya .
Denklemin kökleri yoktur.
Elimizdeki denklem için:
. Ama aynı zamanda aynı tek sayılar anlamına da geliyorlar, bu yüzden çözümü daha basit yazacağız: .

Denklemi çözün
.

Homojen bir denklem elde etmek için (aynı dereceden tüm terimler - ikinci), sağ tarafı ifadeye eşit olan ifadeyle çarparız.
;
.
Denklemin kökleri orijinal denklemin kökleri olmadığından (bu, yerine koymayla kolayca doğrulanabilir), bir fonksiyona gitmek için denklemin her iki tarafını da böleriz.

için ikinci dereceden denklemi çözüyoruz.
veya .
Denklem için elimizde: .
Elde ettiğimiz denklem için.

Denklemi çözün.

Bunu ifade edelim ve şunu elde edelim
. Burada sıfırdan farklı olmalıdır (aksi takdirde denklemin hiçbir anlamı yoktur), dolayısıyla denklemin tanım alanı tamamıdır. O zamandan beri kesirlerden kurtulmak için denklemin her iki tarafını da çarpıyoruz.
;
;
.
Elimizdeki denklem için

Sınıf: 10

“Denklemler sonsuza kadar sürecek.”

A.Einstein

Dersin Hedefleri:

eğitici:
- trigonometrik denklemlerin çözümüne yönelik yöntemlerin anlaşılmasının derinleştirilmesi;
- Trigonometrik denklemleri çözmek için yöntemleri ayırt etme ve doğru seçme becerilerini geliştirmek.
eğitici:
- eğitim sürecine bilişsel ilginin beslenmesi;
- belirli bir görevi analiz etme yeteneğini geliştirmek;
- sınıftaki psikolojik iklimin iyileştirilmesine katkıda bulunur.
Gelişimsel:
- bağımsız bilgi edinme becerisinin gelişimini teşvik etmek;
- öğrencilerin kendi bakış açılarını tartışma yeteneklerini teşvik etmek;

Teçhizat: temel trigonometrik formüller, bilgisayar, projektör, ekran içeren poster.

1 ders

I. Referans bilgilerinin güncellenmesi

Denklemleri sözlü olarak çözün:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6)sinx = ;
7) tx = ;
8) çünkü 2 x – sin 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; Z'ye.

II. Yeni materyal öğrenme

– Bugün daha karmaşık trigonometrik denklemlere bakacağız. Bunları çözmenin 10 yoluna bakalım. Daha sonra pekiştirme için iki ders olacak ve bir sonraki ders için bir test yapılacak. “Ders İçin” standında testte yer alacak olanlara benzer görevler asılmıştır; bunları testten önce çözmeniz gerekir. (Testten bir gün önce bu görevlerin çözümlerini standa asın).

Öyleyse trigonometrik denklemleri çözmenin yollarını düşünmeye devam edelim. Bu yöntemlerden bazıları muhtemelen size zor gelecektir, bazıları ise kolay görünecektir, çünkü... Denklem çözmek için bazı teknikleri zaten biliyorsunuz.

Sınıftaki dört öğrenciye bireysel bir görev verildi: trigonometrik denklemleri çözmenin 4 yolunu anlamak ve size göstermek.

(Konuşan öğrenciler önceden slaytlar hazırlamışlardır. Sınıfın geri kalanı denklem çözmenin ana adımlarını bir deftere yazar.)

1 öğrenci: 1 yol. Denklemleri çarpanlarına ayırarak çözme

günah 4x = 3 çünkü 2x

Denklemi çözmek için çift açılı sinüs formülünü kullanırız sin 2 = 2 sin cos
2 günah 2x çünkü 2x – 3 çünkü 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Faktörlerden en az biri sıfıra eşitse, bu faktörlerin çarpımı sıfıra eşittir.

2x = + k, k Z veya sin 2x = 1,5 – çözüm yok çünkü | günah| 1
x = + k; Z'ye.
Cevap: x = + k, k Z.

2 öğrenci. Yöntem 2. Trigonometrik fonksiyonların toplamını veya farkını çarpıma dönüştürerek denklem çözme

çünkü 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Denklemi çözmek için sin– sin = 2 sin сos formülünü kullanırız.

çünkü 3x + 2 sin çünkü = 0,

сos 3x – 2 sin x çünkü 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Ortaya çıkan denklem iki denklemden oluşan bir diziye eşdeğerdir:

İkinci denklemin çözüm kümesi tamamen birinci denklemin çözüm kümesine dahil edilmiştir. Araç

Cevap:

3 öğrenci. 3 yollu. Trigonometrik fonksiyonların çarpımını toplama dönüştürerek denklem çözme

günah 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Denklemi çözmek için formülü kullanırız

Cevap:

4 öğrenci. 4 yol. İkinci dereceden denklemlere indirgenen denklemlerin çözümü

3 günah x – 2 çünkü 2 x = 0,
3 günah x – 2 (1 – günah 2 x) = 0,
2 günah 2 x + 3 günah x – 2 = 0,

Günah x = t olsun, burada | t |. İkinci dereceden denklem 2t 2 + 3t – 2 = 0'ı elde ederiz,

D = 9 + 16 = 25.

Böylece . koşulu karşılamıyor | t |.

Yani günah x = . Bu yüzden .

Cevap:

III. A. N. Kolmogorov'un ders kitabından öğrenilenlerin pekiştirilmesi

1. Sayı 164(a), 167(a) (ikinci dereceden denklem)
2. Sayı 168 (a) (çarpanlara ayırma)
3. Sayı 174 (a) (toplamın çarpıma dönüştürülmesi)
4. (çarpımı toplama dönüştürün)

(Dersin sonunda doğrulama için bu denklemlerin çözümünü ekranda gösterin)

№ 164 (A)

2 günah 2 x + günah x – 1 = 0.
Günah x = t olsun, | t | 1. Sonra
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Nerede

Cevap: - .

№ 167 (A)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

tg x = 1 olsun, o zaman 3 t 2 + 2 t – 1 = 0 denklemini elde ederiz.

Cevap:

№ 168 (A)

Cevap:

№ 174 (A)

Denklemi çözün:

Cevap:

Ders 2 (ders-konuşma)

IV. Yeni materyal öğrenme(devam)

– Öyleyse trigonometrik denklemleri çözmenin yollarını incelemeye devam edelim.

5 yollu. Homojen trigonometrik denklemleri çözme

Formun denklemleri a günah x + b çünkü x = 0 a ve b'nin bazı sayılar olduğu denklemlere sin x veya cos x'e göre birinci dereceden homojen denklemler denir.

Denklemi düşünün

günah x – çünkü x = 0. Denklemin her iki tarafını da cos x'e bölelim. Bu yapılabilir; kök kaybı meydana gelmez çünkü , Eğer çünkü x = 0, O günah x = 0. Ancak bu, temel trigonometrik özdeşlikle çelişiyor günah 2 x+cos 2 x = 1.

Aldık ten rengi x – 1 = 0.

ten rengi x = 1,

Formun denklemleri de olduğu gibi 2 x + bcos 2 x + c sin x çünkü x = 0 , Nerede a, b, c – bazı sayılara sin x veya cos x'e göre ikinci dereceden homojen denklemler denir.

Denklemi düşünün

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Denklemin her iki tarafını da cos x'e bölelim, kök kaybolmaz çünkü çünkü x = 0 bu denklemin kökü değil.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

tg x = t olsun. D = 9 – 8 = 1.

O zaman Dolayısıyla tg x = 2 veya tg x = 1 olur.

Sonuç olarak, x = arktan 2 + , x =

Cevap: arktg 2 + ,

Başka bir denklemi düşünün: 3 sin 2 x – 3 sin x çünkü x + 4 çünkü 2 x = 2.
Denklemin sağ tarafını 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x) formuna dönüştürelim. Sonra şunu elde ederiz:
3sin 2 x – 3sin x çünkü x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x çünkü x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 çünkü 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Daha önce analiz ettiğimiz 2. denklemi elde ettik).

Cevap: arktan 2 + k,

6 yollu. Doğrusal Trigonometrik Denklemleri Çözme

Doğrusal bir trigonometrik denklem, formun bir denklemidir a günah x + b çünkü x = c a, b, c bazı sayılardır.

Denklemi düşünün günah x + çünkü x= – 1.
Denklemi şu şekilde yeniden yazalım:

Bunu göz önünde bulundurarak şunu elde ederiz:

Cevap:

7 yollu. Ek bir argüman sunmak

İfade a çünkü x + b sin x dönüştürülebilir:

(Bu dönüşümü zaten trigonometrik ifadeleri basitleştirirken kullanmıştık)

Ek bir argüman sunalım - açı öyle ki

Daha sonra

Denklemi düşünün: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

Ev ödevi: 164-170 (c, d).

Trigonometrinin temel formülleri hakkında bilgi gerektirir - sinüs ve kosinüs karelerinin toplamı, sinüs ve kosinüs üzerinden teğet ifadesi ve diğerleri. Bunları unutmuş veya bilmeyenler için "" yazısını okumanızı öneririz.
Yani temel trigonometrik formülleri biliyoruz, bunları pratikte kullanmanın zamanı geldi. Trigonometrik denklemleri çözme Doğru yaklaşımla oldukça heyecan verici bir etkinlik olur; örneğin Rubik küpünü çözmek gibi.

İsminden yola çıkarak trigonometrik bir denklemin, bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonun işareti altında olduğu bir denklem olduğu açıktır.
En basit trigonometrik denklemler denir. Şöyle görünüyorlar: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Hadi düşünelim bu tür trigonometrik denklemler nasıl çözülür Açıklık sağlamak için zaten tanıdık olan trigonometrik daireyi kullanacağız.

sinx = a

çünkü x = a

ten rengi x = a

karyola x = a

Herhangi bir trigonometrik denklem iki aşamada çözülür: Denklemi en basit haline indiririz ve ardından basit bir trigonometrik denklem olarak çözeriz.
Trigonometrik denklemlerin çözüldüğü 7 ana yöntem vardır.

Değişken ikame ve ikame yöntemi

2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 denklemini çözün

İndirgeme formüllerini kullanarak şunu elde ederiz:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Basitleştirmek ve olağan ikinci dereceden denklemi elde etmek için cos(x + /6)'yı y ile değiştirin:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Kökleri y 1 = 1, y 2 = 1/2 olan

Şimdi ters sırayla gidelim

Y'nin bulunan değerlerini değiştiririz ve iki cevap seçeneği elde ederiz:

Trigonometrik denklemleri çarpanlara ayırma yoluyla çözme

Sin x + cos x = 1 denklemi nasıl çözülür?

0 sağda kalacak şekilde her şeyi sola taşıyalım:

günah x + cos x – 1 = 0

Denklemi basitleştirmek için yukarıda tartışılan özdeşlikleri kullanalım:

günah x - 2 günah 2 (x/2) = 0

Çarpanlara ayıralım:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

İki denklem elde ediyoruz

Homojen bir denkleme indirgeme

Bir denklemin tüm terimleri aynı açının aynı derecedeki sinüs ve kosinüsüne göre ise sinüs ve kosinüs açısından homojendir. Homojen bir denklemi çözmek için aşağıdakileri yapın:

a) tüm üyelerini sol tarafa aktarın;

b) tüm ortak faktörleri parantezlerden çıkarın;

c) tüm faktörleri ve parantezleri 0'a eşitleyin;

d) parantez içinde daha düşük dereceli homojen bir denklem elde edilir, bu da daha yüksek dereceli sinüs veya kosinüse bölünür;

e) tg için elde edilen denklemi çözün.

3sin 2 x + 4 sin x çünkü x + 5 çünkü 2 x = 2 denklemini çözün

Sin 2 x + cos 2 x = 1 formülünü kullanalım ve sağdaki açık ikiden kurtulalım:

3sin 2 x + 4 sin x çünkü x + 5 çünkü x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

günah 2 x + 4 günah x çünkü x + 3 çünkü 2 x = 0

cos x'e bölün:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Tan x'i y ile değiştirin ve ikinci dereceden bir denklem elde edin:

y 2 + 4y +3 = 0, kökleri y 1 =1, y 2 = 3

Buradan orijinal denklemin iki çözümünü buluyoruz:

x 2 = arktan 3 + k

Yarım açıya geçiş yoluyla denklemleri çözme

3sin x – 5cos x = 7 denklemini çözün

x/2'ye geçelim:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Her şeyi sola taşıyalım:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2)'ye bölün:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Yardımcı açının tanıtılması

Düşünmek için şu formdaki bir denklemi ele alalım: a sin x + b cos x = c,

burada a, b, c bazı keyfi katsayılardır ve x bir bilinmeyendir.

Denklemin her iki tarafını da şuna bölelim:

Şimdi trigonometrik formüllere göre denklemin katsayıları sin ve cos özelliklerine sahiptir, yani: modülleri 1'den fazla değildir ve karelerin toplamı = 1'dir. Bunları sırasıyla cos ve sin olarak gösterelim, burada - bu yardımcı açı denir. O zaman denklem şu şekli alacaktır:

çünkü * sin x + sin * çünkü x = C

veya sin(x + ) = C

Bu en basit trigonometrik denklemin çözümü

x = (-1) k * arcsin C - + k, burada

Cos ve sin gösterimlerinin birbirinin yerine kullanılabileceğine dikkat edilmelidir.

Sin 3x – cos 3x = 1 denklemini çözün

Bu denklemdeki katsayılar:

a = , b = -1 olduğuna göre her iki tarafı da = 2'ye bölün

Örnekler:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Trigonometrik denklemler nasıl çözülür:

Herhangi bir trigonometrik denklem aşağıdaki türlerden birine indirgenmelidir:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

burada \(t\) x içeren bir ifadedir, \(a\) bir sayıdır. Bu tür trigonometrik denklemlere denir en basit. () veya özel formüller kullanılarak kolayca çözülebilirler:

Basit trigonometrik denklemlerin çözümüne ilişkin bilgi grafiklerine buradan bakın: ve.

Örnek . Trigonometrik denklemi \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\) çözün.
Çözüm:

Cevap: \(\left[ \begin(toplandı)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(toplandı)\right.\) \(k,n∈Z\)

Trigonometrik denklemlerin kökleri formülündeki her sembolün ne anlama geldiğine bakın.

Dikkat!\(\sin⁡x=a\) ve \(\cos⁡x=a\) denklemlerinin, eğer \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\) ise çözümü yoktur. Herhangi bir x için sinüs ve kosinüs \(-1\)'den büyük veya eşit ve \(1\)'den küçük veya eşit olduğundan:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Örnek . \(\cos⁡x=-1,1\) denklemini çözün.
Çözüm: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Cevap : Çözüm yok.

Örnek . Trigonometrik denklem tg\(⁡x=1\)'i çözün.
Çözüm:

Denklemi sayı çemberini kullanarak çözelim. Bunun için:
1) Bir daire oluşturun)
2) \(x\) ve \(y\) eksenlerini ve teğet ekseni (\((0;1)\ noktasından \(y\) eksenine paralel geçer) oluşturun.
3) Teğet ekseninde \(1\) noktasını işaretleyin.
4) Bu noktayı koordinatların kökenine (düz bir çizgi) bağlayın.
5) Bu doğru ile sayı çemberinin kesişim noktalarını işaretleyin.
6) Bu noktaların değerlerini işaretleyelim: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) Bu noktaların tüm değerlerini yazın. Birbirlerinden tam olarak \(π\) uzaklıkta bulundukları için tüm değerler tek bir formülle yazılabilir:

Cevap: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Örnek . Trigonometrik denklemi \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\) çözün.
Çözüm:

Sayı çemberini tekrar kullanalım.
1) \(x\) ve \(y\) eksenlerinden oluşan bir daire oluşturun.
2) Kosinüs ekseninde (\(x\) ekseni), \(0\) işaretleyin.
3) Bu noktadan kosinüs eksenine dik bir çizin.
4) Dikmenin ve dairenin kesişme noktalarını işaretleyin.
5) Bu noktaların değerlerini imzalayalım: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) Bu noktaların tam değerini yazıp kosinüse (kosinüsün içindekine) eşitliyoruz.

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) Her zamanki gibi \(x\)'i denklemlerde ifade edeceğiz.
Sayıları \(π\), \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), vb. ile işlemeyi unutmayın. Bunlar diğerleriyle aynı rakamlar. Sayısal ayrım yok!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Cevap: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Trigonometrik denklemleri en basitine indirgemek yaratıcı bir iştir; burada denklemleri çözmek için her ikisini de ve özel yöntemleri kullanmanız gerekir:
- Yöntem (Birleşik Devlet Sınavında en popüler olanı).
- Yöntem.
- Yardımcı argümanların yöntemi.

İkinci dereceden trigonometrik denklemi çözmenin bir örneğini ele alalım

Örnek . Trigonometrik denklemi çözün \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Çözüm:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Değiştirmeyi \(t=\cos⁡x\) yapalım.

	Denklemimiz tipik hale geldi. kullanarak çözebilirsiniz.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Ters değiştirme yapıyoruz.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	İlk denklemi sayı çemberini kullanarak çözüyoruz. İkinci denklemin çözümü yok çünkü \(\cos⁡x∈[-1;1]\) ve herhangi bir x için ikiye eşit olamaz.
	Bu noktalarda yer alan tüm sayıları yazalım.

Cevap: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

ODZ çalışmasıyla trigonometrik bir denklemin çözülmesine bir örnek:

Örnek (KULLANIM) . Trigonometrik denklemi çözün \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Bir kesir var ve bir kotanjant var; bu da onu yazmamız gerektiği anlamına geliyor. Kotanjantın aslında bir kesir olduğunu hatırlatmama izin verin: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Bu nedenle, ctg\(x\) için ODZ: \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Sayı çemberi üzerinde “çözüm olmayanları” işaretleyelim.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Denklemdeki paydayı ctg\(x\) ile çarparak kurtulalım. Yukarıda ctg\(x ≠0\) yazdığımız için bunu yapabiliriz.
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Sinüs için çift açı formülünü uygulayalım: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Elleriniz kosinüse bölmek için uzanıyorsa geri çekin! Kesinlikle sıfıra eşit değilse değişkenli bir ifadeyle bölebilirsiniz (örneğin: \(x^2+1.5^x\)). Bunun yerine \(\cos⁡x\) öğesini parantezlerden çıkaralım.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Denklemi ikiye “bölelim”.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	İlk denklemi sayı çemberini kullanarak çözelim. İkinci denklemi \(2\)'ye bölelim ve \(\sin⁡x\)'i sağ tarafa taşıyalım.

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Ortaya çıkan kökler ODZ'ye dahil edilmez. Bu nedenle yanıt olarak bunları yazmayacağız. İkinci denklem tipiktir. Bunu \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) ile bölelim denklemin çözümü olamaz çünkü bu durumda \(\cos⁡x=1\) veya \(\cos⁡ x=-1\)).
	Yine bir daire kullanıyoruz.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Bu kökler ODZ tarafından hariç tutulmaz, dolayısıyla bunları cevaba yazabilirsiniz.

Cevap: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Basit trigonometrik denklemlerin çözümü"

Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

1C'den 10. sınıfa yönelik Integral çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Geometri problemlerini çözüyoruz. Uzayda inşa etmek için etkileşimli görevler
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel Oluşturucu 6.1"

Neyi inceleyeceğiz:
1. Trigonometrik denklemler nelerdir?

3. Trigonometrik denklemleri çözmek için iki ana yöntem.
4. Homojen trigonometrik denklemler.
5. Örnekler.

Trigonometrik denklemler nelerdir?

Arkadaşlar, arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant konularını zaten inceledik. Şimdi genel olarak trigonometrik denklemlere bakalım.

Trigonometrik denklemler, bir değişkenin trigonometrik bir fonksiyonun işareti altında bulunduğu denklemlerdir.

En basit trigonometrik denklemlerin çözüm şeklini tekrarlayalım:

1)Eğer |a|≤ 1 ise cos(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Eğer |a|≤ 1 ise sin(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:

3) Eğer |a| > 1 ise sin(x) = a ve cos(x) = a denklemlerinin çözümü yoktur 4) tg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arcctg(a)+ πk

Tüm formüller için k bir tam sayıdır

En basit trigonometrik denklemler şu şekildedir: T(kx+m)=a, T bir trigonometrik fonksiyondur.

Örnek.

Denklemleri çözün: a) sin(3x)= √3/2

Çözüm:

A) 3x=t'yi gösterelim, sonra denklemimizi şu şekilde yeniden yazalım:

Bu denklemin çözümü şöyle olacaktır: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Değerler tablosundan şunu elde ederiz: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Değişkenimize dönelim: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

O halde x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Cevap: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, burada n bir tamsayıdır. (-1)^n – eksi bir üssü n.

Trigonometrik denklemlere daha fazla örnek.

Denklemleri çözün: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Çözüm:

A) Bu sefer doğrudan denklemin köklerini hesaplamaya geçelim:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. O zaman x/5= πk => x=5πk

Cevap: x=5πk, burada k bir tamsayıdır.

B) Bunu şu şekilde yazıyoruz: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Bunu biliyoruz: arktan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Cevap: x=2π/9 + πk/3; burada k bir tam sayıdır.

Denklemleri çözün: cos(4x)= √2/2. Ve segmentteki tüm kökleri bulun.

Çözüm:

Denklemimizi genel formda çözelim: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Şimdi segmentimize hangi köklerin düştüğünü görelim. k'da k=0, x= π/16'da verilen parçadayız.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 ile tekrar vuruyoruz.
k=2 için, x= π/16+ π=17π/16, ancak burada vurmadık, bu da büyük k için de açıkça vuramayacağımız anlamına geliyor.

Cevap: x= π/16, x= 9π/16

İki ana çözüm yöntemi.

En basit trigonometrik denklemlere baktık ama daha karmaşık olanları da var. Bunları çözmek için yeni bir değişken ekleme yöntemi ve çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır. Örneklere bakalım.

Denklemi çözelim:

Çözüm:
Denklemimizi çözmek için yeni bir değişken ekleme yöntemini kullanacağız: t=tg(x).

Yer değiştirme sonucunda şunu elde ederiz: t 2 + 2t -1 = 0

İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım: t=-1 ve t=1/3

O zaman tg(x)=-1 ve tg(x)=1/3 en basit trigonometrik denklemi elde ederiz, köklerini bulalım.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

Cevap: x= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

Bir denklem çözme örneği

Denklemleri çözün: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Çözüm:

Şu özdeşliği kullanalım: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Denklemimiz şu şekilde olacaktır: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 çünkü 2 (x) - 3 çünkü(x) -2 = 0

t=cos(x) değişimini tanıtalım: 2t 2 -3t - 2 = 0

İkinci dereceden denklemimizin çözümü köklerdir: t=2 ve t=-1/2

O halde cos(x)=2 ve cos(x)=-1/2.

Çünkü kosinüs birden büyük değerler alamaz, bu durumda cos(x)=2'nin kökü yoktur.

cos(x)=-1/2 için: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Cevap: x= ±2π/3 + 2πk

Homojen trigonometrik denklemler.

Tanım: a sin(x)+b cos(x) formundaki denklemlere birinci dereceden homojen trigonometrik denklemler denir.

Formun denklemleri

ikinci dereceden homojen trigonometrik denklemler.

Birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için onu cos(x)'e bölün: Sıfıra eşitse kosinüse bölemezsiniz, durumun böyle olmadığından emin olalım:
cos(x)=0 olsun, sonra asin(x)+0=0 => sin(x)=0 olsun, ancak sinüs ve kosinüs aynı anda sıfıra eşit değildir, bir çelişki elde ederiz, böylece güvenli bir şekilde bölebiliriz sıfır.

Denklemi çözün:
Örnek: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Çözüm:

Ortak çarpanı çıkaralım: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

O zaman iki denklemi çözmemiz gerekiyor:

Cos(x)=0 ve cos(x)+sin(x)=0

x= π/2 + πk'de Cos(x)=0;

cos(x)+sin(x)=0 denklemini düşünün. Denklemimizi cos(x)'e bölün:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Cevap: x= π/2 + πk ve x= -π/4+πk

İkinci dereceden homojen trigonometrik denklemler nasıl çözülür?
Beyler, her zaman bu kurallara uyun!

1. a katsayısının neye eşit olduğuna bakın, eğer a=0 ise denklemimiz cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) formunu alacaktır, bunun çözümünün bir örneği önceki slaytta verilmiştir.

2. Eğer a≠0 ise denklemin her iki tarafını kosinüs kareye bölmeniz gerekir, şunu elde ederiz:

t=tg(x) değişkenini değiştirip denklemi elde ederiz: