İfadeleri Dönüştürme. Ayrıntılı Teori (2020)
(1) a m ⋅ an n = a m + n
Örnek:
$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m − n
Örnek:
$$\frac(((a^4))(((a^3))) = (a^(4 – 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n
Örnek:
$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n
Örnek:
$$(\left((\frac(a)(b)) \right)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a m ) n = a m ⋅ n
Örnek:
$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a − n = 1 a n
Örnekler:
$$(a^( – 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( – 1)) = \frac(1)(( (a^1)))) = \frac(1)(a).$$
Karekökün özellikleri:
(1) a b = a ⋅ b, a ≥ 0 için, b ≥ 0
Örnek:
18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2
(2) a b = a b, a ≥ 0 için, b > 0
Örnek:
4 81 = 4 81 = 2 9
(3) (a) 2 = a, a ≥ 0 için
Örnek:
(4) a 2 = | bir | herhangi bir için
Örnekler:
(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .
Rasyonel ve irrasyonel sayılar
Rasyonel sayılar – mn'nin ortak kesri olarak gösterilebilecek sayılar; burada m bir tam sayıdır (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 ...), n bir doğal sayıdır (ℕ = 1, 2, 3, 4). ..).
Rasyonel sayılara örnekler:
1 2 ; − 9 4 ; 0,3333 … = 1 3 ; 8 ; − 1236.
İrrasyonel sayılar – ortak bir m n kesri olarak temsil edilemeyen sayılar; bunlar sonsuz, periyodik olmayan ondalık kesirlerdir.
İrrasyonel sayılara örnekler:
e = 2,71828182845…
π = 3,1415926…
2 = 1,414213562…
3 = 1,7320508075…
Basitçe söylemek gerekirse, irrasyonel sayılar, gösterimlerinde karekök işareti içeren sayılardır. Ama bu o kadar basit değil. Bazı rasyonel sayılar irrasyonel sayı olarak gizlenmiştir, örneğin 4 sayısının notasyonunda karekök işareti bulunur, ancak 4 = 2 şeklindeki gösterimi basitleştirebileceğimizin çok iyi farkındayız. Bu da 4 sayısının rasyonel bir sayı olduğu anlamına gelir.
Benzer şekilde 4 81 = 4 81 = 2 9 sayısı da bir rasyonel sayıdır.
Bazı problemler hangi sayıların rasyonel, hangilerinin irrasyonel olduğunu belirlemenizi gerektirir. Görev, hangi sayıların irrasyonel olduğunu ve hangi sayıların onlar gibi gizlendiğini anlamaktır. Bunu yapmak için karekök işaretinin altındaki çarpanı çıkarma ve çarpanı kök işaretinin altına sokma işlemlerini gerçekleştirebilmeniz gerekir.
Karekök işaretinin ötesinde bir çarpan ekleme ve çıkarma
Faktörü karekök işaretinin ötesine taşıyarak bazı matematiksel ifadeleri önemli ölçüde basitleştirebilirsiniz.
Örnek:
2 8 2 ifadesini basitleştirin.
Yöntem 1 (çarpanın kök işaretinin altından çıkarılması): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4
Yöntem 2 (kök işaretinin altına bir çarpan girme): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4
Kısaltılmış çarpma formülleri (FSU)
Toplamın karesi
(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2
Örnek:
(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2
Kare farkı
(2) (a − b) 2 = a 2 − 2 a b + b 2
Örnek:
(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2
Karelerin toplamı çarpanlara ayrılmıyor
Karelerin farkı
(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)
Örnek:
25 x 2 − 4 y 2 = (5 x) 2 − (2 y) 2 = (5 x − 2 y) (5 x + 2 y)
Toplamın küpü
(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
Örnek:
(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3
Fark küpü
(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3
Örnek:
(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3
Küplerin toplamı
(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - a b + b 2)
Örnek:
8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)
Küplerin farkı
(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)
Örnek:
x 6 − 27 y 3 = (x 2) 3 − (3 y) 3 = (x 2 − 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)
Standart sayı türü
Rastgele bir rasyonel sayının standart forma nasıl indirgeneceğini anlamak için bir sayının ilk anlamlı basamağının ne olduğunu bilmeniz gerekir.
Bir sayının ilk anlamlı basamağı buna soldaki sıfırdan farklı ilk rakam adını verin.
Örnekler:
2 5; 3, 05; 0, 1 43; 0,00 1 2. İlk önemli rakam kırmızı renkle vurgulanır.
Bir sayıyı standart forma getirmek için şunları yapmanız gerekir:
- Ondalık noktayı ilk anlamlı rakamın hemen sonrasına gelecek şekilde hareket ettirin.
- Ortaya çıkan sayıyı 10 n ile çarpın; burada n, aşağıdaki gibi tanımlanan bir sayıdır:
- n > 0, eğer virgül sola kaydırılmışsa (10 n ile çarpmak, virgülün aslında daha sağa doğru olması gerektiğini gösterir);
- N< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
- n sayısının mutlak değeri, ondalık noktanın kaydırıldığı basamak sayısına eşittir.
Örnekler:
25 = 2 , 5 ← , = 2,5 ⋅ 10 1
Virgül 1 basamak sola taşındı. Ondalık kaydırma sola olduğu için derece pozitiftir.
Zaten standart forma dönüştürülmüştür; onunla hiçbir şey yapmanıza gerek yoktur. 3,05 ⋅ 10 0 şeklinde yazabilirsiniz ama 10 0 = 1 olduğundan sayıyı orijinal haliyle bırakıyoruz.
0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1
Virgül 1 basamak sağa kaydırıldı. Ondalık kaydırma sağa olduğu için derece negatiftir.
− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3
Virgül üç basamak sağa kaydırıldı. Ondalık kaydırma sağa olduğu için derece negatiftir.
Cebirsel ifade toplama, çıkarma, çarpma, bölme, tamsayıya çıkarma ve kök çıkarma işlemleri için işaretlerle birbirine bağlanan harf ve rakamlardan oluşan bir ifade (üsler ve kökler sabit sayılar olmalıdır). Av. örneğin kök çıkarma işareti altında içermiyorsa, içerdiği bazı harflere göre rasyonel olarak adlandırılır. a, b ve c'ye göre rasyonel. Av. bazı harflere göre bu harfleri içeren ifadelere bölünmeyi içermiyorsa tam sayı olarak adlandırılır, örneğin 3a/c + bc 2 - 3ac/4
a ve b'ye göre tamsayıdır. Harflerden bazıları (veya tümü) değişken olarak kabul edilirse, A.c. cebirsel bir fonksiyondur.
Büyük Sovyet Ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi. 1969-1978 .
Diğer sözlüklerde “Cebirsel ifadenin” ne olduğuna bakın:
Cebirsel işlemlerin işaretleriyle birbirine bağlanan harf ve rakamlardan oluşan bir ifade: toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üs alma, kök çıkarma... Büyük Ansiklopedik Sözlük
cebirsel ifade- - Konular petrol ve gaz endüstrisi EN cebirsel ifade ... Teknik Çevirmen Kılavuzu
Cebirsel bir ifade, cebirsel işlem işaretleriyle birbirine bağlanan bir veya daha fazla cebirsel niceliktir (sayılar ve harfler): toplama, çıkarma, çarpma ve bölmenin yanı sıra kök alma ve tam sayılara yükseltme... ... Vikipedi
Cebirsel işlemlerin işaretleriyle birbirine bağlanan harf ve rakamlardan oluşan bir ifade: toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üs alma, kök çıkarma. * * * CEBİRSEL İFADE CEBİRSEL İFADE, ifade,... ... ansiklopedik sözlük
cebirsel ifade- cebirsel išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. cebirsel ifade vok. Cebir Ausdruck, m rus. cebirsel ifade, n pranc. ifade algébrique, f … Fizikos terminų žodynas
Cebirsel işaretlerle birbirine bağlanan harf ve rakamlardan oluşan bir ifade. işlemler: toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üs alma, kök çıkarma... Doğal bilim. ansiklopedik sözlük
Belirli bir değişken için cebirsel bir ifade, aşkın olanın aksine, bu miktarın toplamları, ürünleri veya kuvvetleri dışında belirli bir miktarın diğer fonksiyonlarını içermeyen bir ifadedir ve terimler... Ansiklopedik Sözlük F.A. Brockhaus ve I.A. Efron
İFADE, ifadeler, bkz. 1. Bölüm uyarınca eylem. ekspres ekspres. Minnettarlığımı ifade edecek kelime bulamıyorum. 2. daha sık birimler. Bir fikrin bir tür sanat (felsefe) biçiminde somutlaştırılması. Yalnızca büyük bir sanatçı böyle bir ifadeyi yaratabilir... ... Ushakov'un Açıklayıcı Sözlüğü
İki cebirsel ifadenin eşitlenmesinden kaynaklanan bir denklem (Bakınız Cebirsel ifade). A.u. bir bilinmeyene, bilinmeyenin paydaya dahil edilmesi durumunda kesirli denir ve bilinmeyenin paydaya dahil edilmesi durumunda irrasyonel denir ... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi
İFADE- parantezlerin, fonksiyon gösterimlerinin vb. kullanılabildiği, aritmetik işlem işaretleriyle birbirine bağlanan harf ve sayıların kaydı anlamına gelen birincil matematik kavramı; Genellikle formül milyonlarca parçadan oluşur. B (1) var… … Büyük Politeknik Ansiklopedisi
Bazı matematiksel ifadeleri farklı şekillerde yazabiliriz. Hedeflerimize bağlı olarak, yeterli veriye sahip olup olmadığımız vb. Sayısal ve cebirsel ifadelerİlklerini yalnızca aritmetik işaretler (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) ve parantez kullanarak birleştirilmiş sayılar olarak yazmamız bakımından farklılık gösterirler.
İfadeye sayılar yerine Latin harfleri (değişkenler) eklerseniz cebirsel hale gelecektir. Cebirsel ifadelerde harfler, sayılar, toplama ve çıkarma, çarpma ve bölme işaretleri kullanılır. Kök, derece ve parantez işareti de kullanılabilir.
Her durumda, ifade ister sayısal ister cebirsel olsun, yalnızca rastgele bir dizi işaret, sayı ve harf olamaz; bir anlamı olması gerekir. Bu, harflerin, sayıların, işaretlerin bir tür ilişkiyle birbirine bağlanması gerektiği anlamına gelir. Doğru örnek: 7x + 2: (y + 1). Kötü örnek): + 7x - * 1.
Yukarıda "değişken" sözcüğünden bahsedilmişti - bu ne anlama geliyor? Bu bir Latin harfidir ve bunun yerine bir sayı kullanabilirsiniz. Ve eğer değişkenlerden bahsediyorsak, bu durumda cebirsel ifadelere cebirsel fonksiyon denilebilir.
Değişken farklı değerler alabilir. Ve onun yerine bir sayı koyarak, değişkenin bu özel değeri için cebirsel ifadenin değerini bulabiliriz. Bir değişkenin değeri farklı olduğunda ifadenin değeri de farklı olacaktır.
Cebirsel ifadeler nasıl çözülür?
Yapmanız gereken değerleri hesaplamak için cebirsel ifadeleri dönüştürme. Ve bunun için hala birkaç kuralı dikkate almanız gerekiyor.
Birincisi, cebirsel ifadelerin kapsamı, bir değişkenin ifadenin anlamlı olabileceği tüm olası değerleridir. Ne anlama geliyor? Örneğin, sıfıra bölmenizi gerektiren bir değişkenin yerine bir değer koyamazsınız. 1/(x – 2) ifadesinde 2'nin tanım alanının dışında tutulması gerekir.
İkinci olarak, ifadeleri nasıl basitleştireceğinizi hatırlayın: bunları çarpanlara ayırın, aynı değişkenleri parantezlerin dışına koyun, vb. Örneğin: terimleri değiştirirseniz toplam değişmez (y + x = x + y). Benzer şekilde, faktörler yer değiştirirse (x*y = y*x) çarpım değişmeyecektir.
Genel olarak cebirsel ifadeleri basitleştirmek için mükemmeldirler. kısaltılmış çarpma formülleri. Bunları henüz öğrenmemiş olanlar kesinlikle bunu yapmalıdırlar - yine de birden fazla kez kullanışlı olacaklardır:
değişkenlerin kareleri arasındaki farkı buluruz: x 2 – y 2 = (x – y)(x + y);
toplamın karesini buluruz: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2;
farkın karesini hesaplıyoruz: (x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2;
toplamın küpü: (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 veya (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy (x + y);
farkı küpleyin: (x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 veya (x – y) 3 = x 3 – y 3 – 3xy (x – y);
değişkenlerin toplamını küp olarak buluruz: x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 – xy + y 2);
değişkenler arasındaki farkı küp olarak hesaplıyoruz: x 3 – y 3 = (x – y)(x 2 + xy + y 2);
kökleri kullanıyoruz: xa 2 + ua + z = x(a – a 1)(a – a 2) ve 1 ve a 2, xa 2 + ua + z ifadesinin kökleridir.
Ayrıca cebirsel ifade türlerini de anlamalısınız. Bunlar:
rasyoneldir ve bunlar sırasıyla aşağıdakilere ayrılır:
tamsayılar (değişkenlere bölünme yoktur, değişkenlerden kök çıkarma yoktur ve kesirli kuvvetlere yükseltme yoktur): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b). Tanım alanı, değişkenlerin tüm olası değerleridir ;
kesirli (toplama, çıkarma, çarpma gibi diğer matematiksel işlemler hariç, bu ifadelerde bir değişkene bölünür ve bir üssüne yükseltilir (doğal üslü): (2/b - 3/a + c/4) 2. Tanım alanı - ifadenin sıfıra eşit olmadığı tüm değişken değerleri;
irrasyonel - cebirsel bir ifadenin bu şekilde kabul edilmesi için, değişkenlerin kesirli üslü bir kuvvete yükseltilmesi ve/veya değişkenlerden köklerin çıkarılması gerekir: √a + b 3/4. Tanım alanı, değişkenlerin tüm değerleridir; çift gücün kökü altındaki veya kesirli gücün altındaki ifadenin negatif bir sayı haline geldiği durumlar hariç.
Cebirsel ifadelerin özdeş dönüşümleri bunları çözmek için başka bir yararlı tekniktir.Bir kimlik, tanım alanında yer alan ve yerine ikame edilen herhangi bir değişken için doğru olacak bir ifadedir.
Bazı değişkenlere bağlı olan bir ifade, aynı değişkenlere bağlıysa ve her iki ifadenin değerleri eşitse, değişkenlerin hangi değerleri seçilirse seçilsin, başka bir ifadeye tamamen eşit olabilir. Yani bir ifade, anlamları aynı olan iki farklı şekilde (ifadelerle) ifade edilebiliyorsa, bu ifadeler aynı derecede eşittir. Örneğin: y + y = 2y veya x 7 = x 4 * x 3 veya x + y + z = z + x + y.
Cebirsel ifadelerle görevleri yerine getirirken kimlik dönüşümü, bir ifadenin kendisine özdeş bir başka ifadeyle değiştirilebilmesini sağlamaya yarar. Örneğin, x 9'u x 5 * x 4 çarpımı ile değiştirin.
Çözüm örnekleri
Daha açık hale getirmek için birkaç örneğe bakalım. cebirsel ifadelerin dönüşümleri. Bu seviyedeki görevler Birleşik Devlet Sınavı için KIM'lerde bulunabilir.
Görev 1: ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 -1) ifadesinin değerini bulun.
Çözüm: ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 – 1) = (12x (12x -1))/x*(12x – 1) = 12.
Görev 2: (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3) ifadesinin değerini bulun.
Çözüm: (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3) = (2x – 3)(2x + 3)(2x + 3 – 2x + 3)/(2x – 3) )(2x + 3) = 6.
Çözüm
Okul sınavlarına, Birleşik Devlet Sınavlarına ve Devlet Sınavlarına hazırlanırken bu materyali her zaman bir ipucu olarak kullanabilirsiniz. Cebirsel bir ifadenin Latin harfleriyle ifade edilen sayıların ve değişkenlerin birleşimi olduğunu unutmayın. Ve ayrıca aritmetik işlemlerin (toplama, çıkarma, çarpma, bölme), parantezlerin, kuvvetlerin, köklerin işaretleri.
Cebirsel ifadeleri dönüştürmek için kısaltılmış çarpma formüllerini ve kimlik bilgilerini kullanın.
Yorumlarınızı ve dileklerinizi bize yorumlarda yazın - bizi okuduğunuzu bilmek bizim için önemlidir.
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Yayın, temel genel ve orta (tam) genel eğitim öğrencileri için cebirsel ifadelerdeki farklılıkların mantığını, fizik vb. alanlarda kullanılan matematiksel ifadelerdeki farklılıkların mantığının oluşumunda bir geçiş aşaması olarak sunmaktadır. olaylar, görevler, bunların sınıflandırılması ve bunları çözme metodolojisi hakkında kavramların daha fazla oluşturulması için.
İndirmek:
Ön izleme:
Cebirsel ifadeler ve özellikleri
© Skarzhinsky Y.Kh.
Bir bilim olarak cebir, harflerle gösterilen kümelerdeki eylem kalıplarını inceler.Cebirsel işlemler toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üs alma ve kök çıkarma işlemlerini içerir.Bu işlemlerin sonucunda cebirsel ifadeler oluşmuştur.Cebirsel ifade, cebirsel işlemlerin gerçekleştirildiği kümeleri ifade eden sayı ve harflerden oluşan bir ifadedir.Bu işlemler aritmetikten cebire aktarılmıştır. Cebirde dikkate alırlarbir cebirsel ifadeyi diğerine eşitlemek, bu onların özdeş eşitliğidir. Cebirsel ifadelerin örnekleri §1'de verilmiştir.İfadeler arasındaki dönüşüm yöntemleri ve ilişkiler de aritmetikten ödünç alınmıştır.. Aritmetik ifadeler üzerindeki işlemlerin aritmetik yasalarını bilmek, benzer cebirsel ifadeler üzerinde dönüşümler yapmanıza, bunları dönüştürmenize, basitleştirmenize, karşılaştırmanıza ve analiz etmenize olanak tanır.Cebir, çeşitli eylemlerin işaretleriyle birbirine bağlanan harf sembolleri biçiminde temsil edilen kümelerden oluşan ifadelerin dönüşüm kalıplarının bilimidir.Yüksek öğretim kurumlarında incelenen daha karmaşık cebirsel ifadeler de vardır. Şimdilik okul müfredatında en sık kullanılan türlere ayrılabilirler.
1 Cebirsel ifade türleri
Madde 1 Basit ifadeler: 4a; (a + b); (a + b)3c; ; .
Madde 2 Özdeş eşitlikler:(a + b)c = ac + bc; ;
Madde 3 Eşitsizlikler: ac ; a + c .
madde 4 Formüller: x=2a+5; y=3b; y=0,5d 2 +2;
madde 5 Oranlar:
İlk zorluk seviyesi
İkinci zorluk seviyesi
Üçüncü zorluk seviyesikümeler için değer arama açısından
a, b, c, m, k, d:
Dördüncü zorluk seviyesia, y kümeleri için değerlerin aranması açısından:
madde 6 Denklemler:
ax+c = -5bx; 4x2 +2x= 42;
Vesaire.
madde 7 İşlevsel bağımlılıklar: y=3x; y=ax 2 +4b; y=0,5x 2 +2;
Vesaire.
2 Cebirsel ifadeleri düşünün
2.1 Bölüm 1'de basit cebirsel ifadeler sunulmaktadır. Bir manzara var ve
örneğin daha zor:
Kural olarak bu tür ifadelerde “=” işareti bulunmaz. Bu tür ifadeleri değerlendirirken görev, onları dönüştürmek ve basitleştirilmiş bir biçimde elde etmektir. Adım 1 ile ilgili cebirsel ifadeyi dönüştürürken, anlamında bir öncekine eşdeğer olan yeni bir cebirsel ifade elde edilir. Bu tür ifadelerin aynı eşdeğer olduğu söylenir. Onlar. Eşitlik işaretinin solundaki cebirsel ifade, anlam bakımından sağdaki cebirsel ifadeye eşdeğerdir. Bu durumda, özdeş eşitlik adı verilen yeni bir türün cebirsel ifadesi elde edilir (bkz. paragraf 2).
2.2 Bölüm 2 cebirsel kimlik eşitliklerini sunmaktadır, Cebirsel dönüşüm yöntemleriyle oluşturulan cebirsel ifadelerin, fizikteki problemlerin çözümünde en sık kullanılan yöntem olduğu düşünülmektedir. Matematik ve fizikte sıklıkla kullanılan cebirsel dönüşümlerin özdeş eşitliklerine örnekler:
Değişmeli toplama kanunu: a + b = b + a.
Kombinasyon toplama kanunu:(a + b) + c = a + (b + c).
Değişmeli çarpım yasası: ab = ba.
Kombinasyon çarpma kanunu:(ab)c = a(bc).
Toplama işlemine göre çarpmanın dağılım yasası:
(a + b)c = ac + bc.
Çıkarmaya göre çarpmanın dağılım yasası:
(a - b)c = ac - bc.
Özdeş eşitliklerkesirli cebirsel ifadeler(kesirlerin paydalarının sıfır olmadığı varsayılarak):
Özdeş eşitliklerkuvvetleri olan cebirsel ifadeler:
A) ,
burada (n kere, ) - tam sayı derecesi
b) (a + b) 2 =a 2 +2ab+b 2.
Özdeş eşitliklerkökleri olan cebirsel ifadeler n'inci derece:
İfade - aritmetik kök N arasından üçüncü dereceÖzellikle, - aritmetik kare.
Kesirli (rasyonel) üslü derece kök:
Yukarıda verilen eşdeğer ifadeler, “=” işaretini içermeyen daha karmaşık cebirsel ifadeleri dönüştürmek için kullanılır.
Daha karmaşık bir cebirsel ifadeyi dönüştürmek için, daha basit cebirsel ifadelerin özdeş eşitlikler biçiminde dönüştürülmesinden elde edilen bilgiyi kullandığımız bir örneği ele alalım.
2.3 Bölüm 3 cebirsel n'yi sunar eşitlik, sol tarafın cebirsel ifadesinin sağa eşit olmadığı, yani. aynı değildir. Bu durumda eşitsizliklerdir. Kural olarak, fizikteki bazı problemleri çözerken eşitsizliklerin özellikleri önemlidir:
1) Eğer a, o zaman herhangi bir c için: a + c .
2) Eğer bir ve c > 0 ise ac .
3) Eğer bir ve C , ardından ac > bс .
4) Eğer bir , a ve B bir işaret o zaman 1/a > 1/b .
5) Eğer bir ve C , sonra a + c , a - d .
6) Eğer bir , C , a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, sonra ac .
7) Eğer bir , a > 0, b > 0 ise
8) Eğer öyleyse
2.4 Bölüm 4 cebirsel formülleri sunmaktadıronlar. Eşittir işaretinin sol tarafında değeri bilinmeyen ve belirlenmesi gereken bir kümeyi ifade eden bir harfin bulunduğu cebirsel ifadeler. Eşittir işaretinin sağ tarafında ise değerleri bilinen kümeler bulunmaktadır. Bu durumda bu cebirsel ifadeye cebirsel formül denir.
Cebirsel formül, problemin koşullarına göre, sol tarafında değeri bilinmeyen bir kümenin, sağ tarafında ise değerleri bilinen kümelerin bulunduğu, eşittir işareti içeren cebirsel bir ifadedir.“Eşit” işaretinin solundaki kümenin bilinmeyen değerini belirlemek için, miktarların bilinen değerleri “eşit” işaretinin sağ tarafında değiştirilir ve cebirsel ifadede belirtilen aritmetik hesaplama işlemleri gerçekleştirilir. bu kısım.
Örnek 1:
Verilen: Çözüm:
a=25 Cebirsel ifadesi verilsin:
x=? x=2a+5.
Bu cebirsel ifade cebirsel bir formüldür çünkü Eşittir işaretinin solunda değeri bulunması gereken küme, sağında ise değerleri bilinen kümeler vardır.
Bu nedenle, “x” kümesinin bilinmeyen değerini belirlemek için “a” kümesinin yerine bilinen bir değer koymak mümkündür:
x=2·25+5=55. Cevap: x=55.
Örnek 2:
Verilen: Çözüm:
a=25 Cebirsel ifadeformül budur.
b=4 Bu nedenle bilinenleri yerine koymak mümkündür.
Eşittir işaretinin sağındaki kümeler için c=8 değeri,
“k” kümesinin bilinmeyen değerini bulmak için d=3,
m=20 solda duruyor:
n=6 Cevap: k=3.2.
SORULAR
1 Cebirsel ifade nedir?
2 Ne tür cebirsel ifadeleri biliyorsunuz?
3 Hangi cebirsel ifadeye özdeşlik eşitliği denir?
4 Kimlik eşitliği kalıplarını bilmek neden gereklidir?
5 Hangi cebirsel ifadeye formül denir?
6 Hangi cebirsel ifadeye denklem denir?
7 Hangi cebirsel ifadeye fonksiyonel bağımlılık denir?
Sayısal ve cebirsel ifadeler. İfadeleri Dönüştürme.
Matematikte ifade nedir? Neden ifade dönüşümlerine ihtiyacımız var?
Soru, dedikleri gibi ilginç... Gerçek şu ki, bu kavramlar tüm matematiğin temelidir. Tüm matematik ifadelerden ve bunların dönüşümlerinden oluşur. Çok temiz değil? Açıklamama izin ver.
Diyelim ki karşınızda kötü bir örnek var. Çok büyük ve çok karmaşık. Diyelim ki matematikte iyisiniz ve hiçbir şeyden korkmuyorsunuz! Hemen cevap verebilir misiniz?
Zorunda olacaksın karar vermek bu örnek. Bu örnekte tutarlı bir şekilde adım adım basitleştirmek. Elbette belirli kurallara göre. Onlar. Yapmak ifade dönüşümü. Bu dönüşümleri ne kadar başarılı bir şekilde gerçekleştirirseniz matematikte o kadar güçlü olursunuz. Doğru dönüşümleri nasıl yapacağınızı bilmiyorsanız bunları matematikte yapamazsınız. Hiç bir şey...
Böylesine rahatsız edici bir gelecekten (ya da şimdiki zamandan) kaçınmak için bu konuyu anlamaktan zarar gelmez.)
İlk önce öğrenelim matematikte bir ifade nedir. Ne oldu sayısal ifade ve nedir cebirsel ifade.
Matematikte ifade nedir?
Matematikte ifade- bu çok geniş bir kavram. Matematikte uğraştığımız hemen hemen her şey bir dizi matematiksel ifadedir. Herhangi bir örnek, formül, kesir, denklem vb. matematiksel ifadeler.
3+2 matematiksel bir ifadedir. s 2 - d 2- bu aynı zamanda matematiksel bir ifadedir. Hem sağlıklı bir kesir hem de tek bir sayı, hepsi matematiksel ifadelerdir. Örneğin denklem şu şekildedir:
5x + 2 = 12
Eşittir işaretiyle birbirine bağlanan iki matematiksel ifadeden oluşur. Bir ifade solda, diğeri sağda.
Genel olarak terim " matematiksel ifade"çoğunlukla uğultudan kaçınmak için kullanılır. Örneğin size sıradan bir kesirin ne olduğunu soracaklar? Peki nasıl cevap verilir?!
İlk cevap: "Bu... mmmmmm... öyle bir şey ki... içinde... Daha iyi bir kesir yazabilir miyim? Hangisini istersin?"
İkinci cevap: “Sıradan bir kesir (neşeyle ve keyifle!) matematiksel ifade bir pay ve bir paydadan oluşan!"
İkinci seçenek bir şekilde daha etkileyici olacak, değil mi?)
" cümlesinin amacı budur. matematiksel ifade "çok iyi. Hem doğru hem de sağlam. Ancak pratik kullanım için şunu iyi anlamanız gerekir: matematikte belirli ifade türleri .
Spesifik tip başka bir konudur. Bu Bu tamamen farklı bir konu! Her tür matematiksel ifadenin bana ait Karar verirken kullanılması gereken bir dizi kural ve teknik. Kesirlerle çalışmak için - bir set. Trigonometrik ifadelerle çalışmak için - ikincisi. Logaritmalarla çalışmak için - üçüncü. Ve benzeri. Bir yerlerde bu kurallar örtüşüyor, bir yerlerde ise keskin bir şekilde farklılaşıyor. Ancak bu korkutucu sözlerden korkmayın. Uygun bölümlerde logaritma, trigonometri ve diğer gizemli konularda ustalaşacağız.
Burada iki ana matematiksel ifade türüne hakim olacağız (veya kime bağlı olarak tekrarlayacağız). Sayısal ifadeler ve cebirsel ifadeler.
Sayısal ifadeler.
Ne oldu sayısal ifade? Bu çok basit bir kavramdır. İsmin kendisi bunun sayılardan oluşan bir ifade olduğunu ima ediyor. İşte böyle. Sayılardan, parantezlerden ve aritmetik sembollerden oluşan matematiksel ifadeye sayısal ifade denir.
7-3 sayısal bir ifadedir.
(8+3.2) 5.4 de sayısal bir ifadedir.
Ve bu canavar:
aynı zamanda sayısal bir ifade, evet...
Sıradan bir sayı, bir kesir, X ve diğer harflerin olmadığı herhangi bir hesaplama örneği; bunların hepsi sayısal ifadelerdir.
Ana işaret sayısal ifadeler - içinde harf yok. Hiçbiri. Yalnızca sayılar ve matematiksel semboller (gerekirse). Çok basit, değil mi?
Peki sayısal ifadelerle neler yapabilirsiniz? Sayısal ifadeler genellikle sayılabilir. Bunu yapmak için parantezleri açmanız, işaretleri değiştirmeniz, kısaltmanız, terimleri değiştirmeniz gerekir; Yapmak ifade dönüşümleri. Ancak bunun hakkında daha fazlası aşağıda.
Burada sayısal bir ifadeyle böyle komik bir durumu ele alacağız. hiçbir şey yapmanıza gerek yok. Aslında hiçbir şey! Bu hoş operasyon - Hiçbirşey yapmamak)- ifade yürütüldüğünde yürütülür mantıklı değil.
Sayısal bir ifade ne zaman anlamsızdır?
Önümüzde bir tür abrakadabra görürsek,
o zaman hiçbir şey yapmayacağız. Çünkü bu konuda ne yapılacağı belli değil. Bir çeşit saçmalık. Belki artıların sayısını sayın...
Ancak dışarıdan oldukça düzgün ifadeler var. Örneğin bu:
(2+3) : (16 - 2 8)
Ancak bu ifade aynı zamanda mantıklı değil! Basit bir nedenden ötürü, ikinci parantez içinde - eğer sayarsanız - sıfır alırsınız. Ama sıfıra bölemezsin! Bu matematikte yasak bir işlemdir. Dolayısıyla bu ifadeyle de herhangi bir işlem yapılmasına gerek yoktur. Böyle bir ifadeye sahip herhangi bir görev için cevap her zaman aynı olacaktır: "İfadenin hiçbir anlamı yok!"
Böyle bir cevap verebilmek için elbette parantez içinde ne olacağını hesaplamam gerekiyordu. Ve bazen parantez içinde bir sürü şey oluyor... Eh, bu konuda yapabileceğiniz hiçbir şey yok.
Matematikte çok fazla yasaklı işlem yoktur. Bu başlıkta sadece bir tane var. Sıfıra bölüm. Kökler ve logaritmalardan kaynaklanan ek kısıtlamalar ilgili konularda tartışılmaktadır.
Yani, ne olduğuna dair bir fikir sayısal ifade- var. Konsept sayısal ifade anlamlı değil- gerçekleştirilmiş. Hadi devam edelim.
Cebirsel ifadeler.
Sayısal bir ifadede harfler yer alırsa, bu ifade şu şekilde olur: İfade şu şekilde olur: Evet! O olur cebirsel ifade. Örneğin:
5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 milyon/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...
Bu tür ifadelere aynı zamanda denir edebi ifadeler. Veya değişkenli ifadeler. Neredeyse aynı şey. İfade 5a +cörneğin hem gerçek hem de cebirsel ve değişkenleri olan bir ifade.
Konsept cebirsel ifade - sayısaldan daha geniştir. BT içerir ve tüm sayısal ifadeler. Onlar. sayısal bir ifade aynı zamanda cebirsel bir ifadedir, yalnızca harfleri yoktur. Her ringa balığı bir balıktır ama her balık ringa balığı değildir...)
Neden alfabetik- Apaçık. Madem mektuplar var... Cümle değişkenlerle ifade Aynı zamanda çok da kafa karıştırıcı değil. Rakamların harflerin altında saklı olduğunu anlarsanız. Harflerin altına her türlü sayı gizlenebilir... Ve 5, -18 ve başka herhangi bir şey. Yani bir mektup olabilir yer değiştirmek farklı numaralar için. Bu yüzden harflere denir değişkenler.
İfadede y+5, Örneğin, en- değişken değer. Ya da sadece " diyorlar değişken", "büyüklük" kelimesi olmadan. Sabit bir değer olan beşin aksine. Ya da sadece - devamlı.
Terim cebirsel ifade bu ifadeyle çalışmak için yasaları ve kuralları kullanmanız gerektiği anlamına gelir cebir. Eğer aritmetik belirli sayılarla çalışır, ardından cebir- tüm sayılarla aynı anda. Açıklama için basit bir örnek.
Aritmetikte bunu yazabiliriz
Ancak böyle bir eşitliği cebirsel ifadelerle yazarsak:
a + b = b + bir
hemen karar vereceğiz Tüm sorular. İçin tüm sayılar felç. Sonsuz olan her şey için. Çünkü harflerin altında A Ve B ima edilen Tüm sayılar. Ve sadece sayılar değil, diğer matematiksel ifadeler bile. Cebir bu şekilde çalışır.
Cebirsel bir ifade ne zaman anlamlı olmaz?
Sayısal ifadeyle ilgili her şey açıktır. Orada sıfıra bölemezsiniz. Peki harflerle neye böldüğümüzü bulmak mümkün mü?
Örneğin değişkenlerle birlikte bu ifadeyi ele alalım:
2: (A - 5)
Mantıklı geliyor? Kim bilir? A- herhangi bir numara...
Herhangi biri, herhangi biri... Ama tek bir anlamı var A, bunun için bu ifade Kesinlikle mantıklı değil! Peki bu sayı nedir? Evet! Bu 5! Değişken ise A 5 rakamını değiştirin ("yedek" diyorlar), parantez içinde sıfır elde edersiniz. Hangisi bölünemez. Böylece ifademizin ortaya çıktığı ortaya çıktı mantıklı değil, Eğer bir = 5. Ama diğer değerler için A mantıklı geliyor? Başka sayıları değiştirebilir misiniz?
Kesinlikle. Bu gibi durumlarda basitçe şunu söylerler: ifade
2: (A - 5)
herhangi bir değer için anlamlıdır A, a = 5 hariç .
Tüm sayı kümesi Olabilmek Belirli bir ifadenin yerine koymaya denir kabul edilebilir değerler aralığı bu ifade.
Gördüğünüz gibi zorlayıcı bir şey yok. Değişkenli ifadeye bakalım ve şunu anlayalım: yasak işlem (sıfıra bölme) değişkenin hangi değerinde elde edilir?
Ve sonra görev sorusuna baktığınızdan emin olun. Ne soruyorlar?
mantıklı değil, yasak anlamımız cevap olacaktır.
İfadenin bir değişkenin hangi değerinde olduğunu sorarsanız anlamı var(farkı hissedin!), cevap şu olacak: diğer tüm sayılar yasak olanlar hariç.
İfadenin anlamına neden ihtiyacımız var? O orada, o değil... Ne fark eder ki?! Mesele şu ki bu kavram lisede çok önemli hale geliyor. Son derece önemli! Bu, kabul edilebilir değerlerin alanı veya bir fonksiyonun alanı gibi katı kavramların temelidir. Bu olmadan ciddi denklemleri veya eşitsizlikleri hiçbir şekilde çözemezsiniz. Bunun gibi.
İfadeleri Dönüştürme. Kimlik dönüşümleri.
Sayısal ve cebirsel ifadelerle tanıştık. “İfadenin hiçbir anlamı yok” ifadesinin ne anlama geldiğini anladık. Şimdi bunun ne olduğunu bulmamız gerekiyor ifadelerin dönüşümü. Cevap utanç verici derecede basittir.) Bu, ifadesi olan herhangi bir eylemdir. Bu kadar. Bu dönüşümleri birinci sınıftan beri yapıyorsunuz.
Harika bir sayısal ifade olan 3+5'i ele alalım. Nasıl dönüştürülebilir? Evet, çok basit! Hesaplamak:
Bu hesaplama ifadenin dönüşümü olacaktır. Aynı ifadeyi farklı şekilde yazabilirsiniz:
Burada hiçbir şeyi saymadık. Sadece ifadeyi yazdım farklı bir biçimde. Bu aynı zamanda ifadenin de dönüşümü olacaktır. Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:
Bu da bir ifadenin dönüşümüdür. Bu tür dönüşümleri istediğiniz kadar yapabilirsiniz.
Herhangi ifadeye ilişkin eylem herhangi başka bir biçimde yazmaya ifadeyi dönüştürmek denir. Ve hepsi bu. Her şey çok basit. Ama burada bir şey var çok önemli kural. Güvenli bir şekilde çağrılabilecek kadar önemli ana kural hepsi matematik. Bu kuralı çiğnemek kaçınılmaz olarak hatalara yol açar. Bu konuya giriyor muyuz?)
Diyelim ki ifademizi gelişigüzel şu şekilde değiştirdik:
Dönüştürmek? Kesinlikle. İfadeyi farklı bir biçimde yazdık, burada yanlış olan ne?
Öyle değil.) Mesele şu ki, dönüşümler "rastgele" matematikle hiç ilgilenmiyorum.) Tüm matematik, görünümün değiştiği dönüşümler üzerine kuruludur, ancak ifadenin özü değişmez.Üç artı beş herhangi bir biçimde yazılabilir, ancak sekiz olması gerekir.
Dönüşümler, özü değiştirmeyen ifadeler arandı birebir aynı.
Kesinlikle kimlik dönüşümleri ve karmaşık bir örneği adım adım basit bir ifadeye dönüştürmemize izin verin. örneğin özü. Dönüşüm zincirinde bir hata yaparsak, özdeş OLMAYAN bir dönüşüm yaparız, sonra karar veririz bir diğerörnek. Doğru olanlarla ilgili olmayan diğer yanıtlarla.)
Bu, herhangi bir görevi çözmenin ana kuralıdır: dönüşümlerin kimliğini korumak.
Anlaşılır olması açısından 3+5 sayısal ifadesiyle bir örnek verdim. Cebirsel ifadelerde kimlik dönüşümleri formüller ve kurallarla verilir. Diyelim ki cebirde bir formül var:
a(b+c) = ab + ac
Bu, herhangi bir örnekte ifade yerine şunları yapabileceğimiz anlamına gelir: a(b+c) bir ifade yazmaktan çekinmeyin ab + ac. Ve tam tersi. Bu özdeş dönüşüm. Matematik bize bu iki ifade arasında seçim yapma olanağı tanır. Ve hangisinin yazılacağı belirli örneğe bağlıdır.
Başka bir örnek. En önemli ve gerekli dönüşümlerden biri kesrin temel özelliğidir. Daha fazla ayrıntı için bağlantıya bakabilirsiniz, ancak burada size kuralı hatırlatacağım: Bir kesrin pay ve paydası aynı sayıyla veya sıfıra eşit olmayan bir ifadeyle çarpılırsa (bölülürse), kesir değişmez. Bu özelliği kullanan kimlik dönüşümlerine bir örnek:
Muhtemelen tahmin ettiğiniz gibi bu zincir sonsuza kadar devam ettirilebilir...) Çok önemli bir özellik. Her türlü örnek canavarı beyaz ve kabarık hale getirmenizi sağlayan da budur.)
Aynı dönüşümleri tanımlayan birçok formül vardır. Ama en önemlileri oldukça makul bir sayıdır. Temel dönüşümlerden biri çarpanlara ayırmadır. Başlangıçtan ileri seviyeye kadar tüm matematikte kullanılır. Onunla başlayalım. Bir sonraki derste.)
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
