Найти первообразную функции f x 1 х. Внеклассный урок - Первообразная
Для каждого математического действия существует обратное ему действие. Для действия дифференцирования (нахождения производных функций) тоже существует обратное действие — интегрирование. Посредством интегрирования находят (восстанавливают) функцию по заданной ее производной или дифференциалу. Найденную функцию называют первообразной .
Определение. Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство: F′(x)=f (x) .
Примеры. Найти первообразные для функций: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.
1) Так как (х²)′=2х, то, по определению, функция F (x)=x² будет являться первообразной для функции f (x)=2x.
2) (sin3x)′=3cos3x. Если обозначить f (x)=3cos3x и F (x)=sin3x, то, по определению первообразной, имеем: F′(x)=f (x), и, значит, F (x)=sin3x является первообразной для f (x)=3cos3x.
Заметим, что и (sin3x+5 )′=3cos3x , и (sin3x-8,2 )′=3cos3x , ... в общем виде можно записать: (sin3x+С )′=3cos3x , где С — некоторая постоянная величина. Эти примеры говорят о неоднозначности действия интегрирования, в отличие от действия дифференцирования, когда у любой дифференцируемой функции существует единственная производная.
Определение. Если функция F (x) является первообразной для функции f (x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид:
F (x)+C , где С — любое действительное число.
Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫ (знак интеграла). Записывают: ∫f (x) dx=F (x)+C .
Выражение ∫f (x) dx читают: «интеграл эф от икс по дэ икс».
f (x) dx — подынтегральное выражение,
f (x) — подынтегральная функция,
х — переменная интегрирования.
F (x) — первообразная для функции f (x) ,
С — некоторая постоянная величина.
Теперь рассмотренные примеры можно записать так:
1) ∫ 2хdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.
Что же означает знак d?
d — знак дифференциала — имеет двойное назначение: во-первых, этот знак отделяет подынтегральную функцию от переменной интегрирования; во-вторых, все, что стоит после этого знака диференцируется по умолчанию и умножается на подынтегральную функцию.
Примеры. Найти интегралы: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.
3) После значка дифференциала d стоит х х , а р
∫ 2хрdx=рх²+С. Сравните с примером 1).
Сделаем проверку. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).
4) После значка дифференциала d стоит р . Значит, переменная интегрирования р , а множитель х следует считать некоторой постоянной величиной.
∫ 2хрdр=р²х+С. Сравните с примерами 1) и 3).
Сделаем проверку. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).
Функция F(x ) называется первообразной для функции f(x ) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство
F"(x ) = f (x ) .
Например, функция F(x) = х 2 f(x ) = 2х , так как
F"(x) = (х 2 )" = 2x = f(x). ◄
Основное свойство первообразной
Если F(x) — первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С — произвольная постоянная.
Например. Функция F(x) = х 2 + 1 является первообразной для функции f(x ) = 2х , так как F"(x) = (х 2 + 1 )" = 2 x = f(x) ; функция F(x) = х 2 - 1 является первообразной для функции f(x ) = 2х , так как F"(x) = (х 2 - 1)" = 2x = f(x) ; функция F(x) = х 2 - 3 является первообразной для функции f(x ) = 2х , так как F"(x) = (х 2 - 3)" = 2 x = f(x) ; любая функция F(x) = х 2 + С , где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x ) = 2х . ◄ |
Правила вычисления первообразных
- Если F(x) — первообразная для f(x) , а G(x) — первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) — первообразная для f(x) + g(x) . Иными словами, первообразная суммы равна сумме первообразных .
- Если F(x) — первообразная для f(x) , и k — постоянная, то k ·F(x) — первообразная для k ·f(x) . Иными словами, постоянный множитель можно выносить за знак производной .
- Если F(x) — первообразная для f(x) , и k , b — постоянные, причём k ≠ 0 , то 1 / k · F( k x + b ) — первообразная для f (k x + b ) .
Неопределённый интеграл
Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С , то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x) . Обозначается неопределённый интеграл так:
∫ f(x) dx = F(x) + С ,
f(x) — называют подынтегральной функцией ;
f(x) dx — называют подынтегральным выражением ;
x — называют переменной интегрирования ;
F(x) — одна из первообразных функции f(x) ;
С — произвольная постоянная.
Например, ∫ 2 x dx = х 2 + С , ∫ cos x dx = sin х + С и так далее. ◄
Слово "интеграл" происходит от латинского слова integer , что означает "восстановленный". Считая неопределённый интеграл от 2 x , мы как бы восстанавливаем функцию х 2 , производная которой равна 2 x . Восстановление функции по её производной, или, что то же, отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.
Основные свойства неопределённого интеграла
- Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
- Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла:
- Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:
- Если k , b — постоянные, причём k ≠ 0 , то
(∫ f(x) dx )" = f(x) .
∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .
∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .
∫ f (k x + b ) dx = 1 / k · F( k x + b ) + С .
Таблица первообразных и неопределённых интегралов
| f(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + С
|
|
| I.
| $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| II.
| $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| III.
| $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$ | $$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$ |
| IV.
| $$\frac{1}{x}$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac{dx}{x}=\ln |x|+C$$ |
| V.
| $$\sin x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI.
| $$\cos x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| VII.
| $$\frac{1}{\cos^2x}$$ | $$\textrm{tg} ~x+C$$ | $$\int\frac{dx}{\cos^2x}=\textrm{tg} ~x+C$$ |
| VIII.
| $$\frac{1}{\sin^2x}$$ | $$-\textrm{ctg} ~x+C$$ | $$\int\frac{dx}{\sin^2x}=-\textrm{ctg} ~x+C$$ |
| IX.
| $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| X.
| $$a^x$$ | $$\frac{a^x}{\ln a}+C$$ | $$\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C$$ |
| XI.
| $$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x +C$$ |
| XII.
| $$\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$$ | $$\arcsin \frac{x}{a}+C$$ | $$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$$ |
| XIII.
| $$\frac{1}{1+x^2}$$ | $$\textrm{arctg} ~x+C$$ | $$\int \frac{dx}{1+x^2}=\textrm{arctg} ~x+C$$ |
| XIV.
| $$\frac{1}{a^2+x^2}$$ | $$\frac{1}{a}\textrm{arctg} ~\frac{x}{a}+C$$ | $$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\textrm{arctg} ~\frac{x}{a}+C$$ |
| XV.
| $$\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$$ | $$\ln|x+\sqrt{a^2+x^2}|+C$$ | $$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}=\ln|x+\sqrt{a^2+x^2}|+C$$ |
| XVI.
| $$\frac{1}{x^2-a^2}~(a\neq0)$$ | $$\frac{1}{2a}\ln \begin{vmatrix}\frac{x-a}{x+a}\end{vmatrix}+C$$ | $$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \begin{vmatrix}\frac{x-a}{x+a}\end{vmatrix}+C$$ |
| XVII.
| $$\textrm{tg} ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm{tg} ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| XVIII.
| $$\textrm{ctg} ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm{ctg} ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| XIX.
| $$ \frac{1}{\sin x} $$ | $$\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg} ~\frac{x}{2}\end{vmatrix}+C $$ | $$\int \frac{dx}{\sin x}=\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg} ~\frac{x}{2}\end{vmatrix}+C $$ |
| XX.
| $$ \frac{1}{\cos x} $$ | $$\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg}\left (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right) \end{vmatrix}+C $$ | $$\int \frac{dx}{\cos x}=\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg}\left (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right) \end{vmatrix}+C $$ |
| Первообразные и неопределённые интегралы, приведённые в этой таблице, принято называть табличными первообразными
и табличными интегралами
. |
|||
Определённый интеграл
Пусть на промежутке [a ; b ] задана непрерывная функция y = f(x) , тогда определённым интегралом от a до b функции f(x) называется приращение первообразной F(x) этой функции, то есть
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|{_a^b} = ~~F(a)-F(b).$$
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Основные правила вычисления определённого интеграла
1. \(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\);
2. \(\int_{a}^{b}f(x)dx=- \int_{b}^{a}f(x)dx\);
3. \(\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx,\) где k — постоянная;
4. \(\int_{a}^{b}(f(x) ± g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x) dx±\int_{a}^{b}g(x) dx \);
5. \(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\);
6. \(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\), где f(x) — четная функция;
7. \(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\), где f(x) — нечетная функция.
Замечание . Во всех случаях предполагается, что подынтегральные функции интегрируемые на числовых промежутках, границами которых являются пределы интегрирования.
Геометрический и физический смысл определённого интеграла
| Геометрический смысл определённого интеграла | Физический смысл
определённого интеграла |
 |  |
Площадь S криволинейной трапеции (фигура, ограниченная графиком непрерывной положительной на промежутке [a ; b ] функции f(x) , осью Ox и прямыми x=a , x=b ) вычисляется по формуле $$S=\int_{a}^{b}f(x)dx.$$ | Путь s
, который преодолела материальная точка, двигаясь прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону v(t)
, за промежуток времени a
;
b
]
, то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и прямыми x = a
, x = b
, вычисляется по формуле $$S=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | Например. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y = x 2 и y = 2 - x . Изобразим схематически графики данных функций и выделим другим цветом фигуру, площадь которой необходимо найти. Для нахождения пределов интегрирования решим уравнение: x 2 = 2 - x ; x 2 + x - 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_{-2}^{1}((2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_{-2}^{1}(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{2} \right)\bigm|{_{-2}^{~1}}=4\frac{1}{2}. $$ ◄ |
|
Объём тела вращения
 | Если тело получено в результате вращения около оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на промежутке [a ; b ] функции y = f(x) и прямыми x = a и x = b , то его называют телом вращения . Объём тела вращения вычисляется по формуле $$V=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)dx.$$ Если тело вращения получено в результате вращения фигуры, ограниченной сверху и снизу графиками функций y = f(x) и y = g(x) , соответственно, то $$V=\pi\int_{a}^{b}(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | Например. Вычислим объём конуса с радиусом r
и высотой h
. Расположим конус в прямоугольной системе координат так, чтобы его ось совпадала с осью Ox
, а центр основания располагался в начале координат. Вращение образующей AB
определяет конус. Так как уравнение AB
$$\frac{x}{h}+\frac{y}{r}=1,$$ $$y=r-\frac{rx}{h}$$ |
| и для объёма конуса имеем $$V=\pi\int_{0}^{h}(r-\frac{rx}{h})^2dx=\pi r^2\int_{0}^{h}(1-\frac{x}{h})^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac{(1-\frac{x}{h})^3}{3}|{_0^h}=-\pi r^2h\left (0-\frac{1}{3} \right)=\frac{\pi r^2h}{3}.$$ ◄ |
|
Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x) , что выполняется равенство для любогох из заданного промежутка.
Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство. Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C , для произвольной константы С , причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.
Определение неопределенного интеграла.
Все
множество первообразных функции f(x)
называется
неопределенным интегралом этой функции
и обозначается 
.
Выражение называютподынтегральным выражением , а f(x) – подынтегральной функцией . Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x) .
Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x) , а множество ее первообразных F(x)+C .
Геометрический смысл неопределенного интеграла. График первообразной Д(х) называют интегральной кривой. В системе координат х0у графики всех первообразных от данной функции представляют семейство кривых, зависящих от величины постоянной С и получаемых одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси 0у. Для примера, рассмотренного выше, имеем:
J 2 х^х = х2 + C.
Семейство первообразных (х + С) геометрически интерпретируется совокупностью парабол.
Если из семейства первообразных нужно найти одну, то задают дополнительные условия, позволяющие определить постоянную С. Обычно с этой целью задают начальные условия: при значении аргумента х = х0 функция имеет значение Д(х0) = у0.
Пример. Требуется найти ту из первообразных функции у = 2 х, которая принимает значение 3 при х0 = 1.
Искомая первообразная: Д(х) = х2 + 2.
Решение. ^2х^х = х2 + C; 12 + С = 3; С = 2.
2. Основные свойства неопределенного интеграла
1. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции:
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению:
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме самой этой функции и произвольной постоянной:
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
5. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов:
6. Свойство является комбинацией свойств 4 и 5:
7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла:
Если 
,
то
8. Свойство:
Если 
,
то
Фактически данное свойство представляет собой частный случай интегрирования при помощи метода замены переменной, который более подробно рассмотрен в следующем разделе.
Рассмотрим пример:
3. Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием . При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала »):
Вообще, f’(u)du
= d(f(u)).
эта
(формула очень часто используется при
вычислении интегралов.
Найти интеграл
Решение. Воспользуемся свойствами интегралаи приведем данный интеграл к нескольким табличным.
4. Интегрирование методом подстановки.
Суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла.
Очень часто метод подстановки выручает при интегрировании тригонометрических функций и функций с радикалами.
Пример.
Найти
неопределенный интеграл 
.
Решение.
Введем
новую переменную .
Выразимх
через z
:
Выполняем
подстановку полученных выражений в
исходный интеграл:
Из
таблицы первообразных имеем 
.
Осталось
вернуться к исходной переменной х
:
Ответ:
Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.
Изучаем понятие "интеграл"
Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Именно эти фундаментальные сведения о Вы найдете у нас в блоге.
Неопределенный интеграл
Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .
Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .
Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.
Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Простой пример:
Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями:
Определенный интеграл
Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.
В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?
С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:
Точки а и b называются пределами интегрирования.
Бари Алибасов и группа "Интеграл"
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Правила вычисления интегралов для чайников
Свойства неопределенного интеграла
Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.
- Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
- Константу можно выносить из-под знака интеграла:
- Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:
Свойства определенного интеграла
- Линейность:
- Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:
- При любых точках a , b и с :
Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:
Примеры решения интегралов
Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем Вам самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.
Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Спросите , и они расскажут вам о вычислении интегралов все, что знают сами. С нашей помощью любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.
Первообразная
Определение первообразной функции
- Функцию у= F (x) называют первообразной для функции у=f (x) на заданном промежутке Х, если для всех х ∈ Х выполняется равенство: F′(x) = f (x)
Можно прочесть двумя способами:
- f производная функции F
- F первообразная для функции f
Свойство первообразных
- Если F(x) - первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С - произвольная постоянная.
Геометрическая интерпретация
- Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу .
Правила вычисления первообразных
- Первообразная суммы равна сумме первообразных . Если F(x) - первообразная для f(x) , а G(x) - первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) - первообразная для f(x) + g(x) .
- Постоянный множитель можно выносить за знак производной . Если F(x) - первообразная для f(x) , и k - постоянная, то k·F(x) - первообразная для k·f(x) .
- Если F(x) - первообразная для f(x) , и k, b - постоянные, причём k ≠ 0 , то 1/k · F(kx + b) - первообразная для f(kx + b) .
Запомни!
Любая функция F(x) = х 2 + С , где С - произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х .
- Например:
F"(x) = (х 2 + 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 – 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 –3)" = 2x = f(x);
Связь между графиками функции и ее первообразной:
- Если график функции f(x)>0 F(x) возрастает на этом промежутке.
- Если график функции f(x)<0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) убывает на этом промежутке.
- Если f(x)=0 , то график ее первообразной F(x) в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).
Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования.
Неопределенный интеграл
Определение :
- Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x). Обозначается неопределённый интеграл так: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x) - называют подынтегральной функцией;
- f(x) dx - называют подынтегральным выражением;
- x - называют переменной интегрирования;
- F(x) - одна из первообразных функции f(x);
- С - произвольная постоянная.
Свойства неопределённого интеграла
- Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx .
- Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx .
- Если k, b - постоянные, причём k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac{1}{k} \cdot F(kx + b) + C .
Таблица первообразных и неопределенных интегралов
| Функция f(x) | Первообразная F(x) + C | Неопределенные интегралы \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | C | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\not =-1 | F(x) = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C | \int x{^m}dx = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C |
| f(x) = \frac{1}{x} | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac{dx}{x} = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e{^x }dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac{a^x}{l na} + C | \int a{^x }dx = \frac{a^x}{l na} + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x) =\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac{1}{\sin {^2} x} | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac {dx}{\sin {^2} x} = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac{1}{\cos {^2} x} | F(x) = \tg x + C | \int \frac{dx}{\sin {^2} x} = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt{x} | F(x) =\frac{2x \sqrt{x}}{3} + C | |
| f(x) =\frac{1}{ \sqrt{x}} | F(x) =2\sqrt{x} + C | |
| f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1-x^2}} | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac{dx}{ \sqrt{1-x^2}}=\arcsin x + C |
| f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1+x^2}} | F(x)=\arctg x + C | \int \frac{dx}{ \sqrt{1+x^2}}=\arctg x + C |
| f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2-x^2}} | F(x)=\arcsin \frac {x}{a}+ C | \int \frac{dx}{ \sqrt{a^2-x^2}} =\arcsin \frac {x}{a}+ C |
| f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2+x^2}} | F(x)=\arctg \frac {x}{a}+ C | \int \frac{dx}{ \sqrt{a^2+x^2}} = \frac {1}{a} \arctg \frac {x}{a}+ C |
| f(x) =\frac{1}{ 1+x^2} | F(x)=\arctg + C | \int \frac{dx}{ 1+x^2}=\arctg + C |
| f(x)=\frac{1}{ \sqrt{x^2-a^2}} (a \not= 0) | F(x)=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C | \int \frac{dx}{ \sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac{1}{\sin x} | F(x)= l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C | \int \frac {dx}{\sin x} = l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C |
| f(x)=\frac{1}{\cos x} | F(x)= l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C | \int \frac {dx}{\cos x} = l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C |
Формула Ньютона–Лейбница
Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.
\int_{a}^{b} f(x) dx =F(x)|_{a}^{b} = F(b) - F(a)
где F(x) - первообразная для f(x)
То есть, интеграл функции f (x) на интервале равен разности первообразных в точках b и a .
Площадь криволинейной трапеции
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке функции f , осью Ox и прямыми x = a и x = b .
Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:
S= \int_{a}^{b} f(x) dx
