Математическое ожидание – это распределение вероятностей случайной величины. Случайные величины
Как уже известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины .
К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.
Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Если случайная величина характеризуется конечным рядом распределения:
| Х | х 1 | х 2 | х 3 | … | х п |
| Р | р 1 | р 2 | р 3 | … | р п |
то математическое ожидание М(Х) определяется по формуле:
Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется равенством:
где – плотность вероятности случайной величины Х .
Пример 4.7. Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.
Решение:
Случайная величина Х принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6. Составим закон ее распределения:
| Х | ||||||
| Р |
Тогда математическое ожидание равно:
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
М (С) = С.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М (СХ) = СМ (X).
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M(XY) = M(X)M(Y).
Пример 4.8 . Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:
| Х | Y | ||||||
| Р | 0,6 | 0,1 | 0,3 | Р | 0,8 | 0,2 |
Найти математическое ожидание случайной величины XY.
Решение .
Найдем математические ожидания каждой из данных величин:
Случайные величины X и Y независимые, поэтому искомое математическое ожидание:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М (X + Y) = М (X) + М (Y).
Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Пример 4.9. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р 1 = 0,4; p 2 = 0,3 и р 3 = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.
Решение.
Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина Х 1 , которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью р 1 = 0,4 и 0 (промах) с вероятностью q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания:
Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах:
М(Х 2) = 0,3 и М(Х 3)= 0,6.
Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:
Х = Х 1 + Х 2 + Х 3 .
Искомое математическое ожидание Х находим по теореме о математическом, ожидании суммы.
Каждая, отдельно взятая величина полностью определяется своей функцией распределения. Также, для решения практических задач хватает знать несколько числовых характеристик, благодаря которым появляется возможность представить основные особенности случайной величины в краткой форме.
К таким величинам относят в первую очередь математическое ожидание и дисперсия .
Математическое ожидание — среднее значение случайной величины в теории вероятностей. Обозначается как .
Самым простым способом математическое ожидание случайной величины Х(w)
, находят как интеграл
Лебега
по отношению к вероятностной мере Р
исходном
вероятностном пространстве
Еще найти математическое ожидание величины можно как интеграл Лебега от х по распределению вероятностей Р Х величины X :
где - множество всех возможных значений X .
Математическое ожидание функций от случайной величины X находится через распределение Р Х . Например , если X - случайная величина со значениями в и f(x) - однозначная борелевская функция Х , то:
Если F(x) - функция распределения X , то математическое ожидание представимо интегралом Лебега - Стилтьеса (или Римана - Стилтьеса):
при этом интегрируемость X в смысле (* ) соответствует конечности интеграла
В конкретных случаях, если X имеет дискретное распределение с вероятными значениями х k , k=1, 2 , . , и вероятностями , то
если X имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вероятности р(х) , то
при этом существование математического ожидания равносильно абсолютной сходимости соответствующего ряда или интеграла.
Свойства математического ожидания случайной величины.
- Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине:
C - постоянная;
- M=C.M[X]
- Математическое ожидание суммы случайно взятых величин равно сумме их математических ожиданий:
- Математическое ожидание произведения независимых случайно взятых величин = произведению их математических ожиданий:
M=M[X]+M[Y]
если X и Y независимы.
если сходится ряд:
Алгоритм вычисления математического ожидания.
Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению приравнять отличную от нуля вероятность.
1. По очереди перемножаем пары: x i на p i .
2. Складываем произведение каждой пары x i p i .
Напрмер , для n = 4 :
Функция распределения дискретной случайной величины ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых имеют положительный знак.
Пример: Найти математическое ожидание по формуле.
Характеристики ДСВ и их свойства. Математическое ожидание, дисперсия, СКО
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.
Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.
С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Пример. Известен закон распределения дискретной случайной величины. Найти математическое ожидание.
| X | ||||
| p | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Решение:
9.2 Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.
Пусть производится n независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р.
Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.
Пример. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y: M(Х)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Решение:
9.3 Дисперсия дискретной случайной величины
Однако, математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.
Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.
Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
На практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям.
Поэтому применяется другой способ.
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания .
Доказательство. С учетом того, что математическое ожидание М(Х) и квадрат математического ожидания М 2 (Х) – величины постоянные, можно записать:
Пример. Найти дисперсию дискретной случайной величины заданной законом распределения.
| Х | ||||
| Х 2 | ||||
| р | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Решение: .
9.4 Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. .
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. .
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. .
Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в каждом испытании.
9.5 Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.
Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.
Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X , заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m =M[X]=∑x i p i , если ряд сходится абсолютно.
Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .
Свойства математического ожидания случайной величины
- Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
- M=C M[X]
- Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M=M[X]+M[Y]
- Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M=M[X] M[Y] , если X и Y независимы.
Свойства дисперсии
- Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
- Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
- Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Пример
. Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Алгоритм вычисления математического ожидания
Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению сопоставить отличную от нуля вероятность.- Поочередно умножаем пары: x i на p i .
- Складываем произведение каждой пары x i p i .
Например, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Пример №1 .
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x i p i .
Математическое ожидание M[X] .
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X] .
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Среднее квадратическое отклонение σ(x) .
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:
| Х | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| р | а | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Решение. Величину a находим из соотношения: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08
Пример №3
. Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х 1
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Решение.
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
где матожидание m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x 3 =8, x 3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х 1
Закон распределения дискретной случайной величины
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно, такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.
Математическое ожидание, как будет показано далее, приближенно равно среднему значению случайной величины. Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и, следовательно, стреляет лучше второго.
Определение4.1: Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Пусть случайная величина X может принимать только значения x 1, x 2, … x n , вероятности которых соответственно равны p 1, p 2, … p n . Тогда математическое ожидание M (X ) случайной величины X определяется равенством
M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .
Eсли дискретная случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, то
,
причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.
Пример. Найти математическое ожидание числа появлений события A в одном испытании, если вероятность события A равна p .
Решение: Случайная величина X – число появлений события A имеет распределение Бернулли, поэтому
Таким образом, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события .
Вероятностный смысл математического ожидания
Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина X приняла m 1 раз значение x 1 , m 2 раз значение x 2 ,…, m k раз значение x k , причем m 1 + m 2 + …+ m k = n . Тогда сумма всех значений, принятых X , равна x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .
Среднее арифметическое всех значений, принятых случайной величиной, будет
Отношение m i / n - относительная частота W i значения x i приближенно равно вероятности появления события p i , где , поэтому
Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины .
Свойства математического ожидания
Свойство1: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной
Свойство2: Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания
Определение4.2: Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы .
Определение4.3: Несколько случайных величин называют взаимно независимыми , если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Свойство3: Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Следствие: Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Свойство4: Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Следствие: Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Пример. Вычислим математическое ожидание биномиальной случайной величины X – числа наступления события A в n опытах.
Решение: Общее число X появлений события A в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Введем случайные величины X i – число появлений события в i -ом испытании, которые являются Бернуллиевскими случайными величинами с математическим ожиданием , где . По свойству математического ожидания имеем
Таким образом, математическое ожидание биномиального распределения с параметрами n и p равно произведению np .
Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
Решение: Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и,следовательно, искомое математическое ожидание
