Меню
ГлавнаяКрасота

Формула площади неопределенной трапеции. Как найти площадь трапеции: формулы и примеры

Инструкция

Для того, чтобы оба способа были более понятными, можно привести пару примеров.

Пример 1: длина средней линии трапеции 10 см, ее площадь 100 см². Для нахождения высоты этой трапеции надо совершить :

h = 100/10 = 10 см

Ответ: высота данной трапеции 10 см

Пример 2: площадь трапеции 100 см², длины оснований равны 8 см и 12 см. Для нахождения высоты этой трапеции нужно выполнить действие:

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 см

Ответ: высота данной трапеции 20 см

Обратите внимание

Существует несколько видов трапеций:
Равнобедренная трапеция - это такая трапеция, в которой боковые стороны равны между собой.
Прямоугольная трапеция - это трапеция, у которой один из внутренних углов равен 90 градусам.
Стоит отметить, что в прямоугольной трапеции высота совпадает с длиной стороны при прямом угле.
Вокруг трапеции можно описать окружность, или вписать ее внутрь данной фигуры. Вписать окружность можно лишь в том случае, если сумма оснований ее равна сумме противоположных сторон. Описать же окружность можно только вокруг равнобедренной трапеции.

Полезный совет

Параллелограмм является частным случаем трапеции, ведь определение трапеции никак не противоречит определению параллелограмма. Параллелограмм - это четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны между собой. У трапеции же в определении речь ведется лишь о паре его сторон. Поэтому любой параллелограмм является и трапецией. Обратное утверждение неверно.

Источники:

  • как найти площадь трапеции формула

Совет 2: Как найти высоту трапеции, если известна площадь

Под трапецией подразумевается четырехугольник, у которого две из четырех его сторон параллельны между собой. Параллельные стороны являются основаниями данной , две другие же являются боковыми сторонами данной трапеции . Найти высоту трапеции , если известна ее площадь , будет очень легко.

Инструкция

Необходимо разобраться, как можно вычислить площадь исходной трапеции . Для этого несколько формул, в зависимости от исходных данных:S = ((a+b)*h)/2, где a и b - оснований трапеции , а h - ее высота (Высота трапеции - перпендикуляр, опущенный от одного основания трапеции к другому);
S = m*h, где m - линяя трапеции (Средняя линяя - отрезок, основаниями трапеции и соединяющий середины ее боковых сторон).

Для того, чтобы было понятнее, подобные задачи, можно рассмотреть :Пример 1: Дана трапеция, у которой площадь 68 см², средняя линяя которой равна 8 см, требуется найти высоту данной трапеции . Для того, чтобы решить данную задачу, требуется воспользоваться ранее выведенной формулой:
h = 68/8 = 8.5 смОтвет: высота данной трапеции составляет 8.5 смПример 2: Пусть у трапеции площадь равняется 120 см², длины оснований данной трапеции 8 см и 12 см соответственно, требуется найти высоту этой трапеции . Для этого надо применить одну из выведенных формул:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 смОтвет: высота заданной трапеции равна 12 см

Видео по теме

Обратите внимание

Любая трапеция обладает рядом свойств:

Средняя линяя трапеции равна полусумме ее оснований;

Отрезок, который соединяет между собой диагонали трапеции, равен половине разности его оснований;

Если через середины оснований провести прямую, то она пересечет точку пересечения диагоналей трапеции;

В трапецию можно вписать окружность в том случае, если сумма оснований данной трапеции равна сумме ее боковых сторон.

Пользуйтесь этими свойствами при решении задач.

Совет 3: Как найти площадь трапеции, если известны основания

По геометрическому определению трапецией является четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна. Эти стороны являются ее основаниями . Расстояние между основаниями называется высотой трапеции . Найти площадь трапеции можно, используя геометрические формулы.

Инструкция

Измерьте основания и трапеции АВСД. Обычно их дается в задачи. Пусть в данном примере задачи основание АD (а) трапеции будет равно 10 см, основание BC (b) - 6 см, высота трапеции BK (h) - 8 см. Примените геометрическую для нахождения площади трапеции , если известны длины её оснований и высоты - S= 1/2 (a+b)*h, где: - a - величина основания AD трапеции ABCD,- b - величина основания BC,- h - величина высоты BK.

Прежде чем найти площадь трапеции, необходимо определится с известными элементами трапеции. Трапеция – это геометрический объект, а именно: четырёхугольник, который имеет две параллельные стороны (два основания). Другие две стороны – боковые. Если же параллельны будут и эти две стороны четырёхугольника, то это уже будет не трапеция, а параллелограмм. Если хотя бы один угол трапеции равен 90 градусов, то такая трапеция называется прямоугольной. Как найти площадь прямоугольной трапеции, рассмотрим позже. Существует также равнобедренная трапеция, название которой говорит само за себя: боковые стороны такой трапеции равны. Расстояние между основаниями трапеции называется высотой, высота очень часто используется для нахождения площади. Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон.

Основные формулы нахождения площади трапеции

  • S= h*(a+b)/2
    Где h – высота трапеции, a,b – основания. Самая часто используемая формула поиска площади трапеции выглядит как полусумма оснований, умноженная на высоту.
  • S = m*h
    Где m – средняя линия трапеции, h – высота. Площадь трапеции также равна произведению средней линии трапеции на её высоту.
  • S=1/2*d1*d2*sin(d1^d2)
    Где d1, d2 – это диагонали трапеции, sin(d1^d2) – это синус угла, между диагоналями трапеции.

Существуют также различные формулы, выведенные из основных, а также формула для расчёта площади трапеции, когда известны все её стороны. Однако эта формула достаточно громоздкая и используется редко, ведь, зная все стороны трапеции можно просто определить высоту или её среднюю линию. Также в равнобедренную трапецию можно вписать окружность. В этом случае площадь трапеции будет высчитываться по формуле: 8*радиус окружности в квадрате.

Как найти площадь прямоугольной трапеции

Как и говорилось ранее, прямоугольной называется та трапеция, у которой хотя бы один угол прямой. Найти площадь такой трапеции очень просто. В основном, для поиска площади прямоугольной трапеции используются те же формулы, что и для обычной трапеции. Однако стоит помнить, что одна из боковых сторон такой трапеции и будет являться высотой. Также часто решение задач поиска площади прямоугольной трапеции сводится к поиску площади прямоугольника и треугольника, образованных опущенной высотой. Такие задачи достаточно просты.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две стороны параллельны между собой.

Они называются основаниями фигуры, оставшиеся – боковыми сторонами. Частными случаями фигуры считается параллелограмм. Также существует криволинейная трапеция, которая включает в себя график функции. Формулы площади трапеции включают в себя практически все ее элементы, и лучшее решение подбирается в зависимости от заданных величин.
Основные роли в трапеции отводятся высоте и средней линии. Средняя линия – это линия, соединяющая середины боковых сторон. Высота трапеции проводится под прямым углом от верхнего угла к основанию.
Площадь трапеции через высоту равняется произведению полусуммы длин оснований, умноженному на высоту:

Если по условиям известна средняя линия, то эта формула значительно упрощается, так как она равна полусумме длин оснований :

Если по условиям даны длины всех сторон, то можно рассмотреть пример расчета площади трапеции через эти данные:

Допустим, дана трапеция с основаниями a = 3 см, b = 7 см и боковыми сторонами c = 5 см, d = 4 см. найдем площадь фигуры:

Площадь равнобокой трапеции


Отдельным случаем считается равнобокая или, как ее еще называют, равнобедренная трапеция.
Особым случаем является и нахождение площади равнобедренной (равнобокой) трапеции. Формула выводится различными способами – через диагонали, через углы, прилегающие к основанию и радиус вписанной окружности.
Если по условиям задана длина диагоналей и известен угол между ними можно использовать такую формулу:

Помните, что диагонали равнобокой трапеции равны между собой!


То есть, зная одно их оснований, сторону и угол, можно легко рассчитать площадь.

Площадь криволинейной трапеции


Отдельный случай – это криволинейная трапеция . Она располагается на оси координат и ограничивается графиком непрерывной положительной функции.

Ее основание располагает на оси X и ограничивается двумя точками:
Интегралы помогают вычислить площадь криволинейной трапеции.
Формула прописывается так:

Рассмотрим пример расчета площади криволинейной трапеции. Формула требует определенных знаний для работы с определенными интегралами. Для начала разберем значение определенного интеграла:

Здесь F(a) – это значение первообразной функции f(x) в точке a , F(b) – значение этой же функции f(x) в точке b .

Теперь решим задачу. На рисунке изображена криволинейная трапеция, ограниченная функцией . Функция
Нам необходимо найти площадь выделенной фигуры, которая является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком , справа прямой x ={-8}, слева прямой x ={-10} и осью OX снизу.
Площадь этой фигуры мы будем рассчитывать по формуле:

Условиями задачи нам задана функция. По ней мы найдем значения первообразной в каждой из наших точек:


Теперь
Ответ: площадь заданной криволинейной трапеции равняется 4.

Ничего сложного в расчетах этого значения нет. Важна только предельная внимательность в вычислениях.

Что такое равнобедренная трапеция? Это геометрическая фигура, противолежащие не параллельные стороны которой равны. Существует несколько различных формул для нахождения площади трапеции с различными условиями, которые даны в задачах. То есть площадь найти можно, если дана высота, стороны, углы, диагонали и т.д. Также нельзя не упомянуть, что для равнобедренных трапеций существует некоторые “исключение”, благодаря которым поиск площади и сама формула значительно упрощается. Ниже описаны подробные решения каждого случая с примерами.

Необходимые свойства для нахождения площади равнобедренной трапеции

Мы уже выяснили, что геометрическая фигура, имеющая противолежащие не параллельные, но равные стороны – это трапеция, причем, равнобедренная. Существуют специальные случаи, когда трапеция считается равнобедренной.

  • Это условия равенства углов. Итак, обязательный пункт: углы при основании (возьмем рисунок ниже) должны быть равны. В нашем случае угол ВАD = углу CDA, a угол ABC = углу BCD
  • Второе важное правило – в подобной трапеции диагонали должны быть равны. Следовательно, АС = ВD.
  • Третий аспект: противоположные углы трапеции в сумме должны давать 180 градусов. Это значит, что угол ABC + угол CDA = 180 градусов. С углами BCD и BAD аналогично.
  • В-четвертых, если трапеция допускает описание вокруг нее окружности – то она равнобедренная.

Как найти площадь равнобедренной трапеции – формулы и их описание

  • S = (a+b)h/2 – это самая распространенная формула для нахождения площади, где а – нижнее основание, b – верхнее основание, а h – это высота.


  • Если высота неизвестна, то искать ее можно по подобной формуле: h = с*sin(x), где с это либо AB, либо CD. sin(x) – это синус угла при любом основании, то есть угол DAB = угол CDA = x. В конечном итоге формула принимает вот такой вид: S = (a+b)*с*sin(x)/2.
  • Высота также может находиться по этой формуле:

  • Итоговая формула имеет такой вид:

  • Площадь равнобедренной трапеции можно найти и через среднюю линию и высоту. Формула такова: S = mh .

Рассмотрим условие, когда в трапецию будет вписана окружность.


В случае, изображенном на картинке,

QN = D = H – диаметр окружности и одновременно высота трапеции;

LO, ON, OQ = R – радиусы окружности;

DC = a – верхнее основание;

AB = b – нижнее основание;

DAB, ABC, BCD, CDA – альфа, бета – углы оснований трапеции.

Подобный случай допускает нахождение площади по таким формулам:

  • Теперь попробуем найти площадь через диагонали и углы между ними.

На рисунке обозначим AC, DB – диагонали – d. Углы COB, DOB – альфа; DOC, AOB – бета. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S ) такова:

В математике известно несколько видов четырехугольников: квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм. Среди них и трапеция - вид выпуклого четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные противоположные стороны называются основаниями, а две другие – боковыми сторонами трапеции. Отрезок, который соединяет середины боковых сторон, называется средней линией. Существует несколько видов трапеций: равнобедренная, прямоугольная, криволинейная. Для каждого вида трапеции есть формулы для нахождения площади.

Площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать длину ее оснований и высоту. Высота трапеции - это отрезок, перпендикулярный основаниям. Пусть верхнее основание - a, нижнее основание - b, а высота - h. Тогда вычислить площадь S можно по формуле:

S = ½ * (a+b) * h

т.е. взять полусумму оснований, умноженную на высоту.

Также удастся вычислить площадь трапеции, если известно значение высоты и средней линии. Обозначим среднюю линию - m. Тогда

Решим задачу посложнее: известны длины четырех сторон трапеции - a, b, c, d. Тогда площадь отыщется по формуле:


Если известны длины диагоналей и угол между ними, то площадь ищется так:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

где d с индексами 1 и 2 - диагонали. В данной формуле в расчете приводится синус угла.

При известных длинах оснований a и b и двух углах при нижнем основании площадь вычисляется так:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Площадь равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция - это частный случай трапеции. Ее отличие в том, что такая трапеция - это выпуклый четырехугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Ее боковые стороны равны.


Найти площадь равнобедренной трапеции можно несколькими способами.

  • Через длины трех сторон. В этом случае длины боковых сторон будут совпадать, поэтому обозначены одной величиной - с, а и b - длины оснований:

  • Если известна длина верхнего основания, боковой стороны и величина угла при нижнем основании, то площадь вычисляется так:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

где а - верхнее основание, с - боковая сторона.

  • Если вместо верхнего основания известна длина нижнего – b, площадь рассчитывается по формуле:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

  • Если когда известны два основания и угол при нижнем основании, площадь вычисляется через тангенс угла:

S = ½ * (b2 – a2) * tg α

  • Также площадь рассчитывается через диагонали и угол между ними. В этом случае диагонали по длине равны, поэтому каждую обозначаем буквой d без индексов:

S = ½ * d2 * sin α

  • Вычислим площадь трапеции, зная длину боковой стороны, средней линии и величину угла при нижнем основании.

Пусть боковая сторона - с, средняя линия - m, угол - a, тогда:

S = m * c * sin α

Иногда в равностороннюю трапецию можно вписать окружность, радиус которой будет - r.


Известно, что в любую трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Тогда площадь найдется через радиус вписанной окружности и угол при нижнем основании:

S = 4r2 / sin α

Такой же расчет производится и через диаметр D вписанной окружности (кстати, он совпадает с высотой трапеции):

Зная основания и угол, площадь равнобедренной трапеции вычисляется так:

S = a * b / sin α

(эта и последующие формулы верны только для трапеций с вписанной окружностью).


Через основания и радиус окружности площадь ищется так:

Если известны только основания, то площадь считается по формуле:


Через основания и боковую линию площадь трапеции с вписанным кругом и через основания и среднюю линию - m вычисляется так:

Площадь прямоугольной трапеции

Прямоугольной называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае боковая сторона по длине совпадает с высотой трапеции.

Прямоугольная трапеция представляет из себя квадрат и треугольник. Найдя площадь каждой из фигур, сложите полученные результаты и получите общую площадь фигуры.


Также для вычисления площади прямоугольной трапеции подходят общие формулы для расчета площади трапеции.

  • Если известны длины оснований и высота (или перпендикулярная боковая сторона), то площадь рассчитывается по формуле:

S = (a + b) * h / 2

В качестве h (высоты) может выступать боковая сторона с. Тогда формула выглядит так:

S = (a + b) * c / 2

  • Другой способ рассчитать площадь - перемножить длину средней линии на высоту:

или на длину боковой перпендикулярной стороны:

  • Следующий способ вычисления - через половину произведения диагоналей и синус угла между ними:

S = ½ * d1 * d2 * sin α


Если диагонали перпендикулярны, то формула упрощается до:

S = ½ * d1 * d2

  • Еще один способ вычисления - через полупериметр (сумма длин двух противоположных сторон) и радиус вписанной окружности.

Эта формула действительна для оснований. Если брать длины боковых сторон, то одна из них будет равна удвоенному радиусу. Формула будет выглядеть так:

S = (2r + c) * r

  • Если в трапецию вписана окружность, то площадь вычисляется так же:

где m - длина средней линии.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция представляет из себя плоскую фигуру, ограниченную графиком неотрицательной непрерывной функции y = f(x), определенной на отрезке , осью абсцисс и прямыми x = a, x = b. По сути, две ее стороны параллельны друг другу (основания), третья сторона перпендикулярна основаниям, а четвертая представляет из себя кривую, соответствующую графику функции.


Площадь криволинейной трапеции ищут через интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:


Так вычисляются площади различных видов трапеций. Но, помимо свойств сторон, трапеции обладают одинаковыми свойствами углов. Как у всех существующих четырехугольников, сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусов. А сумма углов, прилежащих к боковой стороне, - 180 градусам.