Как работи водопадът Escher? Ешер - холандски график

Водопад. Литография. 38 × 30 см К: Литографии 1961г

Тази творба на Ешер изобразява парадокс - падащата вода на водопада задвижва колело, което насочва водата към върха на водопада. Водопадът има структурата на "невъзможен" триъгълник на Пенроуз: литографията е създадена въз основа на статия в British Journal of Psychology.

Конструкцията се състои от три напречни греди, подредени една върху друга под прав ъгъл. Водопадът в литографията работи като вечен двигател. В зависимост от движението на окото, последователно изглежда, че и двете кули са идентични и че кулата отдясно е един етаж по-ниска от лявата кула.

Напишете отзив за статията "Водопад (литография)"

Бележки

Връзки

• Официален уебсайт: (английски)

Откъс, характеризиращ Водопада (литография)

- Няма такъв; са дадени заповеди за битка.
Принц Андрей се насочи към вратата, зад която се чуха гласове. Но тъкмо когато искаше да отвори вратата, гласовете в стаята замлъкнаха, вратата се отвори сама и на прага се появи Кутузов с орловия си нос на пълното си лице.
Княз Андрей стоеше точно срещу Кутузов; но от изражението на единственото виждащо око на главнокомандващия беше ясно, че мисълта и загрижеността го занимаваха толкова много, че сякаш замъгляваха зрението му. Той погледна право в лицето на своя адютант и не го позна.
- Е, свършихте ли? – обърна се той към Козловски.
- Точно тази секунда, Ваше превъзходителство.
Багратион, кратко, с ориенталски типтвърдо и неподвижно лице, сухо, още не старец, излезе да вземе главнокомандващия.
„Имам честта да се явя“, повтори княз Андрей доста високо, подавайки плика.
- А, от Виена? Добре. След, след!
Кутузов излезе с Багратион на верандата.
„Е, принце, довиждане“, каза той на Багратион. - Христос е с вас. Благославям те за този велик подвиг.
Лицето на Кутузов изведнъж омекна и в очите му се появиха сълзи. Той дръпна Багратион към себе си с лявата си ръка, а с дясната си ръка, на която имаше пръстен, очевидно го пресече с познат жест и му предложи пухкава буза, вместо което Багратион го целуна по врата.

Математическото изкуство на Мориц Ешер 28 февруари 2014 г

Оригинал взет от imit_omsu в Математическото изкуство на Мориц Ешер

„Математиците отвориха вратата, водеща към друг свят, но самите те не посмяха да влязат в този свят. Те се интересуват повече от пътеката, на която стои вратата, отколкото от градината, която се намира зад нея.
(М. К. Ешер)

Литография "Ръка с огледална сфера", автопортрет.

Мауриц Корнелиус Ешер е холандски график, познат на всеки математик.
Сюжетите на произведенията на Ешер се отличават с остроумно разбиране на логическите и пластични парадокси.
Известен е преди всичко с трудовете си, в които използва различни математически концепции - от границата и лентата на Мьобиус до геометрията на Лобачевски.

Ксилография "Червени мравки".

Специален математическо образованиеМауриц Ешер не получи. Но от самото начало творческа кариерасе интересуваше от свойствата на пространството, изучаваше неочакваните му страни.

"Връзки на единството"

Ешер често се занимаваше с комбинации от двуизмерния и триизмерния свят.


Литография "Рисуващи ръце".

Литография "Влечуги".

Теселации.

Теселацията е разделяне на равнина на еднакви фигури. За изследване на този вид дялове традиционно се използва понятието група на симетрия. Нека си представим равнина, върху която е начертана някаква теселация. Самолетът може да се върти около произволна ос и да се измества. Преместването се определя от вектора на преместване, а въртенето се определя от центъра и ъгъла. Такива трансформации се наричат ​​движения. Казват, че това или онова движение е симетрия, ако след него подреждането се превърне в себе си.

Да разгледаме например една равнина, разделена на равни квадрати - безкраен лист от карирана тетрадка във всички посоки. Ако такава равнина се завърти на 90 градуса (180, 270 или 360 градуса) около центъра на произволен квадрат, плочката ще се превърне в себе си. Той също така се трансформира в себе си, когато се измести от вектор, успореден на една от страните на квадратите. Дължината на вектора трябва да е кратна на страната на квадрата.

През 1924 г. геометрът Джордж Полиа (преди да се премести в САЩ, György Pólya) публикува статия за теселационните групи на симетрия, в която доказва прекрасен факт(въпреки че вече открит през 1891 г. от руския математик Евграф Федоров и по-късно щастливо забравен): има само 17 групи симетрии, които включват измествания в поне две различни посоки. През 1936 г. Ешер, след като се интересува от мавритански орнаменти (с геометрична точкаизглед, опция за теселиране), прочетете работата на Поля. Въпреки факта, че според собственото му признание, той не разбираше цялата математика зад работата, Ешер успя да улови нейната геометрична същност. В резултат на това, въз основа на всичките 17 групи, Ешер създава повече от 40 творби.

Мозайка.

Ксилография "Ден и нощ".

"Правилно облицоване на равнина IV".

Ксилография "Небе и вода".

Теселации. Групата е проста, генерираща: плъзгаща симетрия и паралелен трансфер. Но тротоарните плочки са прекрасни. И в комбинация с лентата на Мьобиус, това е всичко.


Ксилография "Конници".

Още една вариация по темата за плоския и обемен свят и теселациите.


Литография "Вълшебно огледало".

Ешер беше приятел с физика Роджър Пенроуз. В свободното си време от физика Пенроуз прекарва времето си в решаване на математически пъзели. Един ден му хрумва следната идея: ако си представим теселация, състояща се от повече от една фигура, дали нейната група от симетрии ще бъде различна от описаната от Поля? Както се оказа, отговорът на този въпрос е положителен - така се ражда мозайката на Пенроуз. През 80-те години се оказа, че той е свързан с квазикристали ( Нобелова наградапо химия 2011).

Ешер обаче нямаше време (или може би не искаше) да използва тази мозайка в работата си. (Но има една абсолютно прекрасна мозайка от Пенроуз, „Пилетата на Пенроуз“, те не са рисувани от Ешер.)

Самолет Лобачевски.

Пето в списъка с аксиоми в Елементите на Евклид в реконструкцията на Хайберг е следното твърдение: ако права линия, пресичаща две прави, образува вътрешни едностранни ъгли, по-малки от два прави ъгъла, тогава, удължени за неопределено време, тези две прави линии ще се срещнат на страна, където ъглите са по-малки от два прави ъгъла. IN съвременна литературапредпочитат еквивалентна и по-елегантна формулировка: през точка, която не лежи на права, минава права, успоредна на дадената, и освен това само една. Но дори и в тази формулировка аксиомата, за разлика от останалите постулати на Евклид, изглежда тромава и объркваща - поради което в продължение на две хиляди години учените се опитват да извлекат това твърдение от другите аксиоми. Това всъщност превръща постулата в теорема.

През 19 век математикът Николай Лобачевски се опитал да направи това чрез противоречие: той предположил, че постулатът е неправилен и се опитал да открие противоречие. Но не беше намерен - и в резултат на това Лобачевски изгради нова геометрия. В нея през точка, която не лежи на права, минават безкраен брой различни прави, които не се пресичат с дадената. Лобачевски не е първият, който открива тази нова геометрия. Но той беше първият, който реши да го обяви публично - за което, разбира се, стана обект на смях.

Посмъртното признание на творчеството на Лобачевски стана, наред с други неща, благодарение на появата на модели на неговата геометрия - системи от обекти на обикновената евклидова равнина, които отговаряха на всички аксиоми на Евклид, с изключение на петия постулат. Един от тези модели е предложен от математика и физика Анри Поанкаре през 1882 г. – за нуждите на функционалния и комплексен анализ.

Нека има окръжност, чиято граница наричаме абсолют. „Точките“ в нашия модел ще бъдат вътрешните точки на кръга. Ролята на „правите линии“ се играе от кръгове или прави линии, перпендикулярни на абсолюта (по-точно техните дъги, попадащи в кръга). Фактът, че петият постулат не е валиден за такива „директни“ линии, е почти очевиден. Фактът, че останалите постулати са изпълнени за тези обекти, е малко по-малко очевиден, но това е така.

Оказва се, че в модела на Поанкаре можете да определите разстоянието между точките. За да се изчисли дължината, е необходима концепцията за риманова метрика. Неговите свойства са следните: колкото по-близо до абсолюта е една двойка точки на „права линия“, толкова по-голямо е разстоянието между тях. Определени са и ъгли между „правите линии“ - това са ъглите между допирателните в точката на пресичане на „правите линии“.

Сега да се върнем към плочките. Как ще изглеждат, ако бъдат разделени на еднакви правилни многоъгълници (т.е. многоъгълници с всички равни странии ъгли) вече е модел на Поанкаре? Например, полигоните трябва да стават по-малки, колкото по-близо са до абсолюта. Тази идея е реализирана от Ешер в поредицата от творби „Ограничителният кръг“. Холандецът обаче не използва обикновени прегради, а техните по-симетрични версии. Случаят, в който красотата се оказа по-важна от математическата точност.

Гравюра на дърво "Граница - кръг II".

Ксилография "Граница - кръг III".

Ксилография „Раят и адът“.

Невъзможни фигури.

Невъзможните фигури обикновено се наричат ​​специални оптични илюзии- те изглеждат като изображение на някакъв триизмерен обект в равнина. Но при по-внимателно разглеждане в тяхната структура се разкриват геометрични противоречия. Невъзможните фигури са от интерес не само за математиците, психолозите и дизайнерите също ги изучават.

Прадядото на невъзможните фигури е така нареченият куб на Некер, познато изображение на куб върху равнина. Предложен е от шведския кристалограф Луис Некер през 1832 г. Основното в това изображение е, че може да бъде интерпретирано по различни начини. Например ъгълът, обозначен на тази фигура с червен кръг, може да бъде или най-близкият до нас от всички ъгли на куба, или, обратно, най-отдалеченият.

Първите истински невъзможни фигурикато такива са създадени от друг шведски учен, Oskar Rutersvärd, през 30-те години на миналия век. По-специално, той излезе с идеята да сглоби триъгълник от кубчета, които не могат да съществуват в природата. Независимо от Ръдърсуорд, вече споменатият Роджър Пенроуз, заедно с баща си Лайънъл Пенроуз, публикуват статия в British Journal of Psychology, озаглавена „Невъзможни обекти: специален тип оптични илюзии“ (1956). В него семейство Пенроуз предлага два такива обекта - триъгълника на Пенроуз (солидна версия на дизайна на кубчетата на Ръдърсуорд) и стълбището на Пенроуз. Те посочиха Мауриц Ешер като вдъхновение за работата си.

И двата обекта - триъгълникът и стълбището - по-късно се появяват в картините на Ешер.

Литография "Относителност".

Литография "Водопад".

Литография "Белведере".

Литография "Изкачване и слизане".

Други произведения с математическо значение:

Звездни многоъгълници:

Ксилография "Звезди".

Литография "Кубично разделение на пространството".

Литография "Повърхност, покрита с вълнички."

Литография "Три свята"

Мауритс Ешер е изключителен холандски график, известен в целия свят със своите творби. В центъра, в музея, открит през 2002 г. и наречен на негово име "Escher in het Paleis", е открита постоянна експозиция от 130 творби на майстора. Бихте ли казали, че графиките са скучни? Може би... може би това може да се каже за произведенията на графиците, но не и за Ешер. Художникът е известен с необичайното си виждане за света и игра с логиката на пространството.

Фантастичните гравюри на Ешер, буквално, могат да се възприемат като графично изображениетеория на относителността. Творбите, които изобразяват невъзможни фигури и трансформации, са буквално хипнотизиращи; те не приличат на нищо друго.

Мауритс Ешер беше истински майстор на пъзелите и неговите оптични илюзии показват неща, които всъщност не съществуват. В неговите картини всичко се променя, плавно преминава от една форма в друга, стълбите нямат начало и край, а водата тече нагоре. Някой ще възкликне - това не може! Вижте сами.
Известната картина "Ден и нощ"

„Изкачване и слизане“, където хората винаги вървят нагоре по стълбите... или надолу?

“Влечуги” - тук алигаторите се превръщат от нарисувани в триизмерни...

„Рисуване на ръце“ - при което две ръце се рисуват една друга.

"Среща"

„Ръка с отразяваща топка“

Основната перла на музея е 7-метровата творба на Ешер „Метаморфози“. Тази гравюра ви позволява да изпитате връзката между вечността и безкрайността, където времето и пространството са обединени в едно цяло.

Музеят се намира в бившата Зимен дворецКралица Ема - прабаба на сега управляващата кралица Беатрикс. Ема купува двореца през 1896 г. и живее в него до смъртта си през май 1934 г. В две зали на музея, наречени „Кралските стаи“, са запазени мебели и снимки на кралица Ема, а на завесите има информация за интериора на двореца от онези времена.

На последния етаж на музея има интерактивна изложба „Приличайте на Ешер“. Това е реално магически святилюзии. Във вълшебната топка световете се появяват и изчезват, стените се движат и променят, а децата изглеждат по-високи от родителите си. Малко по-нататък има необичаен под, който оптически се срутва под всяка стъпка, а в сребърната топка можете да се видите през очите на Ешер.

Мауриц Корнелис Ешер, холандски график

Ешер Мауриц Корнелис(Maurits Cornelis Escher) (17 юни 1898 г., Леуварден, Холандия - 27 март 1972 г., Хилверсум, Холандия) Холандски график, направи илюстрации за книги, пощенски маркии стенописи, проектирани гоблени. Известен преди всичко със своите концептуални литографии, гравюри върху дърво и метал, в които майсторски изследва пластичните аспекти на понятията за безкрайност и симетрия, както и особеностите на психологическото възприемане на сложни триизмерни обекти, най-много ярък представителимп-арт. Ешер съвсем умишлено избира кариера като гравьор, а не като художник с маслени бои. Според Ханс Лохер, изследовател на неговото творчество, Ешер е привлечен от възможността за получаване на много отпечатъци, която се осигурява от графични техники, тъй като той вече е бил в ранна възрастИнтересувах се от възможността за повтаряне на изображения. Един от най-забележителните аспекти на работата на Ешер е изобразяването на "метаморфозите", появяващи се в различни формив много творби. Художникът изследва в детайли постепенния преход от един геометрична фигуракъм друг, чрез леки промени в очертанията. Освен това Ешер многократно рисува метаморфози, протичащи с живи същества (птиците се превръщат в риби и т.н.) и дори „оживени“ неодушевени предмети по време на метаморфози, превръщайки ги в живи същества. Ешер създава 448 литографии, гравюри и дърворезби и над 2000 рисунки и скици. Работата му продължава да впечатлява и изненадва милиони хора по света. IN последните годиниЗдравето на Ешер го проваля и той практически не работи. Претърпява много операции и накрая умира в болница от рак на червата. Ешер оставя след себе си прекрасните си литографии, картини, рисунки и трима сина.

Ключови дати

• 1898 - Мориц Корнелис Ешер е роден на 17 юни в Ливерден (Холандия), най-малкият синв семейството на хидроинженера G.A. Escher и Sarah Glichman.
• 1903 – Семейството се премества в Арнем.
• 1912-18 - Постъпва в гимназията и се проваля на последните изпити.
• 1919 г. – По молба на баща си Ешер започва да учи архитектура в Харлем, но след няколко месеца се прехвърля в клас по графичен дизайн под ръководството на Йесеранд де Мескит.
• 1921 - Първо пътуване до Италия. Първа публикация в списанието на произведението „Великденски цветя“ (дърворез)
• 1922 - Завършва художествено училище и заминава да пътува из централна Италия; прави много скици. През септември той посещава Алхамбра в Испания, смятайки я за най-интересната, особено нейните огромни мозайки с „колосална сложност и математическо и художествено значение“.
• 1923 - Пътуване до Италия; отговаря на неговия бъдеща съпругаЙетту (Джета Умикер). Рисува от натура Първата му изложба е в Сиена.
• 1924 г. - Първа изложба в Хага, Холандия. На 12 юни той се жени за Йета във Виареджо; се премества в Рим.
• 1926 - Много успешна изложба в Рим през май. По-късно Ешер има постоянна изложба в Холандия и главно положителни отзиви. На 23 юни в семейство Ешер ще се роди първият им син Георг. През следващите години Мориц Ешер постоянно пътува (например до Тунис), включително пеша до Арбузи; прави много пейзажни и архитектурни скици.
• 1928 г. - 8 декември, роден син Артур.
• 1929 - Първа литография „Изглед към Гориано Сиколи“, Арбуци
• 1931 - Първата дървена гравюра, но по същество това е дървена матрица за отпечатване на покани за изложба в Хага. Ешер става член на Асоциацията на графичните художници, а малко по-късно - член на студиото Pulchi. Той е високо уважаван като "търпелив, спокоен, хладнокръвен чертожник" и работата му е критикувана, че е "прекалено интелектуална".
• 1932 – Негови дърворезби са публикувани в алманаха “XXIV Emblemata dat zijns zinnebeelden”.
• 1933 г. - Публикувана е книгата "Ужасните приключения на схоластиката" с дърворезби на Ешер.
• 1934 г. - Неговите творби на изложбата на модерни гравюри (печат) „Век на прогреса“ в Чикаго получават само положителни отзиви.
• 1935 г. – Репресивната политика на фашистка Италия принуждава Ешер да се премести в Швейцария.
• 1936 г. - Пътуване до Испания, където отново активно работи върху мавритански модели на плочки (Алхамбра). Преначертаването им вдъхновява Ешер да създава картини, в които използва правилното периодично разделяне на равнините.
• 1938 г. - На 6 март се ражда друг син Ян. Но Ешер се концентрира върху „вътрешни картини“ и почти напълно изоставя рисуването от природата.
• 1939 - Смъртта на бащата на 96 години.
• 1940 г. - M.C.Escher en zijn experimenten е публикуван. Майка му умира.
• 1941 г. - Семейство Ешер се завръща в родината си в Холандия, в Baarn (B╠rn)
• 1948 г. Ешер започва да изнася лекции върху работата си, заедно с демонстрации.
• 1954 - Страхотна изложбаЕшер по повод Големия математически конгрес. Следва изложба във Вашингтон.
• 1955 г. - 30 април получава голяма кралска награда.
• 1958 г. - Излиза "Regelmatige vlakverdeling" (Правилно разделяне на равнини).
• 1959 г. - Излиза „Grafik en Tekeningen“ (Графични произведения).
• 1960 - Изложба и лекция на Кристалографския конгрес в Кеймбридж, Масачузетс
• 1962 г. - Спешна операция и продължителен престой в болницата.
• 1964 г. - Заминава за Канада за друга операция.
• 1965 - Награда за изкуство Хилверсум. Публикуван е „Симетричен аспект“.
• 1967 - Втора награда на кралицата.
• 1968 - Огромна ретроспекция на 70-ата годишнина в Хага. В края на годината Йета се завръща в Швейцария.
• 1969 г. – През юли Ешер създава последната си дърворезба „Змии“.
• 1970 г. - Операция и отново продължителна хоспитализация. Ешер се премества във фондация Rosa-Spier-Laaren в дом за възрастни художници.
• 1971 г. - De werelden van M.C.Escher (Светът на Ешер) е публикуван.
• 1972 г. - М. С. Ешер умира в Лутеранската болница в Хилверсум.

„Безкрайното стълбище“ е успешно използвано от художника Мауриц К. Ешер, този път в неговата очарователна литография „Изкачване и слизане“, създадена през 1960 г.
В тази рисунка, отразяваща всички възможности на фигурата на Пенроуз, много разпознаваемото „Безкрайно стълбище“ е спретнато вписано в покрива на манастира. Монасите с качулки непрекъснато се движат нагоре по стълбите по посока на часовниковата стрелка и обратно на часовниковата стрелка. Те вървят един към друг по невъзможен път. Те никога не успяват да се изкачат или да слязат.

Тази творба на Ешер изобразява парадокс - падащата вода на водопада задвижва колело, което насочва водата към върха на водопада. Водопадът има структурата на „невъзможен“ триъгълник на Пенроуз: литографията е създадена въз основа на статия в British Journal of Psychology.
Конструкцията се състои от три напречни греди, подредени една върху друга под прав ъгъл. Водопадът в литографията работи като вечен двигател. Също така изглежда, че и двете кули са еднакви; всъщност тази вдясно е един етаж под лявата кула.

„Белведере“ (на италиански: Belvedere). Вляво на преден план има лист хартия с рисунка на куб. Пресечните точки на ръбовете са отбелязани с два кръга. Младият мъж, седнал на пейката, държи в ръцете си точно такова абсурдно подобие на куб. Той замислено разглежда този неразбираем обект, оставайки безразличен към факта, че беседката зад него е изградена в същия невероятен, абсурден стил.