Четириъгълник, чиито срещуположни страни са равни, се нарича. Всичко, което трябва да знаете за свойствата на четириъгълниците

Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки. B A C D ABIIDC, ADIIBC

Колко успоредника виждате на чертежа? a d e c a II c, d II e II f II b II g f b g

Свойства на успоредник 10. В успоредник срещуположните страни са равни и срещуположните ъгли са равни. B 3 2 1 C Доказателство: 4 D A 1 = 2, като NLU с ADIIBC и секанс AC 3 = 4, като NLU с ABIICD и секанс AC AC – обща страна ABC = CDA на страната и два съседни ъгъла AB = CD , AD =BC B= D A= C

Свойства на успоредник 20. Диагоналите на успоредник се делят наполовина от пресечната точка. Доказателство: B 2 4 A C 1 = 2, като NLU с 3 D ABIIDC и секанс BD 3 = 4, като NLU с ABIIDC и секанс AC AB=CD, като противоположни страни на успоредник 1 ABO = CDO от страната и две съседни на неговите ъгли AO=OS, VO=OD

Тези фигури илюстрират всички разглеждани свойства B C B A D A B C O A C D D

Допълнителни имоти. Сборът на съседните ъгли на успоредник е 1800. B C D A ABIIDC, ADIIBC Обосновете...

Периметърът на успоредник е 20 см. Може ли един от диагоналите да е 11 см? cm 11 Полупериметър B Десет сантиметра C A D Кое е най-голямото цяло число, което може да приеме дължината на един от диагоналите на този успоредник?

Учебни задачи върху готови чертежи. Намерете страните на успоредника ABCD, като знаете, че периметърът му е 24 см. AD ​​– AB = 3 см B C Страната AD е с 3 см по-голяма от страната AB x A x+3 D P = 24 cm 2(x+x+3) = 24 p=12 cm x+x+3 = 12

Намерете страните на успоредника ABCD, като знаете, че неговият периметър е 24 см. AB: BC = 1: 2 B 2 x C x A P = 24 cm 2(x + 2 x) = 24 D p = 12 cm x + 2 x = 12

Намерете страните на успоредника ABCD, като знаете, че неговият периметър е 24 см. MC – MV = 3 см B x M x + 3 450 A P = 24 см 2 (x + x + x + 3) = 24 Сечението MC е с 3 см по-голямо отсечка MV C D р=12 cm x+x+x+3 = 12

Дължината на едната страна на успоредник е 80% от дължината на другата страна. Намерете дължината на по-късата страна на този успоредник, ако неговият полупериметър е 18 см. B x C 0,8 x A D p = 18 cm x + 0,8 x = 18

Дължината на едната страна на успоредник е с 15% по-голяма от дължината на другата страна. Намерете дължината на по-голямата страна на този успоредник, ако неговият полупериметър е 8,6 cm B 1,15 x C x A D p = 8,6 cm x + 1,15 x = 8,6

Намерете ъглите на успоредника ABCD. B – B C x + 30 A x D A = 300 Ъгъл B е с 300 по-голям от ъгъл A

Сборът от градусните мерки на трите ъгъла на успоредник е 3000. Намерете големината на тъпия ъгъл на този успоредник. B C x A 180-те D

Намерете ъглите на успоредника ABCD (3600 - 400 2): 2 C B 1800 -400 140 A 400 D

№ 376 (c) Намерете ъглите на успоредника ABCD, ако B 1090 A 710 C 710 1090 D

№ 376 (c) Намерете ъглите на успоредника ABCD, ако B C x 2 x A A = 2 B Ъгъл A е 2 пъти по-голям от ъгъл B D

В тази статия ще разгледаме всички основни свойства и характеристики на четириъгълниците.

Като начало ще подредя всички видове четириъгълници под формата на такава обобщена диаграма:

Диаграмата е забележителна с това, че четириъгълниците във всеки ред притежават ВСИЧКИ СВОЙСТВА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИТЕ, РАЗПОЛОЖЕНИ НАД ТЯХ. Следователно трябва да запомните много малко.

Трапеце четириъгълник, две страни на който са успоредни, а другите две не са успоредни. Паралелни страни се наричат трапецовидни основи, не успоредни - страни.

1 . В трапеца сбор от ъглите, съседни на странаравен на 180°: A+B=180°, C+D=180°

2 . Симетрала на произволен ъгъл на трапецотрязва в основата си сегмент, равен на страната:

3. Симетралите на съседни ъгли на трапец се пресичат под прав ъгъл.

4 .Трапецът се нарича равнобедрен, ако страните му са равни:

В равнобедрен трапец

5. Площ на трапецравно на произведението на половината от сбора на основите и височината:

Успоредник е четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по двойки: В успоредник:

• противоположните страни и противоположните ъгли са равни
• Диагоналите на успоредник се разделят наполовина от тяхната пресечна точка:

Съответно, ако четириъгълникът има тези свойства, тогава той е успоредник.

Площ на успоредникравно на произведението на основата и височината:

или произведението на страните и синуса на ъгъла между тях:

:

Ромбе успоредник, в който всички страни са равни:

• противоположните ъгли са равни
• диагоналите са разделени наполовина от тяхната пресечна точка
  
• диагоналите са взаимно перпендикулярни
  
• Диагоналите на ромба са ъглополовящи на ъглите

Площ на ромбравно на половината от произведението на диагоналите:

или произведението на квадрата на страната и синуса на ъгъла между страните:

Четириъгълникът е многоъгълник, състоящ се от четири точки (върхове) и четири сегмента (страни), свързващи тези точки по двойки.

Днес ще разгледаме геометрична фигура - четириъгълник. От името на тази фигура вече става ясно, че тази фигура има четири ъгъла. Но ние ще разгледаме останалите характеристики и свойства на тази фигура по-долу.

Какво е четириъгълник

Четириъгълникът е многоъгълник, състоящ се от четири точки (върхове) и четири сегмента (страни), свързващи тези точки по двойки. Площта на четириъгълника е равна на половината от произведението на неговите диагонали и ъгъла между тях.

Четириъгълникът е многоъгълник с четири върха, три от които не лежат на права линия.

Видове четириъгълници

• Четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по две, се нарича успоредник.
• Четириъгълник, в който две срещуположни страни са успоредни, а другите две не са, се нарича трапец.
• Четириъгълник с всички прави ъгли е правоъгълник.
• Четириъгълник с равни страни е ромб.
• Четириъгълник, в който всички страни са равни и всички ъгли са прави, се нарича квадрат.

Четириъгълникът може да бъде:

Самопресичащи се

Неконвексен

Изпъкнал

Самопресичащ се четириъгълнике четириъгълник, в който всяка от страните му има пресечна точка (в синьо на фигурата).

Неизпъкнал четириъгълнике четириъгълник, в който един от вътрешните ъгли е повече от 180 градуса (посочен в оранжево на фигурата).

Сума от ъгливсеки четириъгълник, който не се пресича сам, винаги е равен на 360 градуса.

Специални видове четириъгълници

Четириъгълниците могат да имат допълнителни свойства, образувайки специални видове геометрични фигури:

• Успоредник
• Правоъгълник
• Квадрат
• Трапец
• Делтоид
• Контрауспоредник

Четириъгълник и кръг

Четириъгълник, описан около окръжност (окръжност, вписана в четириъгълник).

Основното свойство на описания четириъгълник:

Четириъгълник може да бъде описан около окръжност тогава и само ако сумите от дължините на срещуположните страни са равни.

Четириъгълник, вписан в окръжност (окръжност, описана около четириъгълник)

Основното свойство на вписан четириъгълник:

Четириъгълник може да бъде вписан в окръжност тогава и само ако сборът от противоположните му ъгли е равен на 180 градуса.

Свойства на дължините на страните на четириъгълник

Модул на разликата между произволни две страни на четириъгълникне надвишава сумата от другите му две страни.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

важно. Неравенството е вярно за всяка комбинация от страни на четириъгълник. Чертежът е предоставен единствено за по-лесно възприемане.

Във всеки четириъгълник сборът от дължините на трите му страни е не по-малък от дължината на четвъртата страна.

важно. Когато решавате проблеми в рамките на училищната програма, можете да използвате строго неравенство (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Тема на урока

• Дефиниция на четириъгълник.

Цели на урока

• Образователни – повторение, обобщение и проверка на знанията по темата: „Четириъгълник”; развитие на основни умения.
• Развитие - развива вниманието, постоянството, постоянството, логическото мислене, математическата реч на учениците.
• Образователни - чрез урока култивирайте внимателно отношение един към друг, внушавайте способността да слушате другарите, взаимопомощта и независимостта.

Цели на урока

• Развийте умения за конструиране на четириъгълник с помощта на мащабна линийка и чертожен триъгълник.
• Проверете уменията на учениците за решаване на проблеми.

План на урока

1. Историческа справка. Неевклидова геометрия.
2. Четириъгълник.
3. Видове четириъгълници.

Неевклидова геометрия

Неевклидова геометрия, геометрия, подобна на геометрията Евклидв това, че определя движението на фигурите, но се различава от евклидовата геометрия по това, че един от петте й постулата (вторият или петият) е заменен с нейното отрицание. Отрицанието на един от постулатите на Евклид (1825 г.) е значимо събитие в историята на мисълта, защото служи като първата стъпка към теория на относителността.

Вторият постулат на Евклид гласи това всеки сегмент от права линия може да бъде удължен за неопределено време. Евклид очевидно е вярвал, че този постулат също съдържа твърдението, че правата линия има безкрайна дължина. въпреки това в „елиптичната“ геометрия всяка права линия е крайна и подобно на кръга е затворена.

Петият постулат гласи, че ако една права пресича две дадени прави по такъв начин, че двата вътрешни ъгъла от едната й страна дават по-малко от два прави ъгъла, тогава тези две прави, ако се удължат за неопределено време, ще се пресичат от страната, където сборът от тези ъгли е по-малък от сбора на две прави линии. Но в „хиперболичната“ геометрия може да има права CB (виж фигурата), перпендикулярна в точка C на дадена права r и пресичаща друга права s под остър ъгъл в точка B, но въпреки това безкрайните прави r и s ще никога не се пресичат.

От тези ревизирани постулати следва, че сумата от ъглите на триъгълник, равна на 180° в евклидовата геометрия, е по-голяма от 180° в елиптичната геометрия и по-малка от 180° в хиперболичната геометрия.

Четириъгълник