В резултат на това има възможност... Дефиниция на вероятността

И така, нека поговорим за тема, която интересува много хора. В тази статия ще отговоря на въпроса как да изчисля вероятността от събитие. Ще дам формули за такова изчисление и няколко примера, за да стане по-ясно как се прави това.

Какво е вероятност

Нека започнем с факта, че вероятността това или онова събитие да се случи е определена степен на увереност в евентуалното настъпване на някакъв резултат. За това изчисление е разработена формула за обща вероятност, която ви позволява да определите дали събитието, което ви интересува, ще се случи или не, чрез така наречените условни вероятности. Тази формула изглежда така: P = n/m, буквите могат да се променят, но това не засяга самата същност.

Примери за вероятност

Използвайки прост пример, нека анализираме тази формула и да я приложим. Да кажем, че имате определено събитие (P), нека това е хвърляне на зар, тоест равностранен зар. И трябва да изчислим каква е вероятността да получим 2 точки за него. За да направите това, имате нужда от броя на положителните събития (n), в нашия случай - загубата на 2 точки, на общ бройсъбития (m). Хвърляне на 2 точки може да се случи само в един случай, ако има 2 точки на зара, тъй като в противен случай сумата ще бъде по-голяма, следва, че n = 1. След това броим броя на хвърлянията на всички други числа на зар, на 1 зар - това са 1, 2, 3, 4, 5 и 6, следователно има 6 благоприятни случая, тоест m = 6. Сега, използвайки формулата, правим просто изчисление P = 1/ 6 и откриваме, че хвърлянето на 2 точки на зара е 1/6, тоест вероятността за събитието е много ниска.

Нека също да разгледаме пример с използване на цветни топки, които са в кутия: 50 бели, 40 черни и 30 зелени. Трябва да определите каква е вероятността да изтеглите зелена топка. И така, тъй като има 30 топки от този цвят, тоест може да има само 30 положителни събития (n = 30), броят на всички събития е 120, m = 120 (въз основа на общия брой на всички топки), използвайки формулата, изчисляваме, че вероятността да изтеглите зелена топка ще бъде равна на P = 30/120 = 0,25, тоест 25% от 100. По същия начин можете да изчислите вероятността да изтеглите топка от различен цвят (черно ще бъде 33%, бяло 42%).

Теорията на вероятностите е клон на математиката, който изучава моделите на случайни явления: случайни събития, случайни променливи, техните свойства и операции върху тях.

За дълго времетеорията на вероятностите няма ясна дефиниция. Той е формулиран едва през 1929 г. Възникването на теорията на вероятностите като наука датира от Средновековието и първите опити за математически анализ на хазарта (флейк, зарове, рулетка). Френските математици от 17-ти век Блез Паскал и Пиер Ферма, докато изучават прогнозирането на печалбите в хазарта, откриват първите вероятностни модели, които възникват при хвърляне на зарове.

Теорията на вероятностите възниква като наука от убеждението, че масовите случайни събития се основават на определени модели. Теорията на вероятностите изучава тези модели.

Теорията на вероятностите се занимава с изучаването на събития, чието възникване не е известно със сигурност. Тя ви позволява да прецените степента на вероятност за настъпване на някои събития в сравнение с други.

Например: невъзможно е да се определи недвусмислено резултатът от „глави“ или „опашки“ в резултат на хвърляне на монета, но при многократно хвърляне се появяват приблизително еднакъв брой „глави“ и „опашки“, което означава, че вероятността „глави“ или „опашки“ да паднат ", е равна на 50%.

Теств този случай се нарича изпълнението на определен набор от условия, т.е в този случайхвърляне на монета. Предизвикателството може да се играе неограничен брой пъти. В този случай наборът от условия включва случайни фактори.

Резултатът от теста е събитие. Събитието се случва:

1. Надеждно (винаги възниква в резултат на тестване).
2. Невъзможно (никога не се случва).
3. Случаен (може или не може да възникне в резултат на теста).

Например при хвърляне на монета невъзможно събитие- монетата ще бъде на ръба си, случайно събитие - появата на „глави“ или „опашки“. Конкретният резултат от теста се извиква елементарно събитие. В резултат на теста възникват само елементарни събития. Извиква се множеството от всички възможни, различни, специфични резултати от теста пространство на елементарни събития.

Основни понятия на теорията

Вероятност- степента на вероятност за настъпване на събитие. Когато причините за реално възникване на някакво възможно събитие надвишават противоположните причини, тогава това събитие се нарича вероятно, в противен случай - малко вероятно или невероятно.

Случайна променлива- това е величина, която в резултат на тестване може да приеме една или друга стойност, като не е известно предварително каква. Например: брой на пожарна на ден, брой попадения с 10 изстрела и т.н.

Случайните променливи могат да бъдат разделени на две категории.

1. Дискретна случайна променливае количество, което в резултат на тестване може да приеме определени стойности с определена вероятност, образувайки изброимо множество (набор, чиито елементи могат да бъдат номерирани). Това множество може да бъде крайно или безкрайно. Например броят на изстрелите преди първото попадение в целта е дискретна случайна променлива, т.к. това количество може да приеме безкраен, макар и изброим брой стойности.
2. Непрекъсната случайна променливае количество, което може да приеме произволна стойност от някакъв краен или безкраен интервал. Очевидно броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкраен.

Вероятностно пространство- концепция, въведена от A.N. Колмогоров през 30-те години на 20-ти век, за да формализира понятието вероятност, което доведе до бързото развитие на теорията на вероятностите като строга математическа дисциплина.

Вероятностното пространство е тройка (понякога оградена в ъглови скоби: , където

Това е произволно множество, чиито елементи се наричат ​​елементарни събития, резултати или точки;
- сигма алгебра на подмножества, наречени (случайни) събития;
- вероятностна мярка или вероятност, т.е. сигма-добавена крайна мярка, така че .

Теорема на Моавр-Лаплас- една от граничните теореми на теорията на вероятностите, създадена от Лаплас през 1812 г. Той гласи, че броят на успехите при повтаряне на един и същ случаен експеримент отново и отново с два възможни резултата е приблизително нормално разпределен. Позволява ви да намерите приблизителна стойност на вероятността.

Ако за всеки от независимите опити вероятността за възникване на някакво случайно събитие е равна на () и е броят на опитите, в които то действително се случва, тогава вероятността неравенството да е вярно е близка (за големи стойности) до стойност на интеграла на Лаплас.

Функция на разпределение в теорията на вероятностите- функция, характеризираща разпределението на случайна променлива или случаен вектор; вероятността случайна променлива X да приеме стойност, по-малка или равна на x, където x е произволно реално число. Ако са изпълнени известни условия, той напълно определя случайната променлива.

Очакване- средната стойност на случайна променлива (това е вероятностното разпределение на случайна променлива, разглеждано в теорията на вероятностите). В англоезичната литература се обозначава с , в руската - . В статистиката нотацията често се използва.

Нека е дадено вероятностно пространство и върху него дефинирана случайна променлива. Това е, по дефиниция, измерима функция. Тогава, ако има интеграл на Лебег от над пространството, тогава той се нарича математическо очакване или средна стойност и се обозначава .

Дисперсия на случайна променлива- мярка за разпространението на дадена случайна величина, т.е. нейното отклонение от математическото очакване. Обозначава се в руската и чуждестранната литература. В статистиката често се използва обозначението или. Корен квадратенот дисперсията се нарича стандартно отклонение, стандартно отклонениеили стандартен спред.

Нека е случайна променлива, дефинирана в някакво вероятностно пространство. Тогава

където символът означава математическото очакване.

В теорията на вероятностите се наричат ​​две случайни събития независима, ако появата на едно от тях не променя вероятността за възникване на другото. По същия начин се извикват две случайни променливи зависим, ако стойността на една от тях влияе върху вероятността от стойностите на другата.

Най-простата форма на закон големи числа- Това е теоремата на Бернули, която гласи, че ако вероятността за дадено събитие е една и съща във всички опити, тогава с увеличаването на броя на опитите честотата на събитието клони към вероятността на събитието и престава да бъде случайна.

Законът за големите числа в теорията на вероятностите гласи, че средната аритметична стойност на крайна извадка от фиксирано разпределение е близка до средната теоретична математическо очакванетова разпределение. В зависимост от вида на конвергенцията се прави разлика между слабия закон на големите числа, когато конвергенцията възниква по вероятност, и силния закон на големите числа, когато конвергенцията е почти сигурна.

Общото значение на закона за големите числа е съвместно действие голям бройидентични и независими случайни фактори води до резултат, който в крайна сметка не зависи от случайността.

На това свойство се основават методи за оценка на вероятността, базирани на анализ на ограничена извадка. Ярък пример е прогнозата за изборните резултати въз основа на проучване на извадка от избиратели.

Централни гранични теореми- клас теореми в теорията на вероятностите, заявяващи, че сумата от достатъчно голям брой слабо зависими случайни променливи, които имат приблизително еднакви мащаби (нито един от термините не доминира или не прави определящ принос към сумата) има разпределение, близко до нормалното.

Тъй като много случайни променливи в приложенията се формират под въздействието на няколко слабо зависими случайни фактора, тяхното разпределение се счита за нормално. В този случай трябва да е изпълнено условието нито един от факторите да не е доминиращ. Централните гранични теореми в тези случаи оправдават използването на нормалното разпределение.

Задачи за класическото определяне на вероятността.
Примери за решения

В третия урок ще разгледаме различни проблеми, свързани с директното приложение на класическата дефиниция на вероятността. За ефективно обучениематериали в тази статия, препоръчвам ви да се запознаете с основните понятия теория на вероятноститеИ основи на комбинаториката. Задачата за класическо определяне на вероятността с вероятност, клоняща към единица, ще присъства във вашата самостоятелна/контролна работа върху terver, така че нека се подготвим за сериозна работа. Може да попитате какво толкова сериозно има в това? ...само една примитивна формула. Предупреждавам ви срещу лекомислие - тематични задачиса доста разнообразни и много от тях лесно могат да ви объркат. В тази връзка, в допълнение към работата по основния урок, опитайте се да изучите допълнителни задачи по темата, които са в касичката готови решения за висша математика. Техниките за решаване са си техники за решаване, но „приятелите“ все пак „трябва да се познават от поглед“, защото дори богатото въображение е ограничено и има достатъчно стандартни задачи. Е, ще опитам добро качествосортирайте възможно най-много от тях.

Нека си спомним класиката на жанра:

Вероятността за възникване на събитие в определен тест е равна на съотношението , където:

– общ брой на всички еднакво възможно, елементаренрезултатите от този тест, които формират пълна група от събития;

- количество елементаренрезултати, благоприятни за събитието.

И веднага незабавно спиране в бокса. Разбирате ли подчертаните термини? Това означава ясно, а не интуитивно разбиране. Ако не, тогава все още е по-добре да се върнете към 1-ва статия теория на вероятноститеи едва след това продължете напред.

Моля, не пропускайте първите примери - в тях ще повторя един фундаментално важен момент, а също така ще ви каже как правилно да съставите решение и по какви начини може да се направи това:

Проблем 1

Една урна съдържа 15 бели, 5 червени и 10 черни топки. На случаен принцип е изтеглена 1 топка, намерете вероятността тя да бъде: а) бяла, б) червена, в) черна.

Решение: Най-важната предпоставка за използване на класическата дефиниция на вероятността е способност за преброяване на общия брой резултати.

В урната има общо 15 + 5 + 10 = 30 топки и очевидно следните факти са верни:

– извличането на всяка топка е еднакво възможно (равни възможностирезултати), докато резултатите елементарен и форма пълна група от събития (т.е. в резултат на теста една от 30-те топки определено ще бъде премахната).

Така общият брой резултати:

Помислете за събитието: – бяла топка ще бъде изтеглена от урната. Това събитие е предпочитано елементаренрезултати, следователно, според класическата дефиниция:
– вероятността бяла топка да бъде изтеглена от урната.

Колкото и да е странно, дори в толкова проста задача може да се допусне сериозна неточност, на която вече обърнах внимание в първата статия за теория на вероятностите. Къде е клопката тук? Тук е некоректно да се твърди, че „тъй като половината топки са бели, тогава вероятността да изтеглите бяла топка» . Класическата дефиниция на вероятността се отнася до ЕЛЕМЕНТАРНОрезултати, а частта трябва да бъде записана!

С други точки, по подобен начин, разгледайте следните събития:

– от урната ще бъде изтеглена червена топка;
– от урната ще бъде изтеглена черна топка.

Едно събитие се предпочита от 5 елементарни резултата, а едно събитие се предпочита от 10 елементарни резултата. Така че съответните вероятности са:

Типична проверка на много сървърни задачи се извършва с помощта на теореми за сумата от вероятностите за събития, образуващи пълна група. В нашия случай събитията образуват пълна група, което означава, че сумата от съответните вероятности задължително трябва да бъде равна на единица: .

Нека да проверим дали това е вярно: това е, което исках да се уверя.

отговор:

По принцип отговорът може да се запише по-подробно, но лично аз съм свикнал да поставям само цифри там - поради причината, че когато започнете да „избивате“ проблеми със стотици и хиляди, се опитвате да намалите писането на решението, доколкото е възможно. Между другото, относно краткостта: на практика опцията за „високоскоростен“ дизайн е често срещана решения:

Общо: 15 + 5 + 10 = 30 топки в урната. Според класическото определение:
– вероятността бяла топка да бъде изтеглена от урната;
– вероятността червена топка да бъде изтеглена от урната;
– вероятността черна топка да бъде изтеглена от урната.

отговор:

Ако обаче има няколко точки в условието, тогава често е по-удобно решението да се формулира по първия начин, което отнема малко повече време, но в същото време „подрежда всичко на рафтовете“ и го улеснява за навигация в проблема.

Да загреем:

Проблем 2

Магазинът получи 30 хладилника, пет от които са с производствен дефект. На случаен принцип се избира един хладилник. Каква е вероятността да е без дефект?

Изберете подходящата опция за дизайн и проверете примера в долната част на страницата.

В най-простите примери броят на обичайните и броят на благоприятните резултати лежат на повърхността, но в повечето случаи трябва сами да изкопаете картофите. Канонична поредица от проблеми за забравил абонат:

Проблем 3

При набиране на телефонен номер абонатът е забравил последните две цифри, но помни, че едната от тях е нула, а другата е нечетна. Намерете вероятността той да набере правилния номер.

Забележка : нулата е четно число (делимо на 2 без остатък)

Решение: Първо намираме общия брой резултати. По условие абонатът помни, че една от цифрите е нула, а другата е нечетна. Тук е по-рационално да не се затруднявате с комбинаториката и използването метод на директно изброяване на резултатите . Тоест, когато правим решение, ние просто записваме всички комбинации:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

И ние ги броим - общо: 10 резултата.

Има само един благоприятен резултат: правилното число.

Според класическото определение:
– вероятността абонатът да набере правилния номер

отговор: 0,1

Десетичните дроби изглеждат доста подходящи в теорията на вероятностите, но можете също да се придържате към традиционния стил на Вишматов, работейки само с обикновени дроби.

Разширена задача за самостоятелно решение:

Проблем 4

Абонатът е забравил ПИН кода на SIM картата си, но помни, че тя съдържа три „петици“, като едно от числата е или „седем“, или „осмица“. Каква е вероятността за успешна авторизация при първия опит?

Тук все още можете да развиете идеята за вероятността абонатът да бъде изправен пред наказание под формата на puk код, но, за съжаление, мотивите вече ще надхвърлят този урок

Решението и отговорът са по-долу.

Понякога изброяването на комбинации се оказва много старателна задача. По-специално, това е случаят в следното, не по-малко популярна групазадачи, при които се хвърлят 2 зара (по-рядко - повече) :

Проблем 5

Намерете вероятността при хвърляне на два зара общият брой да бъде:

а) пет точки;
б) не повече от четири точки;
в) от 3 до 9 точки включително.

Решение: намерете общия брой резултати:

Начини, по които страната на първия зар може да изпадне Ипо различни начини страната на 2-ро кубче може да изпадне; от правило за умножаване на комбинации, общо: възможни комбинации. С други думи, всекилицето на 1-ви куб може да бъде поръчандвойка с всекиръба на 2-ри куб. Нека се съгласим да запишем такава двойка във формата , където е числото, хвърлено на 1-вия зар, е числото, хвърлено на 2-рия зар. Например:

– първият зар отбеляза 3 точки, вторият зар отбеляза 5 точки, общо точки: 3 + 5 = 8;
– първият зар отбеляза 6 точки, вторият зар отбеляза 1 точка, общо точки: 6 + 1 = 7;
– 2 хвърлени точки на двата зара, сума: 2 + 2 = 4.

Очевидно най-малката сума се дава от двойка, а най-голямата от две „шестици“.

а) Разгледайте събитието: – при хвърляне на два зара ще се появят 5 точки. Нека запишем и преброим броя на резултатите, които благоприятстват това събитие:

Общо: 4 благоприятни изхода. Според класическото определение:
– желаната вероятност.

b) Обмислете събитието: – няма да бъдат хвърлени повече от 4 точки. Тоест или 2, или 3, или 4 точки. Отново изброяваме и броим благоприятните комбинации, вляво ще напиша общия брой точки, а след двоеточието - подходящите двойки:

Общо: 6 благоприятни комбинации. Така:
– вероятността да бъдат хвърлени не повече от 4 точки.

в) Обмислете събитието: – Ще се хвърлят от 3 до 9 точки включително. Тук можете да поемете по правия път, но... по някаква причина не искате. Да, някои двойки вече са изброени в предишните параграфи, но има още много работа за вършене.

Какъв е най-добрият начин да продължите? В такива случаи обиколният път се оказва рационален. Нека помислим противоположно събитие: – Ще бъдат хвърлени 2 или 10 или 11 или 12 точки.

какъв е смисълът Обратното събитие се предпочита от значително по-малък брой двойки:

Общо: 7 благоприятни изхода.

Според класическото определение:
– вероятността да хвърлите по-малко от три или повече от 9 точки.

В допълнение към директното изброяване и преброяване на резултатите, различни комбинаторни формули. И отново епичен проблем с асансьора:

Проблем 7

3-ма души са влезли в асансьора на 20-етажна сграда на първия етаж. И да тръгваме. Намерете вероятността, че:

а) ще излязат на различни етажи
б) двама ще излязат на един етаж;
в) всички ще слязат на един етаж.

Нашите вълнуваща дейностдойде своя край и накрая, още веднъж силно препоръчвам, ако не да бъде решен, то поне да разберете допълнителни проблеми за класическото определяне на вероятността. Както вече отбелязах, „подплатата на ръцете“ също има значение!

По-нататък по курса - Геометрично определение на вероятносттаИ Теореми за събиране и умножение на вероятностии... късмет в най-важното!

Решения и отговори:

Задача 2: Решение: 30 – 5 = 25 хладилника нямат дефект.

– вероятността произволно избран хладилник да няма дефект.
отговор :

Задача 4: Решение: намерете общия брой резултати:
начини, по които можете да изберете мястото, където се намира съмнителният номер и на всекиОт тези 4 места могат да бъдат локализирани 2 цифри (седем или осем). Съгласно правилото за умножение на комбинации, общият брой резултати: .
Като алтернатива, решението може просто да изброи всички резултати (за щастие има малко от тях):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Има само един благоприятен изход (правилен пин код).
Така според класическата дефиниция:
– вероятността абонатът да влезе при първия опит
отговор :

Задача 6: Решение: намерете общия брой резултати:
числата на 2 зара могат да се появят по различни начини.

а) Разгледайте събитието: – при хвърляне на два зара произведението от точките ще бъде равно на седем. Няма благоприятни изходи за дадено събитие, според класическата дефиниция на вероятността:
, т.е. това събитие е невъзможно.

b) Разгледайте събитието: – при хвърляне на два зара произведението от точките ще бъде най-малко 20. Следните резултати са благоприятни за това събитие:

Общо: 8
Според класическото определение:
– желаната вероятност.

в) Разгледайте противоположните събития:
– произведението на точките ще бъде четно;
– произведението на точките ще бъде нечетно.
Нека изброим всички резултати, благоприятни за събитието:

Общо: 9 благоприятни изхода.
Според класическата дефиниция на вероятността:
Противоположните събития образуват пълна група, следователно:
– желаната вероятност.

отговор :

Проблем 8: Решение: нека изчислим общия брой резултати: 10 монети могат да паднат по различни начини.
Друг начин: начините, по които първата монета може да падне Иначини, по които 2-рата монета може да падне И … Иначини, по които може да падне 10-та монета. Според правилото за умножаване на комбинации могат да паднат 10 монети начини.
a) Помислете за събитието: – главите ще се появят на всички монети. Това събитие е облагодетелствано от един резултат, според класическата дефиниция на вероятността: .
б) Помислете за събитието: – 9 монети ще паднат с глави, а една монета ще падне с опашки.
Има монети, които могат да паднат върху глави. Според класическата дефиниция на вероятността: .
в) Помислете за събитието: – главите ще се появят на половината от монетите.
Съществува уникални комбинации от пет монети, които могат да приземят глави. Според класическата дефиниция на вероятността:
отговор :

Малко вероятно е много хора да се замислят дали е възможно да се изчислят събития, които са повече или по-малко случайни. Казано просто с прости думи, наистина ли е възможно да се знае коя страна на куба ще се появи следващия път? Именно този въпрос си зададоха двама велики учени, които поставиха основите на такава наука като теорията на вероятностите, в която вероятността от събитие се изучава доста широко.

Произход

Ако се опитате да дефинирате такова понятие като теория на вероятностите, ще получите следното: това е един от клоновете на математиката, който изучава постоянството на случайни събития. разбира се тази концепциявсъщност не разкрива цялата същност, затова е необходимо да се разгледа по-подробно.

Бих искал да започна със създателите на теорията. Както бе споменато по-горе, имаше двама от тях и те бяха едни от първите, които се опитаха да изчислят резултата от това или онова събитие, използвайки формули и математически изчисления. Като цяло началото на тази наука се появява през Средновековието. По това време различни мислители и учени се опитваха да анализират хазарт, като рулетка, зарове и т.н., като по този начин се установява моделът и процентът на изпадане на определено число. Основата е положена през седемнадесети век от гореспоменатите учени.

Отначало техните трудове не можеха да се считат за големи постижения в тази област, защото всичко, което правеха, бяха просто емпирични факти, а експериментите се извършваха визуално, без да се използват формули. С течение на времето беше възможно да се постигнат страхотни резултати, които се появиха в резултат на наблюдение на хвърлянето на зарове. Именно този инструмент помогна за извеждането на първите разбираеми формули.

Съмишленици

Невъзможно е да не споменем такъв човек като Кристиан Хюйгенс в процеса на изучаване на тема, наречена „теория на вероятностите“ (вероятността за събитие се разглежда точно в тази наука). Този човек е много интересен. Той, подобно на учените, представени по-горе, се опита да изведе модела на случайни събития под формата на математически формули. Трябва да се отбележи, че той не е направил това заедно с Паскал и Ферма, тоест всички негови творби не са се пресичали с тези умове. Хюйгенс заключи

Интересен факт е, че работата му се появи много преди резултатите от работата на откривателите, или по-скоро двадесет години по-рано. Сред идентифицираните концепции най-известните са:

• концепцията за вероятността като стойност на шанса;
• математическо очакване за дискретни случаи;
• теореми за умножение и събиране на вероятности.

Също така е невъзможно да не си спомним кой също има значителен принос в изследването на проблема. Провеждайки собствени тестове, независимо от никого, той успя да представи доказателство за закона за големите числа. На свой ред учените Поасон и Лаплас, работили в началото на деветнадесети век, успяха да докажат оригиналните теореми. От този момент теорията на вероятностите започва да се използва за анализ на грешки в наблюденията. Руските учени, или по-скоро Марков, Чебишев и Дяпунов, не можеха да пренебрегнат тази наука. Въз основа на работата, извършена от велики гении, те установиха този предмет като клон на математиката. Тези фигури са работили още в края на деветнадесети век и благодарение на техния принос са доказани следните явления:

• закон на големите числа;
• теория на веригата на Марков;
• централна гранична теорема.

И така, с историята на раждането на науката и с основните хора, които са я повлияли, всичко е повече или по-малко ясно. Сега е време да се изяснят всички факти.

Основни понятия

Преди да се докоснете до законите и теоремите, си струва да изучите основните понятия на теорията на вероятностите. Водеща роля в него има събитието. Тази тема е доста обемна, но без нея няма да може да се разбере всичко останало.

Събитие в теорията на вероятностите е всеки набор от резултати от експеримент. Има доста концепции за това явление. Така ученият Лотман, работещ в тази област, каза, че в този случай ние говорим заза това какво „се е случило, въпреки че може и да не се е случило“.

Случайни събития (теорията на вероятностите се фокусира върху тях специално внимание) е понятие, което предполага абсолютно всяко явление, което има възможност да се случи. Или, обратното, този сценарий може да не се случи, ако са изпълнени много условия. Също така си струва да знаете, че случайните събития обхващат целия обем от явления, които са се случили. Теорията на вероятностите показва, че всички условия могат да се повтарят постоянно. Именно тяхното поведение се нарича „опит“ или „тест“.

Надеждно събитие е явление, което е сто процента вероятно да се случи при даден тест. Съответно невъзможно събитие е това, което няма да се случи.

Комбинацията от двойка действия (условно случай А и случай Б) е явление, което се случва едновременно. Те са обозначени като АВ.

Сумата от двойки събития A и B е C, с други думи, ако се случи поне едно от тях (A или B), тогава C се получава, както следва: C = A + Б.

Несъответстващите събития в теорията на вероятностите предполагат, че два случая са взаимно изключващи се. При никакви обстоятелства те не могат да се случат едновременно. Съвместните събития в теорията на вероятностите са техен антипод. Това, което се има предвид тук е, че ако А се е случило, това не предотвратява B по никакъв начин.

Противоположните събития (теорията на вероятностите ги разглежда много подробно) са лесни за разбиране. Най-добрият начин да ги разберете е чрез сравнение. Те са почти същите като несъвместими събитияв теорията на вероятностите. Но тяхната разлика се състои в това, че едно от многото явления трябва да се случи във всеки случай.

Еднакво вероятни събития са онези действия, чиято повторяемост е еднаква. За да стане по-ясно, можете да си представите, че хвърляте монета: загубата на едната й страна е еднакво вероятно да падне от другата.

По-лесно е да разгледате благоприятно събитие с пример. Да кажем, че има епизод B и епизод A. Първият е хвърлянето на зара с нечетно число, а вторият е появата на числото пет на зара. Тогава се оказва, че А предпочита Б.

Независимите събития в теорията на вероятностите се проектират само върху два или повече случая и предполагат независимост на всяко действие от друго. Например, A е загубата на глави при хвърляне на монета, а B е тегленето на вале от тестето. Те са независими събития в теорията на вероятностите. В този момент стана по-ясно.

Зависимите събития в теорията на вероятностите също са допустими само за набор от тях. Те предполагат зависимостта на едното от другото, тоест явление Б може да възникне само ако А вече се е случило или, обратно, не се е случило, когато това е основното условие за Б.

Резултатът от случаен експеримент, състоящ се от един компонент, са елементарни събития. Теорията на вероятностите обяснява, че това е явление, което се е случило само веднъж.

Основни формули

И така, понятията „събитие“ и „теория на вероятностите“ бяха обсъдени по-горе; дефиницията на основните термини на тази наука също беше дадена. Сега е време да се запознаете директно с важните формули. Тези изрази математически потвърждават всички основни концепции в толкова сложен предмет като теорията на вероятностите. Вероятността за събитие играе огромна роля и тук.

По-добре е да започнете с основните и преди да започнете с тях, струва си да помислите какви са те.

Комбинаториката е предимно клон на математиката; тя се занимава с изучаването огромно количествоцели числа, както и различни пермутации както на самите числа, така и на техните елементи, различни данни и др., водещи до появата на множество комбинации. В допълнение към теорията на вероятностите, този клон е важен за статистиката, компютърните науки и криптографията.

И така, сега можем да преминем към представяне на самите формули и тяхната дефиниция.

Първият от тях ще бъде изразът за броя на пермутациите, изглежда така:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Уравнението се прилага само ако елементите се различават само по реда на тяхното подреждане.

Сега ще бъде разгледана формулата за поставяне, изглежда така:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Този израз е приложим не само за реда на разполагане на елемента, но и за неговия състав.

Третото уравнение от комбинаториката, а то е и последно, се нарича формула за броя на комбинациите:

C_n^m = n! : ((n - m))! :м!

Комбинацията се отнася за селекции, които не са подредени по съответния начин, това правило се прилага за тях.

Беше лесно да разберете формулите на комбинаториката; сега можете да преминете към класическата дефиниция на вероятностите. Този израз изглежда така:

В тази формула m е броят на благоприятните условия за събитие А, а n е броят на абсолютно всички еднакво възможни и елементарни резултати.

Съществува голям бройизрази, статията няма да ги разглежда всички, но най-важните от тях ще бъдат засегнати, като например вероятността за сумата от събития:

P(A + B) = P(A) + P(B) - тази теорема е за добавяне само на несъвместими събития;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - и това е за добавяне само на съвместими.

Вероятност за настъпване на събития:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - тази теорема е за независими събития;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - и това е за зависими.

Списъкът на събитията ще бъде допълнен от формулата на събитията. Теорията на вероятностите ни разказва за теоремата на Бейс, която изглежда така:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., п

В тази формула H 1, H 2, …, H n са пълна групахипотези.

Примери

Ако внимателно изучавате който и да е раздел от математиката, той не е пълен без упражнения и примерни решения. Така е и с теорията на вероятностите: събитията и примерите тук са неразделна част, която потвърждава научните изчисления.

Формула за броя на пермутациите

Да кажем, че има тридесет карти в тесте карти, като се започне със стойност едно. Следващ въпрос. Колко начина има за подреждане на тестето, така че картите със стойност едно и две да не са една до друга?

Задачата е поставена, сега нека да преминем към нейното решаване. Първо трябва да определите броя на пермутациите на тридесет елемента, за това вземаме формулата, представена по-горе, оказва се, че P_30 = 30!.

Въз основа на това правило откриваме колко опции има за сгъване на тестето по различни начини, но трябва да извадим от тях тези, в които първата и втората карта са една до друга. За да направите това, нека започнем с опцията, когато първият е над втория. Оказва се, че първата карта може да заеме двадесет и девет места – от първо до двадесет и девето, а втората карта от второ до тридесето, което прави общо двадесет и девет места за чифт карти. На свой ред останалите могат да приемат двадесет и осем места и в произволен ред. Тоест, за да пренаредите двадесет и осем карти, има двадесет и осем опции P_28 = 28!

В резултат на това се оказва, че ако разгледаме решението, когато първата карта е над втората, ще има 29 ⋅ 28 допълнителни възможности! = 29!

Използвайки същия метод, трябва да изчислите броя на излишните опции за случая, когато първата карта е под втората. Оказва се също 29 ⋅ 28! = 29!

От това следва, че има 2 ⋅ 29 допълнителни опции!, докато необходимите начини за сглобяване на тесте са 30! - 2 ⋅ 29!. Остава само да броим.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Сега трябва да умножите всички числа от едно до двадесет и девет и след това накрая да умножите всичко по 28. Отговорът е 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Примерно решение. Формула за номер на разположение

В тази задача трябва да разберете колко начина има да поставите петнадесет тома на един рафт, но при условие, че има общо тридесет тома.

Решението на този проблем е малко по-просто от предишния. Използвайки вече известната формула, е необходимо да се изчисли общият брой аранжименти на тридесет тома от петнадесет.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Отговорът съответно ще бъде равен на 202 843 204 931 727 360 000.

Сега нека вземем малко по-трудна задача. Трябва да разберете колко начина има да подредите тридесет книги върху две рафтове за книги, при условие че на един рафт могат да се поставят само петнадесет тома.

Преди да започна решението, бих искал да поясня, че някои проблеми могат да бъдат решени по няколко начина, а този има два метода, но и двата използват една и съща формула.

В тази задача можете да вземете отговора от предишната, защото там изчислихме колко пъти можете да запълните рафт с петнадесет книги по различни начини. Оказа се, че A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Ще изчислим втория рафт, като използваме формулата за пермутация, защото в него могат да бъдат поставени петнадесет книги, а остават само петнадесет. Използваме формулата P_15 = 15!.

Оказва се, че общата сума ще бъде A_30^15 ⋅ P_15 начина, но в допълнение към това произведението на всички числа от тридесет до шестнадесет ще трябва да се умножи по произведението на числата от едно до петнадесет, в крайна сметка вие ще получи произведението на всички числа от едно до тридесет, тоест отговорът е равен на 30!

Но този проблем може да се реши по друг начин – по-лесно. За да направите това, можете да си представите, че има един рафт за тридесет книги. Всички те са поставени на тази равнина, но тъй като условието изисква да има два рафта, разрязахме един дълъг наполовина, така че получаваме два по петнадесет. От това излиза, че може да има P_30 = 30 варианта за подреждане!.

Примерно решение. Формула за номер на комбинация

Сега ще разгледаме вариант на третата задача от комбинаториката. Необходимо е да разберете колко начина има за подреждане на петнадесет книги, при условие че трябва да изберете от тридесет абсолютно еднакви.

За решаване, разбира се, ще се приложи формулата за броя на комбинациите. От условието става ясно, че редът на еднаквите петнадесет книги не е важен. Следователно, първоначално трябва да разберете общия брой комбинации от тридесет книги от петнадесет.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

Това е. Използвайки тази формула, в най-кратко времеуспя да реши този проблем, отговорът съответно е 155 117 520.

Примерно решение. Класическа дефиниция на вероятността

Използвайки формулата по-горе, можете да намерите отговора на прост проблем. Но това ще помогне ясно да видите и проследите напредъка на действията.

Задачата гласи, че в урната има десет абсолютно еднакви топки. От тях четири са жълти и шест са сини. От урната се взема една топка. Трябва да разберете вероятността да станете синьо.

За да се реши задачата, е необходимо да се определи получаването на синята топка като събитие А. Този експеримент може да има десет резултата, които от своя страна са елементарни и еднакво възможни. В същото време от десет шест са благоприятни за събитие А. Решаваме по формулата:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Прилагайки тази формула, научихме, че вероятността да получим синята топка е 0,6.

Примерно решение. Вероятност на сбора от събития

Сега ще бъде представена опция, която се решава с помощта на вероятностната формула за сумата от събития. И така, дадено е условието, че има две кутии, първата съдържа една сива и пет бели топки, а втората съдържа осем сиви и четири бели топки. В резултат те взеха един от тях от първата и втората кутия. Трябва да разберете какъв е шансът топките, които получавате, да са сиви и бели.

За да се реши този проблем, е необходимо да се идентифицират събитията.

• И така, A - взе сива топка от първата кутия: P(A) = 1/6.
• A’ - взе бяла топка също от първото поле: P(A") = 5/6.
• B - сива топка е извадена от втората кутия: P(B) = 2/3.
• B’ - взе сива топка от второто поле: P(B") = 1/3.

Според условията на задачата е необходимо да се случи едно от явленията: AB’ или A’B. Използвайки формулата, получаваме: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Сега е използвана формулата за умножаване на вероятността. След това, за да разберете отговора, трябва да приложите уравнението на тяхното добавяне:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Ето как можете да решите подобни задачи, като използвате формулата.

Долен ред

Статията представя информация по темата "Теория на вероятностите", в която се играе вероятността от събитие жизненоважна роля. Разбира се, не всичко беше взето под внимание, но въз основа на представения текст можете теоретично да се запознаете с този раздел от математиката. Въпросната наука може да бъде полезна не само в професионалната работа, но и в ежедневието. С негова помощ можете да изчислите всяка възможност за всяко събитие.

Текстът също засегна значими датив историята на формирането на теорията на вероятностите като наука и имената на хората, чийто труд е вложен в нея. Ето как човешкото любопитство доведе до факта, че хората се научиха да изчисляват дори случайни събития. Някога те просто се интересуваха от това, но днес вече всички знаят за това. И никой няма да каже какво ни очаква в бъдеще, какви други блестящи открития, свързани с разглежданата теория, ще бъдат направени. Но едно е сигурно - научните изследвания не стоят!

Професионалният залагащ трябва да разбира добре коефициентите, бързо и правилно оценка на вероятността от събитие чрез коефициенти ако е необходимо, да можете преобразувайте коефициенти от един формат в друг. В това ръководство ще говорим какви типове коефициенти има и ще използваме примери, за да покажем как можете изчислете вероятността, като използвате известен коефициенти обратно.

Какви видове коефициенти има?

Има три основни вида коефициенти, които букмейкърите предлагат на играчите: десетични коефициенти, дробни коефициенти(английски) и американски шансове. Най-често срещаните коефициенти в Европа са десетични. IN Северна АмерикаАмериканските коефициенти са популярни. Дробните коефициенти са най-много традиционен вид, те веднага отразяват информация за това колко трябва да заложите, за да получите определена сума.

Десетични коефициенти

десетичнаили те също се наричат европейски коефициентие познатият числов формат, представен от десетичен знакс точност до стотни, а понякога дори и до хилядни. Пример за десетичен коефициент е 1,91. Изчисляването на печалбата в случай на десетични коефициенти е много лесно; просто трябва да умножите сумата на вашия залог по този коефициент. Например, в мача „Манчестър Юнайтед“ - „Арсенал“, победата на „Манчестър Юнайтед“ се определя с коефициент 2,05, равенството се оценява с коефициент 3,9, а победата на „Арсенал“ е равна на 2,95. Да кажем, че сме уверени, че Юнайтед ще спечели и заложим $1000 на тях. Тогава нашата възможни доходиизчислено, както следва:

2.05 * $1000 = $2050;

Наистина не е толкова сложно, нали?! Възможният приход се изчислява по същия начин при залагане на равенство или победа на Арсенал.

Теглене: 3.9 * $1000 = $3900;
Победа на Арсенал: 2.95 * $1000 = $2950;

Как да изчислим вероятността за събитие с десетични коефициенти?

Сега си представете, че трябва да определим вероятността за събитие въз основа на десетичните коефициенти, зададени от букмейкъра. Това също се прави много просто. За да направим това, разделяме едно на този коефициент.

Нека вземем съществуващите данни и изчислим вероятността за всяко събитие:

Победа на Манчестър Юнайтед: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Теглене: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Победа на Арсенал: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

Дробни коефициенти (английски)

Както подсказва името дробен коефициентпредставени обикновена дроб. Пример за английски шансове е 5/2. Числителят на дробта съдържа число, което е потенциалната сума на нетната печалба, а знаменателят съдържа число, указващо сумата, която трябва да бъде заложена, за да получите тази печалба. Просто казано, трябва да заложим $2 долара, за да спечелим $5. Коефициент 3/2 означава, че за да получим $3 нетни печалби, ще трябва да заложим $2.

Как да изчислим вероятността за събитие, използвайки дробни коефициенти?

Също така не е трудно да се изчисли вероятността за събитие, като се използват дробни коефициенти; просто трябва да разделите знаменателя на сумата от числителя и знаменателя.

За дробта 5/2 изчисляваме вероятността: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
За дробта 3/2 изчисляваме вероятността:

американски шансове

американски шансовенепопулярен в Европа, но много в Северна Америка. Може би този тип коефициенти е най-сложният, но това е само на пръв поглед. Всъщност в този тип коефициенти няма нищо сложно. Сега нека да разберем всичко по ред.

Основната характеристика на американските коефициенти е, че те могат да бъдат и двете положителен, така че отрицателен. Пример за американски коефициенти - (+150), (-120). Американският коефициент (+150) означава, че за да спечелим $150, трябва да заложим $100. С други думи, положителен американски коефициент отразява потенциалните нетни печалби при залог от $100. Отрицателният американски коефициент отразява размера на залога, който трябва да бъде направен, за да получите нетна печалба от $100. Например, коефициентът (-120) ни казва, че като заложим $120, ще спечелим $100.

Как да изчислим вероятността от събитие, използвайки американски коефициенти?

Вероятността за събитие с помощта на американския коефициент се изчислява по следните формули:

(-(M)) / ((-(M)) + 100), където M е отрицателен американски коефициент;
100/(P+100), където P е положителен американски коефициент;

Например, имаме коефициент (-120), тогава вероятността се изчислява, както следва:

(-(M)) / ((-(M)) + 100); заменете стойността (-120) с „M“;
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

По този начин вероятността от събитие с американски коефициенти (-120) е 54.5%.

Например, имаме коефициент (+150), тогава вероятността се изчислява, както следва:

100/(P+100); заменете стойността (+150) с "P";
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

По този начин вероятността от събитие с американски коефициенти (+150) е 40%.

Как, знаейки процента на вероятност, да го преобразуваме в десетичен коефициент?

За да изчислите десетичния коефициент въз основа на известен процент на вероятност, трябва да разделите 100 на вероятността на събитието като процент. Например, вероятността за събитие е 55%, тогава десетичният коефициент на тази вероятност ще бъде равен на 1,81.

100 / 55% = 1,81

Как, знаейки процента на вероятност, да го преобразуваме в дробен коефициент?

За да изчислите дробния коефициент въз основа на известен процент на вероятност, трябва да извадите единица от разделянето на 100 на вероятността за събитие като процент. Например, ако имаме процент на вероятност от 40%, тогава дробният коефициент на тази вероятност ще бъде равен на 3/2.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Дробният коефициент е 1,5/1 или 3/2.

Как, знаейки процента на вероятност, да го конвертирате в американски коефициент?

Ако вероятността за събитие е повече от 50%, изчислението се извършва по формулата:

- ((V) / (100 - V)) * 100, където V е вероятност;

Например, ако вероятността за събитие е 80%, тогава американският коефициент на тази вероятност ще бъде равен на (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Ако вероятността за събитие е по-малка от 50%, изчислението се извършва по формулата:

((100 - V) / V) * 100, където V е вероятност;

Например, ако имаме процентна вероятност за събитие от 20%, тогава американският коефициент на тази вероятност ще бъде равен на (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Как да преобразувам коефициента в друг формат?

Има моменти, когато е необходимо да конвертирате коефициенти от един формат в друг. Например, имаме дробен коефициент от 3/2 и трябва да го преобразуваме в десетичен. За да преобразуваме дробни коефициенти в десетични коефициенти, първо определяме вероятността за събитие с дробни коефициенти и след това преобразуваме тази вероятност в десетични коефициенти.

Вероятността за събитие с частичен коефициент от 3/2 е 40%.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Сега нека преобразуваме вероятността за събитие в десетичен коефициент, като разделим 100 на вероятността за събитието като процент:

100 / 40% = 2.5;

По този начин дробните коефициенти от 3/2 са равни на десетичните коефициенти от 2,5. По подобен начин например американските коефициенти се преобразуват в дробни, десетичните в американски и т.н. Най-трудното във всичко това са само изчисленията.