Математическото очакване е вероятностното разпределение на случайна променлива. случайни променливи

Както вече е известно, законът за разпределение напълно характеризира случайна променлива. Законът за разпределение обаче често е неизвестен и човек трябва да се ограничи до по-малко информация. Понякога дори е по-изгодно да се използват числа, които описват сумарно произволна променлива; такива номера се наричат числени характеристики на случайна променлива.

Математическото очакване е една от важните числови характеристики.

Математическото очакване е приблизително равно на средната стойност на случайна величина.

Математическо очакване на дискретна случайна променливае сумата от продуктите на всички негови възможни стойности и техните вероятности.

Ако една случайна променлива се характеризира с краен ред на разпределение:

х	х 1	х 2	х 3	…	x n
Р	стр. 1	стр. 2	стр. 3	…	r p

след това математическото очакване M(X)се определя по формулата:

Математическото очакване на непрекъсната случайна променлива се определя от равенството:

където е плътността на вероятността на случайната променлива х.

Пример 4.7.Намерете математическото очакване на броя точки, които се падат при хвърляне на зара.

Решение:

Случайна стойност хприема стойностите 1, 2, 3, 4, 5, 6. Нека направим закона за неговото разпределение:

х
Р

Тогава математическото очакване е:

Свойства на математическото очакване:

1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на самата константа:

M(S)=S.

2. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за очакване:

M(CX) = CM(X).

3. Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания:

M(XY) = M(X)M(Y).

Пример 4.8. Независими случайни променливи хИ Yсе дават от следните закони на разпределение:

х					Y
Р	0,6	0,1	0,3		Р	0,8	0,2

Намерете математическото очакване на случайна променлива XY.

Решение.

Нека намерим математическите очаквания на всяко от тези количества:

случайни променливи хИ Yнезависими, така че желаното математическо очакване:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Последица.Математическото очакване на произведението на няколко взаимно независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.

4. Математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата на математическите очаквания на членовете:

M(X + Y) = M(X) + M(Y).

Последица.Математическото очакване на сумата от няколко случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете.

Пример 4.9.Изстрелват се 3 изстрела с вероятност за попадение в целта, равна на стр. 1 = 0,4; p2= 0,3 и стр. 3= 0,6. Намерете математическото очакване на общия брой попадения.

Решение.

Броят на попаденията при първия удар е случайна променлива X 1, което може да приема само две стойности: 1 (попадение) с вероятност стр. 1= 0,4 и 0 (пропускане) с вероятност р 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Математическото очакване за броя на попаденията при първия изстрел е равно на вероятността за попадение:

По същия начин намираме математическите очаквания за броя на попаденията във втория и третия изстрел:

M(X 2)= 0,3 и M (X 3) \u003d 0,6.

Общият брой попадения също е произволна променлива, състояща се от сбора на попаденията във всеки от трите изстрела:

X \u003d X 1 + X 2 + X 3.

Желаното математическо очакване хние намираме чрез теоремата на математиката, очакването на сумата.

Всяка отделна стойност се определя изцяло от нейната функция на разпределение. Също така, за решаване на практически проблеми е достатъчно да знаете няколко числени характеристики, благодарение на които става възможно да се представят основните характеристики на случайна променлива в кратка форма.

Тези количества са предимно очаквана стойностИ дисперсия .

Очаквана стойност- средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Означен като.

Най-просто, математическото очакване на случайна променлива X(w), се намират като интегралнаЛебегпо отношение на вероятностната мярка Р оригинален вероятностно пространство

Можете също да намерите математическото очакване на стойност като Интеграл на Лебегот хчрез разпределение на вероятностите R Xколичества х:

където е множеството от всички възможни стойности х.

Математическо очакване на функции от случайна величина хе чрез разпространение R X. Например, Ако х- случайна променлива със стойности в и f(x)- недвусмислено Борелфункция х , Че:

Ако F(x)- разпределителна функция х, тогава математическото очакване е представимо интегралнаLebeggue - Stieltjes (или Риман - Stieltjes):

докато интегрируемостта хОт гледна точка на ( * ) съответства на крайността на интеграла

В конкретни случаи, ако хима дискретно разпределение с вероятни стойности x k, k=1, 2, . , и вероятности , тогава

Ако хима абсолютно непрекъснато разпределение с плътност на вероятността p(x), Че

в този случай съществуването на математическо очакване е еквивалентно на абсолютната конвергенция на съответния ред или интеграл.

Свойства на математическото очакване на случайна величина.

• Математическото очакване на постоянна стойност е равно на тази стойност:

° С- постоянен;

• M=C.M[X]

• Математическото очакване на сумата от произволно взетите стойности е равно на сумата от техните математически очаквания:

• Математическото очакване на произведението на независими случайни променливи = произведението на техните математически очаквания:

M=M[X]+M[Y]

Ако хИ Yнезависима.

ако серията се събира:

Алгоритъм за изчисляване на математическото очакване.

Свойства на дискретни случайни променливи: всичките им стойности могат да бъдат преномерирани с естествени числа; приравнете всяка стойност с ненулева вероятност.

1. Умножете двойките на свой ред: x iНа пи.

2. Добавете продукта на всяка двойка x i p i.

Например, За н = 4 :

Функция на разпределение на дискретна случайна променливастъпаловидно, той нараства рязко в онези точки, чиито вероятности имат положителен знак.

Пример:Намерете математическото очакване по формулата.

Характеристики на DSW и техните свойства. Математическо очакване, дисперсия, стандартно отклонение

Законът за разпределение напълно характеризира случайната променлива. Въпреки това, когато е невъзможно да се намери законът за разпределение или това не се изисква, човек може да се ограничи до намирането на стойности, наречени числени характеристики на случайна променлива. Тези стойности определят някаква средна стойност, около която се групират стойностите на случайна променлива, и степента на тяхната дисперсия около тази средна стойност.

математическо очакванеДискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива и техните вероятности.

Математическото очакване съществува, ако редицата от дясната страна на равенството се сближава абсолютно.

От гледна точка на вероятността можем да кажем, че математическото очакване е приблизително равно на средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива.

Пример. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е известен. Намерете математическото очакване.

х
стр	0.2	0.3	0.1	0.4

Решение:

9.2 Свойства на очакванията

1. Математическото очакване на константна стойност е равно на самата константа.

2. Константен фактор може да бъде изваден от знака за очакване.

3. Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.

Това свойство е валидно за произволен брой случайни променливи.

4. Математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете.

Това свойство е вярно и за произволен брой случайни променливи.

Нека се извършат n независими опита, вероятността за настъпване на събитие А, в които е равна на p.

Теорема.Математическото очакване M(X) на броя на случванията на събитие А в n независими опити е равно на произведението от броя опити и вероятността за възникване на събитието във всеки опит.

Пример. Намерете математическото очакване на случайна променлива Z, ако са известни математическите очаквания на X и Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Решение:

9.3 Дисперсия на дискретна случайна променлива

Математическото очакване обаче не може напълно да характеризира случаен процес. В допълнение към математическото очакване е необходимо да се въведе стойност, която характеризира отклонението на стойностите на случайната променлива от математическото очакване.

Това отклонение е равно на разликата между случайната променлива и нейното математическо очакване. В този случай математическото очакване на отклонението е нула. Това се обяснява с факта, че някои възможни отклонения са положителни, други са отрицателни и в резултат на взаимното им премахване се получава нула.

Дисперсия (разпръскване)Дискретна случайна променлива се нарича математическото очакване на квадрата на отклонението на случайната променлива от нейното математическо очакване.

На практика този метод за изчисляване на дисперсията е неудобен, т.к води до тромави изчисления за голям брой стойности на случайна променлива.

Затова се използва друг метод.

Теорема. Дисперсията е равна на разликата между математическото очакване на квадрата на случайната променлива X и квадрата на нейното математическо очакване.

Доказателство. Като вземем предвид факта, че математическото очакване M (X) и квадратът на математическото очакване M 2 (X) са постоянни стойности, можем да запишем:

Пример. Намерете дисперсията на дискретна случайна променлива, дадена от закона за разпределение.

х
X 2
Р	0.2	0.3	0.1	0.4

Решение: .

9.4 Дисперсионни свойства

1. Дисперсията на постоянна стойност е нула. .

2. Константен фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията чрез повдигането му на квадрат. .

3. Дисперсията на сумата от две независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи. .

4. Дисперсията на разликата на две независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи. .

Теорема. Дисперсията на броя на случванията на събитие А в n независими опита, при всяко от които вероятността p за възникване на събитието е постоянна, е равна на произведението на броя опити и вероятността за възникване и невъзникване на събитието във всеки процес.

9.5 Стандартно отклонение на дискретна случайна променлива

Стандартно отклонениеслучайната променлива X се нарича корен квадратен от дисперсията.

Теорема. Стандартното отклонение на сумата от краен брой взаимно независими случайни променливи е равно на корен квадратен от сумата на квадратните стандартни отклонения на тези променливи.

Математическото очакване (средна стойност) на случайна променлива X, дадена в дискретно вероятностно пространство, е числото m =M[X]=∑x i p i , ако редицата се сближава абсолютно.

Сервизно задание. С онлайн услуга изчисляват се математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение(вижте примера). Освен това се начертава графика на функцията на разпределение F(X).

Свойства на математическото очакване на случайна величина

1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на себе си: M[C]=C , C е константа;
2. M=C M[X]
3. Математическото очакване на сумата от случайните променливи е равно на сумата от техните математически очаквания: M=M[X]+M[Y]
4. Математическото очакване на произведението на независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания: M=M[X] M[Y], ако X и Y са независими.

Свойства на дисперсия

1. Дисперсията на постоянна стойност е равна на нула: D(c)=0.
2. Константният фактор може да бъде изваден от под знака на дисперсията, като го повдигнете на квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Ако случайните променливи X и Y са независими, тогава дисперсията на сумата е равна на сумата от дисперсиите: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Ако случайните променливи X и Y са зависими: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. За дисперсията е валидна изчислителната формула:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Пример. Известни са математическите очаквания и дисперсиите на две независими случайни променливи X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Намерете математическото очакване и дисперсията на случайната променлива Z=9X-8Y+7.
Решение. Въз основа на свойствата на математическото очакване: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Въз основа на дисперсионните свойства: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Алгоритъм за изчисляване на математическото очакване

Свойства на дискретни случайни променливи: всичките им стойности могат да бъдат преномерирани с естествени числа; Присвоете на всяка стойност ненулева вероятност.

1. Умножете двойките една по една: x i по p i .
2. Добавяме произведението на всяка двойка x i p i.
   Например за n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Функция на разпределение на дискретна случайна променливастъпаловидно, той се увеличава рязко в онези точки, чиито вероятности са положителни.

Пример #1.

x i	1	3	4	7	9
пи	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Математическото очакване се намира по формулата m = ∑x i p i .
Математическо очакване M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Дисперсията се намира по формулата d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Стандартно отклонение σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78

Пример #2. Дискретна случайна променлива има следната серия на разпределение:

х	-10	-5	0	5	10
Р	А	0,32	2а	0,41	0,03

Намерете стойността a, математическото очакване и стандартното отклонение на тази случайна променлива.

Решение. Стойността a се намира от връзката: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 или 0,24=3 a , откъдето a = 0,08

Пример #3. Определете закона за разпределение на дискретна случайна променлива, ако нейната дисперсия е известна и x 1 х 1 =6; х2=9; х3=х; х4=15
р 1 =0.3; р2=0,3; р3=0.1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96

Решение.
Тук трябва да направите формула за намиране на дисперсията d (x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
където очакване m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
За нашите данни
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Съответно е необходимо да се намерят корените на уравнението и ще има две от тях.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Избираме този, който отговаря на условието x 1 х3=12

Закон за разпределение на дискретна случайна величина
х 1 =6; х2=9; x 3 \u003d 12; х4=15
р 1 =0.3; р2=0,3; р3=0.1; p 4 \u003d 0,3

Законът за разпределение напълно характеризира случайната променлива. Законът за разпределение обаче често е неизвестен и човек трябва да се ограничи до по-малко информация. Понякога дори е по-изгодно да се използват числа, които общо описват случайна променлива, такива числа се наричат числови характеристикислучайна величина. Математическото очакване е една от важните числови характеристики.

Математическото очакване, както ще бъде показано по-долу, е приблизително равно на средната стойност на случайната променлива. За решаването на много задачи е достатъчно да знаете математическото очакване. Например, ако е известно, че математическото очакване на броя на точките, отбелязани от първия стрелец, е по-голямо от това на втория, тогава първият стрелец средно изхвърля повече точки от втория и следователно стреля по-добре от секундата.

Определение 4.1: математическо очакванеДискретна случайна променлива се нарича сумата от продуктите на всички възможни стойности и техните вероятности.

Нека случайната променлива хможе да приема само стойности x 1, x 2, … x n, чиито вероятности са съответно равни на p 1, p 2, … p n .След това математическото очакване M(X) случайна величина хсе определя от равенството

M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n.

Ако дискретна случайна променлива хтогава приема изброим набор от възможни стойности

,

освен това математическото очакване съществува, ако редовете от дясната страна на равенството се сближават абсолютно.

Пример.Намерете математическото очакване на броя на случванията на дадено събитие Ав един опит, ако вероятността от събитие Ае равно на стр.

Решение:Случайна стойност х– брой появявания на събитието Аима разпределение на Бернули, така че

По този начин, математическото очакване за броя на случванията на дадено събитие в един опит е равно на вероятността за това събитие.

Вероятностно значение на математическото очакване

Нека произведени нтестове, при които случайната променлива хприет m 1пъти стойност х 1, м2пъти стойност x2 ,…, m kпъти стойност x k, и m 1 + m 2 + …+ m k = n. След това сумата от всички взети стойности х, е равно на x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .

Средната аритметична стойност на всички стойности, взети от случайната променлива, ще бъде

Поведение m i / n- относителна честота Wiстойности x iприблизително равна на вероятността за възникване на събитието пи, Където , Ето защо

Вероятностното значение на получения резултат е следното: математическото очакване е приблизително равно на(колкото по-точно, толкова по-голям е броят на опитите) средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива.

Свойства на очакванията

Свойство1:Математическото очакване на постоянна стойност е равно на самата константа

Имот 2:Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за очакване

Определение 4.2: Две случайни променливиНаречен независима, ако законът за разпределение на един от тях не зависи от това какви възможни стойности е приела другата стойност. В противен случай случайните променливи са зависими.

Определение 4.3: Няколко случайни променливиНаречен взаимно независими, ако законите за разпределение на който и да е брой от тях не зависят от това какви възможни стойности са приели другите количества.

Имот 3:Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.

Последица:Математическото очакване на произведението на няколко взаимно независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.

Свойство4:Математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата от техните математически очаквания.

Последица:Математическото очакване на сумата от няколко случайни променливи е равно на сумата от техните математически очаквания.

Пример.Изчислете математическото очакване на биномна случайна променлива Х-дата на възникване на събитието А V нексперименти.

Решение:Общ брой хсъбития Ав тези опити е сумата от броя на появяванията на събитието в отделните опити. Въвеждаме случайни променливи X iе броят на появяванията на събитието в азти тест, които са случайни променливи на Бернули с математическо очакване, където . По свойството на математическото очакване имаме

По този начин, средната стойност на биномиалното разпределение с параметри n и p е равна на произведението на np.

Пример.Вероятност за попадение в цел при стрелба с пистолет р = 0,6.Намерете математическото очакване на общия брой попадения, ако са произведени 10 изстрела.

Решение:Попадението при всеки изстрел не зависи от резултатите от други изстрели, така че разглежданите събития са независими и, следователно, желаното математическо очакване