¿Cómo funciona la cascada Esher? Escher - artista gráfico holandés

Cascada. Litografía. 38×30cm K: Litografías 1961

La estructura está formada por tres travesaños apilados uno encima del otro en ángulo recto. La cascada de la litografía funciona como una máquina de movimiento perpetuo. Dependiendo del movimiento del ojo, alternativamente parece que ambas torres son idénticas y que la torre de la derecha está un piso más abajo que la torre de la izquierda.

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Notas

Campo de golf

Sitio web oficial: (inglés)

Extracto que caracteriza la Cascada (litografía)

- No hay ninguno; Se han dado órdenes de batalla.
El príncipe Andrei se dirigió hacia la puerta detrás de la cual se escuchaban voces. Pero justo cuando quería abrir la puerta, las voces de la habitación callaron, la puerta se abrió sola y Kutuzov, con su nariz aguileña sobre su rostro regordete, apareció en el umbral.
El príncipe Andrei estaba justo enfrente de Kutuzov; pero por la expresión del único ojo que veía del comandante en jefe estaba claro que el pensamiento y la preocupación lo ocupaban tanto que parecían oscurecer su visión. Miró directamente a la cara de su ayudante y no lo reconoció.
- Bueno, ¿has terminado? – se volvió hacia Kozlovsky.
- En este momento, excelencia.
Bagration, corto, con tipo oriental rostro duro e inmóvil, seco, todavía no viejo, salió a buscar al comandante en jefe.
"Tengo el honor de comparecer", repitió el príncipe Andrei en voz muy alta, entregándole el sobre.
- Ah, ¿de Viena? Bien. ¡Después, después!
Kutuzov y Bagration salieron al porche.
"Bueno, príncipe, adiós", le dijo a Bagration. - Cristo está contigo. Los bendigo por esta gran hazaña.
El rostro de Kutuzov se suavizó de repente y aparecieron lágrimas en sus ojos. Atrajo a Bagration hacia él con la mano izquierda, y con la mano derecha, en la que había un anillo, aparentemente lo cruzó con un gesto familiar y le ofreció mejilla regordeta, en lugar de lo cual Bagration lo besó en el cuello.

El arte matemático de Moritz Escher 28 de febrero de 2014

Original tomado de imit_omsu en El arte matemático de Moritz Escher

“Los matemáticos abrieron la puerta que conducía a otro mundo, pero ellos mismos no se atrevieron a entrar en este mundo. Les interesa más el camino en el que se encuentra la puerta que el jardín que se encuentra detrás de ella”.
(MC Escher)

Litografía "Mano con esfera de espejo", autorretrato.

Maurits Cornelius Escher es un artista gráfico holandés conocido por todos los matemáticos.
Las tramas de las obras de Escher se caracterizan por una ingeniosa comprensión de las paradojas lógicas y plásticas.
Es conocido principalmente por sus obras en las que utilizó diversos conceptos matemáticos, desde el límite y la cinta de Möbius hasta la geometría de Lobachevsky.

Xilografía "Hormigas Rojas".

Especial educación matemática Maurits Escher no recibió. Pero desde el principio carrera creativa Se interesó por las propiedades del espacio, estudió sus lados inesperados.

"Lazos de unidad"

Escher a menudo incursionaba en combinaciones del mundo bidimensional y tridimensional.

Litografía "Dibujando manos".

Litografía "Reptiles".

Teselaciones.

La teselación es la división de un plano en figuras idénticas. Para estudiar este tipo de partición se utiliza tradicionalmente el concepto de grupo de simetría. Imaginemos un plano en el que se dibuja algún mosaico. El avión se puede girar alrededor de un eje arbitrario y desplazarse. El desplazamiento está determinado por el vector de desplazamiento y la rotación está determinada por el centro y el ángulo. Estas transformaciones se denominan movimientos. Dicen que tal o cual movimiento es simetría si después de él el mosaico se vuelve sobre sí mismo.

Consideremos, por ejemplo, un plano dividido en cuadrados iguales: una hoja infinita de un cuaderno de cuadros en todas direcciones. Si dicho plano se gira 90 grados (180, 270 o 360 grados) alrededor del centro de cualquier cuadrado, el mosaico se convertirá en sí mismo. También se transforma en sí mismo cuando lo desplaza un vector paralelo a uno de los lados de los cuadrados. La longitud del vector debe ser múltiplo del lado del cuadrado.

En 1924, el geómetra George Pólya (antes de trasladarse a Estados Unidos, György Pólya) publicó un artículo sobre grupos de simetría de teselación, en el que demostraba hecho maravilloso(aunque ya descubierto en 1891 por el matemático ruso Evgraf Fedorov, y luego felizmente olvidado): sólo hay 17 grupos de simetrías, que incluyen desplazamientos en al menos dos diferentes direcciones. En 1936, Escher, interesado en los ornamentos árabes (con punto geométrico vista, opción de teselación), lea el trabajo de Polya. A pesar de que, según admitió él mismo, no entendía todas las matemáticas detrás de la obra, Escher pudo captar su esencia geométrica. Como resultado, basándose en los 17 grupos, Escher creó más de 40 obras.

Mosaico.

Xilografía "Día y Noche".

"Mosaico regular del plano IV".

Xilografía "Cielo y Agua".

Teselaciones. El grupo es simple, generando: simetría deslizante y transferencia paralela. Pero los adoquines son maravillosos. Y combinado con la Franja de Mobius, eso es todo.

Xilografía "Jinetes".

Otra variación del tema del mundo plano y volumétrico y los teselados.

Litografía "Espejo Mágico".

Escher era amigo del físico Roger Penrose. En su tiempo libre de la física, Penrose pasaba su tiempo resolviendo acertijos matemáticos. Un día se le ocurrió la siguiente idea: si imaginamos un teselado formado por más de una figura, ¿su grupo de simetrías sería diferente a los descritos por Pólya? Al final resultó que, la respuesta a esta pregunta es afirmativa: así nació el mosaico de Penrose. En la década de 1980 resultó que está asociado con cuasicristales ( premio nobel en Química 2011).

Sin embargo, Escher no tuvo tiempo (o quizás no quiso) de utilizar este mosaico en su obra. (Pero hay un mosaico absolutamente maravilloso de Penrose, “Las gallinas de Penrose”, no fueron pintados por Escher).

Avión Lobachevski.

En quinto lugar en la lista de axiomas de los Elementos de Euclides en la reconstrucción de Heiberg se encuentra la siguiente afirmación: si una línea recta que corta dos líneas rectas forma ángulos interiores unilaterales menores que dos ángulos rectos, entonces, extendidas indefinidamente, estas dos líneas rectas se encontrarán en el lado donde los ángulos son menores que dos ángulos rectos. EN literatura moderna Prefiero una formulación equivalente y más elegante: por un punto que no está en una recta, pasa una recta paralela a la dada y, además, una sola. Pero incluso en esta formulación, el axioma, a diferencia del resto de los postulados de Euclides, parece engorroso y confuso, razón por la cual durante dos mil años los científicos han estado tratando de derivar esta afirmación a partir de otros axiomas. Es decir, de hecho, convertir el postulado en un teorema.

En el siglo XIX, el matemático Nikolai Lobachevsky intentó hacer esto por contradicción: asumió que el postulado era incorrecto y trató de descubrir una contradicción. Pero no se encontró y, como resultado, Lobachevsky construyó una nueva geometría. En él, por un punto que no se encuentra en una recta, pasa un número infinito de rectas diferentes que no se cruzan con la dada. Lobachevsky no fue el primero en descubrir esta nueva geometría. Pero él fue el primero que decidió declararlo públicamente, por lo que, por supuesto, se rieron de él.

El reconocimiento póstumo de la obra de Lobachevsky se produjo, entre otras cosas, gracias a la aparición de modelos de su geometría: sistemas de objetos en el plano euclidiano ordinario que satisfacían todos los axiomas de Euclides, con excepción del quinto postulado. Uno de estos modelos fue propuesto por el matemático y físico Henri Poincaré en 1882, para las necesidades de análisis funcionales y complejos.

Sea un círculo cuyo límite llamamos absoluto. Los "puntos" en nuestro modelo serán los puntos internos del círculo. El papel de las "líneas rectas" lo desempeñan los círculos o las líneas rectas perpendiculares a lo absoluto (más precisamente, sus arcos que caen dentro del círculo). El hecho de que el quinto postulado no sea válido para líneas tan “directas” es casi obvio. El hecho de que el resto de postulados se cumplan para estos objetos es un poco menos obvio, sin embargo, es así.

Resulta que en el modelo de Poincaré se puede determinar la distancia entre puntos. Para calcular la longitud se requiere el concepto de métrica de Riemann. Sus propiedades son las siguientes: cuanto más cerca del absoluto esté un par de puntos de “línea recta”, mayor será la distancia entre ellos. Entre las "líneas rectas" también se definen ángulos: estos son los ángulos entre las tangentes en el punto de intersección de las "líneas rectas".

Ahora volvamos a los mosaicos. ¿Cómo se verán si se dividen en polígonos regulares idénticos (es decir, polígonos con todos lados iguales y ángulos) ¿ya es un modelo de Poincaré? Por ejemplo, los polígonos deberían volverse más pequeños cuanto más se acerquen al absoluto. Esta idea fue realizada por Escher en la serie de obras "El círculo límite". Sin embargo, el holandés no utilizó particiones regulares, sino sus versiones más simétricas. El caso en el que la belleza resultó ser más importante que la precisión matemática.

Xilografía "Límite - Círculo II".

Xilografía "Límite - Círculo III".

Xilografía "El cielo y el infierno".

Cifras imposibles.

Las figuras imposibles suelen denominarse especiales. ilusiones ópticas- parecen ser la imagen de algún objeto tridimensional en un avión. Pero tras un examen más detenido, se revelan contradicciones geométricas en su estructura. Las figuras imposibles interesan no sólo a los matemáticos, sino que también las estudian los psicólogos y los especialistas en diseño.

El bisabuelo de las figuras imposibles es el llamado cubo de Necker, una imagen familiar de un cubo sobre un plano. Fue propuesto por el cristalógrafo sueco Louis Necker en 1832. Lo que pasa con esta imagen es que se puede interpretar de diferentes maneras. Por ejemplo, la esquina indicada en esta figura por un círculo rojo puede ser la más cercana a nosotros de todas las esquinas del cubo o, por el contrario, la más alejada.

Los primeros reales figuras imposibles como tales fueron creados por otro científico sueco, Oskar Rutersvärd, en los años 1930. En particular, se le ocurrió la idea de construir un triángulo a partir de cubos, que no pueden existir en la naturaleza. Independientemente de Ruthersward, el ya mencionado Roger Penrose, junto con su padre Lionel Penrose, publicaron un artículo en el British Journal of Psychology titulado “Objetos imposibles: un tipo especial de ilusiones ópticas” (1956). En él, los Penrose propusieron dos de esos objetos: el triángulo de Penrose (una versión sólida del diseño de cubos de Ruthersward) y la escalera de Penrose. Nombraron a Maurits Escher como inspiración para su trabajo.

Ambos objetos, el triángulo y la escalera, aparecieron más tarde en las pinturas de Escher.

Litografía "Relatividad".

Litografía "Cascada".

Litografía "Belvedere".

Litografía "Ascenso y Descenso".

Otras obras con significado matemático:

Polígonos estelares:

Xilografía "Estrellas".

Litografía "División cúbica del espacio".

Litografía "Superficie cubierta de ondulaciones".

Litografía "Tres Mundos"

Maurits Escher es un destacado artista gráfico holandés conocido en todo el mundo por sus obras. En el centro, en el museo inaugurado en 2002 y que lleva su nombre "Escher in het Paleis", se encuentra abierta una exposición permanente de 130 obras del maestro. ¿Dirías que los gráficos son aburridos? Quizás... quizás esto pueda decirse de las obras de los artistas gráficos, pero no de Escher. El artista es conocido por su inusual visión del mundo y por jugar con la lógica del espacio.

Los fantásticos grabados de Escher, literalmente, pueden percibirse como imagen grafica teoría de la relatividad. Las obras que representan figuras y transformaciones imposibles son literalmente fascinantes; no se parecen a nada más.

Maurits Escher era un verdadero maestro de los rompecabezas y sus ilusiones ópticas muestran cosas que en realidad no existen. En sus pinturas todo cambia, fluye suavemente de una forma a otra, las escaleras no tienen principio ni fin y el agua fluye hacia arriba. Alguien exclamará: ¡esto no puede ser! Vea usted mismo.
El famoso cuadro “Día y Noche”

“Ascenso y descenso”, donde la gente siempre está subiendo escaleras... ¿o bajando?

“Reptiles”: aquí los caimanes pasan de ser dibujados a ser tridimensionales...

"Dibujar manos": en el que dos manos se dibujan entre sí.

"Reunión"

“Mano con bola reflectante”

La perla principal del museo es la obra "Metamorfosis" de Escher, de 7 metros de altura. Este grabado permite experimentar la conexión entre la eternidad y el infinito, donde el tiempo y el espacio se unen en un todo único.

El museo está ubicado en el antiguo Palacio de Invierno Reina Emma: bisabuela de la actual reina Beatriz. Emma compró el palacio en 1896 y vivió en él hasta su muerte en mayo de 1934. En dos salas del museo, llamadas “Habitaciones Reales”, se conservan muebles y fotografías de la reina Emma, y en las cortinas hay información sobre el interior del palacio de aquella época.

En el último piso del museo hay una exposición interactiva “Look Like Escher”. esto es real mundo magico ilusiones En la bola mágica, los mundos aparecen y desaparecen, las paredes se mueven y cambian, y los niños parecen más altos que sus padres. Un poco más lejos hay un suelo inusual que ópticamente se derrumba con cada escalón, y en la bola plateada puedes verte a través de los ojos de Escher.

Maurits Cornelis Escher, artista gráfico holandés

Escher Maurits Cornelis(Maurits Cornelis Escher) (17 de junio de 1898, Leeuwarden, Países Bajos - 27 de marzo de 1972, Hilversum, Países Bajos) artista gráfico holandés, hizo ilustraciones para libros, sellos postales y frescos, tapices diseñados. Conocido principalmente por sus litografías conceptuales, grabados en madera y metal, en los que exploró magistralmente los aspectos plásticos de los conceptos de infinito y simetría, así como las peculiaridades de la percepción psicológica de objetos tridimensionales complejos, los más brillante representante impartir. Escher eligió deliberadamente la carrera de grabador en lugar de la de pintor al óleo. Según Hans Locher, investigador de su obra, Escher se sintió atraído por la posibilidad de obtener muchas impresiones, que le proporcionaban las técnicas gráficas, pues ya estaba en edad temprana Me interesaba la posibilidad de repetir imágenes. Uno de los aspectos más destacados de la obra de Escher es la representación de las "metamorfosis" que aparecen en diferentes formas en muchas obras. El artista explora en detalle la transición gradual de una figura geométrica a otro, mediante ligeros cambios de contorno. Además, Escher pintó repetidamente metamorfosis que ocurren en seres vivos (los pájaros se convierten en peces, etc.) e incluso “animó” objetos inanimados durante las metamorfosis, convirtiéndolos en seres vivos. Escher produjo 448 litografías, grabados y xilografías y más de 2.000 dibujos y bocetos. Su trabajo sigue impresionando y sorprendiendo a millones de personas en todo el mundo. EN últimos años La salud de Escher le falla y prácticamente no trabaja. Se somete a muchas operaciones y finalmente muere en el hospital a causa de un cáncer de intestino. Escher dejó atrás sus maravillosas litografías, pinturas, dibujos y tres hijos.

Fechas clave

1898 – Moritz Cornelis Escher nace el 17 de junio en Liverden (Países Bajos), hijo menor en la familia del ingeniero hidráulico G.A. Escher y Sarah Glichman.
1903 – La familia se traslada a Arnhem.
1912-18 - Ingresa al gimnasio y no aprueba los exámenes finales.
1919 - A petición de su padre, Escher comienza a estudiar arquitectura en Haarlem, pero al cabo de unos meses se traslada a una clase de diseño gráfico bajo la dirección de Jeserand de Mesquite.
1921 - Primer viaje a Italia. Primera publicación en la revista de la obra “Flores de Pascua” (xilografía)
1922 - Termina la escuela de arte y viaja por el centro de Italia; hace muchos bocetos. En septiembre visita la Alhambra de España, considerándola la más interesante, especialmente sus enormes mosaicos de “complejidad colosal y significado matemático y artístico”.
1923 - Viaje a Italia; cumple con su futura esposa Yettu (Jetta Umiker). Se basa en el natural. Su primera exposición es en Siena.
1924 - Primera exposición en La Haya, Países Bajos. El 12 de junio se casa con Yetta en Viareggio; se traslada a Roma.
1926 - Exposición de gran éxito en Roma en mayo. Posteriormente, Escher realizó una exposición permanente en Holanda y principalmente críticas positivas. El 23 de junio nacerá en la familia Escher su primer hijo, Georg. En los años siguientes, Moritz Escher viaja constantemente (por ejemplo, a Túnez), incluso a pie hasta Arbuzi; Hace muchos bocetos paisajísticos y arquitectónicos.
1928 - 8 de diciembre, nace su hijo Arthur.
1929 - Primera litografía “Vista de Goriano Sicoli”, Arbuzzi
1931: primer grabado en madera, pero en esencia se trataba de una matriz de madera para imprimir invitaciones a una exposición en La Haya. Escher se convierte en miembro de la Asociación de Artistas Gráficos y, un poco más tarde, en miembro del estudio Pulchi. Es muy respetado como un "dibujante paciente, tranquilo y sereno" y su trabajo es criticado por ser "demasiado intelectual".
1932 - Sus xilografías se publican en el almanaque “XXIV Emblemata dat zijns zinnebeelden”.
1933 - Se publica el libro "Las terribles aventuras de la escolástica" con grabados en madera de Escher.
1934 - Sus obras en la exposición de grabados modernos (impresión) "Century of Progress" en Chicago reciben sólo críticas positivas.
1935: las políticas represivas de la Italia fascista obligan a Escher a trasladarse a Suiza.
1936 - Viaje a España, donde nuevamente trabajó activamente en los diseños de azulejos árabes (Alhambra). Redibujarlos inspira a Escher a crear pinturas en las que utiliza la división periódica correcta de planos.
1938 – El 6 de marzo nació otro hijo, Jan. Pero Escher se concentra en las “pinturas internas” y abandona casi por completo el dibujo de la naturaleza.
1939 - Muerte del padre a la edad de 96 años.
1940 - Se publica “M.C.Escher en zijn experimenten”. Su madre muere.
1941 - La familia Escher regresa a su tierra natal en Holanda, en Baarn (B╠rn).
1948 Escher comienza a dar conferencias sobre su trabajo y a realizar demostraciones del mismo.
1954 - Gran exposición Escher con motivo del Gran Congreso de Matemáticas. A continuación hay una exposición en Washington.
1955 - El 30 de abril recibe un gran premio real.
1958 - Se publica "Regelmatige vlakverdeling" (División correcta de planos).
1959 - Se publica “Grafik en Tekeningen” (Obras gráficas)
1960 - Exposición y conferencia en el Congreso Cristalográfico de Cambridge, Massachusetts.
1962 - Cirugía de urgencia y larga estancia en el hospital.
1964 - Parte hacia Canadá para otra operación.
1965 - Premio de Arte Hilversum. Se publica "Aspecto de simetría".
1967 - Segundo Premio de la Reina.
1968 - Gran retrospectiva del 70 aniversario en La Haya. A finales de año, Yetta regresa a Suiza.
1969 - En julio, Escher crea su último grabado en madera, "Serpientes".
1970 - Cirugía y nuevamente una larga hospitalización. Escher se traslada a la Fundación Rosa-Spier Laaren, a una residencia para artistas mayores.
1971 - Se publica De werelden van M.C.Escher (El mundo de Escher).
1972 – M. S. Escher muere en el hospital luterano de Hilversum.

La "Escalera sin fin" fue utilizada con éxito por el artista Maurits K. Escher, esta vez en su encantadora litografía "Ascenso y descenso", creada en 1960.
En este dibujo, que refleja todas las posibilidades de la figura de Penrose, la muy reconocible "Escalera sin fin" está claramente inscrita en el techo del monasterio. Los monjes encapuchados suben continuamente las escaleras en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj. Van uno hacia el otro por un camino imposible. Nunca logran subir ni bajar.

Esta obra de Escher representa una paradoja: el agua que cae de una cascada impulsa una rueda que dirige el agua hacia la cima de la cascada. La cascada tiene la estructura de un triángulo de Penrose “imposible”: la litografía se creó basándose en un artículo del British Journal of Psychology.
La estructura está formada por tres travesaños apilados uno encima del otro en ángulo recto. La cascada de la litografía funciona como una máquina de movimiento perpetuo. También parece que ambas torres son iguales; de hecho, el de la derecha está un piso debajo de la torre izquierda.

"Belvedere" (italiano: Belvedere). En primer plano a la izquierda hay una hoja de papel con el dibujo de un cubo. Las intersecciones de los bordes están marcadas con dos círculos. El joven sentado en el banco sostiene en sus manos una apariencia tan absurda de cubo. Examina pensativamente este objeto incomprensible, permaneciendo indiferente al hecho de que el mirador detrás de él está construido con el mismo estilo increíble y absurdo.