Учебный лист по геометрии "Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей" (7 класс)
Учебный лист
по теме «Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей»
(3 часа)
ЗНАТЬ: | УМЕТЬ: |
|
Условия взаимного расположения прямой и окружности; Определение секущей и касательной к окружности; Свойства касательной к окружности; Теорему о о перпендикулярности диаметра и хорды и обратную к ней; Условия взаимного расположение двух окружностей; Определение концентрических окружностей. | Проводить касательную к окружности; Использовать свойства касательной при решении задач; Решать задачи на применение теоремы о перпендикулярности диаметра и хорды; Решать задачи на условия взаимного расположения прямой и окружности и двух окружностей. |
В результате изучения темы нужно:
Литература:
2. Геометрия. 7 класс. , . Алматы «Атамұра». 2012
3. Геометрия. 7 класс. Методическое руководство. . Алматы «Атамұра». 2012
4. Геометрия. 7 класс. Дидактический материал. . Алматы «Атамұра». 2012
5. Геометрия. 7 класс. Сборник задач и упражнений. , . Алматы «Атамұра». 2012
Приобретать знания – храбрость,
Приумножать их – мудрость,
А умело применять их – великое искусство.
Помни, что работать нужно по алгоритму.
Не забывай проходить проверку, делать пометки на полях, заполнять рейтинговый лист темы.
Пожалуйста, не оставляй без ответа, возникшие у тебя вопросы.
Будь объективен во время взаимопроверки, это поможет и тебе, и тому, кого ты проверяешь.
Желаю успеха!
ЗАДАНИЕ 1
1) Рассмотри в заимное расположение прямой и окружности и заполни таблицу (3б):
Случай 1: Прямая не имеет с окружностью ни одной общей точки (не пересекаются)
a https://pandia.ru/text/80/248/images/image002_86.gif" width="41" height="20">
Случай 2 : Прямая и окружность имеют только одну общую точку (касаются)
https://pandia.ru/text/80/248/images/image002_86.gif" width="41" height="20">
Случай 3: Прямая имеет с окружностью две общие точки (пересекаются)
https://pandia.ru/text/80/248/images/image005_61.gif" width="45" height="17">
2) Прочти определения, теоремы, следствия и выучи их (5б):
Определение: Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.
Определение : Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку и перпендикулярная радиусу, называется касательной к окружности.
https://pandia.ru/text/80/248/images/image007_19.jpg" align="left" width="127" height="114 src=">Следствие 4 : Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая не пересекается с окружностью.
Теорема 4:
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
3) Ответь на вопросы (3б):
1) Как могут располагаться прямая и окружность на плоскости?
2) Может ли прямая иметь с окружностью три общие точки?
3) Как нужно провести касательную к окружности через точку, лежащую на окружности?
4) Сколько касательных можно провести к окружности через точку:
а) лежащую на окружности;
б) лежащую внутри окружности;
в) лежащую вне окружности?
5) Дана окружность ω (O; r) и точка А, лежащая внутри окружности. Сколько точек пересечения будет иметь: а) прямая ОА; б) луч ОА; в) отрезок ОА?
6) Как разделить хорду окружности пополам?
ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ № 1
ЗАДАНИЕ 2
1) Прочти текст и рассмотри рисунки. Сделай рисунки в тетради, запиши выводы и выучи их (3б):
Рассмотрим возможные случаи взаимного расположения двух окружностей. Взаимное расположение двух окружностей связано с расстоянием между их центрами.
Пересекающиеся окружности:
две окружности пересекаются,
если они имеют две общие точки.
Пусть R1
и R2
– радиусы окружностей ω
1
и ω
2
, d
Окружности ω1
и ω2
пересекаются тогда и только тогда, когда числа R1
, R
2, d
являются длинами сторон некоторого треугольника, т. е. удовлетворяют всем неравенствам треугольника:
R1 + R2 > d , R1 + d > R2 , R 2 + d > R1 .
Вывод: Если R1 + R2 > d или |R1 −R2 | < d, тогда окружности пересекаются в двух точках.
Касающиеся окружности: две окружности касаются, если они имеют одну общую точку. Имеют общую касательную а . Пусть R1 и R2 – радиусы окружностей ω 1 и ω 2 , d – расстояние между их центрами.
Окружности касаются внешним образом , если они расположены
|
|
вне друг друга. При внешнем касании центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной. Окружности ω1
и ω2
касаются внешним образом тогда и только тогда, когда R1
+ R2
= d
.
Окружности касаются внутренним образом
, если одна из них расположена внутри другой. При внешнем касании центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной. Окружности ω1
и ω2
касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда |R1
−R2
|=d
.
Вывод: Если R1 + R2 = d или |R1 −R2 |=d , тогда окружности касаются в одной общей точке, лежащей на прямой, проходящей через центры окружностей.
Непересекающиеся окружности:
две окружности не пересекаются
, если они не имеют общих точек
. В этом случае одна из них лежит внутри другой, либо они лежат вне друг друга.
Пусть R1
и R2
– радиусы окружностей ω
1
и ω
2
, d
– расстояние между их центрами.
Окружность ω 1 и ω2 расположены вне друг друга тогда и только тогда, когда R1 + R2 < d . Окружность ω1 лежит внутри ω2 тогда и только тогда, когда |R1 −R2 | > d .
Вывод: Если R1 + R2 < d или |R1 −R2 | > d, тогда окружности не пересекаются.
Проверочные работы" href="/text/category/proverochnie_raboti/" rel="bookmark">проверочной работе №1.
ЗАДАНИЕ 4
1) Реши на выбор четные или нечетные задачи (2б.):
1. Указать количество общих точек прямой и окружности, если:
а) расстояние от прямой до центра окружности – 6 см, а радиус окружности – 7 см;
б) расстояние от прямой до центра окружности – 7 см, а радиус окружности – 6 см;
в) расстояние от прямой до центра окружности – 8 см, а радиус окружности – 8 см.
2. Определить взаимное расположении прямой и окружности, если:
1. R=16cм, d=12см; 2. R=8 см, d=1,2 дм; 3. R=5 см, d=50мм
3. Каково взаимное расположения окружностей если:
d = 1дм, R1 = 0,8дм, R2 = 0,2дм
d = 40см, R1 = 110см, R2 = 70см
d = 12см, R1 = 5см, R2 = 3см
d = 15дм, R1 = 10дм, R2 = 22см
4. Укажите количество точек взаимодействия двух окружностей по радиусам и по расстоянию между центрами:
а) R = 4 см, r = 3 см, ОО1 = 9 см; б) R = 10 см, r = 5 см, ОО1 = 4 см
в) R = 4 см, r = 3 см, ОО1 = 6 см; г) R = 9 см, r = 7 см, ОО1 = 4 см.
1. Найти длины двух отрезков хорды, на которые разделяет ее диаметр окружности, если длина хорды – 16 см, а диаметр ей перпендикулярен.
2. Найти длину хорды, если диаметр ей перпендикулярен, а один из отрезков, отсекаемых диаметром от нее, равен 2 см.
3) Выполни на выбор четные или нечетны задачи на построение (2б):
1. Постройте две окружности радиусами 2 см и 4 см, расстояние между центрами которых равно нулю.
2. Начертите две окружности разных радиусов (3 см и 2 см), чтобы они касались. Отметьте отрезком расстояние между их центрами. Рассмотрите возможные варианты.
3. Постройте окружность с радиусом равным 3 см и прямую расположенную на расстоянии 4 см от центра окружности.
4. Постройте окружность с радиусом равным 4 см и прямую расположенную на расстоянии 2 см от центра окружности.
ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ № 4
ЗАДАНИЕ 5
Молодец! Можно приступить к проверочной работе №2.
ЗАДАНИЕ 6
1) Найди ошибку в утверждении и исправь ее, обосновав свое мнение. Выбери любых два утверждения (4б.): А) Две окружности касаются внешним образом. Радиусы их равны R = 8 см и r = 2 см, расстояние между центрами d = 6.
Б) Две окружности имеют, по крайней мере, три общие точки.
В) R = 4, r = 3, d = 5. Окружности не имеют общих точек.
Г) R = 8, r = 6, d = 4. Меньшая окружность расположена внутри большей.
Д) Две окружности не могут располагаться так, что одна находится внутри другой.
2) Реши на выбор четные или нечетные задачи (66.):
1. Две окружности касаются друг друга. Радиус большей окружности равен 19 см, а радиус малой окружности меньше на 4 см. Найдите расстояние между центрами окружностей.
2. Две окружности касаются друг друга. Радиус большей окружности равен 26 см, а радиус малой окружности в 2 раза меньше. Найдите расстояние между центрами окружностей.
3. Возьмите две точки D и F так, чтобы DF = 6 см . Начертите две окружности (D, 2см) и (F, 3 см). Как расположены между собой эти две окружности? Сделайте вывод.
4. Расстояние между точками А и В равно 7 см. Начертите окружности с центрами в точках А и В , радиусами, равными 3 см и 4 см . Как расположены окружности? Сделайте вывод.
5. Между двумя концентрическими окружностями с радиусами 4 см и 8 см расположена третья окружность так, что она касается первые две окружности. Чему равен радиус этой окружности?
6. Окружности, радиусы которых равны 6 см и 2 см, пересекаются. Причем большая окружность проходит через центр меньшей окружности. Найдите расстояние между центрами окружностей.
ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №6
Проверочная работа № 1
Выбери один из вариантов теста и реши (10 вопросов, по 1 баллу за каждый):
1 вариант А) хордой; В) диаметром; С) секущей; D) касательной. 2. Через точку, лежащую на окружности, можно провести …….. касательных А) одну; В) две; 3. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше длины радиуса окружности, тогда прямая … D) нет правильного ответа. 4. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая… А) касается окружности в одной точке; В) пересекает окружность в двух точках; С) не пересекается с окружностью; D) нет правильного ответа. 5. Окружности не пересекаются и не касаются, если … А) R1 + R2 = d ; В) R1 + R2 < d ; С) R1 + R2 > d ; D) d = 0 . 6. Касательная и радиус, проведенные в к точке касания... А) параллельны; В) перпендикулярны; С) совпадают; D) нет правильного ответа. 7. Окружности касаются внешним образом. Радиус меньшей окружности равен 3 см, радиус большей - 5 см. Чему равно расстояние между центрами? 8. Каково взаимное расположение двух окружностей, если расстояние между центрами равно 4, а радиусы равны 11 и 7: 9. Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если диаметр окружности равен 7,2 см, а расстояние от центра окружности до прямой равно 0,4 дм: 10. Даны окружность с центром О и точка А. Где находится точка А, если радиус окружности равен 7 см, а длина отрезка ОА равна 70 мм? А) внутри окружности; В) на окружности. С) вне окружности; D) нет правильного ответа. | 2 вариант 1. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку и перпендикулярная радиусу, называется… А) хордой; В) диаметром; С) секущей; D) касательной. 2. Из точки, не лежащей на окружности, можно провести к окружности …….. касательных А) одну; В) две; С) ни одной; D) нет правильного ответа. 3. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая А) касается окружности в одной точке; В) пересекает окружность в двух точках; С) не пересекается с окружностью; D) нет правильного ответа. 4. Окружности пересекаются в двух точках, если… А) R1 + R2 = d ; В) R1 + R2 < d ; С) R1 + R2 > d ; D) d = 0 . 5. Окружности касаются в одной точке, если … А) R1 + R2 = d ; В) R1 + R2 < d ; С) R1 + R2 > d ; D) d = 0 . 6. Окружности называются концентрическими, если … А) R1 + R2 = d ; В) R1 + R2 < d ; С) R1 + R2 > d ; D) d = 0 . 7. Окружности касаются внутренним образом. Радиус меньшей окружности 3 см. Радиус большей окружности - 5 см. Чему равно расстояние между центрами окружностей? А) 8 см; В) 2 с м; С) 15 см; D) 3 см. 8. Каково взаимное расположение двух окружностей, если расстояние между центрами равно 10, а радиусы равны 8 и 2: А) внешнее касание; В) внутреннее касание; С) пересекаются; D) не пересекаются. 9. Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если диаметр окружности равен 7,2 см, а расстояние от центра окружности до прямой равно 3,25 см: А) касаются; В) не пересекаются. С) пересекаются; D) нет правильного ответа. 10. Даны окружность с центром О и точка А. Где находится точка А, если радиус окружности равен 7 см, а длина отрезка ОА равна 4 см? А) внутри окружности; В) на окружности. С) вне окружности; D) нет правильного ответа. |
Оценка: 10 б. – «5», 9 - 8 б. – «4», 7 – 6 б. – «3», 5 б. и ниже – «2»
Проверочная работа № 2
1) Заполни таблицу. Выбери один из вариантов (6б):
а) взаимное расположение двух окружностей:
б) взаимное расположение прямой и окружности:
2) Реши одну задачу на выбор (2б.):
1. Найти длины двух отрезков хорды, на которые разделяет ее диаметр окружности, если длина хорды – 0,8 дм, а диаметр ей перпендикулярен.
2. Найти длину хорды, если диаметр ей перпендикулярен, а один из отрезков, отсекаемых диаметром от нее, равен 0,4 дм.
3) Реши одну задачу на выбор (2б):
1. Постройте окружности, расстояние между центрами которых меньше разности их радиусов. Отметь расстояние между центрами окружности. Сделайте вывод.
2. Постройте окружности, расстояние между центрами которых равно разности радиусов этих окружностей. Отметь расстояние между центрами окружности. Сделайте вывод.
Оценка: 10 - 9 б. – «5», 8 - 7 б. – «4», 6 - 5 б. – «3», 4 б. и ниже – «2»
Составила учитель математики
МБОУ СШ №18 г. Красноярск
Андреева Инга Викторовна
Взаимное расположение прямой и окружности
О R – радиус
С D – диаметр
AB - хорда
- Окружность с центром в точке О радиуса r
- Прямая, которая не проходит через центр О
- Расстояние от центра окружности до прямой обозначим буквой s
Возможны три случая:
- 1) s
- меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки .
Прямая АВ называется секущей по отношению к окружности.
Возможны три случая:
- 2 ) s = r
- Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку .
s = r
r Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек. sr r O" width="640"
Возможны три случая:
- 3 ) sr
- Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек .
Касательная к окружности
Определение: П рямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
s = r
- прямая – секущая
- прямая – секущая
- общих точек нет
- прямая – секущая
- прямая - касательная
- r = 15 см, s = 11 см
- r = 6 см, s = 5 ,2 см
- r = 3,2 м, s = 4 ,7 м
- r = 7 см, s = 0,5 дм
- r = 4 см, s = 4 0 мм
Решите № 633.
- OABC- квадрат
- AB = 6 см
- Окружность с центром O радиуса 5 см
секущие из прямых OA , AB , BC , АС
Свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
m – касательная к окружности с центром О
М – точка касания
OM - радиус
Признак касательной: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она является к асательной.
окружность с центром О
радиуса OM
m – прямая, которая проходит через точку М
m – касательная
Свойство касательных, проходящих через одну точку:
Отрезки касательных к
окружности, проведенные
из одной точки, равны и
составляют равные углы
с прямой, проходящей через
эту точку и центр окружности.
▼ По свойству касательной
∆ АВО, ∆ АСО–прямоугольные
∆ АВО= ∆ АСО–по гипотенузе и катету:
ОА – общая,
Дидактическая цель: формирование новых знаний.
Цели урока.
Обучающие:
- сформировать математические понятия: касательная к окружности, взаимное расположение прямой и окружности, добиться понимания и воспроизведения учащимися данных понятий через выполнение практической работы исследовательского характера.
Здоровьесберегающие:
- создание благоприятного психологического климата на уроке;
Развивающие:
- развивать у учащихся познавательный интерес, умение объяснять, обобщать полученные результаты, сравнивать, сопоставлять, делать выводы.
Воспитательные:
- воспитание средствами математики культуры личности.
Формы обучения:
- по содержанию – беседа, практическая работа;
- по организации деятельности – индивидуальная, фронтальная.
План урока
| Блоки | Этапы урока |
| 1 блок | Организационный момент. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний. |
| 2 блок | Постановка цели. |
| 3 блок | Ознакомление с новым материалом. Практическая работа исследовательского характера. |
| 4 блок | Закрепление нового материала через решение задач |
| 5 блок | Рефлексия. Выполнение работы по готовому чертежу. |
| 6 блок | Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания. |
Оборудование:
- компьютер, экран, проектор;
- раздаточный материал.
Образовательные ресурсы:
1. Математика. Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений; / Г.В.Дорофеев, М., Просвещение, 2009 г.
2. Маркова В.И. Особенности преподавания геометрии в условиях реализации государственного образовательного стандарта: методические рекомендации, Киров, 2010 г.
3. Атанасян Л.С. Учебник “Геометрия 7-9”.
Ход урока
| 1. Организационный момент. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний. |
Приветствие учеников. Сообщает тему урока. Выясняет, какие ассоциации возникают со словом “окружность” |
Записывают в тетради число и
тему урока. Отвечают на вопрос учителя. |
| 2. Постановка цели урока | Обобщает цели, сформулированные учащимися, ставит цели урока | Формулируют цели урока. |
| 3. Ознакомление с новым материалом. | Организует беседу, на моделях
просит показать, как могут располагаться
окружность и прямая. Организует практическую работу. Организует работу с учебником. |
Отвечают на вопросы учителя. Выполняют практическую работу, делают вывод. Работают с учебником, находят вывод и сравнивают со своим. |
| 4. Первичное осмысление, закрепление через решение задач. | Организует работу по готовым
чертежам. Работа с учебником: с. 103 № 498, №499. Решение задач |
Устно решают задачи и
комментируют решение. Выполняют решение задач, комментируют. |
| 5. Рефлексия. Выполнение работы по готовому чертежу | Инструктирует выполнение работы. | Самостоятельно выполняют задание. Самопроверка. Подводят итоги. |
| 6. Подведение итогов. Постановка домашнего задания | Учащимся предлагается проанализировать кластер, составленный в начале урока, доработать его с учетом полученных знаний. | Подводят итоги. Учащиеся обращаются к целям, которые были поставлены, анализируют результаты: что нового узнали, чему научились на уроке |
1. Организационный момент. Актуализация знаний.
Учитель сообщает тему урока. Выясняет, какие ассоциации возникают со словом “окружность”.
Чему равен диаметр окружности, если радиус равен 2,4 см?
Чему равен радиус, если диаметр равен 6,8 см?
2. Целеполагание.
Учащиеся ставят свои цели на урок, учитель обобщает их и ставит цели урока.
Составляется программа деятельности на уроке.
3. Ознакомление с новым материалом.
1) Работа с моделями: “Покажите на моделях, как могут располагаться прямая и окружность на плоскости”.
Сколько они имеют общих точек?
2) Выполнение практической работы исследовательского характера.
Цель. Установить свойство взаимного расположения прямой и окружности.
Оборудование: окружность, нарисованная на листе бумаги и палочка в качестве прямой, линейка.
- На рисунке (на листе бумаги) установить взаимное расположение окружности и прямой.
- Измерьте радиус окружности R и расстояние от центра окружности до прямой d.
- Результаты исследования запишите в таблицу.
| Рисунок | Взаимное расположение | Число общих точек | Радиус окружности R | Расстояние от центра окружности до прямой d | Сравните R и d |
4. Сделайте вывод о взаимном расположении прямой и окружности в зависимости от соотношения R и d.
Вывод: Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, прямая касается окружности и имеет одну общую т очку с окружностью. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, окружность и прямая не имеют общих точек. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, прямая пересекает окружность и имеет с ней две общих точки.
5. Первичное осмысление, закрепление через решение задач.
1) Задания учебника: №498, № 499.
2) Определить взаимное расположении прямой и окружности, если:
- 1. R=16cм, d=12см
- 2. R=5см, d=4,2см
- 3. R=7,2дм, d=3,7дм
- 4. R=8 см, d=1,2дм
- 5. R=5 см, d=50мм
а) прямая и окружность не имеют общих точек;
б) прямая является касательной к окружности;
в) прямая пересекает окружность.
- d-расстояние от центра окружности до прямой, R- радиус окружности.
3) Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если диаметр окружности равен 10,3 см, а расстояние от центра окружности до прямой равно 4,15 см; 2 дм; 103 мм; 5,15 см, 1 дм 3 см.
4) Даны окружность с центром О и точка А. Где находится точка А, если радиус окружности равен 7 см, а длина отрезка ОА равна: а) 4 см; б) 10 см; в) 70 мм.
6. Рефлексия
Чему научились на уроке?
Какую закономерность установили?
Выполнить на карточках следующее задание:
Проведите прямые через каждые две точки. Сколько общих точек имеет каждая из прямых с окружностью.
Прямая ______ и окружность не имеют общих точек.
Прямая ______ и окружность имеют только одну ___________ точку.
Прямые ______, _______, ________, _______ и окружность имеют две общие точки.
7. Подведение итогов. Постановка домашнего задания:
1) проанализировать кластер, составленный в начале урока, доработать его с учетом полученных знаний;
2) учебник: № 500;
3) заполнить таблицу (на карточках).
| Радиус окружности | 4 см | 6,2 см | 3,5 см | 1,8 см | ||
| Расстояние от центра окружности до прямой | 7 см | 5,12 см | 3,5 см | 9,3 см | 8,25 м | |
| Вывод о взаимном расположении окружности и прямой | Прямая пересекает окружность |
Прямая касается окружности |
Прямая не пересекает окружность |
