Метод зачеркивания. Метод вычеркивания критериев

Существуют два способа исправления ошибочных записей корректура и красное сторно . Способ корректуры состоит в том, что неправильная запись зачеркивается и над ней пишется правильная. Исправление заверяется подписью лица, ответственного за ведение учета . Этот способ применяется в том случае, если ошибка обнаружена вскоре после ее совершения и ее исправление не вызовет изменений итогов. Если же ошибка отразилась на итоговых данных, то ее исправление способом корректуры вызвало бы много зачеркиваний и исправительных записей. Во избежание этого применяют способ красного сторно , который состоит в том, что неправильную запись повторяют красными чернилами. Затем делают правильную запись чернилами обычного цвета. Красный цвет означает, что запись неправильна и при подсчетах ее надо вычитать.

О том, как переносятся статьи из Журнала в Главную книгу , почему из одной статьи в Журнале образуются две в Главной, также о способе зачеркивания статей в Журнале, наконец, о двух номерах в Главной, которые отмечаются на полях Журнала, и почему так делается.

ТАКЖЕ О СПОСОБЕ ЗАЧЕРКИВАНИЯ

Допущенные ошибки исправляются в регистрах путем зачеркивания красными чернилами при условии, что ошибки выявлены до проставления итогов. Правильная сумма указывается над зачеркнутой черными чернилами. В том случае, когда ошибка обнаружена в журнале-ордере после проставления в нем итогов, но до внесения их в Главную книгу , исправление осуществляется в предусмотренных после итогов свободных строках или графах. Корректировка оборотов оформляется специально составляемой бухгалтерской справкой . Данные ее заносятся в Главную книгу отдельно. После записи в Главную книгу итогов журналов-ордеров исправления в них не допускаются.

Сведения о фактическом наличии имущества записываются в инвентаризационные описи и акты не менее чем в 2 экземплярах. В описях не допускается оставлять незаполненные строки, а на последних страницах незаполненные строки прочеркиваются. Не допускаются помарки и подчистки, а исправления ошибок производятся во всех экземплярах описей путем зачеркивания неправильных записей и проставления над зачеркнутыми правильных. Исправления должны быть оговорены и подписаны всеми членами инвентаризационной комиссии и материально-ответственными лицами . На каждой странице описей указывается прописью число порядковых номеров материальных ценностей и общий итог количества в материальных показателях, записанных на данной странице, независимо от того, в каких единицах измерения эти ценности показаны штуках, килограммах, метрах и т.д. На последней странице описи делается отметка о проверке цен, таксировке и подсчете итогов за подписями членов инвентаризационной комиссии . Описи подписывают все члены инвентаризационной комиссии и , причем материально-ответственные лица в конце описи дают расписку, подтверждающую проверку комиссией имущества в их присутствии и отсутствие к членам комиссии каких-либо претензий.

В документах недопустимы помарки, подчистки и т.п. Ошибки в документах должны исправляться путем зачеркивания неправильного текста или суммы и надписи правильного текста или суммы над зачеркнутыми.

В разделах Сведения о работе, Сведения о награждениях, Сведения о поощрениях трудовой книжки (вкладыша) зачеркивание ранее внесенных неточных или неправильных записей не допускается.

В разделе Сведения о поощрениях зачеркивание ранее внесенных неточных или неправильных записей не допускается. При необходимости изменения записи указывается соответствующий порядковый номер даты внесения записи, пишется Запись за № таким-то недействительна и делается правильная запись.

Поправки в тексте, зачеркивания

Зачеркивание передаточной надписи нарушает их непрерывный ряд, и

Зачеркивание расценивается как односторонняя сделка , направленная на

Исправление ошибок должно производиться во всех экземплярах описей путем зачеркивания неправильных записей и проставления над зачеркнутыми - правильных записей. Исправления должны быть оговорены и подписаны всеми члена инвентаризационной комиссии и материально ответственными лицами.

В зависимости от сложившейся специфики перевозки для различных родов груза и отдельных направлений применяется ряд форм или проформ стандартных чартеров (чартер-партий), разрабатываемых обычно объединениями судовладельцев и фрахтователей, отдельными крупными фирмами или концернами, объединениями фрахтователей-отправителей или получателей грузов. В некоторых случаях применяются стандартные формы чартеров, но с добавлениями и изменениями, специфичными для отдельного отправителя или получателя груза. Еще до подачи судна под погрузку, и во всяком случае до приема груза на борт, очень важно изучить чартер и не только определить типовую проформу с ее специфическими особенностями, но и проанализировать конкретные условия данного договора перевозки . Особое внимание следует обратить на приписки, вставки, зачеркивания, дополнения, внесенные в стандартную проформу чартера, так как эти отступления от обычного печатного текста нередко содержат весьма существенные условия.

Укрупнение масштаба цен (зачеркивание нулей).

Тайное голосование на заседаниях совета факультета и ученого совета вуза предусматривает заполнение бюллетеня, в котором указываются фамилия, имя, отчество претендента, должность, кафедра. Решение принимается зачеркиванием или оставлением фамилии претендента. В один бюллетень включаются все претенденты на конкретную должность. Решение ученого совета вуза или совета факультета может быть обжаловано ректору вуза лишь в случае нарушения существующего положения. Ректор вправе назначить повторное рассмотрение вопроса на заседании ученого совета вуза или совета факультета.

Записи в описях должны производиться аккуратно, без помарок, подчисток и исправлений. Исправления ошибок. должны осуществляться путем зачеркивания ошибочных записей так, чтобы можно было прочитать зачеркнутое, и внесения правильных записей. Исправления наименования товаров и продуктов, их количества, цены должны быть оговорены и подтверждены подписями всех членов комиссии. Исправление ошибки обязательно оговаривается надписью Исправленному верить с указанием даты и заверяется подписью сделавшего исправление лица (бухгалтера). Слово корректура от латинского orre tio означает поправка и применяется в тех случаях, когда ошибка носит частный характер, т.е. сделана в одном документе или регистре и обнаружена до того, как закончены записи и подсчет оборотов на счетах за данный месяц.

Корректурный способ исправления ошибок заключается в зачеркивании неправильного текста или суммы и надписании над зачеркнутым правильного текста или суммы. Зачеркивание производится одной чертой так, чтобы можно было прочитать зачеркнутое. При этом надо зачеркивать всю сумму, даже если ошибка допущена только в одной цифре. Исправление ошибки должно быть оговорено и подтверждено утверждено в документе - подписями лиц, подписавших документ в учетных регистрах
Представители более мощных программ в классе подготовки текстовых документов обеспечивают возможность выделения цветом, различные эффекты (зачеркивание, скрытый текст). Может быть обеспечена операция автоматического кернинга и разрядки для пар символов. Под кернингом понимается настройка интервала между определенными парами символов при больших кеглях шрифта, когда имеет место увеличение межбуквенного промежутка за счет особенностей написания символа. Разрядка - операция увеличения межбуквенного пространства для улучшения вида строки текста и выравнивания правых границ строк.

Существует ряд методов построения начального опорного решения, наиболее простым из которых является метод северо-западного угла. В данном методе запасы очередного поставщика используются для обеспечения запросов очередных потребителей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего используются запасы следующего по номеру поставщика.
Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла и состоит из ряда однотипных шагов. На каждом шаге, исходя из запасов очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только одна клетка и соответственно исключается из рассмотрения один поставщик или потребитель. Осуществляется это таким образом:
1) если a i < b j то х ij = а i , и исключается поставщик с номером i ,
x im = 0, m = 1, 2, ..., n , m ≠j, b j ’=b j - a i
2) если a i > b j то х ij = b j , и исключается потребитель с номером j , x m j = 0, m= 1,2, ..., k, m≠i, a i ‘= a i - b j ,
3) если a i = b j то х ij = a i = b j , исключается либо поставщик i , x im = 0, m= 1,2, ..., n, m≠j, b j ’=0 , либо j -й потребитель, x m j = 0, m= 1,2, ..., k, m≠i, a i ‘= 0 .
Нулевые перевозки принято заносить в таблицу только тогда, когда они попадают в клетку (i, j) , подлежащую заполнению. Если в очередную клетку таблицы (i, j) требуется поставить перевозку, а i -й поставщик или j -й потребитель имеет нулевые запасы или запросы, то в клетку ставится перевозка, равная нулю (базисный нуль), и после этого, как обычно, исключается из рассмотрения соответствующий поставщик или потребитель. Таким образом, в таблицу заносят только базисные нули, остальные клетки с нулевыми перевозками остаются пустыми.
Во избежание ошибок после построения начального опорного решения необходимо проверить, что число занятых клеток равно k+ n- 1 и векторы-условия, соответствующие этим клеткам линейно независимы.
□ Теорема. Решение транспортной задачи, построенное методом северо-западного угла, является опорным.
Доказательство . Число занятых опорным решением клеток таблицы должно быть равно N = k+ n-1 . На каждом шаге построения решения по методу северо-западного угла заполняется одна клетка и исключается из рассмотрения одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель) таблицы задачи. Через k+ n– 2 шага в таблице будет занято k+ n– 2 клетки. В то же время останутся невычеркнуты-ми одна строка и один столбец, при этом незанятая клетка одна. При заполнении этой последней клетки число занятых клеток составит
k + n - 2 +1 = k + n– 1.
Проверим, что векторы, соответствующие занятым опорным решением клеткам, линейно независимы. Применим метод вычеркивания. Все занятые клетки можно вычеркнуть, если проделать это в порядке их заполнения. ■
Необходимо иметь в виду, что метод северо-западного угла не учитывает стоимость перевозок, поэтому опорное решение, построенное данным методом, может быть далеко от оптимального.
Пример . Составить начальное опорное решение, используя метод северо-западного угла, для транспортной задачи, исходные данные которой представлены в следующей таблице

a i b j	150	200	100	100
100	1	3	4	2
250	4	5	8	3
200	2	3	6	7

Решение. Распределяем запасы 1 -го поставщика. Так как его запасы a 1 = 100 меньше запросов 1 -го потребителя b 1 = 150 , то в клетку (1, 1) записываем перевозку х 11 = 100 и исключаем из рассмотрения 1 -го поставщика. Определяем оставшиеся неудовлетворенными запросы 1-го потребителя b’ = b 1 - а 1 = 150 - 100 = 50 .
Распределяем запасы 2 -го поставщика. Так как его запасы а 2 = 250 больше оставшихся неудовлетворенными запросов 1 -го потребителя b 1 ’= 50 , то в клетку (2, 1) записываем перевозку х 21 = 50 и исключаем из рассмотрения 1 -го потребителя. Определяем оставшиеся запасы 2 -го поставщика а 2 = а 2 - b 1 ’ = 250 -50=200. Т.к. а 2 ‘= b 2 =200, то в клетку (2, 2) записываем х 22 = 200 и исключаем по своему усмотрению либо 2 -го поставщика, либо 2 -го потребителя. Пусть исключили 2- го поставщика. Вычисляем оставшиеся неудовлетворенными запросы 2 -го потребителя b 2 "= b 2 - а 2 " = 200 - 200 = 0 .
Распределяем запасы 3 -го поставщика. Так как а 3 > b 2 (200 > 0), то в клетку (3, 2) записываем х 32 = 0 и исключаем 2 -го потребителя. Запасы 3-го поставщика не изменились a 3 ’=a 3 -b 2 ’=200 - 0 = 200 . Сравниваем а 3 " и b 3 (200 > 100), в клетку (3, 3) записываем х 33 = 100 , исключаем 3 -го потребителя и вычисляем а 3 " = а 3 "-b 3 = 200 - 100 = 100 . Так как a 3 "" = b 4 , то в клетку (3, 4) записываем х 34 = 100 . Ввиду того, что задача с правильным балансом, запасы всех поставщиков исчерпаны и запросы всех потребителей удовлетворены полностью и одновременно.
Результаты построения опорного решения приведены в таблице:

	150	200	100	100
100	100
250	50	200
200		0	100	100

Проверяем правильность построения опорного решения. Число занятых клеток должно быть равно N = k +n - 1 = 3 + 4- 1=6 . В нашей таблице занято шесть клеток. Применяя метод вычеркивания, убеждаемся, что найденное решение является «вычеркиваемым»:
Следовательно, векторы-условия, соответствующие занятым клеткам, линейно независимы и построенное решение является опорным.

Метод минимальной стоимости

Метод минимальной стоимости прост, он позволяет построить опорное решение, достаточно близкое к оптимальному, так как использует матрицу стоимостей транспортной задачи C={c ij }, i=1,2, ..., k, j=1,2, ..., n . Как и метод северо-западного угла, он состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых заполняется только одна клетка таблицы, соответствующая минимальной стоимости min {с ij} } , и исключается из рассмотрения только одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель). Очередную клетку, соответствующую min {с ij }, заполняют по тем же правилам, что и в методе северо-западного угла. Поставщик исключается из рассмотрения, если его запасы использованы полностью. Потребитель исключается из рассмотрения, если его запросы удовлетворены полностью. На каждом шаге исключается либо один поставщик, либо один потребитель. При этом если поставщик, еще не исключен, но его запасы равны нулю, то на том шаге, когда oт данного поставщика требуется поставить груз, в соответствующую клетку таблицы заносится базисный нуль и лишь затем поставщик исключается из рассмотрения. Аналогично с потребителем.
□ Теорема . Решение транспортной задачи, построенное методом минимальной стоимости, является опорным. ■
Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.
Пример . Используя метод минимальной стоимости, построить начальное опорное решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в таблице:

	4 0	6 0	8 0	6 0
60	1	3	4	2
80	4	5	8	3
100	2	3	6	7

Решение . Запишем отдельно матрицу стоимостей для того, чтобы удобнее было выбирать минимальные стоимости, вычеркивать строки и столбцы:

Среди элементов матрицы стоимостей выбираем наименьшую стоимость с 11 = 1 , отмечаем ее кружочком. Это стоимость перевозки груза от 1 -го поставщика 1 -му потребителю. В соответствующую клетку (1, 1) записываем максимально возможный объем перевозки х 11 = min {a, A,} = min {60, 40} =40 .
Таблица 6.6

	40	60	80	60
60	40			20
80			40	40
100		60	40

Запасы 1 -го поставщика уменьшаем на 40 , т.е. a 1 ’= a 1 -b 1 = 60 - 40.= = 20 . Исключаем из рассмотрения 1 -го потребителя, так как его запросы удовлетворены. В матрице, С вычеркиваем 1 -й столбец.
В оставшейся части матрицы С минимальной является стоимость с 14 = 2 . Максимально возможная перевозка, которую можно осуществить от 1 -го поставщика к 4 -му потребителю, равна x 14 =min{a 1 ’,b 4 }= min{20,60} = 20 . В соответствующую клетку таблицы записываем перевозку х 14 =20 - Запасы 1 -гo поставщика исчерпаны, исключаем его из рассмотрения. В матрице С вычёркиваем первую строку. Запросы 4 -го потребителя уменьшаем на 20 , т.е. b 4 " = b 4 - a 1 "=60-20= 40.
В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость с 24 =с 32 =3 . Заполняем одну из двух клеток таблицы (2, 4) или (3, 2) . Пусть в клетку (2, 4) записываем х 24 = min{а 2 , b 4 } = min {80, 40} = 40 . Запросы 4 -го потребителя удовлетворены, исключаем его из рассмотрения» вычеркиваем четвертый столбец в матрице С. Уменьшаем запасы 2 -го поставщика а 2 ’ = а 2 - b 4 = 80 - 40 = 40 .
В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость min{с ij } = с 32 = 3 . Записываем в клетку таблицы (3,2) перевозку х 32 =min {а 3 b 2 } = min {100, 60} = 60 . Исключаем из рассмотрения 2 -го потребителя, а из матрицы С второй столбец. Вычисляем а 3 ’= а3-b 2 = 100 - 60 = 40 .
В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость min {с ij }= с 33 = 6 . Записываем в клетку таблицы (3,3) перевозку x 33 = min {а 3 ",b 3 } = min {40, 80} = 40 . Исключаем из рассмотрения 3 -го поставщика, а из матрицы С третью строку. Определяем b 3 " = b 3 - а 3 " = 80 - 40 = 40 . В матрице С остается единственный элемент с 23 = 8 . Записываем в клетку таблицы (2, 3) перевозку х 23 = 40 .
Проверяем правильность построения опорного решения. Число занятых клеток таблицы равно N = k+ n- 1=3+4-1=6 . Методом вычеркивания проверяем линейную независимость векторов-условий, соответствующих положительным координатам решения. Порядок вычеркивания показан на матрице X :

Решение является «вычеркиваемым» и, следовательно, опорным.

Переход от одного опорного решения к другому

В транспортной задаче переход от одного опорного решения к другому осуществляется с помощью цикла. Для некоторой свободной клетки таблицы строится цикл, содержащий часть клеток, занятых опорным решением. По этому циклу перераспределяются объемы перевозок. Перевозка загружается в выбранную свободную клетку и освобождается одна из занятых клеток, получается новое опорное решение.
□ Теорема (о существовании и единственности цикла). Если таблица транспортной задачи содержит опорное решение, то для любой свободной клетки таблицы существует единственный цикл, содержащий эту клетку и часть клеток, занятых опорным решением.
Доказательство . Опорное решение занимает N = k + n- 1 клеток таблицы, которым соответствуют линейно независимые векторы-условия. Согласно доказанной выше теореме ни одна часть занятых клеток не образует цикл. Если же к занятым клеткам присоединить одну свободную, то соответствующие им k+ n векторов линейно зависимы, и по той же теореме существует цикл, содержащий эту клетку. Предположим, что таких циклов два (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),…, (i k ,j 1), и (i 1 ,j 1), (i 2 ,j 1), (i 2 ,j 2),…, (i l ,j 1), -Тогда, объединив клетки обоих циклов без свободной клетки (i 1 ,j 1), получим последовательность клеток (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),…, (i k ,j 1), (i 1 ,j 1), (i 2 ,j 1), (i 2 ,j 2),…, (i l ,j 1) которые образуют цикл. Это противоречит линейной независимости векторов-условий, образующих базис опорного решения. Следовательно, такой цикл единственный.
Означенный цикл.
Цикл называется означенным, если его угловые клетки пронумерованы по порядку и нечетным клеткам приписан знак «+», а четным - знак «-».
Сдвигом по циклу на величину θ называется увеличение объемов перевозок во всех нечетных клетках цикла, отмеченных знаком «+», на θ и уменьшение объемов перевозок во всех четных клетках, отмеченных знаком «-», на θ .
□ Теорема . Если таблица транспортной задачи содержит опорное решение, то при сдвиге по любому циклу, содержащему одну свободную клетку, на величину получится опорное решение.
Доказательство . В таблице транспортной задачи, содержащей опорное решение, выберем свободную клетку и отметим ее знаком «+». По теореме 6.6 для этой клетки существует единственный цикл, который содержит часть клеток, занятых опорным решением. Пронумеруем клетки цикла, начиная с клетки, отмеченной знаком - «+». Найдем осуществим сдвиг по циклу на эту величину
В каждой строке и в каждом столбце таблицы, входящих в цикл, две и только две клетки, одна из которых отмечена знаком «+», а другая - знаком «-». Поэтому в одной клетке объем перевозки увеличивается на θ , а в другой уменьшается на θ , при этом сумма всех перевозок в строке (или столбце) таблицы остается неизменной. Следовательно, после сдвига по циклу по-прежнему и запасы всех поставщиков вывозятся полностью, и запросы всех потребителей удовлетворяются полностью. Так как сдвиг по циклу осуществляется на величину все объемы перевозок будут неотрицательными. Следовательно, новое решение является допустимым.
Если оставить свободной одну из клеток с нулевым объемом перевозки, соответствующих , то число занятых клеток будет равно N=k+n-1 . Одна клетка загружается (отмеченная знаком «+»), одна - освобождается. Так как цикл единственный, то удаление из него одной клетки разрывает его. Цикл из оставшихся занятых клеток образовать нельзя, соответствующие векторы-условия линейно независимы, а решение является опорным.

Метод вычеркивания позволяет проверить, является ли данное решение транспортной задачи опорным.

Пусть допустимое решение транспортной задачи, которое имеет m+n-1 отличную от нуля координату, записано в таблицу. Чтобы данное решение было опорным, векторы-условия, соответствующие положительным координатам, должны быть линейно независимы. Для этого занятые решением клетки таблицы должны быть расположены так, чтобы из них нельзя было образовать цикл.

Строка или столбец таблицы с одной занятой клеткой не может входить в какой-либо цикл, так как цикл имеет две и только две клетки в каждой строке или в столбце. Следовательно, можно вычеркнуть сначала либо все строки таблицы, содержащие по одной занятой клетке, либо все столбцы, содержащие по одной занятой клетке, далее вернуться к столбцам (строкам) и продолжить их вычеркивание. Если в результате вычеркивания все строки и столбцы будут вычеркнуты, значит, из занятых клеток таблицы нельзя выделить часть, образующую цикл, и система соответствующих векторов-условий линейно независима, а решение является опорным. Если же после вычеркиваний останется часть клеток, то эти клетки образуют цикл, система соответствующих векторов-условий линейно зависима, а решение не является опорным.

Ниже приведены примеры “вычеркиваемого” (опорного) и ”невычеркиваемого” (неопорного) решений:

;

“вычеркиваемое” “невычеркиваемое”

6. Методы построения начального опорного решения. Метод северо-западного угла.

Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла и состоит из ряда однотипных шагов. На каждом шаге, исходя из запасов очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только одна клетка и соответственно исключается из рассмотрения один поставщик или потребитель. Осуществляется это таким образом:

Нулевые перевозки принято заносить в таблицу только тогда, когда они попадают в клетку (i,j), подлежащую заполнению. Если в очередную клетку таблицы (i,j) требуется поставить перевозку, а i-й поставщик или j-й потребитель имеет нулевые запасы или запросы, то в клетку ставится перевозка, равная нулю (базисный нуль), и после этого, как обычно, исключается из рассмотрения соответствующий поставщик или потребитель. Таким образом, в таблицу заносят только базисные нули, остальные клетки с нулевыми перевозками остаются пустыми.

Во избежание ошибок после построения начального опорного решения необходимо проверить, что число занятых клеток равно m+n-1 и векторы-условия, соответствующие этим клеткам, линейно независимы.

Теорема4. Решение транспортной задачи, построенное методом северо-западного угла, является опорным.

Доказательство. Число занятых опорным решением клеток таблицы должно быть равно N=m+n-1. на каждом шаге построения решения по методу северо-западного угла заполняется одна клетка и исключается из рассмотрения одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель) таблицы задачи. Через m+n-2 шага в таблице будет занято m+n-2 клетки. В то же время останутся невычеркнутыми одна строка и один столбец, при этом незанятая клетка одна. При заполнении этой последней клетки число занятых клеток составит m+n-2+1=m+n-1.

Проверим, что векторы, соответствующие занятым опорным решением клеткам, линейно независимы. Применим метод вычеркивания. Все занятые клетки можно вычеркнуть, если проделать это в порядке их заполнения.

Необходимо иметь в виду, что метод северо-западного угла не учитывает стоимость перевозок, поэтому опорное решение, построенное данным методом, может быть далеко от оптимального.

Для того, чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей, т.е. задача должна быть с правильным балансом.

Теорема 38.2 Свойство системы ограничений транспортной задачи

Ранг системы векторов-условий транспортной задачи равен N=m+n-1 (m — поставщики, n-потребители)

Опорное решение транспортной задачи

Опорным решением транспортной задачи называется любое допустимое решение, для которого векторы условий, соответствующие положительным координатам, линейно независимы.

Ввиду того, что ранг системы векторов-условий транспортной задачи равен m+n — 1, опорное решение не может иметь отличных от нуля координат более m+n-1. Число отличных от нуля координат невырожденного опорного решения равняется m+n-1, а для вырожденного опорного решения меньше m+n-1

Цикл

Циклом называется такая последовательность клеток таблицы транспортной задачи (i 1 , j 1),(i 1 , j 2),(i 2 , j 2),...,(i k , j 1), в которой две и только две соседние клетки распложены в одной строке или столбце, причем первая и последняя клетки также находятся в одной строке или столбце.

Цикл изображают в виде таблицы транспортной задачи в виде замкнутой ломаной линии. В цикле любая клетка является угловой, в которой происходит поворот звена ломаной линии на 90 градусов. Простейшие циклы изображены на рисунке 38.1

Теорема 38.3
Допустимое решение транспортной задачи X=(x ij) является опорным тогда и только тогда, когда из занятых клеток таблицы нельзя образовать ни одного цикла.

Метод вычеркивания

Метод вычеркивания позволяет проверить, является ли данное решение транспортной задачи опорным.

Пусть допустимое решение транспортной задачи, которое имеет m+n-1 отличных от нуля координат, записано в таблицу. Чтобы данное решение было опорным, векторы-условий, соответствующие положительным координатам, а также базисным нулям, должны быть линейно независимыми. Для этого занятые решением клетки таблицы должны быть расположены так, чтобы нельзя было из них образовать цикл.

Строка или столбец таблицы с одной занятой клеткой не может входить в какой-либо цикл, так как цикл имеет две и только две клетки в каждой строке или столбце. Следовательно, чтобы вычеркнуть сначало либо все строки таблицы, содержащие по одной занятой клетке, либо все столбцы, содержащие по одной занятой клетке, далее вернуться к столбцам (строкам) и продолжать вычеркивание.

Если в результате вычеркивания все строки истолбцы будут вычеркнуты, значит, из занятых клеток таблицы нельзя выделить часть, образующую цикл, и система соответствующих векторов-условий является линейно независимой, а решение является опорным.

Если же после вычеркивания останется часть клеток, то эти клетки образуют цикл, система соответствующих векторов-условий является линейно зависимой, а решение не является опорным.

Примеры "вычеркнутого" (опорного) и "не вычеркнутого" (не опорного решений):

Логика вычеркивания :

Вычеркнуть все столбцы, в которых всего одна занятая клетка (5 0 0), (0 9 0)
Вычеркнуть все строки, в которых всего одна занятая клетка (0 15), (2 0)
Повторить цикл (7) (1)

Методы построения начального опорного решения

Метод северо-западного угла

Существует ряд методов построения начального опорного решения, наиболее простым из которых является метод северо-западного угла.
В данном методе запасы очередного по номеру поставщика используются для обеспечения запросов очередных по номеру потребителей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего используются запасы следующего по номеру поставщика.

Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла, поэтому и называется метод северо-западного угла.

Метод состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых, исходя из запасов очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только одна клетка и соответственно исключается из рассмотрения один поставщик или один потребитель.

Пример 38.1

Составить опорное решение, используя метод северо-западного угла.

1. Распределяем запасы 1-го поставщика.
Если запасы первого поставщика больше запросов первого потребителя, то записываем в клетку (1,1) сумму запроса первого потребителя и переходим ко второму потребителю. Если же запасы первого поставщика меньше запросов первого потребителя, то записываем в клетку (1,1) сумму запасов первого поставщика, исключаем из рассмотрения первого поставщика и переходим ко второму поставщику.

Пример : так как его запасы a 1 =100 меньше запросов первого потребителя b 1 =100, то в клетку (1,1) записываем перевозку x 11 =100 и исключаем из рассмотрения поставщика.
Определяем оставшиеся неудовлетворенными запросы 1-го потребителя b 1 = 150-100=50.

2. Распределяем запасы 2-го поставщика.
Так как его запасы a 2 = 250 больше оставшихся неудовлетворенными запросов 1-го потребителя b 1 =50, то в клетку (2,1) записываем перевозку x 21 =50 и исключаем из рассмотрения 1-го потребителя.
Определяем оставшиеся запасы 2-го поставщика a 2 = a 2 — b 1 = 250-50=200. Так как оставшиеся запасы 2-го поставщика равны запросам 2-го потребителя, то в клетку (2,2) записываем x 22 =200 и исключаем по своему усмотрению либо 2-го поставщика, либо 2-го потребителя. В нашем примере мы исключили 2-го поставщика.
Вычисляем оставшиеся неудовлетворенными запросы второго потребителя b 2 =b 2 -a 2 =200-200=0.

	150	200	100	100
100	100
250	50	200			250-50=200 200-200=0
200
	150-100-50=0

3. Распределяем запасы 3-го поставщика.
Важно! В предыдущем шаге у нас был выбор исключать поставщика или потребителя. Так как мы исключили поставщика, то запросы 2-го потребителя все же остались (хоть и равны нулю).
Мы должны записать оставшиеся запросы равные нулю в клетку (3,2)
Это связано с тем, что если в очередную клетку таблицы (i,j) требуется поставить перевозку, а поставщик с номером i или потребитель с номером j имеет нулевые запасы или запросы, то ставится в клетку перевозка, равная нулю (базисный нуль), и после этого исключается из рассмотрения либо соответствующий поставщик, либо потребитель.
Таким образом, в таблицу заносятся только базисные нули, остальные клетки с нулевыми перевозками остаются пустыми.

Во избежании ошибок после построения начального опорного решения необходимо проверить, что число занятых клеток равно m+n-1 (базисный ноль при этом тоже считается занятой клеткой), и векторы-условий, соответствующие этим клеткам, линейно независимые.

Так как в предыдущем шаге мы исключили из рассмотрения второго поставщика, то в клетку (3,2) записываем x 32 =0 и исключаем второго потребителя.

Запасы 3-го поставщика не изменились. В клекту (3,3) записываем x 33 =100 и исключаем третьего потребителя. В клетку (3,4) записываем x 34 =100. Ввиду того, что наша задача с правильным балансом, запасы всех поставащиков исчерпаны и запросы всех потребителей удовлетворены полностью и одновременно.

Опорное решение
	150	200	100	100
100	100
250	50	200
200		0	100	100

4. Проверяем правильность построения опорного решения.
Число занятых клеток должно быть равно N=m(поставщики)+m(потребители) — 1=3+4 — 1=6.
Применяя метод вычеркивания, убеждаемся, что найденное решение является "вычеркиваемым" (звездочкой отмечен базисный нуль).

Следовательно, векторы-условий, соответствующие занятым клеткам, линейно независимы и построенное решение действительно является опорным.

Метод минимальной стоимости

Метод минимальной стоимости прост и позволяет построить опорное решение, достаточно близкое к оптимальному, так как использует матрицу стоимостей транспортной задачи C=(c ij).

Как и метод северо-западного угла, он состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых заполняется только одна клетка таблицы, соответствующая минимальной стоимости:

и исключается из рассмотрения только одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель). Очередную клетку, соответствующую , заполняют по тем же правилам, что и в методе северо-западного угла. Поставщик исключается из рассмотрения, если его запасы груза использованы полностью. Потребитель исключается из рассмотрения, если его запросы удовлетворены полностью. На каждом шаге исключается либо один поставщик, либо один потребитель. При этом если поставщик еще не исключен, но его запасы равны нулю, то на том шаге, когда от данного поставщика требуется поставить груз, в соответствующую клетку таблицы заносится базисный нуль и лишь затем поставщик исключается из рассмотрения. Аналогично с потребителем.

Пример 38.2

Используя метод минимальной стоимости построить начальное опорное решение транспортной задачи.

1. Запишем отдельно матрицу стоимостей для того, чтобы было удобнее выбирать минимальные стоимости.

2. Среди элементов матрицы стоимостей выбираем наименьшую стоимость C 11 =1, отмечаем ее кружочком. Данная стоимость имеет место при перевозке груза от 1-го поставщика 1-му потребителю. В соответствующую клетку записываем максимально возможный объем перевозки:
x 11 = min {a 1 ; b 1 } = min {60; 40} =40 т.е. минимум между запасами 1-го поставщика и запросами 1-го потребителя.

2.1. Запасы 1-го поставщика уменьшаем на 40.
2.2. Исключаем из рассмотрения 1-го потребителя, так как его запросы полностью удовлетворены. В матрице C вычеркиваем 1-ый столбец.

3. В оставшейся части матрицы C минимальной стоимостью является стоимость C 14 =2. Максимально возможная перевозка, которую можно осуществить от 1-го поставщика 4-му потребителю равна x 14 = min {a 1 "; b 4 } = min {20; 60} = 20 , где a 1 со штрихом это оставшиеся запасы первого поставщика.
3.1. Запасы 1-го поставщика исчерпаны, поэтому исключаем его из рассмотрения.
3.2. Запросы 4-го потребителя уменьшаем на 20.

4. В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость C 24 =C 32 =3. Заполняем одну из двух клеток таблицы (2,4) или (3,2). Пусть в клетку запишем x 24 = min {a 2 ; b 4 } = min {80; 40} =40 .
4.1. Запросы 4-го потребителя удовлетворены. Исключаем его из рассмотрения вычеркивая 4-й столбец в матрице C.
4.2. Уменьшаем запасы 2-го поставщика 80-40=40.

5. В оставшейся части матрицы C минимальная стоимость C 32 =3. Запишем в клетку (3,2) таблицы перевозку x 32 = min {a 3 ; b 2 } = min {100; 60} =60 .
5.1. Исключим из рассмотрения 2-го потребителя. Из матрицы C исключаем 2-ой столбец.
5.2. Уменьшим запасы 3-го поставщика 100-60=40

6. В оставшейся части матрицы C минимальная стоимость C 33 =6. Запишем в клетку (3,3) таблицы перевозку x 33 = min {a 3 "; b 3 } = min {40; 80} =40
6.1. Исключим из рассмотрения 3-го поставщика, а из матрицы C 3-ю строку.
6.2. Определяем оставшиеся запросы 3-го потребителя 80-40=40.

7. В матрице C остался единственный элемент C 23 =8. Записываем в клетку таблицы (2,3) перевозку X 23 =40.

8. Проверяем правильность построения опорного решения.
Число занятых клеток таблицы равно N=m+n — 1=3+4 -1.
Методом вычеркивания проверяем линейную независимость векторов-условий, соответствующих положительным координатам решения. Порядок вычеркивания показан на матрице X:

Вывод: Решение методом минимальной стоимости (таблица 38.3) является "вычеркиваемым" и, следовательно опорным.