Formule per scrivere soluzioni generali di equazioni trigonometriche. Risoluzione di equazioni trigonometriche

Capitolo 15. Equazioni trigonometriche

15.6. Risoluzione di equazioni trigonometriche più complesse

Nei paragrafi precedenti 3-5 vengono fornite le soluzioni delle equazioni trigonometriche più semplici: , , e . Equazioni trigonometriche più complesse contenenti diverse funzioni trigonometriche con lo stesso o diversi argomenti vengono ridotte ad esse attraverso trasformazioni identiche o risolvendo un'equazione algebrica ausiliaria.

La tecnica generale per risolvere tali equazioni consiste nel sostituire tutte le funzioni trigonometriche incluse nell'equazione con una funzione basata su formule che collegano queste funzioni. Quando risolviamo un'equazione, ci sforziamo di apportare trasformazioni che portino ad equazioni equivalenti a quella data. Altrimenti, è necessario controllare le radici ottenute.

Perdere le radici è un errore comune. Altri errori simili sono la conoscenza imprecisa delle formule per le soluzioni delle equazioni più semplici, nonché l'incapacità di trovare correttamente il valore richiesto della funzione arco.

Diamo un'occhiata agli esempi.

Risolvi l'equazione.

Esempio 2. (esempio di riduzione ad un argomento).

Risolvi l'equazione.

Soluzione:
È opportuno passare all'argomento. L'opera ci ricorda la formula del seno di un doppio argomento: .
Sostituendo nell'equazione, otteniamo: .
Sul lato sinistro, applicheremo ancora una volta la formula del doppio argomento del seno, ma prima moltiplicheremo entrambi i lati dell'equazione per .
; ; .
Abbiamo ottenuto l'equazione più semplice del tipo e equiparamo l'intero argomento alla soluzione dell'equazione più semplice:
, Dove .

Risolvi l'equazione.

Soluzione:
Usando una delle formule per ridurre il grado, otteniamo .

Dopo la sostituzione nell'equazione che abbiamo

Risolvi l'equazione.

Soluzione:
Passando a destra otteniamo che è uguale a:
; ; .
Qui abbiamo dovuto aumentare il grado dell'equazione, ma abbiamo avuto l'opportunità di utilizzare una buona tecnica risolutiva: spostare tutti i termini in una parte e fattorizzare l'espressione risultante:
.
Uguagliando ogni fattore separatamente a zero, otteniamo una serie di equazioni,

che, di regola, è equivalente a questa equazione (un'eccezione a questa regola è discussa nell'esempio seguente).
Risolviamo l'equazione, abbiamo
, E .
Risolviamo l'equazione oppure , abbiamo , e .

Risolvi l'equazione.

Includere una radice estranea nella risposta è considerato un errore grossolano. Per evitarlo, è necessario assicurarsi che le radici risultanti non portino a zero nessuna delle funzioni al denominatore della frazione dell'equazione data (se ci sono frazioni lì) e che con queste radici nessuna delle funzioni nell'equazione data l'equazione originale perde significato (se inclusa). Occorre ricordare a quali valori dell'argomento si annulla la funzione e il dominio di definizione di ciascuna funzione trigonometrica. Per analogia, si parla del dominio di definizione di un'equazione (il dominio dei valori ammissibili, o VA, dell'incognita ). Il dominio di definizione di un'equazione trigonometrica è la parte comune (intersezione) dei domini di definizione dei lati sinistro e destro di questa equazione. Se la radice risultante non appartiene al dominio di definizione dell'equazione, allora è estranea e deve essere scartata.

Risolvi l'equazione
.

Soluzione:
Passiamo ad una funzione. Se lo esprimiamo attraverso , otteniamo un'equazione irrazionale, il che è indesiderabile. Sostituisci tramite:
; .
Risolviamo l'equazione risultante come un'equazione quadratica rispetto a .
O .
L'equazione non ha radici.
Per l'equazione abbiamo:
. Ma significano anche gli stessi numeri dispari, quindi scriveremo la soluzione in modo più semplice: .

Risolvi l'equazione
.

Per ottenere un'equazione omogenea (tutti i termini dello stesso grado - il secondo) moltiplichiamo il lato destro per l'espressione, che è uguale a .
;
.
Poiché le radici dell'equazione non sono le radici dell'equazione originale (questo può essere facilmente verificato mediante sostituzione), per passare a una funzione, dividiamo entrambi i membri dell'equazione per .

Risolviamo l'equazione quadratica per .
O .
Per l'equazione abbiamo: .
Per l'equazione otteniamo .

Risolvi l'equazione.

Esprimiamolo attraverso e , otteniamo
. Qui deve essere diverso da zero (altrimenti l'equazione non ha senso), quindi il dominio di definizione dell'equazione è tutto . Poiché , moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per per eliminare le frazioni.
;
;
.
Per l'equazione che abbiamo

Classe: 10

“Le equazioni dureranno per sempre.”

A. Einstein

Obiettivi della lezione:

Educativo:
- approfondire la comprensione dei metodi per risolvere equazioni trigonometriche;
- sviluppare le competenze per distinguere e selezionare correttamente metodi per la risoluzione di equazioni trigonometriche.
Educativo:
- coltivare l'interesse cognitivo nel processo educativo;
- sviluppare la capacità di analizzare un determinato compito;
- contribuire a migliorare il clima psicologico in classe.
Sviluppo:
- promuovere lo sviluppo della capacità di acquisizione indipendente della conoscenza;
- promuovere la capacità degli studenti di argomentare il proprio punto di vista;

Attrezzatura: poster con formule trigonometriche di base, computer, proiettore, schermo.

1 lezione

I. Aggiornamento delle conoscenze di riferimento

Risolvi oralmente le equazioni:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; a Z.

II. Imparare nuovo materiale

– Oggi esamineremo le equazioni trigonometriche più complesse. Diamo un'occhiata a 10 modi per risolverli. Successivamente ci saranno due lezioni di consolidamento, e per la lezione successiva ci sarà un test. Nello stand “For Lesson” sono affissi compiti simili a quelli che saranno presenti nel test; è necessario risolverli prima del test. (Il giorno prima del test, affiggi le soluzioni a questi compiti sullo stand).

Passiamo quindi a considerare i modi per risolvere le equazioni trigonometriche. Alcuni di questi metodi probabilmente ti sembreranno difficili, mentre altri ti sembreranno facili, perché... Conosci già alcune tecniche per risolvere le equazioni.

Quattro studenti della classe hanno ricevuto un compito individuale: comprendere e mostrare 4 modi per risolvere equazioni trigonometriche.

(Gli studenti che parlano hanno preparato delle diapositive in anticipo. Il resto della classe scrive i passaggi principali per risolvere le equazioni su un quaderno.)

1 studente: 1 modo. Risolvere equazioni mediante fattorizzazione

peccato 4x = 3 cos 2x

Per risolvere l'equazione usiamo la formula del doppio seno angolare sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Il prodotto di questi fattori è uguale a zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero.

2x = + k, k Z o sin 2x = 1,5 – non ci sono soluzioni, perché | peccato| 1
x = + k; a Z.
Risposta: x = + k, k Z.

2 studenti. Metodo 2. Risolvere equazioni convertendo la somma o la differenza di funzioni trigonometriche in un prodotto

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Per risolvere l'equazione usiamo la formula sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin cos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. L'equazione risultante è equivalente a un insieme di due equazioni:

L'insieme delle soluzioni della seconda equazione è completamente incluso nell'insieme delle soluzioni della prima equazione. Significa

Risposta:

3 studenti. 3 vie. Risolvere equazioni convertendo il prodotto di funzioni trigonometriche in una somma

peccato 5x cos 3x = peccato 6x cos2x.

Per risolvere l'equazione usiamo la formula

Risposta:

4 studenti. 4 vie. Risoluzione di equazioni che si riducono a equazioni quadratiche

3 peccato x – 2 cos 2 x = 0,
3 peccato x – 2 (1 – peccato 2 x) = 0,
2 peccato 2 x + 3 peccato x – 2 = 0,

Sia sin x = t, dove | t |. Otteniamo l'equazione quadratica 2t 2 + 3t – 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

Così . non soddisfa la condizione | t |.

Quindi peccato x = . Ecco perché .

Risposta:

III. Consolidamento di quanto appreso dal libro di testo di A. N. Kolmogorov

1. N. 164 (a), 167 (a) (equazione quadratica)
2. N. 168 a) (fattorizzazione)
3. N. 174 a) (conversione di una somma in prodotto)
4. (convertire il prodotto in somma)

(Alla fine della lezione, mostra sullo schermo la soluzione di queste equazioni per verifica)

№ 164 (UN)

2 peccato 2 x + peccato x – 1 = 0.
Sia sin x = t, | t | 1. Allora
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Dove

Risposta: - .

№ 167 (UN)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Sia tg x = 1, quindi otteniamo l'equazione 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Risposta:

№ 168 (UN)

Risposta:

№ 174 (UN)

Risolvi l'equazione:

Risposta:

Lezione 2 (lezione-lezione)

IV. Imparare nuovo materiale(continua)

– Quindi, continuiamo a studiare i modi per risolvere le equazioni trigonometriche.

5 modi. Risoluzione di equazioni trigonometriche omogenee

Equazioni della forma a sin x + b cos x = 0, dove a e b sono alcuni numeri, sono dette equazioni omogenee di primo grado rispetto a sin x o cos x.

Considera l'equazione

peccato x – cos x = 0. Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per cos x. Questo può essere fatto; la perdita della radice non si verificherà, perché , Se cos x = 0, Quello peccato x = 0. Ma questo contraddice l’identità trigonometrica di base peccato 2 x+cos 2 x = 1.

Noi abbiamo abbronzatura x – 1 = 0.

marrone chiaro x = 1,

Equazioni della forma come in 2 x + bcos 2 x + c peccato x cos x = 0 , Dove a, b, c – alcuni numeri sono detti equazioni omogenee di secondo grado rispetto a sin x o cos x.

Considera l'equazione

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per cos x e la radice non andrà persa, perché cos x = 0 non è la radice di questa equazione.

tg2x – 3tgx+2 = 0.

Sia tgx = t. D = 9 – 8 = 1.

Allora quindi tg x = 2 oppure tg x = 1.

Di conseguenza, x = arctan 2 + , x =

Risposta: arctg 2 + ,

Consideriamo un'altra equazione: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Trasformiamo il lato destro dell'equazione nella forma 2 = 2 · 1 = 2 · (sen 2 x + cos 2 x). Quindi otteniamo:
3sen 2 x – 3sen x cos x + 4cos 2 x = 2 (sen 2 x + cos 2 x),
3sen 2 x – 3sen x cos x + 4cos 2 x – 2sen 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Abbiamo ottenuto la 2a equazione, che abbiamo già analizzato).

Risposta: arctan 2 + k,

6 vie. Risoluzione di equazioni trigonometriche lineari

Un'equazione trigonometrica lineare è un'equazione della forma a peccato x + b cos x = c, dove a, b, c sono alcuni numeri.

Considera l'equazione peccato x + cos x= – 1.
Riscriviamo l'equazione come:

Considerando questo e, otteniamo:

Risposta:

7 vie. Introducendo un ulteriore argomento

Espressione a cos x + b peccato x può essere convertito:

(abbiamo già utilizzato questa trasformazione semplificando le espressioni trigonometriche)

Introduciamo un argomento aggiuntivo: l'angolo è tale

Poi

Considera l'equazione: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

Compiti a casa: N. 164 -170 (c, d).

Richiede la conoscenza delle formule di base della trigonometria: la somma dei quadrati di seno e coseno, l'espressione della tangente attraverso seno e coseno e altre. Per chi li ha dimenticati o non li conosce, consigliamo la lettura dell'articolo "".
Quindi, conosciamo le formule trigonometriche di base, è ora di usarle nella pratica. Risoluzione di equazioni trigonometriche con il giusto approccio, diventa un’attività piuttosto entusiasmante, come, ad esempio, risolvere il cubo di Rubik.

In base al nome stesso, è chiaro che un'equazione trigonometrica è un'equazione in cui l'incognita è sotto il segno della funzione trigonometrica.
Esistono le cosiddette equazioni trigonometriche più semplici. Ecco come appaiono: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Consideriamo come risolvere tali equazioni trigonometriche, per chiarezza utilizzeremo il già familiare cerchio trigonometrico.

sinx = a

cosx = a

abbronzatura x = a

lettino x = a

Qualsiasi equazione trigonometrica viene risolta in due fasi: riduciamo l'equazione alla sua forma più semplice e poi la risolviamo come una semplice equazione trigonometrica.
Esistono 7 metodi principali con cui vengono risolte le equazioni trigonometriche.

Sostituzione delle variabili e metodo di sostituzione

Risolvi l'equazione 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Usando le formule di riduzione otteniamo:

2cos2(x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Sostituisci cos(x + /6) con y per semplificare e ottenere la solita equazione quadratica:

2 anni 2 – 3 anni + 1 + 0

Le cui radici sono y 1 = 1, y 2 = 1/2

Ora andiamo in ordine inverso

Sostituiamo i valori trovati di y e otteniamo due opzioni di risposta:

Risoluzione di equazioni trigonometriche mediante fattorizzazione

Come risolvere l'equazione sin x + cos x = 1?

Spostiamo tutto a sinistra in modo che 0 rimanga a destra:

peccato x + cos x – 1 = 0

Usiamo le identità discusse sopra per semplificare l'equazione:

peccato x - 2 peccato 2 (x/2) = 0

Fattorizziamo:

2sen(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sen(x/2) * = 0

Otteniamo due equazioni

Riduzione ad un'equazione omogenea

Un'equazione è omogenea rispetto al seno e al coseno se tutti i suoi termini sono relativi al seno e al coseno dello stesso grado dello stesso angolo. Per risolvere un'equazione omogenea, procedere come segue:

a) trasferire tutti i suoi membri sul lato sinistro;

b) togliere tutti i fattori comuni tra parentesi;

c) equiparare tutti i fattori e le parentesi a 0;

d) tra parentesi si ottiene un'equazione omogenea di grado inferiore, che a sua volta viene divisa in un seno o coseno di grado superiore;

e) risolvere l'equazione risultante per tg.

Risolvi l'equazione 3sen 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Usiamo la formula sin 2 x + cos 2 x = 1 ed eliminiamo i due aperti a destra:

3sen 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sen 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Dividi per cos x:

tg2x+4tgx+3 = 0

Sostituisci tan x con y e ottieni un'equazione quadratica:

y 2 + 4y +3 = 0, le cui radici sono y 1 =1, y 2 = 3

Da qui troviamo due soluzioni all'equazione originale:

x 2 = arcotan 3 + k

Risoluzione di equazioni attraverso la transizione a semiangolo

Risolvi l'equazione 3sen x – 5cos x = 7

Passiamo a x/2:

6sen(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sen 2 (x/2) = 7sen 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Spostiamo tutto a sinistra:

2sen 2 (x/2) – 6sen(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Dividere per cos(x/2):

tg2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Introduzione dell'angolo ausiliario

A titolo informativo, prendiamo un'equazione della forma: a sin x + b cos x = c,

dove a, b, c sono alcuni coefficienti arbitrari e x è un'incognita.

Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per:

Ora i coefficienti dell'equazione, secondo le formule trigonometriche, hanno le proprietà sin e cos, vale a dire: il loro modulo non è superiore a 1 e la somma dei quadrati = 1. Indichiamoli rispettivamente come cos e sin, dove - questo è il cosiddetto angolo ausiliario. Quindi l’equazione assumerà la forma:

cos * sin x + sin * cos x = C

oppure sin(x + ) = C

La soluzione di questa semplice equazione trigonometrica è

x = (-1) k * arcosen C - + k, dove

Va notato che le notazioni cos e sin sono intercambiabili.

Risolvi l'equazione sin 3x – cos 3x = 1

I coefficienti di questa equazione sono:

a = , b = -1, quindi dividi entrambi i lati per = 2

Esempi:

\(2\peccato(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sen⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Come risolvere le equazioni trigonometriche:

Qualsiasi equazione trigonometrica dovrebbe essere ridotta a uno dei seguenti tipi:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

dove \(t\) è un'espressione con una x, \(a\) è un numero. Tali equazioni trigonometriche sono chiamate il più semplice. Possono essere facilmente risolti utilizzando () o formule speciali:

Vedi le infografiche sulla risoluzione di semplici equazioni trigonometriche qui:, e.

Esempio . Risolvi l'equazione trigonometrica \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Soluzione:

Risposta: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k,n∈Z\)

Cosa significa ciascun simbolo nella formula per le radici delle equazioni trigonometriche, vedi.

Attenzione! Le equazioni \(\sin⁡x=a\) e \(\cos⁡x=a\) non hanno soluzioni se \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Poiché seno e coseno per qualsiasi x sono maggiori o uguali a \(-1\) e minori o uguali a \(1\):

\(-1≤\sen x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Esempio . Risolvi l'equazione \(\cos⁡x=-1,1\).
Soluzione: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Risposta : nessuna soluzione.

Esempio . Risolvi l'equazione trigonometrica tg\(⁡x=1\).
Soluzione:

Risolviamo l'equazione utilizzando il cerchio numerico. Per questo:
1) Costruisci un cerchio)
2) Costruire gli assi \(x\) e \(y\) e l'asse tangente (passa per il punto \((0;1)\) parallelo all'asse \(y\)).
3) Sull'asse tangente, segnare il punto \(1\).
4) Collega questo punto e l'origine delle coordinate: una linea retta.
5) Segna i punti di intersezione di questa linea e il cerchio numerico.
6) Segniamo i valori di questi punti: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) Annotare tutti i valori di questi punti. Poiché si trovano a una distanza esatta di \(π\) l'uno dall'altro, tutti i valori possono essere scritti in un'unica formula:

Risposta: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Esempio . Risolvi l'equazione trigonometrica \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Soluzione:

Usiamo di nuovo il cerchio numerico.
1) Costruisci un cerchio, assi \(x\) e \(y\).
2) Sull'asse del coseno (asse \(x\)), segnare \(0\).
3) Disegna una perpendicolare all'asse del coseno passante per questo punto.
4) Segna i punti di intersezione della perpendicolare e del cerchio.
5) Segniamo i valori di questi punti: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) Scriviamo l'intero valore di questi punti e li equiparamo al coseno (a ciò che è all'interno del coseno).

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) Come al solito, esprimeremo \(x\) in equazioni.
Non dimenticare di trattare i numeri con \(π\), così come \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), ecc. Questi sono gli stessi numeri di tutti gli altri. Nessuna discriminazione numerica!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Risposta: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Ridurre le equazioni trigonometriche al più semplice è un compito creativo; qui è necessario utilizzare entrambi e metodi speciali per risolvere le equazioni:
- Metodo (il più diffuso nell'Esame di Stato Unificato).
- Metodo.
- Metodo degli argomenti ausiliari.

Consideriamo un esempio di risoluzione dell'equazione trigonometrica quadratica

Esempio . Risolvi l'equazione trigonometrica \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Soluzione:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Facciamo la sostituzione \(t=\cos⁡x\).

	La nostra equazione è diventata tipica. Puoi risolverlo usando .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Effettuiamo una sostituzione inversa.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Risolviamo la prima equazione utilizzando il cerchio numerico. La seconda equazione non ha soluzioni perché \(\cos⁡x∈[-1;1]\) e non può essere uguale a due per qualsiasi x.
	Annotiamo tutti i numeri che si trovano in questi punti.

Risposta: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Un esempio di risoluzione di un'equazione trigonometrica con lo studio di ODZ:

Esempio (USO) . Risolvi l'equazione trigonometrica \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	C'è una frazione e c'è una cotangente: significa che dobbiamo scriverlo. Lascia che ti ricordi che una cotangente è in realtà una frazione: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Pertanto, l'ODZ per ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\peccato⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Segniamo le “non soluzioni” sul cerchio numerico.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Eliminiamo il denominatore nell'equazione moltiplicandolo per ctg\(x\). Possiamo farlo, poiché abbiamo scritto sopra ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Applichiamo la formula del doppio angolo per il seno: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Se le tue mani si allungano per dividere per il coseno, tirale indietro! Puoi dividere per un'espressione con una variabile se sicuramente non è uguale a zero (ad esempio, questi: \(x^2+1,5^x\)). Invece, togliamo \(\cos⁡x\) tra parentesi.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	"Dividiamo" l'equazione in due.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sen⁡x=0\)	Risolviamo la prima equazione utilizzando il cerchio numerico. Dividiamo la seconda equazione per \(2\) e spostiamo \(\sin⁡x\) a destra.

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Le radici risultanti non sono incluse nell'ODZ. Pertanto, non li scriveremo in risposta. La seconda equazione è tipica. Dividiamolo per \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) non può essere una soluzione dell'equazione perché in questo caso \(\cos⁡x=1\) o \(\cos⁡ x=-1\)).
	Usiamo di nuovo un cerchio.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Queste radici non sono escluse da ODZ, quindi puoi scriverle nella risposta.

Risposta: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Lezione e presentazione sull'argomento: "Risoluzione di semplici equazioni trigonometriche"

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Cosa studieremo:
1. Cosa sono le equazioni trigonometriche?

3. Due metodi principali per risolvere equazioni trigonometriche.
4. Equazioni trigonometriche omogenee.
5. Esempi.

Cosa sono le equazioni trigonometriche?

Ragazzi, abbiamo già studiato arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcotangente. Consideriamo ora le equazioni trigonometriche in generale.

Le equazioni trigonometriche sono equazioni in cui una variabile è contenuta sotto il segno di una funzione trigonometrica.

Ripetiamo la forma di risoluzione delle equazioni trigonometriche più semplici:

1)Se |a|≤ 1, allora l'equazione cos(x) = a ha soluzione:

X= ± arcocos(a) + 2πk

2) Se |a|≤ 1, allora l'equazione sin(x) = a ha soluzione:

3) Se |a| > 1, allora l'equazione sin(x) = a e cos(x) = a non hanno soluzioni 4) L'equazione tg(x)=a ha una soluzione: x=arctg(a)+ πk

5) L'equazione ctg(x)=a ha soluzione: x=arcctg(a)+ πk

Per tutte le formule k è un numero intero

Le equazioni trigonometriche più semplici hanno la forma: T(kx+m)=a, T è una funzione trigonometrica.

Esempio.

Risolvi le equazioni: a) sin(3x)= √3/2

Soluzione:

A) Indichiamo 3x=t, quindi riscriviamo la nostra equazione nella forma:

La soluzione di questa equazione sarà: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Dalla tabella dei valori otteniamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Torniamo alla nostra variabile: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Allora x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Risposta: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, dove n è un numero intero. (-1)^n – meno uno elevato a n.

Altri esempi di equazioni trigonometriche.

Risolvi le equazioni: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Soluzione:

A) Questa volta passiamo direttamente al calcolo delle radici dell'equazione:

X/5= ± arcocos(1) + 2πk. Allora x/5= πk => x=5πk

Risposta: x=5πk, dove k è un numero intero.

B) Lo scriviamo nella forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Sappiamo che: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Risposta: x=2π/9 + πk/3, dove k è un numero intero.

Risolvi le equazioni: cos(4x)= √2/2. E trova tutte le radici sul segmento.

Soluzione:

Risolviamo la nostra equazione in forma generale: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ±π/4 + 2πk;

X=±π/16+πk/2;

Vediamo ora quali radici ricadono sul nostro segmento. A k A k=0, x= π/16, siamo nel segmento dato.
Con k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, colpiamo di nuovo.
Per k=2, x= π/16+ π=17π/16, ma qui non abbiamo colpito, il che significa che anche per k grandi ovviamente non colpiremo.

Risposta: x= π/16, x= 9π/16

Due metodi risolutivi principali.

Abbiamo esaminato le equazioni trigonometriche più semplici, ma ce ne sono anche di più complesse. Per risolverli vengono utilizzati il metodo di introduzione di una nuova variabile e il metodo di fattorizzazione. Diamo un'occhiata agli esempi.

Risolviamo l'equazione:

Soluzione:
Per risolvere la nostra equazione, utilizzeremo il metodo di introduzione di una nuova variabile, che denota: t=tg(x).

Come risultato della sostituzione otteniamo: t 2 + 2t -1 = 0

Troviamo le radici dell'equazione quadratica: t=-1 e t=1/3

Quindi tg(x)=-1 e tg(x)=1/3, otteniamo l'equazione trigonometrica più semplice, troviamo le sue radici.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Risposta: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Un esempio di risoluzione di un'equazione

Risolvi le equazioni: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Soluzione:

Usiamo l'identità: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

La nostra equazione assumerà la forma: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Introduciamo la sostituzione t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

La soluzione della nostra equazione quadratica sono le radici: t=2 e t=-1/2

Allora cos(x)=2 e cos(x)=-1/2.

Perché il coseno non può assumere valori maggiori di uno, allora cos(x)=2 non ha radici.

Per cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x=±2π/3 + 2πk

Risposta: x= ±2π/3 + 2πk

Equazioni trigonometriche omogenee.

Definizione: Le equazioni della forma a sin(x)+b cos(x) sono chiamate equazioni trigonometriche omogenee di primo grado.

Equazioni della forma

equazioni trigonometriche omogenee di secondo grado.

Per risolvere un'equazione trigonometrica omogenea di primo grado, dividila per cos(x): Non puoi dividere per il coseno se è uguale a zero, assicuriamoci che non sia così:
Sia cos(x)=0, allora asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ma seno e coseno non sono uguali a zero allo stesso tempo, otteniamo una contraddizione, quindi possiamo tranquillamente dividere per zero.

Risolvi l'equazione:
Esempio: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Soluzione:

Togliamo il fattore comune: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Quindi dobbiamo risolvere due equazioni:

Cos(x)=0 e cos(x)+sen(x)=0

Cos(x)=0 in x= π/2 + πk;

Considera l'equazione cos(x)+sin(x)=0 Dividi la nostra equazione per cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Risposta: x= π/2 + πk e x= -π/4+πk

Come risolvere equazioni trigonometriche omogenee di secondo grado?
Ragazzi, rispettate sempre queste regole!

1. Guarda a quanto equivale il coefficiente a, se a=0 allora la nostra equazione assumerà la forma cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), un esempio della cui soluzione si trova nella diapositiva precedente

2. Se a≠0, allora devi dividere entrambi i lati dell'equazione per il coseno al quadrato, otteniamo:

Cambiamo la variabile t=tg(x) e otteniamo l'equazione: