Правило умножения целого числа на десятичную дробь. Десятичные дроби и действия с ними
В этой статье мы рассмотрим такое действие, как умножение десятичных дробей. Начнем с формулировки общих принципов, далее покажем, как умножить одну десятичную дробь на другую и рассмотрим метод умножения столбиком. Все определения будут проиллюстрированы примерами. Потом мы разберем, как правильно умножить десятичные дроби на обыкновенные, а также на смешанные и натуральные числа (в том числе 100 , 10 и др.)
В рамках этого материала мы коснемся только правил умножения положительных дробей. Случаи с отрицательными разобраны отдельно в статьях об умножении рациональных и действительных чисел.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Сформулируем общие принципы, которых надо придерживаться при решении задач на умножение десятичных дробей.
Вспомним для начала, что десятичные дроби есть не что иное, как особая форма записи обыкновенных дробей, следовательно, процесс их умножения можно свести к аналогичному для дробей обыкновенных. Это правило работает и для конечных, и для бесконечных дробей: после их перевода в обыкновенные с ними легко выполнять умножение по уже изученным нами правилам.
Посмотрим, как решаются такие задачи.
Пример 1
Вычислите произведение 1 , 5 и 0 , 75 .
Решение: для начала заменим десятичные дроби на обыкновенные. Мы знаем, что 0 , 75 – это 75 / 100 , а 1 , 5 – это 15 10 . Мы можем сократить дробь и произвести выделение целой части. Полученный результат 125 1000 мы запишем как 1 , 125 .
Ответ: 1 , 125 .
Мы можем использовать метод подсчета столбиком, как и для натуральных чисел.
Пример 2
Умножьте одну периодическую дробь 0 , (3) на другую 2 , (36) .
Для начала приведем исходные дроби к обыкновенным. У нас получится:
0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11
Следовательно, 0 , (3) · 2 , (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33 .
Полученную в итоге обыкновенную дробь можно привести к десятичному виду, разделив числитель на знаменатель в столбик:
Ответ: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .
Если у нас в условии задачи стоят бесконечные непериодические дроби, то нужно выполнить их предварительное округление (см. статью об округлении чисел, если вы забыли, как это делается). После этого можно производить действие умножения с уже округленными десятичными дробями. Приведем пример.
Пример 3
Вычислите произведение 5 , 382 … и 0 , 2 .
Решение
У нас в задаче есть бесконечная дробь, которую нужно предварительно округлить до сотых. Получится, что 5 , 382 … ≈ 5 , 38 . Второй множитель округлять до сотых смысла не имеет. Теперь можно подсчитать нужное произведение и записать ответ: 5 , 38 · 0 , 2 = 538 100 · 2 10 = 1 076 1000 = 1 , 076 .
Ответ: 5 , 382 … · 0 , 2 ≈ 1 , 076 .
Метод подсчета столбиком можно применять не только для натуральных чисел. Если у нас есть десятичные дроби, мы можем умножить их точно таким же образом. Выведем правило:
Определение 1
Умножение десятичных дробей столбиком выполняется в 2 шага:
1. Выполняем умножение столбиком, не обращая внимание на запятые.
2. Ставим в итоговом числе десятичную запятую, отделяя ей столько цифр с правой стороны, сколько оба множителя содержат десятичных знаков вместе. Если в результате не хватает для этого цифр, дописываем слева нули.
Разберем примеры таких расчетов на практике.
Пример 4
Умножьте десятичные дроби 63 , 37 и 0 , 12 столбиком.
Решение
Первым делом выполним умножение чисел, игнорируя десятичные запятые.
Теперь нам надо поставить запятую на нужное место. Она будет отделять четыре цифры с правой стороны, поскольку сумма десятичных знаков в обоих множителях равна 4 . Дописывать нули не придется, т.к. знаков достаточно:
Ответ: 3 , 37 · 0 , 12 = 7 , 6044 .
Пример 5
Подсчитайте, сколько будет 3 , 2601 умножить на 0 , 0254 .
Решение
Считаем без учета запятых. Получаем следующее число:
Мы будем ставить запятую, отделяющую 8 цифр с правой стороны, ведь исходные дроби вместе имеют 8 знаков после запятой. Но в нашем результате всего семь цифр, и нам не обойтись без дополнительных нулей:
Ответ: 3 , 2601 · 0 , 0254 = 0 , 08280654 .
Как умножить десятичную дробь на 0,001, 0,01, 01, и т.д
Умножать десятичные дроби на такие числа приходится часто, поэтому важно уметь делать это быстро и точно. Запишем особое правило, которым мы будем пользоваться при таком умножении:
Определение 2
Если мы умножим десятичную дробь на 0 , 1 , 0 , 01 и т.д., в итоге получится число, похожее на исходную дробь, запятая которого перенесена влево на нужное количество знаков. При нехватке цифр для переноса нужно дописывать нули слева.
Так, для умножения 45 , 34 на 0 , 1 надо перенести в исходной десятичной дроби запятую на один знак. У нас получится в итоге 4 , 534 .
Пример 6
Умножьте 9 , 4 на 0 , 0001 .
Решение
Нам придется переносить запятую на четыре знака по количеству нулей во втором множителе, но цифр в первом для этого не хватит. Приписываем необходимые нули и получаем, что 9 , 4 · 0 , 0001 = 0 , 00094 .
Ответ: 0 , 00094 .
Для бесконечных десятичных дробей мы пользуемся тем же правилом. Так, к примеру, 0 , (18) · 0 , 01 = 0 , 00 (18) или 94 , 938 … · 0 , 1 = 9 , 4938 … . и др.
Процесс такого умножения ничем не отличается то действия умножения двух десятичных дробей. Удобно пользоваться методом умножения в столбик, если в условии задачи стоит конечная десятичная дробь. При этом надо учитывать все те правила, о которых мы рассказывали в предыдущем пункте.
Пример 7
Подсчитайте, сколько будет 15 · 2 , 27 .
Решение
Умножим столбиком исходные числа и отделим два знака запятой.
Ответ: 15 · 2 , 27 = 34 , 05 .
Если мы выполняем умножение периодической десятичной дроби на натуральное число, надо сначала поменять десятичную дробь на обыкновенную.
Пример 8
Вычислите произведение 0 , (42) и 22 .
Приведем периодическую дробь к виду обыкновенной.
0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33
0 , 42 · 22 = 14 33 · 22 = 14 · 22 3 = 28 3 = 9 1 3
Итоговый результат можем записать в виде периодической десятичной дроби как 9 , (3) .
Ответ: 0 , (42) · 22 = 9 , (3) .
Бесконечные дроби перед подсчетами надо предварительно округлить.
Пример 9
Вычислите, сколько будет 4 · 2 , 145 … .
Решение
Округлим до сотых исходную бесконечную десятичную дробь. После этого мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби:
4 · 2 , 145 … ≈ 4 · 2 , 15 = 8 , 60 .
Ответ: 4 · 2 , 145 … ≈ 8 , 60 .
Как умножить десятичную дробь на 1000, 100, 10 и др
Умножение десятичной дроби на 10 , 100 и др. часто встречается в задачах, поэтому мы разберем этот случай отдельно. Основное правило умножения звучит так:
Определение 3
Чтобы умножить десятичную дробь на 1000 , 100 , 10 и др., нужно перенести ее запятую на 3 , 2 , 1 цифры в зависимости от множителя и отбросить слева лишние нули. Если цифр для переноса запятой недостаточно, дописываем справа столько нулей, сколько нам нужно.
Покажем на примере, как именно это делать.
Пример 10
Выполните умножение 100 и 0 , 0783 .
Решение
Для этого нам надо перенести в десятичной дроби запятую на 2 цифры в правую сторону. Мы получим в итоге 007 , 83 Нули, стоящие слева, можно отбросить и записать результат как 7 , 38 .
Ответ: 0 , 0783 · 100 = 7 , 83 .
Пример 11
Умножьте 0 , 02 на 10 тысяч.
Решение: мы будем переносить запятую на четыре цифры вправо. В исходной десятичной дроби нам не хватит для этого знаков, поэтому придется дописывать нули. В этом случае будет достаточно трех 0 . В итоге получилось 0 , 02000 ,перенесем запятую и получим 00200 , 0 . Игнорируя нули слева, можем записать ответ как 200 .
Ответ: 0 , 02 · 10 000 = 200 .
Приведенное нами правило будет работать так же и в случае с бесконечными десятичными дробями, но здесь следует быть очень внимательным к периоду итоговой дроби, так как в нем легко допустить ошибку.
Пример 12
Вычислите произведение 5 , 32 (672) на 1 000 .
Решение: первым делом мы запишем периодическую дробь как 5 , 32672672672 … , так вероятность ошибиться будет меньше. После этого можем переносить запятую на нужное количество знаков (на три). В итоге получится 5326 , 726726 … Заключим период в скобки и запишем ответ как 5 326 , (726) .
Ответ: 5 , 32 (672) · 1 000 = 5 326 , (726) .
Если в условиях задачи стоят бесконечные непериодические дроби, которые надо умножать на десять, сто, тысячу и др., не забываем округлить их перед умножением.
Чтобы выполнить умножение такого типа, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной и далее действовать по уже знакомым правилам.
Пример 13
Умножьте 0 , 4 на 3 5 6
Решение
Cначала переведем десятичную дробь в обыкновенную. Имеем: 0 , 4 = 4 10 = 2 5 .
Мы получили ответ в виде смешанного числа. Можно записать его как периодическую дробь 1 , 5 (3) .
Ответ: 1 , 5 (3) .
Если в расчете участвует бесконечная непериодическая дробь, нужно округлить ее до некоторой цифры и уже потом умножать.
Пример 14
Вычислите произведение 3 , 5678 . . . · 2 3
Решение
Второй множитель мы можем представить как 2 3 = 0 , 6666 …. Далее округлим до тысячного разряда оба множителя. После этого нам будет нужно вычислить произведение двух конечных десятичных дробей 3 , 568 и 0 , 667 . Посчитаем столбиком и получим ответ:
Итоговый результат нужно округлить до тысячных долей, так как именно до этого разряда мы округляли исходные числа. У нас получается, что 2 , 379856 ≈ 2 , 380 .
Ответ: 3 , 5678 . . . · 2 3 ≈ 2 , 380
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
§ 1 Применение правило умножения десятичных дробей
В этом уроке Вы познакомитесь и научитесь применять правило умножения десятичных дробей и правило умножения десятичной дроби на разрядную единицу, такую как 0,1, 0,01 и т.д. Кроме того, мы рассмотрим свойства умножения при нахождении значений выражений, содержащих десятичные дроби.
Решим задачу:
Скорость движения автомобиля составляет 59,8 км/ч.
Какой путь преодолеет автомобиль за 1,3 часа?
Как известно, чтобы найти путь, необходимо скорость умножить на время, т.е. 59,8 умножить на 1,3.
Давайте запишем числа в столбик и начнем их перемножать, не замечая запятых: 8 умножить на 3, будет 24, 4 пишем 2 в уме, 3 умножить на 9 это 27, да еще плюс 2, получаем 29, 9 пишем, 2 в уме. Теперь 3 умножаем на 5, будет 15 и еще прибавляем 2, получаем 17.
Переходим ко второй строке: 1 умножить на 8, будет 8, 1 умножить на 9, получаем 9, 1 умножить на 5, получаем 5, складываем эти две строчки, получаем 4, 9+8 равно 17, 7 пишем 1 в уме, 7+9 это 16 да еще 1, будет 17, 7 пишем 1 в уме, 1+5 да еще 1 получаем 7.
А теперь посмотрим, сколько знаков после запятых стоит в обеих десятичных дробях! В первой дроби одна цифра после запятой и во второй дроби одна цифра после запятой, всего два знака. Значит, справа в полученном результате нужно отсчитать две цифры и поставить запятую, т.е. будет 77,74. Итак, при умножении 59,8 на 1,3 получили 77,74. Значит ответ в задаче 77,74 км.
Таким образом, чтобы перемножить две десятичные дроби надо:
Первое: выполнить умножение, не обращая внимания на запятые
Второе: в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.
Если же цифр в полученном произведении меньше, чем надо отделить запятой, то тогда впереди необходимо приписать один или несколько нулей.
Например: 0,145 умножить на 0,03 у нас в произведении получается 435, а запятой необходимо отделить 5 цифр справа, поэтому мы приписываем перед цифрой 4 еще 2 нуля, ставим запятую и приписываем еще один нуль. Получаем ответ 0,00435.
§ 2 Свойства умножения десятичных дробей
При умножении десятичных дробей сохраняются все те же свойства умножения, что действуют для натуральных чисел. Давайте выполним несколько заданий.
Задание №1:
Решим данный пример, применив распределительное свойство умноженияотносительно сложения.
5,7 (общий множитель) вынесем за скобку, в скобках останется 3,4 плюс 0,6. Значение этой суммы равно 4, и теперь 4 надо умножить на 5,7, получаем 22,8.
Задание № 2:
Применим переместительное свойство умножения.
2,5 сначала умножим на 4, получим 10 целых, а теперь нужно 10 умножить на 32,9 и получаем 329.
Кроме этого, при умножении десятичных дробей можно заметить следующее:
При умножении числа на неправильную десятичную дробь, т.е. большую или равную 1, оно увеличивается или не изменяется, например:
При умножении числа на правильную десятичную дробь, т.е. меньшую 1, оно уменьшается, например:
Давайте решим пример:
23,45 умножить на 0,1.
Мы должны 2 345 умножить на 1 и отделить три знака запятой справа, получим 2,345.
Теперь давайте решим другой пример: 23,45 разделить на 10, мы должны перенести запятую влево на один знак, потому что 1 ноль в разрядной единице, получим 2,345.
Из этих двух примеров можно сделать вывод, что умножить десятичную дробь на 0,1, 0,01, 0,001 и т. д. это значит разделить число на 10, 100, 1000 и т.д., т.е. надо в десятичной дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед 1 во множителе.
Используя полученное правило, найдем значения произведений:
13,45 умножить на 0,01
перед цифрой 1 стоит 2 нуля, поэтому перенесем запятую влево на 2 знака, получим 0,1345.
0,02 умножить на 0,001
перед цифрой 1 стоит 3 нуля, значит переносим запятую на три знака влево, получаем 0,00002.
Таким образом, в этом уроке Вы научились перемножать десятичные дроби. Для этого нужно всего лишь выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, и в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. Кроме того, познакомились с правилом умножения десятичной дроби на 0,1, 0,01 и т.д., а также рассмотрели свойства умножения десятичных дробей.
Список использованной литературы:
- Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
- Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. - 2013 год
- Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. - 2014 год
- Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 год
- Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012 год
- Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009
1 урок
1. Организационный момент
Проверить готовность учащихся к уроку.
(Наличие учебных принадлежностей к уроку)
I .Актуализация знаний
Устная работа.
Цель: Систематизировать предыдущие знания,необходимые при изучении нового материала.
Учащиеся устно выполняют задания на умножение десятичной дроби на натуральное число и на умножение обыкновенных дробей..
Вычислите:
Затем учитель задает вопрос:Сформулируйте как выполнить умножение десятичной дроби на натуральное число?Учащиеся вспоминают определение.Сообщаются тема урока и цели урока.
II .Одновременное разделение на группы и на пары.
Учащиеся выбирают по одной карточке со стола учителя. На одних из них записаны примеры на действия с обыкновенными дробями, а на других соответствующие ответы. Они должны будут найти соответствия, и разделится на пары.Если же будут работать в группах,то разделятся таким образом:
1 группа- это учащиеся, которым попались примеры,2 группа- это те учащиеся, у которых окажутся соответствующие ответы.(см.Приложение №1)
III .Изучение новогоматериала
Цель: Познакомить учащихся с новым материалом.
Объяснение учителя:
3.1.Групповая работа.
Цель: Самостоятельно решив задачу двумя способами сформулировать правилоумножения десятичной дроби на десятичную дробь.
Учащимся предлагается следующая задача:
Длина прямоугольника 6,3см, ширина 2,8см. Найдите его площадь.
Каждая группа выполняет данное задание по указанному ей предложенному способу.
Способ 1: Записать числовые значения измерений прямоугольника в виде натуральных чисел, выразив в миллиметрах. Вычислять площадь и полученный ответ выразить в квадратных сантиметрах.
Способ 2: Представить измерения прямоугольника в виде обыкновенных дробей, найти площадь, перемножив обыкновенные дроби и перевести в десятичную дробь.
Затем представитель каждой группы объясняет решение данного примера учащимся другой группы у доски. Учащиеся обмениваются мнениями и из результатов решения задачи делают вывод:
Сколько десятичных знаков в множителях, столько же и десятичных знаков в их произведении.
Затем учитель комментирует работу групп, подводит итоги и делает вывод.
Учащиеся записывают в тетрадях для конспектов.
Вывод: Чтобы умножить десятичные дроби надо:
1)выполнить умножение, не обращая внимания на запятые;
2)отделить в полученном произведении запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.
3.2 Разбор различных примеров.
Цель: Дальнейшая отработка умений выполнять умножение десятичных дробей.
Умножим данные числа не обращая внимания на запятые, получим в произведении число 20 496. В двух множителях после запятой всего имеется три десятичных знака. Поэтому в произведении нужно отделить справа три цифры.Итак, произведение равно 20,496.
VI .Решение задач
Цель: Отработка умений применять правило умножения десятичных дробей при решении задач.
Учащиеся работают в парах.
Выполняют задания: №812 ,№814
VII . Подведение итогов урока. Рефлексия
Цель: Выяснить достигли ли учащиеся целей урока,чтобы учесть при планировании следующего урока.
Действия ученика : Обобщив свои знания, отвечают на вопросы.
Вопросы для подведения итогов .(Устно).
1. Чему мы сегодня научились на уроке?
2. Какую цель мы сегодня на уроке изучили?
3. Повторим правило умножения десятичных дробей.
В конце урока учащиеся дают рефлексию:
Урок понравился / не понравился
Цель урока понял / не понял
Что узнал, чему научился______________________________
Что не понял полностью _______________________________
Над чем надо поработать_______________________________
Оценивание: Учитель поощряет ответы и работы учеников.
Задание на дом: №813 № 815
Десятичная дробь используется, когда нужно выполнять действия с нецелыми числами. Это может показаться нерациональным. Но такой вид чисел существенно облегчает математические операции, которые с ними необходимо выполнять. Это понимание приходит со временем, когда их запись становится привычной, а прочтение не вызывает трудностей, и освоены правила десятичных дробей. Тем более что все действия повторяют уже известные, которые усвоены с натуральными числами. Только нужно запомнить некоторые особенности.
Определение десятичной дроби
Десятичная дробь — это особое представление нецелого числа со знаменателем, который делится на 10, а ответ получается в виде единицы и, возможно, нулей. Другими словами, если в знаменателе 10, 100, 1000 и так далее, то удобнее переписать число с использованием запятой. Тогда до нее будет расположена целая часть, а потом - дробная. Причем запись второй половины числа будет зависеть от знаменателя. Количество цифр, которые находятся в дробной части, должно быть равно разряду знаменателя.
Проиллюстрировать вышесказанное можно этими числами:
9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.
Причины, по которым понадобилось применение десятичных дробей
Математикам потребовались десятичные дроби по нескольким основаниям:
Упрощение записи. Такая дробь расположена вдоль одной линии без черточки между знаменателем и числителем, при этом наглядность не страдает.
Простота в сравнении. Достаточно просто соотнести цифры, находящиеся в одинаковых позициях, в то время как с обыкновенными дробями пришлось бы приводить их к общему знаменателю.
Упрощение вычислений.
Калькуляторы не рассчитаны на введение обыкновенных дробей, они для всех операций используют десятичную запись чисел.
Как правильно прочитать такие числа?
Ответ прост: так же, как обыкновенное смешанное число со знаменателем, кратным 10. Исключение составляют только дроби без целого значения, тогда при чтении нужно произносить «ноль целых».
Например, 45/1000 нужно произнести как сорок пять тысячных , в то же время 0,045 будет звучать как ноль целых сорок пять тысячных .
Смешанное число с целой частью равной 7 и дробью 17/100, что запишется как 7,17, в обоих случаях будет прочитано как семь целых семнадцать сотых .
Роль разрядов в записи дробей
Верно отметить разряд - это то, что требует математика. Десятичные дроби и их значение могут существенно измениться, если записать цифру не в том месте. Впрочем, это было справедливо и раньше.
Для прочтения разрядов целой части десятичной дроби нужно просто воспользоваться правилами, известными для натуральных чисел. А в правой части они зеркально отражаются и по-другому читаются. Если в целой части звучало "десятки", то после запятой это будут уже "десятые".
Наглядно это можно увидеть в этой таблице.
| класс | тысячи | единицы | , | дробная часть | |||||||
| разряд | сот. | дес. | ед. | сот. | дес. | ед. | десятая | сотая | тысячная | десятитысячная | |
Как правильно записать смешанное число десятичной дробью?
Если в знаменателе стоит число, равное 10 или 100, и прочие, то вопрос о том, как дробь перевести в десятичную, несложен. Для этого достаточно по-другому переписать все ее составные части. В этом помогут такие пункты:
немного в стороне написать числитель дроби, в этот момент десятичная запятая располагается справа, после последней цифры;
переместить запятую влево, здесь самое главное - правильно сосчитать цифры — передвинуть ее нужно на столько позиций, сколько нолей в знаменателе;
если их не хватает, то на пустых позициях должны оказаться нули;
нули, которые были в конце числителя, теперь не нужны, и их можно зачеркнуть;
перед запятой приписать целую часть, если ее не было, то здесь тоже окажется нуль.
Внимание. Нельзя зачеркивать нули, которые оказались окружены другими цифрами.
О том, как быть в ситуации, когда в знаменателе число не только из единицы и нулей, как дробь переводить в десятичную, можно прочитать чуть ниже. Это важная информация, с которой обязательно стоит ознакомиться.
Как дробь перевести в десятичную, если знаменатель - произвольное число?
Здесь возможны два варианта:
Когда знаменатель можно представить в виде числа, которое равно десяти в любой степени.
Если такую операцию проделать нельзя.
Как это проверить? Нужно разложить знаменатель на множители. Если в произведении присутствуют только 2 и 5, то все хорошо, и дробь легко преобразуется в конечную десятичную. В противном случае, если появляются 3, 7 и другие простые числа, то результат будет бесконечным. Такую десятичную дробь для удобства использования в математических операциях принято округлять. Об этом будет речь немного ниже.
Изучает, как получаются такие десятичные дроби, 5 класс. Примеры здесь будут очень кстати.
Пусть в знаменателях находятся числа: 40, 24 и 75. Разложение на простые множители для них будет такое:
- 40=2·2·2·5;
- 24=2·2·2·3;
- 75=5·5·3.
В этих примерах только первая дробь может быть представлена в виде конечной.
Алгоритм перевода обыкновенной дроби в конечную десятичную
Проверить разложение знаменателя на простые множители и убедиться в том, что оно будет состоять из 2 и 5.
Добавить к этим числам столько 2 и 5, чтобы их стало равное количество. Они дадут значение дополнительного множителя.
Произвести умножение знаменателя и числителя на это число. В результате получится обыкновенная дробь, под чертой у которой стоит 10 в некоторой степени.
Если в задаче эти действия выполняются со смешанным числом, то его сначала нужно представить в виде неправильной дроби. А уже потом действовать по описанному сценарию.
Представление обыкновенной дроби в виде округленной десятичной
Этот способ того, как дробь переводить в десятичную, кому-то покажется даже проще. Потому что в нем нет большого количества действий. Нужно только разделить значение числителя на знаменатель.
К любому числу с десятичной частью справа от запятой можно приписать бесконечное количество нулей. Этим свойством и нужно воспользоваться.
Сначала записать целую часть и поставить после нее запятую. Если дробь правильная, то написать ноль.
Потом полагается выполнить деление числителя на знаменатель. Так, чтобы количество цифр у них было одинаковым. То есть приписать справа у числителя нужное количество нолей.
Выполнять деление в столбик до тех пор, пока не будет набрано нужное количество цифр. Например, если округлить нужно будет до сотых, то в ответе их должно быть 3. В общем, цифр должно быть на одну больше, чем нужно получить в итоге.
Записать промежуточный ответ после запятой и округлить по правилам. Если последняя цифра - от 0 до 4, то ее нужно просто отбросить. А когда она равна 5-9, то стоящую перед ней нужно увеличить на единицу, отбросив последнюю.
Возврат от десятичной дроби к обыкновенной
В математике встречаются задачи, когда десятичные дроби удобнее представить в виде обыкновенных, в которых есть числитель со знаменателем. Можно вздохнуть с облегчением: эта операция возможна всегда.
Для этой процедуры нужно сделать следующее:
записать целую часть, если она равна нулю, то ничего писать не надо;
провести дробную черту;
над ней записать цифры из правой части, если первыми идут нули, то их нужно зачеркнуть;
под чертой написать единицу с таким количеством нолей, сколько цифр стоит после запятой в первоначальной дроби.
Это все, что нужно сделать, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную.
Что можно делать с десятичными дробями?
В математике это будут определенные действия с десятичными дробями, которые ранее выполнялись для других чисел.
Ими являются:
сравнение;
сложение и вычитание;
умножение и деление.
Первое действие, сравнение, похоже на то, как это делалось для натуральных чисел. Чтобы определить, какое больше, нужно сравнивать разряды целой части. Если они окажутся равными, то переходят к дробной и так же по разрядам сравнивают их. То число, где окажется большая цифра в старшем разряде, и будет ответом.
Сложение и вычитание десятичных дробей
Это, пожалуй, самые простые действия. Потому что выполняются по правилам для натуральных чисел.
Так, чтобы выполнить сложение десятичных дробей, их нужно записать друг под другом, разместив запятые в столбик. При такой записи слева от запятых оказываются целые части, а справа — дробные. И теперь нужно сложить цифры поразрядно, как это делается с натуральными числами, снеся вниз запятую. Начинать сложение нужно с самого маленького разряда дробной части числа. Если в правой половине не хватает цифр, то дописывают нули.
При вычитании действуют так же. И здесь действует правило, которое описывает возможность занять единицу у старшего разряда. Если в уменьшаемой дроби после запятой меньше цифр, чем у вычитаемого, то в ней просто приписывают нули.
Немного сложнее обстоит дело с заданиями, где нужно выполнить умножение и деление десятичных дробей.
Как умножить десятичную дробь в разных примерах?
Правило, по которому производится умножение десятичных дробей на натуральное число, такое:
записать их в столбик, не обращая внимания на запятую;
перемножить, как если бы они были натуральными;
отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробной части исходного числа.
Частным случаем является пример, в котором натуральное число равно 10 в любой степени. Тогда для получения ответа нужно просто передвинуть запятую вправо на столько позиций, сколько нулей в другом множителе. Иными словами, при умножении на 10 запятая сдвигается на одну цифру, на 100 - их будет уже две, и так далее. Если цифр в дробной части не хватает, то нужно записать на пустых позициях нули.
Правило, которым пользуются, когда в задании нужно произвести умножение десятичных дробей на другое такое же число:
записать их друг под другом, не обращая внимания на запятые;
умножить, как если бы они были натуральными;
отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробных частях обеих исходных дробях вместе.
Частным случаем выделяются примеры, в которых один из множителей равен 0,1 или 0,01 и далее. В них нужно выполнить перемещение запятой влево на количество цифр в представленных множителях. То есть если умножается на 0,1, то запятая сдвигается на одну позицию.
Как разделить десятичную дробь в разных заданиях?
Деление десятичных дробей на натуральное число выполняется по такому правилу:
записать их для деления в столбик, как если бы они были натуральными;
делить по привычному правилу до тех пор, пока не закончится целая часть;
поставить в ответ запятую;
продолжить деление дробной составляющей до получения в остатке нуля;
если нужно, то можно приписать нужное количество нулей.
Если целая часть равна нулю, то и в ответе ее тоже не будет.
Отдельно стоит деление на числа, равные десятке, сотне и так далее. В таких задачах нужно передвинуть запятую влево на количество нулей в делителе. Бывает, что цифр в целой части не хватает, тогда вместо них используют нули. Можно заметить, что эта операция подобна умножению на 0,1 и подобным ей числам.
Чтобы выполнить деление десятичных дробей, нужно воспользоваться этим правилом:
превратить делитель в натуральное число, а для этого перенести в нем запятую вправо до конца;
выполнить перемещение запятой и в делимом на такое же число цифр;
действовать по предыдущему сценарию.
Выделяется деление на 0,1; 0,01 и прочие подобные числа. В таких примерах запятая сдвигается вправо на число цифр в дробной части. Если они закончились, то нужно приписать недостающее количество нулей. Стоит отметить, что это действие повторяет деление на 10 и подобные ему числа.
Заключение: все дело в практике
Ничто в учебе не дается легко и без усилий. Для надежного освоения нового материала требуются время и тренировка. Математика не исключение.
Чтобы тема про десятичные дроби не вызывала затруднений, нужно решать с ними примеров как можно больше. Ведь было время, когда и сложение натуральных чисел ставило в тупик. А теперь все нормально.
Поэтому, перефразируя известную фразу: решать, решать и еще раз решать. Тогда и задания с такими числами будут выполняться легко и непринужденно, как очередная головоломка.
Кстати, и головоломки поначалу решаются сложно, а потом нужно делать привычные движения. Так же и в математических примерах: пройдя по одному пути несколько раз, потом уже не будешь задумываться над тем, куда повернуть.
Как обычные числа.
2. Считаем число знаков после запятой у 1-ой десятичной дроби и у 2-ой. Их число складываем.
3. В итоговом результате отсчитываем справа налево такое число цифр, сколько получилось их в пункте выше, и ставим запятую.
Правила умножения десятичных дробей.
1. Умножить, не обращая внимания на запятую.
2. В произведении отделяем после запятой такое количество цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе.
Умножая десятичную дробь на натуральное число, необходимо:
1. Умножить числа, не обращая внимания на запятую;
2. В результате ставим запятую так, чтобы справа от нее было столько цифр, сколько в десятичной дроби.
Умножение десятичных дробей столбиком.
Рассмотрим на примере:
Записываем десятичные дроби в столбик и умножаем их как натуральные числа , не обращая внимания на запятые. Т.е. 3,11 мы рассматриваем как 311, а 0,01 как 1.
Результатом является 311. Далее считаем число знаков (цифр) после запятой у обеих дробей. В 1-ой десятичной дроби 2 знака и во 2-рой - 2. Общее число цифр после запятых:
2 + 2 = 4
Отсчитываем справа налево четыре знака у результата. В итоговом результате цифр меньше, чем нужно отделить запятой. В этом случае необходимо слева дописать не хватающее количество нулей.
В нашем случае не достает 1-ой цифры, поэтому дописываем слева 1 ноль.
Обратите внимание:
Умножая любую десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, запятая в десятичной дроби переносится вправо на столько знаков, сколько нулей после единицы.
Например :
70,1 . 10 = 701
0,023 . 100 = 2,3
5,6 . 1 000 = 5 600
Обратите внимание:
Для умножения десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001; и так далее, нужно в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей перед единицей.
Считаем и ноль целых!
Например:
12 . 0,1 = 1,2
0,05 . 0,1 = 0,005
1,256 . 0,01 = 0,012 56
